（基础数学专业论文）randers度量的cartan张量及其推广.pdf

i i i iiiii i i1 1111 1 1 1 1iil 17 8 8 9 8 3 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：墨哗导师签名：气丛址日期：墨璺匣蛆 摘要 摘要 在f i n s l e r 度量中，有一种简单而又特殊的度量一r a n d e r s 度量r a n d e r s 度量有着很多很好的性质和特点，它不仅在物理上有着深刻的背景，而且在构造 具有各种曲率性质时十分有用对于r a n d e r s 度量f ，其c a r t a n 张量g 仳= 扎f 2 y i y j 矿，并且f = o l + p ( 其中q 是欧几里德范数，p 是1 一形式) 它有许多 好的性质和结果，比如是对称张量，可由c a f t a n 形式和角度量表示，进而又可 以证明c a f t a n 张量的模长有界等等本论文在此基础之上，定义r a n d e r s 度量 的第二c a r t a n 张量并研究其是否具有和c a r t a n 张量类似的性质和结果 全文共分三部分：第一部分主要介绍了文章的研究背景和相关的定义定理等 基本内容，为后面的讨论做准备；第二部分介绍了关于c a r t a n 张量的定义、性 质以及相关结论，为下面做铺垫第三部分是在第二部分的基础上首先定义出第 二c a r t a n 张量并研究其形式及其性质，得出结论 关键词r a n d e r s 度量；c a f t a n 张量；第二c a r t a n 张量 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t r a n d e r sm e t r i c sa r es i m p l ea n ds p e c i a li nf i n s l e rm e t r i c s r a n d e r sm e t r i c s h a v em a n yp r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i s t i c s i tn o to n l yh a sap r o f o u n dp h y s i c a l b a c k g r o u n db u ta l s oc o n s t r u c t i n gf i n s l e rm e t r i c sw i t h v a r i o u sc u r v a t u r ep r o p e r - t i e si sv e 眄u s e f u l f o rr a n d e r sm e t r i c sf ，i t sc a r t a nt e n s o rc 0 七= i f 2 】矿矿， f ：+ 8 ( w h e r e 既i s a l le u c l i d e a nn o r m ，8i s1 - f o r m ) c a f t a nt e n s o rh a s m a l i l yg o o dp r o p e r t i e sa n dr e s u l t s ，s u c ha sas y m m e t r i ct e n s o r ，w h i c h i se x p r e s s e d b yc a r t a nf o r ma n da n g l em e t r i c s f u r t h e r ，i tc a nb ep r o v e dt h a tt h en o r m o f c a n a nt e n s o ri sb o u n d e da n ds oo n o nt h i sb a s i s ，i nt h ep a p e r ，w ed e f i n et h e s e c o n dc a r t a nt e n s o ra n di n v e s t i g a t ew h e t h e ri t i ss i m i l a rt ot h ep r o p e r t i e sa n d r e s u l t so fc a r t a nt e n s o r t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s ：t h ef i r s tp a r ti n t r o d u c e st h er e s e a r c h b a c k g r o u n da n da r t i c l e sr e l a t e dt ot h ed e f i n i t i o no ft h eb a s i cc o n t e n to ft h e o r e m i np r e p a r a t i o nf o rt h ed i s c u s s i o n s ；t h es e c o n dp a r to ft h ed e s c r i p t i o n o nt h ec a r t a n t e n s o rd e a n i t i o n ，n a t u r ea n dt h er e l e v a n tc o n c l u s i o n s ，l a y i n gt h eg r o u n d w o r kf o r t h ef o l l o w i n g ；t h et h i r dp a r ti st h eb a s i so ft h es e c o n dp a r to ft h ef i r s td c f i n i t i o n o ft h es e c o n dc a r t a nt e n s o ra n dt os t u d yi t sf o r ma n dn a t u r eo ft h ec o n c l u s i o n k e y w o r d s r a n d e r sm e t r i c ；c a r t a nt e n s o r ；t h es e c o n dc a f t a nt e n s o r i i 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 本文背景1 1 2 概念与记号3 1 3 相关定理及结论5 第2 章r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量7 2 1 c a f t a n 张量的定义及其表示形式7 2 2 r a n d e r s 度量的c a f t a n 张量的相关定理和结论1 1 2 3 本章小结1 7 第3 章r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量1 9 3 1r a n d e r s 度量的第二c a f t a n 张量的定义及其性质1 9 3 2r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量的表示形式及其结论2 1 3 3 本章小结2 5 结论2 7 参考文献2 9 附录3 3 致谢3 5 第1 章绪论 1 1 本文背景 第1 章绪论 黎曼一芬斯勒( r i e m a n n - f i n s l e r ) 几何( 简称f i n s l e r 几何) 包括其重要的特 例黎曼几何是现代数学中的重要前沿学科由f i n s l e r 几何发展起来的几何方法 对于研究理论物理、生物数学和信息科学等领域有着极其重要的作用 f i n s l e r 几何是在其度量上没有二次型限制的黎曼几何这种度量是由德国 数学家黎曼在其著名的就职演说。论作为几何学基础的假设”( 1 8 5 4 年) 中提出 的他看到了度量的二次型情况( 即通常的r i e m a n n i a n 度量) 与一般情况的区 别，并选择前者为代表进行研究此后半个世纪中，人们忙于阐释充实黎曼几何， 在推广度量的研究方面没有实质的进展直到1 9 1 8 年，f i n s l e r 在他的博士论文 中研究了一般度量情况下曲线与曲面的几何此后，人们习惯地把一般度量情况 下的几何成为f i n s l e r 几何 国内外公认的2 0 世纪数学大师陈省身院士年轻时曾致力于f i n s l e r 几何的 探索，他在1 9 4 8 年利用外微分和活动标架发现了f i n s l e r 空间上著名的联络( 现 在称之为陈联络) 2 0 世纪9 0 年代末以后，经陈省身院士的大力倡导，f i n s l e r 几 何的研究在国际、国内有了很大的发展，特别是大量新的f i n s l e r 度量的发现和 f i n s l e r 空间的整体性质的建立使几何界乃至数学界已逐渐开启了神秘的f i n s l e r 几何学的大门 f i n s l e r 几何是在其度量上无二次型限制的r i e m a n n 几何所以它比r i e - m t i l n 几何更加复杂，内容也更加丰富 f i n s l e r 几何中的量，一般可以分为两 北京工业大学理学硕士学位论文 类：一类足r i e m a n n 几何中已有量的推广，我们称之为r i e m a n n 量，比如旗曲 率，它是r i e m a n n 几何中截面曲率的推广；而另一类是在研究f i n s l e r 几何中引 进的量，而在r i e m a n n 几何中这些量恒为零，我们称之为非r i e m a l m 量，比如 本文要研究的c a f t a n 张量、l a n d s b e r g 曲率等 r a n d e r s 度量是f i n s l e r 几何中最简单的f i n s l e r 度量，因此也是f i n s l e r 几 何中研究最多的一类度量，其应用相当广泛，关于r a n d e r s 度量的研究成果也 相当多例如 1 ，2 ，3 ，2 8 】是关于射影平坦的r a n d e r s 度量，( 4 ，5 ，6 ，1 9 】对常曲率的 r a n d e r s 度量的研究，【7 ，8 ，9 ，2 2 】是具有迷向s 曲率的r a n d e r s 度量而c a r t a n 张量又是f i n s l e r 几何中既基本又重要的非r i e m a n n 几何量，它在很大程度上决 定着f i n s l e r 度量的几何性质，甚至是流形本身的拓扑 本文是在具有r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量的基础之上，定义出第二c a r t a n 张量并对其进行研究，计算并证明其是否具有和c a r t a n 张量相似的性质以及不 同的性质 第1 章绪论 1 2 概念和记号 设m 足y 上的凡维流形，t m 是m 的切丛，我们记 丁m 0 】：= ( z ，y ) t m l y o ) 同时规定= y o ) ，其中0 为零向量 定义1 2 1 【14 】若n 维向量空间v 上的函数f ：v _ 【0 ，+ 。) 满足如下条 件： 1 ) 光滑性：f 在上是光滑的； 2 ) 正齐性： f ( a y ) = a f ( 秒) ，、矿入 0 ，y y ； 3 ) 强凸性：对于任意y v ，如下定义的双线性函数纨都是v 上的内积： 咖川：= 三轰酽( y + s u + t v m 一讹艇v 则称f 是y 上的m i n k o w s k i 范数赋予m i n k o w s k i 范数f 的线性空间y 称为 m i n k o w s k i 空间，记作( v f ) 若对于任意y v f ( 一y ) = f ( 秒) ，则称f 是对称 的 定义1 2 2 【1 0 设( ，) 是向量空间v 上的内积，玩是y 的任一基定义 o l ：= 厕= v - 夏i 3 y i y j 。，y = y i b i ， 其中a i j = ( 玩，) 显然，q 是v 上的m i n k o w s k i 范数，并且吼( u ，v ) = ( u ，秒) 与y v 无关称o 为e u c l i d e a n 范数 定义1 2 3 【1 1 】设a = 丽是v 上的e u c l i d e a n 范数，= b i y i v 是v 上的线性函数，则当b ：= 归i i 。= 、蕊 0 ， 其中8 和b 是任意数，且f 8 l b 0 ，有 ，( a y ) = a 7 ，( 剪) ， 则 厶t ( 可) 矿= r f ( y ) ， 这里矗t 表示厂关于y 的偏导数 引理1 3 3 【1 4 】设( m ，f ) 是f i n s l e r 流形，则其f i n s l e r 度量f 满足 1 ) 矿e ；= f ； 2 ) y j b t y j = o ； 3 ) y k 日t 矿矿= 一日t 矿 引理1 3 4 【1 4 】基本张量g 的分量具有下列性质： 1 ) y i g i j = f b t ； 2 ) 矿矿= f 2 ； 3 ) 秒等= y j 争= y k 等= 0 北京工业大学理学硕士学位论文 引理1 3 5 【2 5 】设( vf ) 是m i n k o w s k i 空间，则 1 ) f 满足 f ( u + v ) f ( u ) + f ( u ) ， u ，u k 且等号成立当且仅当u = 0 或者存在a 0 使得口= a u ； 2 ) 设y 0 ，则对任意u v ，有 跏 ，u ) f ( y ) f ( 札) ， 且等号成立当且仅当存在入o 使得u = 蛔 引理1 3 6 1 3 5 令k 足常数，并且0 k 1 ，设f ：= 折万干+ k u ，则f 的第二c a r t a n 张量满足 n 一 2 7 i i c l l z 。lk 0 显然，f 是e u c l i d e a n 范数当且仅当q = 0 ，v y y o 更进一步，e u c l i d e a n 范 数也可以由平均c a r t a n 张量来刻画于是我们有f 是e u c l i d e a n 范数当且仅当 l = 0 ，v y y o ，这就是d e i c k e 定理【6 】 定理2 1 3 i 2 5 】向量空间v 上的m i n k o w s k i 空间e u c l i d e a n 空间的充要条件 是i = 0 北京工业大学理学硕士学位论文 证明：由上面的分析可知，必要性是显然成立的 下面我们来证明充分性： 对于固定的i ，歹，将看成定义在v o 上的零阶正齐次光滑函数，则由的定义 知， 助训k l 骊0 2 9 t jq ：骞) 由于，= 0 ，并且r 氛= q k ：= g i c o k 可知上式可化为 。峨甜t = g k l 即c 3 2 9 w k 1 另一方面， 关于y 求偏导，得 。= 厶= 互1 雾 = ( 口0 删2 9 i c ，) = 4 q k u j l 七 因此，由l a p l a c e - b e l t r a m i 算子及l e v i c i v i t a 联络易知，对任意i ，有 厶鲰= 4 q k p j l k 0 因为s 是闭的，必有鲰= 0 ，于是可得c i l k = 0 ，v i ，k ，l ，从而f 一定足m i n k o w s k i 范数，定理证毕 1 0 - 第2 章r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量 2 2 r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量的相关定理和结论 为了刻画r a n d e r s 范数，我们引入如下几何量 设屿= m ( y ) o io 伊。口，其中 k ：= 七一而1 ( 厶七十驰七+ 厶) ， 这里h i j ：= f e i = 一专耖p 毋g y a 是角形式的分量 称m ：= ( 坞：y y o ) 为m a t s u m o t o 张量，对任一y y o ，坞是v 上的对称 三线性形式易知，对于2 维m i n k o w s k i 范数，总有m = 0 下面计算r a n d e r s 范数的m a t s u m o t o 张量 设f = q + p 为向量空间v 上的r a n d e r s 范数，其中q = 、厄历驴， = 玩矿，且l i z l l 口 1 则由于( 见参考文献 1 0 】) d e t ( ) = ( 字) 1 d e t ( 。如 所以， 五= 杀 1 。g 压硐 直接计算可得， a r l 。丽j 1 0 9 = 湍( 6 i 一尝笔) = 一t n 二i 2 ( a + p ) r qq 广 = 争f 2 】删 = 否f 口巧一丝o l 丝o l + 善( 玩+ 警) ( + 警) ， q 。，、q a 1 1 北京工业大学理学硕士学位论文 对上式关于y 知求偏导，有 t = 去雾 1 2 ( q 矿+ 岛t ) a 一( a + 卢) q 旷 。订一监盟等坠盟 1 o l + pn 执一y i a 扩协q + p 生! 竺二丝! 丛芝l 一2qo l 2q o l 0 1 2a j + 去 ( 竺学) ( + 丝0 1 ) + ( 竺生半) ( 6 t + 警) = 三 堕掣一别 + “半c 一半等+ 幻+ 纠 + 斟竽c 一半警+ 玩+ 纠 = 壮掣舶h q 删警巧一蚓 坤一 玑( 半) ( 一警笔) + 三( 。，七一 协( 半) 矧 ”鲤o l0 1 ) = 互1 胁一警a i k y 。脚巧一警到 + 批一尝譬一黔+ 扣一警半一刻 = 三 三c 巩一警鲁c 。玎一警警， + 批一譬一纷旷警m t 一蚓 礼+ 1 他+ 12 ( 及+ p )半( b k 一警笔c 一蚓 卜而1丽n+而l了a+p卜一等yk-4 ) ( 幻 一l tu b 一一，i u l 。礼+ 12 ( q + p ) q 【、“ q “。 而1 ( 厶七+ 驰k + 厶协 1 2 一讹* 一警t 一蚓 第2 章r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量 这里用到了 和 以及 h i j 踊矿= 半( 一警) q 矿= ( 佤而) 矿= 了a i k y 2 鼬= b k 因此，对于2 维的r a n d e r s 范数，总有a 岛知= 0 当n 之3 时，反过来也成立， 即我们有以下结果叫 定理2 2 1 【2 5 】设f 为n ( 礼3 ) 维向量空问v 上的m i n k o w s k i 范数，则f 是r a n d e r s 范数当且仅当m = 0 由于该命题的证明过程过长且需要的知识很多，此处省略不证，详细证明过 程见 3 4 给定m i n k o w s k i 空间( vf ) ，利用基本张量可自然定义，gm 的范数如下； | i 列2 ：= s u pf 2 ( ) 厶( y ) 乃白) 9 订( y ) = s u p 厶( y ) 易( y ) 9 巧( y ) ， y e v o f ( 可) = 1 c i l 2 ：= s u pf 2 ( 秒) 七( y ) c l 毹( 剪) 矿( ! ，) 矿5 ( 3 ，) 严( 箩) y e v o =supc 岛( y ) a 武( y ) 9 钉( y ) ，8 ( 可) 夕七( 秒) ， f ( f ) = 1 s u pf 2 ( y ) 订0 七( y ) m t 豇( 夕) 9 “( 秒) 矿8 ( y ) 9 2 ( 可) 掣 s u pm , j k ( y ) m _ f 。t ( y ) 9 “( 秒) 矿8 ( y ) 9 ( y ) ， f ( 暑，) = 1 1 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 由m 的定义易知，i i m i i 由l i c i i 控制下面我们将要说明一般的m i n k o w s k i 空 间上( 平均) c a r t a n 张量的范数无上界 设 f ( y l , y 2 ) ：妒) 4 + 3 c ( 1 ) 2 ( 可2 ) 2 + ( 可2 ) 4 4 1 ， 其中，0 c 2 f 是r 2 上的m i n k o w s k i 范数直接计算可得， 从而， ，y l ( 可2 ) 2 ( 9 c 2 4 ) 桫) 4 一( y 2 ) 4 】 儿一而。【2 c ( 可1 ) 4 + ( 4 3 c 2 ) ( y 1 ) 2 ( 可2 ) 2 + 2 c ( y 2 ) 4 一( y 1 ) 2 可2 ( 9 a 一4 ) 【( 可2 ) 4 一( y 1 ) 4 】 1 22 万面两可可j 孬硒丽矿疆研i 列2 =s u pf 2 ( 可) ( ，1 ) 2 9 1 1 + ( 如) 2 9 2 2 + 2 i l i 2 9 1 2 v # o 4 ( 9 c 2 4 ) 2 ( y 1 ) 4 一( y 2 ) 4 2 ( y 1 ) 2 ( 可2 ) 2 2 s 倒u p 币丽矿可f 丽丽丽矿五万汗 特别地，取0 y o = ( 鲥，确r 2 使2 ( 站) 2 = 3 c ( 垢) 2 ，则 j 3 ( 2 c ( y 斋1 喾4 孵2 c ( y 忙珈) 4 + ( 一3 c 2 ) ( y 1 ) 2 ( 可2 ) 2 + 2 ) 4 ) 3 ” 一 斜_ 嘶刊) - 虽然m i n k o w s k i 空间上( 平均) c a r t a n 张量的范数可以任意大，但是对于r a n d e r s 范数有如下结果 命题2 2 2 【1 0 设f = o t + p 为n 维向量空间v 上的r a n d e r s 范数，则 ，l l = 万n + l 乒万菰 等 1 4 第2 章r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量 证明：设o l = 丽，卢= b i y i ，则由 ：= 三i f 2 幽， = i f 。巧一吾y ii y j + ；( 吼+ 丝0 1 ) ( + 丝o l )q qq ，、 、。 可以直接计算逆矩阵 ( 夕订) = ( ) 一1 = ；。巧+ ( ；) 2 华善罢一( ；) 2 ( 罢+ 护善) 由上式及前面计算的厶= 霏斋( 6 t 一警鲁) 可得， 黝协川烈沪( 孚) 2 器川例糍) 2 ) 根据i | p 忆的定义可知 l p ( 可) i i i p l i 。口( y ) ， 因此可设 p ( ) = ij p i l q a ( y ) c o sb ，口【0 ，2 7 r 如果e ( y ) = q ( 秒) + p ( 耖) = 1 ，则有 a ( ) = 1 一p ( 秒) = 1 一i i p l l 。a ( 可) c o s 0 ， 由此可得， q ( ) = 再高面 从而，当f ( y ) = 1 时，有 五( 可) 易( 秒) 夕巧( 可) = f 2 ( 箩) 厶( 耖) 易( y ) 9 巧 ) = c 字，2 器 1 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 因此， 圳2 = s u pi , ( y ) i j ( y ) g ”( y ) f ( y ) = l = s u p1(丁n+leeo2 r ) 】 二 2i i z l ：s i n 2p 1 + 忪i l 。c o s 口 ：半( 1 一乒碱) 掣， 其中第三个等号成立详细过程见附录命题得证 下面我们再来讨论一下它的有界性问题 由前面的奄= 丽1 ( i i h j k + i j h i k + i k h # ) 以及命题2 2 2 的结论易得， 因此，对于r a n d e r s 范数，i i c l 有一致上界万3 一1 6 _ 第2 章r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量 2 3 本章小结 在这一章中，我们首先介绍了一般情况下c a r t a n 张量的表示形式及其一些 重要研究结果，而后又讨论了在r a n d e r s 度量的情况下c a r t a n 张量的表示形式 及性质和重要结论本章的主要结论有：( 1 ) m i n k o w s k i 空间足e u c l i d e a n 空间的 充要条件是i = 0 ；( 2 ) r a n d e r s 度量情况下的c a r t a n 张量可以由c a r t a n 形式和 角度量来表示；( 3 ) m i n k o w s k i 范数足r a n d e r s 范数当且仅当m = o ( n 3 ) ； ( 4 ) 任何r a n d e r s 度量的c a f t a n 张量的模长都是有界的 1 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 1 8 第3 章r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量 第3 章r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量 3 1 r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量的定义及其性质 在第二章的基础上，下面我们开始讨论第二c a r t a n 张量的问题 设f = f ( y ) 足向量空间y 上的m i n k o w s k i 范数对于任意向量y v o ，有 q ( u ，u ，p ，g ) ：= 丢万磊 f 2 ( y + 跏+ t v 叩+ 叫g ) 。：。：。叫：。， 其中u ，u ，p ，q v 称c ：= q 旧y o 为第二c a r t a n 张量 显然，g 也是y 上的对称线性形式由e u l e r 引理可知，c a f t a n 张量足一l 阶 正齐次因此，第二c a r t a n 张量是一2 阶的 即有， c t j k t y l = 一c 啦 设 纠：= q ( b i ，b k ，6 f ) ， 则 肼( ) = 主i f 2 y t y ：y k 矿 1a 2 ( 可) 20 y o y 2 a k ( y ) 一否厂。 于是，由e u l e r 引理我们也可以得出 删r = 一k 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 这时，第二c a r t a n 张量可以表示为 c = k f ( 箩) o 矿。驴。矿 2 0 - 第3 章 r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量 3 2 r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量的表示形式及结论 我们继续讨论关于r a n d e r s 度量情况下第二c a r t a n 张量的问题 由于第二c a f t a n 张量是在c a r t a n 张量的基础之上，再进行一次求导而 r a n d e r s 度量情况下c a r t a n 张量可以表示成 k = 而1 ( 厶心七+ 驰+ 厶) 因此我们首先要求出器和等的表示形式，其次求剐的表示形式，最后再 给出它的有界性 首先，我们计算每 由于 h i j = f e t y j ， 于是 堕：坌! 至墅边 d y 8d y 2 一a ( f 2 ) 矿矿一2 b t 西o 1 = 2 詹一言( 诀昂+ h j k 日t ) 其次，我们计算万o l i 的表示形式 由于前面我们已经得出， 五：尝( 玩一丝鱼) ， 厶5 百( 玩一言三) ， 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 于是 陆n + l 一 b 制矿 而n + l 怫y 砂3 f ( 玩一- - 巴3 佗+ 1r n 玎q 一玑( 等) p ，玑q 燮、一墨墨蔓 2 f q 2 a 。qq 2 7 f 一等知一豢卜字 一券笔h i j - 1 叫e + 铷) + 万1 ( 1 一弘针鲁玩 一杀鲁h i j - f 1 ( 厶巧+ 协) 一兀1 民i f t + 鲁6 t 一茅知一p 1f 沪+ 弛) 州否b i 一刍售( 警) 一等知一；( 厶+ 辑) + i j ( 夏b 一三f 弦； 一豢知一万1 ( 厶昂+ 辑) 州一刍鲁警) 一券鲁h i j - - 1 ( 厶+ 铷) + 而2 珥 下面我们来计算刿o y t 必o y l = 器”五努 ：f 一豢弦刍( 椭+ 硒) + 熹厶五卜 + 厶f 2 g 础一刍( 咒k + h k z 毛，) ：一等鲁t i 1 ( 厶毛z + 五毛t ) * + 而2 五五乃七+ 2 厶g m 一；( b 吩+ ) = 一豢知b * 一1 一删h + 蜥如知+ 厶吩心z + h f ，h 劫 + 磊j 2 1 厶五b k + 2 厶c j 触 2 2 = = = = = = i i = l i = l j 甜一曲 第3 章 r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量 轮换指标有， 掣= 一蔷知一去( 易驰驰+ 坍+ 铷) + 而2 乃五 谤+ 2 乃 可o ( i k h t j ) = 一万n + l 鲁h k t h i j - 刍( 厶巧”五b k h t j + 厶巧+ 厶乃b 1 ) + 击氏 0 + 2 厶卜 于是可得， n c j g i j k 【巧削2 写= 厂v ：熹yf 掣+ 掣+ 掣 = 熹( 一万n + 1 五5 ， + 熹f 一去( 厶乃* + 娲+ 协”厶乃) + 熹舶叫 + 熹( 2 协z 一豢知) + 熹f f r ( s f y , h i k + i z 吩+ 易乃 时协+ 嘉枷让j + 熹( 2 i v , 犷1 n + 萨l q , 3h k l h i j + 2 厶 十熹f 一刍( 疋乃”五日k h i j + i k 巧h 越+ i k 吩+ 南厶耻划 = 一去鲁( b 知+ 十 一土f ( 乃+ q 肼乃i + 蚀f + c b t ) + 石- 拿了f ( i d , h j 七+ l 五九诔+ 厶五危巧+ 厶易 埘+ 厶 z + 乃厶九以) 由上面w 的表示形式我们可以看出，它仍旧保留了c a f t a n 形式和角度 量同时官曲有c a r t a n 张量这就决定了r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量其表 一2 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 示形式既有与r a n d e r s 度量的c a f t a n 张量的表示形式相似之处也有不同之处 下面我们在讨论r a n d e r s 度量情况下第二c a f t a n 张量的有界性问题 由参考文献 3 5 可知，r a n d e r s 度量情况下第二c a r t a n 张量满足 i l c l l 狮l 。 虿2 7 因此，任意r a n d e r s 度量情况下第二c a r t a n 张量也足有界的，并且其界为警 2 4 - 第3 章r a n d e r s 度量的第二c a r t a n 张量 3 3 本章小结 在这一章中，我们首先介绍了第二c a f t a n 张量的定义及其一些重要性质； 而后又讨论了在r a n d e r s 度量的情况下第二c a f t a n 张量的表示形式以其有界 性本章的主要结论有：( 1 ) r a n d e r s 度量情况下的第二c a r t a n 张量表示形式 既有与r a n d e r s 度量的c a r t a n 张量的表示形式相似之处也有不同之处； ( 2 ) 和 c a f t a n 张量一样，任何r a n d e r s 度量的第二c a f t a n 张量的模长也是有界的 2 5 北京工业大学理学硕士学位论文 结论 结论 本文中我们讨论了r a n d e r s 度量情况下c a r t a n 张量的表示形式以其性质也 一些重要结论，并在此基础上定义出第二c a f t a n 张量进而研究r a n d e r s 度量情 况下的第二c a r t a n 张量，其与r a n d e r s 度量情况下c a f t a n 张量的表示形式既相 似但又不一样，从而决定它们既有相同之处又有不同之处我们根据r a n d e r s 度 量情况下的第二第二c a f t a n 张量的表示形式可以得出一些结论，比如它也是对 称张量，也有界但是它的界却不等同于r a n d e r s 度量情况下c a r t a n 张量等等 待研究问题 ( 1 ) 对于r a n d e r s 度量情况下的第二c a r t a n 张量其表示形式是否可以进行再化 简； ( 2 ) 对于r a n d e r s 度量情况下的第二c a r t a n 张量其有界性问题，我们是否可以 从r a n d e r s 度量情况下的c a f t a n 张量的有界性出发，用与其类似的方法来找出 它的界； ( 3 ) 对于第二c a r t a n 张量可以定义出m 0 削，研究其是否具有和( 第- - ) c a r t a n 张量类似的结论 2 7 - 北京工业大学理学硕士学位论文 参考文献 参考文献 1 z s h e n p r o j e c t i v e l yf l a tr a n d e r sm e t r i c sw i t hc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e m a t ha n n 2 0 0 3 ，( 3 2 5 ) ：1 9 3 0 2s s c h e r n f i n s l e rg e o m e t r yi sj u s tr i e m a n ng e o m e t r yw i t h o u tt h e q u a d r a t i cr e s t r i c t i o n n o t i c eo ft h ea m s 1 9 9 6 ，( 4 3 ) ：9 5 9 - 9 6 3 3s s c h e r n ，z s h e n r i e m a n n f i n s l e rg e o m e t r y k l u w e ra c a d e m i cp u b - l i s h e r s ，2 0 0 1 4 d b a o ，c r o b l e s o nr a n d e r ss p a c e so fc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e r e p o nm a t hp h y s ，2 0 0 3 ，5 1 ( 1 ) ：9 4 2 5 d b a o ，z s h e n f i n s l e rm e t r i c so fc o n s t a n tp o s i t i v ec u r v a t u r eo nt h e l i eg r o u ps 3 l o n d o nm a t hs o c 2 0 0 2 ，( 6 6 ) ：4 5 3 - 4 6 7 6a d e i c k e u b e rd i ef i n s l e r - r s u m em i ta = 0 ，a r c hm a t h 1 9 5 3 ，( 4 ) ：4 5 7x c h e n ，z s h e n r a n d e r sm e t r i c sw i t hs p e c i a lc u r v a t u r ep r o p e r t i e s o s a k aj m a t h 2 0 0 3 ，( 4 0 ) ：8 7 - 1 0 1 8x m o o nt h ew e y lc u r v a t u r eo faf i n s l e rs p a c e p r e p r i n t ，2 0 0 3 9x m o o nt h ef l a gc u r v a t u r eo faf i n s l e rs p a c ew i t hc o n s t a n ts c u r v a t u r e h o u s t o nj m a t h 2 0 0 5 ，( 4 8 ) ：11 2 1 2 0 1 0s s c h e r na n dz s h e n k i e m a n n - f i n s l e rg e o m e t r y w o r l ds c i e n t i f i c ， 2 0 0 5 11s s c h e m ，z s h e n r i e m a n n f i n s l e rg e o m e t r y k l u w e ra c a d e m i cp u b - l i s h e r s ，2 0 0 1 2 9 - 北京工业大学理学硕士学位论文 1 2s c h e r n o nf i n s l e rg e o m e t r y c r a c a d s c p a r i s 1 9 9 2 ，( 3 1 4 ) ：7 5 7 - 7 6 1 1 3 陈省身，陈维桓著微分几何讲义( 第二版) 北京大学出版社，2 0 0 1 1 4 莫小欢黎曼一芬斯勒几何基础北京大学出版社，2 0 0 7 1 5z s h e n s o m eo p e np r o b l e m si nf i n s l e rg e o m e t r y 2 0 0 6 1 6z s h e n v o l u m ec o m p a r i s o na n di t sa p p l i c a t i o ni nr i e m a n n - f i n s l e rg e - o m e t r y a d v i nm a t h 1 9 9 7 ，( 1 2 8 ) ：3 0 6 3 2 8 1 7z s h e n d i f f e r e n t i a lg e o m e