（通信与信息系统专业论文）多模干涉型光耦合器研究.pdf

摘要 随着光通信系统朝着高速率、大容量方向发展，开发出性能优良的集成光学 器件已经成为人们的迫切需求。多模干涉型光耦合器以其结构紧凑、频带较宽及 对偏振不敏感等特点，已经得到了越来越广泛的应用。 传统多模干涉理论基于强限制型波导结构，在分析弱限制型器件时存在着较 大误差。本文首先介绍了介质波导理论和光波导数值模拟方法：束传播方法 ( b p m ) ；然后在传统理论的基础上，以弱限制型1 4 多模干涉耦合器为例，综 合考虑不同模式的等效宽度，提出了计算多模波导长度的三种优化方法，并运用 b p m 对不同厚度的耦合器的输出性能进行了模拟。结果表明，优化方法均使得器 件损耗、均匀性和综合性能得到了明显提高，达到了优化的目的。最后，以光开 关和相位阵列波分复用解复用器为例，探讨了多模干涉耦合器的应用。 关键词：集成光学束传播方法多模干涉 a b s t r a c t a l o n gw i t h t h ed e v e l o p m e n to fo p t i c a lc o m m u n i c a t i o ns y s t e m st o w a r d h i g h 一印_ e c da n dl a r g e - c a p a c i t y , t h ed e v e l o p m e n to f h i g h - p e r f o r m a n c i n t e g r a t e do p t i c a l c o m p o n e n t sh a sa l r e a d yb e c o m ep e o p l e su r g e n td e m a n d t h em u l t i m o d ei n t e r f e r e n c e o p t i c a lc o u p l e rh a so b t a i n e dm o r ea n dm o r ew i d e s p r e a da p p l i c a t i o nf o ri t sc o m p a c t s t r t t e t u r e ，w i d eb a n da n dp o l a r i z a t i o ni n s e n s i t i v ec h a r a c t e r i s t i c s t r a d i t i o n a lm u l t i m o d ei n t e r f e r e n c et h e o r yi sb a s e do nh i 曲一c o n t r a s tw a v e g u i d e s t r u c t u r e , a n dt h e r ei sr e l a t i v el a r g ea m o u n to fo r r o rw h e ni ti su s e dt oa n a l y z et h e l o w - c o n t r a s tc o m p o n e n t s f i r s t l y , t h i sa r t i c l ei n n o d u c e sd i e l e c t r i cw a v e g u i d et h e o r y a n dn u m e d c a ls i m u l a t i o nm e t h o do f o p t i c a lw a v e g u l d e ：t h eb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ( b p m ) t h e n , t a k i n gt h el o w - c o n t r a s tl x 4m u l t i m o d ei n t e r f e r e n c ee o u p l e ra sa n e x a m p l e ，o nt h eb a s i so ft h et r a d i t i o n a lt h e o r ya n dc o n s i d e r i n gd i f f e r c n te q u i v a l e n t w i d t h so fg u i d e dm o d e s ，w ep r o p o s et h r e ed i f f e r e n to p t i m a ld e s i g nm e t h o d sa n d e m p l o yb p m t oc a r r yo nt h es i m u l a t i o no fc o u p l e r s p e r f o r m a n o r e s u l t si n d i c a t et h a t t h e p m p o s e do p t i m i z a t i o n m e t h o d sh a v ee n h a n c e dt h el o s s , u n i f o r ma n d c o m p r e h e n s i v ep e r f o r m a n c eo ft h ec o u p l e r sg r e a t l yf i n a l l y , t a k i n gl i g h ts w i t c ha n d p h a s ea r r a yw a v e l e n g t hd i v i s i o nm u l t i p l e x i n g d e - m u l t i p l e x i n ga se x a m p l e s ，w em a k e f t n t h e ri n l r o d u c t i o no f t h ea p p l i c a t i o n so f m u l t i m o d eo p t i c a lc o u p l e r s k e y w o r d ：i n b o a r do p t i e s b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o dm u l t i m o d e i n t e r f e r e n c e 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：五隧日期：! 嘟玉尘 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 垒查日期：巡! ：丝 日期：型：丝 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题的目的和意义 近年来，随着p 业务的迅猛发展，电信领域各种宽带业务层出不穷，人们期 望能在电信网上实现更高质量保证的宽带业务，光网络的建设被认为是理想的解 决方案。 在长途骨干网领域，随着光传输技术的成熟和发展，世界范围内出现了干线 传输网络的建设热潮，传输带宽、传输容量快速发展。过去的几年中，世界网络 带宽需求的年增长率都保持在5 0 1 0 0 ，而我国干线业务量和带宽需求的年增 长率更是超过2 0 0 。2 0 0 6 年，我国长途干线传输网的带宽需求达到5 t b s ，而且 这种需求还在继续增长，大大刺激着长途层面光通信技术的发展。2 0 0 7 年3 月， 阿尔卡特朗讯宣布成功在单根光纤上实现2 5 6 t b s 的传送速率。在超长距离方面， 国际水平已经达到3 7 3 t b s 系统传输1 1 0 0 0 公里，6 4 t b s 系统传输3 2 0 0 公里。 在接入网领域，随着宽带接入用户对视频业务、v o d 、腰、h d t v 及互动 游戏等业务需求的不断增长，对带宽需求也同样呈现出不断增长的趋势。用户需 求市场调查结果显示，为满足接入上述业务的需求，到2 0 1 0 年高端用户的下行接 入带宽需求将会达到2 0 m b 3 0 m b ，而到2 0 1 5 年则需要5 0 m b 1 0 0 m b 的带宽。 这显然是目前以电话线为依托的a d s l 的2 m 3 m 带宽所不能支持的，因此对以 无源光网络( p o n ) 等技术为支撑的f f t h 等光纤接入技术的需求无疑是巨大的。 日前，日本光纤到户数已突破1 0 0 0 多万，并且仍以每年5 0 到6 0 的比例增长， 预计到2 0 1 0 年将达到3 0 0 0 万用户。在美国，截至今年第三季度，已有2 1 4 万美 国家庭实现了光纤接入。 随着光纤通信系统的发展，光器件的发展也同样面临着机遇和挑战，如何开 发出性能优良、价格低廉的光器件已经成为人们所面临的首要问题。在光通信用 各种器件中，光耦合器是一类能使传输中的光信号在特殊结构区域内发生耦合， 并进行再分配的器件。正是由于耦合器的这种特性，从波分复用( w 7 d m ) 系统 到无源光网络( p o n ) 系统，光耦合器都具有不可替代的重要地位。 光耦合器按照结构和制作工艺可分为熔融拉锥型和波导型，波导型光耦合器 具有体积小、重量轻、易于集成等特点，在集成光学中得到了广泛的应用。作为 波导型光耦合器的一种，多模干涉( m m i ) 光耦合器以其结构紧凑、低的插入损 耗、频带较宽、制作工艺简单、容差性好及对偏振不敏感等特点，已经越来越多 2 多模干涉型光耩合器研究 地应用于光通信系统中。传统m m i 型器件多为s i 基【1 】或g a a s 基 2 】强限制( 芯层 和包层折射率差较大) 脊形波导结构，强限制型m m i 耦合器性能较好，但同时 具有带宽小和性能参数对宽度依赖强两个缺点。这需要制作时对多模波导宽度的 精确控制，而带宽对应用于光网络的光器件来说是一个相当重要的指标。 目前，大多无源器件多为二氧化硅基等弱限制( 折射率差为o 0 0 5 0 0 1 ) 器 件，为了使m m i 器件能够与各种无源器件集成和耦合，弱限制型m m i 器件的研 究已经成为一种必然。由于传统m m i 理论在设计弱限制型器件时存在缺陷，使 得计算出m m i 区域的长度输出光场性能并不理想。本文旨在利用数值模拟方法， 在传统理论的基础上，针对弱限制型m m i 耦合器进行优化设计并对不同厚度器 件的性能进行分析。 光器件的模拟计算是在一定的数学物理模型基础上，通过求解波动方程来模 拟光波在器件中的传输特性，而光器件的优化是指在一定的工艺条件下，通过改 进器件结构来实现器件性能的提高。波导型器件的制作过程相当昂贵，为了提高 器件研发的效率同时减少人力、物力等资源的投入，光器件的模拟和优化在器件 制作过程中有着很重要的作用。 1 2 国内外研究状况与进展 1 2 1 集成光学的发展和前景 集成光学基于薄膜能够传输光频波段电磁能量的原理，故其诞生主要受微波 工程和薄膜光学的影响。在1 9 6 2 年前，平面介质波导已应用于微波工程中，但直 到1 9 6 5 年才由a n d e r s o n 和他的研究小组把微波理论和光刻技术结合起来，制作 出应用于红外区域的薄膜波导和其它平面器件和光路。1 9 6 9 年，贝尔实验室的 s em i l l e r 首次提出了“集成光学”( i n t e g r a t e do p t i c s ) 的概念i ，j 。 上世纪九十年代，光通信系统朝着接入网、宽带网、密集波分复用系统和全 光网方向发展。一根光纤中传输数十甚至数百个波长的光束，每一波长的高速率 信号在传输过程中都要进行发送、合波、分波、均衡、放大、再生、交换、选择 和改变路由，还需要对传输信号参数进行实时监控和动态调节。在如此众多功能 面前，光器件之间连接和耦合交得难以实现，传统分立光器件构成的光通信系统 已经无法满足人们的需求。 为满足光通信系统的上述需求，急需发展低成本、高性能、高集成度的光器 件。平面集成光波导技术正是满足上述要求极具发展潜力的技术之一。随着光波 导理论及制作技术的发展，新材料、新工艺不断取得突破，平面光波导的应用也 第一章绪论 3 越来越多。 现在的集成光学已经不再是当初把几个光学元件集成在一起的简单概念，经 历了三十多年的发展，建立了自己的理论体系、实验方法和工艺手段，发展成为 一个集光学、激光、微电子学、光电子学、通讯、薄膜技术等为。体的独立的边 缘学科。随着信息高科技时代的到来，在“集成光学”自身理论、材料、工艺、 器件及应用等诸方面飞速发展的同时，又不断地从光学、激光、微电子学、光电 子学、通讯、薄膜技术等相关学科的发展中汲取丰富的营养，使得“集成光学” 日益充满活力和生机。 光波导是集成光学的重要基础性部件，它能将光波束缚在光波长量级尺寸的 介质中。用集成光学工艺制成的各种平面光波导器件，有的还要在一定的位置上 沉积电极，两端接上电压，用以控制在波导中传输的光波的相位或强度。光信号 在光波导中耦合、传输、调制，而后经光波导再与光纤或光纤阵列耦合输出。用 光波导可构成包括光源、探测器、调制器、分束器、透镜和反射镜等一系列有源 和无源光波导器件。采用类似集成电路的微加工技术，将光波导器件和光波导集 成到同一衬底上，从而构成具有特定功能的集成光学回路。这种集成光学系统与 传统的光学系统相比，具有体积小、重量轻、结构紧凑、抗干扰能力强、机械及 环境稳定性好、寿命长、无需人工对准、适宜于平面工艺大批量生产以及可以利 用微电子长期发展的工艺和设备，降低研发周期和生产成本等优点。 发展到今天，集成光学所用光波导器件主要分为四种基本类型：铌酸锂镀钛 光波导、硅基二氧化硅光波导、i n g a a s p i n p 光波导和聚合物光波导。 铌酸锂晶体的电光、声光及非线性光学系数较大，材料的化学性能稳定。其 晶体生长成本低且易长出大尺寸的单晶，适合制作各种调制、耦合和传输元件， 但不能做光源和探测器，是集成光学最常用的晶体材料。铌酸锂镀钛光波导的主 要工艺是：首先在铌酸锂基体上用蒸发沉积或溅射沉积的方法镀上钛膜，然后进 行光刻，形成所需要的光波导图形，再进行扩散，可以采用外扩散、内扩散、质 子交换和离子注入等方法来实现。最后沉积上二氧化硅保护层，制成平面光波导。 该波导的损耗一般为o 2 o 5 d b e m ，调制器和开关的驱动电压一般为1 0 v 左右。 一般的调制器带宽为几个g h z ，采用行波电极的铌酸锂光波导调制器，带宽己达 5 0 g h z 以上。 硅基二氧化硅光波导是2 0 世纪9 0 年代发展起来的新技术，其制作需要沉积 较厚的二氧化硅层，通过加入锗等掺杂剂，或者是加入氮气生成氮氧化物，可以 对膜层的折射率进行调整。此外还可以在氧化物中加入其它物质，如加入硼和磷 即可生成硼磷硅酸盐玻璃( b p s g ) 。国外该技术已比较成熟，其制造工艺有：火 焰水解法( f h d ) 、化学气相淀积法( c v d ，n e c 公司开发) 、等离子增强c v d 4 多模干涉型光耦合器研究 法( f e c v d ，朗讯公司开发) 、反应离子蚀刻技术( r m ) 、多孔硅氧化法和熔胶 凝胶法( s 0 1 g e l ) 。该波导的损耗很小，约为o 0 2 d b e m 。 基于磷化铟( h 1 p ) 的i n g a a s p i n p 光波导可与l n p 基的有源与无源光器件及 i n p 基微电子回路集成在同一基片上，但其与光纤的耦合损耗较大。 聚合物波导的热光系数和电光系数都比较大，很适合于研制高速光波导开关、 阵列波导光栅等。聚合物材料可淀积在任何半导体材料上，为制作电光调制器提 供了方便。此外，由于聚合物的相对介电系数低，为制作高速宽带行波结构提供 了方便。由于有机聚合物的制备工艺与半导体的相容，因而器件的制各非常简单， 为集成光学低成本批量生产打下了基础。 在各种集成光学器件中，用于光通信的器件已经取得了长足的进步，并具有 了一定的规模。目前光通信应用最多的平面光波导器件有：光耦合器【4 】【5 l 、光开 关嘲、阵列波导光栅 7 1 和可变光衰减器1 8 1 。 现在，集成光学器件还处于研究开发阶段的初期，集成的规模、器件的性能、 市场的规模远不能和微电子器件相比。但是，光通信的发展呼唤着功能更全、指 标更先进的集成光学器件。作为2 1 世纪光通信网的关键元件，集成光学器件将占 据很重要的地位。 1 2 2 多模干涉型器件的研究进展 早在1 8 3 6 年，t a l b o t l 9 1 就发现周期性排列的物体被相干光源照射时可以产生 自成像。1 9 7 2 年，m a r e u s e 【lo j 发现渐变折射率波导可以周期性地产生物体的实像。 接着b r y n g d a h l t l l 】于1 9 7 3 年提出均匀折射率平板波导也可以得到自镜像，随后 u l r i c h t “1 明进一步阐述了这一原理。 波导模式间的相长性干涉是m m i 器件最基本的工作原理【l 鲋。可以简单地描 述为：在多模波导中，沿着波导的传播方向，将周期性地自复制出输入场的单像 或多像。m m i 器件的关键结构是能传输多个模式( 一般大于3 个) 的一段多模波 导，为了使光能够输入和输出，必须在多模波导的起始端和终止端设置一些单模 波导。由1 个多模波导和若干个分别用于输入、输出的单模波导便构成了m m i 耦合器。 分析多模干涉的方法有非模式分析法和模式分析法。非模式分析法包括几何 光学法、混合法和束传播方法等，这些方法的分析过程比较直观，但并没有从根 本上解释多模干涉现象的物理机理；模式分析法则直接从多模波导中被激励起来 的模式出发，通过分析各个模式在波导内的传播情况( 包括各个模式的振幅和相 位) ，根据所有导模相叠加来获得不同位置处的光场分布。模式分析法又可分为全 第一章绪论 模式传输分析法和导模传输分析法。前者是分析m m i 现象较为全面的方法，它 的基本思路是先算出所有模式的场激励系数，然后将所有模式叠加，- 以此对多模 波导光场性能进行分析。这种方法不仅提供了数值模拟和设计的基础，而且还从 本质上揭示了多模波导实际表现为加咀的机理，该方法的缺点是相对来说比较 复杂。后者和前者的主要区别在于它不考虑辐射模的影响，把输入场看成所有导 模的线性组合。这可以使分析变得简单，而实践证明它又能提供足够精度的分析 结果。因此，后者是一种有效的分析方法。 如今，随着技术和工艺的进步，多模干涉型器件已经得到了长足的发展。除 构成基本的m x n ( m 、n 可以取不同的整数) 耦合器外，还可以设计出具有3d b 耦合功能和干涉功能的耦合器单元，制成1 n 光功分器、n x1 光合波器、t e t m 模式分离器和模式转换器等。由此也可以作为一些有更强操作性能光波导器件的 组成部分，如马赫曾德尔干涉仪型光开关口、相位阵列波分复用解复用器、波 长选择性光开关、多信道上下载光复用器、半导体环形激光器、环形振荡器和相 干光横向滤波器等。可见，m m i 器件几乎参与到了每一个复杂的器件或小系统中， 它是集成光学重要的组成部分。 目前，针对多种材料m m i 器件的研究已经受到了国内外广泛重视，预计在 今后将会有更多、更新的理论及新型器件研究成果出现。 1 3 本论文主要内容 本论文主要以弱限制型波导结构为例，针对多模干涉型光耦合器进行了理论 研究，下面分章节介绍本文主要内容： 第二章介绍介质光波导理论。从m a x w e l l 方程出发，首先推导了二维平面波 导中的光场分布，分析了平板波导中单模和多模条件；而后针对三维矩形波导， 介绍了两种近似处理方法：马卡梯里法和等效折射率法。前者给出了不同区域内 光场分布，后者则可以方便求出导模的传播常数。 第三章主要介绍了光波导的数值计算方法：束传播方法( b p m ) 。b p m 直接 对波动方程进行数值求解，同时需要考虑一定的边界条件。首先分析了近轴b p m 和广角b p m 的差异，介绍了两种广泛应用的边界条件：t b c 和p m l ，然后给出 了边界条件在不同仿真场合的选取原则。 第四章的主要内容是多模干涉原理。以导模传输分析法为基础，根据传统理 论，对多模干涉一般成像规律进行了分析。 第五章的主要内容是多模干涉耦合器的优化设计与应用。首先分析了传统理 论应用于弱限制型m m i 器件的不足，并依据等效宽度的概念提出了三种优化设 6 多模干涉型光藕合器研究 计方法，然后利用b p m 对三种不同厚度的波导进行了仿真。通过比较优化方法 和传统方法在损耗、均匀性以及综合性能上的差异，证明了优化方法的有效性。 最后以m m i 型光开关和相位阵列波分复甩解复用器为例，对m m i 耦合器的应 用傲了进一步探讨。 第六章是对论文的总结和今后工作的展望。 第二章介质光波导理论 第二章介质光波导理论 介质波导是导波光学系统最基本的单元，主要起限制、传输、耦合光波的作 用，是构建集成光路和半导体激光器的主要组件。用于集成光学器件中的介质波 导按照截面形状大体可分为两大类：平面波导和条形波导。平面波导的特例是平 板波导，它的折射率分布为阶梯状，其中三层平板波导是结构最简单的光波导， 平板波导理论也是分析其它复杂波导结构的基础。条形波导主要有矩形波导、脊 形波导、沟道波导等，其中矩形波导功率损耗小、制作容限大，在有源和无源光 器件中得到了普遍应用。 本章主要以集成光学中的基础性元件：平板波导和矩形波导为例，介绍了二 维和三维波导的分析求解方法。 2 1 二维平面波导 2 1 1 阶跃平板波导中的光场分布 平板光波导又称为介质薄膜波导，在激光器中用作谐振腔，因此对它的研究 有很大实际意义。最简单的平板波导是淀积在基片上的一层介质薄膜，薄膜的折 射率比基片的折射率高。在与光波导传输方向垂直的平面内，平板光波导只在一 个方向对光有限制作用，另一方向没有限制作用。阶跃平板波导结构如图2 1 和 图2 2 所示，图中光波导芯层厚度为2 a ，折射率为，上下包层折射率分别为以， 和。波导在x 方向限制光传播，y 方向无限制，光传播方向为z 轴方向。因此， 通常可以用二维的波动方程来描述平板光波导【1 4 1 。 l 心2 l 斗 2 a y r l 图2 1 平板光波导结构图 i 以 。- 1 l aa x 图2 2 平板光波导截面折射率分布图 。多模干涉型光耩合器研究 对介质光波导，假设介电常数占= 8 0 n 2 ，磁导率= a o ， v 湛嘲筹 v = o n 2 a 芸e 根据m a x w e l l 方程 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 其中n 为折射率，只考虑平面波传播的情况，即 罾= 西o ，y ) e j “肛) ，h = 一h ( x ，y ) 一_ 一肛 ( 2 3 ) 将式( 2 3 ) 代入式( 2 。1 ) 和式( 2 - 2 ) ，得到光场各分量满足下式 鼍螂驴巾州i 哪卜鼍一鲰h ， 孕一孕：一鹏盈 盘o f _ o h , + 印瓦：j r o s o n 2 瓦 o f 一印瓦一譬o h = = 鹏n 2 巧 沼s ， 譬一i a h ；j c 0 6 0 r 1 2 e z 盘卯 在平板光波导中，由图2 1 可知，电场面和磁场面的分布与y 无关，因此有 。云a y ：0 和a 万a y ：0 。将两式代入式( 2 - 4 ) 和式( 2 5 ) ，可以得到两种独立的 电磁场模式，t e 模和t m 模。限于篇幅，本节只对t e 模的特性进行分析，t m 模可参考相关文献【1 5 】1 6 1 。 设真空中波数j = 吐 、压胁，求解式( 2 4 ) ，得到t e 模满足如下方程 j 2 f 等+ ( 七2 h 2 一2 ) b = o ( 2 - 6 ) n , = - 夕- - - - a , ( 2 - 7 ) 皿= 上c o a o 堕d x e l = e z = h f = 0 ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) 第二章介质光波导理论 9 从中不难看出，t e 模只包含三个场分量巨，王，巩，即电场分量仅存在于垂直于 光传播方向的平面内；同理，t m 模只包含三个场分量 0 ，疋，e ，磁场分量仅存 在于垂直于光传播方向的平面内。 通过解以上方程，便可以得到t e 模的各个电磁场分量。再结合边界条件， 便可推导色散方程( 也称作本征方程) ，来求解各模式对应的传播常数。考虑波导 横截面折射率分布如图2 2 所示的情况，传导电磁场被限制在芯层传播，而在上 下包层指数衰减，因此电场分布可以表述为 髟= 巨茹 a ) ( - a 工口、( 2 - 1 0 ) “ 口) 7 兰= - r a s i n o c x - f 5 ) ( - a 工力( 2 - 1 2 ) i 善4 c o s ( 枷+ ) 口 ( 肿时( 工 4 ) 根据d e , d x 在边界x = 口处连续的条件，有下式 j 州8 曲+ 妒) 2 弘8 十妒) ( 2 - 1 3 ) 【a a e o s ( r a - # ) = t e a s i n ( k a - 扔 设“= m a ，w = 和，w = d 口，可由式( 2 - 1 3 ) 得到色散方程如下 “= 等+ 圭t a n 。呼，+ 三t a n 。昏 = 警+ 主t a n 4 嗤卜吾t a n 。c 争 ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) 其中m = 0 ，1 ，2 ，对应t e 模的编号，m = 0 的模式称为基模，m = l 的模式称 为一阶模，其它模式依次类推。 在方程( 2 - 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 中，联系式( 2 1 1 ) 可知，方程求解本质为传播常 数和相位。通过求解方程，可以求得满足条件的m 值和对应的卢值，即为不 同模式序号和对应的传播常数。再将口值代入式( 2 1 0 ) ，便可求得不同区域内模 1 0 多模干涉型光藕合器研究 式的场分布情况，其中参数a 可通过归一化条件确定。 2 1 2 对称平板波导模式问题 对称平板波导即两包层介质折射率相等( n 。= ，) 的光波导，这种结构平板 波导由于制作工艺简单，在实际工程中得到了广泛应用。考虑到这种情况，可以 对上节中公式进行简化，本节主要对这种对称平板波导的模式进行分析。 假设= 心2 = ，将“= 枷，w = 和代入式( 2 - 1 1 ) ，便可得到旧 。 2 + = k 2 a 2 ( ，一) 1 ，2 ( 2 - 1 6 ) 由上式可知，当光波导结构参数( 珥，n o ，a ) 确定时，v 正比于真空中波数k ， 称为归一化频率。另外，随着v 值的减小。u ，w 都随之减小。当w 寸0 时，由式 ( 2 1 1 ) 可知，模式场不断向包层扩展，最后能量分散于广大包层空间，不能再 传播，这时称为该模式截止。可见，对于不同的模式，存在对应截止时的v 值， 这个v 值称为该模式的截止频率。 将w = w _ 0 代入式( 2 1 4 ) ，可以得到不同模式对应截止条件为 v ：r a 石 ( 所：0 , 1 ，2 ，) ( 2 1 7 ) 7 对于基模m = 0 ，对应截止频率v - - 0 ，这意味着光波导中的基模不会截止。其他i n 较大的模式称为高阶模，这些模式在的v - - h0 过程中均会截止。 由于基模不会截止，敌在0 y 万，2 时，只有基模在光波导中传播，这时称 光波导为单模波导( 实际上，在这个条件下，除t e 模以外还有t m 模，所以通 常所说的单模仅对一类模式而言) 。反之，光波导中能同时传导多个模式的波导称 为多模波导。另外，由式( 2 1 6 ) 可知，不同的工作波长也会对v 值产生影响。 因此，当光波导结构确定时，单模传输状态往往针对特定波长而言。在工作波长 变小的情况下，以往的单模波导有可能变成多模波导。 根据式( 2 1 6 ) 和式( 2 1 7 ) ，便可求得多模波导中能传输t e 模的个数。首 先根据波导结构和工作波长计算出v 的值，再根据式( 2 1 7 ) 求出不大于v 最大 的m 值，最后得到多模波导中导模个数为m + 1 。 2 2 三维矩形波导 与平板波导不同，三维矩形波导在x 和y 两个方向上都对光场进行了限制， 横截面及其折射率分布如图2 3 所示，它是由折射率较高的芯层和四周折射率较 低的包层组成。严格意义上的求解应分别列出九个区域内的场函数，然后利用十 第二章介质光波导理论 二个截面上的电磁场边界条件，求出导模的传播常数及其对应的场分布函数。但 这种分析方法数学处理十分困难，一般只能在一定的近似条件下求出满足条件的 近似解”。 本节主要介绍两种三维矩形波导的分析方法，马卡梯里法和等效折射率法。 马卡梯里方法利用简化的边界条件给出了五个区域的近似场分布，而等效折射率 法将矩形波导等效为两个平板波导的叠加，把三维问题转化为二维问题进行分析， 在实际工程设计中经常使用到。 2 2 1 马卡梯里分析 图2 3 三维矩形波导横截面示意图 马卡梯里( m a r c a t i l i ) 认为，如果模式场远离截止频率，光能量将高度集中 在芯层，那么透射到与芯层直接相邻的包层的能量很少，进入到斜线阴影区域的 光能量就更少，阴影区域可以忽略不计。在m a r e a f i l i 条件下，m a x w e l l 方程可以 通过沿芯层的四个匹配边界条件来求解，从而使得求解问题大为简化。 在矩形波导芯层区域，首先考虑e 和日，为主要分量的模式。在这种场合下， 认为式( 2 - 4 ) 和式( 2 5 ) 中日，= 0 ，得到该模式满足方程和关系式如下 粤+ 粤+ ( k 2 n 2 - 即0 ( 2 - 1 8 ) 1 2 多模干涉型光耦合器研究 置= 等q + 南等 匆= 瓦 1 而丽c 8 2 h y c ) 置：二堡 。a j 6 0 n 2 缸 皿= 吾等 另一方面，考虑易和以为主要分量的模式，即令式( 2 _ 4 ) 和式( 2 - 5 ) 中马= o ， 得到该模式满足方程和关系式如下 等+ 等嘶2 黔。 c 矾= o e = 一瓦1 万丽c 3 2 h x e ，= - a p u 。h ，一丽1 等 c 蚴， e = 专等 皿= 吾警 满足式( 2 1 8 ) 和式( 2 1 9 ) 的模式称为e ：模( p ，q 为正整数) ，e 和日，为 主要分量；同理，满足式( 2 2 0 ) 和式( 2 - 2 1 ) 的模式称为e ：模( p ，q 为正整 数) ，e 和h 。为主要分量。这两种模式是矩形波导中的主要模式，其中p ，q 分 别表示x 方向和y 方向的模序号。 下面以e 二模为例，分析推导该模式的色散方程和传播常数。 在图2 3 所示矩形波导中，考虑到横截面关于x ，y 轴对称，因此只需要分析 1 、2 、3 区域即可，解方程( 2 1 8 ) 可得到 h ，= a c o s ( k ：一妒) e o s ( k y y 一矿) 区域1 4 c o s ( t 口一矿) 矿“忙4 e o s ( k y y - i i z ) 区域2 ( 2 - 2 2 ) a c o s ( k ：一庐弦- r p ( 州c o s ( k , a 一矿) 区域3 第二章介质光波导理论 其中横向波数t 、圪、以以及光场相位声和y 满足下式 一砖+ _ j 2 谚一2 - - 0区域1 矿一砖+ _ j 2 2 - p 2 = o 区域2 ( 2 - 2 3 ) 一霹+ z + _ j 2 圪2 - p 2 - - 0 区域3 j 矿2 0 一1 ) 霈7 2 5 1 ，2 ，“) ( 2 - 2 4 ) 【矿= ( g 一1 ) z r 2( g = l ，2 , - - ) 根据m a r c a t i l i 对矩形波导中模式的定义，模数p ，q 从l 开始，正整数p ，q 分别表示沿x 和y 方向模式场电场分量峰值的个数。因此在矩形波导中，最低阶 模式占函州或r l 。，y 。表示在x 和y 方向上分别有一个电场峰值。丽在平板波导中 模数是从0 开始定义的，因此根据传统定义，平板波导中最低阶模式为t e = 。，同 样表示在截面约束方向上电场具有一个峰值。 根据边界条件，电场分量e 应在x = a 处连续，磁场分量只应在y = d 处连续， 结合式( 2 1 9 ) 和式( 2 2 2 ) 可得e ：模色散方程 妒，三一1 镪n 2 沼：；， 够2 ( g - i ) 争印 其中横向波数t ，七，以，和，满足 形2 ：。：2 。杉2 一k 2 2 ；：菩2 c z - z s ， l 形= 2 ( 杉一k ，一 “ 分别将式( 2 2 5 ) 第一式代入式( 2 - 2 6 ) 第一式，第二式代入式( 2 2 6 ) 第二式， 便可分别求得t 和七，的值。再将屯和屯代入式( 2 2 2 ) 和式( 2 2 3 ) ，即可得到 不同区域内玑的分布，再由式( 2 - 1 9 ) 可求得到模式场其余分量。 根据传播常数和横向波数的关系 2 = 七2 坼2 一( 砖+ | i ：) ( 2 - 2 7 ) 便可求得各阶模式的传播常数。 对于模，分析方法大致和相同，其皿分布和对应色散方程为 皿= a c o s ( k , x 一妒) c o “丸j ，一y ) 区域1 a c o s ( k ；a - 矿) e 一“。4 c o s ( 丸y - v ) 区域2 ( 2 - 2 8 ) 4 c o s ( k ：一妒) p h 4 c o s ( k y d 一妒) 区域3 多模干涉型光耦合器研究 如= ( ，_ 1 ) 詈+ e , d 吡哪三+ ( 2 2 9 ) 再结合式( 2 2 1 ) 便可求得模式场的全部分量，进而得到不同模式场的传播常数。 2 2 2 等效折射率分析 马卡梯里法虽然能够给出矩形波导符合截面的模式场分布和导模的传播常 数，但数学分析较为复杂，需要求解大量的偏微分方程。在实际工程应用中，常 常只需要了解导模的传播常数，在这种情况下，可以采用等效折射率法。 有效折射率法是求解三维波导的一种近似方法【l9 】，其实质是将波导横截面某 个方向上折射率的变化，通过适当的数学变换，映射到另一个方向，从而将待处 理的三维问题简化为二维问题。 以矩形波导为例，其基本出发点是将矩形截面的介质波导等效成两个三层平 板波导的叠加，如图2 4 所示。沿y 方向的三层平板波导的折射率为心，珥和； 沿x 方向分布的三层平板波导的折射率为，哆。和咒，其中，l 。为等效折射率。 图2 4 矩形波导等效为两平板波导叠加示意图 后者的传播常数即等效为原矩形波导的解。下面从式( 2 1 8 ) 出发，以矩形 波导为例来说明如何求得有效折射率和导模的传播常数。 以e 二模为例，式( 2 1 8 ) 另一种表达形式为 等+ 等帕2 瓴炉2 b = 。 ( 2 - 3 0 ) 等效折射率法的一个基本假设是可以将电磁场分量用分离变量表示成 亟织 蚀 纽 第二章介质光波导理论 日，y ) 2 x ( x ) y o , ) ( 2 - 3 1 ) 如果由于波导结构或工作光波长的影响，使得可分离变量不够精确，等效折射率 将很难满足对求解精度的要求。研究表明，三维矩形波导可以很好的满足这种假 设。将( 2 - 3 1 ) 代入( 2 3 0 ) 可得 i 1 万d 2 x + 专擎帕2 炉朗( 减， 从上式中分别加上和减去一个与y 无关的变量| ； 2 喀( 力，便可得到两个独立方程 f i 万d 2 y + 拶似_ ) ，) 一2 磅( x ) 】- o ( 2 3 3 ) 妄警毗2 略( 力】- o ( 2 - 3 a ) 强酊( x ) 称作等效折射率分布。对于矩形波导，截面折射率分布栉o ，y ) 如图2 3 所 示，则可首先通过解方程( 2 3 3 ) ，并结合z 方向上分量的连续性边界条件，得到 等效折射率分布强。( 力满足如下条件 由于模模式场与t e 模比较类似，模模式场与t m 模比较类似，通常 人们也将模称为t e 模，模称为1 m 模。 第三章束传播方法 第三章束传播方法 束传播方法( b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ，b p m ) 是一种模拟光场在光波导中 传播特性的重要数值方法，其特点是原理简单，计算量小，计算区域大。由于模 式解只适用于在光波传播方向上波导折射率分布不变的情形，但在实际光波回路 设计中，往往会碰到传播方向波导折射率变化情况，此时束传播方法便成为一种 有效可靠的数值模拟方法。 3 1 近轴b p m b p m 是一种在频域求解m a x w e l l 方程的方法，并要求介质光波导是连续的， 但折射率可以在截面和传播方向变化。考虑入射光波为周期谐波，并应用慢波近 似，便可得到近轴b p m 方法，本节主要推导该方法删。 3 1 1 全矢量b p m 假设光波在波导中传播方向为z 轴方向，折射率在波导中的分布为n ( x , y , z ) ， 根据介质波导中m a x w e l l 波动方程 v x e = 一j w p o h v 。2 _ ，砍劬z ) 西 ( 3 1 ) v ( 切= 0 v ( 日) = 0 对( 3 1 ) 前两式两边分别取旋度，得到 v v 云：_ j 2 蚪2 否( 3 - 2 ) 其中k 为真空中波数，考虑到以下算子的定义 v v = v ) 一v 2 ( 3 - 3 ) 式( 3 - 2 ) 可变成 v 2 罾+ | 2 n 2 面= v ( v 西( 3 - 4 ) 将电场分量和算子按照横向分量( x ，y 方向) 和纵向分量( z 方向) 分解成 埽 一 垩苎王鲨型垄塑鱼墨堑壅 一 _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ 。_ _ 。1 。一一 ( 3 5 ) 代入式( 3 - 4 ) 得到关于电场横向分量嗣方程翔f v z 茸+ 七2 弗2 耳= v ，( v ，耳+ 争 ( 3 击) 再将( 3 5 ) 代入( 3 i ) 第三式，运算后得到 审。心勘誓置+ m 2 鲁= o c ，刁， 如果折射率分布沿着z 轴缓慢变化，那么可忽略式( 3 - 7 ) 第二项，并将其余 部分代入式( 3 6 ) ，进行散度运算后有 v 2 虿+ 爹删耳卅砖( v ，) 动 ( 3 s ) 虽然场分量色和e p 在z 方向上变化剧烈，但在x 和y 横向上通常变化比较缓慢， 因此引入如下慢波近似 瓦y ，z ) = 乏o ，y ，z ) e x p ( - y n o a z ) ( 3 - 9 ) 代入式( 3 8 ) ，得到横向分离满足 一2 鲰鲁稃( 雄2 一瑶) 乏+ v ；i 讽【寺( v ) 语。 ( 3 - 1 0 ) 考虑到云在z 方向上二阶偏导数远小于一阶，忽略该二阶偏导项，得到关于z 的一阶偏微分方程 2 ，砜昙o a f l e 巳, j = 乏乏 瞪 c s 小， 其e p , g t - p 定义如下 匕= 旦讪fi _ ：l 缸斗参搿一瑶) 弓5 昙陆2 怯 b 易= 券纠一去 岛= 参b 纠+ 导硼 啦卫如 + + 一层e = i i 一层 v ，1l 第三章束传播方法 1 9 以上式( 3 1 1 ) 即为光波电场的近轴矢量波动方程。为了解决实际问题，通常 要将模拟的器件根据形状进行网状分割，每个格点都有确定的折射率和电磁场分 布。假设初始端光波满足慢波近似，并且光在波导中沿z 轴传播没有反射，便可依 据式( 3 1 2 ) 求出不同横向平面的算子p ，进而得到光传播方向上各个格点电场分 量的大小。文献【2 l 】提出了该方程的另外一种表达形式，并列举出应用b p m 模拟光 波导的实例。 3 1 2 半矢量、标量b p m 上节讨论了全矢量b p m 在光波导中计算电场的方法，其中横向分量包含x ， y 两个方向上的场分量。在有些应用场合，当波导器件中光波极化方向不变时， 通常没有必要计算横向上的所有分量，只需根据波导中光波极化方向求出该方向 上场分量大小即可。这种情况下，通常可以忽略p ，和气之间的耦合作用，即认为 乞= & = o ，此时( 3 - 1 1 ) 式变为 1 2 j k n o 誓= 足乌 ! ( 3 1 3 ) 【2 瓶鼍= 易e ， “ 其中( 3 1 3 ) 第一对应于半矢量t m 模，第二式对应于半矢量t e 模。对于t e 和 t m 模式的定义和第二章光波导理论一致，即默认y 方向平行于包层，x 方向垂直 于包层。 另外，在某些低折射率差波导结构中，式( 3 ，1 2 ) 中算子a 缸和刀2 之间运算 顺序的差异可以忽略。这种情况下，圪和巳都退化为标量算子 p = 鲁十嘉稃驴硼 3 1 3 数值解法 以上介绍了近轴b p m 全矢量、半矢量和标量方程，仿真计算可以根据具体 波导器件选择不同的方程，这样可以使计算效率大为提升，下面主要介绍以上各 b p m 方程的解法。对式( 3 1 0 ) 这样的偏微分方程，工程应用中有很多种数值解 法。人们最早使用傅立叶变换( f f t ) 来求解b p m 方程【捌，近几年来，有限差分 法得到