（流体力学专业论文）基于拟压缩方法的二维低速流动数值模拟.pdf

薤就= i 盈 学鞭士攀稼论文 摘要 本文运麓撼鹾绻方法，发鼹了一套遥屡予二缝低速溅动戆定掌耱蕊定常数 值计算方法。通过在不可压逑续性方程中引入拟压缩项，便控制方稔成魏一个 篷麓艇毽浚淤踺闯方肉攘遴黎解豹黢噩鑫整编徽分方穗糖。攒蹑缭顼懿g 入镬不 霹基方程在灏跫速度羧庭为零熬同霹搦台了邃震秘纛强瓣交纯。控懿方疆袋瓣 中心格式有隈体积法进行空间离散，对于定紫浚动，运用r u n g e - k u t t a 恳式多 步法避幸亍时黼撩进求麓，非怒鬻流魂采麓隐式辩闻离散黥“双鼹阀法” ( d u a l t i m es t e p p i n gm e t h o d ) 滋行推遂求麓。邋过辩二维蕊柱、平板、羹螫绕 滤懿数馕摸蛰，骏囊了本文方法瞧委穗瞧窝纛效性。 本文的羔器工传如下； l ，参照可压缩流幼计算羽中心格式裔艰体积法完成了拟压缀方法二维宠裳 不可溅e u l e f 方糕的攘罨帮流渤诗算稳疼的编麓。推譬了e u l e r 方程通爨 矢量的j a c o b i a n 矩阵在礅角坐标系和曲线坐标系下的特镊值，并国j 埒：译 裹褶旋的稳定校条俘。裰据理想不可藤流体满足b e r n o u l l i 方耧酶原瑾， 程程净串添鸯籍了糕强黼恁颂，翱浃了解的枝敛邃爱。剿弼e u l e r 程痔计 算势褥到了二雅灏柱表覆豹压力分毒，绦果与理论群一致。 2 撼导了弓l 入毅藤臻顼豹二维定鬻甭可瀑n * s 方程，缀麓了基手审心格蔽 霄限体积法的二维定常n s 方程计冀稷膨，给出了二维警板鬃漉n s 方 稷计冀缝鬃秘b l a s i u s 艇的比较，验谖了本文方法戆正确性。遴牙了低嚣 诺数下绕翼型流幼的数值模拟，褥到了正确豹计尊结果。 3 。擦善了赫蘧缭方法二雅静定常不可压e u l e r n s 方程，绽髯了二维菲定常 e u l e r g n - s 方糕诗薄程侉。该程序基予“墩对澜法”，邋髑予鬓黧作殛意 运动瓣 # 定露诋遽滚魂诗箨。 龟臻究7 在二缝定鬻不哥篷浚韵敬卷下嚣滏鼗耧鬓鍪簿凌等参数霹粪登气 动特憾驰影响。 4 s 辩予势定常不霹鹱濠凌，努磺了运动参数对翼型气动龄避兹影嗨，为遴 步研究绕三维扑翼的非定常流幼打下基础。 本文斡计黧结栗与分析袭稿，零文掰往麓熬方法楚逶貔的，盛定鬻诗冀结聚 可靠。运麓本文方法分糖了各参数对翼麓气动特往酌影响，避一步结合叶素璇论 还霹缀愁算势冀瓣气璐特经，懑瑟撂浮徽菠翼袋羚翼徽黧飞芎亍懿瓣禳麓设诗。 关键诵t 数蠛模掇，抵髯港数，嚣定紫溅镄，揪鹾壤方淡，鸯缀馋获法，凝辩间 法 鎏塑三些盎鬟篓主堂缝燕茎 a b s t r a c t b a s e do n p s e u d oc o m p r e s s i b i l i t y ，t w o d i m e n s i o n a ll o w s p e e d f l o w sa r e h u m e r i c a i i y s i m u l a t e d b ys o l v i n g 瓢 e r a n dn a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n s 。t h e p s e u d o * c o m p r e s s i b i l i t y t e r mi si n t r o d u c e dt ot h e c o n t i n u i t ye q u a t i o n o f i n c o m p r e s s i b l eg o v e r n i n ge q u a t i o n s ，w h i c hr e s u l t si nac l o s e dh y p e r b o l i cs y s t e m o f e q u a t i o n s 。弱u s 。t h ep r e s s u r e 蠡e l di sc o u p l e du pw i t ht h ev e t o c i t yf i e l d w h i l e k e e p i n g z e r ov e l o c i t yd i v e r g e n c e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，f i n i t ev o l u m e m e t h o d ，e x p l i c i t r a n g e k u t t at i m e - m a r c h i n gs c h e m ea n d “d u a l t i m es t e p p i n gm e t h o d a r ee m p l o y e d t os o l v et h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s 。b o t hi n v i s c i da n dv i s c o u ss t e a d yf l o w sa r o u n d t w o d i m e n s i o n a lc y l i n d e r , f l a t p l a t ea n d 瓤r f o i l sa r es i m u l a t e d a n du n s t e a d yf l o w s f o ra i r f o i li na r b i t r a r ym o t i o na r ea l s oc a l c u l a t e d 。t h er e s u l t sa l ei nr e a s o n a b l yg o o d a g r e e m e n tw i t he x p e r i m e n t a ld a t ao ro t h e rr e s e a r c h e r sr e s u r s w h i c hd e m o n s t r a t e t h a tt h ed e v e l o p e dm e t h o di se f f e c t i v ef o rs o l v i n 鼗l o w s p e e df l o w s t h em a i nw o r ko f t h i sd i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s ： 1 w i t hi n t r o d u c t i o no fp s e u d o c o m p r e s s i b i l i t y , t w o d i m e n s i o n a l e u l e r e q u a l i o n sa r e r i v e d r e f e r r i n gt oc o m p r e s s i b l em e t h o d c e n t r a lf i n i t e v o l u m es c h e m ei s e m p l o y e dt od e v e l o pac o m p u t a t i o n a lc o d e 。t h e e i g e n v a l u e s & j a c o b t a n m a t r i xa r ed e r i v e da n dt h es t a b i l i t yc o n d i t i o ni s a l s o p r e s e n t e d a c c o r d i n g i ot h eb e r n o u l l i e q u a t i o n 。s i m i l a r 姆 c o m p r e s s i b l ec a l c u l a t i o n s p r e s s u r ed a m p i n gi si n t r o d u c e dt oa c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e 。韵螳c a l c u l a t i o n so fi n v i s c i df l o w sa r o u n dc y l i n d e ra r e t a k e na sn u m e r i c a l e x a m p l e s w h i c hs h o w g o o da g r e e m e n t w i 搬 a n a l y t i c a ls o l u t i o n s 2 。t w o - d i m e n s i o n a ls t e a d y i n c o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u m i o n so f l a r n i n a rf l o w sa r ed c s i v e db yt h em e t h o do f p s e u d o c o m p r e s s i b i l i t y 魏e n u m e r i c a lr e s u l t so fl o w - r e y n o l d sn u m b e rf l o wa r o u n ds e m i i n f l n i t e f l a t p l a t e a n da i r 如i l sa r ec o n s i s t e n tw i t hb l a s i u ss o t u t i o n sa n d r e f e r e n c e s d a t a 3 。 u n s t e a d yi n c o m p r e s s i b l ee a l e ra n dn a v i e r s t o k e se q u a t i o n sa r es o l v e d f o rt w od i m e n s i o n a l l o w - s p e e df l o w sb yt h em e t h o do fp s e u d o c o m p r e s s i b i l i t y t h et i m em a r c h i n gi sb a s e do n “d u a l - t i m es t e p p i n g m e t h o d t h em e t h o di ss u i t a b l ef o ra n a l y s i so ft h e p r o b l e 1 so f a i r f o i l i na r b i t r a r y m o t i o n ， 4 ， f o rs t e a d yi n c o m p r e s s i b l ef l o w s ，t h ee f f e c t so fr e y n o l d sn u m b e ra n d t h i c k n e s so f a i r f o i l so nt h ea e r o d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa r es t u d i e d 。 5 +e f 豫e t so f u n s t e a d yf l o w so nt h ea e r o d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa r ea l s o a n a l y z e d + t h er e s u l t s o ft h i sd i s s e r t a f i o na r eu s e f u lf o rt h ef u r t h e r i n v e s t i g a t i o n so f t h r e e - d i m e n s i o n a lf l a p p i n g 撼矬垂 拍em e t h o dg i v e ni nt h i sd i s s e r t a t i o n a st h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l t sa n d a n a l y s i s l 嫱c a t e ，i sc o r r e c ta n ds u c c e s s f u f o rs i m u l a t i n gt w o d i m e n s i o n a ll o w - s p e e df l o w s ， 两北t 业大学硕士学位论文 c o m b i n e dw i t hb l a d ee l e m e n t t h e o r y ，t h er e s u l t sc a nb eu s e d t oe v a l u a t ea e r o d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c so ff l a p p i n gw i n g s ，w h i c ha r eh e l p f u lf o rt h ei n i t i a l d e s i g no fm i c r o r o t a r ya n df l a p p i n gw i n g k e y w o r d s ：n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，u n s t e a d yf l o w s ，p s e u d o c o m p r e s s i b i l i t y ，f i n i t e v o l u m em e t h o d ，d u a l t i m es t e p p i n gm e t h o d 瑟筑工韭又擎赣j 。学位论文 符号表 人工音速 冀型弦长 人工糙蛙项 控制方程无粘通曩项 控制方程粘性通墩项 蓠卡尔直角坐标巾x ，_ y 方商的革能矢量 控制体外法向单披矢量 羼强 遮度矢蚕 羧裁葵边器运动转速凄矢攫 通量积分项 网格单元的对角线矢量 远场边界上向内和向乡 传播的一维不变蚤 残毽，r ”= q 。羚“ 引入伪时间时定义的新残值 控制体各筒的面矢量 戆毽薅趣 伪时间 x ，y 方向的速度分量 遗物来流速疫 控制体体积 ： q， 聪 & ，t ， _ ；f ， ， ， ， ， 。 。 n 0 矬 p q 戳 略s，r 即 瓯矿 西北工业大学硕士学位论文 w a y f f k ，a 。 p k f 口o 口1 a 控制方程自变量组成的列向量 控制体边界 物理时间步长 伪时间步长 通量j a c o b i a n 矩阵的谱半径 密度 减缩频率 运动频率 平均迎角 俯仰角振幅 沉浮运动位移振幅 初始相位角 西北丁业人学硕上学位论文 1 j l 日! j舌 微型飞行器( m a v s ) 是当前飞行器研究和设计的一个重点方向，其物理尺 寸和质量都非常小，并且飞行时的雷诺数在1 0 0 ，0 0 0 以下。在最近的几年当中， 人们针对微型飞行器的发展做了大量的研究工作。根据国内外的一些文献资料， 微型飞行器的定义如下：微型飞行器是指小的、能够遥控、自动或半自动控制飞 行的飞行器，以用于对目标近距离侦察或监视。这种飞行器的任务是以较低的成 本，隐秘地、远距离遥控地从目的地收集一些关键的信息。它应该易于控制、便 于操纵，并且能携带大量的传感器及监视仪。除了作为一个小型的运输设备，微 型飞行器还具有许多其它优点其中包括：快速反应能力、实时数据跟踪、小的 雷达监测面、低噪音、价格低廉。且由于传感技术的进步以及传感器的小型化， 其检测能力甚至能够覆盖到生物细胞、化学元素、核物质( 放射能1 等方面。由于 微型飞行器的尺度非常小，且其飞行的速度很低，导致了和粘性相关的雷诺数也 非常小，因而气体的粘性对物体周围的流动影响很大。 与传统飞行器相比，微型飞行器的工作环境和气动特性均有了很大的改变。 微型飞行器主要是在低雷诺数条件下飞行，机翼的附面层很厚，经常达到和翼型 长度相同的量级，且流动极易分离，即使在迎角很小的情况下也会出现分离现象。 微型飞行器按照机翼的不同可以分为两类：固定翼微型飞行器( f i x e d w i n g s m a v s ) 和# b 翼微型飞行器( f l a p p i n g w i n g sm a v s ) 。对于后者，研究主要集中于模 拟昆虫及鸟类扑翼飞行的规律，了解其翅膀( 翼) 的气动性能以及其非定常的空 气动力学特性。实验研究发现，通过拍动翅膀，不用提高飞行速度，鸟类及昆虫 就可有效地增加其翅膀周围的雷诺数，以克服其小尺寸的气动力缺陷。在这种情 况下，飞行研究已经不仅仅是技术上的问题，它还涉及到了大量的动物飞行机理， 如鸟类飞行机理和昆虫飞行机理。 本文的目的和方法： 微型飞行器主要是在低速和低雷诺数的条件下工作。对于微型飞行器设计技 术的一个最大挑战就是如何在如此小的飞行器上产生足够的升力和推力。出于对 尺寸和效率的考虑，传统的气动力产生方法并不适用于微型飞行器。一种可行的 西北工业大学硕j 学位论文 推力、升力产生方法就是通过模仿自然界中很常见的鸟类扑翼飞行或昆虫扑翼飞 行来实现。当前微型飞行器( m a v s ) 的研究主要面临三个问题： a 1 合适的制造技术： b ) 复杂的气动计算和分析方法； c ) 在该尺度下精确的实验结果。 其中前两个问题随着微机电技术的进步和气动方法的发展已经有了许多相关的 解决方法，但是在该尺度下精确的实验结果依然不是很多。本文只涉及到第二个 问题。 本文的目的主要是找到一种有效解决低速气流绕翼型流动的n s 方程求解 方法以模拟鸟类飞行；工作重点是解决低速和低雷诺数条件下拟压缩方法在有限 体积法、双时间推进数值求解过程中的应用的问题；编写出一套适合在低速、低 雷诺数条件下预计翼型定常和非定常气动特性的软件；并分析低雷诺数条件下的 气动机理。本文拟压缩控制方程的离散采用中心格式有限体积法，时间推进技术 采用五步r u n g e - k u t t a 显式多步法和“双时间法”。粘性流动的雷诺数范围基本 上在鸟类飞行的范围之内。 拟压缩方法由c h o r i n 【1 1 1 2 最先引入，r o g e r s 和d o c h a n k w a k f 3 】 4 1 【5 】 6 1 等人的后 续工作使得该方法更加完善。拟压缩方法在连续性方程中引入了压强的时间导数 项，在满足速度场散度为零的条件同时耦合了速度和压强的变化，从而使控制方 程组形成一个封闭的双曲型偏微分方程组，控制扰动波以有限的速度向外传播。 当方程收敛到定常状态时，不可压流动散度为零的条件就自然得到了满足。因此， 许多现有的、已经发展得很好的可压缩流动数值求解方法均可以应用到拟压缩方 法中。 本文已完成的工作： 1 ) 拟压缩方法求解二维定常不可压e u l e r 方程 参考可压缩流动e u l e r 方程和中心格式离散的有限体积法完成了拟压缩 方法二维定常不可压e u l e r 方程的推导和数值求解程序的编写； 推导了拟压缩e u l e r 方程通量项在直角坐标系和曲线坐标系下的特征值 并由此推导出稳定性条件限制下的当地时间步长： 根据理想不可压流体满足b e r n o u l l i 方程，即总压不变的原理，在程序中 西北工业大学硕= 【。学位论文 添加了压强阻尼项，使解的收敛速度加快，其作用和可压缩方程中焓阻 尼项的作用类似。此外还采用了当地时间步长和隐式残值光顺等加速收 敛措施。 模拟了绕无升力圆柱和翼型的定常不可压流动，分别和无升力圆柱解析 解、参考文献的计算结果作了比较。 2 1 拟压缩方法求解二维定常不可压层流n s 方程 为了适应粘性计算的需要，本文采用拟压缩方法求解了二维定常不可压层流 n - s 方程。给出了二维平板层流n s 方程计算结果和b j a s i u s 解的比较，二者符 合较好；模拟了低雷诺数下绕二维圆柱的定常不可压粘性流动，其流动显示图和 实验结果作了比较；求解了绕薄翼型的低雷诺数流动，并和参考文献的计算结果 作了比较。 3 ) 拟压缩方法求解二维非定常不可压e u l e r 方程和层流n s 方程 本文推导了引入拟压缩项的二维非定常不可压e u l e r 方程和层流n ，s 方程， 编写了二维非定常e u l e r n s 方程计算程序，采用隐式的“双时间推进法”求解 了二维翼型做任意非定常运动的低速绕流流动。 t 4 1 气动特性分析 研究了在二维定常不可压流动状态下雷诺数和翼型厚度等参数对翼型气动 特性的影响。对于非定常不可压流动，分析了运动参数对翼型气动特性的影响， 为进一步研究绕三维扑翼的非定常粘性流动打下基础。 堕些三些查兰堡主兰垡兰兰一 第一章二维不可压e u l e r 方程的 拟压缩方法求解 1 1 控制方程 引入拟压缩性系数卢，理想流体微分形式的控制方程1 m 可表示如下： 一a w + 堡+ 一a g ：0 ( 1 1 ) 魏融却 w = f 伊 g = i “v1 l v ：+ p j 上式就是拟压缩控制方程的微分形式，其中去鲁为拟压缩项。很显然，当方程 收敛到定常状态，即散度为零( 娑+ 娑= 0 ) 时，控制方程还原到不可压方程， 叫 低速流动的不可压特性也就得到了满足。 本文选取守恒形式的积分方程作为基本控制方程，并采用有限体积法中心格 式离散方法来验证拟压缩方法的可行性。选取流场中一个空间固定的控制体矿， 其边界和边界外法向分别记为a y 和n 。参考微分形式控制方程( 1 - 1 ) 式，引入 拟压缩项的积分形式控制方型7 】【8 l 【9 】如下： 妄妒弘妣。 “之 w = ” 其中，q 为速度矢量，可表示为： 伪 u q + p z 。 u q + p f 。 q 。4 - v lp 4 1，j p 肛、w ” p。l i | f 1llll，j 西北工业大学硕十学位论文 一i x i y 分别表示x ，y 方向的单位矢量。由( i - i ) 式、( 1 2 ) 式可知，控制方程组 构成一个封闭的方程组，自身r 口可求解三个未知量：p ，“，v 。 1 2 方程的无量纲化 本文在计算时，方程组中的控制参数( 户，p ，”，v ，卢，x ，y ) 均采用无量纲 化形式，选取翼型弦长c ，自由来流的密度p 。，压强p 。为无量纲化的参考量， 则无量纲化变量如下： x = 一 c p = 晏 p 。 v = c 口 口= o l p 。 “= ；兰，： q 事。| 。| 。 其中，带( ) 的变量表有量纲形式。 1 3 空间离散 1 3 i 通量项的计算 k 亟 c 卢：当 p 。 虬：垒 a 。 本文采用中心格式有限体积法来求解引入拟压缩项的控制方程，将时间积分 和空间离散分开进行。采用贴体曲线网格来代替绕流物体( 如翼型) 周围的连续 流动区域，对其中的任意一个控制体( 图1 - 1 ) ，( 1 2 ) 式成为 d 加f f w d 少n 掘= 。 ( 1 - 3 ) 其中边界a ，是这样构成的( 图2 ) ： a ，s 】+ sj + sl + s 1 一j 7 “j 7，一j + i 两北1 = 业火学硕士学位论文 s s j 一= 图1 - 1 控制体k ， o ，+ 1 ) ( f ，+ 去) ( i - 扣 ，1 、 、2 一= ，j ) o 一1 ，_ ，) o ，j ) o + l ，) p ，一三) ( f ，；一1 ) 图1 2 控制体中心和通量边界的定位 w 取控制体中心的体积平均，则 2 瓤i i w d y 因此，( 1 - 3 ) 式可以写成： 鲁( + q 。= o ( 1 4 ) 堕j ! 三些查兰堡主茎堡垒苎 一 控制体体积k ，与时间无关，可以用对角线；- ，；z 求解计算( 图3 ) 1i 一一j 广扑 ：l 图1 3 q 。表示流出控制体的净通量： q r ，- 2 f s ，+ ；。，一f - s ，；, + f s i 。+ ；一1 7 t s ，一； 1 - 5 上式右端各通量项的计算都是类似的，例如： f s b ； f l ( q1 s1 ) ，j _ j，j j “l ( ql s1 ) + p1 sl 7 j。，j j。，o j卜j 。，一i v l ( ql s 】) + pl s1 2 ，7 j。1 j i1 j 一一j。一i ( 1 6 ) 其中垂直于网格单元边界的面矢量s 。存在两个方向的投影分量( s ”，s 2 ) 。一j 所有带分数下标的物理量的计算均取相邻量的平均值，例如： f 一= f g ( w j 。，+ w ，。) ) ( 1 7 ) “2 本文采用中心格式的有限体积法，如( 1 6 ) 式，因此空间离散格式对均匀 直网格具有二阶精度。对于一般曲线网格，格式的精度取决于网格的光滑程度。 如果网格足够光滑，即网格的形状和大小都不发生突变，则格式的精度近似二阶 自勺。由于本文工作主要面对二维低速不可压问题，扰动波的传播速度很快，因而 对网格的质量要求比较高。 西北t 业大学碗j 学位论文 1 3 2 人工耗散项的计算 引人拟压缩i 负的控制万程由于米削确限体积祛中心格式( 1 - 4 ) 式小具备耗 散性，因而本文参照可压缩e u l e r 方程使用人工耗散项，加入一些高阶导数项， 以避免出现解的波动现象，使数值解完全地收敛到稳定状态，z i ， 七滑的压力分 布【7 d o l 。 引入高阶人工耗散项后，( 1 - 4 ) 式写成： 石d ( ，w ，抄q 。一d 。= o ( 1 8 ) 耗散因子d 。的定义和可压缩方程相同： d , o 2 d j i ，- d 一；，+ o ，+ ；一d ，。一； 1 - 9 上式右端各耗散通量项的计算都是相似的，例如： d ，+ ；，2 n ，+ ；， e 葛，c w 扎，一w 。，一e 笔，( w i + 2 d - 3 w j w + s w ，一w f 斗 ( 1 1 0 ) 用向前差分算子表示上式，可以写成： d 巾一心，w 一驴一0 ，) 征，+ ：。是使耗散通量项具有适当大小的比例系数，按c o “，口 ，数取单位值作估计： q 哇广圭c 若+ 若， a t 。是控制体k ，所允许的时间步长极限。s ( 2 1 和s ( 4 1 是测量当地流动梯度的敏感 系数，定义为： s 墨，= 女壮m a x o 托) ，+ = ， ” ” 占( ”：m a x ( o ，一占( z ) ( 1 - 1 3 ) i - 壬，j 其中七”，七4 是常数，而一。定义为： 一，j =j p 。，- 2 p 。，+ p 。， p,1+。,s。+2p,“,s1+。1。p。i-lj ( 1 - 1 4 ) 西北工业大学硕七学位论文 在可压缩流动中，一阶耗散主要用于捕捉激波。而在低速流动中并不存在激 波，所以主要是三阶耗散项在光滑流动区域起作用，从而得到光滑的压力分布。 1 4 时间积分 积分彤式的e u l e r 万程经过至i 白j 岛敖，并引人人工粘性i 贞后，司以写成： 罢w u ”f o( 1 1 5 ) 其中 _ ，= 古一d 。) ( 1 - 1 6 ) 因子p 为( 1 1 5 ) 式的残值。( 1 - 1 5 ) 式是关于时间变量t 的常微分方程，本文采 用五步r u n g e k u t t a 显式多步法推进求解“1 。 叫o ) = w 0 叫? = w 孑一口。f 咄 w 7 = 呱卜口：峨? w 学= w i 0 ) 一口3 f p 0 ( 1 1 7 ) 叫4 ) = 哪卜g t 4 a t p , ( 3 j ) w j ( = w 。( o 一g ，州夕 w 1 = 叫5 ) 其中口为r u n g e k u t t a 系数，取值大小为 口- = 百1 ，口：= i 1 ，a 3 = ；，t 2 4 = 圭，口，= c ，一1 8 ) 口- = 百口：= i ，= i ，= j ，口s = l ( 1 一 1 5 稳定性条件 显示格式的时间步长a t 要受到稳定性条件的限制 e u l e r 方程，可以证明有： ，s 五f 埘+ 幽 。 ia x每j 对于直角坐标系下的 ( 1 1 9 ) 西北工业大学硕士学位论文 其中五是c o u r a n t 数，爿。| l a 2 | 分别是下列j a c o b i a n 矩阵的谱半径， 铲旦0 w 铲嘉 a w 在附录a 中详细推导了上述矩阵的特征值。将特征值代入( 1 - 1 9 ) 式得： ，五f 垃+ 垃 l a x a y j a ，a ，是当地人工音速a 对于曲线网格，采用参考文献 1 2 的处理方法： 。，=五一。，li-，s；，iriq。，s，+；lri a ，s 。+ ；。，l i a y i , j - s i , j + ；l 一 ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 如果坌、梳场便用统一时i 司步长，则匝陔取 a t = m i n ( a t u ) ( 1 - 2 2 ) 使用当地时间步长的二维e u l e r 方程相当于求解以下改动的控制方程： 昙w + 舀 + 似f - f o + 专c g g ， = 。 c - 2 ， 方程中系数西是变化的，并且包含非物理的拟压缩项土f l 至o t ，由此可见，收敛前 的数值解并不代表某一时刻的真实解，因而没有明确的物理意义。只有当方程收 敛到定常解时， 西 + 晏c f f ，+ g - g , ) ) = 。( 1 - 2 4 a ) 去望：o即塑+ 宴：o (124b)oto x 咖 、一 定常解与时间无关，数值解爿+ 有实际的物理意义。 1 6 边界条件 控制方程进行空间离散时，一个重要的问题是各类边界的处理，处理不当将 会引起计算结果的不精确或求解过程的不稳定。本文在计算中包括物面边界、周 1 0 塑韭三些查兰塑主鲎竺笙兰一 期性条件( 网格割缝条件) 和远场边界。 1 6 1 物面边界条件 在绕流物体( 如翼型和平板) 的表面上，e u l e r 方程要满足的物理条件是壁 面无穿透条件，即在物面上法向速度为零： q n = 0 ( 1 - 2 5 ) 将上式应用于e u l e r 方程的通量计算，发现在物面的对流项积分只剩下压强项的 积分。因此，在处理物面边界条件时，需要给出物面上的压强。物面压强可由法 向动量关系式或采用内场外插公式得到。本文采用后一种方法来得到物面的压 强，所用到的公式为三点外插公式： 胪( 去i s 咱2 ) & ，一( 去去) p i , 2q - ( 去去塘1 - 2 s ，f 3 一凡s 2 一文 1 s 3 一s 2s 2 一毛s 3 5 25 3 5 1 下标8 表示物面上的边界点g = 1 ) ，j ，( ，：1 ，2 ，3 ) 代表物面附近网格单元离物面的 z 。 距离( 见图2 ) 。 f ( f ，3 ) s 0 0 2 5 图2 1 2 压力云图( n a c a 0 0 0 8 ) x 图2 1 3 速度分布图( n a c a 0 0 0 8 ) 堕! ! 三些查兰堡兰：兰垡笙墨 00 8 00 7 0 o0 5 0 0 4 0 o0 2 砷0 1 o m 0 - 9 0 2 m0 3 旬蹦 - o0 5 幻5 m 0 5 x x 图2 1 4 翼型前后缘速度分布图( n a c a 0 0 0 8 ) 4 7 西北工业大学硕二b 学位论文 o l = 4 0 图2 1 5 流线图( n a c a o 0 0 8 ) 4 8 o 【= 60 一一 亘韭三些查兰堡主兰竺笙苎 _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ - - _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ 一 第三章二维非定常不可压e u l e r n s 方程的拟压缩方法求解 3 1 控制方程 任取一个体积为y ( r ) ，边界为o r ( t ) 的控制体作为研究对象，对该控制体应 用质量守恒定理和动量定理，则引入拟压缩项的二维非定常n s 方程如下 螃砌矿+ 少。n 豳一乒嘏= 。 ， 其中，v 是以o v 为边界、任意选定的控制体。该方程对固定和运动的控制体均 适用。对于非定常流动，可将方程( 3 - 1 ) 化为更适合应用的有限体积形式。 令q 。为控制体边界运动的速度矢量，和分别为该速度矢量在x ，y 方 向的分量，即有： q 。i i b + v 6 f v 对任意控制体1 6 1 ，有： 丢舻矿= 螃w 肌倘 z ， 上式代入( 3 1 ) 式，则控制方程组如下 1 6 1 1 7 】： d 出f f w d ( r - w q b ) n d s - 删= o ( 3 - 3 ) 其中 w = f w - q 6 = 卢( q q 。) u ( q q 。) + p i u ( q q b 1 + p 7 l y e = 牛 0 1 搿 t y y ( 3 - 3 ) 式就是引入拟压缩项的非定常粘性流动控制方程，此方程对任意的惯性 坐标系均成立，( 3 - 1 ) 式和( 3 3 ) 式等价。方程( 3 3 ) 式去除粘性项f v 就是非定 常e u l e r 方程，为了避免重复叙述，本文对非定常e u l e r 方程不作详细介绍。 一 p b 西北工业大学硕十学位论文 3 2 空间离散和时间推进 非定常n s 方程的空间离散和定常n s 方程相同，具体请参n 2 3 。 非定常粘性流动计算如果采用显式时间方法，为了满足稳定性条件，只能选 取全场最小的控制体时间步长，因而计算效率很低。为了提高计算效率，非定常 粘性流动计算通常采用隐式时间推进方法。传统的隐式方法可使数值计算的物理 时间步长不再受稳定性条件的限制，但需要求解矩阵方程，耗费大量的计算时间。 为避免求解矩阵方程而耗费大量的计算时间，提高计算效率，本文采用另外一种 隐式方法“双时间推进法【1 8 】1 2 0 1 ”来求解隐式方程。双时间推进法是 指在每一个物理时刻对伪时间进行类似于定常问题推进求解的方法。对每一个物 理时刻的伪时间迭代求解，其计算稳定性只受伪时间步长影响，而与物理时间步 长无关。换言之，使用双时间推进法时，物理时间步长可根据计算精度的需要任 意选取。参照( 卜1 5 ) 式，可得以下非定常时间推进的微分方程： 丢( ) + r 。- o ( 3 - 4 ) 其中 r u2 q c u + q d u d u 假设第h 个时间步的流场参数已知，则在第n + 1 个时间步对( 3 - 4 ) 式进行 时间离散，可以得到控制方程的隐式离散格式： a ( v 5 + w j ? 1 ) + r 慨1 ) = 0 ( 3 - 5 ) 式中，上标”+ 1 表示0 + 1 ) a t 时刻。时间微分算予采用二阶精度的三点向后差分 格式表示，即： 鲁( 吲呀1 ) _ 型w n + l n + l 4 秀产n n - i n - 上式代入( 3 - 5 ) 式中，得到如下方程： 燮鲨= 警竺翌w n + t ) ：o ( 3 - s ， 2 f 7 直接对( 3 6 ) 式进行求解，在非定常计算中称为“隐式求解”。将( 3 6 ) 式的 左端重新定义一个新的残值： 西北工业大学硕一学位论文 r + m 1 ) = 篓翌芝型型+ r 阮1 ) ， 需要特别况明的是，根据低速不可压流动散度为零的条件，本文将( 3 - 6 ) 式 和( 3 7 ) 式中连续性方程的时间差分直接取为零。引入解矢量对伪时间f 的导数， 得到如下方程： 嘿t 掣+ r 慨t ) ：o 8 ) i j d f 、i i ； 这样，在每一个真实的物理时刻0 + 1 ) a t ，都对应一个物理时间f 和伪时间f ， 并且对伪时间f 推进到定常状态一d w d ，, , r f l = 。，此时r + ( 霄1 ) = 。，即得到( 3 6 ) 式的解。因此，( 3 6 ) 式的求解就转化为将( 3 8 ) 式对伪时间f 推进到定常状态。 伪时间f 的推进求解过程被称为内迭代过程。本文采用五步混合r “馏p ，缸f r f 口格 式对伪时间f 推进求解： w ：l 譬1 r 叫? = 嘴q a 7 i , i r * ( w ( o ，) 嘴2 畔飞静r ) 叫? = 哪；l 吒两z i , jr ；) ) ( 3 - 9 ) 嘴2 畔飞可a 7 j , j r 嘲) 叫5 ) = w 口，鲁r ；，) ( 州+ 1 r ：w 只 其中口，系数取值大小为： 口= i 1 ，口：= i 1 ，a ，= ；，口。= 圭，口，= 口2 i 口：2 i ，a ，2 i ，口- 。j ，口s 。1 式中上标m 指的是对伪时间f 。推进的次数。伪时间的步长受计算的稳定性条件 辗制，在每个控制体上所对应的伪时间推进步长f 2 f l 为： 西北工业大学颂l 学位论文 = m i n i a t 堡：竖丝l (3-10)i , j l 石砖等j 。删 其中，旯f 和厶分别为通量j a c o b i a n 矩阵的谱半径。 为了给每一个物理时刻的计算事先提供个较好的初场，本文采用如下三点 插值公式对初场进行预估，即 w ：w n + 3 w - 4 w - 1 + w - 2 ( 3 1 1 ) 3 3 边界条件 1 ) 物面边界条件 非定常n s 方程依然满足物面无滑移条件： q q 6 = 0 ( 3 1 2 ) 2 ) 远场边界条件 在非定常运动时，远场边界采用相对不变量，以减少扰动波反射的干扰， r ：= 华山。飞 。 耻 掣地飞 。 远场边界上的法向速度和压强为： 铲芝当+ g 。 风：堕坚三必 3 4 几何守恒定理 ( 3 9 ) 式中需要的控制体体积k 了1 可以通过控制体节点的坐标来求得，但 这样做会因为控制体的运动而引入误差。为了避免这种误差，本文引入了几何守 西北工业大学硕士学位论文 恒定理，兵表达式如r ： 亳饕积一争h 喁妊o ( 3 - 1 4 ) 采用与离散控制方程相同的方法离散( 3 1 4 ) 式，得： 翌! 窖翌一，? j t ：o (3-15)2af 。 其中 彬：规t + 孵掣) 上式中，川是每个控制体所具有的边界的编号( 共有4 个边界) ，而x 0 1 、y , 7 则 分别是在( + o a t 时刻，第m 个控制体边界在x 、y ：b - n 的速度分量。因而，由 ( 3 1 5 ) 式可求出一7 为： k 了：4 v , ；- g , 7 1 _ + 2 a t g ( 3 - 1 7 )j ， 7 在每一时刻开始时，一旦网格确定，孑就可以求出。因此，用以上方法求解一岁 是显式方法。 3 5 算例分析 当三维机翼做扑动运动时，沿机翼展向对应每个翼剖面的运动均可由两个基 本翼型运动( 俯仰运动和沉浮运动) 组合而成，因而本文只研究这两个运动对翼 型气动特性的影响。翼型的周期运动频率采用减缩频率k 定义，七与圆频率的 关系为： k ：兰生：坐 2 u 。u 。 上式中，为运动频率，c 为弦长，u 。为远场来流速度。 沉浮运动位移和时间f 的关系： 爿( ，) = ac o s ( 2 ，听) 蔓整三整查篓篓! ：翌篓鎏茎 ，一 糖浆运动公蕊为： c e ( t ) = 拉o + 搿 c o s ( 2 移+ 妒) 怒平均谶角，“分粼媳德仰角振帻和沉浮运动酶位移振槎，妒为翘贻相位 擐。裴建誉滚动诗黪熬瓣穆单元均为t 6 0 x 3 2 ，割蟪处菇1 6 拿单元。曳秀灌敷 参考文靛兜铰，笼糖饕定零浚秘取m a = o ；3 。 鹊3 - 1 逶韵 算铡9 雾铡9 翻用n a c a 0 0 1 2 翼怼髯寸菲东鬻e u t e r 程序避费了验涯，其巾参考数 攫取叁文献【2 2 】。逡魂参数分别淹：k = - 0 + l ，a = i ，强= 碡。，梦= 9 0 。 图3 1 ( a ) 、3 1 渤癸澍给蹬了一个餍裁肉不同平均迩角对应的平均升力蓉教和 警均隧为系数陡耩壹闽交饶静规臻。妇霭巾可敬番巍，舟力系数和邋力系数静变纯 比翼型的运幼藩鹾一个楣像。鼹3 ，l ( a ) 蠛啖在甄。0 。时，平均嚣力系数为零。图 3 1 ( b ) 浚爨举鹭逮蕉台影l 爨黼力系数静交纯黼簿。姿平均遴霜为零辩，冀鳖运动 蕊童行稍降e 。鄂帮下嚣( 蛹降0 ，s 1 ) 过程懿淹力系数左右辩称，麓受受数，静崮 蕊了稚力：警警筠逑角爝姗时，下行遥稳的推力变大，衙上牢亍过程刚出现黻力。 这一现象葶弱鸟类的飞行瓿联很穗遥，烈强下芎亍上行_ i 窭程接力和黻力魏产象撅理， 鸟类通潋改变飞行姿态和运动参数就能产生足够的舞力靼接力。平均势力系数稆 孚搦阻力系数魏乎均逮建粒变纯见旋t ，著与参考文献毒霉了比较。逶逯跑轻，验 嚣能工韭天学赣二l 二学垃论文 涟了拟聪缩方法求鳃非定常流场的可行瞧。且出于本文采用的楚不可鼹控制方 程，与参考文献【2 2 】的可压缩方法相比，本文方法更适于模拟低速的二维流动。 袭1 甜o c l c l