（流体力学专业论文）电场内带电射流的稳定性.pdf

摘要 摘要 本文研究了电场内带电射流的轴对称稳定性，也就是“曲张失稳。 电场内带电射流的稳定性问题是电流体动力学( e l e c t r o h y d r o - - d y n a m i c s ， e h d ) 研究的一个问题。它是流体力学的一个分支，考虑了电场与运动流体之间 的相互耦合。 电纺( e l e c t r o s p i n n i n g ) 和电雾化( e l e c t r o s p r a y ) 技术，作为电流体动 力学的应用，近年来受到了广泛的重视。 在电纺中，提高带电射流的稳定性，可制备半径更均匀的纳米或微米纤维； 进行电雾化加工时，降低带电射流的稳定性，可使射流破碎得更充分，得到雾 化程度更高的雾滴。因此，分析电场内带电射流的稳定性具有重要的意义。 本文采用粘弹性本构方程来描述高分子聚合物溶( 融) 液( 射流) ，建立 了轴对称射流的力学模型，推导出轴对称射流的控制方程，详细分析了外加电 场强度、射流电传导率、射流表面极化电荷密度、射流粘性及剪切弹性模量等 因素对射流轴对称稳定性的影响，并和不考虑弹性影响的结果作了比较。 此前对电场内带电射流的研究都局限于将射流视为粘性流体，而本文将电 场内的带电射流视为粘弹性流体，这是本文的一个创新点。 在射流电传导率趋于无穷、射流粘性为零的极端条件下，本文通过计算认 为，电场内带电射流具有长波不稳定性，而在相同条件下，此前与电场内带电 射流相关的文献认为射流在小扰动的波长很长时是稳定的。 最后，关于进一步工作的方向进行了简要的讨论。 关键词：带电射流，曲张失稳，粘弹性本构方程，电纺，电雾化 摘要 a b s t r a c t t h i sp a p e ra n a l y z e st h ea x i s y m m e t r i ei n s t a b i l i t y ( v a r i c o s ei n s t a b i l i t y ) o fa n e l e c t r i c a lj e ti na ne l e c t r i c a lf i l e d t h ei n s t a b i l i t yo fa ne l e c t r i c a lj e ti so n eo ft h eq u e s t i o n ss t u d i e dw i t h i n e l e c t r o h y d r o d y n a m i c s ( e r a ) ) e l e c t r o h y d r o d y n a m i c si sa b r a n c ho ff l u i dm e c h a n i c s ， i tc o n s i d e r st h ee f f e c t s c r e a t e db yt h ei n t e r a c t i o no ft h ee l e c t r i c a lf i l e da n dt h ef l u i d e l e c t r o s p i n n i n ga n de l e c t r o s p r a yt e c h n o l o g ya r et w oi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n so f e l e c t r o h y d r o d y n a m i c s t h e yh a v e b e e ns t u d i e dw i d e l yi nr e c e n ty e a r s e l e c t r o s p i n n i n gi su s e d t op r o d u c es m a l lf i b e r s d u r i n gt h ee l e c t r o s p i r m i n g p r o c e s s ，i ft h ei n s t a b i l i t yo ft h ee l e c t r i c a lj e tc a l lb ei m p r o v e d ，t h er a d i u so ff i b e r s w i l lb em o r eu n a n i m o u s e l e c t r o s p m yi su s e dt op r o d u c es m a l lf l u i dd r o p s i ft h e i n s t a b i l i t yo ft h ee l e c t r i c a lj e tc a nb ed e p r e s s e d ，t h ej e tw i l lb r e a ki n t om o r ed r o p s s o ，t h ea n a l y s i sa b o u tt h ei n s t a b i l i t yo f a ne l e c t r i c a lj e ti so f g r e a t i m p o r t a n c e t h i sp a p e ra d o p t sav i s c o e l a s t i cc o n s t i t u t i v ee q u a t i o nt od e s c r i b et h ej e t a m a t h e m a t i c a lm o d e lo fa na x i s y m m e t r i cj e ti se s t a b l i s h e d ，a n dt h eg o v e r n m e n t a l e q u a t i o n so ft h i sa x i s y m m e t r i cj e t a r ed e v e l o p e d t h ee f f e c t so fe l e c t r i c a lf i e l d s t r e n g t h ，e l e c t r i c a lc o n d u c t i v i t y , s u r f a c ec h a r g ed e n s i t y , v i s c o s i t ya n de l a s t i c i t ya r e a n a l y z e df o rt h ei n s t a b i l i t yo ft h ee l e c t r i c a lj e t ，a n dt h er e s u l t so b t a i n e dh e r ea r e c o m p a r e dw i t ht h er e s u l t sf r o me l a s t i cc o n s t i t u t i v ee q u a t i o n t h ee l e c t r i c a lj e ti ss e e m e da sav i s c o u sf l u i di nt h ep a s t b e s i d e st h ev i s c o s i t y , t h ee l a s t i c i t yo ft h ej e ti sa l s oc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r t h i si so n eo f0 1 1 1 d i f f e r e n c e s t ot h eo t h e r s t h i sp a p e rf i n d st h el o n g - w a v e si n s t a b i l i t yt h r o u g hc a l c u l a t i o nw h e nt h e e l e c t r i c a lc o n d u c t i v i t yo ft h ej e ti si n f i n i t ya n dt h ev i s c o s i t yo ft h ej e ti s z e r o u n d e r t h es a m ec o n d i t i o n s ，p a p e r so fe l e c t r i c a lj e ti nt h ep a s tc o n s i d e rt h a tt h ej e ti ss t a b l e w h e nt h ew a v e so fs i n a i lp e r t u r b a t i o n sa r el o n g f i n a l l y , t h ep r o b l e m sr e q u i r i n g f u g t h e rs t u d i e sa r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：e l e c t r i c a lj e t , v a r i c o s ei n s t a b i l i t y , v i s c o e l a s t i cc o n s t i t u t i v ee q u a t i o n ， e l e c t r o s p i n n i n g ，e l e c t r o s p r a y i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名： 年月 前言 问题的提出 前言 本文研究的是电场内带电射流的稳定性问题。 电场内带电射流的稳定性问题是电流体动力学( e l e c t r o h y d r o - - d y n a m i c s ， e h d ) 研究的一个问题。“电流体动力学 是流体力学的一个分支，考虑了电场 与运动流体之间的相互耦合，也可被看作是运动电介质中的电动力学。 电纺( e l e c t r o s p i n n i n g ) 和电雾化( e l e c t r o s p r a y ) 技术，作为电流体动 力学的重要分支，近年来受到了广泛的重视。 通常使用电纺( e l e c t r o s p i n n i n g ) 技术制备高分子固体纤维。在电纺中，高 分子聚合物溶( 融) 液被静电场拖动，从一个直径为毫米量级的喷口射入静电场 内，形成带电射流。射流凝固后成为固体纤维1 - 7 0 迄今为止，已有超过三十种 人造或天然的聚合物采用电纺的方法，被制成纤维。 电纺可制各直径达纳米级别的细小纤维。目前，聚合物纳米纤维已应用到诸 如过滤网、防护服、生物医药及复合材料等诸多领域，应用前景十分广阔。电纺 技术是制备纳米纤维的一种简单而有效的方法，有学者认为它是目前唯一简单高 效的方法。 电雾化是静电库仑力克服液体表面张力，导致液体破碎成细小雾滴的一个过 程。利用电雾化技术可产生各种不同尺度( 1 微米1 厘米) 、单分散 ( m o n o d i s p e r s i t y ) 的液滴。具备上述性质，电雾化技术在质谱仪、纳米材料 制备、农业、喷墨打印、燃油喷射和药物输送等领域被广泛应用。 进行电雾化试验时，将具有一定导电率的液体通向一根金属毛细管，毛细管 和另一金属平板间加直流高电压，毛细管出口处的流体受到重力、表面张力和电 场力的作用，在毛细管出口处，液体将形成一个稳定的弧形圆锥，当电场强度足 够大时，锥顶处将喷射出一股很细的射流，射流在末段破碎形成细小的带电雾滴。 电纺试验和电雾化试验类似。下面以平行板电容器试验装置为例，介绍电纺 试验。 进行电纺和电雾化实验时，都遇到了电场中带电射流的稳定性问题，在电纺 中，提高带电射流的稳定性，可制备半径更均匀的纳米或微米纤维；进行电雾化 加工时降低带电射流的稳定性，可使射流破碎得更充分，得到雾化程度更高的 雾滴。因此。本文的研究具有重要意义。 电纺试验简介 重k = = = 生d 图2 电纺试验时射藏的运动轨迹 澜 称带电射流的甩动为“甩鞭失稳”( w h i p p i n g i n s t a b i l i t y ) 。实验表明，带电 射流不仅会出现“甩鞭失稳”，而且在射流凝固前的直线运动阶段还可能发生轴 对称失稳。轴对称失稳会造成电纺固体纤维的粗细不均匀，过细处甚至可能断开， 见图3 。也称轴对称失稳为射流的“曲张失稳”( v a r i c o s e - - i n s t a b i l i t y ) 。 图3 电纺制各的粗细不均的纤维 研究历史和现状 许多文献对电场中的射流进行了描述。 d o s h i 和r e n e k e r 认为，带电的液体在喷口处形成泰勒锥( t a y l o rc o n e ) ，电 场足够大时，液体射流从泰勒锥项部喷出，在电场内被不断加速和细化1 。 电纺试验中出现的带电射流的失稳和电雾化试验中出现的射流的失稳有些 类似9 - 1 4 0 电雾化试验发现，带电射流存在几种不同的失稳模式。c l o u p e a u 和 p r u n e r - - f o c h 描述了这些失稳模式”1 6 j a w o 把k 和k r u p a 把这些失稳模式总结 为”： ( a ) 滴珠模式( d r i p p i n gm o d e ) ：球形的液滴直接从泰勒锥顶部脱离； ( b ) 纺锤模式( s p i n d l e m o d e ) ：带电射流在电场内部被拉伸成丝状细流， 且细流未破碎成液滴； ( c ) 振荡射流模式( o s e i l l m i n g j d m o d e ) ：许多液滴从和喷口相连接着的 弯曲射流上喷射出来； ( d ) 进动模式( p r o c e s s i o nm o d e ) ：带电射流从喷口射出后高速的甩动， 且射流未破碎成濠滴。 羹麴黧 前言 和电雾化相关的许多文献研究了从泰勒锥顶部射出的带电射流的性质1 8 - 2 5 。 m o r a 和l o s c e r t a l e s 分析了带电射流形成的电流与外加电压之间的关系2 6 。 上世纪6 0 年代，泰勒( t a y l o r ) 在一系列的文献中描述了带电流体的基本 理论2 7 - 3 0 泰勒认为，在研究大多数与运动流体相关的电现象时，假设流体是绝 缘体或导体都是不正确的。这是因为，处在电场内部的流体即使是绝缘体，其表 面也必然存在非零的极化电荷( 该表面极化电荷的密度可能很小) ，此时，只要 存在沿流体表面切向的非零外加电场，外加电场和表面极化电荷间的相互作用就 会在流体表面处产生非零的切向力，唯一可能平衡该切向力的就是由流体的粘性 产生的阻力，因此，流体必须不断运动。上述观点提出了著名的“漏电介质模型” ( l e a k yd i e l e c t r i cm o d e l ) ，采用该模型得到的理论结果和电场内对中性浮动粒 子进行拉伸得到的试验结果相符。s a v i l l e 对该模型进行了具体的分析”。 目前尚未有分析带电射流稳定性的理论结果可与试验结果进行定量比较3 2 。 上世纪7 0 年代，s a v i l l e 对处在和射流表面相切的外加电场内部，传导率为有限 值的圆柱体射流进行了线性的稳定性分析，从理论上预测到射流的一些特征，这 些特征和试验发现的特征在性质上是吻合的。例如，他预测到，射流同时存在轴 对称的失稳和“甩鞭失稳 。但其理论分析的结果和试验结果在量上存在较大差 异。例如，当射流为水、水流半径与泰勒在1 9 6 9 年试验2 9 时采用的射流半径相 当时，s a v i u e 预测，在小扰动的波长为l 2 7 1 2 个射流半径时水流是最不稳定 的3 3 ，这与试验发现的射流长波不稳定性直接矛盾。其理论分析结果和试验结果 之所以未能在量上相符，是因为他在分析时忽略了两个重要的因素：一是射流表 面存在电荷，二是射流半径是不断减小的3 3 0h u e b n e r 和h n c h u 对具有固定 表面电荷密度的射流进行了稳定性分析，在分析中假设射流的传导率趋于无穷、 外加电场沿射流表面的切向分量为零以及射流的半径为常数3 4 5 ，这些假设都和 实际情况不符。m e s t e l 在对射流的稳定性分析中考虑了射流表面存在的电荷，他 在分析时假设射流的粘性为零或趋于无穷，也未能解决理论结果与试验结果间的 偏差问题3 6 ，3 7 。 h o h m a n 等将射流视为粘性流体，分析了带电射流的轴对称失稳及甩鞭失稳， 他们得到理论结果也未能和试验结果进行定量的比较弼。 d a r r e l lh r e n e k e r 等提出哑铃模型( d u m b b e l lm o d e l ) ，假设射流为相互连 4 前言 接的带电小球，分析了电场内带电射流的运动轨迹3 9 。 本文的工作 本文研究了射流的轴对称失稳，也就是曲张失稳。目前，在研究轴对称射流 时，仅限于将射流视为粘性流体8 1 0 1 5 2 1 t 2 4 2 5 t2 吼3 2 - 3 8 。但是，高分子聚合物多 是粘弹性物质。对于高分子聚合物溶( 融) 液，除了粘性特性之外，还应该考虑 它的弹性特性。本文采用粘弹性本构方程描述高分子聚合物溶( 融) 液，分析了 外加电场强度、射流电传导率、射流表面电荷密度、液体的粘性以及剪切弹性模 量等因素对射流轴对称稳定性的影响。并和不考虑弹性影响的结果作了比较。 此前对电场内带电射流的研究都局限于将射流视为粘性流体，而本文将电场 内的带电射流视为粘弹性流体，这是本文的一个创新点。 在射流电传导率趋于无穷、射流粘性为零的极端条件下，本文通过计算认为， 电场内带电射流具有长波不稳定性，而在相同条件下，此前与电场内带电射流相 关的文献认为射流在小扰动的波长很长时是稳定的，这是本文和文献的不同点。 最后，关于进一步工作的方向进行了简要的讨论。 5 第一章电学基本概念 第一章电学基本概念 分析电场内带电射流的稳定性时，涉及到电学的部分知识。本章简单介绍本 文涉及的电学概念。 1 1 静电场 ( 1 ) 库仑定律：空间中的两个距离为，的点电荷q 1 和g ：之间存在相互作用 力。其方向沿这两个点电荷的连线。同种电荷相斥，异种电荷相吸。其大小与两 电荷电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。库仑定律的表达式是： 户：圭警三 ( 1 1 1 ) 4 嬲r | r 、。 式中，户是相互作用力，q 。和g ：是两电荷的电量，表示g 。和g ：之间的距离，尹 表示从q ，到q ：的矢量。二是比例系数，其中s 是空间中介质的介电常数或电容 、氕 率。 ( 2 ) 电场强度虏：电场中某处的电场强度定义为置于该点的单位正电荷所 受的电场作用力。如果在电场某处放置试验电荷g o ，它受到的电场力为f ，则 该点的电场强度为： 豆：互( 1 蚴 g o ( 3 ) 点电荷电场的电场强度：点电荷产生电场。设在点电荷g 所产生的电 场中的某点处放置试验电荷g o ，则吼受到库仑力户：圭孕二。该点处的电场 4 刀吕， 强度等于： 应= 专尹 ( 1 1 3 ) 4 7 耵3 、 。 ( 4 ) 高斯定理：电场内通过任一闭合曲面的雹通量等于这闭合曲面所包围 6 第一章电学基本概念 的电量的代数和的! 倍。其数学表达式是： 妒，西= 9 ，p s ， ( 1 1 4 ) 式中，s 是闭合曲面，口，是曲面内的第，个电量，占是电场介质的介电常数。 ( 5 ) 电势：静电场势保守场，存在电势。电场中p 点的电势定义为将单位 正电荷从p 点沿任意路径移动到电势零点的过程中，电场力做的功。一般规定无 限远处电势为零。p 点的电势按下式计算： 一一一 矿= le d l( 1 1 5 ) 毋 ( 6 ) 用电势表示电场强度：关系式是： e = 一v y ( 1 1 6 ) 电场中沿某方向厂的电场强度历等于电势在该方向上的方向导数再反号，即： e l - - - 一百d v ( 1 1 7 ) 倒 ( 7 ) 电介质的极化：除导体外，凡在电场中能与电场发生相互作用的物质 都称为电介质。在电介质内部没有能自由移动的电荷( 称自由电荷) ，所以内部 场强不为零。而在介质表面或两种介质的界面上会出现电荷，称为极化电荷。电 介质响应外电场而出现极化电荷的现象称为电介质的极化。 ( 8 ) 电场在介质界面处的连续条件有二： a 界面两侧电场强度的面内分量相等，即： 互，= 岛。 ( 1 1 8 ) 式中，r 表示界面内的任意方向。 b 界面两侧电场强度的法向分量满足以下关系： g l e l 。= s 2 岛一 ( 1 1 9 ) 式中，占。和龟表示界面两侧电介质的介电常数。 ( 9 ) 电场能( 体) 密度：单位体积中的电场能称为电场能( 体) 密度。在 介电常数为f 的电介质中，如果某点的场强为e ，则该点的电场能密度为： w = - - 三f _ e 一2 ( 1 1 1 0 ) w = ， 。 ( 1 l l o ) 7 第一章电学基本概念 1 2 电流 单位时间内通过导体截面的电量称为电流( 强度) 。从垂直于电流方向的单 位截面上流过的电流强度称为电流密度。只要导体内存在电场，就有电流。电流 密度，与电场强度雷之间存在关系： 歹= 髓( 1 2 1 ) 此式称为微分形式的欧姆定律。式中，k 是电导率。导体的电导率大，绝缘体的 电导率小。 8 第二章射流的数学模型及静电场 第二章射流的数学模型及静电场 建立射流的数学模型，如图2 2 1 所示。假设射流为极细长的轴对称的粘弹 性流体，射流不可压缩，射流密度为常数，射流的截面为圆形。本章研究射流内、 外部的电场。 2 , 1 射流内部电场的分解 射流流体是电介质，故电场中的射流内部有电场雷，表面有极化电荷。极化 电荷的面密度用表示。假设沿射流的中轴线放置z 坐标，沿半径方向放置，坐 标，则射流内部电场雷可分解为轴向分量e ：和径向分量e ，。 2 2e z 和e 之间的关系 沿射流表面内侧紧靠表面作一个轴向长度为沈的圆锥面s 作为“高斯面 ， 见图2 - 2 1 。因为在此高斯面内不包含电荷，故依高斯定理( 1 二1 4 ) 有： o = 妒么= 【( 砌2 e ：) + 2 n h e ， d zo = 稍e 刎= 【( 砌2 ：) + ， 岛 其中，乃表示射流半径，上撇号表示对z 求导。( 砌2 e z ) 。比是通过高斯面两 个底面的e 通量，2 n h e , d z 是射流内电场通过侧面的e 通量。从而有关系： 2 n h e , = 一( 砌2 置) ( 2 2 1 ) 9 第二章射流的数学模型及静电场 2 3 连续性条件 r i r 飞j il f 墨| l l l ll z 图2 2 1 射流数学模型 射流表面是射流与外部空气两种介质之间的界面。设界面场强的法向分 量为e ，切向分量为e f 。这里的“切向是指射流旋转对称表面的子午线的 切向。在图2 2 1 中画出了外部场强的法向和切向分量。本文中，符号上边带 横线表示该变量处在射流的外部区域。所以图2 2 1 中的符号带有上横线。因 为射流极细长，表面的锥度很小，所以可以近似认为玩e ，e 疋和 e 丘，丘丘。依连续性条件( 1 1 8 ) 知，在界面附近的两侧有： e = e ：( 巨= 巨) ( 2 3 1 ) 同理，依连续性条件( 1 1 9 ) 知，在射流表面附近的两侧有 2 4 极化电荷产生的电场 耳最：拿 ( 2 3 2 ) g 射流表面的极化电荷o r ，在表面外侧产生法向极化电场，而在射流内部 不产生电场。射流的圆形横截面如图2 4 1 所示。图中的圆形表示射流表面。 显然，表面附近外侧任意一点p 的场强来自轴对称分布的电荷元面和由的 l o 第二章射流的数学模型及静电场 贡献，故p 点的场强必然沿径向方向或表面的法向。这里，仍认为射流是极 细长的，故近似认为射流表面是圆柱面。又因为可以近似认为射流是无限长 的，故根据沿轴向的对称性同样可证，p 点的场强没有轴向的分量。 由 图2 4 1 极化电荷产生的电场 下边证明，射流外侧的极化电荷强度等于里。为了得到这一结论，贯穿 s 射流表面作一个垂直于射流表面的小闭合圆柱面作为“高斯面 。见图2 4 2 。 因为外部场强沿法向，故通过右方底面有通量或彳( 彳是底面面积) 。左底 面无通量，因为在2 2 中已经说明，射流内部无极化电场。通过圆柱侧面的e 通量为零，故依高斯定理( 1 1 4 ) 式，有关系或么：譬所以有： 占 豆= _ o r 占 图2 4 2 求解射流外侧的极化电荷强度示意图 ( 2 4 1 ) 第二章射流的数学模型及静电场 2 5 射流外部的径向总电场 把( 2 3 2 ) 和( 2 4 1 ) 式合并，知射流外部( 靠近表面) 的径向总电场 等于： t 色= 拿+ 要( 2 5 1 ) 1 2 第三章射流数学模型的简化 第三章射流数学模型的简化 第二章分析了射流内、外部的电场，给出了内、外电场的表达式。因为 射流是极细长的，所以可对射流的数学模型进行简化，从而简化内、外电场 的表达式。本章对射流的数学模型进行简化。 3 1 零级近似 沿射流的轴向设立z 坐标，径向坐标为，。因为射流充分细长，故可认为 有关的力学量( 如流速) 和电学量( 如电场强度等) 只是轴向坐标z 的函数。 不考虑它们的径向分布。从数学角度看，就是假设变量可以按小参数，作如下 形式的渐近展开，例如： 1 ，：( z ，f ) = v o ( z ，) + ，l ( z ，t ) r + 1 ，2 ( z ，) 厂2 + 式中 ，表示轴向流速。显然，认为变量只是轴向坐标z 的函数的做法相当于在上 述展开式中取零级近似( 即只取首项) 。如果要探讨这些变量的径向分布对稳定 性的影响，则可以进一步取一级近似，二级近似等等。通常只考虑零级近似。为 简单计，将渐近展开式中首项的下标o 省去。例如，令射流的轴向速度为v ( z ，) ， 射流表面的极化电荷密度为c r ( z ，t ) ，射流内部的轴向电场强度为e ( z ，f ) 。 3 2 射流电场的简化 因为射流充分细长，所以半径沿轴向的变化很小。根据( 2 2 1 ) 式知，如果 再限制轴向电场e 沿轴向只有小变化，即认为( 砌2 t ) 与e 相比很小，则可近 似认为射流内部的径向电场e ，= 0 ，只有轴向电场e ( z ，f ) ( 把下标z 取消) 。再根 据( 2 5 1 ) 式知，射流外部的径向电场可简化认为只有要。由( 2 3 1 ) 式知， s 射流外部( 表面附近) 的轴向电场等于e 。 第四章轴对称射流控制方程 第四章轴对称射流控制方程 电场中的带电射流满足质量守恒方程、电荷守恒方程、动量平衡方程以及 电场强度方程，本章推导这些控制方程。在推导射流的动量平衡方程时，用到了 射流的本构方程。 4 1 质量守恒 在坐标z 处，射流半径为h ( z ) ，轴向流速为v 。故在此处，在单位时间内， 流入质量为砌2 叩。式中，p 为流体密度。经过出路程，净流出质量为( 见图 4 1 1 ) 。 a ：( n h2 v p ) d z 式中，a ：表示对z 求导数。又，在长度为龙的射流微元体的质量为n h 2 d z p ，其 随时间的变化率为g a ，( 砌2 d z p ) 因质量守恒，且p 是常数，故得： a ，( 办2 ) + a ：( 厅2 v ) = 0 ( 4 1 1 ) 图4 1 1 质量守恒 1 4 ，v 出 第四章轴对称射流控制方程 4 2 电荷守恒 在坐标z 处，在单位时间内，侧面扫描面积是2 n h v ，故从侧面“流入 的电 荷为2 n h v o r 。因为z 处的轴向场强为e ( z ) ，根据( 1 2 1 ) 知k e 是射流内部沿轴 向的电流密度，故沿截面流入的电荷总量是n h 2 k e 。总之，在单位时间内，在z - 处从侧面和截面“流入”的电荷是2 d r y e r + n h 2 k e 。经过出路程，净“流出”的 电荷为： a ：( 2 n h v t r + n h 2 k e ) d z 又，在长度为比的微元体内，表面电荷为2 r t h t r d z 。它随时间的变化率为 玩( 2 砌娩) ，故电荷守恒方程为： 吼( 2 h e r ) + t 3 ：( 2 h o v + h 2 幽= o ( 4 2 1 ) 4 3 动量平衡 体积为砌2 出的微元体，质量为廊2 d z 。流体的轴向加速度为 百d v ：百o v + 害害：a 。1 ，+ v i o v = o t v + a ：芒) 。外力来e l ：2 = + 一= d 1 ，+ ，一 a 卜一，o 岁l 、川术 ： 历西瑟西 瑟 ”7 。 重力：n h 2 d z p g 电场力：由定义( 1 1 2 ) 式，单位表面面积的极化电荷仃可产生沿轴向的电 场力d e 。因侧面积为2 n h d z ，故由表面极化电荷产生的总的轴向力2 n h d z e r e 。 流体力：据流体力学，流体内的应力为乃暑- p s , , 4 0 。其中是应力，勺为 偏应力。 流体的粘弹性本构关系采用m a x w e l l 模型： 2 瓯= + 鱼 ( 4 3 1 a ) 2 岛= 吾+ 吉 一 第四章轴对称射流控制方程 式中，瓯为流体的变形速率，g 为流体的剪切弹性模量，t 为流体的动力粘性 系数。不考虑流体的弹性，则式( 4 3 1 a ) 退化为牛顿流体本构关系： 2 配= 卫 ( 4 3 1 b ) 变形速率瓯为： 驴丢c 善+ 挈 3 翻 式中，| i ，为速度，为位移。 应力在z 方向的分量式为：万。= - p + f 嚣，故微元体的轴向力增量为： 昙( 砌2 万。) d z = 万昙( | 1 1 2 吃一h 2 p ) d z 宓d2 写出式( 4 3 1 ) 在z 方向的分量式： a 、对于粘弹性： 2 塑：鱼+ 鱼( 4 3 3 a ) 0 zg 牡 b 、对于粘性： 20 v ：垒( 4 3 3 b ) 0 z 把上面各量代入牛顿第二定律，得： 廊2 d z o , v + a ：芒) 】= n h 2 p g d z + 2 z t h o e d z + 刀昙( 矗2 f g g h 2 p ) d z 2宓 整理得动量平衡方程： 即也( 争= g + 等+ 毒姒j l l 2 一古姒h z p ) ( 4 3 4 ) 4 4 压力p 用h ，e 和盯表示的关系式 流体压力p ，射流半径h ，电场强度e 和极化电荷o r 之间存在一定的函数关 系，推导如下。 1 6 第四章轴对称射流控制方程 考虑射流外表面，如图4 4 1 所示。设0 是表面上的一点。过0 点取表面的外 法线为f 轴。过0 点取两条相互正交的法截线，称为c l 和c ：。取它们的切线为五 和x 2 轴，建立坐标系o - - x l x 2 f 。又，法截线q 和c 2 在d 点的曲率半径是尺l 和r 2 。 在0 点附近取面元a = x l x ：。当射流外表面向外移动一个微小距离蟛时，此 面元的面积增量是： d a = ( 工l + 西巳) ( x 2 + d x 2 ) 一x i x 2 = x l d x 2 + x 2 d r l 形成面积增量姒需要消耗表面能，它是： 厂d a = r ( x l c l x 2 + x 2 出1 )( 4 4 1 ) 其中，7 是表面张力或表面比能。 图4 4 1 射流外表面坐标 面元向外移动彤距离则产生体积增量d 矿= x i x ：蟛。产生体积增量要消耗电 场能。事实上，根据第三节知，射流内部有轴向电场e ，射流外部( 表面附近) 有轴向电场e 和径向电场! 。再根据( 1 1 1 0 ) 式知，射流内部的电场能密度为 h 2 2 ，射溯黼电场胎度北2 俨+ 妻。 当射流表面d 点处的面元向外移动蟛距离后，体积增量为d v = _ x ：蟛。而 1 7 第四章轴对称射流控制方程 因为射流内部体积增加了d y ，所以射流内部的电场能增加了要面2 d v 。相反， 外部体积减小td v ，所以外部的电场能减少了乓；e z + 笔) d 矿。两者相抵，当 二 2 6 面元么向外移动蟛时，要消耗电场能： 睦翘2 一哇；e 2 + 妻彤矿2 喧1c s 一西e 2 一妻， 蟛国 所消耗的表面能和电场能由流体压力做功来提供。射流表面两侧存在压力 差。因为外侧是空气，故这个压力差也就是射流内压p ( 用表压表示) 。内压p 作 用在面元a = x 。x ：上并推动距离西，做功：。 一 鹏x 2 蟛 ( 4 4 3 ) 这样，当射流表面的面元向外移动蟛时，有以下能量守恒关系： 一( - i 面d x l + i 1 矽d x 2 + 互1 正渺一罢 ) 下边证明： 鲁：丢 ( 4 - , 14 5 )一= 一 i4 、l 而蟛墨 一7 为此，我们把曲线c t 所在的法截面画在图4 4 2 中。可以看出，嘉表示弧线_ ( 因 为而很小，所以不区分弧线与切线) 所对应的角度口，即有上粤：旦，等于曲 而口毛 线q 在0 点处的曲率，故有( 4 4 5 ) 式。类似的，有： 寺等= 击 ， 屯 从而有： 专叁+ 妾鲁= 击+ 击= 走r 一- o i 一二! 二i 一! ，2 ld ，、 毛骘x 2 蟛蜀。马” v 7 是射流表面的高斯曲率的两倍。把( 4 4 7 ) 代入( 4 4 4 ) ，最终得： 1 8 第四章轴对称射流控制方程 p ：肛+ 委( 艿一；) e 2 一笔 ( 4 4 8 ) 2 占 c l 图4 4 2 曲线c l 所在法截面 对于旋转面而言( 射流表面是旋转面) ，墨是平行圆半径，故： r l = 厅( z ) ( 4 4 9 ) r 2 是子午线的曲率半径，因为子午线方程是厅= h ( z ) ，故有： 这说明，射流压力p 可以用射流半径h ，电场强度e 和极化电荷o r 表示。 4 5 电场强度方程 ( 4 4 1 0 ) ( 4 4 1 1 ) ( 4 4 1 2 ) ( 1 ) 因为射流极细长，可以认为是一细丝，所以可以把内电场e ( 忽略 1 9 厅 2 一一g 一 口一劾 1 矿 乓搪 考 咔 * l 恐 扣 姚 胪 第四章轴对称射流控制方程 径向电场) 和由表面极化电荷形成的电场合并成一个由等效线分布电荷形成的 等效电场。设等效线分布电荷的线密度是名( z ) 。沿射流表面外侧紧靠表面作一 个轴向长度为出的圆锥面s ：作为“高斯面”。见图4 5 1 。依高斯定理( 1 1 4 ) 式，有： 丛兰= 舻栩：【( 砌2 t ) + 2 砌e , l d a ( 4 5 1 ) gs 2 式中，2 砌e r 龙是射流外电场通过笾的侧面的e 通量。把( 2 2 1 ) 式代入( 2 5 1 ) 式，得： 2 砌耳一孚( 砌2 e ：) + 2 n h c r ( 4 5 2 ) 把( 4 5 2 ) 式代入( 4 5 1 ) ，并记t 为e ，得： a ( z ) = 一z tef l ( h 2 目+ 2 n h c r ( 4 5 3 ) 这就是等效线分布电荷的线密度。式中： ：导一l ( 4 5 4 ) 图4 5 1 射流外表面的高斯面s 2 第四章轴对称射流控制方程 ( 2 ) 求长度为三的射流外任一点m = m ( z ，) 处的电势，如图4 5 2 所示。 a 先求该点的场强。 设射流的电荷线密度为允( z ) ，则距离原点0 为z 处的电荷元为： 由= a d z 它在肘点产生的场强为压，其大小为： 赶：尘 4 1 r f l 2 旌的分量为： 图4 5 2 射流外点m 处的场强 d ez = d e e o s o d e , = d e s i n o 故整个射流上的分布电荷在m 点产生场强： 耻i d e 2 户4 z t 璺s 1 2c 础 耳= i d f 。f 专案咖口 2 l 第四章轴对称射流控制方程 又，= 蠹，z = 一，c 。t 口，出= 丽r d o ，积分域从q 到岛，故： e ：e 兰擘c 。s o d 0 ：掣( s i n 以“n b ) 4 z r s r 4 9 r e r ：f 2 掣s i n o d 0 ：掣( c 。s 幺嘲s 0 2 ) 4 7 r s r4 7 r r 如， 0 ，射流就会失稳。方程( 6 2 2 ) 对任意的射流电传导率、介电常数、射 流粘性、射流表面电荷密度、射流弹性模量和外加电场强度都成立。 为证明公式的有效性，将方程( 6 2 2 ) 在极端条件得到的结果和前人得到的 结果进行比较。 在射流粘性为零、射流电传导率趋于无穷的极端情况下，由色散关系式 3 l 第六章稳定性分析 ( 6 2 2 ) 可得： 三七2 c ，一是2 ，+ 丢露2 彳一帮搿啪鞣( 6 2 3 ) c r o 和q o 都为零时，式( 6 。2 3 ) 给出了经典的雷利( r a y l e i g h ) 不稳定性： = 肛磊，如2 航 由式( 6 2 3 ) 可知，射流表面电荷密度不变时，增大外加电场强度q 。，可抑制 射流雷利失稳的发生。 图6 2 2 经典的雷利不稳定性 与文献3 8 的比较结果如图6 2 3 所示。计算中采用的参数如下：射流的电传 导率趋于无穷，射流粘性为零，射流表面电荷密度为零，参数= 7 7 。图中曲线 从上到下，对应的外加电场强度分别为：q o = 0 0 0 , 0 9 9 ，1 3 9 ，1 7 0 ，1 9 5 。 3 2 第六章稳定性分析 ( c ) 图6 2 3 ( a ) 文献3 8 的计算结果；( b ) 式( 6 2 3 ) 的计算结果；( c ) 本图( b ) 的局 部放大图。 图6 2 3 ( a ) 为文献3 8 的计算结果，图6 2 3 ( b ) 为式( 6 2 3 ) 计算得的结 臬，图6 2 3 ( c ) 为图6 2 3 ( b ) 的局部放大图。可见，外加电场强度q 。为零时， 式( 6 2 3 ) 得到的计算结果和文献3 8 得到结果一致，两者都画出雷利不稳定曲 线。而外加电场q o 增大时，两者有较大区别： ( 1 ) 与文献3 8 相比，q 。不为零时，由式( 6 2 3 ) 计算得到的r e ( t o ) 幅值 和不稳定区域( 和r e ( a ) ) 不为零对应的区域) 都较小。 ( 2 ) 图6 2 3 ( c ) 显示，在小扰动的波数k 很小时，式( 6 2 3 ) 计算得到的 r e ( ) 大于零，因此射流是不稳定的；图6 2 3 ( a ) 显示，在小扰动的波数k 很 小时，r e ( o ) ) 为零，因此射流是稳定的。因为小扰动的波数k 和小扰动的波长成 反比，所以，在射流电传导率趋于无穷，射流粘性为零的极端情况下，式( 6 2 3 ) 计算得到射流的长波不稳定性，而文献3 8 认为射流在小扰动的波长很长时是稳 定的。 推导轴对称射流的控制方程时，本文的做法和文献3 8 类似，但两者得到的 动量平衡方程和电场方程不同，所以，得到的关于射流的稳定性图也不一样。 真实射流的传导率为一有限的值，粘性也是一个非零的值，电纺试验中确实 发现射流存在长波不稳定性3 3 。 第七章参数对射流稳定性的影响 第七章参数对射流稳定性的影响 为了解参数对射流稳定性的影响，本章按照只考虑射流粘性和同时考虑射流 粘弹性进行分类，采用不同的射流电传导率、射流表面电荷密度、射流粘性、射 流弹性及外加电场强度，对射流进行稳定性分析，得到一系列关于射流的稳定性 图。 7 1 参数的确定 色散关系( 6 2 2 ) 中，存在一个未定量：射流的长细比z ，由4 5 节知，z - 1 与小扰动的波数k 间存在关系：z 一= a k 。可通过文献3 3 确定4 的数值。在粘 性和k 都很小时，展开文献3 3 中s a v i l l e 的色散关系( 文献3 3 中的公式( 3 2 ) ) 得：a = e x p ( 7 ) 2 = o 8 9 ，式中y 是文献3 3 中的一个常数。在后面的计算中， 彳都将使用这个数值。 无量纲的参数、g 和占按文献3 8 选取，即：= 7 7 ，s = 7 8 ，g = 1 。射 流表面电荷密度和射流电传导率按文献3 9 选取，其余参数参照物理手册4 1 选取， 表7 1 1 列出了计算中选用的参数值。 表7 1 1 喷嘴半径：，= 1 5 0 a n = 1 5 x