（应用数学专业论文）耗散的kleingordonschrodinger方程组的时间周期解的存在性.pdf

摘要 考虑如下k l e i n g o r d o n s c h r s d i n g e r ( k g s ) 方程组 砌+ 妒= 一审审， 砂“一+ p 2 = 够 2 其中，中( z ，t ) 为复值核子场，咖为实值的介子场，肛表示介子的质量。k g s 方程 组的柯西问题和初边值问题，已为许多作者所研究，如文献f2 5 - 2 8 】等。文献f 2 5 】利 用s c h r s d i n g e r 方程解的一口估计得到了整体解的存在性在文献f 2 6 】中研究了 多维k g s 方程组解的渐近性态在文献 2 7 】中考虑k g s 方程组的初边值问题并得 到了三维强解的存在性，在文献 2 8 】中对此结果又作了改进。 在本文中，我们考虑了三维空闻中耗散的k g s 方程组的时闫周期解的存在性问 题 i 魄+ 妒+ 2 吐妒+ 簪妒= ， 西牲十( 1 一) + b e = 妒1 2 + 9 ， 。nt r ( 砂，毋) ( z ，t ) = ( 砂，咖) ( z ，t + t ) ， 砂l a n = 训a n = a l o n = 0 ， t r ( o 1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) ( 0 4 ) 这里q 是r ：3 中的一个有界区域，砂：q r c ，：n r r 。，芦是正 常数f ( x ，t ) 为已知复函数，g ( x ，t ) 为已知实函数，且均是关于时间的周期函数，其 周期是t 方程组( o 1 ) 一( o 2 ) 在有界区域q 上的长时间性态，已为文献 2 9 ，3 0 】所研究，在文 献 2 9 】中b i l e r 证明了整体吸引子在删捌) 的弱拓扑中的存在性和h a u s d o r f f 维 数的有限性。在文献 3 0 中证明有限维整体吸引子在日2n 硪( n ) 日2n 明( n ) 上的 存在性。 本文主要证明这样两个主要结果：一是三维空间中耗散的k g s 问题周期解的存在 性；二是当，g 范数充分小时得到了此周期解的唯一性。我们的证明思路是运用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明时间周期解的存在性。由于原方程解算子不具备紧致性，借 华中科技大学硕士学位论文 鉴 4 4 中的处理方法，我们先将原方程组转换为有限维的问题，用l e r a y s c h a u d e r 不 动点定理证明它有时间周期解。然后利用紧致性原理证明近似解就收敛于原k g s 方 程组的时间周期解，从而存在性得到了证明。又由于我们可以得到关于解的较高的正 则性，所以在一定的条件下解的唯一性也可得到验证 关键词：周期解存在性和唯一性 g a l e r k i n 方法l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理 紧致性原理 _ 一 i i 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nam o d e lw h i c hd e s c r i b e sas y s t e mo fs c a l a rn u c l e o n si n t e r a c t i n gw i t hn e u t r a l s c a l a rm e s o n s ，t h ed y n a m i c so ft h e s ef i e l d st h r o u g hy u k a w a i n t e r a c t i o na r eg i v e nb y t h ek l e i n g r o d o n s c h r 5 d i n g e re q u a t i o n s ( k g s ) i 砂t + x 砂= 一妒 丸一咖+ 矿= i 妒1 2 w h e r e 妒。西r e p r e s e n tac o m p l e xs c a l a rn u c l e o nf i e l da n dar e a lm e s o n f i e l dr e s p e c t i v e l y “d e s c r i b e s t h em a s so ft h em e s o n t h ec a u c h yp r o b l e ma n dt h ei n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fk g sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e di n 2 5 2 8 i ti sp r o v e di n 2 5 】t h e e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sb yu s i n gt h e 2 一l q e s t i m a t e sf o rt h ee l e m e n t a r ys o l u t i o n s o ft h es c h r 5 d i n g e re q u a t i o n i n1 2 6 t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n sf o rt h e m u l t i d i m e n s i o n a lk g si sd i s c u s s e d i n 2 】t h ea u t h o r sd i s c u s s e dt h ei n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fk g sa n do b t a i n e dt h eg l o b a le x i s t e n c eo fs t r o n gs o l u t i o n si n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a lc a s e i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i c i n t i m es t r o n gs o l u t i o no ft h e d a m p e dd i s s i p a t i v ek g s i 砂t + 妒+ i a 妒+ 砂= f 毋“+ ( 1 一) + f i e t = i 妒1 2 + g ( 妒，) ( 。，t ) = ( 砂，毋) 扛，t + t ) 妒i a n = 曲 。n = 训a n = 0 x nt r t r ( 0 5 ) ( 0 6 ) ( 0 , 7 ) ( 0 8 ) w h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni n 砂：i2 r _ c ，西：52 r r 。q ，卢a r e p o s i t i v ec o n s t a n t sa n dt h eg i v e nf u n c t i o n sf ( x ，t ) a n d9 ( z ，t ) 8 x ep e r i o d i ci ntw i t ht h e s a m ep e r i o dt ，i sc o m p l e xa n dgr e a l t h el o n gt i m eb e h a v i o ro f ( o 1 ) ( o 2 ) o nab o u n d e dd o m a i nqh a sb e e ns t u d i e d i n1 2 9 ，3 0 i n1 2 9 b i l e rp r o v e dt h a tt h em a x i m a la t t r a c t o re x i s t si nt h ew e a kt o p o l o g y 瑶础( q ) a n d h a sf i n i t eh a u s d o r f fd i m e n s i o n i n 【3 0 1t h ea u t h o rd e c o m p o s e dt h e s e m i g r o u po ff i n i t e ac o n t r a c t i v ea n dac o m p a c tp a r t sa n dt h u sp r o v e dt h ee x i s t e n c e i i i 华中科技大学硕士学位论文 p r o v e dt h ee x i s t e n c eo ff i n i t ed i m e n s i o n a lm a x i m a la t t r a c t o ri nt h en o r mt o p o l o g y o f ，h 2n 爿0 ( q ) 阿2n 丑0 ( q ) i nt h ep r e s e n tp a p e r ，w et r yt op r o v et h ee x i s - t e n c ea n d u n i q u e n e s so fp e r i o d i cs t r o n gs o l u t i o no ft h ek g s o nab o u n d e dd o m a i n i nt h r e ed i m e n s i o n a lc a s e s i n c et h ec o m p a c t n e s st h e o r e mc a n tb eu s e dd i r e c t l y i nt h i sk i n do fs o l u t i o no p e r a t o r ，w ea d a p tt h em e t h o d si n 4 4 a n dc o n s i d e rt h e g a l e r k i np r o b l e m w e a p p l yl e r a y - s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e mt op r o v et h ee x i s - t e n c eo fa p p r o x i m a t e s o l u t i o n ，a n dt h e ns h o wi t sc o n v e r g e n c eb yu s i n gt h ec o m p a c t a r g u m e n t s k e yw o r d s ：p e r i o d i cs o l u t i o ne x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s g a l e r k i nm e t h o d l e r a y s h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m c o m p a c t n e s sa r g u m e n t s r 一一 i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己 经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在文中以明确 方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：装破写7 日期：刘d 悔桐卯日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编八有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：j ；破 闩期：则降牛月2 1 日 指导教师签名：夕勿秘芦 日期：触牛年斗月7 日 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 随着近代物理对孤立子和混沌问题的研究，不断涌现出一大批具有非线性色 散或耗散的崭薪的非线性演化方程，这些方程和物理问题紧密相连，其研究内容 在不断地丰富和发展 考虑如下k l e i n g o r d o n s c h r s d i n g e r ( k g s ) 方程组 i 也+ 砂= 一西砂， 西n 一多+ 弘2 咖= j 移j 2 其中，母( z ，t ) 为复值核子场，咖为实值的介子场，u 表示介子的质量，这个方程 组描叙了核子和介子通过y u k a w a 1 ，2 1 结合的相互作用对于非线性k l e i n g o r d o n 这类非线性演化方程p l l 】有一些明显的物理特征：色散性和非线性的统一；具 有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性；t _ o o ( 或z - o 。) 时解的衰 减性，散射性而且，最近人们发现，解的衰减性和解的光滑性是紧密相关的由 于这类方程和物理的最新研究紧密相关，对它的解法和性质的理论研究早已超出 了传统的研究方法对非线性s c h r s d i n g e r 1 2 2 4 方程，它的解虽然具有比较好的 光滑性，但不存在极值原理。因此必须采用积分估计方法。但这种积分估计不同往 常的是必须充分利用方程的多种形式的守恒率，即建立耦合解的先验估计、积分 不等式。就已经对这类方程所作的定性研究而言，主要集中在：在弱的条件下整体 解的存在性和唯一性；当t _ o 。时解的衰减阶数的精确估计；当t 0 时解的部 分正则性以及在一定条件下解依各种范数的破裂性 k g s 方程组的柯西问题和初边值问题，已为许多作者所研究，如文献f2 5 2 8 等。文献【2 5 利用s c h r 6 d i n g e r 方程解的驴一口估计得到了整体解的存在性。 在文献【2 6 】中研究了多维k g s 方程组解的渐进形态。在文献【2 7 中考虑k g s 方 程组的初边值问题并得到了三维强解的存在性，在文献 2 8 l 中对此结果又作了改 进。 当考虑阻尼时，我们有如下的具耗散的k g s 方程组 t 妒t + 妒4 - z o 妒+ 西砂= ， 华中科技大学硕士学位论文 也十( 1 一) + 卢也= i 中1 2 + 9 其中o ，3 为正数代表了这个模型的耗散机制，( z ) ，g ( x ) 为表示外部来源的已知函 数，是复值的，9 为实值的 在文献f 2 9 1 中b i l e r ，研究了方程组( 1 1 ) - ( 1 2 ) 在有界区域qcb p 上的长时间 性态，证明了整体吸引子在嘲础l 2 ( q ) 和h 2 a 明h 2 a 明( q ) 的弱拓扑 中的存在性和h a u s d o r f f 维数的有限性在文献【3 0 】中作者证明了有限维整体吸引子 在日2n 硪( q ) h 2n 瑶( q ) 上的存在性。由于能量方法 3 1 】对研究耗散的偏微分方 程的长时间性态是非常有效的，特别是在嵌入定理不是紧致的和非光滑的问题中。在 3 2 中作者通过能量方法证明了础础( q ) 中的弱整体吸引子实际上是强的。在 3 4 】 中g u o 和l i 研究了柯西问题并证明了在h 2 h 2xh 1 ( 1 = t 3 ) 上存在整体吸引子， 它依h 2 h 2 h 1 ( r 3 ) 吸引h 3 h 3 h 2 ( r 3 ) 中的有界集。l u 和w a n g 又在 35 】中再次利用能量方法改进了这个结果，得到了当，g h 肛2 ( f 护) 时整体吸引子 在h 2 h 2 日扣1 ( r 3 ) 中的存在性。 在本文中，我们考虑了三维空间中耗散的k g s 方程组的时间周期解的存在性问 题 i 1 ； i t + 妒+ t a 砂+ 妒= ， 妒托+ ( 1 一) 咖+ 卢也= i 妒 2 + 9 ， z qt r ( 讪，) ( 。，t ) = ( 母，曲) ( 。，t + 丁) ， 妒i o n = 曲i a n = 咖i a n = 0 ， t r ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 这里q 是f p 中的一个有界区域，妒：q xr c ，咖：qxr r 。，卢是正 常数。，( 。，t ) 为巳知复函数，g ( x ，t ) 为已知实函数，且均是关于时间的周期函数，其 周期是丁。 。 我们的证明思路是运用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明时间周期解的存在性。由 于原方程解算子不具备紧致性，借鉴 4 4 】中的处理方法，我们先将原方程组转换为有 限维的问题，用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理证明它有时间周期解。然后利用紧致性原 理证明近似解就收敛于原k g s 方程组的时间周期解，从而存在性得到了证明。又由 于我们可以得到关于解的较高的正则性，所以在一定的条件下解的唯一性也可得到验 证。本文主要证明这样两个主要结果；一是三维空间中耗散的k g s 问题周期解的存 在性；二是当，9 范数充分小时得到了此周期解的唯一性。 2 华中科技大学硕士学位论文 1 2 主要结果 定理1 1 设qcr s ，且有光滑边界。若，9 c 1 ( 丁，l 2 ( q ) ) ，则问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 存在周期解 ( 皿，垂) l ”( t ；日2n 硎x - 2n 础( q ) ) 定理1 2 设qc r 3 ，且有光滑边界若，9 a 1 ( 丁，l 2 ( q ) ) ，则问题( 1 1 ) 一( 1 , 4 ) 存在周期解；且当 = 磐p 1 1 1 1 1 1 2 m i = s u p 恻l ，尬= s u p 1 ，2 0 s t s 丁 o t t0 t t 充分小时，其t 一周期解是唯一的其中j i 和”忆2 分别表示l 2 ( q ) 和1 ，2 ( q ) 的 范数 本文主要的安排如下： 在第二章中，主要证明周期强解的存在性，即定理1 1 。我们先通过引理建立近 似解的先验估计： 8 警曼( i j 蝻( ) lj l ，z + j j ( ) i i ，2 + i i 口n ( t ) 1 1 ) 冬c ( 1 5 ) 0 t 0 ) 中的范数； i b ( t ；x ) 表示p ( t ；x ) 的范数； ( t ，) 表示三2 ( q ) 中的内积，( u ， ) = e 如d z ，让是向量函数，即“= ( u 1 ( 。，t ) ，u 2 ( 茁，t ) ，u n ( z ，t ) ) ； ”_ ”表示线性赋范空间中的强收敛； ”一”表示线性赋范空间中的弱收敛； ”叶”表示空间之间的嵌入关系； g 是通用正常数 1 4 预备知识 在这里，我们给出本文需要引用的定理和结果： 定理1 3 ( p o i n c a r 6 不等式) 3 8 】设q 是r ，中的有界区域，若u 肼( q ) ，1 p 。，则有 u ij p ( n ) c ( n ，p ，a ) l l w l h ，m ) 其中c 是与仃，p ，n 有关的常数。当区域q 无界而在某个方向有界时，p o i n c a r 不等 式仍然成立。 定理1 4 ( m i n k o w s k i 不等式) 【3 9 】如果1 p c o ，u ， ( q ) ，则 7 一一 4 一 q 卜慨 叭 k 怯划忆 a 茹 = = 啪 附 州 p 华中科技大学硕士学位论文 定理1 5 ( s o b o l e v 嵌入定理) c 4 0 l 设f 2 是r “中的一个区域。若j 和m 是非负 整数，以及1 p 。 第1 部分如果n 具有锥性质，那么存在下列嵌入： 情形a假定m p n ( m 一1 ) p ，则 w t m , p ( q ) l 伊11 ( 行) ，o a m 一；- 情形c ”假定n = ( m 一1 ) p ，则 w m t p ( q ) l 9 t1 ( 再) ，0 a 1 第1 i i 部分如果把接收嵌入的w 空间都替换成相应的v 空间，那么第1 和第1 i 部分的一切结论对任意区域都成立。 定理1 6 ( r e l l i c h - k o n d r a c h o v 定理) 4 0 设n 是r “中的一个区域，q o 是q 的 有界子区域。又设j ，m 是非负整数，且m 1 ，1 墨p n w + “9 ( q ) c j ，1 ( 孬0 ) m p n ( m 1 ) p ，0 a m 一兰 p i v 如果q 是r “中任意一个区域，那么在用w 搿+ m 9 ( q ) 代替w j + m ，( q ) 所得到的 嵌入也是紧的 定理1 7 ( l e r a y s c h a u d e r 不动点定理) 4 1 设t 是b a n a c h 空间x 到自身中紧 映射，又设存在一个常数m ，使得对所有满足。= a t x ，z x ，盯【0 ，1 1 的。都有 lr x l l xsm 成立，则t 有一个不动点。 定理1 8 ( g a g l i a r d o n i r e a b e r g 不等式) 4 2 】设q 是r “中的开集，“p ( q ) ，d m u l 。( n ) ，l p ，q + 。则对任何j ( 0sj m ) 有 1 1 矽让淞sc 旷1 i t d “u 峨 其中 ；、一i = a ( ；一i m ) + ( ，一a ) ；，兰a s 若q 是任意区域，则当 钍- y 扩护( q ) n 二9 ( q ) 时不等式也成立。 定理1 9 ( y o u n g 不等式) 4 3 设1 a g o ) pq 华中科技大学硕士学位论文 定理1 1 0 ( h 5 1 d e r 不等式) 4 3 】设1 p ，q o o ，；+ ：= 1 ，则“扩( ，u l q ( u ) 时，有 厶l u ” d x 剑“慨c ，) 删( u ) 引理1 1 1 1 4 4 设，( z ) 是以t 为周期的连续函数，k 为常数，则方程 塞均_ ，( z ) 存在唯一的以丁为周期的解 定理1 1 2 1 4 5 设x 是h i l b e r t 空间，z 。cx ，刀x 则在x 中石。_ 。的 充要条件是： 定理1 1 3 1 4 5 设x 是线性赋范空间 中，贝4j | z 。1 1 有界且1 i 。o l j l i m i n f 。+ 。j i x 。i l 。cx ，。o x ，如果。订jz o 在x h f 华中科技大学硕士学位论文 2 耗散的k g s 方程周期解的存在性 2 1 引言 在这一章里，我们将要证明耗散的k g s 问题存在周期强解，即( ，西) l 。( 丁；日2 n 础x h 2n h i ( q ) ) 。我们首先构造近似鹪，利用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明这 个有限维问题的周期解的存在性；然后通过三个引理建立近似周期解的先验估计；最 后由已经得到的先验估计和紧致性证明：近似解的极限就是原方程组的时间周期解。 2 2 近似解的构造 为了方便，现引进变换口= 妣+ d 曲，6 是一个待定的正常数，则问题( 1 ，1 ) 一( 1 4 ) 等价为 i 妒t + 砂+ 2 d 妒+ 曲妒= ， 也+ 6 毋= 移， 巩+ ( 卢一d ) 口+ ( 1 6 ( 卢一5 ) 一) 毋= i 妒 2 + g ( 妒，币，目) 扛，t ) = ( 妒，咖，日) 扛，t + t ) ， 砂i o n = 曲i a n = 圳a n = 0 ， ：7 qt r ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 在此，为了证明近似解的存在性。取( 码) d = 1 ，2 ) 为三2 ( q ) 的完全正交规范 基，且是满足齐次d i r i c h l e t 边界条件的的特征函数，即 a w j = w j ，z f 2 0 a l a 2 s + 1 - o 。( j _ 。o ) 一 8 华中科技大学硕士学位论文 我们将问题( 2 1 ) 一( 2 5 ) 的近似解砂( z ，t ) ，曲( z ，t ) ，( 。，t ) 表示为 矽1 v ( x ，t ) = 叼 - ( ) 屿( 。) j = 1 c n ( z ，t ) = 码( t ) ( z ) j = l o n ( x ，t ) = 勺( t ) 山j ( z ) 1 = l ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中o j _ ( t ) ，6 j ( t ) ，c j , v ( t ) ( j = 1 ，2 ，) 是关于变量的系数函数。根据g a r l e r k i n 方法 设a j n ( t ) ，b v ( t ) ，c ，n ( t ) 满足如下非线性常微分方程组： ( i 妒+ 妒+ l e b e n + 妒，w j ) = ( f ，叫j ) ， ( j l + 6 庐n ，w j ) = ( 口，) ， ( 8 t + ( 声一d ) 占+ ( 1 一万( p 一6 ) 一) 币，w j ) = ( f i 2 + g ，2 吩) ， ( 妒_ v ，咖，o n ) ( x ，t ) = ( 砂，曲，8 ) ( 石，+ t ) 砂i a n = 西i o n = 0 l o a = 0 ， 1s7 茎n ，t r ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 令w n 为由 l ，w 2 ，叫_ v 生成的l 2 ( q ) 的子空间。在问题( 2 9 ) 一( 2 1 3 ) ，我们取 ( p _ ，q ，e ) c 1 ( 丁；w ，) 分别取代非线性项中的( c n ，) ，由引理知，所形成的 ( 妒 ，如，知) 的线性方程组存在唯一的周期解。由此( 妒，西_ ，) 的线性方程组，作 映射f ：( p n ，) 时( 妒，如，) ，则f 是连续紧映射因此要证明方程组( 2 9 ) 一 ( 2 1 3 ) 的解存在，只要证明f ：( 丁；w ，) ( t ；w ，) 有不动点而根据l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，要证明映射f 有不动点，则只要证明a f x = x ( o os1 ) 所有的解是 有界的，也就是方程组 ( j 妒n + 妙v + i 。妒，t ) = 仃( 一 v 妒+ f ，w j ) ， ( 2 ，1 4 ) ( 妒+ d 咖n ，叫j ) = z ( 0 n ，叫，) ，( 2 ，1 5 ) ( 扫j v t + ( 卢一占) 目+ ( 1 一占( _ 臼一5 ) ) j 、t ，嘶) = 盯( 1 妒v 1 2 + g ，叫，) 、( 2 1 6 ) ( 妒，妒n ，口) ( 。，t ) = ( 妒，护) ( z ，t 十丁) ，( 2 。i 刁 9 华中科技大学硕士学位论文 ( 0 盯曼1 ) 所有的解是有界的，且不依赖于盯，为此我们需要建立解的先验估计。以 下假设( 妒，咖_ ，踟) 是问题( 2 1 4 ) 一( 21 7 ) 的解。 2 3 近似j j 别解的估计 引理2 1 设f ( x ，t ) l 。( t ，l 2 ( n ) ) ，则存在k t ，使得 s u pl l 妒1 1 2 k 1 ，v n 1 0 s s t 其中k l 仅依赖于n 而 证明： 用a j n ( t ) 同乘( 2 1 4 ) 式，并对j 从1 到n 求和，得到 ( i 妒n t + 妒+ i d 妒_ ，妒) = 盯( 一曲_ v 砂+ f ，中) ， 取其虚部可得 翔妇i 2 + a 眇1 1 2 = 胁( ，o n l ) 茎| i f l | | i 妒| | 曼；i i o - v l l 2 + l l l f l l 2 ， 即 d l l 妒删2 刊2 学警， 其中m o = s u p o _ 口| _ 对( 2 1 9 ) 两边在 0 ，t 上求积分，并考虑到妒_ v 的周期性有 n 知州惝吾瑶， 由积分中值定理知，存在r 【0 ，t 使得 l l w ( t w 茎孑j - - w 。2 ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 1 ( 2 2 1 ) f 2 2 2 1 一一 _ 1 0 华中科技大学硕士学位论文 对( 2 1 9 ) 两边在 t + ，t + 丁 ( t 【0 ，t 】) 上再次求积分得 即 引理得证 妒( ) 1 1 2 = i l 妒0 + t ) 1 1 2 i l c n ( t 洲) l l + ：m j t i n i s ( ：+ 2 t ) m ；i a l ， ( 2 2 3 ) s u piiwn(t)112(三+2丁)三瞒蚓=ktaa l 0 t 0 使得 o s u p t ( i w 惦1 1 2 + l l 曲f 1 2 + i i v i l 2 + 2 1 2 ) s 凰，v 1 其中尥仅依赖于( ，尬，) 证明： 用一( 嘭+ a a j n ) 同乘( 2 1 4 ) 式，并对j 从1 到n 求和，得到 ( 。妒t + 妒_ + i c y 妒n ，一( 砂m + 口妒_ ) ) = 盯( 一掣r _ + ，一( 砂+ 。矽) ) ， 取其实部可得 ；i d t v 矽e 1 2 + a i i v , p 2 - - ( 7 r e ( 咖妒。，妒。) 一。r e ( 庐_ 妒_ ，妒) 2 一口r e ( f ，矽) 一o - a r e ( f ，妒v ) ，( 2 2 4 ) 因为 r e ( ，妒_ t ) = 一出d _ r e ( ，惦) + r e ( ，“) ， 一冗e ( 如) = 一百l 五d ( j 妇1 2 ) + ；( ，i 。) = 一互l 五d ( 慨j 2 ) 一；跏7 j 蚓。) + ；t ) 一 1 1 华中科技大学硕士学位论文 所以( 2 2 4 ) 司改写为 ；d ( l v 啦i i - - t 7 ( 如，2 ) + 2 盯咒e ( ，灿) ) + f v 妒_ v l f 2 一( + ；j ) 盯( 西j v ，f 妒_ f 2 ) + o e a r e ( f ，巧_ ) + 妻盯( 口， 妒1 2 ) 一口r e ( k ，砂) = o ( 2 2 5 ) 用q 同乘( 2 1 6 ) 并对j 从1 到n 求和，有 ；差l l e n i l 2 + 够一a ) l l e t 1 2 一( 知) + ( 1 6 ( 卢一6 ) ) ( 曲，8 ) 一a ( i 母_ v 1 2 ，日_ ) = 盯( 9 ，8 )( 2 2 6 ) 利用( 2 1 5 ) ，则由( 2 2 5 ) 得 ；训d 1 1 2 + ( 1 一j 一5 ) ) 1 1 4 , 1 1 2 + l i v e 1 1 2 ) + ( 卢一5 ) 1 1 0 _ 1 1 2 + d ( 1 一d ( 卢一6 ) ) 1 1 4 , n i l 2 + a l l y 4 , 1 1 2 一盯( i 妒1 2 ，0 ) = 盯( 9 ，o n ) ，( 2 2 7 ) 令 一 胃( t ) ；2 i l v 母j 1 2 + ( 1 6 ( p 一占) ) l l 咖l i 2 + j l y e _ 1 1 2 + i l 兮1 1 2 2 j ( 毋，i c n l 2 ) + 4 a r e ( f ，妒v ) ，( 2 2 8 ) i i ( t ) = 一2 ( 2 a 一5 ) l l v t f l w l l 2 6 ( 1 6 ( 卢一6 ) ) 1 i 咖i 】2 5 l l v 妒1 1 2 一( 2 卢一a s ) l i o n i l 2 + 4 a a ( 毋n ，i 妒_ 1 2 ) + 4 盯一a ) r e ( f ，妒v ) + 2 a ( g ，口_ v ) + 4 口r e ( a ，西) ，( 2 2 9 ) 则4 ( 3 2 4 ) + 2 ( 3 2 6 ) 意味着 爰日l ( ) + 5 h m ) = ) ( 2 3 0 ) 下面我们要对日l ( t ) 和 ( t ) 进行估计，取 6 = 胁 鲁田1 由2 ( 斧) q 三6 ( 帮) ，和g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式，h o l d e r 不等式，得 i ( 曲，i 妒v 1 2 ) 1 c l l 咖1 | 4 | 1 矽1 1 4 1 1 够 i l c i i v 4 , n i 川妒l f ； i v c n ij 曼l l v 妒j l2 + lj v 砂jj 2 + c ( e ) l l 砂| j ， 7 一 1 2 华中科技大学硕士学位论文 由y o u n g 不等式，我们可得到 1 2 g r e ( y ，c u ) l i i 1 1 2 + l j 妒_ | | 2 ， 1 2 ( g , 钆) f 6 恻f 2 + 扣f 2 f 2 r e ( ，巧_ ) f f f f 2 + i i 妒f f 2 ， 在对h i ( t ) 进行估计时，我们令= i 1 ；而在对l ( t ) 进行估计时，则令e = 五5 ， 由上面的不等式知 i i ( t ) sg h i ( t ) ：( 1 1 v 妒1 1 2 + 1 1 咖l | 2 + l i v e 1 1 2 + 2 1 o _ 1 1 2 ) 一岛 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 申e - = c ( u i i ，t l g l l ，| j ，) ，c 2 = c ( 1 l l l ， 而) ，所以q ，c 2 仅依赖于 以“： 0 ，1 ，2 ) 由( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) ，易得 面d 研( t ) + ；6 川v 惦1 1 2 + i 如 f 2 + l i v e _ 1 1 2 + 2 i i o v 岭c 1 + 6 g ，( z 3 3 ) 从h i ( t ) 的定义可以看出，马( t ) 是周期为t 的周期函数，分别对( 2 3 0 ) ( 2 3 2 j 两边从f 0 ，t 】上积分有 6 上h 1 _ ( t ) d t t c l ， ( 2 3 4 ) 6 上；( l v c u l l 2 + i l c u l l 2 + l i v 圳2 + 2 l l o v l l 2 ) d r s 于( e 1 + 6 q ) ，( 2 3 5 ) 由积分中值定理，存在t + 0 ，t 使得 5 h 1 ( t + ) 冬c 1 ， ( 2 3 6 ) 对( 2 3 2 ) 两边从【t + ，t + 丁 ( t 【0 ，t 】) 上积分有 皿( t ) = 日l ( t + t ) | t t l ( t + ) l + t ( c 1 + 6 ( 乃) + i 6 上( i i v 砂n i l 2 + i i c u 1 2 + i i v i t 2 + 2 1 1 0 _ 1 1 2 ) d r s ( ；+ 2 t ) c 1 + 2 t 3 c 2 ，( 2 3 7 ) 1 3 华中科技大学硕士学位论文 综合( 2 3 1 ) ，( 2 3 6 ) 得 s u p ( 1 i v e _ v i l 2 + 1 i 曲1 1 2 + 1 i v n i l 2 + 2 1l o n il 2 ) o t 0 ，使得 s u p ( i a 妒i 1 2 + ；f f 妒v i l 2 + f i w 1 1 2 ) sk 3 v n 乏1 0 0 ， 在这里取口。= 氧0 5 = 一 1 6 华中科技大学硕士学位论文 取d = m z n ，寺，詈) ，由上面的估计有 羞马( t ) + 6 2 4 2 ( t ) c 4 ， ( 2 4 6 ) 其中c 4 = c ( i i f l i h ，i i g l l t ，忆施) 。所以q ，q 仅仅依赖于蛳，m l ，尬由 ( 2 4 4 ) ，( 2 4 5 ) 易得 夏d 皿( t ) + d ( 忪如| | 2 + 扣如1 1 2 + l v o 圳2 ) s 仍+ d q ， ( 2 胛) 从日2 ( t ) 的定义可以看出j h 2 ( t ) 是周期为t 的周期函数，分别对( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 两边 从f 0 ，邪上积分有 r t 6 上h 2 ( t ) d t t c 3 ， o t ( 1 l x 妒, n 知n l i v e 旧 s 丁( g 十6 e 4 ) ， “； 由积分中值定理，存在t + o ，卵使得 6 h 2 ( t ) c 3 ， ( 2 5 0 ) 对( 2 4 6 ) 两边从【t + ，t + t o 0 ，卅) 上积分有 h 2 ( t ) = 凰0 + t ) j h 2 ( t + ) i +