（工程力学专业论文）杂交应力元法在预应力构件切削计算中的应用.pdf

浙江大学硕l 学位论文( 2 0 0 i ) 摘要 本论文首先对两种常用的杂交应力元进行罚平衡后处理优化，以克服 经典平面4 节点p - s 杂交元和三维体18 p 杂交元计算中的伪剪应力等问题， 大大提高了杂交元的性能。详细推导了杂交元优化模式( o p c 条件) ，得出了 适于程序编写的优化计算公式。计算切削载荷使用基坑开挖中常用的m a 。 等效丌挖载荷公式，并在此基础上编制了相应的切削过程的杂交元计算程 序。对典型的切削算例进行了墼焦盐蔓，从中可以看出切削加工过程对蔓里 垄塑性的应力和位移情况的影响。计算单元采用的即是前面推出的罚平衡优 化单元。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) a b s t r a c t t oi m p r o v et h en u m e r i c a lp e r f o r m a n c eo ft h e r e s u l t i n g e l e m e n t ，t h eh y b r i de l e m e n tm e t h o d o l o g yc a nb ec l a s s i f i e da s t h ep r e t r e a t m e n t p o s t t r e a t m e n ta p p r o a c h e s a sa na l t e r n a t i v e w a yf o rt h eo p t i m i z a t i o no fh y b r i d ，t h ep e n a l t y e q u i l i b r a t i n g a p p r o a c h i s s u g g e s t e di n t h ep a p e ri nw h i c ht h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n i se n f o r c e dt ot h e i n d i v i d u a le l e m e n t s d i r e c t l y a o p t i m i z a t i o nc o n d i t i o n ( o p c ) f o r m u l ao ft h eh y b r i de l e m e n ti s p r e s e n t e df o r t h e c o m p u t e rp r o g r a mi n t h e p a p e r ah y b r i d e l e m e n tm e t h o d s c o m p u t e rp r o g r a m ，w h i c hi sb a s e do nt h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o do fe x c a v a t i o np r e s e n t e db ya i m a n a ， i sm a d et os i m u l a t et h ee x c a v a t i o ns ot h a tw ec a nk n o wh o w t h ee x c a v a t i o ni n f l u e n c et h e d i s p l a c e m e n ta n ds t r e s s o ft h e c o m p o n e n t t h eh y b r i df i n i t ee l e m e n tu s e di nt h ep r o g r a mi s t h eo n et h a ti s o p t i m i z e d w i t ht h e p e n a l t y - e q u i l i b r a t i n g a p p r o a c h 2 浙江大学硕上学位论文( 2 0 0 1 ) 1 1 研究概况 第一章绪论 由于传统的位移协调元各方面的局限性日益突出，1 9 6 4 年开始出现了 以基于多变量广义变分原理的多变量有限元。六十年代中后期，th h p i a n 正式提出杂交元的概念。当时的杂交应力元是由一个修j f 的余能原理 来推导的1 4 1 ，其基本设定是单元内的平衡应力以及单元边界上的节点位移插 值，进一步引用变分法可把应力参数在单元内消除，从而得到单元刚度矩 阵。这样最后的矩阵方程未知量就只有节点位移。后来常把所有采用多变量 方法建立，但最后的矩阵方程未知量只有节点位移的有限元法统称为杂交元 法。最初几年，杂交应力元的应用仅限于k i r c h h o f f 平板单元的建立，因为 用这个方法可以避免采用位移协调元时在场变量及其一阶导数连续条件下构 造单元域内的位移插值的巨大困难。几年之后，它才被发现应用于平面和三 维计算时，还可以避免剪切自锁和不可压缩自锁的困难。t o n g 和p i a n 发现 只要假定的单元内应力是平衡的，杂交应力元也可以由h e l l i n g e r r e i s s n e r 泛函来推导1 5 1 。1 9 8 0 年以后杂交应力元有了新发展，c h e n 和p i a n 运用等参 坐标来表示单元应力 6 1 ，以至于在使用h r 原理推导时，连平衡条件也不 必考虑了。与位移协调元相比，杂交应力元具有应力精度高，对单元几何畸 变不敏感等优点。 1 9 8 4 年，p i a n 和s u m i h a r a 发表了一个性能优越的4 节点平面应力应 变杂交元”1 ，它具有无零能模式、无方向性、数值解稳定且方程参数少等优 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 i ) 点，受到广泛的欢迎和采用。但p s 元和其他许多非协调元一样，其弯曲解 总是伴有不合理的伪剪应力，以致单元的弯曲变形能力受到很大限制。 1 9 7 3 年，w i l s o n 9 j 等人为了克服单元伪剪应力而提出附加单元内位移的非 协调元。w i l s o n 元在模拟弯曲问题时具有极佳的效果，但它却存在着不收 敛的问题。为解决w i l s o n 元的收敛性问题，许多学者对它进行了改进，得 到若干收敛的修正w i l s o n 元，如：石东洋、陈绍春的改进w i l s o n 任意四边 形元( 9 1 ，p l e s a i n t 、m z l a m a l 1 0 l 和李墉、吴长春等的四边形非协调新模式 ”，可是效果不佳。对此，c r i s f i e l d 采用在单元内使用虚应力原理，在整 体结构使用虚位移原理构造了一种新型的任意四边形单元。而为了解决p s 元的伪剪应力问题，p u n c h 和a t l u r i 【“1 、s i m o 和r i f a i i ts 、w e i s s m a n 和 t a y l o r ”1 、y u a n 和h u a n g 17 1 、b o u z e g h o u b 和g u n n t l 8 1 等人均对其进行了改 进，虽然采用了各种不同的变分原理、单元试解和推导方法，但是所得结果 也并不理想。因此，吴长春1 建议对p s 元进行后处理优化，以便从根本 上解决单元的剪切自锁等问题。试算表明这是种非常适用方法，改进后的 罚平衡优化单元性能得到极大的提高。同样，对三维杂交元采用罚平衡优化 的后处理方法也能收到很好的效果。本文的计算即采用吴长春方法进行有限 元计算。 金属构件的切削过程的计算类似于土木工程中的基坑开挖过程。目前用 于基坑开挖计算的本构关系大致分为四大类：线弹性模型；非线性弹性模 型：弹塑性模型和粘弹性模型【4 4 1 。其中，非线性弹性模型，尤其是 d u n c a n z h a n g 模型在基坑开挖分析中占主导地位。相对于基坑开挖，本文 涉及的金属材料构件的切削不用考虑土的流变性等问题，但不可避免地涉及 到塑性变形的问题。然而对以弹性变形为主的构件，切削的塑性区域很小， 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 根据圣维南原理，采用弹性模型计算远离切削部位的应力和变形，依然可以 有一定的精确性。然而必须指出的是，塑性变形的不可逆性对加工件的影响 是不能忽视的。本文作为算法检验和切削过程的初始模拟，采用线弹性模型 仍是可取的。在切削过程中，由于初始应力场的存在，所以切削计算中最重 要的就是切削载荷的计算。1 9 7 4 年，c h a n d r a s e k a r a n 和k i n g 提出用叠加计 算等价力的方法，切削载荷由切削面下单元的单元刚度矩阵与相应位移增量 乘积之和计算。m a n a 于1 9 7 6 年提出的适用于三维单元等效切削载荷的计 算法则是目前最常用的一种，本文中即是采用的m a n a 等效载荷计算法。 1 2 本文主要工作 1 在文 1 i 】的基础上，对平面4 节点p s 元和三维体18 p 杂交元的应 力优化模式重新进行了详细推导，校核了公式，将两种实用的杂交元的罚平 衡后处理优化公式整理完全，使其更方便用于编程计算。 2 把杂交应力元成功运用于切削加工过程的数值计算，编制了相应的 杂交元计算程序。其单元库包括4 节点w i l s o n 非协调元、p s 平面5 b 杂交 元和罚平衡p s 平面元等平面单元以及w i l s o n 三维非协调元、优化18 b 杂 交元和罚平衡优化18 d 杂交元等三维单元。程序中采用m a n a 的方法进行等 效切削载荷计算。并对金属材料切削的典型例子进行了数值计算。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 2 1 有限元概述 第二章杂交应力元法 有限元法是利用数值计算的途径求解力学问题近似数值解的一种方法。有 限单元法的基本思想是：将一个连续体离散化，变换成为由有限数量的有限大 的单元体的集合，这些单元体之间只是通过结点来连接和制约，用这种变换了 的结构体系代替原来真实的连续体之后，采用标准的结构分析的处理方式后 数学上的问题就很自然的归结为求解线性方程组的问题了。这种近似是物理上 的近似，也是与通常应用的差分方法不同，后者是对一个物理方程的精确方式 用近似的数学方法求解。 具体的分析过程如下，分为六个步骤 1 、结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限 单元法的基础概念。所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限 个单元体，并在单元体的指定点设置结点，是相邻单元的有关参数具有一定的 连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。如果分析的对象是 桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来 就是由杆件组成的。但如果分析的对象是连续体，那么为了有效的逼近实际的 连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元的数目等问题。 2 、选择位移模式在完成结构的离散后，就可以对典型的单元进行特性分 。， 析，此时为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问 题是，必须对单元中的位移分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某 种简单的函数。这种函数称为位移模式或插值函数。 ， 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 选择适当的位移模式是有限单元法分析中的关键。通常选择多项式作为位 移模式，其原因是多项式的数学运算( 微分和积分) 比较方便，并且由于所有 光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择，则 要考虑到单元的自出度和解的收敛性要求。一般来说，多项式的项数应等于单 元的自由度数，它的阶次应包含常数项和线性项等。这里所谓的单元的自由度 是指单元结点独立位移的个数。 根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任意一点位移 的关系式，其矩阵形式是 f ) - 【n 】 j ) 。 式中 厂 一单元内任一点的位移阵列； 6 ) 。一单元的结点位移阵列； j v 一形函数矩阵，它的元素是位置坐标的函数。 再次，我们顺便指出：有限单元法比起经典的近似法具有明显的优越性。 例如在经典的里兹法中，要求选取一个函数来近似地描述整个求解区域中的位 移，并需满足边界条件，而在有限单元法中则采用分块近似，只需考虑单元之 间位移的连续性就可以了。这样做当然比起在整个区域中选取一个连续函数要 简单得多，特别是对于复杂的几何形状或者材料性质、作用荷载由突变的结 构，采用分段函数，就显得更是合理和适宜了。 3 、分析单元的力学特性位移模式选定以后，就可以进行单元的力学特性 的分析，包括下面三部分的内容： ( 1 ) 利用几何方程由位移表达式导出用结点位移表示单元应变的关系式 占) = 例 们。 式中f 占) 单元内任一点的应变列阵； 浙江人学硕士学位论文( 2 0 0 i ) 【口卜一单元应变矩阵。 ( 2 ) 利用本构方程，由以上的应变表达式导出用结点位移表示单元应力的 关系式 盯 = 【d 】 b 】f 万 。 式中 a ) 一单元内任一点的应力阵列； 【d 一与材料有关的弹性矩阵。 ( 3 ) 利用变分原理，建立作用于单元上的结点力和结点位移之间的关系 式，即单元的平衡方程 f ) 。= 【 。 田。 式中， ) 。称为单元刚度矩阵，在以后将导得 时= 且b ， d b d x d y d z 上式的积分应遍及整个单元的体积。 利用变分原理还同时导得等效结点力 一。 4 、结合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程。这个集合过程 包括有两个方面的内容：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体 刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力阵列，集合成总的荷载列阵。最 常用的集合刚度矩阵的方法是直接刚度法。一般来说，集合所依据的理由是要 求所有相邻的单元在公共结点处的位移相等。于是得到以整体刚度矩阵 k 】、 载荷阵列【f 】以及整个物体的结点位移阵列 占) 表示的整个结构的方程 k 】 j - f ) 这些方程还应考虑几何边界条件作适当的修改之后，才能解出所有的未知 结点位移。 8 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 5 、求解未知结点位移和计算单元应力由集合起来的方程组【k 】 巧) = f ) 解 出。在线性平衡问题中，可以根据方程的具体特点选择合适的计算方法。 最后，就可以利用公式( k 田= f ) 和已求出的结点位移计算各个单元的应 力，并加以整理得出所要求的结果。 对以势能原理为基础，以假设单元位移为特征的位移有限元法而言，保证 数值解收敛的基本条件是： 1 ) 位移试解满足完备性要求，即试解应能反映单元的刚体位移，能再现 单元的常应变应力状态。 2 ) 位移试解满足连续性要求，即试解不但在单元内是片状连续的，而且 它在单元问也要保持一定的连续性，以保证离散系统的能量泛函全域可积。 以下用只表示m 阶完全多项式的函数集合，用c ”表示场变量自身及其各 阶导数( 直至椰阶) 在系统全域上为连续的函数集合。如果势能函数中场变 量“的最高阶导数为m 阶，则按协调元理论，条件( 1 ) 要求“己，而条件 ( 2 ) 则要求“c ”1 。条件( 1 ) 对任何类型的有限元来说都是必须满足的。 满足了条件( 2 ) 的位移有限元通常简称为协调元，反之则称为非协调元。 2 2 杂交元简介 如果有限元的基本场变量除了位移以外，还包含应力、应变或其它相互独 立的未知函数，则称这类有限元为多变量有限元。一般将采用多变量方法建 立、但最后的矩阵方程的未知量只有节点位移的多变量有限元法称为杂交元 法，而将采用多变量方法建立、且最后的矩阵方程的未知量里包括不止一种未 知量的多变量有限元法称为混合元法。 浙江人学硕j 学位论文( 2 0 0 1 ) 杂交元包括杂交应力元、杂交应变元和杂交位移元。其中发展最早、应用 最多的是杂交应力元，它以假定单元应力试解为基本特色。本文采用的杂交应 力元是由一个修正的余能原理来推导的1 1 1 。列式的步骤是单元内假定平衡的 应力，用几个参数来表示，同时在单元边界上用节点位移插值。引用变分法可 把应力参数在单元内消除，从而得到单元刚度矩阵。 系 对一规定了单元边界s ：上的位移订的典型单元e 有余能泛函： 兀：= f ，j 1 。r s o d 矿一t 7 西出 相应的最小余能原理兀：= r n i n 的使用条件是单元应力仃满足下面平衡关 d ”o + 一f = 0 在v 。内( 1 1 ) t ( 2r lo ) = t 在彤上 ( 1 2 ) 其中l 和l 分别为v 。内和s ；上的已知分布载荷。另一方面，对一离散体 系而占，系统余能兀。= 兀：，相应的最小余能原理的使用条件除了 ( i i ) 、( 1 2 ) 外，还要求相邻单元a 和b 间的表面力平衡，即： t 。+ t6 = 0 在s 。 ( = v 。n v 6 ) 上( 1 3 ) 为了放松单元表面力的平衡约束( 1 1 ) 、( 1 2 ) ，定义单元边界位移酉 为l a g r a n g e 乘子，并规定在s ：上：疗2 玎，以此可把兀：修改为： 丌：，2 丌：t ( t 一! ) 7 万凼一l r 万幽 = c 暑。d 矿一l ，t7 订凼一是1 7 盯幽( 1 a ) 其中单元表面积分域a 矿8 = s ：u us 。上式即为卞学璜1 2 1 1 9 6 4 年 建立杂交应力元时最初采用的修正余能公式。兀。兀。( o ，彳) 是一个 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 二类变量泛函，该泛函取驻值的必要条件是：1 ) o 满足平衡方程( 1 1 ) ；如 果把已知分枷载荷l 影响直接并入单元等效节点载荷向量，则只要求a 满足 齐次平衡方程d 7 o = 0 ；2 ) 石c o ，由于历定义在单元边界a 矿。上，其连续 性很容易实现。 现给出基于兀：。的杂交元列式。定义单元内的平衡应力试解 在v8 内 ( 1 5 ) 其中p 为单元应力参数，是同单元一一对应的局部参数。对应( 1 5 ) 的单元 表面力可表示为： 在d v8 上( 1 6 ) 定义单元表面上的位移试解 石= 丙q在a 矿。上( 1 7 ) 这是以节点位移q 为参数的插值函数。将以上试解引入泛函式( 1 4 ) ，得 兀：。= 妻b7 i 旧 酽g q + q 7 q ( 18 ) h 5 f 。m 7 s 巾d v g = f面7 而d s 占v 。 n | td s 其中q 为对应q 的等效节点载荷向量。利用泛函驻值条件a 兀：。ab = 0 ( 这实际上是在单元一级使用最小余能原理) 得 ( 1 9 ) 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 代回至( 1 8 ) ， 兀：。= 一言a x 。a + a 7 q 其中 k 。= g 7 h 。g( 1 1 0 ) 即为要求的杂交元单刚。 基于兀：。 ( 1 4 ) 的杂交应力元有以下特色： 1 ) 万只出现在单元边界a 矿。上，所以很容易实现单元间的位移协调性 要求，这对于克服板壳元中要求挠度一阶导数连续( 即孑c 1 ) 的困难十分有 意义。因此早期的杂交元多数用于板壳弯曲问题。 2 ) 为了事先满足平衡方程，单元应力试解总是用卡氏直角坐标来定 义，即取0 = 0 ( x ，y ，z ) 。在这种情况下，如果0 多项式含有不完备的成 分，则会导致单元的方向性，即单元的性能会依它在系统坐标系中的防卫变化 而变化 2 2 1 。 3 ) 在单元一级使用最小余能原理是这类杂交元的最大特点，记由此导 得的杂交元单刚为k ：，同时记由最i j 、势能原理导得的位移协调元的单刚为 k ：，则对应确定的单元节点位移q 存在下列能量不等式： 圭a7 x ：。s 吉a7 x ：a 三a 7x e ，a ( - t ， 其中k ：对应精确解的单元真实刚度阵。上式可以简单表示为： k ：k ：k ： ( 1 1 2 ) 也就是说，k ：和k ：分别是单元真实刚度阵的下限和上限。因此使用基于 兀：。的杂交元可以明显的改善位移协调元数值解过刚的现象。 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 i ) 2 3 杂交应力元的优化( 前处理方法) 杂交有限元的性能可以借助于对单元引入非协调位移而改进 8 1 1 2 2 - 2 8 。一个 合理的发展杂交应力元的方法曾由卞和s u m i h a r a l 7 l 提出，其中与单元非协调 元内位移相关的平衡方程的弱形式被用作约束条件对应力试解进行前处理，结 果得到一个性能优越的5b 平面杂交元，但单元列式推导过程中需要对单元作 附加的几何摄动处理。对此，文献 2 9 提出了杂交元优化设计的新方法，文 献 3 0 对新方法中关于单元应力选择等问题进行了深入研究和讨论。本文采 用的是文献 3 1 从离散体系的能量相容分析出发，给出了单元设计的模式优 化方法，其核心内容是单元优化条件的提出和实施，结果导致杂交元的应力优 化格式的确定。 2 3 1 具有非协调位移的杂交元的能量相容分析 从非线性弹性力学中的h e l l i n g e r r e is s n e r 原理的离散形式13 2 丌始讨 论。如果位移边界条件已满足，一离敞系统的能量泛函可表示为 兀。2 兀： 莓 c ，侈。心o q - b ( 叫) ，矿 ( 2 1 ) 其中单元余能函数b ( c r , j ) = i 1s 州盯。盯m d 。= 盯，为第二p i 。1 a k i r c h h 。f f 应力张 量。通常( 2 i ) 式中的位移试解“，对系统全域v = u v 。而苦是相当协调的，即 f 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) “。c 。( 矿) ，而应力试解盯。则被允许为分片连续。问题是，当“，g c o ( 矿) 时的情 况如何? 类似于非协调元的分析方法 2 5 1 1 2 8 1 ，略去单元间位移间断性影响，直 接定义系统的能量泛函为各单元泛函之和： 兀= 莩 f 。阻1 + 。心溉叫叫 卅动o d s ( 2 z ) 其中“? 是由单元节点位移定义的插值函数，它是单元应力试解“的协调部 分。我们的目的是要找到某个条件，在此条件下有限元试解组( 口。，“，) 按 变分意义收敛于真解。无疑地，这个要求的条件必须与泛函兀的驻值条件 相致，使得虚功方程6 兀= 0 的能够成立e 把单元位移“，分离为协调部分”? 和非协调部分“? ，即： 虬= “? 十甜? ( 2 3 ) 这早“? 和“? 是线性独立的。把( 2 3 ) 代入( 2 2 ) ，对泛函作变分计算而有 6n ( 吒，“? ，“? ) 2 莩c ， 扣，帆广击咖，) 】峨如一晰) ， ( j “：+ 声“：) ) d v + ( ，。r 占“? d s + ，f 巧“? d s t f j “? d s ) ( 2 4 ) 这里，单元表面力： r 。 ，盯。( 4 。+ “。) 在a 矿8 上( 2 5 ) 注意到，对单个元素有关系式o v 。= s ；us ：us 。，其中s ：为规定了位移的单 元表面域，而s 。为相邻单元a 、b 的交界。位移边界条件是由虬的协调部分实 现的，口“，0 = 玩或占“，0 = o 在彰上。由以上关系，( 2 4 ) 式可改写为： 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 6 兀= f ， 【i 1 ( 虬，+ “。+ ，) s 州】括， d r 。( + ，) 】，( 毋“：+ 占“：) ) d v + 善。( 弘f “? 嬲 + l ( f 霉) 万“? 栅 + ， rj “6 d s( 2 6 ) 其巾f “和f 6 为单元交界上的一对表面力。由驻值条件8 1 - i 2 0 可得矿。内干【 s 。上的平衡方程，“，一盯。关系以及上的力学边界条件r = 亏。除此以外我 们还得另一类约束条件， 4 ，fj “? d s ；4 ，n ，盯。( 万。+ “，) 万“? d s = 0 ( 2 7 ) 这意味着广义力r 对于间断虚位移在各单元表面a 矿8 上所作虚功之和必须为 零。对个非协调离散系统而言，( 2 7 ) 是泛函兀取驻值的必要条件，网此 也是近似解合理逼近真解的必要条件，称之为非协调杂交元的能帚棚容条件。 可以证明，对于基本非线性；l u w a s h iz u 原理1 的三类变量有限元而言，如果 非协调位移试解被引用的话，条件( 2 7 ) 同样是必要的。 如果只考虑离散解的收敛性问题，则上述能量相容条件可简化为另一形 式，在有限元网格不断细分的极限情况下，即当网格步长h 斗0 时，各单元内 的应力盯，将趋于常量态a ；，相应地，条件( 2 r t ) 取一极限形式 ， 肛，盯二( j ，。+ “。) 占“? 搬一一- 0 ( h _ o ) ( 2 8 ) 浙江大学硕上学位论文( 2 0 0 i ) x t 于不含零能模式的杂交元、混合元系统而言，( 2 8 ) 是离散解收敛的充分必 要条件。但是它的应用往往需要抽象的数学分析，很不方便t 实际上可取它的 齐封闭形式作为收敛准则，即： ，盯二( 如+ 虬，。) j “? 嬲2 0 ( 2 9 ) 在线弹性的情况下( 2 9 ) 式简化为： ，。_ c 占“? d s = 0 ( 2 tl o ) ( 2 1 0 ) 式即是i r o n s 3 3 1 的分片检验条件( p t c ) 的数学列式，而( 2 9 ) 则是它 的非线性形式。p t c ( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 可以写成单个元的强形式，例如，对应 ( 2 1 0 ) 即有： v ，n a ；6u ? d s = 0 或等价地 4 ，n ，艿“? d s = 0 ( 2 1 1 ) 下面考虑一个更为实际的情况：h o ，即离散网格是有限时的情况。显 然这时能量相容条件( 2 7 ) 不可能仅由收敛准则( 2 9 ) 来实现。记单元高阶应 力 仃：。ou d ； 则满足( 2 7 ) 的一个附加条件为 旷 ( 2 1 2 ) ，盯q h ( 瓦+ z ，) 万“? d s = 0 ( 2 1 3 ) 对单个元则是 ， ，盯。h ( 巧。+ “。) 占“? d s 2 0 ( 2 1 4 ) 一 塑坚查堂堡主堂垡丝壅! ! ! ! ! ! 对于已经满足了p t c 的单元而言，即使它的几何尺寸是有限的，离散网格是 粗糙的，( 2 。1 4 ) 的满足也能使得能量相容条件( 2 7 ) 严格实现，以致改善或优 化了单元的数值性能。约束( 2 1 4 ) 被称为杂交元的单元优化条件( o p c ) 13 4 ， 对线性单元它简化为 ，。 ，口? 万“? d s = 0 ( 2 1 5 ) 可以证明，以上导得的p t c 和o p c 列式不但适用于卡氏直角坐标，也适用于 务种矿交曲线坐标。 2 。3 2 杂交应力元的优化方法 现将上述所得收敛条件p t c ( 2 1 1 ) 和单元优化条件o p c ( 2 1 5 ) 用于线弹性 杂交元的优化设计。定义单元应力试解 u 2 u q+u2n 口q + nz ( 2 1 6 ) q 是协调位移u 。的节点参数， 是以定义非协调位移u 。的单元内部参数，通 常单元内位移u 。= n 。x 并不通过分片检验，但是借助生成非协调元的一般公 式“1 可以方便地把它修改为满足p t c 的形式，记之为： u ：2n ：1 f 2 1 7 ) 另一方面，o p c ( 2 1 5 ) 可由一个优化了的应力模式o 来接受，现说明如下： 定义初始应力试解为 o2 由b ( b 为单元应力参数) ( 2 i 8 ) 上式可表示为常应力o 。和高阶应力o 。之和： 。= 。r + 。一2 咖c 臼。十中n 目一：口。十r 中- 击。， ：。 c 2 ，9 ， 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 其中我们规定d i m ( p ，) = d i m ( 旯) ，对应试解( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) ，0 p c ( 2 15 ) 有离散 型： 4 ，j “? n ，盯，hd s 2 6 u 7 n 。n d s = 6 7 m 。20 ( 2 2 0 a ) m = ，n ? n 击i 中f 。 a s 2 【m ，m i i 】( 2 2 0 b ) 上式提供了一组关于b 。的约束方程，即： m 1 3 h = m i 叫特。( 2 2 0 c ) 若行列式f m 。i 0 ，则p 。可由p 。表示并可从( 2 1 9 ) 式中消去，最终得要求的应 力优化模式： 示为 。+ = 。+ 。：= t - 巾：， ： = 击b + c 2 2 t ， 中：= 中i - 中im ：1m 。 如果不计入含已知外力的项，对应于u ：和o ，单元的能量泛函可以表 兀。( 。，u 。，u ：) ：= ， 。7 ( 。u 。+ i ) u i ) - 兰。7 s 。】d v 2 ，。【。7 ( d u q ) + 。+ ( d u ：) i 1 。+ 7 s 。】d v ( 2 2 2 1 其中d 为线性应变算子，s 为材料弹性矩阵。 与( 2 2 2 ) 式对应，存在着另一种可供选择的单元优化列式，取代上述事 先满足了p t c 条件的内位移u ：，一个满足p t c 的u 。将直接被采用。这时，单 元边界积分 4 ，。( n u 。) 7 u 。d s 0 ( 2 2 3 ) 塑垩查兰堡主兰堡堡奎! ! ! ! ! ! 一 p l 、c ( 2 11 ) 不满足。为了保证系统泛函的驻值特性不受破坏，保证解的收敛 性，我们将式( 2 2 3 ) 中的非零积分直接从相关的能量泛函中删去，于是得到 下列修正的能量公式， 兀8 ( 。+ ，u 。，u 。) = j ，【。+ 7 ( 。u ，+ d u a ) 一i 1 。7s 。】d v 一，( n 。) 7 u - 豳 = j ，。【。+ 7 ( d uq ) + 。_ ( 。u 。) 一圭。7s 。+ 】d v ( 2 2 4 ) 其中0 仍由( 2 2 1 ) 式定义。在第二种优化方法中，我们实际上是采用了常应 力乘子法 3 5 1 去放松p t c ( 2 11 ) 。 注意到在式( 2 2 4 ) 和( 2 2 2 ) 中，内位移u 。或u ：的阶次总是高于插值函 数u 。的阶次，而。h 是。的高阶部分。因此，相对于式( 2 2 4 ) 和( 2 2 2 ) 中的 第一项而言，兀8 中含有非协调位移的积分项是高阶微量，可以略去不计。 如此则可得到一个简化泛函式： 兀。( 。+ ，u 。) = ， 。7 ( d uq ) 吉。+ 7 s 。+ 】d v ( 2 2 5 ) 其中单元内位移u 。或l i ：不再出现。至此，杂交元的优化设计仅归结为一个 问题：怎样建立单元的应力优化模式0 。 上述杂交元的优化方法已成功地应用于各种弹性力学二、三维问题 3 0 1 ”】，轴对称体分析13 6 1 和板壳分析 1 9 l 2 ”。 o p c ( 2 1 5 ) 可以写成下面等价的矩阵形式： ( n 。) t i j a d s = 0 ( 2 1 5 a ) 注意到在卡氏直角坐标系下有关系式 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 i ) ，( n 。) t u a d s 2 f ；，。( d7 1 。) 7 u 。d v 十f ，。一t ( d u 。) d v 于是0 p c 可用下面一对约束方程来代替 且 j ，( d7 。) 7 u 。d v 2 i v ( d 7 。) 7 u 。d v = 0 ( 2 2 6 ) j ，。：( d u 。) d v = ，。t e 。d v = 0 ( 2 2 7 ) 条件( 2 2 6 ) 最初是由卞和陈在文献 6 中提出，文献 7 用此应力平衡约束辅 以对单元的几何摄动对初始。场进行前处理，得到了性能优越的p i a n s u m h a r a50 平面杂交元。另一方面，条件( 2 2 7 ) 由卞和董在文献 3 7 中提 出，文献 3 8 ，3 9 给出了利用此o 。一e 。正交约束对。场进行前处理的具体应 用。 如果联合采用平衡约束( 2 2 6 ) 和正交约束( 2 2 7 ) 有可能得到比采用0 p c 时更强的关于应力参数b 的约束方程( 2 2 0 c ) ，但有时则不能。例如，卞和吴 1 采用0 p c ( 2 15 a ) 无须几何摄动处理直接得到了 7 中的p - s51 3 应力模式， 而z i e n k ie w ic z 和t a y l o f l 4 0 联合采用约束( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 却得到了相同的结 果。 最后应当指出，约束条件( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 不适用于曲线坐标问题，因 此它们不能用于轴对称体和曲壳等类型的杂交元的应力优化处理，否则单元的 常应力与高阶应力将发生耦合，以至单元不能通过常应力分片检验，而约束条 件( 2 15 ) 和( 2 15 a ) ，即0 p c ，则可以直接应用于各种正交曲线坐标下杂交元 的应力优化处理”1 。 2 3 3o p c 的放松，非耦合应力模式 塑坚查兰堡主堂焦堡塞! ! 塑! ! 上面，o p c 的满足是通过对单元的初始应力。的前处理实现的，由此得到 的应力优化模式o + 必然是一个耦合型试解。在某些情况下，为了避免对应力 场的前处理，保持。的初始非耦合形式，应当设法将o p c 予以放松。考虑单 元的r e is s f l e f 型能量泛函 n ：( 。，u 。，u ：) = f ， 。7 ( d u ，+ d u ：) 一圭。7 s 。】d v ( 2 2 8 ) 其中非协调位移u ：已满足了p t c ，即有 ( 2 2 9 ) 但是单元尚不满足o p c ，即 ，。( n 。) 7 1 u ：d s 0 ( 2 3 0 ) 为了放松o p t ，可将上式中。沿单元边界上对u ：作的功从兀：中删去，即 得一修正泛函 兀纛( 。，u 。，u ：) = 1 - i ：( 。，u 。，u ：) 一，( n 。j 7 u ：d s ， 。7 ( d u 。) 一( d 7 。) 7u ：一了1 。7s 。】d v ( 2 3 1 ) 如果将式( 2 2 8 ) 中u ：改为u 。，即采用不满足p t c 的非协调位移，这日寸为同时 放松p t c 和o p c ，可取 n 纛( 。，u 。，u 。) = 兀：( 。，u 。，u 。) 一，( n 。) 7 u - 嬲 “ -_i o s 0 ) 一2 弛 q h o 一 g u _ e r o -_【 ， 一一 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 i ) 相对于式( 2 3 1 ) 及( 2 3 2 ) 中的第一项而言，由于我们不能判定兀：，。中 含u ：u 。的项是否为高阶微量，因此不应简单地将式( 2 3 1 ) 及( 2 3 2 ) 中含非 协调位移的项略去不计。 使用式( 2 3 1 ) 或( 2 3 2 ) 时，由于0 p c 条件已经被解除，不必对。进行 前处理，这就保持了单元初始应力场的非耦合形式和完备特性，这对于改善单 元内的应力合理分布十分有益。此外，非耦合应力模式的采用将使得单元柔性 矩阵( t t ) 的求逆可以十分容易地分块进行，以致节省了生成单刚的时间。 在使用公式( 2 3 1 ) 或( 2 3 2 ) 推导杂交元时有两点需要注意。首先，当 单元体内作用有分布荷载时，等效节点载荷的计算应该计入内位移u ：或u 。的 影响，即按形函数 n 。n 。 来分配分布载荷，否则单元内的应力分布情况得不 到改善。与此相反，在确定单元边界s ：上的分布载荷f 对应的等效节点载荷 时应按协调位移u 。分配，不得计入u 。的影响，否则解答不收敛。其次，关于 单元内位移参数 的凝聚问题。记( 2 3 1 ) 及( 2 3 2 ) 中含内位移的积分项为b ：g 。 ，那么可以证明，这类杂交应力元对于 的静力凝聚的充分必要条件是 g x = 0j 九= 0 ( 2 3 3 a ) 这个条件规定了内位移参数的个数( n 。) 不得多于单元高阶应力参数的个 数，即 n o j 1 = a 】b2 - a2b l j2 2a 2 b 3 一a3 b2 坐标变换( 5 13 ) 表示单元自然坐标的平移，因此不影响应力模式o + 的性 质，也就是说模式( 5 1 2 ) 与模式( 5 8 ) 是完全等价的【4 8 1 。采用应力模式( 5t 2 ) 叫# 点1 c s ，。， = c = 南纛： ( 5 浙江夫学颂 学位论文( 2 0 0 1 ) 对平面应力： 埘平面应变： e 0 5 e ，o ： ee 一二了 “ “ 。2 而 吲= 砺9 。e 叩o j o l i 脚r a ，1 。m 3 ： 旧 m ，= ( a ；+ b ；) 2 ( 3 j ；一j ：) r r l2 = ( a ；+ b ；) 2 ( 3 j ：- j ；) r f l3 = ( ( a l a 3 + b l b3 ) 2u oj ：】j lj2 4 1 2 p - s 元的罚平衡优化 与4 节点平面等参单元q 4 相比，p s 元具有精度高、相对单元几何畸 变不敏感等优点，与早期的4 节点平面杂交元相比，p - s 元又具有无零模 式、无方向性、数值解稳定并且仅含有5 个p 参数等优点。因此p s 元得到 广泛的重视和采用。p s 元的不足之处在于它的弯曲解总是伴有不合理的伪 剪应力，以致单元的弯曲变形能力受到很大的限制。当采用不规则计算网格 时，这种剪切自锁现象将f 分严重。 近年来许多学者 1 3 q s ”1 试图改进p s 元，发展更新更好的4 节点平面杂 交元。人们采用了各种不同的变分原理、单元试解和推导方法，但是所得结 果皆与p s 元相当，或对p s 元的解仅有极微小的改进。现将前面提出的关 于杂交元的罚平衡优化方法具体应用于p s 元的后处理，以便从根本上解决 p s 元的剪切白锁等问题。 如前所述，计入罚平衡项后，杂交元的单刚可表示为 ， 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) ke = g 7 ( h + 詈1 g 对p - s 元或与之相应的罚平衡元皆有 g = l 。中”( d n q ) td a h = l ，矿s 平+ t d a ( 5 1 7 ) ( 5 18 ) ( 5 1 9 ) 其中n 。和出分别由( 5 1 ) 式和( 5 8 ) ( 5 1 2 ) 式给定。( 5 1 7 ) 式中的单元罚平 衡矩阵为 h ，= f 。( a 由+ ) 7 ( a 中) t d a ( 5 2 0 ) 其中平衡算子 a = d = a0 呈 瓦旦2 0 a y _ u u x 注意到对4 节点膜元存在下列求导变换 a 1 。一 a r a 。一 砂 一b l b 27 臼i 十a 7 印j 0 鸳 a 0 r ( 5 2 1 ) 将关系式( 5 2 1 ) 计入( 5 2 0 ) 即可计算罚平衡矩阵。但是为了得到h 。的积分显 式，我们近似取( 5 2 1 ) 式中的j a c o b i 行列式为一常数，即令 t ，j “i j ( o ，o ) f = j 。于是导得p - s 元的罚平衡矩阵 0 j ( 砰牟弱耳诫a ：+ 曩硝i ，j ( d l a 3 + b ，b 3 ) ，1 j 2 ( 口；+ 霹) i ，；j ( 5 2 2 ) 孝考 也叫以d 卅 i i oo 旦砜 l i h 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 4 1 3 三维体1 8 b 杂交元 现将杂交元的优化方法应用于弹性力学三维问题，推导一个具有18 个 u 。= 萋 p q j 喜；c + 考善，c + 玎，叩，c ，+ f ，f ， i 。n ，q u 。= 蔓 = f 孝2 叩2 f 2 善2 玎2 f 2 掌：叩：f 。1 主 = n 。x ，旧1 o 。+ o 一= p 。+ 中一i中n ( 5 - 2 5 ) ( p nj 胁1 d 。= ； b 。蚓 办巩以如幻“ 、1，j 风办 ，、，l = b 塑兰查兰堡主堂堡堡兰! ! ! ! ! !一 【中，巾，。 n h 0 00 0f 0000 0ooo 0ooo o000 告0 00 00 00 00 0 卵 00 醋 00 00 00 oo 0 0 勃 0 玎 o r 5 2 6 ) ( 5 2 6 、式中n ，t ，n 三项的并入旨在抑制可能发生的单元零能模式 i = 喜；c t + 专善，c + 矾即，c ，+ f ，f ， i ； c s z ， 相应的j a c o b i 矩阵行列式如下 系数 j a 1 + a 4 印+ a 5 f + d7 叩f n 2 + d 4 十n 6 + n 1 a 3 + a 5 + a 6 r + a 7 q | b ( a ) 4 2 o o 善0 o o o o 0 叩o o o o 0 o 孝o o o 0 f o o o 玎o 0 o o o o o 0 o 掌 o o o 0 f o _jlrr_i q q 执；加 q ；q 浙江大学硕士学位论文( 2 0 0 1 ) 1