（基础数学专业论文）banach空间中一类广义m增生映象的隐拟变分包含.pdf

b a n a c h 空间中一类广义m 一增生映象的隐拟变分包含 基础数学专业研究生 吕站伟 摘 指导教师崔艳兰教授 要 变分不等式理论在力学，微分方程，控制论，数理经济，对策理论，优化理论， 非线性规划等方面都有非常广泛的应用经过许多数学家的研究，变分不等式理论 得到了很大的发展和推广，其中最主要的一个推广就是变分包含 变分包含是研究不同空间，不同类型的算子及其解的理论，主要是研究变分包 含的解的存在性，唯一眭和解的相关算法经过近十年的发展，变分包含理论研究的 范围已经从h i l b m 空间扩展到b a n a c h 空间，特别是c ! m n gc h o l e e 和j u n g ，z h a n g s h i s h e n g ，n a n - j i n gh u a n g 等人在b a n a c h 空间中引入并研究了一些经典的变分包 含 本文在前人的启发下，利用预解算子技巧和n a d l e l 定理，首先在b a n a c h 空间 中证明了一类m 一增生映象的集值拟变分包含问题的解的存在性，然后在q 一一致 光滑b a n a c h 空间中研究了一类日一增生映象和广义m 一增生映象的变分包含问 题，得出了其解的存在逼近定理本文结果是对以往许多已知结果的推广和改进 关键词b a n a c h 空间变分包含预解算子 广义m 一增生映象 迭代算法 ac l a s so fn o n l i n e a ri m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n si n v o l v i n gg e n e r a l i z e dm a c c r e t i v e m a p p i n g si nb a n a c hs p a c e s a b s t r a c t t h et h e o r yo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sh a sg e n e r a l l ya p p l i e di nal a r g en u m b e r o fa r e a ss u c ha sm e c h a n i c s ，d i f i e r e n t i a le q u a t i o n s ，c y b e r n e t i c s ，e c o n o m i c s ，g a m et h e - o r y ，o p t i m i z a t i o n ，n o n l i n e a rp r o g a m m i n ga n d s o0 1 1 b yth es t u d y i n go fm a n ym a t h e m a t i c i a n s t h et h e o r yo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sh a sb e e ng e n e r a l i z e dg r e a t l y ，a n d o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o ni sv a r i a t i o n a li n c l u s i o n v a r i a t i o n a li n c l u s i o ni st h et h e o r yo fd i f i e , r e n to p e r a t o r sa n dt h e i rs o l u t i o n si n d i f i e r e n ts p a c e si tm a i n l yd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c e 。u n i q u e n e s sa n dr e l a t e da l g o r i t h m so ft h es o l u t i o n so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a f t e rm o r et h a nad e c a d ed e v e l o p i n g ，t h er e s e a r c hr a n g eo ft h i st h e o r yh a se x t e n d e df r o mh i l b e r ts p a c e st ob a n a c h s p a c e s e s p e c i a l l y k i n d so fc l a s s i c a lv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si nb a n a c hs p a c e sh a v e b e e ni n t r o d u c e da n ds t u d i e db yc h a n gc h o ，l e ea n dj u n g ：z h a n gs h i s h e n g ，n a n j i n gh u a n g ，e t c m o t i v a t i v e da n di n s p i r e db yt h er e s e a r c ho f s c h o l a r sm e n t i o n e da b o v e ，t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n t r o d u c ea n ds t u d yac l a s so fm o r eg e n e r a lq u a s i v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n si n x o l x i n gr n a c e r e t i v eo p e r a o r si nb a n a e hs p a ( 。p a n dac l a s so fq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gh - a c c r e t i v eo p e r a t o r sa n dac l a s so fi m p l i c i tq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n si n v o l v i n gg e n e r a l i z e dm - a c c r e t i v eo p e r a t o r si nq - u n i f o r m l y s m o o t hb a n a c hs p a c e sa sw e l lb yu s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o re q u a t i o nt e c h n i q u e a n dn a d l e rt h e o r e m w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h o s e ( i m p l i c i t ) q u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a n dc o n s t r u c ts o m ei t e r a t i x r ea l g o r i t h m sw h i c ha p p r o x i m a t e t h es o l u t i o n s o u rr e s u l t si m p r o v e ，g e n e r a l i z ean u m b e ro fr e c e n tr e s u l t s l vz h a n - w e i ( p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rc u iy a n l a n k e y w o r d s ：b a n a c hs p a c e v a r i a t i o n a li n c l u s i o n r e s o l v e n to p e r a t o r g e n e r a l i z e dm a c c r e t i v eo p e r a t o r i t e r a t i v ea l g o r i t h m 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：、竺选聋 本人签名：强曼竺孚乙一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人躲墨盐聋 导师签名： 狂熟兰 b a n a c h 空间中一类广义m 一增生映象的隐拟变分包含 引言 自h a r t m a n ，s t m p a c c h i a 1 1 在t 9 6 6 年创立变分不等式以来，变分不等式理 论作为当今非线性分析的重要组成部分，在力学，微分方程，控制论，数理经济， 对策理论，优化理论，非线性规划等方面都有非常广泛的应用( 2 ， 3 ， 6 - 9 ， 1 1 - i 9 】，【2 3 ， 2 6 1 ) 近年来，变分不等式理论在许多方面都得到了极大的发展与推广， 其中最重要的一个推广就是变分包含 1 9 9 4 年，h a s s o u n i 和m o u d a f i 4 】介绍并研究了h i l b e r t 空间中的一类变分包 含，它以许多经典的变分不等式为其特例后来，h u a n g 1 0 ，d i n g 2 0 ，k a z m i 2 2 等 人也对h i l b e r t 空间中的一些变分包含进行了研究1 9 9 8 年，n o o r 2 5 1 在h i l b e r t 空 间中引入并研究了一类广义集值变分包含问题：设日是h i l b e r t 空间，a ：h 斗h 是极大单调映象，( ) ：h h _ 日为非线性算子，丁1 ：h 斗c ( h ) 为两 个集值映象( 其中c ( h ) 表示日的所有非空紧子集的集合) ，g ：h h h 为单值 映象考虑如下的问题：找h ，u 丁( 扎) ，y r1 1 ) ，使得 0 ( u ，w ) + a ( 9 ( 札) ) ( 1 1 ) 2 0 0 0 2 0 0 2 年n o o r 5 在h i l b e r t 空间中引入了集值拟变分包含的概念，并利用 预解算子技巧，得到了其解的存在性定理和解的迭代逼近定理设日是h i l b e r t 空 间，丁，：日斗c ( h ) 为两个集值映象，g ：胃斗h 为单值映象，设a ( ，) ： h 日日关于第一变元是极大单调算子给定非线性映象( ，) ：h h h 考虑如下的问题：找n u 丁( “) 1 ( t ，) ，使得 0 _ v ( u ，y ) + a ( 9 ( ) ，“)( 1 2 ) 为了去掉h i l b e r t 空间中对映象的紧性要求，许多作者对此进行了探索和研究 2 0 0 0 年，c h a n gc h o ，l e e 和j u n g 3 0 】把集值变分包含的概念从h i l b e r t 空间推广 到了b a n a c h 空间：设x 是b a n a c h 空间，c b ( x ) 表示x 的所有非空有界闭子集 的集合设丁，v ：爿- c b ( x ) 为两个集值映象，g ：x 甘x 为单值映象，对 m 一增生映象t ：x - - - + 2 x 及非线性映象( ，) ：x x - - - 4x ，考虑如下的问 题：找u x ，t ( u ) ，、7 ( u ) ，使得 0 ( u ，y ) + t ( 口( “) ) ，f 1 3 1 2 0 0 2 年，c h a n g 3 3 在一致光滑b a n a c h 空间中对问题( 1 1 ) 进行了研究，利 引言 用m i c h a e l 选择定理，n a l d e r 定理【3 8 及m o r a l e 3 2 i 和k o b a y a s h i 2 9 】的结果，证 明了问题( 1 - 1 ) 的解的存在性定理，并建立了解的带误差的i s h i k a w a 型迭代算法 2 0 0 4 年，c h i d u m e ，z e g e y e 和k a z m i 3 6 】对n o o r 2 5 和c h a n g 3 3 】的结果进行了推 广，在实光滑b a n a c h 空间中研究了一类集值变分包含问题，同时去掉了值域有界 性的条件 2 0 0 4 年，y a - p i n gf a n g 和n a n j i n gh u a n g 3 7 引入了h 一增生算予的概念， 同时利用预解算子方法在b a n a c h 空间e 中研究了一类h 一增生算子的变分包含 问题：设ah ：e 斗e 是两个单值映象，4 关于日是强增生的，m ：e _ 2 5 是日一增生的，找i t e ，使得 0 a ( u ) + 吖( “) ( 1 4 ) 2 0 0 2 年，n a n - r i n gh u a n ge t c a 5 在q 一一致光滑b a r n a c h 空间e 中的研 究一类广义m 一增生映象的非线性隐拟变分包含，设映象”：e e 矿是 一个单值映象，g ，t ：e 斗e 是单值映象，a ：e _ c b ( e ) 为集值映象， m ：exe 2 e 为集值映象，且对任意给定的t e ，m ( t ，) 是广义m 一增生 的，找“e ，使得 0 t ( “) 4 - - 4 ( 14 - a ，( g ( u ) 、h ) ( 1 5 ) 可以看出，适当的选取空间e 及映象 ，n 4 ，t g 等，可以得到不同的变 分包含或变分不等式本文在前人研究的基础上，分别在实b a r n a c h 空间和q 一一 致光滑b a r n a c h 空间中研究了7 7 2 一增生映象的集值拟变分包含，日一增生映象和 广义m 一增生映象的( 隐) 拟变分包含，并借助预解算子技巧，得到了以上变分包 含的解的存在逼近定理所得结果改进，推广，和统一了z h a n gs h i - s h e n g 2 7 ，j u j e o n g 2 4 ，c h a n gc h o ，y a p i n gf a n g 和n a n j i n gh u a n g 3 7 ，l e e 和j u n g 3 0 及其 他作者的近期结果 2 星塑! ! 垒窒囹主二耋亡墨! 二塑生堕叁盟堕塑銮坌鱼垒 3 第一章b a n a c h 空间中一类m 一增生映象的集值拟变分包含 1 1 基本概念 本文以下处处设e 是一个实b a n a c h 空间，e 4 是e 的共轭空间，( ，) ，2 e ， c b ( e ) 分别表示e 与e + 之间的配对， e 的所有非空子集族，e 的所有非空有 界闭子集族，c b ( e ) 上的h a u s d o f f 距离定义为 h ( a ，b ) = m a x s u pd ( x ，b ) ，s u pd ( a ，f ) ) a ，b c b ( e ) x e ”b 映象t 定义域和值域分别记作d ( t ) 和r ( t ) 定义1 1 1 【2 7 是集值映象a ：d ( 4 ) e 斗2 8 称为是 i ) 增生的，如果对任意的mv d ( 4 ) ，存在j ( t 一一 ) j ( u 一l g ) 使得 ( r y j ( u 一”) ) 三0 v 7 4 ( t ，) 4 ( f ) i i ) k 一强增生的，如果存在常数k ( 0 1 ) ，使得“，u d ( a ) ，存在j ( “一”) j ( u v ) 使得 ( z y ，j ( u 一 ) ) k l l u 一口2 ，v x a ( n ) ，y a ( ) i i i ) m 一增生的，如果a 是增生的，并且( ，+ p a ) ( d ( 4 ) ) = e 对所有的p 0 都成立，其中i 表示恒等映象 注1 1 1 ( 1 ) 如果e = e + = h ，即b a n a c h 空间退化为h i l b e r t 空间时，则上 述定义中的增生，一强增生，m 一增生的定义就分别成为单调，强单调，极大单 调的定义 2 ) 上述定义中的l i i ) 等价于：a 是m 一增生的，如果a 是增生的，并且 ( ，+ p a ) ( d ( a ) ) = e 对某个p 0 成立 定义1 1 2 f 2 7 】设只g ：e 2 e 为两个集值映象，( ，) ：e e 斗e 是 一个非线性映象 i ) 映象y y ( x ，y ) 称为关于f 是- l i p s c h i t z 连续的，若对任意的y l ，y 2 e ，u l f ( 1 ) ，乱2 f ( y 2 ) 有 | | ( z ，“1 ) 一( z ，2 ) i f o f | 可l y 2 叭 z e ，q 0 签二童堡塑! 曼垒窒圃= 耋曼= 擅生坚叁笪塞堕型变佥鱼鱼 4 i i ) 映象z - - - + ( z ，y ) 称为关于g 是p l i p s c h i t z 连续的，若对任意的。l ，z 2e e 1 c ( x 1 ) ，u 2 g ( x 2 ) 有 1 1 n ( v 1 _ ，y ) 一n ( v 2 ，v ) l l 卢1 1 2 1 z 2 】l ，y e ，p 0 定义1 1 3 【2 1 集值映象f ：e c b ( e ) 称为是 一l i p s c h i t ：连续的，如果存 在常数a 0 ，使得 百( f ( z ) ，f ( ) ) a | l 。一y l l ，v z e 定义11 ，4 ( 2 7 1集值映象a ：d ( a ) e 2 e 为m 一增生映象，对任意的 p 0 映象 ：e d ( 4 ) ( z ) = ( ，+ p a ) _ 1 ( ) t e 称为。4 的预解算子 注1 12 嘲如果a 是增生映象，则对vp 0 算子( ，+ p a ) 一1 是有定义的， 单值的，且在r ( z + p a ) 上是非扩张的即 i i 以( z ) 一j a ( y ) | isi i x y m vz ，y r ( i + p a ) 引理1 1 1 【2 7 】设e 是一个实b a n a c h 空间，j ：e 一2 e 为正规对偶映像， 则对任意的z ，y e 有 j z + 可1 1 2si i x l l 2 + 2 ( 目，j ( z + 可) ) ， 7 ( 了+ 可) j ( z + ) 设e 是一个实b a n a c h 空间，m 丁，1 ：e c b ( e ) 为三个集值映象， ( 1 ，) ：exe - e 是一个非线性映象，a ：e 2 6 为m 一增生映象，考虑如 下的变分包含问题：找钍e ，u m ( n ) ， r ( u ) ，z 1 7 ( “) ，使得 0 ( u ，v ) + a ( z ) ( 1 1 1 ) 下面给出问题( 1 1 1 ) 的特殊情况： ( 1 ) 如果e = h 是h i l b e r t 空间，1 7 = g 为单值映象，a ：日- + h 是极大 单调映象，则问题( 1 1 1 ) 等价于：找u h ，m ( u ) ，u 丁( u ) ，使得 0 ( u ，z 7 ) + 4 ( 9 ( n ) ) ( 1 12 ) 文献 25 j 对此进行了研究 b a n a c h 空间中一类广义m 一增生映象的隐拟变分包含 5 ( 2 ) 若v = 1 为恒等映象，则问题( 1 1 1 ) 等价于：找u e ，u m ( “) ， 丁( u ) ，使得 p n ( w ，z ，) + 。4 ( ) ( 11 3 ) 这就是b a n a c h 空间中的集值拟变分包含 ( 3 ) 若v = g 为单值映象，则问题( 1 1 1 ) 等价于：找u e ，u m ( “) ，u t ( u ) ，使得 日e ( u ， ) + a ( 目( u ) )( 11 4 ) 文献【3 0 对此进行了研究 ( 4 ) e = h 是h i l b e r t 空间，且a = 却，是真凸下半连续泛函妒：h r u + o 。) 的次微分，则问题( 1 12 ) 等价于：找“h “ ，( 1 也t 丁( u ) ，。17 ( “) ， 使得 ( n ( w ，t 饥。一。) p ( ：) 一妒( z ) ， v xeh ( 1 15 ) 这就是广义集值混合变分不等式 引理11 2 下面的结论是等价的 ( 1 ) ( 札，u ， ，z ) 是集值拟变分包含问题( 1 1 1 ) 的解其中“e ，ue m ( “) ，v t ( u ) ，z v ( 札) ( 2 ) ( 札，u ，v ，z ) 是7 - , = j a ( z p n ( w ，u ) ) 的解 ( 3 ) ( z ，“v z ) 是预解方程n ( w 口) + p - 1 f 4 ( r ) = 目的解其中p 0 为 常数，乃= ( i 一。h ) ，z = z p n ( w ，u ) ，z = ，4 ( z ) 证明：由 ，f 4 的定义易证 1 2主要结果 算法1 2 1 对任给的2 7 0 ，? a 0 e ，u o m ( “o ) ，u o 丁( “o ) ，z 0 v ( 让o ) ，令 x l = z 0 一p n ( w o ，v o ) 取“l e ，使 ( 。1 ) = z 1 ，= l v ( u 1 ) 由参考文献 3 1 】中 的n a d l e r 定理可知，存在叫l m ( “1 ) ，u 1 t ( 札t ) ，z 1 v ( “1 ) ，使得 u o u 1 | i ( 1 + 1 ) 面( m ( o ) ，m ( u 1 ) ) 蔓= 童堡塑! 些窒回生二耋竺= 堂皇然叁鲤基焦塑童坌鱼鱼 6 l 一u l l i ( 1 十1 ) h ( t ( u o ) ，丁( h 1 ) ) ， f i z o 一2 ll ls ( 1 + 1 ) h ( v ( u o ) ，v ( “1 ) ) 令x 2 = 2 ：l p n ( x 1 1 ) 取札2 e ，使j a ( z 2 ) = z 2 ，z 2 v ( 札2 )再由n a d l e r 定理可知，存在u 2 m ( u 2 ) ，吃t ( u 2 ) ，南t ( u 2 ) ，使得 1 | | u - 一u ：| | ( 1 + 妄) 日( 彳( n - ) ，m ( 钆2 ) ) ， 1 叽一 u 2 1 i 冬( 1 + 去) 日( t ( “1 ) ，丁( n 2 ) ) ， 1 一 i l 。l 一。2 | i ( 1 + 妄) h ( ( 1 ) ，i ( “2 ) ) 继续下去，对任给的z o ，乱o e ，u o m ( u o ) ，? 3 0 t ( u o ) ，。o v ( u o ) ，由下 面的迭代可以得到序列 z 。) “。) ， u 。) ， ) ， 钿) ： ( 1 ) z n i ( n ) ，f f 。n 一。+ ij i ( 1 + ；雨1 ) 日( i ( “。) 1 ( “。+ 1 ) ) ，z 。= j a x ，。， ( 2 ) “j n 且z ( 乱n ) ， ；i “n 一删n + 1 l ( 1 + 矗了) 日( a f ( “n ) ， 彳( 札。+ 1 ) ) ， ( 3 ) n 丁( u n ) ， i i v n u n + 1 i ( 1 + i i i t ) 日( 丁( u 。) ，丁( u 。+ 1 ) ) ， ( 4 ) x n + 1 = 一p | v ( “。 t l n ) ，n = 0 1 ，2 ， 注121 如果e = h 是h i l b e r t 空间，7 = 9 为单值映象，且4 = a 妒，其中 妒是口中的一个闭凸子集k 的指标函数，则j 4 = p 是日到k 上的投影，于 是有下面的解决问题( 1 15 ) 的如下算法 算法12 2 对任给的3 ：0 ，z 。e “j o ，( n o ) y o 7 1 ( o ) 、知l - ( z 幻) ，序列 x n ) ， u n ) ， u 。) ， y n ) ， z 。) 由下面的迭代产生 ( 1 ) 名n y ( “n ) ， i z 。一z 。+ 1 0s ( 1 + 未了) 面( y ( u 。) ，y ( u n + 1 ) ) ， z 。= p k z 。， ( 2 ) 叫n m ( u n ) ， l f u n u 。+ l | js ( 1 + i i 百) 霄( ，( 札。) ， 彳( t l n + 1 ) ) ， ( 3 ) u n r ( 钍n ) ，i i v n 一削。+ lj l ( 1 + i 丽1 ) 再( t ( u 。) ，t ( n + 1 ) ) ， ( 4 ) z 。+ l = 2 。一p n ( o 。，口。) ，n = 0 ，1 ，2 ，一 定理1 2 1 设e 是一个实b a n a c h 空间， m t ，t ：a e 呻c b ( e ) 均为 集值映象，j ) 、r ( ，) ：e e - e 是单值连续映象， 且满足如下条件： 星塑! 生窒塑! = 差亡竖竺二缰生堕叁数堕塑銮坌鱼垒 ( 1 ) a ：e 斗2 e 是m 一增生映象； ( 2 ) ( v i ) 是一强增生的，其中常数k 0 ； ( 3 ) m ：e c b ( e ) 是弘- l i p s c h i t z 连续的； ( 4 ) t ：e 叫c b ( e ) 是( - l i p s c h i t z 连续的； ( 5 ) v ：e - - - + c b ( e ) 是_ 1 i p s c h i t z 连续的； ( 6 ) 映象y 寸n ( x ，y j 关于映象t 是。一 i p s c h i t z 连续的，v x e ： ( 7 ) 映象t 斗n ( x ，g ) 关于映象m 是# - l i p s c h i t z 连续的，v y e ： ( 8 ) 算法1 2 1 中的预解算子j a 是a - l i p s c h i t z 连续的 其中口，卢，p ，q ，七，a 均为正的常数，并且n + 疗 ；，0 k ；， av恒v(1+2k)(】1+-p(a+f1)2 ( 1 21 ) v1 + 南 1 1 + 厶1j 则存在z ，u e u 埘( h ) ，u 丁( u ) ，。i ( ) 是变分包含问题( 1 1 1 ) 的 解，且由算法1 21 产生的迭代序列 z 。 “。) u 。) 而) 分别强收敛于 茹) ， u ) ， ) 廿 ， 2 ) 证明：由引理1 1 1 和算法1 2 1 可知，对任给的j ( x 。+ t z 。) j ( z 。+ 1 一z 。) 有 1 i x 。+ j 一- 。旷 。l l z n z n l p | v ( “如，y n ) 一( u 。一1 ，v n - 1 ) 川2 s 。n z , t - lj 1 2 2 p ( n ( w 。，) 一( u 。一1 ，u 。一1 ) ，j ( x 。+ 1 一。) ) sl 一一l 2 + 2 p i f n ( “, ，甜。) 一( 甜。一1 ，) + ( u 。一l ，) 一 ( u n 岫 。- 1 ) ”jj z 。+ 】一z 。| j i i 一z n 一- | | 2 + 2 p a l t u 。一札。一，| i + 卢j “。一“。i i i i z 。+ 。一z 。| | sl i 一z n 一，| | 2 + p ( 。+ 卢) i b 。一“。一i j 2 + f | 。+ ，一z 。1 1 9 s a 2 i f z n x n - 1 f f 2 + p ( 。+ 卢) l l 。一让。一1 f 2 + f f z 。+ i z 。| 1 2 ) ( 1 2 2 ) 另外，我们有 帆一乱n _ | | 2 = i j ( 厶( z n ) 一j a ( x n - j ) _ ( 如一。) 一( 一，一u 。一1 ) 肝 7 筻= 童旦塑! 些窒塑主二塞翌= 擅生睦叁鲤塑堕塑变坌鱼童 一8 a 2 i l z 。一z 。一1 l i2 2 ( z n u 。) 一( z 。一1 一u n - 1 ) ，j ( u n u n - 1 ) ) 于是有 2 曼再a 蕊2 恢一z 。州 ( 1 舶) 由( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 可得 , t n + 1 - - x n 旷黼忙。咱一j ：( 1 2 4 ) 由( 12 1 ) 容易得出 。a 2 ( 1 + 糕) 叭t 去蔷并 o ； ( 3 ) 3 1 ：h 叫c b ( h ) 是芦一l i p s c h i t z 连续的； ( 4 ) t ：日斗c b ( h ) 是一l i p s c h i t z 连续的； ( 5 ) l ：日叫c b ( h ) 是q - l i p s c h i t z 连续的； ( 6 ) 映象y 斗n ( z ，y ) 关于映象t 是。一l i p s c h i t z 连续的，v x 日； ( 7 ) 映象3 3 一n ( x ，y ) 关于映象m 是卢一l i p s c h i t z 连续的，v y 日； ( 8 ) 算法1 2 2 中的投影算子p 膏是a - l i p s c h i t z 连续的； 其中n ，芦、p ，q ，“，k ，a 均为正的常数，并且o + 口 j 1 ，0 1 ，则称e 为q 一一致光滑的 e 中的广义对偶映象定义为j q ：e _ 2 f ， 山( z ) = ，e 4 ：( z ，) = l l z l l 。，i i l l i = i | 。 1 9 1 ，。e 其中常数q 1 注2 1 1 ( 1 ) 当q = 2 时，如就是正规对偶映象 ( 2 ) 山( z ) = 恻r 2 也( z ) ，x e ( 3 ) 若e 是一致光滑的，则厶是单值的 ( 4 ) 若e + 是严格凸的，则山是单值 引理21 1 ( 3 7 】设e 是实一致光滑b a n a c h 空间，则e 是g 一一致光滑 璺凹! 些窒回生= 耋亡竖翌二擅生堕叁盟堕型壅坌鱼宣 1 1 b a n a c h 空间的充分必要条件是：存在常数c 。 0 ，使得 i | 。+ 引1 9 冬i i x fj 9 + q ( y ，山扛) ) + c g | | 可1 1 9 ， v x ，y e 定义2 ，1 1 【3 7 】设只h ：e _ e 是两个单值映象，f 称为是 ( 1 ) 增生的，若( f ( x ) 一f ( ) ，山( z 一) ) 0 ， v z ，y e ( 2 ) 严格增生的，若f 是增生的，且当且仅当z = y 时，( 1 ) 中的等号成立 ( 3 ) 强增生的，若存在常数r 0 ，使得 ( f ( z ) 一f ( g ) ，j q ( z g ) ) 之r l i z 一 1 4 ，v z ，g e ( 4 ) 关于日是强增生的，若存在常数7 0 ，使得 ( f ( x ) 一f ( 9 ) ，山( 日( 。) 一h ( ) ) ) 7 i | z 一l f 。， 比，y e ( 5 ) 5 - l i p s c h i t z 连续的，若存在常数d 0 ，使得 1 f ( z ) 一f ( v ) 1 1 茎6 f 赁一1 i ，v x ，y e 注21 2 若f 是一l i p s c h i t z 连续的，日是t - l i p s c h i t z 连续的，f 关于h 是 r 一强增生的，则有 r 0 ，有( ，+ a a ) ( e ) = e 其中，是e 上的恒等映象 定义2 1 3 1 3 7 】设日：四e 为单值映象，则集值映象m ：e 2 e 称为是 h 一增生映象，如果m 是增生的，并且对任意的常数a 0 ，有( 日+ a m ) ( e ) = e 注2 1 3 ( 1 ) 当日= i 为恒等映象时，则h 一增生映象的定义就退化为m 一 增生映象的定义 ( 2 ) 当h = ，为恒等映象，且e = h 为h i l b e r t 空间时，则h 一增生映象的 定义就退化为极大单调映象的定义 定理2 1 1 【3 1 设日：e e 为严格增生的单值映象，m ：e 斗2 目是日一 增生映象，则算子( 日+ a m ) “是单值的，其中常数a 0 蔓三童星塑! ! 塾窒囤主二耋丝= 堂皇堕叁鲤塞焦型銮坌鱼宣 1 2 定义2 1 4 【3 7 】设h ：e e 为严格增生的单值映象，a ：e 斗2 8 是h 一 增生映象，那么算子r ：e - e ，兄虽 u ) = ( h + a 4 ) 。( 札) ，vu e 称为a 的预解算子 定理2 1 2 1 3 7 】设日：e 叶e 为r 一强增生的单值映象，a ：e 2 2 是 日一增生映象，那么预解算予兄乳：e e 是一l i p s c h i t z 连续的即 r h ( 扎) 一r h ( 口) i l f mv “， e 定义2 1 5 设丁：e c b ( e ) 为集值映象，t 称为是f l i p s c h i t z 连续 的，若存在常数f 0 ，对任意的z ，y e ，有 日( t ( z ) ，丁( ) ) 冬f l l t f ； 2 2 主要结果 现在考虑如f 的变分包含问题： 设h ：e e 为严格增生的单值映象，a ：e _ 2 f 是日一增生映 象，m ：e e e 为单值映象，t ，i ：e c b ( e ) 是两集值映象，找 u e ：。丁( 乱) ，。v ( u ) 使得 目m ( w ，v ) + a ( “) ( 2 2 1 ) 引理2 2 1 ( u ，u ，乱) 是变分包含问题( 2 21 ) 的解的充分必要条件是： = 冗是 【h ( ) 一a a ，( w ， ) 】 证明：由定义2 1 4 直接可以得证 算法2 2 1 对