（工程力学专业论文）集成电路芯片封装的热—结构数值模拟分析及优化设计.pdf

摘要 本文基于热传导、热弹性力学和结构优化理论，针对典型的p b g a 封装体采用了热 一结构数值模拟，重点对其热变形、热应力以及焊点的可靠性进行了分析。在分析基础 上以封装体的几何尺寸和材料属性为设计变量对p b g a 封装件进行了优化设计。 在二维模型中建立了完全和部分两种焊点阵列形式，采用局部温度加载方式针对焊 球层关键位置的焊球进行了数值模拟分析，焊点的热应力、热应变分析结果表明，离芯 片周界最近的焊球最先失效，这与文献中的结论相一致。 三维模型的建立着重考虑基于芯片散热功率的热生成加载、热循环加载以及热循环 和生成热的综合加载这三种不同的加载方式进行数值模拟分析。考虑了p b g a 封装体的 封装熟变形，数值分析结果显示温度与热应力的分布与文献中的实验结果一致。利用 e n g e l m a i e r 的经验公式对6 3 s n 3 7 p b 焊点酌热循环寿命进行了估测。第三种掘载方式跳 出已有文献得到了对封装体更有价值的热应力、热应变分析结果和焊点的热疲劳寿命。 并将此结果与只采用热循环加载所得到的结果相比较，其热应力、温度分布趋势完全 致，只是在数值上有所增加，这是由热生成所产生的初始应力、应变及变形的影响。较 前人的工作更加全面。 文中从p b g a 封装体的几何尺寸和材料属性两方面，分别以减轻重量和热应力最小 为目标进行了优化设计，并分析了设计变量对封装体热一结构特性的影响。计算结果表 明，采用较小的弹性模量和热膨胀率的材料可以有效地减小热应力i 基板和芯片的厚度 是影响封装体热变形和焊点可靠性的主要因素。分析后得到两组优化结果中，以减轻重 量为且标的方案中优化效果较显著，在满足封装体的烈度和强度以及热疲劳的要求下。 封装体减重达1 8 0 4 ，同时最大应力也降低了2 3 6 3 。在电子封装件的设计中采用 有跟元数值模拟技术是可行的、有效的，计算结果为提高封装件的可靠性和封装件的优 化设计提供了理论依据。 关键词：有限元；电子封装；热变形：热应力；焊点可靠性；热循环寿命；优化设计 a b s t r a c t b a s eo nt h et h e o r yo fh e a t e x c h a n g e t h e r m a le l a s t i c i t y m e c h a n i c sa n ds t m e t u r a i o p t i m i z a t i o n , t h i sp a p e rp r e s e n t s at h e r m o m e c h a n i c a la n a l y s i so fap l a s t i cb a l l 鲥da r r a y ( p b g a ) p a c k a g ed e s i g n , w i t he m p h a s i s0 n t h ep a c k a g ew a r p a g e , t h e r m a l l yi n d u c e ds t r e s sa n d t h es e c o n do fl e v e ls o l d e rj o i n tr e l i a b i l i t y a n dan g v l ，d e s i g nm e t h o di n v o l v i n gt h e r m a la n d t h e r m o m e c h a n i c a lc h a r a c t e r i z a t i o n si sd e v e l o p e dt oo p t i m i z et l l eg e o m e t r i cp a r a m e t e r sa n d m a t e r i a lp r o p e r t i e so f p b g a p a c k a g e a2 - df i n i t ee l e m e n ts t r e s s a n a l y s i so f f u l l m a t r i xa n dp e r i m e t e rp b g as o l d e rj o i n t s ， b a s e do nf em e t h o dh a sb e e nc a r r i e do u tt os t u d yt h em o s tc r i t i c a lt h es o l d e rj o i n tw i t ha1 0 c a l t e m p e r a t u r el o a d t h er e s u l t si n d i c a t et h a t t h eb a l ln e a r e s tt ot h ed i eh a st h eh i l g h e s tm a g n i t u d e o ft h es t r e s sa n dh e n c ei st h em o s t 函t i c a la n di ti sc o n s i s t e n tw i t hc o n c l u s i o no ft h e 1 i t e r a t u r e st h er e s u l t sa r ee x p e c t e dt oa c ta sd a t a b a s ef o rt h es t r e s s s t r a i na n df a t i g u e1 i f eo f t h es o l d e rb a l l s t h e3 - dm o l di si o a d e db yt h r e em o d e s w h i c ha r ec o n s t a n tp o w e rg e n e r a t i o ni nt h ed i e ， a c c e l e r a t e dt h e r m a lc y c l i n ga n da t cw i t hs u p e r i m p o s e dc o n s t a n tp o w e rg e n e r a t i o ni nt h e d i e a n dt h ew a r p a g eo fp b g a p a c k a g ei ss t u d i e d t h er e s u l t ss h o w t h a tt e m p e r a t u r ea n d t h e r m a ls t r e s sd i s t r i b u t i o na r ec o n s i s t e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t t h ef a t i g u e1 i f eo f s o l d e rj o i n ti se s t i m a t e db yt h ee n g e l m a l e r sa p p r o a c h t h et h i r dl o a dm o d ei sb e t t e rt h a n d e p a r t e d l i t e r a t u r e s t h e nt h er e s u l to ft h e r m a ls t r e s s s t r a i na n df a t i g u e l i f ea r em o r e i m p o r t a n c et ot h ep a c k a g e t h er e s u l t sa f ec o m p a r e dw i t h t h es e c o n dr e s u l t sl o a d e db ya t e ， i ss h o w st h a tt h e yh a v ec o n s i s t e n tc o m p l e t e l yw i t ht h e r m a ls t r e s sa n dt e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n d i r e c t i o nt h ew o r ki sm o r e b o m p r e h e n s i v e m a n p r e v i o u sr e s e a r c h e r i nt h i sp a p e r , p b g a p a c k a g eo p t i m i z a t i o nd e s i g ni s r e a l i z e dw i t ho b j e c to fm i n i m u m w e i g h ta n dm i n i m u mt h em a x i m u mt h e r m a ls t r e s s ，f r o mt h eg e o m e t r i cp a r a m e t e r s a n d m a t e r i a lp r o p e r t i e sb y u s i n g t h ea p d lc o m m e r c i a ls o f t w a r ea n s y s p r o g r a m m i n gt e c h n i q u e d e s i g nv a r i a b l ei sa n a l y z e dt ot h ee f f e c to f t h e r m o - m e c h a n i c a lc h a r a c t e r i z a t i o n s t h er e s u l t s s h o wt h a tt h e1 e s s e re l a s t i c i t ym e d u l ea n dc o e t t i c i e n to ft h e r m a le x p a n s i o nc a na v a i l a b l y r e d u c et h e r m a ls t r e s s , a f f e c tt h ep a c k a g ew a r p a g ea n dt h es o l d e rj o i mr e l i a b i l i t ya r et h e s u b s t r a t et h i c k n e s sa n dt h ed i et h i c k n e s s ，t h eo 蛳m i z e dr e s u l t si nt h ef i r s tg r o u ph a v em o r e e r i e c tt h ew e i g h to fp a c k a g ei sr e d u c e dt o1 8 0 4 a n dt h em a x i m u mt h e r m a ls t r e s si s r e d u c e dt o2 3 6 3 f e mn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n i q u ei sf e a s i b l ea n de f f e c t u a li nt i l e e l e c t r o n i cp a c k a g e d e s i g n t h e r e m i t sa r ee x p e c t e dt oa c ta sd a t a b a s ef o ri m p r o v i n gr e l i a b i l i t y o f 口a c k a g ea n do p t i m i z e dd e s i g n k e yw o r d s ：f e m ：e i e c t r o n i cp a o k a g i r i g ；w a r p a g e ：t h e r m a is t r e s s ：s o l d e rj o i n t r e ii a b ii i t y ：t h e r m a le y e ii n g i i f e ：o p t i m i z a t i o nd e s i g n 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 1 绪论 1 ，1 电子封装简介 电子封装是指把构成电子器件的各个元件，广义讲是各个组成部分，按规定的要求 合理布置、组装、键合、连接、与外部环境隔离以及保护等操作工艺。一般可分为四个 层次，即： 零级封装：芯片层次上的互连； 一级封装：芯片( 单芯片或多芯片) 上的i 0 与基板互连； = 级封装：集成块( 封装体) 连入p c b 或板卡( c a r d ) 上； 三级封装：电路板或卡板连入整机母板上。 总的来说，电子封装在半导体集成电路和器件中具有如下功能： 为半导体芯片提供机械支撑和保护体系； 接通半导体芯片的电流通路： 提供信号的输入和输出通路； 提供热通路，散逸半导体芯片产生的热。 微电子封装技术的发展历史“1 分为三个阶段，在8 0 年代和9 0 年代分别出现了两 次飞跃。第一阶段是2 0 世纪8 0 年代以前。封装的主体技术是针脚插裟( p t h ) ，其特 点是插孔安装到p c b 上，它的主要形式有s i p ( 单列直插) 、d i p ( 双列直插) 、p g a ( 针 栅阵列) ，不足之处是密度、频率难以提高，不能满足高效自动化生产的要求；第二阶 段是2 0 世纪8 0 年代中期，表面贴装技术( s m t ) 成为最热门的组装技术。它改变了传 统的p t h 插装形式，通过细微的引线将集成电路贴装到p c b 板上，大大提高了集成电路 的电气特性，生产的自动化也得到很大的提高。主要特点是引线代替针脚，引线为翼形 或丁形，两边或四边引出节距为1 2 7 到0 4 r a m ，适合于3 - 3 0 0 条引线。它的主要形式 为s o p ( 小外型封装) 、q f p ( 四边引线扁平封装) 、j 型引线q f j ( 四边平面封装) 和s o j ( 小外型j 型封装) 、l c c ( 无引线芯片载体) 等以。它所存在的问题是，在封装密度、 i o 数以及电路频率方面还是难以满足 s i c 、微处理器发展的需要；第三阶段：2 0 世纪 9 0 年代出现了第二次飞跃。进入了“爆炸式”的发展时期。就器件封装而言，随着封装 尺寸的进一步小型化、微型化，出现了许多新的封装技术和封装形式。这些新技术都采 用面积阵列引脚，封技密度大为提高。其中最具代表性的有，球栅阵列( b g a ) 、倒扣芯 片( f e ) 和多芯片、模块( 自锄) 等技术、f c 技术已经成为当今封装领域人们寄托最大 期望的热点。在此基础上密度很高的芯片规模封装c s p ( o h i ps c a l ep a c k a g e ) 和芯 片尺寸封装c s p ( c h i ps i z ep a c k a g e ) 已成为可能，直接芯片贴装( d c a ) 也得到发展， 使得传统的三级封装在二十一世纪最终进入一级封装。 微电子封装技术的发展示意图如下： 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 图l f l 电子封装技术的发展 f i g 1 id e v e l o p m e n to f t h ee l e c t r o n i cp a c k a g i n g 从其发展来看，主要有如下几个特点： 向高密度发展； 向表面安装技术( 踟t ) 发展； 由单芯片封装( s c p ) 向多芯片组装( m 嘣) 发展i 由陶瓷封装向塑料封装发展； 先发展后道封装再发展芯片； 1 2 研究背景和问题的提出 随着电子技术的不断发展和电子设备在工程项目中的广泛应用，加之电子封装集成 度的不断提高，集成电路的功率容量和发热量也越来越高，承受主要热载荷的电子封装 部件中就产生了越来越多的温度分布以及热应力问题，这些问题的求解在当代工程技术 领域中己起到了越来越重要的作用。由此也相应地出现了许多器件失效模式”“。鉴于封 装系统的复杂性，大多数研究方法都是将问题细化成多个具体的小问题，其中主要有： 焊点的形态形成以及对可靠性的影晌 环氧树腊注入成模过程中对芯片的压力、对金丝的拉伸； 元件工作时外壳对芯片表面的热应力； 芯片与基板及外模之间的应力以及失效分析； 芯片自身各层之间由于热应力而引起的脱离分析。 本文研究的课题是国家自然科学基金重点项目耦合系统的多学科优化设计理论与 数值方法( 项目编号：1 0 0 3 2 0 3 0 ) 中的子课题，结合电子科技领域关注的封装失效问 题就具体的p b g a 封装形式研究热与结构耦合闻题的数值模拟分析以及对其进行优化设 计。所关注的主要是封装体内部由于温差和热膨胀系数的不匹配而产生的热应力问题并 以此为基础对封装体进行优化设计计算。因为封装件是由热性能( 如传导系数和热膨胀 系数) 不同的材料组成的，在加工和使用过程中都要受到热的作用，由于温度变化和温 度梯度，而产生热应力和热应变。过大的热应力与热应变以及重复的功率循环可能引起 电子组件失效。因此，精确了解表面组装件热传导及热应力、热应变的特点，对于提高 成品率和可靠性是至关重要的。 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 近年来，国外研究者已经取得了不少有关电子封装应力分析的成果。d a r v e a u xe t a 1 “3 ，m a w re ta l 1 对p b g a 封装体4 2 1 个焊球在空气一热冲击进行热疲劳特征分析，在 疲劳循环测试中发现，离芯片周界最近的焊球最快失效。在2 2 5 p b g a 封装体中得到相似 结论的还有m u s t a i n h a 和y a s i r 。a q 等人“，他们对封装体的完全阵列和部分阵列 建立了二维有艰元模型进行应力分析，发现在两种装配中焊球距离芯片越近热疲劳就越 明显，部分阵列中有更高的应力一应变分布。t e r r yd i s h o n g h ，c e m a lb a s a r a n 等人1 通过将热电偶放置于计算机的处理器中的实验，研究热冲击对焊接疲劳寿命的影响，以 实际工业生产中的热冲击为基准在实验中避行了三种热冲击矗玎载，结果表明，焊点的疲 劳寿命不是独立于热冲击的，而且工业基准中的热冲击导致保守的疲劳寿命。j a m i l w a iln 3 。”通过实验分析了局部加热载情况下模型的温度和应变分布，比较局部加载和整 体均匀加载分析的差异，得出局部加载比加均匀载荷更加合理的结论。p a oyh ，g o v i l a r 等人“”对s m t 锡铅焊点的热疲劳特性进行了实验与有限元研究。b r y a nr o d g e r s ，j e f f p u n c h ，j o h nj a r v i s 汹3 考虑了在b g a 封装的芯片处热生成的影响，通过实验用c c d 相机 拍下由此在封装体内部产生的温度分布图，进行数值模拟后得到较吻全的结果，分析后 发现芯片处的热生成对疲劳寿命的影确较小。 与国外相比，我国关于微电子器件封装的热应力研究起步较晚，研究还比较分散， 人员的投入相对而言比较少，但也取得了定的进展。钱仁根“”研究了复合材料因热流 在裂纹周围引起的热应力，并对用环氧树脂粘结的陶瓷一钢板进行了数值计算。夏林3 利用f o r t r a n 语言，编制了一个求解热应力分析的程序，较全面的分析了板上芯片( c o d ) 所受的热应力。杨建生、徐元斌、李红“3 利用断裂力学法概述了封装尺寸对耐装片8 泓 芯片裂纹的影响。周德俭等o ”和刘常康等o ”建立了塑料球栅阵列焊点形态成形模型，用 焊点成形软件得到焊点形态，编制程序进行关键焊点的非线性有限元分析， 从发表的论文看，国内外主要采用的研究方法包括： 理论计算方法( 有限元法) 压阻式应变计实验测试法 激光干涉仪测试应变法 结合热循环条件的应力测试方法。 对于不同的封装形式，封装体内部的热应力分布也不尽相同。现在封装应力研究主 要集中在面积阵列封装，具体形式是球形栅格封装p b g a 、( p l a s t i cb a l lg r i da r r a y p a c k a g e ) 。焊点的存在是它区别于以往其它封装形式的主要特征。国内外关于这种封装 的研究很多是试验性的结果，有限元模拟主要集中在交变温度场条件下封装件内部之间 的热应力分析上面。但是在分析上存在两方面的闻题，一方面由于焊点是这一封装形式 独有的，对焊点的分析比较多，但是从整体来看最大的熟应力产生于封装体的芯片以及 其周边处。从引起失效原因的角度考虑建立封装体内部模型即芯片一粘接齐0 一基板结构， 适用于分析粘接层与芯片和粘按剂接触端部的裂纹产生原因，但是在对封装体内部失效 的综合分析时，如对粘接层与芯片间的剥离、芯片与外壳间裂纹产生以及封装外壳上钝 化裂纹的产生等闷题的分析上存在不足。雨这些闰露是和封装外壳对内帮组成舶作用密 切相关的，所以不考虑封装外壳的影响就很难完全反映封装内部热应力的分布。另一方 面从温度场对热应力产生的原因考虑，在热循环作用下，封装体热应力的产生主要是由 于封装材质的不同热膨胀系数引起的，而实际情况中由于芯片是封装器件发热的主要部 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 分，封装体工作过程中的温度升高主要是局部热源芯片的作用。所以在封装体上存 在的是一个非均匀的温度场，热应力的产生是这个非均匀温度场和不同材质的热性能共 同作用的结果。所以本文在建模过程参考已有文献，综合考虑不同的热加载方式和散热 条件的影响建立更符合实际情况的p b g a 封装整体模型。 集成电路规模增大的同时，电子产品的元器件排列密度也提高了。目前不但要求产 品功能完善，而且要求体积小、厚度小、重量轻。材料的选择是一个方面，如何设计的 结构是另一个方面，同时还要求有良好的散热性。因此，对封装件的优化设计是势在必 行的，而国内外文献中对此部分的研究也较少。本文在综合考虑封装材料及几何尺寸的 基础上对p b g a 封装体进行优化设计。 1 3 本文的工作 l 、建立p b g a 封装形式的二维模型，考虑对焊点的分析，文中采用了二级封装模 式，即将封装体连入了p c b 板上，模型外为环氧树脂封装，模型中包含硅片、粘结剂、 b t 基板和焊球。在般交变温度分析的基础上考虑局部温度载荷，对两种焊点阵列形式， 即部分和完全阵列，进行有限无热应力及变形分析，与以往文献结果进行比较，文中结 论与文献相致，得到焊点阵列中危险位置的分布以及较好地阵列形式，证明本文的封 装模型可行并为下文分析提供了依据。 2 、建立三维p b g a 封装模型，考虑不同加载方式对封装体的影响。局部加载方式， 即考虑基于芯片的散热功率的热生成加载；交变温度载荷，即热循环的加载；综合考虑 前述两种加载方式，即将由热生成载荷所产生的应力、应变、变形等作为初始状态再进 行交变温度的加载。考虑局部加载的方式、强迫散热等因素，得到更接近实际情况的模 型温度和应力分布。 3 、在上述数值分析的基础上对接个封装体进行综合优化，以封装件中各器件的几 何尺寸和材料参数作为设计变量分别以热应力最小和减轻重量为目标进行优化设计， 其中从封装材料和几何尺寸两方面进行分析，得到采用较小的弹性模量和热膨胀率材料 可以有效地减小热应力，基板和芯片的厚度是影响封装体热变形和焊点可靠性的主要因 素。在满足封装体的剐度和强度以及热疲劳的要求下，得到两组不同的优化结果。计算 结果为提高焊点及封装结构的可靠性和优化封装设计提供了理论依据。 4 、在课题的预备阶段； 在a n s y s 结构优化计算系统的熟悉中，对集装箱专用车车体在纵向牵引、压缩和竖 向压力条件下的应力分布进行模拟及以车体的重量为目标，对其结构进行了优化设计。 并在吉林大学学报上以第一作者发表了题为“新型铁道双层集装箱平车车体有限元 分析及结构优化”的文章。 在做p b g a 封装体热一结构耦合分析前，对p q f p 封装形式也作了一定的分析计算并 撰写题为“电子封装件受热载荷作用的数值模拟分析”的论文投到大连理工大学学报。 将文中的重要分析和结论，以“p b g a 封装体的热一结构数值模拟分析及优化”为题 撰写了论文并投到“大连理工大学学报”上。 4 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 2 传热、热弹性、热应力理论以及结构优化原理 2 1 传热理论及其右限元离散化 在一般三维问题。3 中，瞬态温度场的场变量，f b 乃z ，u 在直角坐标系中应 满足的微分方程是 p c 詈一昙( t 訇一孙豺吾( t 罚书。c 在 眨， 边界条件是 t = t ( 在r f 边界上)( 2 1 ，2 ) 吒警k + b 警b + t 考咒= g ( 在r ：边界上) ( 2 1 3 ) k o 缸t n m ko 却t n ，- 4 - t 詈吃叫一d ( 在f 3 边界上) ( 2 1 4 ) 式中：p 材料密度( k g m 3 ) ， c 材料比热( j ( k g k ) ) 。 f 时间( s ) ； 以，i ，t 分别是材料沿x ，y ，= 方向的热传导系数( w ( 1 1 1 k ) ) ； 孝物体内部的热源( w ) ； 毽，”，他是边界外法线的方向余弦： t = t ( r ，f ) 是r 边界上的给定温度； q = q ( r ，t ) 是r ：边界上的给定热流量( w m 2 ) ； h 放热系数( w ( 2 k ) ) = l 叮，f ) 注：在自然对流条件下，z 是外界环境温度： 在强迫对流条件下，是边界层的绝热壁温度。 边界条件应满足 r l + r 2 + r 3 = f ( 2 1 5 ) 其中1 1 是q 域的全部边界。 微分方程( 2 1 i ) 是热平衡方程。式中第一项是微体升温需要的热量；第2 、3 、4 项是由x 、y 和：方向传递的热量；最后一项是微体内热源产生的热量。微分方程表明： 微体升温所需的热量应于传入微体的热量以及微体内热源产生的热量相平衡。 ( 2 1 2 ) 式是在r 。边界上给定温度于( r ，f ) ，称为第类边界条件，它是强制边界 条件。( 2 1 3 ) 是f ：边界上给定热流量窖( r ，t ) ，称为第二类边界条件，当g = 0 时就是 绝热边界条件。( 2 ，1 4 ) 式是在r ，边界上给定对流换热的条件，称为第三类边界条件。 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 第二、三类边界条件均是自然边界条件。 当在一个方向上，例如z 方向温度变化为零时，方程( 2 1 1 ) 就退化为一i 维问题 的热传导微分方程： 面o t 一丢i 罢 一号 砖号 一牙= 。c 在n 内， c z e ， 这时场变量丁( x ，y ，t ) 不再是z 的函数。常变量同时应满足的边界条件是 t = r ( r ，f )( 在r 1 边界上)( 2 1 7 ) 也警以+ k ，a 却t n ，2 9 口f ) ( 在r ：边界上) ( 2 1 8 ) k 。o 缸t n 。+ k ，o 加t n ，= ( 一丁) ( 在r 3 边界上) ( 2 1 9 ) 求解瞬态温度场问题是求解在初始条件下，即在 t = 五( 当t = 0 )( 2 1 1 0 ) 条件下满足瞬态热传导方程及边界条件的场函数丁，丁应是坐标和时间的函数。 如果边界上的t 、q 、及内部的q 不随时间变化，则经过一定时间的热交换后， 物体内各点温度也将不再随时间而变化，即 塑：o ( 2 1 1 1 ) 0 t 这时瞬态热传导方程就退化为稳态热传导方程了。由( 2 1 1 ) 式，考虑( 2 1 1 1 ) 式 的情况，得到三维问题的稳态热传导方程 酣a ( ka 缸t + 参 豺孙警 巾。c 在( 2 1 1 2 ， 由( 2 1 6 ) 式可得二维问题的稳态热传导方程 丢( h 一豺剐c 在( 2 1 , 1 3 ， 求解稳态温度场问题就是求满足稳态热传导方程及边界条件的场变量丁，只是坐标的 函数，与时间无关。 有限元离散化：有限元方法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且 按一定方式互连结合在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的连接方式进行组合， 且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。有限元法作 为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表 示全求解域上待求的未知场函数。单元内地近似函数通常由未知场函数或及其导数在单 元的各个节点的数值和其插值函数来表达。这样一来，一个问题的有限元分析中，未知 场函数或其导数在各个接点上的数值就成为新的未知量( 也即自由度) ，从而使一个连 6 嶷成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过 插值函数计算出各个单元内场函数地近似值，从而得到整个求解域上地近似解。显然随 着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度 的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于 精确解。 对于热传导问题利用有限元方法，和弹性静力学问题型同，采用c n 型插值函数的有 限单元进行离散后，对于稳态分析可直接将热传导微分方程转化为等效的积分形式m ： 肌丁) ( 釉砸) 咖丁沙 汜。， = j ( 占丁) q + 出+ ( 砑) 吩( 五一丁) 出+ ( 占丁) i 咖 其中：v 单元体积 仁r = l 丢毒卺f 虿单位体积的生成热 是热流边界 是对流面积 然后将模型区域分解为简单的形状：2 - d 模型中的四边形和或三角形；3 _ d 模型 中的四面体、金字塔形或六面体。为了保证温度在单元内部和边界上都是连续的，假设 单元内温度变化可以用多项式 t = r 识)( ( n r 为形函数阵、亿) 为单位节点温度) 表示，由单元节点温度得出每个单元的温度梯度仁) 和热流和 犯弦= 陋】纯) = 缸) ( 2 1 1 5 ) q j = p 】p 】亿 = 【d 】弘) ，= 【d j p ) ( 2 i 1 6 ) 其中 嘲= 仁y 【】 ( 2 t ，1 7 ) 【d 】为热传导系数矩阵 将假设的温度变化代入积分方程并将每项都乘上温度数值将两边约去得到 肼 ) 7 ) 咖 t ) + ) ( v ) 7 忙】咖亿) + f 【丑九d 】【b 】西红) ：f | ) g + 驾+ j 五吩 ) 驾一f 芬 r ) t ) 鹕+ ； ) 咖 2 1 1 彩 将如上方程重新写为简化形式： 。 【c 】 于) + ( j i = ” + 置4 + 置。 ) 丁) = q 7 ) + q 。) + q 5 ) ( 2 1 1 9 ) 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 【c 】_ ) ) 咖 足“ = 肛 ) 咖 k 。 = 儿占n d 删咖 芷。 = j r ) z ) 趣 q 7 ) = 八) g 鹕 ( q 9 ) = 五 ) 媳 眇) = j ； ) 西 将其简化形式组装成系统方程： 【c 】 “置】 m = ( q ) 式中【c 】= 【c l 为比热阵； t = l 【蜀】= 茁“最。 ，为热传导矩阵； 【q 】= q ，“。 ，+ q ) 站点热澈温度载荷列阵； 力是连续体所划分的单元总数。 2 2 热弹性理论 2 2 1 热弹性的应力与应变和温度本构方程 ( 2 1 2 0 ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 z ) ( 2 1 2 3 ) ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 2 5 ) ( 2 1 2 6 ) ( 2 1 2 7 ) 按照连续介质力学中的本构理论，物体上质点z 在f 时刻的状态函数之值应由物体 中全部近地点的运动历史和温度历史所确定。如果物体上质点茗的状态函数仅取决于 工附近很小领域中质点的运动历史和湿度历史，那么就说物体由简单材料构成。 热弹性材料属于简单材料，而且质点z 的状态函数与过去的运动历史和温度历史无 关，它只取决于运动和温度的现时值。 现在来描述物体的变形3 。 质点z 和它的空间位置x 的对应关系可写为 x = 芏( x ) ( 2 2 ，1 ) 当质点运动时，则写成 x = x ( x ，t ) ( 2 2 2 a ) 或写成 葺= 弓( f ，x 2 , x 3 , r ) ，i = l ，2 ，3 ( 2 2 2 b ) 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 式中t 表示时间。 质点的位移”( x ，t ) 的表达式可写成 u ( x ，t ) = x ( x ，f ) 一z ( 2 2 3 ) 以f ( x ，f ) 表示变形梯度，它定义为 f ( x ，f 1 = 兰 ( 2 2 4 a ) 础 由此式可以看出，它表示了物体运动和变形过程中任意质点盖与其相邻质点在空间位置 上的差异。f 的分量只为 5 = 曩a x , t ) = 曼蔓5 铲= 薯，( 2 2 4 b ) 式中符号z 表示对x 7 的偏导数。 变形梯度f 是一个二阶张量。应用变形梯度的概念，定义应变分量“为 r , j = 汽磊一磊) ( 2 2 t5 a ) 式中五毛中下标k 为哑标，磊为k r o n e c k e r 符号。考虑到位移”的表达式( 2 2 3 ) ，并 将它代入( 2 ，2 4 b ) 和( 2 2 5 a ) 中，贝得 如= 去似u + ，i + 。，j ) ( 2 2 5 b ) 显然，此式与弹性力学中应变的表达式是致的。 以( z ，t ) 表示质点在现时t 的应变分量，以占( 石，f ) 表示质点在现时的温度变化，即 臼( z ，t ) = r ( x ，f ) 一t o 。不考虑刚性运动的影响后，热弹性材料的状态函数之一的自由能 密度v 应表示为 咿= g ( r , j ，口) ( 2 2 ，6 ) 现在，将它代入熵不等式中，使之相容。得到 ( t “- p 静矿p 当捌于号黜 ( 2 啪) 熵不等式是基本规律之一，驴表示熵流矢量以上不等式必须成立，因此必有 由第式得到 由第二式得到 一p 掣= o d 坐+ 。：0 a t 垡r 0 丁。 p = 户当 o y q 9 ( 2 2 8 ) ( 2 2 8 a ) 叁壁皇堕至苎塾薹塑垫二竺塑塑堡垫型坌堕墨垡些垦生一 妒：一缕 ( 2 2 s b ) 由( 2 2 8 a ) 式可以看到，给出自由能密度的表达式后就可以得到应力分量与应变分 量和温度分量变化的关系式。以掣表示单位初始体积的自由能，即、壬，；风妒2 甲( ，毋) 。 对于各向同性体，自由能、王，常展开成应变不变量，1 2 ，l 和占的幂级数a 这此不变量等于 厶2 心1 l = 丢( 彬口一均) 2 2 9 ) 山l 厶= d e t y j 在线性的热弹性理论中，幂级数可取到二阶，、王，展开为 、壬，= q + a j z + q 臼十峨p 十吒口2 + 吼厶臼 由( 2 2 8 a ) 式及复合函数的求导法则，得 f = 赛= 爱舞+ 爱薏+ 酉i g w 瓦 3 3 0 ( 3 1d h 叫lh删2u ，帮 3 u ，“ 不变量z ，：，l 对应变分量的导数是 象2 毛 象啦一巧 瓮啪”一舻i 戎 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 由( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 2 ) 等式，得到本构方程： 掣：q 磊+ ( 如+ 地) 岛一口2 + 4 6 鸭 ( 2 2 1 3 ) 引入l a j l l e 弹性常数丑和，令常系数口2 = 2 卢，口4 = 害+ 。以表示应力的热力系 数，定义为 p , , - = - ；1 - - - 戳：，翌：一丝磊= 厩 (2-2-14)80t j w o_ 则本构方程可以写成 。：旯磊+ 2 一麟 ( 2 2 - 1 5 ) 耄臀嚣裟窭篓嚣瑟嚣翥翥嚣嚣釜罂蓑 中，可以认为空间坐标系与物质坐标相差很小，因而本饲力程圈，仝1 日j 珀殓刚也i 抖垲司朋 ：a 毛+ 2 慨一麟 ( 2 2 1 6 ) 为了分析问题的方便，本构方程写成如= p # ，曰) 的形式。代回上式中，整理后得 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 吩= 一赢仃* 磊+ 瓦1 彘鸭( 2 2 1 7 ) 定义线热膨胀系数为 口：! 堡 ( 2 2 1 8 ) 2 畜 u 埔 即口。表示升高单位温度时应变的增量。将( 2 2 1 7 ) 式代入( 2 2 1 8 ) 式中，得 嘞2 东毛露2 略 2 2 _ 1 9 ) 式中，口= 夕( 3 2 + 2 , t ) 。于是( 2 2 。1 7 ) 式又可写成 均。一赢磊+ 瓦1 + 口鸭 2 2 2 式( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 2 0 ) 就是本构方程的乃= ( c r g ，曰) 的形式。 如果引入各向同性体在等温情况下单向拉伸( 压缩) 时的弹性模量e 和泊松比y ， 则由( 2 2 1 6 ) 式和y 2 2 = 如3 = 一l 知 q 1 = 【五( 1 2 y ) + 2 】苁1 ( 2 2 2 1 ) 另一方面，单向拉伸( 压缩) 时有吼，= e n ，所以 e = 五( 1 2 功+ 2 引入剪切弹性量g ，由于= g 及2 g = e ( 1 + v ) ，得 e “= 。 2 ( 1 + v 、 由( 2 2 2 2 b ) 得到关系式 a ： 些 ( 2 2 2 3 ) ( 1 + v ) o 一2 v ) 因此，本构方程( 2 2 1 6 ) 又可以写成 = 淼勉磊+ 志一口忐 ( 2 2 2 4 ) = 而而勉+ 丽叫而鸭 喵z 鹕 以上，应用自由能表达式导出了各向同性本构方程的各种形式。这样，在不同的热 弹性问题中，就可以恰当地选用不同的表达式。 2 2 2 热弹性运动方程 热弹性问题中为解出位移场和热应力场，一般的做法是根据以上给出的应变表达式 ( 2 2 5 b ) ，应力应变的本构方程( 2 2 1 5 ) 、( 2 2 1 6 ) 或( 2 2 2 4 ) 等导出以质点的位移分 量甜，( f - 1 ，2 ，3 ) 为待定值的一组方程。这组方程称为热弹性运动方程。其中包括质点的温 度变化口。如果给定温度场o ( x ，f ) 、边界条件和初始条件，则由热弹性运动方程可解出 物体的位移场”，( x ，f ) 。然后，再由“；( x ，f ) 和臼( 置力算出热应力场( 置f ) a 集成电路芯片封装的热一结构数值模拟分析及优化设计 对于固体的热弹性问题，可以认为变形是很小的。从而，物质坐标与空间坐标的差 异可以略去不计。这就简化了固体的热弹性运动方程的建立。 在小变形情况下，在应变表达式中略云位移的非线性项，取 巧= 扣j + 啪 ( 2 2 2 5 ) 对于均质的各同性体，应力应变温度的本构方程( 2 2 1 6 ) 在小变形的情况下可写成 = 饥t 气+ a ( u “- i - ”1 ，) 一雠 ( 2 2 2 6 ) 由此得 去。= 饥矿一) 一矽，= ( 五+ 卢m 矿以矿矽， 将此式代入动力方程，得 。+ 等，一缸+ 詈乃= 詈玉，n + 尹峨，f 一盖只j + 盖，2 盖蜥 ( 2 2 2 7 ) 式中z 为单位质量的物体所受到的体作用力的分量，p 为密度。将( 2 2 2 2 ) 和( 2 2 2 3 ) 式代入上式，式中热力系数以a ( 3 2 + 2 p ) 代入，整理后得 。，+ 击+ 詈乃一篱呜= 昙五，吼z ，s ( 2 2 2 8 n ) 这个方程就是均质各向同性体的弹性运动方程。 以表示l a 山c e 算予一口_ 善+ 簧+ 毒 并以8 表示体积应变，即 。：亟+ 亟+ 亟 两阮趣 那么，热弹性运动方程又可写成 觇+ 忐铲詈z 一篱吩争( 2 2 2 9 ) 以上各种形式的热弹性运动方程是热弹性问题的控制方程。在给定温度场o ( x ，f ) 后，即使边界条件比较简单，它的求解也仍然是困难的。因此。常常采用简化的办法。 如果温度场的变化不很激烈，可以认为加速度u i 很小。为了简化问题的求解，将热 弹性运动方程中的右端p u ( 也称动力项) 略去不计。这就得到 l f i ；+ 击+ 罢一篱口只，= 。 或 觚+ 忐勺+ 暑z 一等蚂= 。 这样的热弹性运动方程称为拟静态的。虽然动力项已略去，但因温度场o ( z ，t ) ，所以解 出的位移”，o = 1 ，2 ，3 ) 仍然随时间而变化，即；( z ，t ) 。 集成电路芯片封装的熟一结构数值模拟分析及优化设计 2 、2 3 热弹性的热传导方程 为了得到物体上各质点的温度变化臼( 置o ，需要建立求解物体上温度场r ( x ，f ) 的身 分方程。这个身分方程将通过物体内部热量的传输( 即热传导) 的分析来得到。所以它 称为热传导方程。它的求解需给定物体与其外界的换热情况，也就是换热边界条件，以 及f = 0 的温度场瓦( ，0 ) 。 由熵密度变化率表达式 d 妒一。，1 妃 p 5 。；- 邓亍一亍蔷 可以看到，表达式左端的熵密度变化率若写成温度丁的函数，则由此式可进而导出热传 导方程。 本构理论指出，在