（热能工程专业论文）汽轮机叶片静动特性的随机有限元方法研究.pdf

华北电力大学博士学位论文 摘要 在叶片的设计、加工、安装、运行各个环节，都存在大量的不可测或不可控的 因素，从而导致叶片的静动特性出现随机性。目前叶片静动特性分析主要采用忽略 参数随机性的确定性物理模型，确定性模型很难从理论上解释叶片静动特性的分散 性，更难解释按确定性方法设计合格的叶片在使用中却发生损坏的现象。本文提出 采用随机有限元模型描述叶片静动特性，以反映叶片参数的随机性，并得到叶片静 动特性的概率特征，这对于揭示汽轮机叶片静动特性的随机性具有重要的理论意义 对于汽轮机叶片的可靠性设计、制造、运行具有重要的应用价值。 本文分析了影响叶片静动特性的各参数的特点，提出采用随机变量描述转子转 速的随机性，采用随机场描述叶片弹性模量、密度、结构尺寸、蒸汽作用力、阻尼、 叶根连接条件的随机性，并用收敛性好和精度较高的随机场局部平均法离散随机场； 基于摄动技术推导出叶片动力分析的随机h a m i l t o n 变分原理，采用2 0 节点等参元 建立了叶片动力学随机有限元方程，给出了单元线弹性刚度矩阵、离一t ：, f lj j 度矩阵、 质量矩阵、离心力向量、蒸汽作用力向量的均值和一阶变异量的表达式：基于摄动 技术推导出叶片静态问题随机最小势能变分原理，采用2 0 节点等参元建立了静态特 性随机有限元方程；推导了用于叶片动频率计算的初应力刚度矩阵的均值矩阵和一 阶变异矩阵的表达式；提出了用随机弹性约束单元来描述叶片根部约束的随机性， 并推导了随机弹性约束单元刚度矩阵的均值矩阵和一阶变异矩阵的表达式；给出了 叶片静态响应、固有频率和振型、稳态动力响应的均值、灵敏度、方差、变异系数 的求解方法。 在理论研究的基础上，采用面向对象随机有限元程序设计思想，编写了叶片随 机有限元分析程序。对随机参数等直叶片的静态响应、固有振动特性、稳态动力响 应进行了随机有限元分析，通过与解析结果及m o n t ec a r l o 模拟结果的对比，验证 了本文方法的精度。 本文对随机参数4 3 2 叶片的静态响应、固有振动特性、稳态动力响应进行了随 机有限元分析详细研究了叶片静动特性对随机参数的灵敏度，给出了参数随机时， 叶片静动特性的均值和变异系数。通过分析发现叶片参数的变异将导致叶片静动特 性产生显著的变异。利用本文方法和程序可以在叶片设计阶段预测其静动特性的均 值和变异，同时还可以获得叶片静动特性对参数的灵敏度，这对于叶片可靠性设计、 控制频率分散度和现场调频具有重要意义。 关键词：汽轮机叶片，静动特性，频率，随机参数，随机有限元 华北电力大学博士学位论文 a b s t r a c t t h eu n c e r t a i np a r a m e t e r so f b l a d ew h i c hc a n n o tb ec o r r e c t l ym e a s u r e do rc o n t r o l l e d i nt h ed e s i g n ，m a n u f a c t u r i n g ，i n s t a l l a t i o na n do p e r a t i o nr e s u l ti nt h er a n d o m n e s so ft h e s t a t i ca n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h eb l a d e i nt h et r a d i t i o n a la n a l y s i sm e t h o d ，i ti s s u p p o s e dt h a tt h ep a r a m e t e r so f t h eb l a d ea r ed e t e r m i n i s t i c i ti sd i f f i c u l tt oe x p l a i nw h y i tf a i l si nn o r m a lo p e r a t i o ne v e nt h eb l a d ei sd e s i g n e dc o r r e c t l yb yt h et r a d i t i o n a l d e t e r m i n i s t i cm e t h o dt h es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n th a o d e lo ft h es t a t i ca n dd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c sf o rt h et u r b i n eb l a d ei sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s i tc a ns o l v et h e u n c e r t a i n t i e so fb i a d ep a r a m e t e r sa n do b t a i nt h ep r o b a b i l i s t i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h es t a t i c a n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h et u r b i n eb l a d e i ti ss i g n i f i c a n tt os t u d yt h es t a t i ca n d d y n a m i cr a n d o m c h a r a c t e r i s t i c sa n dh a sg r e a tv a l u e sf o rt h e r e l i a b i l i t yd e s i g n ， m a n u f a c t u r ea n do p e r a t i o no ft h et u r b i n eb l a d e b a s e do nt h ea n a l y z i n go fc h a r a c t e r i s t i c so ft h ed e s i g np a r a m e t e r so ft h eb l a d e ，t h e r o t o rs p e e di st r e a t e da sar a n d o mv a r i a b l e ，t h ey o u n g sm o d u l u sa n dd e n s i t yo ft h e m a t e r i a l ，t h eb l a d es i z e ，t h ed a m pa n dt h er e s t r i c t i o no ft h eb l a d er o o ta r et r e a t e da s r a n d o mf i e l d st h el o c a la v e r a g i n gm e t h o di su s e df o rt h ed i s c r e t i z a t i o no fr a n d o mf i e l d i nt e r m so fh i g hp r e c i s i o na n dr a p i dc o n v e r g e n c e t h es t o c h a s t i ch a m i l t o nv a r i a t i o n p r i n c i p l eo f t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so f b l a d ei sd e r i v e db yt h em e t h o do f p e r t u r b a t i o n t e c h n i q u e t h ed y n a m i cs t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n te q u a t i o no ft h eb l a d ei sd e r i v e db y u s i n gt h e2 0n o d ei s o p a r a m e t r i ce l e m e n t ，a n dt h ef o r m u l a t i o n so ft h em e a na n df i r s t o r d e rv a r i a t i o no f t h el i n e a re l a s t i cs t i f f n e s sm a t r i x ，t h ec e n t r i f u g a lf o r o es t i f f n e s sm a t r i x ， t h em a s sm a t r i x ，t h ec e n t r i f u g a lf o r c el o a dv e c t o r , t h es t e a mp r e s s u r el o a dv e c t o ra r e i n d u c e d t h es t o c h a s t i cp o t e n t i a le n e r g yp r i n c i p l eo f t h es t a t i cc h a r a c t e r i s t i c so f b l a d ei s d e r i v e d a n dt h es t a t i cs t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n te q u a t i o no ft h eb l a d ei so b t a i n e dt h e m e a na n dt h ef i r s to r d e rv a r i a t i o ne x p r e s s i o no fi n i t i a ls t r e s ss t i f f n e s sm a t r i xf o rd y n a m i c f r e q u e n c ya r eo b t a i n e da s t o c h a s t i ce l a s t i cr e s t r i c t i o ne l e m e n ti sp r o p o s e dt od e a lw i t h t h ev a r i a t i o no ft h ee l a s t i cr e s t r i c t i o no ft h eb l a d er o o t st h ef o r m u l a t i o n sf o rt h em e a n a n df i r s to r d e rv a r i a t i o no ft h es t i f f n e s sm a t r i xo ft h es t o c h a s t i cr e s t r i c t i o ne l e m e n ta r e o b t a i n e dt h es o l u t i o nm e t h o d so ft h em e a n ，s e n s i t i v i t y , v a r i a n c ea n dt h et o e f f i c i e n to f v a r i a t i o n ( c o v ) o ft h es t a t i cr e s p o n s e ，n a t u r a lf r e q u e n c y ，m o d ea n dt h es t e a d yd y n a m i c r e s p o n s ea r ep r e s e n t e di nt h i st h e s i s f o l l o w i n gt h eo b j e c t o r i e n t e df i n i t ee l e m e n ti d e a ，as t o c h a s t i ca n a l y s i sp r o g r a mi s c o m p i l e dt h es t a t i cr e s p o n s e ，n a t u r a lv i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c sa n dt h es t e a d yd y n a m i c 1 1 英文摘要 r e s p o n s eo f au n i f o r ms t r a i g h tb l a d ew i t hr a n d o mp a r a m e t e r sa r ea n a l y z e d t h er e s u l t so f t h ep r e s e d t e dm e t h o da r ei ng o o dc o h e r e n c ew i t ht h o s eo ft h ea n a l y t i c a la p p r o a c ha n dt h e m o n t ec a r l om e t h o d t h es t a t i cr e s p o n s e ，n a t u r a lv i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c sa n dt h es t e a d yd y n a m i c r e s p o n s eo fa4 3 2b l a d ew i t hr a n d o mp a r a m e t e r sa r ea n a l y z e d ，w h i c hi sc o n c l u d e dt h a ta s m a l lv a r i a t i o no fr a n d o mp a r a m e t e r sw i l li n d u c eas i g n i f i c a n tv a r i a t i o no ft h er e s p o n s e v a r i a b l e s t h es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o dc a np r e d i c tt h em e a n sa n dv a r i a t i o n so ft h e s t a t i ca n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa n dt h es e n s i t i v i t i e so ft h es t a t i ca n dd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c sw i t hr e s p e c tt ot h er a n d o mp a r a m e t e r s t h e ya r ev e r yi m p o r t a n tf o rt h e r e l i a b i l i t yd e s i g n ，t h ec o n t r o lo ft h ed i s p e r s i o nd e g r e eo f 仔e q u e n c ya n dt h ea d j u s t i n go f t h e 厅e q u e n c yf o rt h et u r b i n eb l a d e k e yw o r d s ：t u r b i n eb l a d e ，s t a t i ca n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s ，f r e q u e n c y ，r a n d o m p a r a m e t e r s ，s t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d n i 兰韭里垄茎兰堡主堂垡笙壅 主要符号表 蚴：刚度矩阵 e ( 】：求数学期望 【幻：线弹性刚度矩阵 ( ) o ： 随机变量的均值 蚴：初应力刚度矩阵 ( ) ：随机变量的一阶变异 啦】：弹性约束单元剐度矩阵 c o y ： 协方差 【匠】：离心刚度矩阵 c o v ：变异系数 】：科氏力矩阵 p ) ：基本随机变量 啪：质量矩阵跚：。位移的灵敏度矩阵 c l ：阻尼矩阵 g 】：基本随机变量协方差矩阵 r ) ：载荷向量 昂：小参数 幺) ：离心力向量 缺 相关长度 f g ) ：汽流作用力向量 肥) ：方差函数 口j ：节点位移向量 反0 ：相关函数 五 ：节点速度向量 埘) ：节点加速度向量 ( 田： 砖： 陋】： 【d 】： 嘲： m ： ，0 ) ： n ： 应力 应变 几何矩阵 弹性矩阵 应力矩阵 型函数矩阵 坐标向量 转子旋转速度 体积雅可比矩阵 面积雅可比矩阵 位移向量 振型向量 刚度矩阵的变异矩阵 固有角频率 模态阻尼 激振力因子 均值 方差 均方差 嘲蜩耿昏&肚 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的 研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡 献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 特此申明。 期：丝当：u ： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用 影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被 查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文：同 意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内 容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：堡垒乜墨 日期：垃：f ：f ! 华北电力大学博士学位论文 1 i 课题背景及意义 第一章前言 电力是实现国民经济现代化的主要物质基础。随着国民经济的发展，电力工业 也得到了高速发展。到2 0 0 2 年底我国发电装机容量已经达到38 5 亿千瓦，其中 7 5 以上来自火电站和核电站的汽轮机一发电机组。预计到2 0 2 0 年我国的发电装 机容量将达到9 5 亿千瓦，其中火电占6 5 【l i 。叶片是汽轮机的关键部件，它的设 计制造水平是衡量汽轮机技术的主要标志，其安全可靠性直接关系到汽轮机和整个 电站的安全。 目前，汽轮机正向太容量、高参数化发展，3 0 0 m w 和6 0 0 m w 机组已经成为主 力机组。正在研制的更高参数和容量的超临界和超超临界机组口i 。单机功率将达到 9 0 0 m w 以上，单机功率的提高要求更太的通流面积，必然要求更长的叶片。由于 叶片高度和蒸汽参数的提高，叶片的工作条件更加恶劣，调节级叶片要承受6 0 0 。以 上的高温和巨大的冲击力，末几级叶片要承受巨大的离心力和高速蒸汽的冲刷。同 时，动叶片都承受多种形式的周期性和随机性激振力作用而处于强追振动状态。 2 0 世纪7 0 年代，我国电站汽轮机叶片的事故率最高达到1 1 ，据美国e p r l 指出，美国电站汽轮机强追停帆率的7 0 与叶片损坏有关引。在许多情况下，叶片 事故都会导致汽轮机发生重大事故，不但花费大量的维修费用，造成直接经济损失+ 而且由于长期停机，大大降低汽轮机可用率，造成重大的间接损失。因此，保证叶 片的安全运行、减少叶片事故，对提高汽轮机运行的可靠性，保证国民经济发展有 重大的意义。 鉴于叶片安全的重要性，国内外对汽轮机叶片的静动特性进行了大量的研究， 我国也制定了汽轮机叶片强度的设计准则，但是叶片失效事故仍时有发生【4 i 。目前 叶片的静动特性分析理论大部分是确定性的物理模型，所谓的确定性模型，是指认 为影响叶片静动特性的各相关参数都是确定性的量，这样设计参数和静动力响应问 存在确定性的因果关系。确定性模型隐含了下列重要的假设 5 1 ：( 1 ) 对于已经存在 的叶片可以实现完备的测量：( 2 ) 对于设计中的叶片，其制造、安装和运行中各种 因素可以实现完全控制。显然在实际工程中，这种假设是很难实现的。在叶片的设 计、加工、安装、运行等环节都存在大量的不可测或不可控的因素，这将导致叶 片的静动特性出现不确定性，这些不确定性主要表现为随机性。例如，一台汽轮机 的整圈同型叶片设计参数完全相同，按确定性计算模型，这些叶片的频率应完全相 同，但实际上整圈叶片的频率存在分散性，工程中用频率分散率表示。图l ，l 为某 电厂汽轮机次末级叶片静频实测统计图。从图中可以看出，叶片频率存在很大的分 电厂汽轮机次末级叶片静频实测统计图。从图中可以看出，叶片频率存在很大的分 第一章前言 散性。因此，按确定性模型很难从理论上解释叶片静动特性的分散性，更难给出静 动特性不确定性的定量描述和计算方法，要全面描述叶片的不确定性，必须采用随 机力学模型。 2 0 i 1 5 1 0 r s 。t i ，ii r 8 旨 f l 七r l 菇r l 薏尸齿高 频率( h z ) 图1 1某汽轮机次末级叶片频率分布图 目前，叶片静动特性的随机性一般采用实测数据进行统计分析，然后给出经验 系数或曲线，用经验系数指导设计，从而造成产品设计定型周期长，在设计阶段很 难准确预测叶片静动特性。因此，研究静动特性随机性的定量描述和分析方法，对 于避免目前工程中采用经验系数的盲目性、提高叶片的可靠性设计水平、指导叶片 的安全运行有重要的应用价值。 在基于确定性分析的设计理论中，人们并没有否认客观事物的不确定性，在叶 片的静强度准则中，安全系数就是对叶片强度随机性的一种简单考虑方法：在叶片 振动强度设计准则中，安全倍率就是建立在分析叶片事故统计数据的基础上。但安 全倍率方法也是一种简单的经验方法，对激振力、应力集中、结构特点、阻尼特性、 安装条件等因素采用经验系数考虑，因此无法准确定量地评价叶片的安全程度，也 很难从理论上解释按安全倍率法设计的叶片是安全的，但在使用中发生损坏的现象。 例如我国引进西屋公司生产的4 7 4 叶片，按现行准则其强度和振动特性完全合格， 但叶片却发生多起严重损坏事故1 6 】。因此现行的安全系数法和安全倍率法等经验方 法很难满足现代大容量机组对安全性和可靠性的要求。用可靠度描述汽轮机叶片静 动强度是更为科学合理的方法，可靠度是指叶片在规定的时间内，在规定的条件下 完成预定功能的概率。采用可靠性设计方法是目前叶片静动强度理论的发展方向， 而叶片静动特性的随机有限元分析方法正是叶片可靠性设计的基础理论，可以为确 定设计参数的概率统计特性提供有力的分析理论和工具。 综上所述，本文研究汽轮机叶片静动特性的随机有限元分祈方法，对于揭示汽 轮机叶片的静动特性的不确定性具有重要的理论意义对f 汽轮机叶片的可靠性设 华北电力大学博士学位论文 计、制造、运行具有重要的应用价值。 1 2 汽轮机叶片静动特性研究现状 汽轮机叶片的静态特性分析主要是指叶片在稳态的汽流力和离心力作用下产生 的变形和应力分析，动态特性分析指叶片固有振动特性和在非稳态激振力作用下叶 片的动变形和动应力分析。下面对目前汽轮机叶片静动特性分析研究现状进行综述。 1 2 1 确定性力学模型 用确定性模型研究汽轮机叶片静动特性已经取得了大量的研究成果。文献【7 】， 【8 】详细讨论了将叶片简化为粱模型，基于材料力学和振动力学模型计算叶片强度和 固有振动特性的方法并讨论了叶片工作温度、离心力以及叶根连接刚性对叶片固 有频率的影响。给出了温度修正曲线、叶根牢固系数修正曲线和计算动频的经验公 式。由于汽轮机发电机组的单机功率增加，叶片已经从简单的直叶片发展到变截面 的长扭叶片用简单的梁模型很难描述叶片的静动特性。文献【9 】采用传递矩阵法计 算了叶片静动频率，文献 1 0 】提出了利用实测静态叶片模态参数重构旋转叶片动力 方程，从而获得叶片在不同转速下的动频率的计算方法。 随着数值计算技术的进步目前计算叶片静动特性大多采用有限元法。有限元 法将一个连续体离散成若干个节点处彼此联结的离散体的组合，是一种适应性强， 精度高的数值计算方法。用于叶片静动特性计算的单元类型主要有梁单元、板单元 和三维实体单元。文献【l l 】，【1 2 1 ，【t 3 1 分别建立了考虑叶片弯扭耦舍、剪切变形及 转动惯量影响的叶片粱单元模型，文献【1 l 】还研究了考虑叶根柔度的汽轮机叶片组 的振动分析。采用粱单元的优点是几何模型离散简单、计算量小、方法成熟，但粱 单元应用范围受限，由于模型本身的缺陷，它不能详细考虑叶根和叶片的局部结构， 不能精确计算叶片局部的变形和应力，主要是进行叶片的固有振动特性计算，而且 只能分析中长叶片，对短叶片计算误差较大。文献 1 4 1 ，【1 5 】，【1 6 】分别采用薄壳单 元、四边形板壳单元、厚壳单元建立了叶片振动特性有限元方程。板单元的优点是 几何模型离散简单，精度较高，但同样不能考虑叶根和叶片的局部结构，不能精确 计算叶片局部结构变形和应力。文献0 7 】， 1 8 ，【1 9 采用三维实体单元建立了叶片 静动特性有限元方程，文献【2 0 】应用三维实体元分析了整圈叶片的动态特性。三维 实体元能够处理复杂几何形状的叶片，并同时考虑叶根和叶片局部结构的变形和应 力，是目前叶片静动特性分析的理想单元。 1 2 2 考虑参数不确定性的力学模型 工程应用中对叶片静动特性的不确定性已有初步的认识，并提出了些简单的 第一章前言 处理方法f ，但深入的理论研究成果很少。文献 2 1 1 将涡轮水泵叶片的几何和材料特 性视为随机变量，应用m o n t ec a r l o 模拟方法研究了叶片固有频率和动力响应的概 率统计特性。文献【2 2 】指出汽轮机部件载荷、材料性能和加工尺寸存在离散性部 件的应力、变形等存在随机性，采用概率有限元分析是汽轮机部件强度研究的发展 方向。文献 2 3 】研究了汽轮机关键部件包括叶片的可靠性设计方法，文中认为汽轮 机叶片静动特性如频率、静动应力等为随机变量，提出确定其分布参数的方法有( 1 ) 实测数据统计法，但此方法要求有大量的制造完成的叶片，不能在设计阶段预测叶 片静动特性的随机性： ( 2 ) 解析公式的t a y l o r 展开法，此方法只适合简单形式的 叶片：( 3 ) 采用数值解法直接计算静动特性对设计参数的偏导数，但文献中给出的 方法的精度很难得到保证。作者在文献 2 4 中提出了叶片动态特性随机力学分析的 概念。 1 2 3 叶片振动特性敏感性 敏感性分析是结构优化设计、可靠性分析、参数识别及结构的淹机分析的先决 条件，是目前工程计算中的一个热门研究领域。文献 2 5 1 采用材料力学公式和确定 性有限元方法分析了材料特性，几何参数对叶片振动特性的影响，对连接条件的影 响仅进行了定性讨论，文献 2 6 】采用粱模型分析了材料特性，几何参数连接条件 对叶片振动特性的影响。文献 2 7 1 采用确定性有限元，通过对叶根施加不同的位移 边界条件分析叶根约束条件对叶片振动特性的影响。上述文献均将材料特性、结构 尺寸作为确定性量分析了叶片振动特性对其敏感性。本文提出将相关参数作为随机 变量或随机场时，振动特性对相关参数的敏感性研究，以期为叶片的动力优化和现 场调频提供理论依据。 综上所述，汽轮机叶片静动特性分析的确定性方法日趋完善，而考虑设计参数 不确定性的叶片静动特性分析理论研究成果很少。本文将在叶片静动特性的随机性 分析方法方面进行研究。 1 3 随机有限元方法的研究现状 随机力学是基于概率理论的力学分析方法，主要研究系统或输入具有不确定性 因素时，输入与输出间的关系1 2 8 1 。 随机振动主要研究确定性系统受随机载荷问题，随机振动是结构动力学与概率 论结合的产物，是现代应用力学的一个分支它开创了结构动力特性随机分析的先 河。现代随机振动的研究开始于2 0 世纪5 0 年代，由于航空航天工程中火箭和喷气 技术的需要，促进了随机振动理论的发展。目前，随机振动理论越来越广泛用于运 载工具及高层建筑、桥梁工程等。 华北电力大学博士学位论文 随机系统受确定或随机输入是目前随机力学的一个主要研究领域，由于系统有 不确定性参数，其系统控制方程中含有随机参数，因此解析法研究非常困难，只有 具有不确定性材料或几何特性的简单结构才可能存在近似形式的解析解【如i 。文献【3 l 】 中提出了刚度和载荷随机时粱和小挠度薄板的随机解析解，给出了梁和板位移的统 计特性。 文献 2 8 1 综述了随机力学在解析和数值解法方面取得的一些成果和研究趋势。 文献【3 2 】综述了2 0 0 1 年前计算随机力学的最新研究进展以及未来研究的重点领域。 文献【3 3 】综述了1 9 9 7 前计算随机力学的研究进展，分别从( 1 ) m o n t ec a r l o 模拟方 法，( 2 ) 随机过程( 场) 的描述方法，( 3 ) 结构响应变异及可靠性分析方法，( 4 ) 随机有限元法四个方面进行了详细的评述。文献【3 4 晦；述了结构分析中的随机有限 元方法。文献 3 5 】 3 6 】综述了土木水利工程中随机力学的研究方法及内容。文献 3 7 】 详细讨论了随机场离散方法、随机变分原理、随机有限元方程的解法及随机有限元 在工程中的应用情况。 目前随机参数结构分析尤其是动力分析可行的方法主要是随机有限元法【2 9 】。随 机有限元法最初的是将m o n t ec a r l o 技术与有限元直接结合，对随机变量的样本应 用有限元法进行反复计算，再对结果进行统计分析。这对于大型结构计算量极其巨 大，很不实用。一般用于检验其他随机有限元方法的精度。真正的随机有限元法研 究开始于2 0 世纪7 0 年代，c a m b o u 首先应用一次二阶矩法研究了线弹性问题1 3 4 1 ， 随后出现了t a y l o r 展开随机有限元，摄动随机有限元和n e u m a n n 展开随机有限元等 多种有限元方法，随机有限元法主要包括三大方面的问题，随机有限元法的基本理 论、随机有限元方程的求解方法以及随机场的描述方法。下面详细综述与本文研究 内容有关的随机有限元法的研究进展。 1 3 1 随机变分原理 随机变分原理是随机有限元法生存的理论基础，随机变分原理包括静态随机有 限元变分原理和动态随机有限元变分原理。文献【3 8 】研究了多场问题的随机变分列 式。文献 3 9 】利用二阶摄动技术提出了静态最小势能随机变量变分原理。文献 4 0 】 证明了随机变分方程解的存在性和唯一性问题。文献【4 l 】对随机动力学问题提出了 随机h a m i l t o n 变分原理。文献 4 2 】基于瞬时最小势能原理，运用二阶小参数摄动法， 研究了随机结构动力分析的随机变分列式，并导出了相应的随机有限元计算公式。 文献【4 4 】直接在随机结构的势能泛函中引入参数的随机性，将总势能泛函写成了摄 动形式，由此得到随机结构的各阶随机变分原理，此方法克服了直接刚度法在推导 随机有限元方程过程中，先忽略参数随机性然后再引入参数随机性的缺陷。 第一章前言 1 3 2 随机场描述方法 对随机有限元而言，随机场的描述方法实质就是如何离散随机场，目前对随机 场离散模型研究已经取得了部分成果，已经提出了多种方法对随机场离散化f 4 引。主 要有： ( 1 ) 随机场中心离散法【4 6 1 ，中心离散法将随机场用每个单元中心点的值表示。 此法简单方便，程序易于实现，但精度较低。 ( 2 ) 随机场插值法1 4 ”，将随机场在单元内的值用单元节点处的值的插值函数 表示，从而将随机场的统计特性用单元节点上随机函数的统计特性表示。但是此方 法要求已知随机场的相关函数。 ( 3 ) 随机场加权积分法【48 1 ，采用随机场在单元离散点上的加权积分表示单元 上的随机场，但对三维问题来说，分析计算量巨大。 ( 4 ) 随机场正交展开法1 4 ”，将随机场进行k a r h u m e n l o e v e 正交展开，从而获 得任意阶梯度的随机刚度矩阵表达式。此法精度高，但是三维问题求解很困难。 ( 5 ) 随机场局部平均法1 5 0 胆】，随机场在单元上的特性用随机场在单元上的 平均值表示，大量文献研究表明，随机场局部平均方法收敛性好、精度高，是目前 随机有限元中常用的随机场离散方法。 1 ，3 3 静动力响应随机有限元方程求解方法 ( 1 ) t a y l o r 展开随机有限元法( t s f e m ) ，将有限元方程中的控制变量在随机 变量的均值点进行t a y l o r 展开，然后对展开式求一阶原点矩和二阶中心矩。设基本 随机变量为b = b ，b ：，6 。) 7 ，静态问题有限元方程为 k ， 口) = 斥)( 1 - 1 ) 式中： 口) 为位移向量， 几) 为等效节点载荷向量， 墨】为整体刚度矩阵。 将位移在基本随机变量的均值点侈 。处进行二阶t a y l o r 展开 = 口 o + 。o 。 a ， c bb ，0 ) + 圭喜喜器k 。( b , - b 。) ( b j - b j 。) ( 1 - 2 ) 则位移的均值为 e l 口) 】呻 0 + ；委喜器k 懈0 c o v ( b , , b i ) ( 1 - 3 ) 式中( ) o 表示相应随机变量的均值，c o v ( b ，b ，) 为b ，6 ，的协方差 位移的方差为 华北电力大学博士学位论文 叫= 喜喜警警i b = i b o c o v ( + 砉言砉喜貉籀啪i 【c 吣嘶”c 州删a 俐4 式中，c o y ( b , ，b s ) 为b t ，以的协方差 由此可以看出，计算结构位移的统计量关键是计算位移对基本随机变量的偏导 数，可以由下式计算。 警邢丁) - 1 ( 掣一簪 口) 。) ( 1 5 ) 器_ ( 【引亨1 ( 鬻一掣警一掣警一鬻 口) 。) ( 1 s ， t a y l o r 展开随机有限元法实质上是对有限元方程直接进行偏微分运算，因此也 有文献称为直接偏微分法p 孤。t a y l o r 展开随机有限元法公式推导简单，而且计算效 率高。一阶t s f e m 一般要求随机变量的变异系数小于0 + 2 ，二阶t s f e m 可以放宽 对随机变量变异系数大小的限制，但计算量增加很大。无论是一阶还是二阶t s f e m 都无法计算位移的三阶以上的统计特性”5 i 。 文献【3 7 】应用t a y l o r 展开法研究结构的动态响应统计特性。文献【5 4 】应用t a y l o r 级数展开法研究了刚度随机变化的梁的静态响应的变异性。文献【5 5 】应用t a y l o r 级 数展开法研究了静力、动力和非线性问题，并与直接m o n t ec a r l o 模拟和n e u m a n n 展开的m o n t ec a r l o 模拟的结果进行比较，通过算例研究了三种方法的精度和计算 效率问题。 ( 2 ) 摄动随机有限元法( p s f e m ) ，不同于t a y l o r 展开随机有限元的将响应在随 机变量的均值点处展开，而是把随机变量表示为有确定性部分和摄动部分，然后代 入随机有限元方程，利用摄动法将有限元控制方程转变为一组线性递推方程。 假设口。为随机变量b ，在其均值点邵处的微小摄动量，即 缸 = 6 ) 一( 6 ) o( 1 7 ) 则刚度矩阵【墨】，位移向量 口 和载荷向量 玮) 的二阶摄动形式为 阶吲。+ 砉掣k 咐凄鼍筹k 删， 却 o + 喜磐k 圭喜言篆箬k 。叩， m s ， 粥) 0 + 委等k 以+ 溪器k 叩， 7 第一章前言 代入控制方程( 1 1 ) ，根据摄动法，可得 口 o = ( 晖。】o ) 1 口) o ( 1 - 9 ) 掣：( 刚) 一，( 掣一掣 口j 0 ) ( 1 - l o ) 丽a z a 删0 ) _ 1c 器一掣警一掣等一盟a a i o ” 则位移的均值为 删h 口 0 + ；喜喜器i l a ：o c o y 盘，) ( 1 - 1 2 ) 式中，c o v ( a ，口，) 为，的协方差。 位移的方差为 圳训= 喜委磐掣l 。a ) = o c o y c ，+ 丢喜萎砉喜器翁。c 州嘲胁坼+ c 吣，引c 州”，1 摄动随机有限元l tt a y l o r 展开随机有限元概念更明确，但也仅适用于小变异情 况。应用摄动法研究瞬态动力响应存在长期项问题，长期项的出现是由于采用摄动 格式，导致递推方程组的一阶和二阶动力方程中出现共振因素，从而造成动力方程 摄动解的精度变坏，在一些情况下甚至出现不收敛的结果2 9 1 1 3 4 咿。脚j f 5 “。对单自由 度随机系统的脉冲响应函数的均值和方差，与m o n t ec a r l o 模拟结果进行比较表明， 摄动法只适用于， 4 州国o ( 姗为系统的固有频率) ，此后偏差会随时间增大而越来 越大2 引。 文献【5 8 应用摄动法研究了非均匀梁的动力响应的均值、方差、自相关函数， 并与m o n t e c a r l o 模拟进行了比较。文献【5 9 】应用摄动方法推导了基于应力的随机有 限元方程。文献【6 0 】应用摄动级数和k r o n e c k e r 代数运算推导了系统变异计算的一般 公式，并给出了简单桁架和悬臂梁的算例。文献【6 1 研究了材料和几何参数同时随 机的板结构响应的随机性，以及响应变异与随机场参数的关系。文献【6 2 应用摄动 随机有限元法分析了球磨机结构动力响应。文献【6 3 】考虑了气缸爆压、转速、活塞 组质量、衬套过盈、弹性模量、泊松比、小端过渡圆角半径的不确定性，应用摄动 随机有限元法求解了连杆应力，并与m o n t e c a r l o 模拟结果进行了对比。 ( 3 ) n e u m a n n 展开随机有限元( n s f e m ) ，其基本思路是将结构的刚度矩阵分 解为均值和波动量两部分并展开成n e u m a n n 级数形式，导出一组递推方程，进而 求解结构响应的各阶统计量，本文第四章给出了其详细步骤。文献【6 5 】提出了不确 华北电力大学博士学位论文 定性参数动力问题频域的随机有限元法，并应用n e u m a n n 展开随机有限元法求解了 简谐激振和地震载荷作用下的动力响应。文献 6 6 应用n e u m a n n 展开技术导出了响 应变异的有限元方程，并与摄动法和直接m o n t ec a r l o 法模拟结果进行了比较，验 证了n e u m a n n 展开随机有限元法的精度、收敛性和计算效率。 ( 4 ) 正交展开方法，其基本思想是通过随机函数的正交展开，将随机微分方程 转换成容易求解的微分方程，进而求出系统响应的统计特性。 假设仅考虑刚度矩阵的随机性，随机刚度矩阵 墨】可以表示为 瞄，】： 置，o 】+ 暇】：6 ， ( 1 一1 4 ) j = l 式中，【足，。】为刚度矩阵的均值矩阵， k ，】：为刚度均方差系数矩阵。西为独立的 随机变量( 如不是独立的标准随机变量，可以采用正交变换的方法将其转换为标准 独立的随机变量) 。m 为刚度矩阵所考虑的独立随机变量的个数。 代入静力问题有限元方程( 1 1 ) 中，得 n i ( k 。】+ k 】；6 ) 口) = 如) ( i l5 ) ，= 1 利用随机变量6 ，的独立性，在抽象空间中将位移次序地展开为正交基函数的级 数。 ( 口( 6 ) ) ) = x i , - k 兀h 口( 6 ，) ( 1 1 6 ) 普黜 i = t 式中，m 为关于随机变量岛所取展开基函数的个数，h t ( h a 为关于随机变量 抚的基函数，可根据随机变量的概率分布类型取为正交多项式。 将上式代x ( i 一1 5 ) ，可以得出如下形式的方程 【a i x ) = p )( 1 1 7 ) 式中口】为m 阶方阵， ， p ) 为m 维向量，相应的任意元素表达式如下 a p = 足? h ，+ 艺k ；( 一。4 嘭，+ 岛+ 口叫西，) ( o s 七，) j 2 l l 1 ，= m 芦一jo ”一j 5 一1 兀( _ m 一。+ 1 ) j t ll = i “ n kn ，= 1 + ，n ( | v ，+ 1 ) ，m = 兀( | 十1 ) ( 1 1 8 ) ，= l片j 1 i = i 只= k = r ) 兀6 。 x ，2 x t ”i h 口，芦，伪由随机场得到的独立变量如的概率分布对应的正交多项式递推系数。 9 第一章前言 方程( 1 1 7 ) 已经是确定性变量方程，而且由原行自由度系统变为打卅维，因此 文献【5 】称此方程为扩阶系统方程 求解( 1 1 7 ) 式可以得到 加，回代到( 1 - 1 6 ) 。则位移的均值与协方差可以利用正 交多项式的正交性得到，位移的均值为 研 口) 】= x 。)( 1 1 9 ) 协方差为 c o v ( a ，缸1 ) = e x 。 kl x v ：) 7 ( 1 2 q ) ：器嚣 基于正交多项式展开的随机有限元方程求解方法不受参数变异量大小的限制， 而且精度高，而且由于不采用摄动格式，因此没有长期项问题。但是此方法涉及的 数学运算远比摄动随机有限元法复杂，因此求解多自由度的实际工程问题，存在计 算效率问题。 1 3 4 随机特征值问题求解方法 目前，随机特征值问题主要有两种方法：解析法和数值方法，由于摄动法应用 方便而在解析法中广泛采用，数值法主要是m o n t ec a r l o 模拟方法，一般用来检验 其他解析方法的结果精度。摄动法广泛用于不确定性系统的特征值分析，此方法先 将各随机变量在其均值处通过