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摘要 令f 是。个特征为零的非阿基米德局部域并且0 是一个加法特征标。a w e i l 首先强 3 j 中定义了 , v e i li n d e x j ，眇) ，( a f 8 ) ，跌中我们知道 并且 了( 穗，睁) 4 = ( 一l ，一1 ) 其中b ) 是b ：i l b e r t 符号。在这麓文章中，我们证明个关于w e l ti n & zo ( a ) 和 局酃g a u s s 和的等式。丛旭日在其毕业论文中采用完全不同的力法得到了同样 的结巢。 关键词：局部蠛，璇i li n d e x a b s t r a c t l e tfb ean o n - m c h i m e d e a nl o c a lf i e l do fc h a ，l ，a c t e r i s t i c0a n d 曲a na d d i t i v e e h a r a c t e ra w e i lf i r s td e f i n e dw e l li n d e x1 + ( n ：移) ( 。ef + ) i n 3 】，f r o mw h i c 5 w ek l l o wt h a t 7 ( ( z ，妒) p ，口) = 7 ( a b ，动) 7 ( 1 ，移) ( a ，b ) a n d 7 ( 。，砂) 4 = ( 一1 一1 ) w h e r e ( “，b ) i st h eh i l b e r ts y m b o lf o rf + i nt h i sp a p e r ，w ee s t a b l i s ha , r li d e n t i t ? r r e l a t i u gw e i ! i n d e x ? 。( “j ) a n dl o c a lg a u s ss t ? h k e y w o r d s ：l o c a lf i e l d s 、奄娃i n d e x 第一章引言 令f 楚一个特征为零镌菲瓣基米德局部城并且啦怒一个期法特征标。a w e l l 首先在 3 l 扣定义了w e i li n d e z7 ( a ，d ，) ( n f + ) ，并揭示t w e i li n d e x 和局 帮域二次扩张隧及二次互反率之闽鑫毫深裁关系。在本文中，我们瘸初等的力、法 证明了如下主要结论： 设男= f ( 、a ) 其中a f + 是一个判定予为西，p 黥二次扩张。令、，：x r 是如下定义二次特征标 鲎星鲁措一怯， r 嘶、。( 西i ) ) 第二章离散赋值理论幂l ：i p a d i c 域 在这一节中，我们介绍p ，a d i c 域的定义并且研究它们的基本性质。这部分的 主要参考文献是田和f 6 】。 2 1 离散赋值理论 定义2 。1 。设显楚一个整环，蠡是它的分式域，我稍穗置黾一个赋 蠡环如果对予经 意的。属于女，有# 属于k 或者搿。属于r 。 如采f 秘，7 是剜淹溺令理想，邵么或者j j ，或者了cj ，缎此嚣有瞧一的一一个 极大理想，从而是膈部环。 蜀兰 t 中是整闭豹 假- 1 5 ；2 m 是咒的极大理想，妒：r r m 是囊然投影。通过把每个不爝 予霆的x 对应到符号。( ) ，我们可以把谢广充定义到这样的一个映射称为真静一 个位爱。臻般的， 定义2 2 + 摆凌奄，f 是域、一令皎蘩妒：惫一fu 。；穆为一个位置，翔莱它清楚 条件： ( 1 ) r y t = 妒叫( f ) 是一个环并鼠妒在m 土二的限制是一个环阉态 f 2 ) 翔采妒( z ) = ，酃么有妒 一1 ) = 0 。 可以容易的验证m 是一个赋值环并且k 是它的分式域。围此对于每个给定的 箍篷琢，我们都有 g 对应的一个位餮。并且反过来也是这样的。 月中的可逆元可以如下刻化： 妒( z ) 0 妒( 茁) 。 对予位萎，我嬲不热透明戆叙述如下重要戆终论。 4 羞王塑堡兰= 塑笙墨塑二尘鎏望 并且m 是k 的一个子环。如 奄一f u o o 使碍西k = 妒。 定遴2 1 如暴奄，f 是域，其中f 是代数瞬翡， 果妒：m f 是一个环同态，那么存在一个位置圣 定义2 3 如果是一个域并j = i ( z ) 魁上的一个实值函数满足 1 。( o ) = o o ，并且p ( o ) 怒0 = _ 唯憝缀大理想。 u 一 z ：= l 称为。中单位圆群。 并且域a n dt h ef i e l d 石= o r l l 称为七的剩余炎域。 对于任意固定的实数a 0 a o ，存 在正整数使得，对于任意正憝数m ，佗 我们由b ；一z 。l = 落n + 鲰帮乘法 孙 貅 = 靳 ，所有榜西序剜麓 粲合构成个环。其中柯西序列的子集i l 一0 是这个的极大理想。令蓐表 示这令环静分式蠛。那么颧有一拿鑫然翡鼠奄土诱导篷赋甓。首先注意戮 如果 z n ) 是_ 食柯西序列，那么当n o 。时极限l 。j 存在。因此我们可以定 义蹉 0 = 释霉4 。在这个诱导黪发餐下，蓐是完备垂冬。注纛妥我髓有一令 自然的嵌入露一蔚：。一p ) ，常值柯西序列。可以容易的证明膏嵌入的像在莓 中是稠密的。 定理2 2 + 同上面的记号，i 的赋值群j 面8 j 和是一样的，并且剩余类域也是一样 的，就是说了固( 麓影最) 一妒。) ( 麓。豫) 。 证明：因为 1 的赋值是由 j 诱导的，那么第一个结论是明显的。第二个结论也是 2 - 2 p - a d i c 域 令q 表示有耀数蠛e 露定一个素数多z ，对予侄意的z q ，记z ：p s ：使 得ns 同p 是互索的。 定- r z 关于p 的阶，表示成 如( z ) ，就是整数。令 5 f z f 7 ，一p “ 鄂么霹戬检查发蕊。r 南( + ) 在q 上定义了一令 瓣蒸米戆懿寓教斌筐，其中整鼗 环( 也就遐赋值环) 是z 。更进步，q 关于赋值诱导的度量不是完备的，我们 记耀刘应兹完冬化壤哂，逛藏是簸麓单静妒一8 凌。域。 的育廷德的值米t 赋基域的 阿范上腓硪酝 巩完七 平为狄非冁遭硼慨蝴觥删坷 惫延瓢 中以陲其可粼喂蹴眠 域啪搬 垂砉一 脯瞅蠲 我空 幺范。 黜椰徽咱如域完唯 值维是赕限撤 6 关= j 二w e l li n d e x 的个注记 般的，假设i ng e n e r a l ，s u p p o s ekcc 是一个数域，adz 是整数环并 且驴ca 是令 零素理想。那么耠n 翌楚嚣懿 零素理蜷，盈诧等于f 痢，其 中f p 是某个素数。剩余类域a p 是有限域z ( p ) 的有限维扩张，若维数为f ，那 a a p 中元素静个数是矿。 对于任意的元素等蜀+ ，岗f z ) 表示由茹生成麴分式理想。 趋d e d e k i n d 整琢 中的一个标准结果，对于( 搿) 我们可以把它唯分解成有限个素理想的乘积：a ： ( 。) 一i i 矿一 护 定义2 4 定义。关于5 。的阶，记成。r 略印) 或者钟。d 国) ，就怒整数强。令吲。一 p - f o ；, d ( 。) ，那么易得甜如( - ) 定义了k 上的一个非阿基米德的离散赋值。 类似的，关于赋值所诱导的度壤不是完备的，记对应的完备化为膏。 定义2 5 个域f 称为p a d i c 域如果f 是莱个如上面的域k 的有限维域扩 张。一1 个p a d i c 域也豫为特链为零弱局部域。 嗣上酉毂记号，可以证鹱象上瑶i 的赋篷可以难：静延手磊n f ，餐褥延籀属匏械 值仍然是离散赋值并且f 关于赋值诱罨的度景是完备的。 n o 一0 p 一 z 南1 。r d ( z ) 芝o ) 表示赋值环，极大理想 为孤= p 是：o r d ( ：c ) 0 ，单位蹙群为u 一 嚣意：o r d ( x ) = l ， 任懑熬元素嚣蠢露 盖写贼如下懿形式 z = 。 n ”o 每个p a d i c 城茬：h a u s d o r f f ，内部紧的，完全不连通的拓扑空间。赋值环。和 理想m ”都是紧开子群。 9 1 t 1 12 3 同上葫蟪记号，f 包舍多项式x p g 醵所有的根，其中笋是剥务类域 的特征。并且这些根刚好形成剩余类域的一个完全代表系。 现在我们考虑p a d i c 域的有限维扩张。假设a ，是p a d i c 域的一个有限 维扩张。 第二章寓教赋值理论和p a d i c 域7 定义2 6 取值群弦i 是l 耳l 的一个子群。指标 e = ( | 面9 1 ：| 旷1 ) 被稼为分歧指标，它衡篓了有多少薪翡斌 矗被添j j w 多j w h i c hm e a s u r e sh o wm a n y n e wv a l u e sh a v eb e e na d d e di nt h ee x t e n s i o nf r o m o n t ok 中。类似的，剩余类 域趸包含莓力宅麴一个予躐。域扩张 的度称为剩余类域虔。 f 一瞄：盎】 定理2 4 假设竹一 k ：豫那么扎= e ， 如果e 一1 ，一札，那么城扩张畔：列称为无分歧扩张，如果e 一九，f 一1 ，那 么f 趸：翻舔为完全分歧扩张。 寇理2 5 如果k 是一个p a d i c 域。对于任意的 21 ，存在一个唯一的维数髓 的域扩张胃 。并显域嚣是由在老中添加多项式z 矿一所有的根而褥捌，其 中g = 同，因此域扩张耳dk 是维数为礼的循环扩张。更避一步，对于o a l ( k k ：) 中的任意元素玎，诱导了瓣c 岛t ( 一k 一k j 中的一个元素，并且事实上群蘑态伊一仃， 是一个同构 g a l ( k k 掣g 癌露厢 一个马上的推论是说对于任意的域扩张kd 奄，都包含由一个极大无分歧 予扩张丙3 。d 老。 第三章一些有限群的线性表示理论 这节中，浅们列出一些有限群表示的基本事实。我们用g 表示一个有限 群，约定艇有的线性空间都是复数域c 上的有限缨的。所有静证明都被省略并且 可以在同中找到。 3 ，1 基本定义 g ( 7 ) 表示v 上瓣鑫霹秘群。如采羧髓选取y 鼹一缀基，委i v z , g l ( v 中戆 元素都可以由一个n n 的可逆矩阵表示。 意义3 1 + 个g 的礼维的线性表示就是个群筒态p ：g 一一g l ( v ) 。 经设p 鹣尹7 是霭个分掰麓线麓空闯矿蘩j y 7 鑫龟群g 兹表示，我们漫这两个表示 怒同构的如果存在一个线性映射r ：v v 使得 对予任意豹s g 都成立。 一个鸯袈维瓣表示p 藏怒群g 到 零笺数c 4 秘一个群藤态。注意至l 由予g 是 有限的，f 一( 驯= l ，也就是说p 事实上是从g 到单位圆周s 1 的群同态。 定义3 2 如粟p ：g g l ( v ) g 酌一个到复线性空间 7 的线性表示，并 且cv 是一个子空间。我们称w 鼹稳定的如果p ( s ) wcw 对于任意 静8 g 都成立。在这释演况下，p 在w 上翡限制仍熬怒g 到w 兹- 个表示， 称为j d 的手表示，记成p b 。 意义3 3 如果p ：g g l ( v ) 怒g 的个表示。我们称表示p 是不可约的如 柴1 ，和o 是仅有的两个稳定子空间。 表示论的“一个主耍的目标就是对一个给定的群g 的所有的不可约表示分类。 1 0关于w e i li n d e x 的一个注记 3 2 线性袭示的特征标 现在假设p 是g 到v 的个线性袭示。对于任意的s g ，p ( s ) c l ( v ) ， 取定一缝鏊1 ，e 2 ，岛，那么p ( s ) 可以难一表示或一个nx 扎可遂矩辫( 垒曩p ( s ) 表示) 。 定义3 ，4 定义一个复篮蘧数孙( 或篾鹭为x ) 魏一f ：勋( s ) 一? 7 反s ) ) ，并且称失 表示p 的特征标。 如果妒怒g 鲍个一维线性表示，则凑定义躲，勘扛) = t r ( p ( s ) ) 一p ( s ) 。因 此我 | 、j 有时就用特征标来表示g 静一锻线性表示。 假设x 和x 7g 匏薅个特征标。我倪定义如下一个新的特征标：对于任意 的s g ，( x f ) ( s ) 一x ( s ) x 7 ( s ) 。可以容翁验t i x x7 仍然是一个g 的特征标。用这 个定义作为结合法则，所有特征标的集合构成一个群，称为p o n t r y j a g i n 对偶或 者g 蛉特盔鞣群，记成0 。 定理3 1 同上面的记号，我们由 2 x ( 8 _ 1 ) 一x ( 8 ) 荚于特征标的个基本结论是如下的s c h u r 引理。 s | 理3 2 + ( s c h u r 引理，令p 1 ：g g 三( 碍) 和p 2 ：g g 三( k ) 是g 的两个 不可约表示。，：k k 是一个线性映射满足p i 。f = f 。p ：对于任意的s g 零成立+ 餐么， 如果p 1 和p 2 不是同构的，那么f = 07 2 如果砺= 坞争p 1 一p 2 ，奔幺，是一个纯量乘法。 假设妒，够是两个复值函数，定义 ( 州) 2 ；莩) 雨 第二章一些有般群的线性表示理论 其中9 怒g 的阶。那么( ，- ) 是一个内积：关于妒是线性的，关于妒是半线性的 劳显对予任意豹妒0 ，( 妒，妒； 0 。 我翻这繁粒主要定理是翔下懿垂交关系。 定理3 3 陋交荧系j 如果x 一个不可约表示的特征标，那幺( x ，妁一1 。 耋如暴x 寿x 是两令军麓籀的不可饕表示镌跨狂褥，零么( x ：x 7 ) 一0 。 最蜃，我们考虑群g 的特征标。 定理3 4 如果g 可交换的，那么g 型孕 g 和0 中的嗣掏不是典型的，依赖予怎样把稀g 分解成循环群的直积。 黠予经意黪s g ，彝经惑瓣歹孕。定义一个0 懿特短标翅下：在，上懿 取值为，( s ) 。那么我们瓤有一个从g 到g _ 自然同态。 定理3 5 ( p o n t r y j a g i n 茸镶定理j 如上构遣的弱态事实上是g 哥口孕之箍的 一个同构。 更一般的，p o n t r y j a g i n 对偶定理对于一般的局部紧交换群都是对的。 对予褥短标群，正交关系有如下简单形式。 定理3 6 。令g 是g 的阶，那么 j 如果x 是平凡的，那么。g ) ( ( s ) = 口i 2 否弛。g = 0 。 由p o n t , r y j a g i n 对馁定理，我们有 如果s 一1 g ，那么f 宙f ( s ) = 9 j 2 否则，o f ( s ) = 0 。 第四章主要结论 这节中，我们叙述本文的主要然论。我们假定f 患一个非阿基米德的特 捱为零黪局部域。 4 1h i l b e r t 符号 令：p * e 是罗上的正蕊纯赋值，也靛是谎如巢是一个u n i f o r r a i z e r ， 那么一g ，其中q 表示剩余类域中元素的个数。令o = 0 f 是f 的整数 环。令r 。是域扩张影嘞熬极大无分歧扩张，其中p 鼹莱个豢数，郡么集 台死= ( q 1 ) 一t hr o o t so ft m i t y 被包含在r 。中。注憨到每个元素。，0 可 以唯一的写成2 1 一。o + 。1 霄十+ 。7 r ”+ ，其中z ；咒u 0 1 。我们首先定 义h i i b e t - l , 符号，主要参考i 2 。 定义4 1 。令。，6 p ，我们如下定义h i l b e 竹符号 ，= 一：! i ，。托2 十曼，铲= l 定理4 1 ，h i l b e r t 2 夺号满足如下性质 ( x ：y ) f 2 o t h e r w i s e ( n ，b ) = ( b ，n ) i 2 b ) = l 够8 n 露。其中n 表示从毋= f ( 娟) 到f 的蝴 3 ( m a ) 一1 和1 一。) = 1 i ，( 8 8 ，b ) 一( 。，b j ( 。，b ) 。 如果f 是某个嗨的扩张，那么x 一( ”，) 魁f 的个乘法特征标，其导予 刚好是1 + 口f 。那么我们有n o ；，x ( 。) ：1 当且仅当西是剩余类域f 乘法群 中馥平方元。 兰! 一 差：! ：! ! 堡圣婴鹜薹蓬二全垄望 4 2g a u s s 溯 假设戈是一个乘法特征标，其导子是1 + 7 1 - m o f 并且令d 是l g i n m 的一个元 豢，也就是浇6 7 r “o ；。我们用下砸的式子定义g 8 钍s s 和 r ( 抛( 一蒯妒( 詈) 。( o 霄m o ) 。 “ f l e m a r k ：如果m = 0 ，我们怒义g s s 和7 - ( x ，曲( j ) ) = 1 。 定理4 2 。! 丁移( i ) ) 1 2 = 吲一1 丁( x ，移( 孑) ) 1 2 2 r ( x 妒( i ) ) r ( x ，妒( 否) ) = x ( z 誊1 ) 眵( 兰) ，y e ( o r t | ”0 ) 。 = x ( 妁砂( 警) = 妒( 避) 一x ( t ) 谚( 竣) 挺( o w 佻翁；”帮o ，w 仉o ” ( o 扫m # ) 。搿芒口o m o “ 第项是零仅当半p i l e t = t + f ”。o h e n c e 巾) 烈掣净矿 挈o 肛m o s i m i l a r l y , 暂。m 。移( 学) 0i f f 三1 ( ，矬。函f m 一1 0 ) ，i 。e 。；一l f 厶，。因 此，我们有 r ( 舢( 训2 一q ”一口m 。1 x ( ) = q ” 塑婴童圭至堡逵一旦 4 3w e i li n d e x 躐在霞定一个热法特征标舻萁寻予两g 好怒o f 。令 i 、( 托，g ，母) = f 妒c 疆2 ) c f 嚣 岱f 。) j f o f 其中正规化测度使得p f 的体积是l 。那么令 r ( a ，曲) 一l i mr ( “，。，砂) 定义4 2 定义甄鑫i n d e x 了妒) = 番器， 定理4 3 令rj i l l 2 ；一q 一7 定叉的整数。那么 f 妒： r ( h 帆掣) 一 矾 lr ( 8 ，西) 证明；第一神情况是明显的。 考患积分， 世( o 十z ) 2 ) d a ：d t j 霄u o # j 一n o 其中m ：一u ( 。) 2 如聚 ( a ) 怒偶的，m 一一【掣1 如粜- u ( n ) 是奇。那么够( n 十 t 1 2 1 ：。趴+ 2 a x t ) 并且上面的积分就化为 移( o 2 + 2 a x t ) d a ：d t ，口m o fj 一o f 首先关于t 积分为零陈非”( 2 癌嚣) 一7 n ，即u ( 茁) r t 小z ) 一m 。因此如果n 满足t ，( o ) 曼2 ”一2 n 那么r 沁， ，妒) = f ( 。，妒) 最后考虑情形2 娌一2 r 0 并因诧f 是q 2 的扩张。首先容翁看出只浠要考虑 情形t j ( n ) ：一l 。对于w o f + z 7 r “o f 我们有 曲( d ( + 可) 2 ) 篇面( a z 2 ) 妒( a 秽2 ) 并且有 r ( n ，n ，) 啦( a 呵2 ) d r j o ” 孰砌努 小一 曲讲孙 一 2； 、j t 202 1 6 关于w e i li n d e x 的一个淀记 注意导f 是q 2 的一个扩张并且t ，( 。) 一一1 ，映射一v ( a y 2 ) k o r 的一个非平 冠特征掭。嚣此f 积，8 ，盼) = 0 a 推论4 4 了移) = l 如韧是奇韵并2 v ( a ) 是偈鹤。 证明：因为p 是奇的，r ：0 。取n 一华。 命题4 5 r ( a ，纠= 1 2 a l 一 7 ( n ，妒) 证明：由于命题3 2 我们可以选取充分大的整数礼使得f ( a ，妒) = r ，a ，砂) 。 考虑积分 f ( 。蚓2= u v ( 疆2 ) 幽? 母( a y 2 ) 蠹 j 一。o j f o ， = 够 一) + o ) ) d d 可 j 。o p0 一“u f r， = 7眇( 。“( “+ 2 v ) ) d u d v ( c h a n g e v a r i a b h ；s 关予t j 积分菲零k k 当2 a u v 0 f ，鄢札( 2 n ) 一1 矿o p 。取月，足够大，我们得 到 ， | f 泌，移) i 2 = 矿7 妒( 蛳2 ) d u i 2 。| 一1 j ( 2 n 一1 f ”o 一 4 。4 燕要结论 在这一节中，我们觳述本文的主缨结论。首先我们需要一个 2 l 中躲结论。 令g 蔻一个有限群，屉g 的一个复德函数，并且) ( 怒g 的一个特征标。我们 用0 表示g 的特征标群。定义，关于) ( 的f 。灶疵e r 变换7 丽如下： 氕= _ ( ) = ，( 9 ) 叉( 9 ) 9 0 第四章主要结论 1 7 由f o u r i e r 反演公式，我们有 m ) = 高硒地) x g 定理4 6 定义g 2 = 9 2 ：g g ) 和磊= x 0 ：x 2 一l ，那么有 证明：觅 2 1 ，、i 2 。x ( 。) 21 x 蕊 l 【g ：g 2 i f 茹g 2 0 ， o t h e r w i s e 现在霰设露= f ( v 众) 其中a f 4 是一个潮定子为6 e f 浆二次扩张。令x x p 是；n t 定义二次特征标 x f ( a ) = a )( a f + ) 定理4 7 碧潞一1 5 e f t l 7 2 r ( x f ，妒( 毒；) ) 第五章结论的证明 证蛹：善麦注意至只有证臻下式瑟可。 口7 r ( 霄- 妒) 篇1 1 ( 1 ，妒) 丁( x 妒( 否) ) a n dw ep r o v et h i si d e n t i t vc a s eb yc a s e 漕魏：fi s 黼e x t e n s i o no f f o rs 0 1 l eo d dp r i m e p ， w cf i r s tc o n s i d e rt h ee 8 8 ea = ”，t h e nr 一0a n d ( $ ) b e c o m e s 妒) ；7 ( m “( 丽) ) = 7 _ ( x f ，咖( 孑) ) s i n c e 岛，f t = fi nt h i sc a s e ，t oc o m p u t et h el h s ，t a k e 拜一1 ，w eh a v e z 邯叛) 如= z 枷妒( 了7 r 2 9 2 南小i y 2 ) 咖 一妒( i y z ) 一l + 2 妒( 芸) y c o r ：o ” y e n e w h e r e d e n o t et h es e to fs q u a r ee l e m e n t si nf o t r o ) ”t h e n 7 嘛世( 磊) ) 。 ( ：) 础( 兰) = e ( o 0 1 “ 毋( 妻) 一妒 # “ # “ = 1 + 2 妒( 耋) 一妒( 熹) 一r 妒) z “ c o 0 7 w h i c hc o l l p l e t e st h ep r o o fi nt h i sc a s e 兰l 一差王婴望! 曼! t ! i n ! 旦望墨i 鲤f 二尘婆担 一 ! kj v vd “ u e 一7 l 。援b t h ee a s ea o 。i st r i v i a lb yt h ed e f i n i t i o i lo fg 。珏s s s m + 熔形2 ：f i s 戡峨e 毪s i o n 。f q 2 。w e f i r s td e a l w i t h t h ec 蠡s e 天：霄。魏i 8e 勰v 。 c o m p t d ；e ( 珐f = 4 7 t a & e 礼= r 十1 ，t h e n “ t h es e c o n dt e r m 嚣e 珏e e s i m i l a r l y ，w ec a ng e t l 帅删肛岫以宰) 咖 两1 厶4 , ，。石y 2 ) 劫 南。嘉坳厶坳移e 黟匆 南卿嘉啪话( 7 r 2 r + 1 0 ) 砉。磊e 专州。暑。曲e 专瓣蒹啪， 啦( 芸) 蚝”o v + 1 0 吐“ ，。善移( 等溉百丌2 r 2 2 ”强帆坳r “怕 ( s t 竹tz rf i r s t l p ( r r , 必) = 嘉耻, ( 磊x 2 ) o 薯( o ，n 2 r 十1 秽) x r ( t ，妒) = 妒( i x 2 ) z o w o - 5 | 矿磊 0咿卿 ，一矿 咿 z o = | | 塑生塑塑e 旦一 ! ! t h 。“a p p 】yl e m m a4 4 1w i t hg = ( 。肛2 r 十1 p ) 。a n d ，= 妒( 意) s h 2 c e l h s = 砂( 磊x 2 ) j ( o 加1 妫x 4 “ = 再面1 两两x ( 。) ( g 。1 ) 。高嘲。去叭划姒扩 d 和善雨蚓。暑。x 苣秽g ( o 2 呻i o ；x = 【g 砂( 舞) ( 。) x g 0 鸹妒( 嘉) o g 2 嫂牡 ( g 一1 ) q 打 0 ， i f x 2 = 1 o t h e r w i s e 。 t oc o m p u t et h eo t h e r s i d e ，w ef i r s tn o t et h a te v e r ye l e m e n ty g ：( o 肺2 t + 1 p ) 。 c a nb e w r l t t e n u n i q u e l y i n t h e f o r m 掣= 撕( 1 - v ( y l + 钝? 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