（工程力学专业论文）无网格GALERKIN方法及裂纹扩展数值模拟研究.pdf

山东大学博士学位论文 摘要 本文以裂隙岩体为研究背景，利用无网格g a l e r k i n 方法和偶应力理论下的无 网格g a l e r k i n 方法，根据本文提出的最大周向拉应力裂纹扩展准则，对二维裂纹 扩展和三维裂纹扩展问题进行了数值模拟研究。 首先推导了二维无网格g a l e r k i n 方法、偶应力理论下的无网格g a l e r k i n 方 法及三维无网格g a l e r k i n 方法的基本公式。然后根据最小势能原理，导出了弹性 体的离散方程。以经典的二维和三维弹性力学问题为算例研究了无网格方法的程 序实施和几个重要参数的合理配置。采用罚参数法来释放位移约束，引入边界条 件；基于节点控制的思想，确定动态影响半径，那么在裂纹前沿节点加密区域适 当减少了最小二乘的计算量，可以适当提高无网格方法的计算效率。 利用空间解析几何理论，建立了裂纹前沿局部坐标系，计算了局部坐标和全 局坐标的变换矩阵，导出了局部坐标中周向正应力与全局坐标中应力分量的变换 公式，为裂纹曲面( 线) 的描述和裂纹扩展数值模拟做好了充分的数学准备工作。 在研究裂纹扩展时，采用可视准则，体现裂纹对节点之间、节点与高斯积分 点之间的隔离作用。 选择合适的裂纹扩展准则，确定裂纹扩展条件、扩展方向和扩展步长是研究 裂纹扩展的关键。考虑到目前常用的二维裂纹扩展准则存在缺陷和没有三维裂纹 扩展准则，在其它学者的思想基础上，本文提出了一个新的裂纹扩展准则一一最 大周向拉应力裂纹扩展准则。该准则不仅给出了裂纹扩展方向、扩展条件，还给 出了确定扩展步长的依据，摒弃了计算应力强度因子带来的误差和麻烦，尤其是 三维裂纹问题，克服了靠经验给定扩展步长的弊端。 结合本文提出的最大周向拉应力裂纹扩展准则，考虑到三维裂纹的扩展曲面 可能出现弯折、扭曲现象，把裂纹扩展曲面分成若干个片断面，并将每个裂纹片 断面划分成三角形表示，实现了裂纹曲面的数学描述。 在裂纹扩展的数值模拟中，为了识别裂纹形态和提高模拟精度，在裂纹面两 侧增加了附加节点，并对处在裂纹扩展段或扩展片断面上的节点实旋了劈裂技 术，分别置于两侧的裂纹表面上。 研究无水压平面裂纹扩展数值模拟，并与其它数值计算方法的结果和相关的 山东大学博士学位论文 试验结果进行了对比，得到了致的结论，确保了最大周向拉应力裂纹扩展准则 的有效性。在此基础上，分别研究了裂隙水压和偶应力对裂纹扩展的影响，得到 了一些新结论。 由于三维裂纹扩展问题的复杂性，目前对三维裂纹扩展数值模拟的研究成果 较少。用传统的计算方法仅对币形裂纹的i 型扩展进行了数值模拟。本文以三维 无网格g a l e r k i n 方法为基础，采用最大周向拉应力裂纹扩展准则，首先对椭圆形 裂纹的i 型扩展进行了数值模拟，数值模拟结果与试验结果一致，再一次证实了 三维无网格g a l e r k i n 方法程序实施技术的正确性、最大周向拉应力裂纹扩展准则 的正确性和三维裂纹扩展曲面数学描述的有效性。在此基础上，对三维表面斜置 半圆形裂纹的扩展进行了数值模拟，了解了复杂三维裂纹不同扩展阶段的扩展方 式、扩展曲面的形态，以及空间方位对三维裂纹扩展模式的影响，填补了国内在 三维复杂裂纹扩展数值模拟方面的空白。 通过三维裂纹的数值模拟可以清楚地了解三维裂纹扩展的全貌，弥补了三维 裂隙断裂试验与理论研究的不足，为进一步研究三维裂隙断裂的本质提供一定的 参考价值。 关键词：裂纹扩展：裂纹扩展准则；偶应力；无网格国，p ，恸l 方法；数值模拟 山东大学博士学位论文 a b s t r a c t r h es t u d yb a c k g r o u n do ft h i sp a p e ri st h ec r a c kr o c km a s s an e wc r a c kp r o p a g a t i o n ：r i t e r i o n s ，t h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a lt e n s i l es t r e s sc r i t e r i o n s ，a r ep r e s e n t e di nt h i s j a p e r t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no f t w o d i m e n s i o n a l ( 2 - d ) a n dt h r e e - d i m e n s i o n a l ( 3 一d 1 ：r a c kp r o p a g a t i o na r es t u d i e db a s e e do ne l e m e n tf r e eg a l e r k i n ( e f g ) m e t h o da n d2 - d e f gm e t h o db a s e do nc o u p l es t r e s s e st h e o r y b a s i cf o r m u l a eo f2 - de f gm e t h o da n d2 - de f gm e o t h o db a s e do nc o u p l e ；t r e s s e st h e o r ya n d3 - de f gm e t h o da r ed e r i v e d a r e r w a r d s ，d i s c r e t ee q u a t i o n sf o r d a s t i cb o d ya r ed e r i v e db yu s eo ft h em i n i m u sp o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l e b yu s eo f f l a s s i c a l2 - da n d3 - dp r o b l e m s ，t h ei m p l e m e n to f2 - da n d3 - de f gm e t h o da r e t i s c u s s e d a n dt h em a t c h i n go fs e v e r a li m p o r t a n tp a r a m e t e r si n2 - da n d3 - de f g 【l l e t h o da r ed i s e n s s e d ，t o o t h ed i s p l a c e m e n tr e s t r i c t i o ni sr e l e a s e db yu s eo f a p e n a l t y p a r a m e t e r s ot h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e di n t oe f g m e t h o d s b a s e do nt h ei d e ao fc o n t r o l l i n gn o d a ln u m b e r , a l t e r a b l ei n f l u e n c er a d i ic a nb e j e f i n e d t h el e a s ts q u a r ec a l c u l a t i n ge s t i m a t ei sc u td o w ni nd e n s en o d a la r e aa n d ：a l c u l a t i n ge f f c i e n c yo f e f g m e t h o d si se n h a n c e dp r o p e r l y b a s e do ns p a c ea n a l y t i cg e o m e t r y , t h el o c a lc o o r d i n a t e sa tc r a c kf r o n ti sb u i l tu p t h ec o o r d i n a t e st r a n s f o r mm a r x ，b a s ev e c t o rt r a i l s f o r m ，v e c t o rt r a n s f o r ma n d i i s p l a c e m e n tt r a n s f o r ma r ee s t a b l i s h e df r o mt h eg l o b a lc o o r d i n a t e st ot h el o c a l ；o o r d i n a t e sa tc r a c kf r o n t t h ec i r c u m f e r e n t i a ls t r e s sf o r m u l a ea r ed e r i v e di l lt h em a i n n o r m a lp l a n eo ft h el o c a lc o o r d i n a t e sa tc r a c kf r o n t s ot h e r eh a v es u f f i c i e n t ? r e p a r a t i v ew o r kf o rt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no f c r a c kp r o p a g a t i o na n ds r r f a c eo rl i n e ) f c r a c k p r o p a g a t i o n i ns t u d y i n gc r a c kp r o b l e m ，t h ev i s i b i l i t yc r i t e r i o ni sa d o p t e dt of i g u r ei s o l a t i o no f 跚kb e t w e e l ln o d a l sa n di n t e g r a ln o d a l s c h o s e nap r o p e rc r a c kp r o p a g a t i o nc r i t e r i o nt od e t e r m i n ec o n d i t i o n ，d i r e c t i o n sa n d ；t e p so f c r a c kp r o p a g a t i o ni st h ek e y s h o r t c o m i n go f2 - dc r a c kp r o p a g a t i o nc r i t e r i o n sa n dn oc r i t e r i o n so f3 - dc r a c k i l l 山东大学博士学位论文 p r o p a g a t i o na r ec o n s i d e r e d b a s e do no t h e rs c h o l a r sw o r k ，an e wc r i t e r i o n so fc r a c k p r o p a g a t i o n ，n a m e l yt h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a lt e n s i l es t r e s sc r i t e r i o nf o r2 da n d 3 - dc r a c ka r eb r o u g h tf o r w a r di nt h i sp a p e r t h en e wc r a c kp r o p a g a t i o nc r i t e r i o n s g i v eo u tn o to n l yc r a c kp r o p a g a t i o nc o n d i t i o na n dd i r e c t i o n s ，b u ta l s os t e p st o o i t a v o i d st h ee r r o ra n dt r o u b l eo fc a l c u l a t i n gs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r , e s p e c i a l l yf o r3 一d c r a c kp r o p a g a t i o np r o b l e m s ，a n do v e r c o m e st h ed i s a d v a n t a g eg i v i n go u tc r a c k p r o p a g a t i o ns t e pd e p e n d i n g o ne x p e r i e n c eo f c a l c u l a t o r s u r f a c eo f3 - dc r a c kp r o p a g a t i o nm a y b ea p p e a rb e n d i n ga n dt w i s t i n gi nc r a c k p r o p a g a t i o n i t i sd i v i d e di n t os o m e s n i p p e t s e v e r ys n i p p e ti st r i a n g u l a t e d m a t h e m a t i cd e s c r i p t i o no f c r a c ks u r f a c ei sr e a l i z e d i nn u m e r i c a ls i m u l a t i o no fc r a c kp r o p a g a t i o n , f o ri d e n t i f y i n gc r a c ks h a p ea n d i m p r o v i n gs i m u l a t i o np r e c i s i o no fc r a c kp r o p a g a t i o ns u r f a c e ，a p p e n dn o d a lp o i n t sa r e a d d e do ns u r f a c ea tc r a c kf r o n t s o m en o d a lp o i n tm a y b el i ei nac r a c ks n i p p e t i ti s s p l i t e dt ot w op o i n t st ob el a i do nt h et w os i d eo f c r a c ks u r f a c e t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no f2 - dc r a c kp r o p a g a t i o nw i t h o u tc r a n n yh y d r a u l i c p r e s s u r ei ss t u d i e db ye f gm e t h o d s t h er e s u l t sa g ei d e n t i c a lw i t ht h a to fo t h e r c o m p u t i n gm e t h o da n dt e s t t h ev a l i d i t yo ft h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a lt e n s i l e s t r e s sc r i t e r i o ni sc o n f i r m e d t h ee f f e c to nc r a c kp r o p a g a t i o no fc r a n n yh y d r a u l i c p r e s s u r ea n dc o u p l es t r e s s e si ss t u d i e d s o m en e wr e s u l t sa r ef o u n d b e c a u s eo f t h ec o m p l e x i t yo f3 - dc r a c kp r o p a g a t i o n ，t h e r ea r eaf e wr e s u l t sa b o u t t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no f3 - dc r a c kp r o p a g a t i o na t p r e s e n t o n l ym o d e l i p r o p a g a t i o no fp e n n yc r a c ki ss i m u l a t e db yu s eo ft r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d i n t h i sp a p e r , m o d e l ip r o p a g a t i o no fe l l i p s ec r a c ki ss i m u l a t e db ye f gm e t h o d t h e r e s u l t sa r ei d e n t i c a lw i t ht h a to fo t h e rc o m p u t i n gm e t h o da n dt e s t o n c em o r e ，t h e v a l i d i t yo ft h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a lt e n s i l es t r e s sc r i t e r i o na n dm a t h e m a t i c d e s c r i p t i o no f3 - dc r a c ks u r f a c ea r ep r o v e d b a s e do nt h ea b o v e ，t h ec r a c k p r o p a g a t i o no f3 - ds u r f a c ei n c l i n e ds e m i c i r c u l a rc r a c k sa r es i m u l a t e dn u m e r i c a l l y t h em a n n e ri nd i f f e r e n ts t a g ea n dt h es u r f a c es h a p eo f3 - 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1 0 0 0 米以上的高山 覆盖层。特别是西南地区为地震多发的高地应力区。所以这些地下工程的围 岩在开挖条件下经常发生脆性开裂甚至岩爆等形式的破裂现象。由于这些工 程建造成本高，围岩稳定问题会造成人员伤亡和代价高昂的处理工作，并危 及工程使用的安全性。 我国的国民经济发展和西部大开发中能源和资源的开发无疑是重中之重 的课题。a v d y s k i n 、r j j e w e l l 、l i 4 g e r m a n o v i c h 等人采用模型材料，通 过实验的方法研究了在单轴压缩条件下，三维裂纹的扩展，指出三维裂纹扩 展与二维裂纹扩展有很大区别。就是说把二维情况下的试验结果用于实际上 处于三维几何形态的裂隙将会在工程实践上引起较大的偏差。因此，采用二 维裂纹扩展机制代替三维裂纹机制指导工程实际，必然产生误差或谬误，甚 至带来灾害。所以，研究三维裂隙扩展规律、寻找控制裂纹扩展的有效手段， 对裂隙岩体加固、锚固、提高裂隙岩体的稳定性等具有重要的理论意义和实 际应用价值。同时，研究三维裂隙扩展规律、搞清楚岩石、类岩石、节理岩 石等的破坏规律，寻找控制裂纹扩展的有效数值模拟手段，对高效采集石油、 煤气、天然气等具有重要的理论意义和实际应用价值。 本文选题来自于山东大学岩土与结构工程研究中心朱维申教授主持的国 家自然基金项目：三维裂隙扩展及对节理岩体强度和渗流规律的影响 ( 4 0 2 7 2 1 2 0 ) 、深埋地下工程围岩劈裂破坏能量耗散和形成机理研究 ( 5 0 5 7 9 0 3 3 ) 、西部高地应力结构性流变岩体的破坏机理及锚固可靠性研究 ( 9 0 5 1 0 0 1 9 ) 和李术才教授主持的国家杰出青年科学基金项目：岩石及裂隙 岩体本构关系及计算技术( 5 0 2 2 9 9 0 1 ) 、国家自然基金项目：断续节理岩体三 维裂隙扩展和锚杆加固止裂机理深入研究( 5 0 5 7 4 0 5 3 ) 、国家科委9 7 3 项目： 灾害环境下重大工程安全性的基础研究( 灾害发生过程中应力传递与能量释 放规律及其自适应调空) ( 2 0 0 2 c b 4 1 2 7 0 5 ) 。此课题的研究成果将是岩石力学 领域的突破与创新，将对我国一系列大型地下工程、水利工程、交通运输工 程、矿业工程、能源开发工程、能源储存工程、石油开采工程、煤炭煤气开 2 山东大学博士学位论文 采工程、核废料深埋工程和大型地下军事工程等的稳定性具有重要的实用价 值和指导意义。 1 2 裂纹扩展的研究现状 岩石是一种自然地质体，其内部不可避免地存在着各种节理、裂隙和微 缺陷。岩石的破裂与失稳通常是由于岩石中预先存在的裂隙、孔洞等原始缺 陷引起岩体内的高应力集中造成的。裂隙、孔洞等缺陷的始裂、扩展及相互 作用和贯通进而导致岩体内的岩桥破裂是脆性材料破坏的重要表现形式。 损伤力学和断裂力学的发展、各种数值计算方法的提出、高性能计算机 的出现以及高性能试验机为合理考虑岩石材料的各种缺陷的试验研究和数值 模拟研究提供了强有力的手段。 研究裂隙扩展规律的方法有理论分析方法、实验方法和数值分析方法。 1 2 1 平面裂纹扩展研究 人们对裂隙缺陷的研究是从单裂隙模型开始的，1 9 1 3 年，英格里斯( i n g l i s ) 最早计算了带有椭圆通孔平板的拉伸应力分布，当椭圆变得很窄时就可以把 它看成是一条穿透裂隙，定量的证明了应力集中现象，但他没有把工作深入 下去，未能跳出传统强度理论范畴。而最早从理论和实践中获得重要突破的 是比英格里斯晚七年的g r i f f i t h ，他于1 9 2 0 年对玻璃和陶瓷等构件的强度进 行了理论分析和试验研究，提出了因裂隙扩展导致材料破坏的条件，并从能 量的观点得出了固体强度与裂隙长度之问的表达式 1 - 3 1 。在他之后的 o r o w a n ( 1 9 4 9 ) 的修正工作使得这一理论得以发展。i r w i n 于1 9 5 7 年提出了应 力强度因子概念使得脆性断裂理论得以重大突破。之后，c o o k 、h o e k 、m e c l i n t o e k 、s a l m o n 等学者采用断裂力学理论与试验研究了岩石在受压情况下 裂隙的扩展情况【2 1 。1 9 6 6 年，b r a c e 1 3 - 1 4 提出了二维裂隙滑移开裂模型，认 为滑动裂隙端部生成的弯折型张性裂纹是在压剪型荷载作用下新裂纹生成的 主要机制，并根据该模型对岩石破坏前的扩容现象进行了微观解释。同时指 出，在受压状态下裂隙的进一步扩展要求附加荷载的连续增长以维持扩展过 程，次生裂纹以突跃方式出现的。 平面裂纹的扩展、平面裂纹系的贯通机制已研究的相当成熟， 山东大学博士学位论文 b o m b o l a k i s 、a s h b y 、h a u a m 、h o r i i 、n c m a t n a s s c r 、李术才、朱维申、黄凯 珠、周维垣、杨更社、范景伟、陈卫忠等通过模型试验和数值计算对二维情 况下某些分布的裂纹扩展问题做过较多研究1 ，研究了单个、多个和多组 雁行排列的预制张开型裂隙的起裂、扩展和贯通机制，有关这方面的文章比 较多，对工程应用起到了一定的指导作用。 国内外许多著名的计算力学学者，如t b c l y t s c h k o 、w a n g 、李树忱、周 维垣、寇晓东等都对无网格方法在裂隙扩展方向的应用表现出了极大的兴趣， 并进行了大量的研究工作口2 - a 7 。 在裂隙水压对裂纹扩展的影响方面，仅有试验研究【3 - t ，没有数值模拟研 究。这是本文要研究的内容之一。近年来由于细观力学、非均质力学的发展， 对材料尺度效应的研究使得偶应力理论受到了关注，但是偶应力对裂纹扩展 的影响还没有公开发表的相关文章。这也是本文要研究的内容之一。 1 2 2 三维裂纹扩展研究 由于数学上的困难，三维破裂的研究数量不多。裂纹扩展的起始和扩展 条件一直是断裂力学研究的主要内容。对于实际岩体来说，不论裂纹赋存于 岩体内部还是局部表面，其本质上都是三维的。相对于二维裂纹来说，三维 裂纹模型更加接近实际破裂过程，工程实际意义更大。 工程中的裂隙( 纹) 问题大部分属于三维问题，为了更好、更有效地指 导工程设计和施工，必须研究和了解三维裂隙的扩展机帝m 。但是，由于三维 裂隙问题的多样性、复杂性和难度大，有关这方面的文献极少，并且仅限于 分析三维裂纹强度因子。对于三维裂纹扩展跟踪的理论分析，由于三维裂纹 扩展问题的多样性、复杂性和数学求解的巨大难度，关于三维裂纹扩展的理 论分析文章还没有相关报导。 三维裂纹的破裂是由e r d o g a n 和薛昌明( s i hg c ) 【3 ”9 做的开拓性试验， 并提出了破裂是沿最大张应力作用方向扩展的假说。 近几年来，随着经济、科技的发展和工程的需要，实验条件得到很大的 改善，利用先进的技术设备，对类岩石材料和真岩石材料做了不少的实验， 取得了不少有用的成果，了解了一些三维裂隙扩展的规律，对部分工程具体 问题的设计和施工起到了不可替代的指导作用。地球物理学界，如李世愚、 王裕仓、尹祥础等舡“强过模型试验分析研究过三维裂纹破裂模型及加卸载 4 山东大学博士学位论文 响应对岩石破裂的影响。 d vd y s k i n 和g e r m a n o v i e hl n ( 1 9 9 4 ) 等【4 7 】人利用一些可浇铸成型的 高分子透明材料( 有机玻璃( p m m a ) 、c r 3 9 、c o l u m b i a 树脂等) 的低温脆 性性能来模拟脆性含裂隙固体的破坏机制，指出三维裂纹的扩展( 贯通) 和 破坏方式与二维翼裂纹扩展明显不同，其相应的破坏模式要比二维裂纹复杂 得多。他们对内部圆形裂纹的试验研究表明：三维裂纹的扩展是成包裹状曲 面扩展方式的，而裂纹组扩展与贯通方式就更为复杂了。w o n g 等人( 2 0 0 2 ) 采用p m m a 材料研究三维表面裂纹扩展和破坏模式问题【4 吼，指出三维表面 裂纹体的破坏方式与表面裂纹深度和试件宽度之比有关，此外他们还采用粘 贴法研究了部分切割型内部裂纹试件的破坏问题。朱维申、李术才、简浩、 杨更社等( 2 0 0 2 ) 【4 卅采用实时c t 扫描加载技术研究了类节理岩体单轴压缩损 伤演化问题，从细观上分析了三维裂纹扩展及演化规律。香港理工大学土木 工程系的周锦添和黄凯珠、山东大学岩土与结构工程研究中心的郭彦双博士 利用自制的类岩石材料，预置各种形状、各种三维方位的裂纹，对三维裂隙 扩展正在进行试验研究，并得到了许多有价值的新成果。但是，总体而言对 三维裂隙扩展机制、三维裂隙群的贯通机制和节理岩体的破坏机制了解的还 很少，还远远不能满足工程具体问题和工程发展的需要。 数值计算可以不受实验条件的限制，因此数值分析方法得到学术界和工 程界的广泛重视。随着计算机技术和数值计算技术的发展，数值分析方法成 为解决工程问题的有效手段，为工程实际问题的设计与施工发挥了其他方法 无法替代的巨大作用。计算力学、数学和岩土工程界的许多专家学者对岩土 力学常用的数值计算方法进行了系统的综述 5 1 - 5 7 1 。常用的数值分析方法主要 包括：有限差分方法( d f m ) f 5 8 】、有限元方法( f e m ) 1 5 9 - 6 ”、边界元方法 ( b e m ) 6 2 - 6 5 和无网格方法( e f g m ) 【6 似卅等。 三维裂纹问题一直倍受学术界和工程界的关注和重视，人们利用有限元 方法、边界元方法、超奇异积分方法、高次权函数法、间断位移法、等效方 法、片条合成法等1 8 o o 分析研究了三维裂纹的应力强度因子、位移场和应力 场、三维裂纹的初始扩展。李术才、朱维申、肖明、李海波、赵坚、朱大滨、 潘家祯、赵明、程昌钧、刘元杰、刘国宁、张石山等 i o h 明从弹性力学、弹 塑性力学、损伤力学、细观力学方面研究了三维裂纹的强度因子、位移场和 山东大学博士学位论文 应力场。黄培彦、邓建刚、蒋和洋、黎在良、闰维明、卢炎麟、黄鲜萍、姜 献峰、潘柏松、冯小青、c a d u a r t e 、o n h a m z e h 、t j l i s z k a 、w w t w o r z y d l o 等1 1 婚1 0 9 1 分别用边界元方法、有限元方法、热权函数法研究了三维裂纹的i 型扩展。 在三维裂隙的疲劳扩展和动态扩展方面的研究工作，国外开展的较早， 文章也较多，国内也有不少文章发表，自1 9 9 0 s 以来有大量的文章发表。s i h gc 、b a r t h e l e m yb m 、r e i m e r sp 、b e l y t s c h k ot 、g ul 、l uyy 、y a u 、 k e i s u k et a n a k a 、m i c h a e la 、u s t e j o v s k y 、袁振、李子然、吴长春、s u k u m a r n 、n m o e s 、b m o r a n 、a g r a v o u i l 、p k r y s l 等i 伽q 采用有限元方法，边 界元方法，研究了特殊空间方位的平置i 型裂隙疲劳扩展和动态扩展。 在三维裂纹的静态扩展的数值模拟方面，研究成果较少，国内更少。目 前已解决的三维裂纹扩展问题有：ek r y s l 、t b e l y t s c h k o 和yk r o n g a n z 用无 网格方法1 1 1 弘1 2 0 1 建立了三维裂纹模型、计算了三维单边贯通矩形裂纹的i 型 强度因子并研究了三维币形裂纹的i 型扩展和三维内部斜置矩形裂纹的弯折 扩展。黄岩松、周维垣和胡云迸用无网格方法研究了三维边界半圆形裂纹的 i 型扩剧坨。张敦福、朱维申和李术才用无网格方法研究了三维内置椭圆形 裂纹的i 型扩展1 2 2 1 。 1 3 无网格方法的进展与研究现状 在裂纹扩展数值模拟方面，有限元方法和边界元方法有以下缺点f 1 2 3 - 1 2 4 1 ： l 、裂隙每扩展一步或每计算一步都必须对模型整体重新划分网格，计算工作 量大，计算效率低；2 、为准确地描述裂纹断面的形状，在重新划分网格时必 须加以人为的介入，使裂隙的断面限制在单元体的边界上；3 、计算的应力不 连续，精度也不高；4 、处理大变形问题时，由于单元的扭曲变形而丧失计算 精度5 、对于两个以上的裂纹问题，由于很难使单元边界在裂纹边界上，所 以很难模拟计算任意边界形状的两个以上的裂纹扩展问题；6 、对于两相材料 或变相材料，由于单元不能截断，因此材料中的应力、应变和位移都会产生 很大的误差。这在平面问题中的平置裂纹沿直线方向扩展问题构成了很大的 困难，付出了很大的代价。模拟平面问题中的任意放置的直线裂纹和弯曲裂 纹的弯折扩展就会存在更大的困难，单元网格会产生过度的扭曲，或造成 6 山东大学博士学位论文 计算中断，或不能真正跟踪裂纹的弯曲扩展路径。那么，可想而知，用有限 元方法和边界元方法模拟三维裂隙的扩展难度将会更大，将要付出的代价也 更大，也不会追踪到真实的裂纹扩展曲面1 1 2 5 。】。 近年来兴起一种新的数值计算方法一一无网格方法，它与传统的数值计 算方法相比具有以下优点6 砌8 ，1 3 纠4 1 l ：不需要单元结构，仅需要节点信息，仅 需要在裂纹附近进行节点加密，节点数量不需要过大，并且在裂纹扩展时仅 需要局部的和少量的人为介入，甚至不需要人为的介入就能自动完成裂纹扩 展路径的跟踪。无网格方法既保留了有限元方法的风格，又克服了有限元方 法的缺点。因此，无网格方法是一种比有限元法和边界元法更适合于裂纹扩 展的数值模拟。国内、外大量科研人员和工程技术人员对无网格方法及在各 个领域中的应用进行了大量的研究，取得了不少成果。 无网格方法是以材料体内分布的节点为主体的数值分析方法，不需要单 元信息，不存在节点与单元的相关条件，仅需要节点的有关信息描述体内的 应力、应变和位移函数。该方法不需要在材料体内布设大量的节点，仅在需 要特别关注的局部区域适当密布节点，就可以达到相当高的精度，满足工程 精度要求。 无网格方法是1 9 9 0 s 中期开始新发展的一种新兴的数值分析方法，它保 留了有限元方法的风格，又克服了有限元方法的缺点。在处理连续介质的静 力学问题1 4 2 彤4 1 和动力学问趔5 5 。1 5 8 1 方面得到应用，并具有极高的精度。在处 理工程中存在的许多不连续问题【巧州7 3 1 ，如：裂纹扩展、材料破坏、材料变 相、材料腐蚀和渗透方面具有极大的灵活性。在研究大变形1 体1 7 6 ( 如：挤 压和模压过程) 、模型优化和局部化问题中的高应变梯度 1 7 7 0 1 7 s l 等问题中，无 网格方法发挥了传统方法不可替代的巨大作用。 无网格法( e f m ) ，也称无单元法，从产生到现在仅有二十多年。近年来， 无网格法受到国际计算力学界的高度重视，得到了迅速发展，发展至今已出 现十多种形式。其中，目前影响最大的有两种：一种是流形元方法( m m ) ， 另一种是无网格伽辽金法( e f g m ) 。这两种方法有着传统数值方法不可替代 的突出优点，并以其新颖的数值思想、先进的数值技术，得到了学术界的认 可和广泛关注。流形元方法解决了材料连续性与非连续性的数学统一表述问 题，使得连续变形分析与非连续变形分析的统一成为可能。无网格伽辽金法 7 山东大学博士学位论文 摆脱了传统数值计算方法中单元体的限制，实现了无单元插值，极大的简化 了前处理工作。使不连续体、大变形和模型优化等问题的计算分析简单易行， 更使实现复杂裂纹扩展追踪成为可能。 在无网格方法的研究发展方面，p e r r o n e 、k a o 1 7 9 , g o 最早采用任意网格 ( a r b i t r a r ym e s h e s ) 技术将传统有限差分法进行扩展，提出了广义有限差分 法，这可以看作无网格技术的最初萌芽。l u c y h 和m o n a g h a n ! ，1 8 2 增次提出 了基于拉格朗日公式的光滑粒子法( s m o o t hp a r t i c a lh y d r o d y n a m i cm e t h o d ， s p h ) 。s w e g l e 和h i c k s 等【博3 1 在s p h 方法中引入节点星( s t a r ) 的概念，使 这一方法被广泛应用于计算物理、天体领域的星球运动及星球间碰撞以及大 变形和多相材料问题的数值模拟计算1 8 4 。1 1 。s p h 常被视作无网格技术的最 初成功应用。l a n c a s t e r 和s a l k a u s k a s 1 9 1 1 在研究曲面插值问题时，将标准的最 小二乘插值法进行了推广，提出了移动最小二乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r e m e t h o d ，m i 墨m ) 。n a y r o l e s 等【m 1 将m l s m 用于数学物理方程边值问题的求 解，提出了模糊单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) 。b e l y t s c h k o 和 k r o n g a u z 提出了改进的d e m 法【郴1 。b e l y t s c h k o 在s a l k a u s k a s 、n a y r o l e s 等 人的研究工作基础上进一步导出了d e m 法中忽略掉的插值函数导数表达式 中的部分项，提出了无单元伽辽金法 6 6 , 6 7 , 1 2 0 , 1 蚴0 0 1 ( e l e m e n tf r e eg a l e r k