（基础数学专业论文）有限维基本hopf代数的分类及相关主题.pdf

摘要 本论文的主要目的是分类有限维的h o p f 代数，特别地去分类有限维的基本h o p f 代 数。我们的思想是通过其表示型来分类他们，我们的方法主要依赖于有限维代数的表示 理论 为了分类有限维的h o p f 代数，我们给出了以下四个步骤： ( 1 ) 给出一个有效的方法来决定基本h o p f 代数的表示型； ( 2 ) 通过表示型来分类有限维基本h o p f 代数； ( 3 ) 确定一个h o p f 代数什么时候会m o r i t a 等价于一个基本h o p f 代数 ( 4 ) 寻找新的途径来将( 2 ) 的结果推广到一般的有限维h o p f 代数 为了解决步骤( 1 ) ，我们为每一个基本h o p f 代数日配备了一个被称为表示型数的 数n h 并且证明( i ) h 是有限型当且仅当n h = 0 或n h = 1 ；( i i ) 如果h 是t a m e 型，则 n h = 2 ；( i i i ) 如果n h 3 ，则h 是w i l d 型 对于( 2 ) ，目前，我们已经给出了有限型的完整分类。具体地讲，它们共分三类： 如果h 是半单的，则h 同构与一个群代数的对偶； 如果h 是非半单的并且基础域 的特征是0 的话，则h 同构一个所谓a n d r u s k i e w i t s c h s c h n e i d e r 代数与一个群代数交差积 的对偶； 如果h 是非半单的并且基础域的特征不是0 的话，则h 同构于某个特定代数 与一个群代数交差积的对偶，对于t a m e 型的b a s i ch o p f 代数，我们可以给出的是根分次 情形的结构定理。我们将看到根分次的情形至多只有五类我们还给出了一些关于t a m e h o p f 代数的例子 广义路( 余) 代数为我们解决步骤( 3 ) ( 4 ) 提供了一种可能。我们首先研究了所 谓的广义路余代数的同构问题，证明了两个广义路余代数( ，c ) 兰k ( ，d ) 当且仅当存 在q u i v e r 的同构妒：一使得& 兰( ；) 对任意i o 。我们还给出了广义路( 余) 代数的ga - s r i e l s 定理。关于一个广义路余代数上什么时候具有h o p f 代数结构的问题也 被解决 a b s t r a c t t h em a i na i mo ft h i sp a p e ri st oc l a s s i f yf i n i t ed i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r a s ，e s p e c i a l l yb a s i c h o p fa l g e b r a s o u ri d e ai st oc l a s s i f yt h e mt h r o u 。g ht h e i rr e p r e s e n t a t i o nt y p ea n do u rm e t h o d s r e l a yh e a v i l yo nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t ed i m e n s i o n a la l g e b r a s i no r d e rt od os o ，w eg i v ef o u rp r o g r a m st oc l a s s i f yf i n i t ed i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r a sa s f o l l o w s ( 1 ) g i v ea ne f f e c t i v ew a yt od e t e r m i n et h er e p r e s e n t a t i o nt y p eo faf i n i t ed i m e n s i o n a lb a s i c h o p fa l g e b r a ； ( 2 ) c l a s s i f yf i n i t ed i m e n s i o n a lb a s i ch o p fa l g e b r a st h r o u g ht h e i rr e p r e s e n t a t i o nt y p e ； ( 3 ) d e t e r m i n et h a tw h e naf i n i t ed i m e n s i o n a lh o p fa l g e b r ai sm o r i t ae q u i v a l e n tt oaf i n i t e d i m e n s i o n a lb a s i ch o p fa l g e b r a ； ( 4 ) f i n ds o m en e ww a y st og e n e r a l i z et h ec o n c l u s i o n si n ( 2 ) t og e n e r a lf i n i t ed i m e n s i o n a l h o p fa l g e b r a s i no r d e rt or e s o l v ep r o g r a m ( 1 ) jw ea t t a c h ee v e r yf i n i t ed i m e n s i o n a lb a s i ch o p fa l g e b r ah an u m b e rn 日w h i c hi sc a l l e dr e p r e s e n t a t i o nt y p en u m b e ro f 日a n dp r o v e dt h a t ( i ) 日i so ff i n i t e r e p r e s e n t a t i o nt y p ei f a n do n l yi f n h = 0o r n h = 1 ；( i i ) hi st a m et h e n ”h = 2a n d ( i i i ) hi s w i l d i f 礼日3 f o rp r o g r a m ( 2 ) ，w ec a nc l a s s t r yf i n i t ed i m e n s i o n a lb a s i ch o p fa l g e b r a so ff i n i t er e p r e s e n - r a t i o nt y p ec o m p l e t e l yn o q ve x p l i c i t l y ，t h e ya c ec o n s i s to ft h r e ec l a s s e s ：( i ) i f 日i ss e m i s i m p l e ， t h e n 日型( g rf o rs o m ef i n i t eg r o u p ；( i i ) i fh i sn o ts e m i s i m p l ea n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fki s z e r o ，t h e nh i si s o m o r p h i ct h ed u a lo ft h ec r o s sp r o d u c tb e t w e e no n es oc a l l e da n d r u s k i e w i t s c h s c h n e i d e ra l g e b r aa n dag r o u pa l g e b r a ；( i i i ) i fhi sn o ts e m i s i m p l ea n dt h ec h a r a c t e r i s t i co f 自i s n o tz e r o t h e n 日i si s o m o r p h i ct h ed u a lo ft h ec r o s sp r o d u c tb e t w e e no n es p e c i a la l g e b r aa n da g r o u pa l g e b r a ，w ea l s oc a ng i v et h es t r u c t u r et h e o r e mf o rf i n i t ed i m e n s i o n a lb a s i ch o p fa l g e b r a o ft a m et y p ei nt h er a d i c a lg r a d e dc a s ew ec a ns e et h a ti nt h i sc a s et h e ya r ec o n s i s to ff i v e c l a s s e sa tm o s t m o r ee x a m p l e sa b o u tt a m eh o p fa l g e b r a sa r ea l s og i v e ni nt h i sp a p e r g e n e r a l i z e dp a t h ( c o ) a l g e b r a sg i v eu so n ep o s s i b i l i t yt os o l v ep r o g r a m s ( 3 ) ( 4 ) w es t u d ys o c a l l e di s o m o r p h i s mp r o b l e mf o rg e n e r a l i z e dp a t hc o a l g e b r a sa tf i r s ta n dp r o v et h a tt w on o r m a l g e n e r a l i z e dp a t hc o a l g e b r a s 后( ，c ) 掣k ( a 7 ，口) a sc o a l g e b r a si fa n do n l yi ft h e r ei s a ni s o m e r p h i s mo fq u i v e r s 妒：a - _ 7s u c ht h a ts 兰巧( ；) a sc o a l g e b r a sf o ri o t h eg a b r i e l s t h e o r e mf o rg e n e r a l i z e dp a t h ( c o ) a l g e b r a sa r ea l s o 百y e ni nt h i sp a p e rt h ep r o b l e mo fw h e n t h e r ei sah o p fs t r u c t u r eo ng e n e r a l i z e dp a t hc o a l g e b r ai ss e t t l e d 致谢 感谢我的导师，李方教授五年以来对我的关心和教诲，正是他将我带进了代数学的 天地从他那里，我知道了什么是h o p f 代数、什么是量子群、什么是常表示、什么是模表 示。更重要的是使我学会了思考，学会了去区分哪些是形式的内容，哪些是本质的内 容，学会了如何去把握问题的关键导师对我最大的影响是他兢兢业业的敬业精神 他对数学的痴迷执着令人折服，对数学的精益求精令人佩服，对数学的勇于刨新令人钦 佩很多次从与他的交谈中重新找回了自己对数学的信心。 感谢我的父母。他们是世界上最辛苦的入也不知是多少次的田问劳作方造就今天 这一纸文章 感谢惠昌常教授的无私指导，正是他的到来使我加深了对t a m e 代数的认识感谢 章璞教授、叶郁博士等，他们的来访给我思想方法上带来了很大的帮助感谢李慧陵教 授、姜豪教授、卢涤明教授、吴志祥教授和黄兆镇教授的关爱和指导 感谢多位同学的真诚帮助，他们是程东明、史美华、曾庆怡、穆尼尔( m u n i r a h m e d ) 、 汪国军、黄允宝、李样明、叶丽霞、曹海军、贾玲、张棉棉、陈利利、孙钦秀、昌家凤、司君 如等特别感谢史美华、曹海军、张棉棉三位在我最困难的时候给予了我最有力的帮助! 最后，要感谢我的爱妻董永梅。正是她的任劳任怒和一如既往的支持才有了今天的 结果，这篇文章之中不知凝聚了她多少辛酸! 第一章引言 本章包括三节第一节将提供我们所研究问题的背景，第二节描述的是我们的 研究步骤和主要结论，而第三节将给出我们的行文布局， 1 1 背景 1 9 4 1 年，h o p f 从他在紧李群( 及其推广) 的同调理论的工作而发展了现在被 称为h o p f 代数的理论从那以后，此种代数系统越来越多的出现在数学和数学物 理的众多领域中 自此，h o p f 代数的分类问题成为h o p f 理论的中心问题之一历史上第一个著 名的有关h o p f 代数分类问题的结论是下述现被称为c a r t i e r k o s t e n t - m i l n o r m o o r e 定理的定理 定理l 1 。1 一个特征0 代数阅域上的余交换曲h o p f 代数是一个群代数与一个李 代数的包络代数的半直积特别的，一个特征0 代数闭域上的有限维余交换的协珂 代数是一个群代数 虽然量子群理论给了我们一种处理无限维h o p f 代数的例子，但是一般来讲处 理无限维的h o p f 代数是一件很困难的事情通常有限维h o p f 代数的分类似乎人 们更感兴趣 在过去的几十年间，在各种各样的前提下，h o p 代数的分类取得了长足的进 步据作者所知，截至到现在有限维h o p f 代数的分类主要有以下四个方面组成； ( 1 ) 有关半单余半单h o p f 代数的分类； ( 2 ) 有关非半单h o p f 代数的分类； ( 3 ) 有关给定维数的h o p f 代数的分类； ( 4 ) 有关三角h o p f 代数的分类， 以下我们来简要叙述一下上述四个方面的主要结论和代表人物关于第一个方 面，如果域k 的特征为0 ，我们知道一个h o p f 代数是半单的当且仅当此h o p f 代 数是余半单的f 4 0 由e t i n g o f 和g a l a k i 的一个漂亮的结论 2 5 】，我们知道域是正 特征时的有关h o p f 代数问题基本上可以归结为域是0 特征时的一个类似问题因 而，我们通常考虑的是特征0 代数闭域上的半单h o p f 代数的分类有关这个方面 问题的一个很好的总结是5 5 1 _ 在这个方面的更今一些的结论可以在文献1 中找 到 2 第一章引言 关于第二个方面，实质上的分类都是针对特征0 代数闭域上的点h o p f 代数进 行的这儿由两种截然不同的方法被用来研究点h o p f 代数的分类第一种方法主 要由n a n d r u s k i e w i t s c h 和h 一j s c h n e i d e r 所创具体地来讲，就是利用r a d f o r d 给出的b o s o n i z a t i o n 6 8 】来研究n i c h o l s 代数并最终来分类点h o p f 代数这种方 法取得了巨大的成功此种方法的最大优点是能将李代数的理论用于点h o p f 代数 的分类阱另外，通过这种方法，我们还可以发现很多新的h o p f 代数的例子并 且，我们还可以利用这种方法来否定k a p l a n s k y 的第十个有关h o p f 代数的猜想 细节内容参见文献 4 1 1 5 1 1 6 l ( 7 1 3 0 3 2 3 3 1 另外一种方法主要为章璞教授所引入具体地，就是利用q u i v e r 及其表示的方 法这种方法很是依赖于c i b i l s r o s s o 的一个结果 1 5 】此种方法的一种优点是它引 入组合的方法来研究点h o p f 代数的分类问题利用这种方法，一种被成为m o n o - m i a lh o p f 代数的点h o p f 代数被完全分类另外，局部有限单点h o p f 代数( 不仅 仅有限维的) 的分类也可以通过这种方法得到，细节见f 1 2 1 1 6 5 1 第三个方面的开创性工作应该首推下述朱永昌的结果 定理1 1 2 设p 是一个素数，k 是一个特征0 的代数闭域则k 上的一个维数为 p 的h o p f 代数必然是半单的并且同构于p 阶循环群的群代数 虽然朱永昌、a m a s u o k a 5 1 5 2 1 1 5 3 及其他的一些作者 5 7 1 1 5 8 】给出了很多有 趣的结果，但是我们目前只能分类很少的几类给定维数的h o p f 代数事实上，除 了维数为p p 2 ，p 3 ，p q ，p 2 q 外，几乎所有的结果都集中在维数6 0 的情形 对于第四个方面， na n d r u s k i e w i t s c h ，pe t i n g o f 和s g e l a k i 的工作应该是最 重要的p e t i n g o f 和s g e l a k i 事实上已经证明半单三角h o p f 代数于群代数是很 接近的f 2 6 1 有关极小三角h o p f 代数的结构也被彳导到( 2 这儿有很多很好的有关有限维h o p f 代数分类的综述文章，比如 1 8 0 】等 1 2 我们的步骤和主要结论 由上一节的结论我们知道，目前所有的分类工作都是针对特殊h o p f 代数进行 的也就是说，我们还没有一个一般性的步骤来帮助我们去考虑所有有限维h o p f 代数的分类问题 在代数表示论中有两个已知的结论一个是，相对于表示型而言，每一个有限 维代数恰是并且且是下述三类代数中的某一类：有限表示型代数、t a m e 型代数和 1 2 我们的步骤和主要结论 3 w i l d 型代数另外一个就是每一个有限维代数都会m o r i t a 等价于唯一一个基本代 数虽然有反例表明，并不是每一个有限维的h o p f 代数都会m o r i t a 等价于一个基 本h o p f 代数，但是上述两个事实仍然我们产生以下想法： 通过表示型来分类有限维的h o p f 代数 为了实现这一想法，我们给出以下的分类步骤： ( 1 ) 给出一个有效的方法来决定基本h o p f 代数的表示型； ( 2 ) 通过表示型来分类有限维基本h o p f 代数； ( 3 ) 确定一个h o p f 代数什么时候会m o r i t a 等价于一个基本h o p f 代数 ( 4 ) 寻找新的途径来将( 2 ) 的结果推广到一般的有限维h o p f 代数 为了解决步骤( 1 ) ，我们对每个基本h o p f 代数引入了概念表示型数也就是 说，对每个有限维基本h o p f 代数日，我们为其配备了一个被称为h 的表示型数的 非负整数n _ f = r ( 见41 节) 我们在第四章中证明了如下有限维基本h o p f 代数的表示 型数定理 定理1 _ 2 1 设h 是一个有限维的基本h o p f 代数，f t h 是其表示型数则 ( i ) h 是有限表示型的当且仅当n 日= 0 或7 7 , h = 1 i ( i i ) 如果日是t a m e 型的，则n h = 2 i ( i i i ) 如果n h 3 ，则h 是w i l d 型的 事实上，此定理在更大的范围内也是成立的( 细节见第四章) 由上述定理，自 然数n _ i = r 基本上可以确定的表示型 对于步骤( 2 ) ，我们已经得到下述结论首先，我们注意到就表示型而言，我 们只需分类有限表示型和t a m e 型的h o p f 代数因为剩下的全是w i l d 型的目前， 我们已经给出了有限表示型的有限维基本h o p f 代数的完整分类 定理1 2 2 ( a ) 设是一个有限表示型的有限维基本 d 代数则 ( a 1 1 如果h 是半单的，则存在一个有限群g 使得h 兰( k c ) + j f a 2 ) 如果日不是半单的且域k 的特征为口的话，则存在一个群资料。 ( g ，g ，) ( ! ，肛) 使得h + 羔a ( a ) 这里a ( a ) 的定义将在第四章中给出； f a3 ) 如果日不是半单的且域k 的特征为p 的话，则存在两个自然数d o l n 、 r 0 和一个d n 次的本原单位根q k 使得作为余代数 h + 笺c d ( n ) o o q ( n ) 4 这里d = p r d a 2 并且作为舶代数 h + 兰o ( n ) 托k ( a n ) 这里g = g ( h ) 、n = g ( q h ) ) ( b ) 设h 是一个有限维的h o p f 代数如果 ( b 1 ) 存在一个有限群g 使得h 兰( k a ) + 或 ( b 2 ) 存在一个群资料= ( g ，9 ，) ( ，肛) 使得h + 型a ( q ) 或 ( b 3 ) 作为余代数h 。兰c d ( n ) o - o c a ( n ) 则是一个有限表示型的有限维基本h o p f 代数 第一章引言 对于有限维t a m e 型基本h o p f 代数的情形，我们目前, - i i ：a 给出的是根分次情 形的结构定理 定理1 2 3 设日是一个有限维的基本h o p f 代数则9 r h 是t a m e 的当且仅当存 在一个有限群g 和下述五种理想的某个理想i 使得g r h 竺女 i f k c ) + ： r j ，= ( z 2 一y 2 ，y z a z 2 ，x y )这里0 a i 俐i = ( 一，y 2 ，( x y ) ”一o ( y 。) ”)这里0 。k 且m l j 俐i = ( 妒一y “，x y ，y x ) 这里n22 j 似，i = ( z 2 ，y 2 ，( z f ) ”。一( y z ) ”y ) 这里m 芝l j 俐，= ( y x 一9 3 2 ，y 2 ) 本定理的证明将在第五章中给出此结构定理实际上告诉我们根分次的有限维 t a m e 型基本h o p f 代数的数量是很少的至于非分次情形的分类，目前仍然是一个 未知问题 关于步骤( 3 ) ，目前只有很少的一部分结论，然而下面关于一有限表示型的 有限维h o p f 代数m o r i t a 等价于一个基本h o p f 代数的必要条件看起来是有趣的 定理1 2 4 设抒是一个有限表示型的有限维舶珂代数如果它m o m t a 等价于一基 本h o p f i 蝴x ，则它的e x t q u i v e r 是一些同构基本圈的并因而它是一个n a k a y a r n a 代数 此定理的证明将在第七章第四节中给出一个关于一有限表示型的有限维h o p f 代数m o r i t a 等价于一个基本h o p f 代数的充耍条件也将在第七章中给出 对于步骤( 4 ) ，我们的思想是通过研究一种通常的路( 余) 代数的推广 5 1 3 布局5 广义路( 余) 代数来解决它我们首先推广了著名的对偶g a b r i e l s 定理 定理1 2 5 设g 是一个满足c o d i 们o11 的余代数记g = o l e a s 这里& 是 单余代数对所有iea 则 ( a ) ( 余代数的w e d d e r b u r n m a l c e v 定理) 存在g 的一个余理想使得作为线 性空间c = ，o 岛也就是说，存在一个从c 到g 0 的余代数投射 ( b ) 假定g 岛作为c o 一双模是g c o 的直和项则 ( i ) 存在一个余代数的嵌入妒：c 一z 矗( q c o ) ( i i ) ( 广义对偶g a b r i e l 定理) 设a = ( o ，1 ) 是g b t 诜( g l c o ) 的q u i v e r , c = s d i a ) 则存在一个余代数的嵌入_ p ：c k ( a ，c ) 使得妒( ，1 ) k ( a 1 ，c ) 这里i 】= ，n c 】 什么时候一个广义路( 余) 代数具有h o p f 代数结构? 这个问题将被在第七章 的最后一节中研究 定理1 2 6 正规广义路余代数( ，c ) 上具有一个以长度分次的分次h o p f 代数结 构当且仅当k ( h l ，c ) 是一个( o ，c ) 一h o p f 双模且双余模映射就是命题zj 2 中给 出的 不过遗憾的是我们无法给出此时q u i v e r 的形状( 但是我们却可以在通常的路 ( 余) 代数中做到这一点) 1 3 布局 在这一节中，我们将给出本文的行文布局本文共分八章，每一章都由一些小 节组成 果 第一章是引言分别给出了我们研究对象的背景以及我们的分类步骤和主要结 第二章给出的是以下各章的预备知识第一节的内容是q u i v e r 及其表示的一些 相关记号和结论这些记号和结论将在以后的各章中被自由地使用一些有关h o p f 代数的结论将在第二节中给出为了研究h o p f 代数，两类特殊的q u i v e r 一一h o p f q u i v e r 和c o v e r i n gq u i v e r 在第三节中被讨论最后一节是一些w i l d 代数的例子 r i n g e l 的一个著名的结果也将在此节中给出 第三章给出的是一些有关s m a s h 积的性质这些结论本身是有趣的，当然这些 6 第一章引言 结论也将被用在第四和第五章中具体来讲，设日、日+ 是半单的h o p f 代数， a 是一个一模代数在第一节中，我们证明a 和a # h 具有同样的整体维数和 弱维数第二节，我们证明他们具有相同的表示型，第三节，我们证明在某些条件 下a # h 是n a k a y a m a 代数当且仅当a 是n a k a y a m a 代数 第四章提供的是有限表示型的有限维基本h o p f 代数的分类第一节我们引入 所谓的表示型数的定义并证明了c o v e r i n gq u i v e r 的表示型数定理我们得到一个 有限维基本h o p f 代数是有限型的当且仅当它是一个n a k a y a m a 代数在第二、第 三、第四节中我们分别就此给出了三种不同的证明方法有限表示型的有限维基本 h o p f 代数的完整分类在最后一节中给出 第五章研究的是有限维基本t a m e 型h o p f 代数的分类本章的主要结果是给 出了根分次情形下的有限维基本t a m e 型h o p f 代数的结构定理第一节，我们给 出t a m e 局部f r o b e n i u s 代数的完整列表此列表对本章的主要结果起到关键的作 用根分次情形下的有限维基本t a m e 型h o p f 代数的结构定理在第二节中得到 第六章提供的是更多的有关t a m eh o p f 代数的例子具体来讲，我们通过两 种途径来构造t a m eh o p f 代数的例子一张量积和d r i n f e l d 偶第一节，我们引 入q u i v e r 的形式张量的定义并且证明两个代数的张量积的e x t q u i v e r 是他们e x t q u i v e r 的形式张量在第二节中，我们研究了两个非半单基本h o p f 的张量积何时 是t a m e 的我们证明只有这两个基本h o p f 代数都是有限表示型时，此种情况才 会发生关于两个t a f t 代数( 或更进一步，两个a n d r u s k i e w i t s c h s c h n e i d e r 代数) 的张量积何时是t a m e 的的一个充要条件同样在此节中给出最后一节，我们证明 了一个所谓的a n d r u s k i e w i t s c h s c h n e i d e r 代数的d r i n f e l d 偶是一个t a m e 代数 第七章可以看成是我们为解决我们分类步骤中的第四步而作的一种尝试一些 关于广义路余代数的记号和结论在第一节中被给出所谓的广义路余代数的同构问 题在第二节中被解决第三节给出的是广义对偶g a b r i e l 定理第四节主要是研究 广义路代数此节的主要目标是研究代数a 的e x t q u i v e r 和t ( a j a ，山以) 的 q u i v e r 的关系此关系的一些应用也在此节中给出最后一节我们讨论了关于一个 广义路余代数上何时具有h o p f 代数结构的问题 第八章研究的是一类被称为弱h o p f 代数( h o p f 代数的一种推广) 的代数上的 表示范畴与一般方式不同的是，我们通过引入弱张量范畴来研究其表示，一些相 关定义和结论被给出 第二章预备知识 在本文中，除非我们另外说明，我们总是假定k 是一个代数闭域并且所有的空 间都是k 线性空间x u ? - - + 代数一，记厶( 或，如果我们知道a 是哪一个) 为 a 的j a c o b s o n 根， 2 1q u i v e r 及其表示 本节是为了固定一些记号和回顾一些定义同时我们也不加证明地给出一些众 所周知的有关q u i v e r 及其表示的结论细节，见 8 j f 7 0 定义2 1 1 一个q u i v e rq = ( q o ，q 1 ，s ，e ) 就是一个有向图这里q o 是顶点集， q t 是箭向集，s 和e 是两个从q - 到q o 的映射定义为s ( 。) = i ，e ( o ) = j 如果 n ：i j 是一个从顶点i 到顶点j 的箭向 如果q o 和q - 都是有限集，则q 称为一个有限q u i v e r 例如，我们有如下的 q u i v e r ： ( i ) a 。型 一一一 ( i i ) k r o n e c k e rq u i v e r ( i i i ) 一个顶点的两个循环圈 7 8 ( i v ) 长度为n 的基本圈 第二章预备知识 长度为1 的基本圈称为l o o p q u i v e rq 中的一条路要么是一些箭向的有序序 列p = q 。n 1 使得e ( ac ) = s ( n m ) 对1 t 0 ，存在有限个a k 【t 卜双模尬使得( 1 ) 这些慨作为右 卅一模 1 0 第二章预备知识 是自由的；( 2 ) 几乎所有的维数为d 的a 一模都同构与尬 e i t k t ( t a ) 对 a k 这里几乎所有是指除了有限多个其余都是的意思， 称4 是w i l d 型或a 是一个w i l d 代数如果存在一个作为右k ( x ，y ) 是自由的 a k ( x ，y ) 一模b 使得函子bo k i x 一从有限生成k ( x ，y ) 一模范畴到有限生成 a 一模范畴保持模的不可分性并且反映同构 定理2 1 4 设q 是一个有限连通q u i v e r 则 ( 1 ) k q 是有限表示型的当且仅当q 所对应的无向图虿是下述d y n k i n 图中的 某一个： d y n k i n 图 12 n ( i ) a 。- t n 21 ( i i ) d 。 ( i i i ) 岛 ( i v ) 西 ( v ) 岛 3 1256 7 8 一一 4 ( 2 ) 0 是t a m e 型的当且仅当q 所对应的无向图虿是下述e u c l i d e a n 图中的 某一个： 一 6 。 一 一4 一 一 6 一 5 一 0ull4 2 一 2 ，jq u i v e r 及其表示 e u c l i d e a n 图 f i l 厄 二二i i 二二 n 1 ( i ) a n ! 。jl ”1 ( i i ) d 。 ( i i i ) 岛 ( i v ) 岛 p j 一 b ( v ) e 8 最后，我们来看一下路代数是如何与张量代数自然地联系在一起的设e 是一 个环，y 是一个一双模对应( ，e 垤) ，我们可以构造其上的张量环t ( e ，v ) 如果我们记n 一重张量积v ev 圆e 圆y 为y 8 ，则作为阿贝尔群t ( ，v ) = oy0y 2o o o 设v o = 并且乘法定义为自然的p 双模同态 v 。v j y 。钾对i ，j2 0 引理2 1 5 设是一个环，y 是一个双模，设a 是一个环，：o v a 是一个映射满足： ( i ) ，1 ：一a 是一个环同态； ( i i ) 通过，l e ：一a 斗奇a 看成一双模则， y ：v a 是一个一双模 映射 则存在唯一的环同态厂：t ( ，v ) 一a 使得，i 。v = _ 厂 。 一 1 2第二章预备知识 对每一个n 我们记兀。( ) 为一个k 一代数其作为环就是x xk 通过环同 态咖：k n 。( ) ，它有一个自然的代数结构这里毋( o ) = ( z ，z ) 对所有的 o 设= 兀。( ) ，y 是一个d 双模并且k 以中心的形式作用于其上假定 y 是一个有限维的一空问则对应的张量环t ( e ，v ) 是一个k 一代数我们可以 以下方式为t ( e ，v ) 配备一个q u i v e rq = ( q o ，q 1 ) ：顶点集q 0 就是 1 ，n ) ； 设e 。为第i 坐标为1 其余为0 的向量，显然它是e 的幂等元则勺y 岛是一个y 的一子空间定义这里有d i m a e i v e 。个箭向从i 到j 以此种方式构造的q u i v e r q = ( q o ，q 1 ) 被称为t ( e ，v ) 的q u i v e r 对于一个路代数q ，记j 为q 中所有箭向所生成的理想下述命题给出了 路代数与张量代数的关系 命题2 l 6 设e = n 。( ) ，y 是一个一双模并且以中心的形式作用干其上， 假定v 是一个有限维的k 一空j 司如果q 是张量代数t ( ，v ) 的q u i v e r ，则存 k 一代数同构庐：t ( e ，y ) 一q 使得( o ，斗) = j 。对所有t 1 - 我们将使用引理2 11 和命题212 来判定何时会有一个从路代数到另外一个 代数的代数同态 2 2h o p f 代数 这一节，我们回顾一些有关( 辫子) h o p f 代数的记号、定义和众所周知的 结论细节见f 5 4 1 1 7 6 5 0 1 1 6 8 我们对余乘法和余作用采用s w e e d l e r 的记号，即 ( ) = “( 1 】圆“( 2 ) 和p ( u ) = ”( 一1 ) 圆”( o ) 为了方便，我们有时甚至会省略求 和记号 我们假定读者已经熟悉h o p f 代数的定义设h 是一个h o p f 代数一个h 的 元素t h 称为一个左积分如果h t = s ( h ) t 对所有的h h 记左积分集为尼 类似地，我们可以定义右积分和符号层 定理2 2 1 设h 是一个有限维的h o p 代数则 ( 1 ) d i m a 启= d i m a 尼一1 f 2 ) h 是一个f r o b e n i u s 代数 ( 3 ) h 是半单的当且仅当e ( 后) o ) 或e ( 尼) o ) 一个代数a 被称为对称的如果存在一个非退化结合的对称双线性型( 一，一) ： a a k ，即( a b ，c ) = ( o ，b c ) 和( a ，b ) = ( b ，n ) 对所有n ，b ，c a 成立一个有 2 ，2h o p f 代数 1 3 限维的h o p f 代数日是对称的当且仅当日是么模的且对极的平方是一个内自同构 ( 见 4 7 6 6 】) 我们知道对任意有限维h o p f 代数，它的d r i n f e l d 偶v ( h ) 是么模 且对极的平方是一个内自同构所以v ( h ) 是一个对称代数 定义2 2 1 设y 是一个线性空间，c ：v o v y 圆y 是一个线性同构则( vc ) 称为一个辫子空间如果c 是辫子方程( 或y a n g - b a x t e r 方程) 的一个解： ( c i d ) ( i d c ) ( c i d ) = ( i d oc ) ( c o i d ) 0 d 圆c ) 设h 是一个h o p f 代数一个日上的佐jy e t t e r - d r i n f e l d 模y 同时是一个 左日一模和一个左h 一余模满足相容条件 d ( u ) = h c l ) v ( 一i ) s ( ( 3 ) ) o ( 3 ) ”( o ) 这里d ：v 一日0 1 是余作用对h h ，v v 由所有h 上的 l e t t e r d r i n f e l d 模 组成的范畴记为备y 口 对任意两个y e t t e r d r i n f e l d 模m ，定义a m n ：m o n 一圆m 为 c m ，n ( m o n ) = 仇( 一i ) 礼o r e ( o ) ，m m ，礼n 直接验证，我们知道对任意y e t t e r d r i n f e l d 模m ，( m ，a m ，m ) 是一个辫子空间 在范畴备y 口的一个代数是一个结合代数( r ，m ，肛) 这里m ：r r r ，p ： k r 满足兄是一个h 上的y e t t e r d r i n f e l d 模且m 和肛是范畴备y 口中 的态射类似地，在范畴导y d 的一个余代数是一个余结合余代数( r ，e ) 这里 ：尺一r o r ，e ：兄一使得r 是一个日上的y e t t e r d r i n f e l d 模且和都 是范畴备y 口中的态射 设r ，s 是备y ds j n _ 1 代数则上述定义的辫子c s ，r ：sor r 圆s 允 许我们在y e t t e r d r i n f e l d 模r 固s 上定义一个l 扭曲”的代数结构在范畴备y d 中具体地，r s 上地的乘积定义为m r 。s ：= ( “r o m s ) ( i d oc s ，r z d ) 我 们记此代数为r 鱼s 与通常的张量代数不同的是我 t i n 辫子c 代替了通常的换位r 定义2 2 2 一个在f j y z , 中的辫子h o p f 代数是( r m ，p ，e ，s ) 这里 ( 1 ) ( 月，m ，p ) 是嚣y d 中的代数； ( 2 ) ( 月，e ) 是备y 口中的余代数； ( 3 ) ：r 一避r 是一个代数同态； ( 4 ) 肛和e 是代数同态； 1 4 ( 5 ) 恒等映射在e n d ( r ) 是卷积可逆的，它的逆就是对极s 第二章预备知识 设a ，h 是两个h o p f 代数，7 r ：月一h 和l ：h a 是两个h o p f 代数同 态假定7 r l = i d h 类似于群论，我们想通过h 和7 r 的核的半直积来构造a 事实 上，如果我们定义 兄：= a 。”= a a ( i d o ”) ( ) = a 0 1 ) 一般来说，它不是一个h o p f 代数但却是一个嚣y 口的辫子h o p f 代数具备下述结 构： h 在兄的作用就是伴随作用的限制； 余作用是( 圆i d ) a ； r 是a 的一个子代数； 余乘法是a n ( r ) = r o ) r s ( r ( 2 ) ) o ”( 3 ) 对所有的r r 设r 同时是一个h 一模代数和一个日一余模余代数我们可以考虑爿和h 的带化或双积r h 作为线性空间，它等于刷 h 它同时是一个代数和余代 数，其乘法和余乘法分别定义为 ( r ) ( s ，) = r ( ( 1 ) s ) h ( 2 ) f ( r h ) = r ( 1 ) ( 7 ( 2 ) ) ( 一1 ) h 0 ) o ( r ( 2 ) ) ( o ) ( 2 ) 对r ，s 兄，h ，h 定理2 2 2 ( i ) 尺7 h 是一个h o p f 代数且仅当r 在备y 口中是一个辫子f 而p ， 代数 ( i i ) 设r = a 。7 则r 是备y d 中的一个辫子协p 代数且作为舶p ，代数 a 垒r 日 2 3h o p fq u i v e r 和c o v e r i n gq u i v e r 作为一类特殊的代数，h o p f 代数拥有两类特殊的q u i v e r 定义2 3 1 设g 是一个有限群，c 是其共轭类集记自然数集为，一个类函 数x ：c 一称为一个r a m i f i c a t i o n 并记之为x = g e c x c c 给定一个g 的 r a m i f i c a t i o nx = 。cx c c ，则对应的h o p q u i v e rr ( v ，x ) 的顶点集是f o = g ， 其箭向集定义为：对每一个z f o ，c c c ，我们有x 。个从z 到的箭向 5 23h o p fq u i v e r 和c o v e r i n gq u i v e r1 5 例2 3 1 (