（基础数学专业论文）hilbert型不等式的改进与拓广.pdf

摘要 在理论研究与实际应用中，不等式常常起着重要的作用。在很多时 候，它的重要性甚至超过等式。尤其，许多方程无法求出精确解，但是可 以利用适当的不等式对解进行估计。特别h i l b e r t 不等式广泛应用于解 析数论，泛函分析，微分方程和逼近论等等。 由于h i l b e r t 不等式在数学科学上的重要性，引起了数学家们很大 的兴趣。多年以来，h i l b e r t 型不等式被数学家们研究且因此获得各种不 同的优美的结果。 本文就如下几个问题进行了研究： 如何应用e u l e r m a c l a u r i n 求和公式处理好重级数中的计算问题； 如何对h 石1 d e r 不等式进行精化；如何选择合适的单位向量来创建新的 不等式。 全文共分四章： 第一章，简述课题的发展历程、研究现状和本文所做的工作。 第二章，通过引入一个适当的权函数，并且运用e u l e r m a c l a u r i n 求和公式，对重级数型h i l b e r t 不等式进行了一个新的改进，证明了关 于h i1 b e r t 积分不等式类似的结论，并应用这些结论，给出了 h a r d y l i t t l e w o o d 定理和w i d d e r 定理的加强结果 第三章，首先利用加强的c a u c h y 不等式得到了瞒1 d e r 不等式的一 个改进，再寻找恰当的单位向量j j l ，得到心的不同表达形式，使其满足 r 。o ，r 。 1 ，利用不等式 ( 口，6 ) 肛i l ，1 1 6 叱( 1 一r ) 七， 对 t h a r d y h i lb e r t 型缴致1 、，寺瓦迓仃j 改迓o _ j 噩且j 彤如 薹蠢籍 口( 等，等惰口：睢，z h 6 ：卜 和耋。薹。蒂舄咄cp ，t 薹爵， t 喜。器， c 吨， 新的不等式 第四章，选取恰当的函数j i l ( x ，y ) ，得到尺五的表达式，利用改进的 h 6l d e r 不等式( 厂，g ) l i 州p 忙虬( 1 一r ) ，对带参数的h a r d y h i l b e r t 型积分不等式作了进一步的研究，建立了下列新的不等式： rc 瀚加， r 孵川灿 7 r 镣州叫了” 关键词：h i l b e r t 不等式，h a r d y h i1 b e r t 不等式，c a u c h y s c h w a r z 不 等式，e u l e r _ m a c l a u r i n 求和公式，瞒1 d e r 不等式 i i a b s t r a c t i n t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，i n e q u a l i t i e so f t e np l a ya n i i l l p o r t a n tr o l e i ns o m eo c c a s i o n ， i t i sm o r ei m p o r t a n tt h a nt h a t o fe q u a l i t i e s e s p e c i a l l y ，i ti si m p o s s i b l ef o ra1 0 to fe q u a t i o n s t of i n dt h e i re x a c ts o l u t i o n sv i ac a l c u l a t i o n s t h ee s t i m a t i o no f t h es 0 1 u t i o n so ft h ee q u a t i o n sc a nb eg i v e nb yi n e q u a li t i e s i n p a r t i c u l a r ， h i1 b e r t si n e q u a l i t yi sw i d e l yu s e di na n a l y t i c n u m b e rt h e o r y ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，d i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n d a p p r o x i m a ti o nt h e o r ye t c o na c c o u n to ft h ei i n p o r t a n c eo ft h eh il b e r t i n e q u a li t yi n m a t h e m a t i c a l s c i e n c e ， i th a sa r o u s e dt h em u c hi n t e r e s to f m a t h e m a t i c i a n s i nr e c e n ty e a r s ， h i l b e r t t y p ei n e q u a l i t i e sh a v e b e e ns t u d i e db ym a t h e m a t i c i a n s ，a n dt h e r e f o r ev a r i o u sn i c er e s u l t s h a v e b e e no b t a i n e d i nt h i st h e s i s ， w ec o n s i d e rt h ef o l1 0 w i n gp r o b l e m s ： h o wt oa p p l ye u l e r m a c l a u r i ns u m m a ti o nf o r m u l at od e a lw i t h t h ec o m p u t a t i o np r o b l e mo fd o u b l es e r i e s ：h o wt oi m p r o v eh 6 1 d e r s i n e q u a l i t y ：h o wt oc h o o s ea p p r o p r i a t eu n i tv e c t o rt oe s t a b li s hn e w i n e q u a l i tie s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t o f o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r 1 ， s t a t e sb r i e f l yt h ec o u r s eo fd e v e l o p m e n t 、 i u r e s e a r c h i n gs t a t u sq u oa n dt h ep r o j e c tw o r ko ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，an e wr e f i n e m e n to ft h eh il b e r ti n e q u a li t yf o r d o u b l es e r i e si se s t a b l i s h e db ym e a n so fe u l e r m a c l a u r i ns u 珈m a t i o n f o r m u l aa n db yi n t r o d u c i n gap r o p e rw e i g h tf u n c t i o n as i m i l a r r e s u l tf o rt h eh i l b e r ti n t e g r a li n e q u a l i t yi sa l s op r o v e d a s a p p li c a t i o n s ， s o m es t r e n g t h e n e dr e s u l t so ft h eh a r d y l i t t l e w o o d t h e o r e ma n dt h ew id d e rt h e o r e ma r eg i v e n i nc h a p t e r3 ， f i r s t l y ，a p p l y i n g t h e s h a r p e n i n g o f c a u c h y si n e q u a l i t yt oi m p r o v eh 6 1 d e r s i n e q u a l i t y ， a n d t h e ns e l e c tau n i tv e c t o r s u c ht h a tt h ee x p r e s s i o n so f 岛( w i t h r 工o ，尺丑 1 ) a r eo b t a i n e d s o m e h a r d y h i l b e r tt y p ei n e q u a l i t i e s f o rd o u b l es e r i e sa r ei m p r o v e db yu s i n gt h ef 0 11 0 w i n gi n e q u a li t y ( 口，6 ) 川呲( 1 一只) s o m e n e wi n e q u a l i t i e so ft h ef o m ： 窆窆善牟 _ = i - = 1 ，竹十，z a n d 丑( 等 g + a 一2 幻 ) 蠢，z 一1 c z ：) 1 7 毫，z1 4 z ，：) 1 7 f c 一r 。， 喜。薹。浩 o ，= p ，g y a n g 和g a o 在 3 0 ， 3 1 中得到一个只( 以) 的 下确界和e ( 刀) 上确界 2 4 ，至此文 2 1 和 2 7 提出的问题完全解决 在1 9 9 8 年，y a n g 和d e b n a t h 3 3 给了不等式( 1 5 ) 另一改进形 式。 高校教师在职硕士学位论文 关于不等式( 1 6 ) ，y a n g 3 2 得到下述结果： 喜羔 馨“咖f h 扣娣) 怕 ( 1 1 2 ) 迎一。南一意务，= p ，g 肌为欧拉常数 y a n g 在文 3 4 又得到不等式( 1 6 ) 另一结果： 砉羔弘纠他小 g ) 蟛) 咖 这里j ( 刀，- ) 2 盂钫一面i 靠将j ( ，) 用五钫一赤替 代，因此得到文 1 7 的结果 ( 二) 引进合适的参数进行推广： 引进适当的参数对目标推广，这是一种经常采用的方法 y a n g 首先在文 1 8 中引进参数a ，b 和z 推广了不等式( 1 1 ) ，得 到： 喜。器 寿b ( 猁扩彳) 啦( 扩巧) 啦 m 引进参数a ，b 和允，y a n g 在文 3 5 中还获得不等式( 1 1 ) 另一 不同的结果。 对不等式( 1 5 ) ，y a n g 和d e b n a t h 1 6 通过引进参数给出如下推 广： 喜。尚 酬扣以傩“。娣) 枷 这里七。( p ) = b ( 半，旦二等) 证明为最佳值，且曰( 码功为函数 近来，k u a n g 和d e b n a t h 3 7 给出不等式( 1 5 ) 的另一推广形式 h il b e r t 型不等式的改进与拓广 最近，关于不等式( 1 5 ) 和( 1 6 ) ，y a n g 和d e b n a t h 3 8 利用引进 参量以口和五又建立了新的不等式： 喜。尚 船 砉以l 一五口f v p 砉刀i a w ) 咖 c 1 - 1 4 ， 并且在不同特殊情况得到不同的不等式， 对于一些已经改进的不等式，利用引进参数名，y a n g 在文 3 9 对 它们进行了推广： 对于积分不等式( 1 3 ) ，1 9 9 8 年，y a n g 4 0 首先引进参数丁和芒 来估算权函数，从而建立新的不等式，同时，y a n g 在文 4 1 中还得到不等 式( 1 3 ) 的另外的推广结果： 1 9 9 9 年，对h a r d y - h 订b e r t 积分不等式( 1 7 ) k u a n g 在文 4 2 中利用 引进参数芒建立两个新的不等式，y a n g 在文 3 8 ， 4 3 中，获得不同结 果 近来，k u a n g 和d e b n a t h 4 4 建立一个新的h i1 b e r t 不等式的推广 和它的反向形式：如果l p + ，则薹薹芒苦磊焉万。厶| | p 恬眶如 果o p 1 ，则不等式相反k u a n g 和d e b n a t h 在上述结果基础上，建立 了一些重要的推论 h a r d y h i l b e r t 不等式( 1 7 ) 被h o n g 4 5 利用参数f 推广到多重积分 形式： 驴了南骢胁揶：出一 涮卧( 打m 扣t 毗吵叫川叫刷叫v 高校教师在职硕士学位论文 h e ，y u 和g a o ( 见文献 4 6 ) 关于h a r d y h 订b e r t 积分不等式( 1 7 ) 建立了另外的推广 最近，k u a n g 4 4 给出h a r d y h i l b e r t 积分不等式( 1 7 ) 的推广和反 向结果，同时在上述结果的基础上建立了一些反向结果的重要的推论 ( 三) 利用一些已经证明的新的不等式，对不等式进行推广改进。 最初h i l b e r t 不等式的证明建立在下述等式的基础上( 见文献 1 9 ) jr 毫c 一- ，7 ( 口，c 。s ，t 一6 ，s i n ，r ) ) 2 d r = 2 万( s r ) ，一耳 lr = ij 这里s = 喜喜笔和r = 砉妻兰( ) 在1 9 9 2 年，h uk e 4 5 建立一个简洁的不等式： 衙+ 盯万2 窆i 口r | 2 窆晰 ( 1 1 5 ) h u 应用自己建立的这个重要的不等式建立了一些优美的形式，陈 述如下： i 墨，。( 口，6 ) 1 2 + i 互，。( 口，6 ) 1 2 万2 o 口8 20 6 0 2 ( 1 一彳2 ) v 2 这里彳为实数 在1 9 9 6 年，h u 得到带有参数力的推广结果( 见文献 4 7 ) 特别的， 在名取不同值情况下，h u 在文 4 6 4 7 4 8 中得到不同的结果，对 h i l b e r t 不等式和i n g h 锄不等式以及p o l y a _ s z e g o 不等式改进，同时 h u 4 7 4 8 又建立了h 6 l d e r 不等式的改进( 包括c a u c h y s c h w a r z 不等 式) 1 9 9 9 年，g a o 4 9 利用正定g r 锄矩阵创立了一个新的不等式： ( 口，) 2 i l 口1 1 20 纠1 2 一( 0 口0 工一0 纠l y ) 2 ， ( 1 - 1 6 ) h i l b e r t 型不等式的改进与拓广 这里x = ( 尻7 ) ，y = ( 口，厂) 其中圳= 1 且砂o ，利用不等式( 1 1 6 ) ， g a o 5 0 又建立了一个比不等式( 1 1 5 ) 更强的新的不等式。 不久，g a o 在文 5 0 、 5 1 中应用不等式( 1 1 6 ) 分别建立了关 于h i l b e r t 级数不等式( 1 3 ) 和积分不等式( 1 4 ) 的改进，同时，文 5 2 给出了它的推广结果： 另外，对h i l b e r t 不等式用几何方法处理也是一种重要的手段 ( 见文献 5 3 ) 1 2 研究内容 在文章中，我们运用：通过选择权函数进行改进；利用一些已经证明 的新的不等式这两种方法，对h 订b e r t 型不等式进行推广改进： ( 1 ) 通过引入适当的权函数，利用并联系函数和运用欧拉一马克 劳林求和公式对权函数进行估算，应用柯西一施瓦兹不等式，分别对 h i l b e r t 级数不等式和积分不等式进行新的改进，讨论最佳常数，并给 出一些在l i t t l e w o o d 定理和w i d d e r 定理上的应用 ( 2 ) 利用加强的c a u c h y 不等式改进h 61 d e r 不等式利用离散型的 h 6l d e r 不等式的改进结果( 口，6 ) 胪虬1 1 6i l g ( 1 一r ) ，寻找恰当的单 位向量= 1 ，使其满足r a = ( s p ( ，五) 一s g ( ga ，办) ) 2 o ，对带有参 数名的h a r d y h i1 b e r t 型级数不等式的推广结果进行进一步改进；利用 积分型的h 占1 d e r 不等式( 厂，g ) i i 州p 恬叱( 1 一尺) 七 寻找恰当的单位 向量办( z ，y ) 使满足r = ( s ，( 厂， ) 一s 叮( g ，办) ) 2 o ，对带参数的 h a r d y h 订b e r t 型积分不等式的推广进行改进，建立新的不等式。 高校教师在职硕+ 学位论文 本文创新点：引入带参数的权函数及运用欧拉一马克劳林求和公 式都将与已有结果不同，从而可建立一些新的h i l b e r t 型不等式；h 61 d e r 不等式在h i l b e r t 型不等式的各种推广中被广泛应用，本文用h 6l d e r 不等式的精化来改进这些推广形式，方法较独特，完全不同于以往的方 法 h i l b e r t 型不等式的改进与拓广 2 hiib e r t 不等式的改进及其应用 本章通过引入一个适当的权函数，和运用e u l e r _ m a c l a u r i n 求和方 法，对关于h i l b e r t 级数不等式进行了一个新的改进，并证明了关于 h i l b e r t 积分不等式类似的结果，作为应用，给出一些h a r d y l i t t l e w o o d 定理和w i d d e r 定理的加强结果 2 1 介绍和引理 h i l b e r t 不等式：设k ) 和 吃) 是两个实数序列d ： + ， 一= l b ： + ，则有： n = i ( 耋薹馋卜2 ( 静赡6 刁 ( 2 1 ) 不等式( 2 1 ) 称为双重级数形式的h i l b e r t 不等式，这里常数因子万是最 佳值并且( 2 1 ) 式中等号成立当且仅当h ) 或 玩) 为零序列 不等式( 2 1 ) 相应积分形式为： m 掣出咖卜( j ，2 ( 帕 ( i 9 2 叫 这里厂( 工) ，g ( 工) 三2 ( o ，+ ) 不等式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式统称为h i l b e r t 不等式 ( 2 2 ) 近来，有大量的文章对于( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式作了不同的改进和推 广( 见文献 1 卜 7 ) ，特别是，g a o 和徐h s u 在文 1 中，列举的有关的研 究论文超过4 0 多篇本文的目的是，建立( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式的不同于 高校教师在职硕士学位论文 上述结果的新的改进，并且给出它们的一些应用 为了证明我们的结论，我们需要下列引理： 引理2 1 设o o ) 因此我们有 了筹d f = 了恭等出= 墨卜譬( 1 一“) 哥1 d “ oo o = 号召( 1 一手，等) = 争r ( 1 一等) r ( 等) = 万惫军 引理2 2 设q ( 聆) = ( 薹i b ( 鲁) 墨 ( 古一古) ，其中万且 o 厂 丢，则： 缈，( 押) = 矿焉两一驴，( 刀) ( 2 4 ) 作( ，z ) = 号+ 等一可知( 1 一古) 一爰斋 昂南( 一古) + ，) ，( 2 - 5 ) 其中o 专 l 且函数，。= ，静d f ( 2 6 ) 证明：设，( x ) = ( 古) 击( 要) 5 ( ( 晕) ，一1 ) ，其中”且o 厂 圭，则 有，( ) = ( ) = o ，对啡( ，z ) 应用e u l e r m a c l a u r i n 求和公式，我们得 到 彩，( 咒) = n ( x ) d z + 号，( 1 ) 一告( 1 ) ( o 孝， o 这个结果在文 2 中已经证明 进 2 2 主要结果 在这一部分，我们首先建立一个对于h i1 b e r t 级数不等式的新的改 定理2 1 设k ) 和 吃) 是两个实数序列，如果o 口： + 且o 6 ： + ，则： 高校教师在职硕士学位论文 ( 喜口： 2 一( 砉qc 订，口：) 2 ) 万2 ( 言砖 2 一( 喜州耐) ( 2 - 8 ， 权函数国，( 以) = 矿南一纬( 刀) ，其中o 厂 号，删由( 2 5 ) 式给出 证明：首先我们假设坟：吒且设c ( x ) 为区间( o ，+ o o ) 上的函数，且 c ( 工) 满足条件c ( 工) 满足条件1 一c ( ，1 ) + c ( m ) o ( 以，m ) ， 应用c a u c h y s c h w a r z 不等式我们得 = 陲 这里 口m 口n ，竹+ 刀 容易推出 ) 2 口口n 肌+ ，l( h ( 小c ( m ) ) ) 2 c 叫卜如 以= 薹喜熹( 鲁) 墨( 1 _ c + c ( 所) ) ， ，2 = 以= ，竹= i 行= l ，靠+ 刀 聊+ ，l m = l 以= l ，竹+ 忍 ，”+ ，l ( 鲁) 墨 ( 鲁) 墨( 1 一c ( 刀) + c ( m ) ) ( 1 一c ( ，1 ) + c ( m ) ) ( 鲁) 圭卜( 1 - c ( 朋m ( 叫 ( 鲁) 士 口：一艺r 妻 n = l 埘= l c ( 聊) ，竹+ ，l( 鲁) 士 口：+ 妻r 妻 一= l 肘= l，咒+ ，l 薹( 薹熹( 叫十茎 ( 薹黑( 州一( 薹等( 鲁) 圭) 卜 历( 九) 口：一国( ，z ) 口： 一= l盯= l ( 2 9 ) ( 鲁) 墨) 口：c ( ，z ) ( 2 1 0 ) 万 删烹 。树。删 。删。删， = 。删。删 ，l 2 一 口 。删 ，。_ 。脚 i i 。删 ，l 。删 = 其中历( 刀) = m = l，竹+ ，l 同理，我们能得到 ，2 = 一= i h i1 b e r t 型不等式的改进与拓广 ( 嚣) 兰 ， + 刀 彩( ，z ) 口：+ 且国( ，z ) = l 朋= l，l + ，l ( 昔) 士) 口：( 1 一c ( 甩) + c ( ，刀) ) 国( ，z ) 口： 疗= l ( 嚣) 圭) ( c ( 咖咖) ) 因此我们由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 式得到下列结果 一尊l羔h 茎h 一茎彩 ，妻历( 刀) h = i 如果吃，那 2 ( 刀) ( 2 1 1 ) 口州妻历( 刀) 口：+ 妻功( 刀) 4 ：1 辟= ln = l ，田、2 一i 缈( ，z ) 口：i = l ( 2 1 2 ) 么应用c a u c h y s c h w a r z 不等式估算( 2 8 ) 的右端，再运用 ( 2 1 2 ) 公式，我们有： = k k 薹r m t ) ( 喜玩r t ) 复薹r 所 ) 2 出 候 面( 刀) ) 2 势一) 2 出 2 一耐砸，酲 下面，我们计算缈( 刀) ： 出) 2 2 2一r 争国l 鲁 砰) ) 设( x ) ：南r ( 譬) ( c ( 工) 一c ( 刀) ) 对缈( ，z ) 应用e u l e r 州a c l a u r i n 求 和公式我们得到： ( 刀) = l 赤( 嚣 埘= l 。稍 ，l 。州 。删 ，_ 水。 vij篝 。树。删 vl，兰 。删。删0 坐斛 。树。稍 、l 一、 、- ， n i c 3 一 、- 、 m i i 、 c i_ 、 l z 、l - 、 高校教师在职硕士学位论文 = j 厂( x ) 出+ 号厂( 1 ) 一是厂7 ( 1 ) ( o 孝 1 ) l 等产( 咖h 辔+ 焉 赫( 邮h ( 甩) ) ) 2 。夏三量掣( ) 士d ，+ 9 ( 刀) 这里) = 喘 ( 2 1 4 ) + 焉( c ( 1 ) _ c ( 厅) ) ( 1 ) ) 且 o 孝 1 特别的，我们令c ( x ) = x 吖( o ， o 因此我们有： 石( ，1 ) 万( 2 1 6 ) 由( 2 1 3 ) ，( 2 1 5 ) 和( 2 - 1 6 ) 式马上得到( 2 - 8 ) 式因为 q ) 和 吃 是两 个非零实数序列，( 2 8 ) 式两端不可能相等定理证明完毕 在这里函数c ( x ) 的选取为最佳形式，因此不等式( 2 13 ) 具有一般性 特别的，当c ( x ) 为常数时，由( 2 1 0 ) 式知国( 力) = o 不等式( 2 8 ) 即为 类似的，我们能够建立一个对于h i l b e r t 积分不等式的改进 定理2 2 设厂( 习和g ( x ) 是两个实函数，如果o j 卢( 习出 + 且 h i l b e r t 型不等式的改进与拓广 o 眵( 习出 佃，则 0 m 掣圳4 胁爿协矿出 2 ) ( 2c x ，d k 2 一( 了后c z ，9 2c x ，d k 2 ) ， 这里权函数尼( x ) = 圭( e 一石一c 。s i ) ( 2 1 7 ) 证明：首先假设厂：g 设实函数酬满足条件1 一c ( 习+ c ( 力o 运用c a u c h y s c h w a r z 不等式我们得 其中 且 ，2 。 蛐) 2 = ( h 掣( 1 - 小卜) 蛐p ，。：了了斜( 爹) 士( 1 一c ( x ) + c ( y ) ) 出咖 ( 善) 士( 1 _ c ( x ) + c ( y ) ) 出咖， 这里实函数c ( 工) 满足条件卜c ( x ) + c ( y ) o 易推出 厂 厂。= 石i 厂2 ( y ) d y 一，j | ( y ) 厂2 ( y ) d y oo 且，：= 万i ，厂2 ( x ) 出+ ，尼( x ) 厂2 ( x ) 出i ， 、 o o 这里 出 嗨) = 吾了豁加小) 我们令c ( 石) ：专c o s 打 显然有 ( 2 1 8 ) l - 壬c o s + 号c o s 万o 把了哗一 1 5 年p 一打 二 容易推 rjorjo，一 筹 rjorjo 篱 rjo 2 高校教师在职硕士学位论文 从而七( x ) = 专( p 一c 。s 矗) 因此我们得 m 掣蛐卜 ( j ，2 出小扩m 如果厂g 由c a u c h y s c h w a r z 不等式我们有 眙黟驯。l ( p 巾呻 咖h 2 s ，( 了t 。一士厂c 工，出 2d r ) 2 ，( 了r j ，一圭gc y ，咖 2d ， 2 = ( ”掣出咖 2 ( j j 掣出咖 2 弦 运用定理2 2 ，：p 的情况榀搌( 2 19 ) 式马卜得到不笔者( ，9 17 、) 因为厂( x ) g ( x ) o ，所以式( 2 1 7 ) 两端不可能相等定理证毕 因为这里函数c ( x ) 选取最佳形式，不等式( 2 1 7 ) 具有一般性 特别的，当c ( 力为常数时，我们有后( x ) = o 不等式( 2 1 7 ) 即为不 等式( 2 2 ) 2 3一些应用 h a r d y l i t t l e w o o d 定理( 见文献 8 ) ：设，( z ) r ( o ，1 ) 且对任意 五厂( x ) o ，定义序列 吒 ，口。= 卜。厂( x ) 如，以= o l ，2 ， 则有以下结论： 刀：f 厂2 ( x ) 出， ( 2 2 0 ) 露= o ； 这里万为最佳值时不等式( 2 2 0 ) 成立 在这一部分我们首先给出对h a r d y l i t t l e w o o d 定理的改进 h i1 b e r t 型不等式的改进与拓广 定理2 3 设厂( x ) f ( o ，1 ) 且对于任意x ，( x ) o ，定义序列 口一= ，x 万一l 2 厂( x ) d x 刀：1 ，2 ， 贝u ( 善) 2 万2 ( 茎口：) 2 一( 善国，c 刀，口：) 2 壬，2 c z ，d x ， c2 - 2 l ， 这里权函数国，( 刀) = 矿蒜一纯( 咒) ，其中o 厂 手，咖) 由( 2 5 ) 式给 出 证明： 根据假设，我们可以把写成以下形式 n 三= q n x 扣聊八x 、) d x 运用c a u c h y s c h w a r z 不等式估算( 2 2 1 ) 式的右端，如下： ( ；霎) 2 = = ( ；霎卜。，r 8 一v 2 j r c ，c ，出 2 = = ：f ( 砉a c 。，r ”一v 2 ) 厂c - c ，出) 2 礁) 2 出p 出= 鹰扣卅1 出弦出 = 陲砉羔) 卜溉 弦2 2 ， 设c ( x ) 为区间( o ，+ ) 上实函数，且c ( x ) 满足条件1 - c ( 刀) + c ( 朋) o 由定理2 1 和( 2 2 2 ) 式知( 2 2 1 ) 式成立因此，定理证明完毕。 w i d d e r 定理( 见文献 9 ) ：设o 如= o ，1 ，2 ，) ，么o ) = q r ， m = 薹等如果砸) o ，则 l p 2 ( x ) 出 万八p 一工么( x ) ) 2 出， ( 2 2 3 ) oo 下面，我们给出w i d d e r 定理的一个改进： 高校教师在职硕士学位论文 定理2 4 设。伽= o ，1 ，2 ，) ，彳( x ) = 薹吒矿，彳( x ) = 薹簪如 果彳( x ) o ，则有： ( 了彳2c x ，d x ) 2 万2 ( 了2c x ，d x ) 2 一( 了七c x ，厂2c x ，d x ) 2 ) ， c 2 - 2 4 ， 这里m 咖九尼( x ) = 丢石s 而 证明：首先我们有以下关系： 尸( 啪= f 蠢孚d r06 行= o “二 = 薹等p 扯缸九， 令踟= s 则得到： ，彳：。x ，d 工= 了( 了p 一吖x 彳c s ，凼) 2j d x = 了( 了p 一矽彳c s ，d s ) 2 d 夕 ，彳2c x ，d 工= j l j p 一吖x 彳c s ，d jj d x = ，lj p 一矽彳c s ，d s j d 夕 令”= y 1 则 ，爿2c x ，出= 了( 了p 吖“厂c s ，如) 2 d “ ，以x ) 出= i j p m ) 如卜 oo o = 了了掣捌r ， oo ( 2 2 5 ) 这里厂( 习= 蹦( 习设c ( x ) 为一个实函数满足1 一c ( x ) + c ( y ) o ，由定理 2 2 和( 2 2 5 ) 式知，不等式( 2 2 4 ) 成立 1 8 3 h a r d y 叫j jb e r t 型级数不等式的改进 夺蕈利用h 61 d e r 离散型不等式的一个改进的形式，对两个不同的带 参数的h a r d y _ 州i l b e r t 型级数不等式进行改进，分别建立了新的不等式， 形如： 蠢薹。乒争 1 ，吉+ 吉- l ， 以，) ， 6 。 为非负实数列， 使得o 口： ； 艉= i o 6 ： ，则有： = i 茎主。倍 l ，! + 三：l 2 一i 血协办 z 2 ； 口。，6 。o ，o 芝m 卜_ 口： 及o 主 1 一丑6 ： 则有： 菇黯 b ( 与，等 x 喜。，z 1 4c z ：) 7 砉，z 1 一。z ，：) 7 。； ( 3 - 2 ) 这里，常数因子 b f 掣，掣1 是最佳值特别的当见= 2 时，有 允i印脚， 毫蠢辩 l ， + 当：l ，口p 7 ，6 ，包o p q 2 _ m i n 溉小a q 使得。 喜畿 o o 及。 喜凫 o o ，则 有： 喜薹羔 1 ，古+ 寺= l ，吒，包o 且l 一巳+ o 并利用该不等式证 明了h a r d y h i1 b e r t 不等式 g a o 将h 6 l d e r 不等式改进为：( 口，6 ) 1 ，古+ 吉= 1 ，pq ”i jpq 且o p 佃o 。 佃，并取p = 2 ，得到c a u c h y s c h w a r z 不等式的一个 改进渤 1 ，l 一巳+ o ，0 叫= l 且m ( 古) = m i n 古，寺) 贝i ji ( a ，6 ) l 0 口0 ，0 6 l l 。( 1 一缈二( 口，6 ，c ，e ) ) m 0 7 ，( 3 9 ) 这里国黔( a ，6 c ，p ) = 巧( 口a c ( 辨) + 薯巧( 口力，c ) 庳。s ，( 口，c ( i ) s 。( 6 ，c ( t ) + 扣( 口，6 ，p ) 虐s p ( 叩) q ( 咖) 当所= l ，级数的项消失，且p 2 时吼，瓯o ：p = 2 时 吼，魂，q c尤其，如果s 。( 口，c ) e ( 6 ，c ) 1 如果 o ， + ，o g + ，那么， ( a ，6 ) 1 由土+ 上= 1 ，可得p 2 p q 令彳= 詈，b = 万马，则去+ 吉：，由h 6 l d e r 不等式有： ( 口，6 ) = 芝口。易。 薹c 口。6 。g ，。) 1 7 砉c 6 。l l ，口) 1 7 j = ( 口，肛，6 哼2 ) 27 ，2 ， ( 3 1 2 ) 当且仅当口刖，j 6 l - 胆线性相关时( 3 - 1 2 ) 式等号成立。事实上，不失一般性， ( 3 - 1 2 ) 式中等号成立，当且仅当存在c i ，使得( 口。6 疗一厅) 一= c 。( 6 疗卜叮p ) 口， 容易算出口? 2 = c ，6 7 2 在文献 1 1 中，运用g r 锄矩阵建立了一个重要的不等式， ( 口，) 2 i k 0 2 l i 夕0 2 一( 0 a o x 一0 0 y ) 2 = 0 口1 1 20 1 1 2 ( 1 一力 ( 3 1 3 ) 这里歹= ( 南一赢 2 ，工= c ， ，y = 似， ，i i 州= ，且砂。当且仅当a 与 线性相关时不等式( 3 1 3 ) 中等号成立，或者说是口和的线性组合， 且砂= o 但x ，少不同时为零，若( 3 1 3 ) 式中的口，7 分别用口，2 ， 6 们，c 代替，则