（应用数学专业论文）brusselator模型的非常数正平衡解.pdf

p 5 6 0 9 8 6 尔南人学学位论文拙创e i ：声 刿歧使用授权的说l 列 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进彳亍的研究1 = 作及取得的研究成果。尽我所知，除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：劐弦 日期：色圈：! ：多 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电予文档， 可咀采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电了文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在 保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文 的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 妒名；地一导师签名；望生鲢 日期：垂! 羔鱼笪j 摘要 本文中，我们考虑了一个著名的反应扩散方程组 b r u s s c l a t o r 模型 的平衡解问题 o a u = m 一( b + 1 ) u + u 2 v ， z q ，t 0 a v = b u u 2 v ， 。n ，t 0 = 甏= 0 ， z a n ，t o 0 ) = ( 。) 0 ，v ( x ，0 ) = ( 。) 0 ，z f 2 z 1 2 ， z n ，( i i ) x a n 本文的第一节给出问题( i ) 的正常数平衡解稳定的条件 在第二节中，我们利用积分不等式、最大值原理、护理论及s c h a u d e r 理论得到问题 ( i i ) 的正解的上、下界的先验估计 第三节研究问题( i i ) 不存在非常数正解的条件 在第四节，我们借助于拓扑度理论及分叉理论，得到问题( i i ) 的正解关于参数0 和a 的局部分叉及整体分叉结果 在第五节，对于一维的特殊情形，我们对问题( ) 的正解做了更深入的讨论 关键字：反应扩散方程，b r u s s e l a t o r 模型，平衡解，分叉，整体存在性，局部存在性 赫 a b s t r a c t i nt h ep a p e r ，w ed e a lw i t haw e l l k n o w ns y s t e mo fr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，i 。e ，t h e b r u s s e l a t o rm o d e l w h i c hi sa 8f o l l o w s fu t o a u = a o 一( b4 - f ) u + u 2 v ：z n ，t 0 lk a v = x b u u 2 v ，q ，t 0 1 鬻= 面o v = 0 ， 。踟， o ， 【e ，( 。，0 ) = u 0 ( 。) 0 ，y ( x ，0 ) = ( 。) 0 ，。q a n ds t u d yt h ep o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o n so f ( i ) w h i c hs a t i s f y f o a u = a 陋一( b + 1 ) u + u 2 v ，z q ， 一v = 6 uu 2 v ，。n ， 【o 卸u 一面o v = 0 ， z 勰 ( ，) ( j ，) f i r s t ，w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h eu n i q u ep o s i t i v ec o n s t a n ts o l u t i o no f ( i ) t h e n 、w eu s e s o m et e c h n i q u e so fi n e q u a l i t y ，t h em a x i m u m p r i n c i p l e ，护t h e o r ya n ds c h a u d e rt h e o r yt og i v e ap r i o r i e s t i m a t e sf o rp o s i t i v es o l u t i o n so f ( i i ) i n c l u d i n gp o s i t i v eu p p e ra n dl o w e rb o u u d s a n d t h e nw eo b t a i _ i lac o n d i t i o no fn o n e x i s t e n c eo fn o n c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n so ff i l l i i io r d 、i t os t u d yl o c a la n dg l o b a lb i f u r c a t i o nw i t hr e s p e c tt ot h ep a r a m e t e r s0a n da w eu 8 e l , e r a y s c h a u d e rd e g r e et h e o r ya n db i f u r c a t i o nt h e o r y i np a t t i c u l a r ，i nt h es p e c i a lo n e - d i 1 l e l l s i o i l a l e a s e ，w em a k eaf u r t h e rd i s c u s s i o no ft h ep r o b l e i n 【i i ) k e yw o r d s ： r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，t h eb 1u s s e l a t o rm o d e l ，s t e a d y - s t a t es o l u l ，i ( ) i l s b i f u r c a t i o n ，g l o b a le x i s t e n c e ，l o e 9 1e x i s t e n c e 引言 本文中，我们考察了一个著名的反应扩散方程组，即b r u s s e l a t o r 模型： fu t o a u = 陋一( b + 1 ) u + u 2 v ， z q ，t 0 班一a v = b u u 2 v ， 。q ， 0 l 错= o 却x _ = 0 ， ze 跚， 0 ， 【y ( x ，0 ) = u o 扛) 20 ，v ( x ，0 ) = 1 ( z ) 0 ，z n 研究该模型的平衡解问题： f o a u = a n 一( b + x ) u + u 2 矿 ，z n ， 一矿= a 6 u u 2 矿 ， z e n ， ( o1 ) 【筹= 面o v = 0 ， 规 其中n 月“是具有光滑边界的有界区域，q 是硼的外单位法向量u 和v 分别表示 两种反应物的浓度，。和b 是其他成分的固定浓度，0 是u 的扩散系数，a 可以看作是 区域n 大小的度量，也可以看作是扩散系数的度量因此，我们总假定o ，b ，0 ，a 为正常 数 显然，( v ) = ( 。，b a ) 是( o1 ) 的唯一的正常数解，令u 1 = u a ，“2 = a v b 、则( 0j ) 转化为下面的方程组 f o a u l = a 1 一+ 1 ) u l + 6 u ；扎2 ， 。n ， 一a u 2 = 0 2 u l 一“i u 2 ， z q ， ( 【) 2 ) ( 蛰0 7 1 = 筹= 0 ， z 硼 再作变换d l = 日 ，d z = ( a a 2 ) ，我们得到 f d t a u l = l 一( b + 1 ) u l + b v , 2 u 2 茁n ， 一d 2 a u 2 = “1 一“i u 2 ， 。eq ， ( ( j ：；) 【酱= 酱= 0 ， z 铀 ( 0 3 ) 相应的动力系统如下 在文献 1 i i = d l a u l + 1 一( 6 + 1 ) “1 + 6 “i “2 ， 酱= d 2 a 啦+ “1 “ 螈 鬻= 智= 0 ， 毗( z0 ) 0 ： 1 1 , 2 ( z ，0 ) 0 ， o q ， 0 z l _ 2 ，t 0 、 ( 04 卫0 f 1 t 0 。 2 5 q 和【n 中，作者利用变换u = “十n ，v = t j + b a ，n i a - j n ( o ”转化成 p 2 “= 【( 6 1 ) u 斗n 2 u + b o u 2 + 2 a ，+ t 1 2 u 】， j ：1 s 2 ， 一a = a 【_ b u a 2 v b a u 2 2 m 1 2 2 v ， te l ! ， 1 05 舞= 舞= 0 、 z 挑2 容易知道，j 有当( 【) 5 ) 相应的线性问题 f 一0 2 a u = 【( 厶一1 ) “ia 2 v ， z n ， ? 一口= a 一b u a 2 v ， z f 2 ， 【舞= 端= 0 ， 蚝锄 有非平凡解时( 0 5 ) 才可能出现分叉 文献 1 汪明r 当a 满足条件 ；= 参 6 一l 一“2 口2 土1 ( 犷 f 00 1 时，( 0 6 ) 才有可能有非常数正解此处，( # ，) 是一a 带有齐次n c u m a n n 边界条件的特 征值当b ( 1 十n 印2i 口时a 是实的，目当b 从口处增加时 手从点 ；= ( ：) 幻分离 开来可以看出，只要适当选取no 和口，我们可得到一个递增的序列 且对足够大的有a 辞， 0 ，“2 0 以后，若无特殊声明，我们 所考虑的解总是指古典的正解 本文的安排如下在第一节，我们首先讨论常数解( m ，u 2 ) = ( 1 ，1 ) 的稳定性在第_ 节，我们建立( 0 3 ) 解的上、下界的先验估计在第三节，利用不等式的技巧我们得到关 于参数d 。和如的非常数解的非存在性结果在第四节，我们考虑关于参数“，和t z = 的 分叉对于一维的特殊情形，第五节给出一个更准确的非常数解的非存在性结果，i ：利 用c i a r i ( i a l l r a b i n o w t z 分叉定理讨论关于参数d l 和d 2 的局部分叉及其分义解的局部表 达式 第一节常数平衡解的稳定性 记0 ：“o 肛1 肛2 “3 是一在j 2 内带有齐次n e u m a n n 边界条件的特征氲 x 刊刚) 邓1 ( 鳓2 i 嚣= 赛扎z 锄) ， e ( p ) ： 咖1 一曲= p 西，n ，筹= o ，z a n ，可肛r 1 ”) 曾 8 ( “) 1 是e ( i 机) 的一组标准正交基x i j = c ：ji c 舒) ，其中d i m e ( m ) ) 表 x ：。墨1 x 。，其中x 。= o 曾8 ( “噩， 嚣d l a u l = ( b - ，毗曦 n - ， l = ( 函1 也0 。) 以。= ( 一血p 二：6 1 。：。一，) 值口和盯具有负的实部明显地，r e 醅 0 而且，对任意的i 1 下面的结论成而： r c 产= ：n 4 。茎；l 一( c z - + “。) 肛，+ 6 2 0 ，那么 蹦f j 。一面丽 扣蜒知m + c ， r c 产= ； t r 4 。+ 、下五j j 了二j 五五五) 其中d 是某一不依赖于i 的正常数 一! 垒壁垒 1 5a i 一、( 叶a ) 2 4 d e t a is 糕 一d 由以上分析我们可以知道，存在一个不依赖于i 的正常数d 使碍 0 2 1 d 出u z = t t l 一i u 2 ，t 0 、。 从定理11 的证明过程我们可以看出，若b 2 ，则( 1 2 ) 的平衡解( m ，啦) = ( 1 ，1 ) 是 一致渐近稳定的定理1 1 表明，在b 2 ，d 2 ( b 一1 ) 肛l d l d 2 + d 1 ，的条件下t u r i n g 不稳 定性是不会发生的( l u r i n g 不稳定性的定义参见文献 1 3 ) 类似定理1 1 的证明，我们可 以断言，若b 2 且a ( “。) 0 对某i 1 成立，其中4 ( p ) = 肛 肛d l d 2 + d ld 2 ( 6 _ 1 ) hl 则算子l 至少有一个特征值有正实部，从而( 0 4 ) 产生了 1 5 1 r i n g 不稳定现象 第二节解的先验估计 本节，我们适当修改文献 2 的方法，得到更精确的先验估计我们将会看到，所得 到的先验估计在推出后面的一系列结论时所起的重要作用下面，总假定( 虬“2 ) 是( o3 ) 的正解 方便起见，我们记( o3 ) 的第一和第二个方程式分别为( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，即 d i a “i = l 一( b + 1 ) “1 + 6 u ；“2 ，( 21 ) 一d 2 a u 2 = n l 一“ “2f 22 ) 由( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，有 一( d l “l + b d 2 “2 ) = l 一珏1 将上式在n 上积分，有 n “1 2 h ( 23 ) 用“2 乘以( 2 2 ) 并积分，得到 也正j v “。 2 = 二“，u z 一五u ；n ； 从而， 胁“；二 再由s c h w a r t z 不等式知 小呸( 胁z ；) v 2 m i 叭( 小啦) v 2 l n 妒 于是， 止邺z 卵，上“；“：外乩 联合( 24 ) 和( 2 6 ) ，得到 厶f v 蚓2 五1m f 用i t 2 乘以( 21 ) 并积分，推出 m 匀v m l 2 = 上“- 一( 。+ ) 厶“ + n 厶u 蚣 类似地，用m 乘以( 22 ) 并积分，有 也，v v “一小卜小j u 。 川 引 引 口 怛 犯 但 心 由( 28 ) 、( 2 9 ) 及( 23 ) ，得刽 d - 正l v “1 2 + 小；一厶v 毗。v 啦+ 1 9 1 由c a u c h y 不等式， 厶i v 帅“。i 丽d t 厶i v u - 1 2 + 筹厶1 v “。严 因此，( 27 ) 和( 2 1 0 ) 导出 正j v “t 1 2 ( b 2 d 2 d + 2 d ) m i ，o “i 茎( b 2 d 2 ( 2 d 1 ) + 1 ) j n | 下面我们将估计如“；为此，先引用一个由l o u 和l i 6 给出的引理 引理假定g g ( 矗r ) ，l t j c 2 ( n ) nc 1 ( q ) 满足 伽( 。) + 9 扛，叫0 ) ) 茎o ，。q ，o 二w o ，z a f t ， 且w ( x o ) = m i n f iw ，则g ( x o ，w ( 。o ) ) 0 由上面的引理，( 21 ) 推出 对z n f 2 】( ( 2 1 2 ) 从而，由( 26 ) 及( 21 2 ) 有 ，。2 ( b + 1 ) l a l ( 2 】：” 利用p o i n c a r d 不等式，有 i i “z 一面。l ；z 去l l v ( “。一i 。) i i 。， 其中西= 志，n w 再由( 2 7 ) 及( 21 3 ) 得到 b 到啦也忆。刊蚓b s ( 却v 圳，。) v 2 岬一小。曼( 志m i ) 1 2 + ( 卅州“ ( 2 1q ) 上面的分析给出了估计 j u 川- 、。f n l l 7 2 ( b 2 d ：d f 2 d 一) 1 7 2 + ( b 2 d 。( 2 d - ) + 1 ) 1 7 2 ， ( 2j j ，1 u 2 | | 1 1 2 吲1 2 | ( 1 d 2 ) 17 2 + ( d 十1 ) + ( 1 ( i 。1 d 2 ) ) 1 2 ( 2j ( ，) 观察不等式( 21 5 ) 和( 21 6 ) 的右边，我们可以得到下面的孛钾 ( 1 定理2 l 设d 及d 是给定的正常数，则存在仅依赖于d ，d ，b ，q 的正常数n ，使得 当d 1 d 22d 及o d 2 d l d 时，( 0 3 ) 的任意解( u 1 ，u 2 ) 满足 l | | 1 , 2 + 2 i1 , 2s k 利用椭圆型方程正则性的标准结果以及嵌入定理，当1sn 曼5 时我们可以改进定 理21 定理2 2 假定定理2 1 的条件成立，且1 7 , 15 ：则对于任意的正整数k ，存在一个 仅依赖于，d ，d ，6 ，l 及l 的正常数k 使得当d l ，d 22d ，0 d 2 d 1sd 时，( 0 3 ) 的任意 解( u 1 ，u 2 ) 属于萨( n ) g 2 ( 晓) ，且 “1 i k + u 2 i k 墨k ， 其中ll 女表示b a n a c h 空间c k ( 晓) 的范数 证明当n = l 时，从嵌入w 1 ，2 ( q ) q0 4 l , a ( ! = 2 ) 对于0 d ! i 1 是紧的以及定理21 可以知道h i o 。+ l u 2 1 0 ，。k ，其中i i 。表示b a n a c h 空间e 一。( n ) 的范数由( ( ) 3 ) 及 椭圆算子的正则性理论，有l “1 1 2 ，。+ i “z k k 于是，对于这种情形，由标准的提升理 论可知我们的结论是成立的 当n = 2 时，由嵌入理论知1 ，2 ( n ) l l q ( f 2 ) 对于任意的口1 是紧的 从而，取q = 8 ，由定理21 知陋l 忆s 十t t u 2 1 1 l e 墨由h 6 1 d e r 不等式，“知2 l - s ， 于是由( 03 ) 及正则性理论得到， i i “1 1 1 2 ，2 + 1 1 2 1 1 2 ，2 墨k 由w 2 , 2 ( q ) l a o ，。( 矗) 的紧性 ( 其中0 n 1 ) 表明i “b + “2 k k 再次利用提升理论便可得到我们的结论 当n = 3 时，南定理21 及紧嵌入w 1 ，2 ( q ) ql 6 ( q ) 得， 川l s + 她2 o n 由h 6 1 d e r 不等式， j nu u l 曼( 如“2 ) 2 3 ( 岛，z 2 ) 1 3 k 从而，由( o 3 ) 及正则性理论， i 2 + f 2s 另一方面，我们有嵌入w 2 , 2 ( f 2 ) l e 0 4 ( q ) 对于0 n i 1 是紧的 类似于前面的情况，我们得到所需的结论 当礼二4 时， ( 0 3 ) 给出了一： ( d l u l + b d 2 1 2 2 ) = 1 一“1 令t c j = d 1 “1 + b d 2 “2 由 j l i _ “】l ：k 及正则性理论， b k 从而易知，陋lj bsk ，忆2j b 玉k 因为 w 2 ，2 ( n ) l l 。( n ) 对l q o 。是紧的类似地，当 = 5 ，紧嵌入2 ，2 ( n ) c 一 l 1o ( n ) 保证札i n k ，钆2 1 1 。k 由- 1 6 1 d e r 不等式，我们有 f u 弛2 2s 又南紧嵌入 w 2 , 5 2q l 口，其中( 1 q ! o 。) 知l 忆。k ，2 il 。k 因此，对- 丁二n = 4 和n = 5 ，类似地证明町知我们的结论成立证毕 推论2 3 假定定弹2 1 的条件成立，_ l ll 曼n 5 ，则( j3 ) 的任意解，? 电) 属 c 。( q ) c ( q ) 下面的定理将给出( 0 3 ) 解的上、下界 定理2 4 假定定理21 的条件成立，日1s7 , s5 、则存在仅依赖于d ，d ：by , 及52 的 常数g 、口使得当d 】，d 2 d ，0 d 2 d l d 时，( 0 3 ) 的任意解( “1 ，“2 ) 满足 g 哮z ) ，u 。( z ) ) ! z 警 “，( 。) ，“。( z ) ) s o 另一方面，由( 2 1 2 ) 知，“l ( z ) 2 ( b + ) 因此，c 便得到，证明完毕 第三节非常数解的非存在性 在本节中，我们给出一个( 03 ) 不存在非常数怒的结果为了利用第2 节的先验估 计，从现在起，我们总要求1 ”5 定理3 1 设d 及b 是给定的正常数，! j ! | j 存在仅依赖于dbn ，s 2 的正常数d + 使得 当d l ，d 2 d + 及0 d 2 d 1 d 时，( 0 3 ) 不存在非常数解 证明令c 及0 由定理24 给定没( t z l ，? l 2 ) 足( 0 3 ) 的解限定0 d 2 d 1 d 川dd 2 三d 则 g “l ( z ) ，u 2 ( z ) c ， v 。n 用( u 1 一日1 ) 乘以( 21 ) 并在q 上积分，有 d l 上1i v ( “l 一面1 ) 2= 一( 6 + 1 ) 如( n l 一面1 ) 2 + 6 2 ( “2 一面 伍2 ) ( 饥l 一矗i ) sb 如( u “2q 匠i 2 ) ( u 1 一i l ) 曼3 0 2 ，n i u l i l i m 2 一u 2 j 3 g - 2 2 【u l 一百1 1 2 + i l z 2 一面2 1 2 1 由p o i n c a r d 不等式 “，正v ( 一州者。2 【v ( u 类似地，我们得到 如五f v ( u 2 - i 2 铲击”秽) mf v ( 旷甜+ f v ( u 2 - - f i 2 妒1 ( 3 2 ) 将( 31 ) 和( 3 。2 ) 相加，有 ( 3 3 ) 意味着当d i 和d 2 足够大且( ) l 并记u = ( 毗，u 2 ) ，u + = ( 1 ，1 ) 4 1 参数d l 的分叉 在本小节，我们固定d 2 ，b ，将d l 作为讨论的分叉参数令昂= 弘，) ，其中 讹) 墨。由第l 节所定义对任意的d l 0 ，令 删= “舢旧1 = 搿) _ 于是，对于任意的d 1 0 ，1 ( d 1 ) 至多有两个元素特别地，若 d s l 一( 6 1 ) 出1 】2 蚴i l d - 1 ， 则1 ( d 1 ) = 母或者有两个元素 我们称( d l ，u ) ( ( 】，c o ) x 是( o3 ) 的一个分叉点，其中x 为第1 节所定义，如果 对于任意的d ：0 l 且矗满足 岖1 一( 6 一1 ) a i l 产 4 d 1 町1 ，s n 了( 五) 庐及 m 7 ( i ，) d i m e ( # ) 是奇数，则( d l ，u 4 ) 是( o 3 ) 散j s - x a 证明记 即，：( 我铠澍弛2 ) ，a = ( 町) ， 则d ，f ( u 4 ) = a ，且( o 3 ) 可写成 一u = f ( u ) ， 52 ， f 4 1 1 1 鬻= 0 ， 扰2 令壬( ：) = u u + ，则( 41 ) 成为 j 一西= f ( u 十m ) ， 蜒f i , f 4 2 1 l 篱= ( 1 z m 壬是( 42 ) 的解当且仅当它满足 r ( d l ，西) ：= = 中一( i a 1 。1 f ( u + + 中) + 士j = 0 o nx 其中( 一) 一，是算子j 一带有齐次n e t l i n o i i h ) 边界条件的逆算子 由直接的计算可知 d 4 , f ( d l0 ) = ，一( ，一) ( _ 4 十，) 类似于定理ll 的证明可知，对于每一个x ：，是d , f ( d - ，0 ) 在墨上的特征值当且仪 当( 1 + 肌) 是矩阵 a 。= # i i - a = r ，苍) 的特征值 显然，d e t a i = d i l i d i l 一( b 一1 ) 肛。】+ p ；+ p , i d 2 1 ( i ) 如果品n , x d i ) = ，则对所有的i ，d e t a i 0 ，即0 不是d , f ( d l ，o ) 的特a e 值这 意味着d m ，( 也，0 ) 具有从x 到其自身的有界逆算子由隐函数定理及s c h a u d e r 定理知， 当d l 接近玉时，圣= 0 是f ( d l 圣) = 0 在原点某一邻域的唯一的解，因此( d 、u ) 是正 则点 ( i i ) 利用反证法假定( i i ) 不成立，则存在a 1 0 满足【町1 一( 6 一1 ) 奸1 2 4 i i - 1c e l 使得下面的断言成立 1 ) s p n 7 ( d 1 ) t ： 5 ，且m 1 ) d i m e ( # i ) 是奇数； 2 ) 存在6 ：0 0 及p 肛l 由于s 没有聚点，取更小一些的j ，我们可以认为当d - 画一d ，凼m ( 巩a + 孔 昂n 7 ( d 1 ) = 毋因此，d e f ( d 1 ，0 ) 对所有的d l 瞄l6 ，画) n ( a 1 ，d 1 + 司都是可逆的 注意到x = o 罢l 五，从而对任意的i 以及d j 应i d ，i i ) n ( 也，文+ 礼砭在，( d j ， ) 的作用下是不变的，且d c f ( d l ：0 ) 在x 。中的负的特征值的个数等于地一4 的负的特征值 的个数，因此，模2 ，d c f ( d l ，0 ) 在x 。中的负的特征值的个数等于； l s g n ( d e t ( z i l 一一) ) = ； l s g n ( h ( # i ，d 1 ) ) ) ，其中s g n z 表示z 的符号 对每一个j ，若脚g7 ( d 1 ) ，则d + j ( “j ，o ) 在x 。中的负的特征值的个数不依赖于 d l 晦6 ，d l n 若弘7 ( 0 1 ) ，则d m ，( d ，0 ) 在x ：中的负的特征值个数对丁! * d f = j ，一) 和d 】：f i l + d 时的差为l ，冈为日，函d ) h ( 2 ：( i j + d ) 1 ，也 0 且满足 d 2 1 一 ( b 一1 ) 订1 2 4 五1 屯l ，昂n7 ( ( ；1 ) ，及p 唧( 函) d i h e 0 z t ) 是奇数，则存在一个区间 ( 以，d + ) c 几+ 使得对每一个d 】( d + ；扩) ，( 0 3 ) 有一个非常数解而且，下面的断言之一成 立 ( i ) d l = d + d + o 。且品n 7 ( 矿) 咖； ( i i ) 0 0 ，u u + ，u 解( o 3 ) ) 根据定理2 4 ，文献 3 的分析以及定理41 证明过程中对拓扑度d e g ( f ( d h ) ，b d o ) 的计算，我们可以得到s 包含有一个连续统c 且c 经过点( 0 。，u + ) 另外，下面二者之 一成立 ( 1 ) c 经过点( d i ，u + ) ，其中d 1 r 且d i 矗i ； ( 2 ) c 在( 0 ，。) x 非紧 我们已经知道，若u 是不等于u + 的解，则u 必不为常数解如果( 1 ) 发生，则( i ) 或者成立如果( 2 ) 发生，则利用定理24 ，我们可以知道( 或者( i v ) 成立 证毕 4 2 关于参数d 2 的分叉 类似于第41 小节，我们可以得到关于参数d 2 的局部分叉的结果其中，关于参数 d 2 的分叉点和正则点的定义类似于第41 小节中关于参数d ，分叉点和正则点的定义另 一方而，直接利用文献 1 的分析，我们可以给出整体分叉结果 定理4 3 ( 关于参数如的局部分叉) 设也 o ，考虑平衡解池，矿( ) ) = ( 五，u ) ( i ) 如果品n 7 ( 也) = ，则( 五，u + ) 是( o3 ) 的正则点； ( i i ) 如果j 2 0 满足 露1 ( b 1 ) d _ 1 2 4 町1 舂1 ，g n u ( g ) 咖，且“：1 ( 如) c t i m f ( ，。) 是奇数，则i ( 乏，u 4 ) 足( c ) 3 ) 的分又点，其中v ( d 2 ) = 肛 ( ) 町。= 割2 ) 定理4 4 ( 关于参数出的整体分叉) 设也 0 满足眩1( 卜1 ) d i1 2 4 d l1 近 昂几7 ( 玉) 及m 7 池) d i me ( 地) 是奇数，n 4 j - ：( 【j 3 ) 的解平面( 川、啦) 上存在一个连 续统c ，使得下面的断言之一成立 ( i 1 c 连接( 如，u 4 ) 和( 旷，u + ) ，d 五且sn 7 ( ) 咖； ( j i ) c 在( 【) ，。) x 中连接( 南，u + ) 和。 果 第五节一维情形非常数解非存在。| 生和分叉 在本节中，我们将在一维这一特殊的情形下研究( o3 ) ，并得到了一些更精确的结 嵫c l l u l m ( + 1 。( b 娑一m i “i ( o ) = ”；( ”) = “；( o ) = z z 2 ( ”) = 0 ( 5 ) x = ( w ；，2 ( o ，h ) ) 2 ，y = ( l 2 ( o ，7 r ) ) 2 ， 其中w ? ，2 ( o ，”) 2 是( c o s n z ) 黯。在w 2 , 2 ( o ，”) 中的闭包，同时记u + = ( 1 ，1 ) ，u = ( 1 2 1 ，l t 2 ) 5 1 关于参数d ，和d z 的局部分叉 为了考虑局部分叉，我们先引用下面著名的c 1 a n d a l l - r a b i n o w i t z 定理( 参见文献 3 ) c r a n d a l l - r a b i n o w i t z 定理设x ，y 是b a n a c h 空间，y 是原点在x 中的某一一领域，映射 f ：( 一j ，d ) v _ y 具有以下的性质： ( 1 ) f ( “，0 ) = 0 ，对于任意的l i z | d ； ( 2 ) l n & h e t 偏导数巳，毁及咒x 存在且连续； ( 3 ) k e r ( k y ( 0 ，o ) ) 及y r ( f x ( 0 ，o ) ) 是一维的，其中r ( 取( 0 ，o ) ) 表示，k ( 0 ，0 ) 的值域； ( 4 ) e 。x ( 0 ，o ) x o r ( 取( 0 ，o ) ) ，其中k e r ( f x ( 0 ，o ) ) = s p a n x o 若z 是k e l ( f x ( o ，o ) ) 在x 中的补空间，则存在( 0 , 0 ) 在兄1xx 中的邻域u 、k l n j ( 一6 ，d ) 以及两个连续函数妒：( d ，d ) _ r 1 ，妒：( 一6 ，6 ) _ z 使得妒( ( ) ) = 0 ，妒( o ) = 0 且 ，7 1 ( 0 ) nu 二 ( 妒( “) ，“x o + o 妒( a ) ) 1i 。l 0 使得对于任意的肛( 一d ，d ) ，a o ( ) ：= ( 肛) 是( 5 3 ) 在0 的某邻域 的唯一的特征值，a o ( o ) = 0 ，而且a o ( f z ) 是简单的实数 证明注意到d e t ( k 2 da ) = d l d 2 4 + d l + ( 1b ) d 2 】女2 + 1 _ 于是，( i ) 成寸显然， 要使( i i ) 成立，当且仅当d ld 2 ( 2 十m 2 ) + d 1 + ( 1b ) d 2 1 对于所有满足m 的非负整 数k 成立由( 4 1 ) ，只要d l d 2 k 2 + d l d 2 r n 2 一血嚅归0 ，于是，( j 4 2 ) 保证( i i ) 是成立的 由简单的订+ 算，可知 掷) = 竺( 0 )焉2 篙导杀d 2 訾2 一b 。( d 1 +) + 一 7。 冈此，由隐函数定理可知，( i i i ) 成立 定理5 2 如果d l ，d 2 满足( a 1 ) ，( a 2 ) 以及( a 3 ) ，则存在定义于( 一d ，d ) x x 且满足( 52 ) 的参数族( ( ) ，u ( e ) ) ，使得肛( o ) = 0 u ( e ) = u + + e p o e o s m x + v ( ) ，v ( o ) = 0 ，警( 【) ) = 0 、 且( v ( ) ，p o c o s g g x ) y = 0 ，其中( ，) y 表示通常定义在( 铲( o ，”) ) 2 上的内积，p o 生成 k e r ( m 2 d 一4 1 证明为了说明出现分叉，我们需要验证c r a n d a l l r a b i n o w i t z 定理的条件成立 首先，( 1 ) ，( 2 ) 是满足的事实上，由引理5 1 的( i i i ) 可知k e r ( f 。( o ，u + ) 是一维的为了 验证y r ( 殿( 0 ，u 4 ) 是一维的，利用t n e d h o l m 二择一定理，我们知道，对( 一d ， ) xx ， d u ”+ a u = h 有解u ex 当且仅当( h ，v o ) 1 r = 0 ，其中砺生成k e r ( d 丽d 2 + a ) 容易知 道，v o = c o s m z ，其中q o 生成k e r ( m 2 d a t ) 因此，( 3 ) 成立，而且n ( f x ( o ：u + ) ) = h y i ( h ，q oc o s ”t x ) y = o ) 对于( 4 ) ，兄v ( o ，u + ) ( p oc o s m z ) = 一m 2 g p o c o s m zer ( j k ( o ，u + ) ) 当且仅当( g p o ，q o ) = 0 ，其中( ，) 表示通常定义于砰上的内积由p o 及q o 的定义，不失 一般性，我们可选取p o = ( 1 ，b - 1 ( m 2 d 1 一b + 1 ) ) ，q o = ( 1 ，一m 2 d 1 1 + b ) ，则( g p o ，q o ) = l 0 因此，见v ( o ，u + ) ( p oc o s m x ) r ( f x ( o ，u + ) ) ，故由c r a n d a l l r a b i n o w i t z 定理，我们的定理 成立 注当d 】和d 2 满足( 4 1 ) ，( 4 2 ) 以及( a 3 ) 时，对于参数d 2 可以得到类似的结论 5 2 非常数解的非存在性 本小节将研究关于参数d - 非常数饵的非存在性我们得到，当d 1 充分大时非常数解 是不存在的这包含了第3 节定理31 当”= 1 时的结果在下面，我们用r 表示实数 集 仔细分析第2 节的定理2 2 中得到的( 21 5 ) 和( 21 6 ) ，我们期望当d ，充分人时系统 ( 5 1 ) 的解与 f 上? ( 1 一( b + 1 ) + b 2 面2 = 0 ， d 2 “g + 一2 i t 2 = 0 ， ze ( 0 、”) i “：( ( 】) = u 5 ( ) - 0 的解接近，其中是非负实数，w = 盯” 容易验证，( 55 ) 有唯一的正解( “2 ) = ( 1 1 ) 下面，我们考察当d 1 很大时( 5i ) 的非常数解非存在性将“写成u 。= f + 其中 呖= 0 且f er + ，于是系统( 5 1 ) 变成 l ( b + 1 ) ( f + ? ”) + b 幢+ ) 27 2 2 ) = 0 ( b + 1 ) ( f + 叫) + b ( f + 川) 27 - 2 = 0 ， _ w ) ( f + “j ) 2 “2 = 0 w ( ”) = t z ；( o ) = t t ：( ”) = 0 f 5 ( ) 川 一 )盯皑m ，n 如 ，、，【 其中p = 去，妒= z i 1 詹。 定义f ( p ，删f 2 ) = ( ，l ：f 2 ，f 3 ) ：r ( 上i ( o7 r ) n w 它，2 ( o ，丌) ) t n 名1 2 ( o ，7 r ) l ；( o 、丌) r l 2 ( 0 ，) 其中 ，1 ( p ，w 加2 ) ： 。+ 印 l ( b + 1 ) 幢4 - n ，) 堋十w m ，1 ( ，“2 ) = 铷”+ p p l( + ) ( fn j ) + 6 ( f 十伽) 。u 2 ， ，2 ( ，f ，u 2 ) = ；好 l 一( b + 1 ) 嬉4 - 训) + 6 嬉+ 叫) 2 “2 ) ， f a ( p ，训，“2 ) = d 2 一”2 + ( + “j ) 一( + ”) 2 “2 ) 以及三8 ( o ，”) = ( g l 2 ( o ，”) ij 孑g = o ) 显然，解( 5 6 ) 等价于解f ( p ，”，f ，l t 2 ) = 0 而且，我们已经知道当p = 0 时，( 5 6 ) 仅 有唯一的正解( ，“，t $ 2 ) = ( 0 ，l ，1 ) 由简单的计算可知， d ( w ，f ，。) f ( o ，0 ，1 、1 ) = m ( l 3 ( f ) ，丌) n w ，2 ( o ：丌) ) r x w 孑 2 ( o ，丌) 一l 6 ( o ，丌) r l 2 ( o 、丌) 其中 f t ，” m ( 玑”j ，2 l1 _ j 彳 ( b - 1 。) v 一+ 。( b 一- 。1 弘7 + 6 “，j 由于面d 2 ：瑞( o ，”) n w ? ，2 ( o ，”) _ l 8 ( o ，”) 是可逆的，故d ( 。，f m ) f ( o ，0 ，1 ，1 ) 可逆当且 仅当 l ，“，= ( 。孑：i ：+ 6 札) 是可逆的不难验证，l ：rxw ；、2 ( o ，7 i ) - r l 2 ( o ，”) 是可逆的而且，简单的计算可 知，m 还是一个满射 由( 2 1 5 ) ，( 21 6 ) 以及紧嵌入w 1 , 2 ( o ，w ) l c o ，“【o ，w 】( o d + 时( 5 1 ) 的解都满足 因此， + “z i 女k 于是，由隐函数定理，我们可以得到下面的结果 定理5 3 存在仪依赖于d 2 和b 的正常数啦使得当d ，d l 时，( 51 ) 有非常数解 r e f e r e n c e s 参考文献 1 e r n e u x t & r e i s s e ，b r u s s e l a t o r ，i s o l a s ，s i a m ，j a p p l m a t h ，4 3 ( 1 9 8 3 ) ，1 2 4 0 - 1 2 4 6 2 1 ( 2 k jb r o w n f a d a v i d s o n ，g l o b a l b i f u r c a t i o ni nt h eb r u s s e l a t o rs y s t e m ，