（基础数学专业论文）b型与c型量子gim代数及其lusztig对称.pdf

四川大学硕士学位论文 b 型与c 型量子g i m 代数及其l u s z t i g 对称 基础数学专业 研究生：张勃指导老师：谭友军 摘要：对，阶b c 型c a f t a n 矩阵的2 一仿射矩阵j ( + 2 州+ 2 ) 。定义了相应的量 子广义相交矩阵( g i m ) 代数，对每个l s f sz + 2 ，证明了u 有自同构r 。， 讨论了它们的基本性质所得到的结果推广了经典量子群和a d e 型量子广义相 交代数的l u s z t i g 对称理论 关键词：广义相交矩阵，量子代数，l u s z t i g 对称 婴型查兰塑主兰竺丝苎 一一 q u a n t i z e dg i ma l g e b r a s o fba n dc t y p ea n d t h e i r l u s z t i gs y m m e t r i e s g r a d u a t es t u d e n t ：z h a n gq i n g s u p e r v i s o r ：t a ny o u j u n a b s t i 旨c t ：f o rt h e2 - a f f i n i z a t i o nm a t r i xj ( h 2 m “2 ) g i v e nb yt h e i x lc a r t a n m a t r i xo f b ct y p e ，w ed e f i n et h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t i z e dg e n e r a l i z e di n t e r s e c t i o n m a t r i x ( g i m ) a l g e b r a w ep r o v e f o re a c h1 i l + 2t h e r ee x i s t s a u t o m o r p h i s mtfo f ，a n d o b t a i ns o m eb a s i cr e m i t so nt h e s ea u t o m o r p h i s m s t h e s er e s u l t sg e n e r a l i z el u s z t i gs y m m e t r yt h e o r yo f c l a s s i c a lq u a n t u mg r o u p sa n d q u a n t i z e dg i ma l g e b r a so f a d e t y p e k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e di n t e r s e c t i o nm a t r i c e s ，q u a n t u ma l g e b r a s l u s z t i g s y n m a e t r i e s i i 四川大学磺士学位论文 声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文 成果归四川大学所有，特此声明。 作者签名：岛劲 导师签名： 轴年r 月日 2 甸年歹月 子日 友婢 四川大学硕士学位论文 1 引言 g l u s z t i g 建立的对称理论在经典量子群的研究方面起着非常重要的作 用 1 2 ，l u s z t i g 对称是量子群上的自同构，刻画了相应的w e y l 群在量子 群的根向量上的作用p s l o d o w y 的广义相交矩阵( g i m ) 李代数来源于奇异 理论，是单李代数的自然推广 3 广义相交矩阵的重要例子是有限型c a r t a n 矩阵的2 一仿射矩阵有限型c a r t a n 矩阵所确定的t o r o i d a l 李代数是相应 2 一仿射矩阵确定的g i m 李代数的商代数 4 ，而量子t o r o i d a l 代数是近年来 李理论中十分重要的研究对象 5 ，因此，研究2 一仿射矩阵的g i m 李代数的 量子代数是有意义的文献 6 给出了非扭的，即a d e 型g i m 李代数的量子 代数的定义，利用文献 7 所刻画的2 一仿射矩阵所确定的w e y l 群证明了 l u s z t i g 对称的存在性，并讨论了这些l u s z t i g 对称所满足的辫子群关系 本文将讨论扭的，即b c 型c a r t a n 矩阵的情形我们定义了b c 型c a r t a n 矩 阵的2 一仿射矩阵，从而得到相应的广义相交矩阵，并由此定义了相应的量子 代数以；证明了眈上的l u s z t i g 对称的存在性( 见下面的定理2 1 ) ，得到 了部分辫子群关系( 见下面的定理2 2 ) ，这些结论是经典量子群和a d e 型量 子广义相交代数的l u s z t i g 理论的自然推广同时，我们的计算表明，这种 推广是不平凡的，因为，量子g i m 代数与经典量子群有本质的不同：量子g i m 代数没有三角分解和v e r m a 模理论，所以l u s z t i g 的构造方法不能直接运用 2 2 一仿射化o a r t a n 矩阵和量子g l m 代数 2 一仿射化c a r t a n 矩阵是由有限型的c a r t a n 矩阵得到的( 参见 4 7 ) 本文采用k a c 书 8 中的基本符号设彳= ( 嘞) i 舢为省1 型( z - - b ，c ) 的不可 分解的广义c a r t a n 矩阵，其中，3 设，q ，q 为相应d y k i n 图s ( 一) 上的标 数，“，d i ，为s ( a ) 上的标数，矩阵4 对应的仿射k a c m o o d y 代数记为 g = g ( 4 ) ，其c h e v a l l e y 生成子为q ，( o f ，) 令o 为g 的c a r t a n 子代数， l 四川大学磺士学位论文 为根系，石= ( ，口，嘶) cb 为单根集，7 。= “，吖，吖) cb 为余单根 ， 集，q 和q 分别为根格和余根格则零根为艿= q q q ，典范中心元为 ， x = 茚吖e q ，标元d b 由q ( d ) = 氏确定，其中i = 1 ，2 ，在g 上的规 范不变双线型( 小) 由下面关系确定 ( 茚i 蟛) = 吻，( 彰i 田= ，( d i d ) = 0 ，其中f ，j = o ，1 ，2 ，1 ， 由于( l ) 在b 上非退化，所以诱导出同构 ，：b b ，满足y ( ) ( 啊) = ( j l i 曩) ，其 中 ，啊b 现在定义元a o b + ，满足a o ( 口? ) = 和人0 ( d ) = 0 ，其中i = l 2 ， 则由y 可诱导出b + 上的规范不变双线型： ( qi 吩) = ，( 吖i i 。) = 4 0 ，( a oi i o ) = 0 ，其中f ，_ ，= o ，1 ，2 ， 记6 ( 或6 + ) 是由口i ，吖，a , v ( 或相应的嘞，嘶，嘶) 张成的复向量空间，自 是由e ，( 1 i ，) 生成的g 的子代数，则自是有限维单李代数，其相应的 c a r t a n 矩阵是l = ( ) ：l ，相应d y n k i n 图s ( - ) 是s ( 彳) 去掉第0 个顶 点6 = g n o 是白的c a r t a n 子代数，f = 弛，嘶，是根基， 石”= 口i ，蟛，吖) 是余根基，厶= n 6 是根系，q = z 厶是相应的根格自的 ， 唯一最高根为口= 8 - a o = q 口，q ，g ( o l 臼) = 2 令j = ( ) ：z ，为i 的2 一仿射化c a r t a n 矩阵，n e e = ( ql a j ) 其中l - i ， a t 。j = 一( 臼i q ) = ( 口o i q ) = 0 0 n e e l ，i = 1 ，2 四川大学磺士学位论文 a j h ，= 一( 口i 目) = ( 口i a o ) = 乃。 其中1 s ，i = 1 , 2 a j 州+ i = a 1 j j 。= 妒i = 2其寺i ，j = 1 , 2 其l x l 的顺序主子式就是l ，显然五的2 - 仿射化c a r t a n 矩阵j 是广义相 交矩阵注意到j 的矩阵元是一2 到2 之间的整数 设q 为变量定义q ，= 矿，其中4 = ：1 ( q i q ) ， 蜘嚣= 筹， 【观f - 【乩 乩- l 【旭一【1 任意字母x ，记厨町= 毒妾 类似- 于e 6 中的定义，我们有相应的量子g i m 代数配。其表现为： 生成元： r ) ，q ，( 1 ，“2 ) ，矸”2 ，研“2 ( f = 1 ，2 ) 生成关系： ( r e 1 ) 【k ，讲】= o ，砭巧= k 蜀= 1 = n , o , - 1 = d 1d j ， 口“2 是中心且( e “2 ) 2 - k 。，i = i ，2 以易1 = g 嘶易，砭c 巧1 = 口4 吩e ，l ，+ 2 d ，e i d ：= t “| ej ，d 。f i d ：= 可5 “i f i i = 1 ，2 1 j l + 2 铲鲁，其中巧& l j l + 2 ( r e 2 ) 对0 ( 1 f _ ，f + 2 ) ，有【e ，巧】_ o 和 l o u 卜a i j ( 一1 ) 巧1 。”弓霹砷= o = ( - d f 1 一”e f “1 ( r e 3 ) 对乃= 2 ( f ) ，即有，+ l f ，- 1 + 2 ， 四川大学硕士学位论文 【巨，e j 】- i f , ，】= 0 33 e ( - 1 ) 。耳3 ”霹) - o = ( 一1 ) 。e “q e “ 扣lj l 易见，配上有c a r t a n 对合我们的主要结果是如下的： 定理2 1 影毒爷l f “- 2 ，玑群劈茸周哟z 旖沼， z ( 局) = 一只置 t , c e j ) ：量( _ l 广酊t 尊叶w 易霹，当嘞o 肘 l ( 一) ：2 ( 一1 ) z 一酽一，f 2 叫髟f j 当嘞= 2 以，射 s f f i 0 7 , ( f j = 一k , - 1 e 7 , ( f 2 ：曼( 一1 ) ”订只t c f 一叫当嘞so 肘 7 , ( f 2 ：2 ( 一1 ) ：一，吖一：霹，耳：叫当嘞= 2 _ ，时 s f f i 0 互( k o ) = 似) ( 口f ) 7 j ( c ”) = g ”，互( 巧1 ) = 研1 砰( j - - 1 ，2 ) - 其中。r j w 是t 上的w e y 群的基本反射。称这些自甬构为uq 拍 u s z t i s z 蛹 莨毽2 2 当q ；= q 时三u s z t s g 脚t | 满足辫子群关系t t t i2 t | t 1 注：对= - 1 时的辫子群关系l 乃z = 乃z 巧，已证明了除2 2 且2 2 或= 一2 且q i = 2 外的所有情形 我们把定理2 1 的证明放在下一节，这里先给出定理2 2 的证明由定 四川大学硬士学位论文 理2 1 ，我们只需对的生成子验证z 乃= cz 我们只需对生成子最进行 验证，其余的生成子类似所以，我们只需证明：z c ( b ) = l z ( e ) 七= f 或 k = ，的情形 6 中已经证明此时有如下几种情形： 2 5 0 ( i i ) = 一1 且a ) k = 0 ；或口雎2 0 且2 一i ( i i i ) 2 - - - - i ( i v ) - - - - 2 且= 0 ；或2 0 且2 2 - - 2 且2 0 ；或2 0 且2 2 ( v i )= 2 且= 一l ；或a , k 。一1 且5 2 ( v i i )- - - - 2 且= 一2 ；或口肫2 2 且。2 在 6 中已验证了除( i v ) 和( v i i ) 外的情况，在这里只需证明( i v ) 和( v i i ) ： ( i v ) 的证明： z 乃( 耳) = r a g ) = 耳2 巨一目i 1 置巨e + q 2 最譬2 = ( 耳2 ) 乃( e ) g i l 乃( e f ) 弓( 巨) 乃( e j ) + q 2t ( e ：) l ( 9 2 ) 2 乃z ( 最) ( v i i ) 的证明： z 乃( 巨) = z ( 巧2 瓯一酊1 易瓦t + g j 2 e 乎) 5 而1 ( 巧( 咿z ( 毛) 一巾心e ) 巧( 助互( 弓) + 妒z ( 毛心缈 5 而1 ( 巧( 删2 e 一吼f 尾f + 巨一咖鹏( q 御巨 一q ，fef4 - ef ) e j + g j 2 ( g ? f 2 e g lfef + 毛j f ：2 ) 茸) 四川大学硕士学位论文 2 9 ? f 2 ( e 2 乓一酊弓晟曩+ g 产邑彰2 ) 一吼f ( e 2 巨一q j l 易e 易 + 妒e 弓砧) z - t - ( 巧2 乓一町1 日b + 町2 毛譬2 ) 巧2 ， 2 酽乃( 耳2 ) 乃( 最) 一q ，乃( f ) 巧( e ) 乃( f ) + 刁( 巨) l ( f 2 ) 。乃( g ? 巧。尾一g f 坷乓只+ 日e ) = i r , c e a 由此完成了定理2 2 的证明 3 定理2 1 的证明 首先我们证明瓦( 1 七，+ 2 ) 是上的代数自同态为此，需要验证瓦 保持定义关系( r e 1 ) 一( r e 3 ) 可以直接验证瓦保持关系( r e 1 ) ；文 6 中已 证明了互保持关系( r e 3 ) 所以我们只需验证五保持关系( r e 2 ) ，即证明如 下的等式：对0 ( 1 i ，s “2 ) ， 【互( 互) ，瓦( f ，) 】= 0( 3 1 ) 1 一d i i ( 一1 ) 5 ( 瓦( e ) ) ( 1 - a ，- s ) 瓦( 目) ( 瓦( e ) ) j = 0 ( 3 2 ) s = t l 一 ( 一1 ) 5 ( 瓦( 巧) ) 卜唧。瓦( 乃) ( 瓦( 巧) ) j ) = o ( 3 3 ) j = 1 ( 3 1 ) 的证明可直接得到，由以上的c a r t a n 对合知，只需证明( 3 2 ) 即可知 ( 3 3 ) 也成立 首先证明k = i 或k = _ ，的情形 命题3 1 当吼0 时，有： l 一 ( 一】) ( z ( 互) ) ( i - a g - x ) z ( 巨) ( z ( 互) ) 5 = o ( 3 4 ) 四川大学磺士学位论文 塞( 一1 ) ，( 巧( 巨) ) t 一唧叫z ( 弓) ( i ( e 1 ) ) ( ，) ：o ( 3 5 ) 证明：嘞2 0 和嘞2 一l 明情形明证明谓参见t 6 j 当嘞2 - - 2 盯，田p 回天糸 可直接算得： z ( 巨) 五( ) = 窖；互( 髟) 霉( 巨) 一酽互毋+ 易互 乃( 互) 乃( 目) = 酊1 乃( 弓) 乃( 局) 一e 证毕口 我们现在来考察七f ，k _ ，的情形 对任意1 _ ，s “- 2 ，记 q = 鲁 _ = 鲤铲 弓= 噬铲 。( 1 + 疗) 碍+ ( 1 + 酊) 砰 1 2 两i 广一研 引理3 1 对任意1 j ，+ 2 ，下列关系成立： e i f = 皆e i + f i xj c 弓却= 巧2 巧+ 弓i e 2 e 2 ) _ 巧2 髟2 + c 易g + 0 溉呲矧= 籍聪味口 命题3 2 当七f ，k 且= 0 时，有： 四川大学硕士学位论文 瓦( e ) 瓦( 目) 一疋( ) r d e , ) = 0 ( 3 6 ) 证明：有以下几种情形，在这里只需给出( i v ) 和( v i i ) 的证明，其余的证明请 参见 6 ( i ) 2 20 ( i i ) = 一1 且= o ：或2 0 且。一1 ( i i i ) 。2 - - 1 ( i v ) = 一2 且= o ；或；0 且2 2 ( v ) = 2 且= 0 ；或2 0 且2 2 ( v i )a n - - - - 2 且= 一1 ；或2 一l 且2 2 ( v i i ) 口缸- - - - 2 且= - - 2 ；或= 一2 且= 2 ( i v ) 的证明： 由= o 和铂= o ( 或a k t = o ) ，就有 e f ，目 = 0 和 巨，弓 = 0 ( 或 巨，局 = o ) ，可直接验证瓦( 互) 瓦( 毛) 一瓦( q ) r a e , ) 。o 。口 ( v i i ) 的证明： 我们只需证明- - - - 2 且= 一2 的情形，= 一2 且= - 2 的情形类似 由直接计算得： 瓦( 巨) 瓦( 易) 一正( 易) r a e , ) = ：z ，其中： x = q ：最2 e f 耳2 日一q ；鹾2 e j 2 e k = q ke ke i & 蹬e l q k 略e 。e ke ie k e = q 。碰2 马e 巨e q 。最ee 鹾2 易 e = 最2 ee 毯2 一局最2 2 e y s = e jf p 瞵。ej 一喀ie ie lf # 8 璺! ! ! 查茎堡主兰竺丝主 一 k 。f k e lf k e k e ie k e k e je k f k e if t 耳= g 一五日巨互最2 一酊1 巨2 巨e k = g 目耳2 最巨e g 最巨e 目r 1 2 写= g 巨2 目耳2 一铲日鹾2 局2 再由 e ，目 = 0 ( f h a , j = o 得) 、 e ，五 = 0 f h a h = 2 得) 、 e ，易 2 0 ( f h a _ = 一2 得) 和引理3 1 可把z ( 1 t 9 ) 整理如下： i = 一瓠2 巨五置e q + g ：e 岛( 鱼圭鼍襄铲一石_ 与了f 1 j 2 q kf ke le ie kx k + q ke kf ke 。e yx k l 、= q ke ke le if k x k 七q ke kf ke te ix k q ke ie i q kx k 吼一吼一e 毛( 虹嵴笋一 e = 一臣互q 五紫+ e j 易c 鱼二! 亏舌亨兰笋一 尊 y j = 一e k e | e i f k f t e ? e i e k q k e kr e 。e iq k e | eje kr q k + e i e j 线 y ；= q 0e 。e ie kr x k 一e te i q kx k 七q ：e ke | e i 民x k y j = q - e je ie k rx k + q - 、f ke i e ye kx t 9 三一 四川大学硪士学位论文 y , = - q 趣t 邑e q 增e , e j ( 虹案筹噬一赤 含e 互局最的项有巧，e ，k 和写，其系数为： 吼砘一筹一q - k q i ix k = ( q k b q ，黾一鱼二旦主竽 = 0 含e e s 弓巨的项有k ，e ，虼和k ，其系数为： 压一等一q 坛1 i 咄 一i 一盥肇譬监 ：f 区! 丝篮! ! 鱼二! 亟! 篮! 堡z 2 堑! 甄一吼 一堡纽篮! ! 坠二亟兰篮蓝2 堑! 靠一疗 = 0 含b e e 目的项有k ，k ，e 和k ，其系数为： 一q ：q + q + q k 吒一q = q k ( + ) 一( 1 + g ：) g ：! 蓝! 亟篮1 2 冬二! 壅兰址趔 “一靠。 1 0 四川大学硼士学位论文 含巨e j 晟e 的项有k ，；，k 和】；，其系数为： 一矿q + 靠1 磁+ g 一以一q = 酊1 ( + ) 一( 1 + q i 2 ) q = o 含岛目的项有x ，e ，k ，k ，砭，写和】；，其系数为： 一面b ) + 研叫1 q 稚 + g ) + ( 坚- 4 - 2 嚣2 蔼4 产+ 2 一- 2( 一靠2 ) 2 = 丝磬筹建群+ 垃桨舞豆砰+ 棼舞 一丝铲砰一地象箨篮砰一器舞 = 0 由此可得：z = o 证毕口 命题3 3 当七f ，k - ，且嘞= 一l 时，有： 瓦( 耳2 ) 瓦( t ) 一五( e ) 瓦( ) 瓦( e ) + 疋( 弓) 瓦( 耳2 ) = o ( 3 7 ) 其证明包含以下几种情形： ( i ) = = 0 一 o = 南铲镶 越 南 一 四川大学颈士学位论文 ( i i ) = 一1 且= 0 ；或= 0 且2 1 ( i i i ) = 一2 且= 0 ；或2 0 且2 2 ( i v ) - - - - 2 且= 0 ；或2 0 且2 2 ( v ) = - 2 且= 一1 ；或。一1 且。2 ( v i ) - - - - 2 且= 一2 ；或2 2 且2 2 在这里只给出( i i i ) 和( v i i ) 的证明，其余的证明请参见 6 ( i i i ) 的证明： 去证 瓦( 霹2 ) 一瓦( e 1 ) e j 瓦( e ) + e 瓦( 耳2 ) 2 0 令q = 彳( 巨) q 一【2 】f 瓦( e ) e j 瓦( 互) + e 露( 互) = e k e 一q e le k 则瓦( 巨) 。击( 墨善一善乓) 弓i 理3 2 ：( a ) k k 善= 掌甄 证：由墨乓= q ：岛k k 和k ke = e 墨可算得a 口 ( b ) f 一( 1 + q ：) 巨f 巨+ 靠f 露- - - - 0 证：由碰3 巨一e 1 2 e 巨+ 岛互e f 2 一置霹= o 可算得。口 ( c ) e 善= 孝五+ 【2 k 互繇 证：由 e ，e = q 和最e = e f 只可算得。口 ( d ) e 善2 = f 2 最+ 2 l ( f e + e f f ) 何 证：由( a ) 、( c ) 可得。口 引理3 。3 ：( a ) 巨瓦( 巨) = q ：瓦( e ) 邑 l ， 四川大学硕士学位论文 证：由引理3 2 ( b ) 可得。口 ( b ) 五7 a e , ) = 五( e ) e + f 蟛1 证：由引理3 2 ( c ) 可得。口 ( c ) 最砰( 巨) = 砰( 置) e + ( 五( e ) f + f 瓦( 互) ) 何 证：由( b ) 可得。口 ( d ) k k 五( 置) = 靠瓦( e ) 耳 证：由引理3 2 ( a ) 可得。口 ( i i i ) 的证明： 由引理3 3 ( b ) 、( c ) 和( d ) 直接计算得： 最q = q 五+ q l 。 ( 3 8 ) 其中q 。= 瓦( 互) 善目+ 弓7 a e 3 善+ 矿掌互( 巨) e j + e 孝五( e ) 一【2 k 瓦( 置) 易f 一费( 2 k 善目瓦( 互) 由巨目= 目最( 。= o ) 和引理3 3 ( a ) 直接计算得： 毛q = 毹q 乓 类似可由引理3 2 ( c ) 和引理3 3 ( b ) 和( d ) 得： eq l = q 最+ q 2 巧1 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 其中q ：= ( 1 + 矿) ( f 2 目一【2 l 善马掌+ 弓掌2 ) + 2 k 瓦( 巨) 置弓 + 【2 k e 瓦( e ) 巨+ 2 k 互五( e ) 弓+ 【2 k 日局瓦( 巨) 一【2 kx 【2 l 瓦( 巨) q 置一g 【2 k 【2 】七e 易瓦( 互) 再类似计算可得： 最q 2 = q 2 丘+ q 3 巧1 ( 3 1 1 ) eq ，= ge + ( 靠+ 费) 3 】! 【2 k ( 砰量一【2 k 巨弓巨 + e je j ) k ： 1 1 四川大学硕士学位论文 即eq 3 = q 3e ( 3 1 2 ) 其中q ，= 【3 k ! ( f e e + 目f 局一【2 k 善局e + 巨善弓 + q e je i 一q 驻1 ke | ej ) 由( 3 8 ) 、( 3 9 ) 可算得 巨e q = g ：q 犀最+ 最q 。何 e 巨q = 酲q 最互+ 靠q 。巨巧 两式相减得： e k f l l - - q 吼：一- 万q ：q + 靠q 一最 类似的，由( 3 1 0 ) 、( 3 1 3 ) 得 c 2 2 - - 血学时嘴 由( 3 1 1 ) 、( 3 1 4 ) 得： 乓q ，= 鱼蔓二鼍警q ：+ 萨q ，e 由( 3 1 2 ) 、( 3 1 5 ) 得 盟2 萼- 2q ，：盟4 1 d - 4 丛 2 立q ， q t q k q k q k 。 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 这说明q 3 = 0 ，而由( 3 1 5 ) 知q 2 = 0 ，由( 3 1 4 ) q l = o ，由( 3 1 3 ) 知q = 0 。证毕。口 ( v i ) 的证明： 去证： 砰( 置) 瓦( 易) 一【2 】，五( 五) 瓦( ) t a e , ) + 瓦( 易) 露( e ) 2 0 令n = 彳( 巨) 瓦( e ) 一【2 ，瓦( 巨) 五( t ) t a e , ) + 瓦( 易) 彳( 巨) 妒= tre ? 一e | r 四川大学硕士学位论文 碍= e k e i 一蠢e ie k 则瓦( 局) 2 西1 f e 伊一伊最) 瓦( 目) 。西1 ( e 万一口e ) 引理3 4 ：( a ) 墨伊= 矿瓦 证：由f k 尻= e 墨和墨局= 靠局丘可算得口 ( b ) 露妒一( 1 + q ：) e 伊e + 靠妒露= o 证：由尼3 巨一2 巨最+ e 巨最2 一巨最3 = o 可算 得。口 ( c ) e 伊= 伊最+ 【2 1 。q ：局甄 证：由 e ，e = q 和毛置= 巨巨可算得。口 ( d ) 尾妒2 = 尹2 巨+ 2 1 i 靠( 矿e + 巨伊) 墨 证：由( a ) 、( c ) 可得。r l ( e ) e 矿= 矿最- + - 2 1 i ( 9 2 e + p e 伊+ 巨尹2 ) 证：由( a ) 、( c ) 和( d ) 可得。： 引理3 5 ：( a ) 最瓦( 巨) 2 靠t ( 巨) 最 证：由引理3 4 ( b ) 可得。口 ( b ) e r k ( e , ) = 五( e ) 邑+ 妒丘 证：由引理3 4 ( c ) 可得。口 ( c ) 丘巧( e ) = 砰( 巨) 最+ ( 露( 巨) 伊+ g 伊瓦( e ) ) k 证：由( b ) 可得。口 ( d ) 丘瓦( 巨) 2 疗瓦( e ) k 1s 四川大学硕士掌位论文 证：由引理5 1 ( a ) 司得。口 引理3 6 ：( a ) 瓦口= 口托 证：由ke = 靠晟k 和墨目= 目墨可算得。口 ( b ) 卑t d 一( 1 + ) 毛冒巨+ 靠仃e ：= o 证：由霹目一鹾2 局巨+ 曩易e ：2 一弓e k 。= 0 可算 得。口 ( c ) 最巧2 搿e + 【2 k 弓茸1 证：由【巨，e = 幺和最易= 弓最可算得。口 ( d ) e 巧2 = 口2 e + 【2 k ( 口易+ 易巧) 巧1 证：由( a ) 、( c ) 可得。口 引理3 7 ：( a ) 乓瓦( e ，) 2 靠瓦( e ) 巨 证：由引理3 6 ( b ) 可得。口 ( b ) 最瓦( e ，) = 瓦( e ) e + 巧茸1 证：由引理3 6 ( c ) 可得。口 ( c ) 最彳( 目) = 彳( 局) e + ( 瓦( 局) 巧+ 刃瓦( 与) ) 砰1 证：由( b ) 可得。口 ( d ) 墨瓦( 目) = 蠢瓦( 弓) 墨 证：由引理3 6 ( a ) 可得。口 ( v i ) 的证明： 由引理3 5 和引理3 6 直接计算得： 巨r i = 酲n 臣+ n 1 e n l = 靠n l 巨+ 1 7 2 缸 耳l - 1 2 = q ：n 2 巨+ n ， 巨3 = q ：1 7 3 尾+ n 。 1 6 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 四川大学硬士学位论文 e 1 7 = 靠1 1 。乓 ( 3 2 1 ) 冥中： n 。= ( 蠢瓦( 蜀) 伊瓦( 互) + 伊r a e , ) 瓦( ) ) 一【2 】，( 靠瓦( 巨) 瓦( 易) 妒 + 伊瓦( 局) 瓦( 巨) ) + ( 瓦( 日) r a e , ) 伊+ 瓦( 目) 伊瓦( 巨) ) 1 7 ：= ( 霹【2 k 砭( 局) 巨瓦( 局) + q ；【2 k 巨五( 互) 瓦( 目) + 磊【2 k 矿瓦( 易) ) 一【2 】i ( 酲【2 k r a e , ) 瓦( 目) 局+ 程【2 k 互瓦( 目) 五( 互) + 玩【2 k 伊瓦( 弓) 矿) + ( 碰【2 】七五( e ) 五( 置) 巨+ 酲【2 l 瓦( 弓) e 瓦( 巨) + 靠【2 k 瓦( 目) 矿) 1 7 3 = ( q h 4 k 妒置瓦( 日) + 酲【2 l 【2 k 巨伊瓦( 弓) ) 一【2 l ( 馥 4 k 伊瓦( 弓) 巨 + 靠【2 l 【2 he 瓦( 局) 妒) + ( q “4 k 瓦( 目) 伊巨+ 靠【2 k 【2 k 瓦( 一) 巨伊) 1 7 。= ( 巩4 【4 】。【2 k + 毹1 2 】七 2 k 【2 k ) ( 砰瓦( 乃) 一 2 l 互瓦( 易) e + 五( e ，) 卑) 由引理3 5 和引理3 6 直接计算得： e n = 靠f i e + q ：i - i ：群1 ( 3 2 2 ) 其中1 7 ：= 巧( 巨) 盯一【2 】，瓦( 巨) 巧五( 互) + 巧巧( 互) 由( 3 1 7 ) 和( 3 2 2 ) 可得： e e i i = 碰i - i e e + 毹e n ：何1 + 靠1 7 。e 瓦 e e n = g ：h e 乓+ g ：i - i ：点i 1 + 最兀。瓦 两式相减，得： q 1 7 = 醛n q + ( 靠i - i ，e e i i 。) + g ：( 最n ：一n ：e ) 群1 ( 3 2 3 ) 由引理3 4 ，引理3 5 ，引理3 6 和引理3 7 计算得： e i 7 ：= 兀：巨+ 【2 k n + n ： ( 3 2 4 ) 1 7 四川大学硕士学位论文 其中：f i ：= t a e , ) 尹巧+ q i 2r p 瓦( e ) 甜一【2 】。r a e , ) 万妒一 2 1 ，g 妒缸r a e , ) + 巧r a e , ) 妒+ q ；2 巧妒r a e , ) 由( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 司得： qn = 税f i q + ( 蠢n 。e e 1 ) 置+ 靠( 【2 k i i 1 4 - ：) ( 3 2 5 ) f k f l w = q ：n 。e + n 嚣6 - 2 + 酲n ：f ( 3 2 6 ) 由( 3 1 8 ) 和( 3 。2 6 ) 得： 最驵= 靠巨n 。最+ 焉6 - 2 乓n + g ：巨n ：f = q ：兀。e 七e + n ：e 以+ q 吼：- 一q 靠- k 2 。e 。n + g ：e 兀t ：1q k q k 。 最最n = 靠e n 邑- i - 五n ：墨 = 旌n ，驰+ 最n ：墨+ 靠羚6 - 2n e + g ：n ：巨耐 两式相减： q k i t = 爵兀。q + ( 兀：e 一五n ：) 心+ 豢6 等- 2n ，k + 靠( e n ：一 ：最) 何1 ( 3 2 7 ) 其中： n ：= r a e , ) 伊刃+ 妒r a z , ) 一 2 1 ，r a e , ) 玎伊一 2 】妒巧r a e , ) + 万r a e , ) 伊+ 矿刃妒瓦( e ) 由引理3 4 ，引理3 5 ，引理3 6 和引理3 7 计算得： 玩：= f i ：e - 4 - 靠2 2 kf 1 1 + 2 ln ：墨 ( 3 2 8 ) 萁中： 1 8 四川大学礤士学位论文 h ；= 靠。( 伊2 万一【2 】，妒口妒+ 口伊2 ) + g ；瓦( 巨) 巨巧+ q ，巨瓦( 巨) 口+ 酢【2 】，疋( 巨) 珂巨+ 靠2 2 】f 互巧瓦( 巨) + 蠢西瓦( 巨) 互+ 酊2 万互瓦( 局) 由( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 得： q kh , = q ：n ，q + ( ：最一e n ：) 墨+ 尝6 专- 2n 瓦+ ( 靠【2 】。n 何 + z 【2 kh ；) f k l i , = l - l , 五+ 垡警n + z 【2 】i n e ，n 。- 1 由( 3 1 9 ) 和( 3 2 9 ) 得 最帆= 毛n ：e + 警驰+ 卯m ；巧 ( 3 2 9 ) = 旭e e 增兀，e 墨+ 警晒+ 加m n ；断 e e l l ：= 靠最n ：臣+ e i i ，墨 2 旭e 邑+ 五i - 1 3 托+ 酲鼍挚喁+ 卿柚；e 掣 口b 一口。 两式相减 q h 2 = 酲1 1 2 q +( 甄：n ，最一最n ，) k + 垒! ! 单：墨 q k q k 。 + 蠢 2 k ( 乓h ；一h ；巨) 巧 由引理3 4 ，引理3 5 ，引理3 6 和引理3 7 计算得： e h ；= 1 1 ：最+ h ：+ n ：k 其中： h ：= ( 靠+ 磊+ 1 ) 伊巨刃+ ( 靠+ 铲+ 1 ) 巨伊r r + 2 1 ；( 靠一靠- - 1 ) 伊苟巨+ 2 ，( g ；2 一玩- - 1 ) 互万伊 1 9 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 四川大学硬士学位论文 + ( + q 2 + 1 ) 巧巨妒+ ( 靠+ + 1 ) i 7 伊巨 把( 3 3 1 ) 代入( 3 3 0 ) 得： q t l 2 2 = - 靠1 7 2 9 + ( 萨n ，e 一驵) 墨+ 等r 1 2 墨 + 2 k ( 1 2 2 1 + q ：r i ：) f k l 1 3 - - - = 矿1 2 3 最+ 警n 2 + 【2 】。棚列 ( 3 3 2 ) 由( 3 2 0 ) 和( 3 3 2 ) 得： 巨e1 2 3 = q 产e1 2 3e + 警巩峨g ：驰f = n ，邑e + q f l 2 4 最k + 互警邑n ：+ 2 】t 酲巨n ：巧1 e 巨1 2 3 = q ：e 1 7 3 e + e 1 2 4 甄 - n 3 层e + e 1 1 4 瓦+ 靠好r 1 2 毛+ 2 】 勰乓列 两式相减得： q 。1 1 3 = i - 1 3 9 十( n 。e e n 。) 瓦+ 重警n 3 缸 + 【2 】tq 4 ( e h ：一1 2 ：戽) 1 ( 3 3 3 ) 由引理3 4 ，引理3 5 ，引理3 6 和引理3 7 计算得： 最1 2 ：= 1 2 ：乓+ 1 1 3 + 1 2 ：甄 ( 3 3 4 ) 其中r i ；= ( 靠+ 税+ 2 酲+ 霞+ 1 ) e j 万+ ( 靠一醛一2 税一靠+ 1 ) 巨口互 + ( q ：+ 靠+ 2 q ：+ q ：+ 1 ) 河e i 扣( 33 4 ) 代入( 3 3 3 ) 得： 2 0 四川大学硕士学位论文 q n 3 = n 3 9 +( q f n , 最一e n 。) 丘+ 互警i - 1 3 疋 + 【2 】。z ( i i ，f + 1 1 ：) y kr 1 4 = q i 4 n 最+ 等3 + 【2 埘n r - 1 ( 3 3 5 ) 由( 3 2 1 ) 和( 3 3 5 ) 得： 乓最n = 毛l i , 五+ 等墨巨，+ 【孔g ：乓n ；茸1 = q ；2 1 - i 4 墨最+ 籍鹕憾靠乓n 矧 最e 1 i 。= 靠最1 - i 。毛 = 。e 毛+ 靠孚。二鲁- zn ，乓+ 2 l 菇n ：e 何1 q k q k qr 1 = 铲i i 。q1 - 1 4 墨+ 2 1 程( & 1 - i ：一i - i ：e ) 1 ( 3 3 6 ) 由引理3 4 ，引理3 5 ，引理3 6 和引理3 7 计算得： 最兀：= f i ；& + 酊”1 1 4 把( 3 3 7 ) 代入( 3 3 6 ) 得： q k l - 1 4 = q 旭幺+ 籍1 1 4 瓦慨f 1 4 掣 了q：-2_q：qkq kn 倒= 慧q k 。巧 一 一吼 可推得：1 i 。= 0 而由 耳2 e 一局弓巨+ 耳2 = 0 可算得： ；= 4 l ( 靠毛( e 2 局一 2 1 ，巨巨+ 目砰) 2 l ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 翳 + 四川大学硕士学位论文 + 靠( 砰t 一【2 】，巨e e + e 彰) e k ) = 0 由n = o ，；= 0 及( 3 3 5 ) 可知n 3 = 0 ，再由( 3 3 2 ) ，( 3 3 4 ) 和( 3 1 9 ) 可推得n ：= o 和y i 2 = o ，由( 3 2 9 ) ，( 3 3 1 ) 和( 3 1 8 ) 可推得n ；2 0 和n i = o ，由( 3 2 4 ) ，( 3 2 6 ) 和( 3 1 7 ) 可推得n ：= o 和n = 0 证毕r a 命题3 4 当七f ，k * j 1 t a , j = - 2 时，有： 瓦( 巧3 ) 瓦( e ) 一瓦( 9 2 ) 瓦( 髟) 瓦( 巨) + 疋( 互) 五( 日) 瓦( 耳2 ) 一正( 弓) 瓦( 碍3 ) = o ( 3 3 9 ) 有以下2 种情形： ( i ) 2 20 ( i i ) = 一1 且= 0 或口舡= 0 且2 1 ( i i i ) = 2 且2 0 或5 0 且2 2 ( i v ) = 2 且= 一1 或= 一1 且2 2 ( i ) 的证明显然，以下分别是( i i ) ，( i i i ) 和( i v ) 的证明 ( i i ) 的证明： 去证 露( 巨) 目一( q ? + g i 2 + 1 ) 彳( e ) er a e , ) + ( 酽+ 鼋2 + 1 ) 瓦( 巨) t 彳( 互) 一露( 巨) = 0 令o = 露( e ) 目一【3 】，砰( 局) 目瓦( 巨) + 【3 】，瓦( 互) 弓巧( 置) 一巧( 巨) 引理3 8 ：( a ) e r a e , ) = q ir a e , ) e 证明：由群巨一( 吼+ 靠1 ) ee 臣+ e 露= o 知e 五( e ) = e k ( 一e ke ? + q ：e ? e k ) = qk ( 一e ke l + q i le | e k ) e k 2 q kt k ( e 0e k 。 四川大学硕士掌位论文 证毕。d ( b ) 墨7 a e , ) = q 。五( 巨) 墨 证明：直接计算可得。证毕。口 ( c ) 五瓦( 局) = 7 a e , ) 五一e 巧1 证明：由 盈，e = q 和 e ，互 = 0 ( 。= - - 1 ) 知e 7 a f t , ) = e ( 一置巨+ 靠1 蜀巨) = ( g 一乓最) 互一靠e ( q 一乓e ) = ( 一巨蜀+ 酊1 局乓) e 一局巧1 = 瓦( 局) 最一局巧1 。证毕。口 ( d ) 五军( 置) = 砰( e ) e 一( 互( 置) 互+ 靠e 瓦( e ) ) 茸 证明：由( c ) 可得。口 ( e ) e 刁( e ) = 露( e ) 五一( 砰( 巨) e + 酊7 a e ，) 巨7 a e , ) + 巨彳( 互) ) 巧1 证明：由( c ) 、( d ) 可得。口 由引理3 8 ( c ) 、( d ) 和( e ) 直接计算得： e 0 = 0 e + 0 l 群1 ( 3 4 0 ) 其中o 。= 一( 巧( 巨) 蜀+ g 一7 a e , ) 置瓦( 互) + g e 露( 巨) ) 日 + 【3 】，(