（基础数学专业论文）非线性分析中的几类不动点定理及其应用.pdf

j 螂 11， ，11，i ， at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s s e v e r a lk i n d so ff i x e d p o i n tt h e o r e ma n d i t s a o o l i c a t i o ni nn o n l i n e a ra n a l y s i s 一一 l- b yj i a n gx i u q i n s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u n t a o n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 l1p 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：萎囊节 e l 期：加晦【e 矽目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： -，一， -、lf，1 东北大学硕士学位论文 摘要 非线性分析中的几类不动点定理及其应用 摘要 本文主要研究了b a n a c h 不动点定理与k r a s n o s e l s k i i 不动点定理及其广泛应 用 全文总共分为三个部分，第一部分主要研究了b a n a c h 不动点定理即压缩映射 原理，及其在求微分方程和积分方程解的存在性和唯一性方面的重要应用，重点 讨论了它在方程中有关解的存在唯一性问题的应用实例，从而阐述了b a n a c h 不动 点定理的理论价值和实际应用第二部分利用非线性泛函理论研究了一类具有随 机移民扰动的非线性m 增生人口发展方程，把移民率看作是对人口发展模型的一 种随机干扰，在移民率满足在任意有限时间内有上界的条件下，应用b a n a c h 不动 点定理证明了此类发展方程在确定型和随机型两种情况下积分解的存在唯一性， 改进了以往应用非线性分析中的s c h a u d e r 不动点定理和s a d o v s k i i 不动点定理证明 此类发展方程随机积分解的存在性结论第三部分研究了一类二阶非线性常微分 方程三点边值问题的正解的存在性定理，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理证明了当 非线性项同是超线性或同是次线性或一超线性一次线性时，非线性三点边值问题 至少存在一个正解的结论，改进和推广了以往非线性项只是超线性或只是次线性 时非线性三点边值问题的正解的存在性结论 关键词：b a n a c h 不动点定理；人口发展方程；随机积分解；三点边值问题； k r a s n o s e l s k i i 不动点定理 i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t s e v e r a lk i n d so ff i x e d - p o i n tt h e o r e ma n di t s 1 j l l a d d l l c a t l o ni nn o n l i n e a ra n a l y s i s a bs t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，n o to n l yb a n a c h sf i x e d - p o i n tt h e o r e ma n di t sw i d ea p p l i c a t i o n ，b u t a l s ok r a s n o - s e l s k i i sf i x e d p o i n tt h e o r e ma n di t sa p p l i c a t i o na r es t u d i e d t h ew h o l ea r t i c l ec a nd i v i d ei n t ot h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t , b a n a c h sf i x e d p o i n t t h e o r e mt h a ti s c o m p r e s s i n gm a pt h e o r e m i s i n v e s t i g a t e d a l s o ，i t si m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s i n s o l v i n gt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n di n t e g r a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e d t h ep r o b l e m so ft h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o ni ne q u a t i o n sa r ed i s c u s s e db ya p p l y i n gi n s t a n c e s t h et h e o r y v a l u ea n da p p l i c a t i o nv a l u eo fb a n a c h sf i x e d p o i n tt h e o r e ma r eb o t l le m p h a s i z e di nt h e c h a p t e r i nt h es e c o n dp a r t ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fr a n d o mi n t e g r a ls o l u t i o n si s p r o v e d f o rac l a s so fm a c c r e t i v ep o p u l a t i o nd y n a m i c s 、析t l lr a n d o mm i g r a t i o n p e r t u r b a t i o n si na r b i t r a r yf i n i t ei n t e r v a lo f t i m eb yu s i n gb a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e mo f t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a lt h e o r y , w h i c ha r et h ei m p r o v e m e n to ft h er e s u l t so b t a i n e db y u s i n gs c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds a d o v s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m i nt h el a s tp a r t ， t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o nf o ra s e c o n d - o r d e rt h r e e p o 血b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i si n v e s t i g a t e d s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o na r e o b t a i n e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tn o n l i n e a ri t e ma r ea l ls u p e r l i n e a ro ra l ls u b l i n e a ro r o n ei s s u p e r l i n e a r , a n o t h e r i ss u b l i n e a r b yu s i n g k r a s n o s e l s k i i sf i x e d p o i n t t h e o r e m ，w h i c hh a si m p r o v e da n dg e n e r a l i z e dt h er e s u l t so ft h et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o nf o ras e c o n d - o r d e rt h r e e - p o 缸b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t n o n l i n e a ri t e ma r eo n l ys u p e r l i n e a ro ro n l ys u b l i n e a r k e y w o r d s ：b a n a c h sf i x e d p o 硫t h e o r e m ；p o p u l a t i o nd y n a m i c s ；r a n d o mi n t e g r a ls o l u - t i o n ；t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；k r a s n o s e l s k i i sf i x e d - p o i n tt h e o r e m 东北大学硕士学位论文目录 目录 独创性声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 目录 第一章引言。1 1 1 不动点的产生历史1 1 2 不动点理论的广泛应用2 1 3 本文的主要内容2 第二章b a n a c h 不动点定理5 2 1 相关概念5 2 2b a n a c h 不动点定理及推广定理5 2 3b a n a c h 不动点定理在微分方程和积分方程中的应用7 第三章一类非线性人口发展方程解的存在唯一性1 5 3 1 引言和预备知识1 5 3 1 1 研究背景和意义1 5 3 1 2 非扩展算子和m 增生算子1 5 3 1 3 本章概述“17 3 2 主要结论。1 9 3 2 1 确定型情形1 9 3 2 2 随机型情形2 0 第四章一类非线性二阶三点边值问题正解的存在性2 3 i v 目录 东北大学硕士学位论文 4 1 引言和预备知识2 3 4 1 1 本章中用到的引理和预备知识2 3 4 1 2 本章概述2 5 4 2 主要结论2 7 第五章总结3 5 参考文献3 7 致谢3 9 v 东北大学硕士学位论文第一章 引言 第一章引言弟一早ji 百 1 1 不动点的产生历史 不动点理论是2 0 世纪一个格外引人注目的数学分支关于映射不动点定理的 相关问题，一直是数学科学中的主流课题在很早以前，人们就已经发现许多数 学问题解的存在性总可以归结为某种映射有无不动点的问题而且不动点现象在 自然界里、在生活中也是随处可见的，许多重要的数学成果都是借助于不动点理 论而获得的，尤其是在建立各类方程( 其中包括各类线性或非线性的，确定或非 确定型的微分方程，积分方程以及各类算子方程) 的解的存在性和唯一性问题中 起着非常重要的作用它的研究成果不断地涌现，对数学的影响也越来越大，不 动点问题已经成为数学学者研究的热门课题 所谓的不动点，从简单意义上讲是在映射厂下，必有一点m ，使得厂( m ) = m ， 则称具有性质厂( m ) = m 的点m 为映射厂的不动点 举一个简单的例子：一个人从上午s 时刻出发由甲地去往乙地，r 时刻到达乙 地，第二天此人再由上午s 时刻出发由乙地去往甲地，丁时刻返回甲地令人奇怪 的是无论这个人在路上怎么走，总有一个地点m ，他往返两次经过m 的时刻t 完 全相同! 而这个人在往返过程中的速度并不是匀速的，他可以任意速度行走，甚 至还可以停下来，都不会改变上述结论，这不能不令人们大惑不解 一般的，设厂( m ) = m 是定义在【口，b 】上的连续函数，r a s ( x ) b ，则必有 某个x k b 】，i 吏 | 导f ( x ) = 玑 这就是荷兰数学家布劳威尔在1 9 1 2 年所证明的不动点定理的最简单的情 形他证明了，z 维单形到它自身的连续变换至少有一个不动点这一结果在微分方 程、非线性分析、以至于现代计算理论中都有重要的应用 用不动点定理可以解答许多有趣的问题：比如设三是任意一条封闭的凸曲线， 彳为内的任意一点，则不论么的位置如何，一定有过么的一条弦被点彳平分 对于什么时候有不动点的问题，长期以来一直在困扰着人们 将两把不同比例的直尺刻度对着刻度的任意拼接在一起，则根据上述不动点 第一章引言 东北大学硕士学位论文 的存在定理条件可知，必有某一个点尸存在，使得它在两把尺上的两个刻度值相 等 此外，有不动点也不一定要求函数是连续的例如，可以证明在 口，6 】上有定 义的增函数厂( x ) ，如果定义域包含值域，则一定有不动点 以上介绍的是有不动点的充分条件人们希望能够找到不动点存在的充分又 必要的条件，但至今尚未获得此外，如果有不动点时，有多少个不动点? 这也 是一个很难确定的问题这些都等待人们进一步去解决【1 】 1 2 不动点理论的广泛应用 许多代数方程、微分方程和积分方程的求解问题可以转化为某种映射有无不 动点的问题上来函数空间中的自身连续映像的不动点存在问题在非线性泛函分 析的研究中占有重要地位在研究方程解的存在性和唯一性问题时，b a n a c h 不动 点定理起着关键的作用把一些方程的求解问题( 例如微分方程，积分方程，代 数方程等) 化成求映射的不动点，并用逐次逼近法求该不动点，是分析和代数中 的常用方法，其基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法；后来， p i c a r d 运用逼近法解常微分方程；1 9 9 2 年，b a n a c h 把这个方法的基本点提炼出来， 就是b a n a c h 不动点定理应用b a n a c h 不动点定理可以来证明隐函数存在定理、 可以求解线性代数方程组的问题，还可以解决常微分方程和积分方程方面的应用 问题 1 3 本文的主要内容 本文主要研究的内容可分为三大部分，第一部分主要研究了b a n a c h 不动点定 理及其推广定理，并应用以上不动点定理得出了几类微分方程和积分方程解的存 在性和唯一性定理不动点定理非但证明了不动点的存在性和唯一性，同时它提 供了求不动点的方法一迭代法，这种方法也称为逐次逼近法 第二部分主要研究了b a n a c h 不动点定理在具有随机移民扰动的非线性人口发 展方程中的应用一个国家或地区的人口发展过程是一个动态过程，人口系统是 一个动态系统，这一事实不仅已为大多数人口学家所承认，而且已为科学实践所 证明对于一个比较安定的社会( 国家、省市或地区) ，描述人口发展过程可以用 东北大学硕士学位论文第一章引言 两种模式来描述，一种是连续模型：一个带有相应边界条件的偏微分方程；另一 种是离散模型：一个双线性控制的离散差分方程组第三章利用m 增生算子理论， 研究了连续模型，即具有随机移民扰动的非线性人口发展方程，应用b a n a c h 不动 点定理证明了在确定型和随机型两种情况下解的存在唯一性 第三部分利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理研究了一类二阶非线性常微分方程三 点边值问题正解的存在性问题，得出了正解存在的几个充分条件 东北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 不动点定理 第二章b a n a c h 不动点定理 2 1 相关概念 定义2 1 嘲 给定( x ，p ) ，彳是x 到它自身的一个映射如果存在数口， 0 倪 0 ，存在自然数m ，使 对任意的肌，n m ，都成立p ( ，) 占，则称序列 是c a u c h y 列 定义2 4 1 2 j ( 完备度量空间) 给定度量空间( x ，p ) ，若x 中的任一c a u c h y 列 都在( x ，p ) 中收敛，则称( x ，p ) 是完备的度量空间 2 2b a n a c h 不动点定理及推广定理 定理2 1 2 1 ( b a n a c h 不动点定理)在完备的度量空间中的压缩映射必然有 唯一的不动点 证明设度量空间r 是完备的，么是r 到它自身中的压缩映射先证明彳存 在不动点 在r 中任取一点，从而开始，作一迭代程序：令 五= 左，x 2 = 如= 彳2 x o ，毛= 彳矗一l = = 彳”x o ，n = l ，2 这样得到r 中的一列点 而 只要我们证明了 矗) 是基本点列，那么它在完备空 间r 中存在唯一的极限x 。：矗寸x 因为由压缩映射的连续性，又有以专出但 是以= + 。jx ，又因为收敛点列以的极限是唯一的，必然有血= x ，那么4 第二章b a n a e h 不动点定理东北大学硕士学位论文 的不动点就是x 了 现在证明 而 是基本点列由于彳是压缩映射，我们有 p ( 小) = p ( 以，以一。) 印( ，一。) ，( 刀1 ) ， 反复应用此式，不难由归纳法得到 p ( 矗+ 。，) 口”p ( 而，) ，( ，z 1 ) 于是，对于任意正整数p ，由三点不等式及( 2 1 ) 得到 p ( + ，毛) p ( 吒+ p ，+ p 。) + p ( + p 小+ p 一：) + + p ( 矗小毛) ( 口肿矿1 + 口”p - 2 + + 口”) p ( 而，x o ) ：口n i _ 0 6 n + pp ( 五，) = 一，】- l r - l 一口 兰p ( 而，) ， 焉p 【而，j ， 由于o 口 1 ，所以 是灭中的基本点列 ( 2 1 ) 我们再证明不动点的唯一性设x 7 也是彳的不动点，即血= x 7 于是必有 p ( x ，x ) = j d ( 矗，血) 印( x ，) ， 但是o 口 1 ，欲要上式成立，必须户f x ，) - - o ，所以，= x ，证毕 我们应该注意到，空间r 的完备性条件，只是为了保证映射彳的不动点存在， 至于不动点的唯一性是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的 在( 木) 式中令p 专o o ，得到 p ( x ，) 篙p ( 葺，x o ) ，咒= 0 ，l ，2 ， 因此可以得到 一 推论2 1若x 是4 的不动点，则对任取的点r 及五= a x ot a 自然数门，有 p ( x ，) 篙p ( 五，) ，刀= 0 ，1 ，2 ， 东北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 不动点定理 此处是j c o 的第疗次迭代，x 是第刀次近似 此式告诉我们逼近解矗与未知真解x 的逼近程度 定理2 2 【2 1 设度量空间r 是完备的，y = b x 是r 到r 的映射如果存在一个 自然数n 使得是r 上的一个压缩映射，那么映射b 在尺中必有唯一的不动点 当刀= 1 时，定理2 2 就是定理2 1 证明令a = b ”，则彳是r 上的压缩映射，由定理1 ，彳有不动点x ： 血= x 下面证明x 是b 的不动点事实上映射a b = b 肘1 = b a ，所以 彳( 凰+ ) = b ( 血+ ) = 擞，因此戤也是彳的不动点由于压缩映射彳只有一个不动 点，所以必然有b x = x 若x 是b 的任一不动点，由于b x = ，则 b ”x = b ”一1 ，= = x ， 因此，一也是4 = 矽的不动点又由于a 的不动点只有一个x ，所以，= x + 就 是说b 的不动点也只有一个证毕 2 3b a n a c h 不动点定理在微分方程和积分方程中的应用 在计算数学中，常常要计算一些代数方程、微分方程和积分方程的解，所用 的方法是迭代法，然而我们首先就要判断这类方程的解的存在性与唯一性，用数 学分析方法来解决则难度较大，现在应用上述不动点原理证明几类微分方程和积 分方程解的存在性和唯一性定理 定理2 3 网( 隐函数存在定理) 设函数厂( x ，y ) 在条形闭区域 a x b ，- - 0 0 y o o ， 上处处连续，且处处有关于j ，的偏导数( 工，y ) ，而且有常数所 m 使得在上述条 形区域中 0 m - - l ( z ，j ，) m ， 那么方程厂( x ，y ) = o 在闭区间【口，6 】上必有唯一的连续解y = 矿( x ) 7 第二章b a n a c h 不动点定理 东北大学硕士学位论文 证明 在元备空间c a ，b 】中作映射 却2 矽一吉厂( 坤) ， 这是c 【口，6 】到自身的压缩映射事实上，对于仍，仍c 【口，b 】，由微分中值定理 有0 0 1 使得 i ( 训( 矿( 训( 州嘶) 一击他训吲小吉他州i = 卜) 一仍( x ) 一万1 7 硼( x ) + 秒( 仍( x ) 一仍( 踟仍( x ) 一仍( x ) ) l 枷) 训砸一署) ， 由于o 万m 1 ，所以o 1 一言 1 令口= 1 一吾，便有 i ( 彳仍) ( x ) 一( 锄) ( x ) i 口i 仍( x ) 一仍( 石) i ， 所以 i l 么仍一么仍i l 口0 仍一仍i i 这就说明a 是c 【口，b 】中的压缩算子由定理2 1 ，有唯一的缈c 【口，6 】使得 4 伊= 伊， 这就是说 f ( x ，妒( x ) ) - 0 ，口x 6 定理2 4 刁 设f ( x ) 是区间 口，b 】上的连续函数，k ( x ，y ) 是三角形 x ，y ) l a x b ，口y x 上的连续函数，而且设陋( x ，y ) i - m ，那么对于任何常数 力，方程伊( x ) - - f ( x ) + 名r k ( x ，y 切( j ，) 方在【口，6 】上有唯一的连续函数解缈( x ) 证明 考察c 【口，6 】到c 【口，b 】的映射：缈h 却 b 妒( x ) = 厂( x ) + aj c r k ( x ，y 切( y ) d y ， 对于c 口，b 】中的任意两个函数仍( x ) ，仍( x ) ，当x 【口，b 】时 东北大学硕士学位论文 第二章b a n a c h 不动点定理 砌( x ) 一b 仍( x ) 斗r k ( w ) ( 仍( y ) 一仍( 少) ) 砂l - i 五l m ( x - a ) l l o , 一仍i | 今用归纳法证明：当x 【口，b 】时， 矿仍( x ) 一仍( x ) m i ”m ”( x - 刀a ：) l l 仍一仍1 1 当r = 1 时已证假设上式对于n 成立，现在来推出对于n + l t g 成, - r 事实上 眇仍( x ) - b + l f p 2 ( x ) 斗rk ( 训) ( 仍( y ) 圳仍( 少) ) 咖l i 五i r i k ( x ，y ) i b ”q ，l ( y ) - b ”仍( y ) l d y = n m 弘”( p l ( y ) - b ”仍( y ) 陟 h m r h ”m ”y 丁- a ) n i i 仍一仍0 咖 ：丁t,n+lm n + 1 ”仍吣y 一口) ”砂 ：圳斛1 m ll 于是上式对n + l 成立取自然数 ，使得 那么 ，( x 一口) 胂1 ( ，2 + 1 ) ! 口= w m ”_ x - r a ) n 1 ， 慨一仍l i ， 0 鲲一矽仍0 = m 。立a 妫x i b ”仍( x ) 一b ”仍( x ) i 口0 鲲一仍1 1 利用定理2 2 就知道上述方程在c 【口，b 】中有唯一解 定理2 5 2 1 设f ( s ) 为a s b 上的连续函数，k ( s ，) 为正方形a s b ， 口f 6 上的连续函数，且有常数m 使得 肚( 蹦) 印m ，a s 6 ) ， 那么，当h 万1 时，必有唯一的缈c 【口，6 】适合方程 9 第二章b a n a c h 不动点定理东北大学硕士学位论文 妒( s ) = ( s ) + ar 忌( s ，t ) v ( t ) d t 证明 在连续函数空间c 【口，6 】上定义映射 k 缈( s ) = 厂( s ) + a r 后( s ，t 切( t ) d t ， 记口= m ，那么口 l ，对于任意的伊，y c a ，b 】，有 k 伊一k y i i = l 五i 0 r 七( 岛r ) 伊( r ) 出一r 七( s ，r ) ( r ) 衍0 h 燃仆( 愀r ) 一沙( r ) i 衍 h m 黝挑) 一沙( f ) l = 口i l 伊一y i l ， 应用b a n a c h 不动点定理便知上述积分方程有唯一的连续解伊( f ) 定理2 5 设伊( s ) = 厂( s ) + 兄r 尼( j ，f 切( r ) 出，其中七( j ，f ) 为正方形口s 6 ， a t 6 上的连续函数，f c a ，b 】，m = “、燃，i 七( r ，j ) i 佃，则在 ( f ，s ) p ，6 1 x 【口，6 】i v 川 五l 面矗= 万时，此方程有唯一的解缈( f ) c b 6 】 证明令丁伊( s ) = 厂( s ) + 五r 后( j ，f 切( ，) 出，伊( f ) c 【口，6 】，f 【口，6 】， 则t ：c a ，6 】_ c 【口，b 】，且对伊，y c a ，6 】有 一即h m h a x 。i t 口o ) ( s ) 一( 砷) ( s ) i h 黝帆柚) 批) 一( ，) 1 班 - h m ( b 口，) ，m 。【。a ，x 。】1 c ，o ( 、s ) 驴，( s ) i = h m ( 6 一口) 忉一少l | d 盱h m ( b - a ) l ，c a ，6 】完备因此由b a n a c h 不动点定理便知上述积分方程 有唯一的解 定理2 6设线性方程组 x = a x 4 - b ， 1 0 ( 2 2 ) 东北大学硕士学位论文第二章b a n a c h 不动点定理 其中彳= ( 吩) 脚， 6 = ( 岛，6 2 ，既) r ， 而x r ”是未知量若4 满足 y ”, i o , ，i 1 ( i = 1 ，2 ，刀) ，贝j j ( 2 2 ) 有唯一解 j = l 证明设r ”上 d ( x ，y ) _ m a x 。f f , 一饶i ， 其中x = ( 缶，受，) r ，y = ( 7 7 1 ，珑，巩) 7 r ”，易验证( r ”，d ) 是完备度量空间令 r ：( r ”，d ) 专( 尺”，d ) ，其中戤= 血+ 6 ，x er ”易知 d ( t x ，r y ) d ( a x + b ，砂+ 6 ) 1 月 n l 2 磷謦彭一蔷叫 懋弘| m a x l 白一协 = 材( x ，y ) ， 其中后2 唆喜i l l 即丁是压缩映射由b a l l a c h 不动点定理，必存在唯一的不 动点x = ( 缶，彘，色) r r ”，使得z = a x + 6 这就意味着方程( 2 2 ) 有唯一解 定理2 7 设有初值问题 璧= 饰，y ) ， ， 、 【y ( x o j 。 ( 2 3 ) 其中厂( x ，y ) 在矩形4 = ( x ，y ) ：l x - x o l - a ，l y - y o b ) 上连续，且在么关于y 满足 l i p s c h i t z 条件，即存在常数k 使得 ( x ，咒) 一厂( x ，y ：) i - k l y , - y 2 1 ( x ，m ) ，( x ，y 2 ) a ， 贝j j ( 2 3 ) 在 而一万，x o + 万】上有唯一解歹( x ) ，且歹( x ) c 1 x o - 6 ，x o + 万】，其中 万= 血n 口，万b ，去) 而m = 。m 训a 脚xl f ( 五y ) | ，c 1 x o - a , x o + s 】表示在【x o - 6 , x o + 6 第二章b a n a c h 不动点定理 东北大学硕士学位论文 上具有连续的一阶导数的函数之全体 证明 首先化初值问题( 2 3 ) 为等价的积分方程 y ( x ) = 乩+ 厂( f ，少( f ) 净 ( 2 4 ) 对于( 2 4 ) 可适当地选择空间，再在其上定义适当的压缩映射取c x o 一艿，x o + 艿】的 闭子空间；d ： yy c x o - 8 ，x o + 8 1 ，y ( x o ) = y o ，d ( j ，y o ) - b 则d 是b a n a c h 空 间定义( 矽) ( x ) = + 厂( f ，y ( t ) ) a t ，y d ，则对y d ，有 ( x ) 一i = i 巾，y ( ，) ) 衍| m 万 6 ， 因此，t dc d 而对乃，y 2 d l ( 巩) ( x ) 一( 巩) ( x ) | _ i 巾，m ( r ) ) 一巾，y 2 ( r ) ) 刊 肼( ，) 一躬( ，) 1 k d t k 8 m a x l y , ( t ) 一儿( ，) i ， 所以d ( 巩，巩) l z d ( y , ，y 2 ) 由b a l l a c h 不动点定理，丁有唯一的不动点y d ， 使得砂。= y 即 y 。( x ) = + 巾，j ，( r ) 净 定理2 8 3 1 设函数| | ：【o ，丁】【o ，r l e 1 专e 1 并满足l i p s c h i t z 条件 i 后( f ，s ，x ) - k ( t ，s ，y ) l - l i x - y l ，( s ，f ) o ，丁】【o ，丁】，x ，y e 1 ， 则对任意v c o ，t 】，积分方程 甜( f ) = v ( ，) + f 七( 柚，甜( s ) p ( o f 丁) ， ( 2 5 ) 有唯一解“c o ，t 】此外，x c 任选u o c o ，t 】，迭代 u n + l ( f ) = v ( f ) + f 七( ，( s ) p ， ( 2 6 ) 所得序列 ( f ) ) 在【o ，丁】上一致收敛于解甜( f ) 证明 我们把连续函数空间c f o ，t 1 改赋范数 东北大学翌主兰堡垒圭 釜三主星竺竺垒至垫：墨查墨 。= 黔e - i t 龇) l ，当g c o ，丁】， 以1 1 i i 。为范数的连续函数空间记作c l 【o ，r 1 它仍是b a i l a c h 空间本来对g c o ，r l ， m = 糌) l 现在 e - l t m - m 。- m ， 故两范数等价考虑下面的积分算子 ( 以) ( r ) = v ( r ) + f 尼( 舢，g ( j ) p ， 易知，a ：c l 0 ，r 卜c l 【o ，r 】显然方程( 2 5 ) 有唯一解当且仅当么在c 1 【o ，丁】内有唯 一不动点因为 一a h l l 。 l m 心a s x r e - l tf i g ( s ) 一乃( s ) 陋 = l m 。g a x p nfp厶p一厶ig(s)一办(s)ldst o g 刃 、 l l l g h i 慨m a n x e 以f p 厶凼 ( 1 一e 屯r ) 恬一m 当g ，h c i 0 ，r 】， 而1 - e - 血 0 ，使得 p ( r x ，r y ) m p ( x ，y ) ，x ，y q ， 第三章一类非线性人口发展方程解的存在唯一性东北大学硕士学位论文 满足此不等式的最小m ，称为算子丁的l i p s c h i t z 常数，记作三( 丁) 当三( 丁) = 1 时， 称丁是非扩展的若 p ( 致，t y ) p ( x ，j ，) ，x , y q 且x y ， 则称丁是严格非扩展的 由上述定义看出，严格非扩展算子是非扩展的，它们都是l i p s c h i t z 算子这类算 子是连续的 定理3 1若严格非扩展算子有不动点，则不动点唯一 证明设x 是距离空间，qcx ，q 矽算子t ：qjx 的严格非扩展算 子，令x 是t 的不动点，下证x 是算子t 的唯一不动点 假设x 也是算子t 的不动点，且x x + ，则有t x = x ，t x = x 由定义知， p ( a + ，t x ) p ( x ，x ) ，即p ( x 。，x ) 0 ， 满足r ( ，+ 五丁) = e ，则称算子丁是所增生算子 3 1 3 本章概述 设( q ，) 是可测空间，x 是可分的b a n a c h 空间，对映像f ：q _ 2 x ，如果 对x 中的任意开集b ，f - 1 ( b ) = 国q i f ( 缈) n 曰 ，那么称映像f 是可测 的对算子丁：q x 一2 工，如果丁( ，x ) 对任意x x 是可测的，那么称算子丁是 随机的对于映像x ：q 专x ，如果x 是可测的，并且x ( 缈) t ( c o ，x ( 彩) ) ，那么 称映像x ：qj x 叫做随机算子丁的随机不动点如果丁( 国，) 对任意彩q 是紧 的( m 增生的) ，那么随机算子叫做随机紧的( 随机m 增生的) 关于其它概念和 记号，请读者参阅f 6 8 1 本章研究下述具有随机移民扰动的非线性人口发展方程 掣+ 掣：g ( 咖) ) ( 口) + b ( 妒( 训r ) ； 研 抛 、v 川、7、。、。川、7 第三章一类非线性人口发展方程解的存在唯一性东北大学硕士学位论文 尸( 国，t ，0 ) = f ( 尸( 缈，f ，) ) ； ( 3 1 ) p ( 缈，0 ，a ) = 矽( 缈，a ) 其中f 【o ，o 。) 表示时间，口【o ，) 表示年龄，p ( r ，口) 表示f 时刻年龄为口的人口密 度，g ( p ( t ，) ) ( 口) 表示人口年龄老化函数，b ( 国，p ( ，以) ) ( f ) 表示随机移民率，( 缈，) 表示婴儿绝对出生率，f ( p ( 国，f ，) ) 表示出生函数一般情况下，g ，b 均为非 线性算子，f 是非线性泛函 a m 为人类的最高年龄，现取x = z 【o ，a m 】为系统的状态空间，则时刻f 的总 人数为fp ( t ，口) a a ：l i p ( , ，) 忆，在任意有限时间区间【o ，丁】，设尸( 彩，六) x ，( 即 对任意缈q ，f o ，t 】，有p ( c o ，f ，口) z 【o ，a m 】) ，g ：xjx ，p ( c o ，口) c ( o ，丁】，x ) ，b ( c o ，) ：c ( 【o ，丁】，x ) j 一( o ，丁】，x ) ， 在x 上定义非线性算子4 缸鼍_ g ( 填即) = 卜x 陲砌) 叫“) ) ， 其中“( f ) = e ( t ，) x ，f 【o ，t 】，则( 1 ) 化为x 上的随机非线性发展方程 z i ( f ) + a u ( t ) = b ( 缈，“) ( f ) ，甜( 国，0 ) = 矽( 国) x ( 3 2 ) 当b 为零算子时，( 3 1 ) 即为文献 9 中所研究的非线性人口模型当b 为零算子且 g ( 尸( r ，) ) ( 口) = 一( 口) p ( f ，口) ，f ( p ( t ，) ) = r ( 口p ( f ，口) 砌时，( 3 1 ) 即为文献 1 0 】 中所研究的线性人口模型b 为零算子，即不考虑移民影响文献 9 】在a 为m 增 生算子，b 为零算子时，讨论了解的渐近估计问题文献【1 1 】在 b ( 国，p ( ，口) ) ( f ) = g ( f ，口) 即b 为确定型常算子，：j 毕r f 是线性积分型算子时，讨论 t ( 3 1 ) 的解的存在性文献 1 2 在4 为m 增生算子，b ( 缈，) 为随机紧算子时，证明 t ( 3 1 ) 局部解的存在性文献 1 3 】在4 为m 增生算子，b ( 国，甜) 关于，连续，关于甜 满足李普希兹的条件下，研究了具有随机周期移民扰动的非线性人口方程随机周 期解的存在唯一性文献1 4 ，1 5 1 在a 为m 增生算子，算子b 为紧算子且值域有界 东北大学硕士学位论文 第三章一类非线陛人口发展方程解的存在唯一性 ( 即在【o ，t 】时间内，移民总数由上限) 条牛- v ，分别应用非线性分析中的s c h a u d e r 不动点定理及s a d o v s k i i 不动点定理证明了方程( 3 2 ) 在整个时间区间【o ，丁】上存在 随机积分解 本章在彳为m 增生算子，召为压缩算子且值域有界的条件下，应用b a n a c h 不 动点定理证明t ( 3 2 ) 在确定型和随机型两种情况下积分解的存在唯一性 3 2 主要结论 3 2 1 确定型情形 设x 是b a n a c h 空间，考虑初值i 司题 西( f ) + 彳材( f ) ( f ) ，o t t ，材( o ) = x ， ( 3 3 ) z i ( f ) + 彳“( f ) ( 召甜) ( f ) ，0 f t ，u ( o ) = x ， ( 3 4 ) 其中a ：d ( 彳) cx 一2 j 是聊增生算子，b ：c ( o ，丁】，x ) 一_ ( o ，丁】，x ) ，且满足 i l 如一晟色l l 口i i 五一而0 ( o 口 1 ，x l ，x