（流体力学专业论文）基于共轭方程方法的多段翼型优化设计.pdf

摘要 采用控制理论进行优化设计可以避免传统方法在多设计变量时求解梯度所 花费的巨额时间。通过求解共轭方程来得到目标函数对于设计变量的梯度，再利 用所求的梯度进行优化设计，只需要花费两倍求解流场的时间。在设计的同时也 能够保证足够的精度。共轭方程优化法在优化设计中有很广泛的用途，例如减阻， 增升，消弱激波等等。 本文的主要工作是：以在控制理论进行单段翼型优化设计的基础上，利用嵌 套网格技术将其发展为适用于带襟翼多段翼型的优化设计。同时进行了单段翼型 跨音速降低激波阻力的优化设计。这些工作都是在不考虑粘性下完成的。 关键词；优化设计嵌套网格控制理论欧拉方程共轭方程设计变量目标函数 a b s t r a c t a e m d y n a w j co p t i m i z a t i o nd e s i g no fa i r f o i l sa n dw i n g su s i n gc o n t r o lt h e o r y a p p r o a c hc a na v o i dt h eg r e a tc o m p u t a t i o nt i m ec o s ti nt h et r a d i t i o n a la p p r o a c hw h e n l o t so f d e s i g nv a r i a b l e sa r er e q u i r e dt os o l v et h eg r a d i e n t s t h ec o n t r o lt h e o r ym e t h o d o n l yn e o d sd o u b l et i m eo ft h ef l u i df i e l dc o m p u t a t i o nt oo b t a i nt h eg l o b a lg r a d i e n t s ， t h r o u g hs o l v i n gt h ea d j o i n te q u a t i o n so ft h eg o v e r n i n ge q u a t i o n s i tc a np r o v i d e e n o u g ha c c u r a c yi nd e s i g no p t i m i z a t i o na sw e l l t h ea d j o i n tm e t h o dc a nb eu s e d b r o a d l yi nd e s i g no p t i m i z a t i o n s u c ha sd r a gm i n i m i z a t i o na tt h ed e s i g n e dl i f t c o n d i t i o n s i nt h i sp a p e rb a s e do nt h eo p t i m i z a t i o nd e s i g nm e t h o du s i n gc o n t r o lt h e o r yf o r a i r f o i l s ，ad e s i g nm e t h o df o rm u l t i e l e m e n ta i r f o i l si sd e v e l o p e dw i t ht h ec h i m e r a g r i d s a n do p t i m i z a t i o nc o m p u t a t i o nf o rr e d u c i n gd r a go fs h o c k w a v eo fs i n g l ea i r f o i l i nt r a n s o n i cf l o wi sa l s os u c c e s s f u l a l lt h ej o b sa r ec o n d u c t e dw i t h o u tt h e c o n s i d e r a t i o no f v i s c o s i t y k e yw o r d s ：o p t i m i z a t i o nd e s i g n ，c h i m e r ag r i d s ，c o n t r o lt h e o r ge u l e re q u a t i o n ，a 两o i n t e q u a t i o n s ，d e s i g nv a r i a b l e s ，t a r g e tf u n c t i o n 西北t 业人学硕 ：毕业论文 第一章前言 因为机翼增升系统对于飞机的短距起降能力和起降安全性的好坏起着关键 性作用，空气动力学专家们一直在研究飞机的翼型，包含多段翼型和襟翼增升装 置在内的多段翼型和机翼的设计和优化工作。它们的气动布局和气动性能不仅 决定着飞机承载能力，操纵系统的设计和飞机结构设计及重量，还直接影响着 操纵面和襟翼增升装置的气动效率，襟翼偏转时机翼的气动特性以及飞机飞行 的安全性。良好的多段翼型设计将使得飞机具有优秀的起飞和着陆性能。此外， 襟翼上的压强分布计算，可对于襟翼结构强度和操纵系统设计有重要意义。 同时在最近十多年来，随着计算方法的进步和计算机性能的大幅提高，空 气动力学者们可以采用先进的计算流体力学( c f d ) 方法来进行飞行器气动设 计。基于c f d 的气动设计一般包含三种方法：基于直接修改一计算( t r a d e o f f ) 方法：优化设计方法：反设计方法。优化设计要求气动性能最优，如升阻比最 大；反设计要求满足给定的压力分布。l i g h t h i l l 5 ，t r a n e n 6 ，m c f a d d e n 1 6 】以及 g a r a b e d i a n 和k o r n 7 等学者在这方面做了大量的工作。 传统的优化设计方法要求计算目标函数相对于设计变量的导数，再使用优 化方法使目标函数取得最小值。因此这类方法也称为基于梯度的优化设计。基 于梯度的优化设计方法一般有：有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d ) ，综合步 进法( c o m p l e xs t e pm e t h o d ) 和自动微分法( a u t o m a t i cd i f f e r e n t i a t i o n ) 。 最简单的方法是用有限差分方法：单独扰动每个设计变量，然后用流场计 算程序计算得出相应的目标函数值，这样就得出了目标函数的差值，除以扰动 增量即得到导数值。1 1 标函数相对于每个设计变量的导数看成一个梯度分量， 那么目标函数对于所有设计变量的导数就形成了梯度。得到目标函数对于设计 变量的梯度之后，优化程序中再使用线性搜索法，牛顿法等方法沿梯度的负方 法计算搜寻方向。在搜寻方向上获得最小值之后，重复这个过程，直到梯度为 零或者非常近似为零丽无法进一步减小为止。 基于梯度方法的优化程序可将气动优化和反设计使用同一模式进行处理， 简单易用。但是这利，优化程序是相当费时的。为了获得梯度，必须对于每个设 计变量的扰动都要重新汁算一次流场；如果设计变量比较多，尤其是对j 二翼身 基于兆轭方程方法的多段翼型优化l 啦计 组合体，多段翼型，全机优化等情形，那么这种优化计算方法在时间上是太不 可取的。 1 9 8 8 年。a n t o n yj a m e s o n 1 7 提出用控制理论的方法进行跨音速气动外形的 设计。这种方法以偏微分方程系统的控制理论为基础，把物体边界形状作为控 制函数，把流场方程作为约束条件，在目标函数中引入l a g r a n g e 因子，将约束 条件问题变成无约束问题。这样，设计问题就成了控制问题。从而可以系统的 解决气动优化和反设计问题。在这种方法中，求解梯度只需要两倍c f d 流场计 算时间，与设计变量的多少无关。 以偏微分方程为基础的控制理论方法是j l l i o n 1 3 最早提出的。这种方法 也称为共轭法，因为梯度的求得是通过解流场控制方程的共轭方程而获得的。 由于梯度的求解完全与设计变量的数日无关，所以这种共轭方法的效率非常高。 根据离散和变分的次序不同，共轭方法可以分为离散共轭方程法和连续共轭方 程法。离散共轭方程法是先离散后变分；连续共轭方程法是先变分后离散。离 散共轭方程的求解格式与流场求解格式一致，但是对于高精度格式，离散残值 与网格点有密切关系，实现起来比较困难。然而连续共轭方程法是以解析的微 分方程为基础，那么，对于求解格式就有较大的选择余地。 利用控制理论进行气动优化的早期工作主要集中于基于e u l e r 方程的流场 模型的共轭法设计。最近空气动力学者们才对基于雷诺平均的n a v i e r - s t o k e s 方 程的流场模型进行计算和设计。在1 9 9 7 年j a m e s o n 教授等人使用连续共轭方程 法完成了基于可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程的三维机翼的气动外型优化 ( a s 0 1 1 2 1 1 4 。在1 9 9 8 年，他们在翼身组合体布局上使用三维粘性共轭方程气 动优化上取得了部分成功 1 2 】。2 0 0 1 年，s a n g h o k i m ，j u a nj a l o n s o 和a n t o n y j a m e s o n 1 利用粘性连续共轭方程和多块搭接网格完成了多段翼型的优化设计 工作。 本文的工作主要分为如下几个章节： 第二章讨论了基于梯度的优化设计方法，推导了欧拉方程的共轭方程； 第三章讨论了二维带襟翼的多段翼型嵌套网格的生成： 第四章讨论了二维多段翼型的欧拉方程解； 第五章讨沦了二维多段翼型的欧拉方程对应的共轭方程解： 两北工业大学硕：i ：毕业论文 第六章讨论了本文工作中所采用的优化算法 第七章分析了共轭法的几个优化算例，证实该方法的有效性和实用性。 本文工作主要在于完成基于嵌套网格的二维欧拉方程的共轭方程解：给定 目标压力分布g a ( w ) 一1 多段翼型的反设计工作；利用n a c a 0 0 1 7 翼型为 原型构造的多段翼型的压力分布作为目标压力分布所做的反设计工作； r a e 2 8 2 2 翼型跨音速区降低激波阻力设计工作。 基f 共轭方程方法的多段翼型优化啦计 2 1 引言 第二章共轭方程法基本理论 这一章简单介绍了传统的基于梯度的优化设计的一般方法。针对传统优化 方法在设计变量较多时不太适用的缺点，研究了基于控制理论的优化设计方法 及其应用。并且，推导了二维欧拉方程的共轭方程以及其边界条件。然后，讨 论了实际计算需要的网格扰动方法和设计空间的参数化。最后又研究了利用共 轭法进行跨音速阻力优化设计的方法。 2 2 翼型优化设计的一般方法 这里所说的一般方法指的是基于梯度的翼型设计方法。翼型设计总是为了 达到某个目标。这个目标由设计人员根据具体情况来提出，比如要求压力分布 与目标压力分布一致，升阻比最大，提高最大升力系数等等。由此可以建立目 标函数。 此外，翼型表面f 可以用一组型函数表示，即 k = n y ( x i ) = 丘( 薯) k = l 吼是型函数的系数，通常称为设计变量。 那么，目标函数，与翼型表面f 之间的关系可表述如下 i = i ( a ) 这里 a = ( 口l ，口2 a ，。) 。 将，在一点展丌 ( 2 2 1 ) 4 西北丁业大学硕士毕业论文 “一 ，( a ) = i ( a ) + ( 口一口) v i ( a ) 此处忽略高阶项。如果 一 一 ( 口一口) = 一允v i ( a ) 那么，( 夏) = i ( 一a ) 一z ( v x ( 一a + ) ) 2 兄 0 一一 所以， i ( a ) 的负梯度方向，( 口) 是减小的。于是， 口= 口一2 v i ( a1 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 因而可以确定新的翼型。 从这里可以看出，梯度的确定对于这类方法是至关重要的。梯度的确定公 式如下： w = 舞，丢毒 对于传统方法，每一个设计变量的变化，都要重新计算一次流动方程，以 便获得田。所以，当设计变量很多时，计算量就特别大。这里还应注意优化算 法的选择。一个好的优化算法，不仅要局部收敛快，还应要求全局收敛好。 通过上面的分析，可以总结出梯度设计翼型的一般步骤： 1 选出合适的目标函数，并用一组型函数表示翼型： 2 扰动每个设计变量，得到目标函数的变化量，重复n 次，可得梯度； 3 沿负梯度方向搜索，使日标函数减小，可获得新的翼型： 4 检查是否满足退出条件，如果不满足，继续返回第一步。 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 注意在具体实现的时候，应该在第三步考虑几何约束条件。 2 3 将设计问题变为控制问题 通常，对于给定目标压力分布的反设计问题，一般存在着解的唯一性问题。 此外，按目标压力分布所设计的外形，有可能是不合实际应用的。如果把设计 问题变为控制问题，那么，不仅可以解决上述问题，而且还可以系统地处理种 种设计阃题。 a n t o n yj a m e s o n 首先研究了这个问题，并用势流方程和欧拉方程的共轭方 程确定了梯度。近来，t a a s a n ，k u r u v i l a 和s a l a s 4 1 7 等人也研究和实现 了这种方法。 对于翼型绕流问题，气动特性( 目标函数) 不仅是流场变量形的函数，而 且也是边界r 的函数，这可以表述为： ，= ，( 肜，r ) 边界r 的变化j r ，将引起流动变量形的变化研矿，所以 a i ：堡孵 堡豁 a 形玎 在上舯品，争盯容易触但聊不容易糯 用控制理论，流动方程作为约束条件引入。这种引入应使得梯度的确定不需要 计算流场。故要从( 2 3 1 ) 中消去艿矽。 流动方程表示了流动变量和边界的关系，即 西北 二业人学碗= i ：毕业论文 r = r ( w ，r ) = 0 由此可以由下式确定羽矿： o r ：堕b w + 塑o t ：o a wo f 下一步，引入拉格朗同因子、王，我们有 a i ：塑胛+ 箜卯一甲t l o ro w + 塑田) a w两、8 wo f 。 = 筹一甲1 嚣 挪+ 罂o f 一甲1 塑a f ) 口。a a 形 、 定义甲满足 那么 这里， 嘲1 甲= 熹 田= g i ：5 r g = 望o f 叫豳a f ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 由( 2 3 6 ) 可以看出，梯度的确定与6 矽无关，因而无需额外求解流场，就可以 获得田对于任意数目的发计变量梯度。主要的计算费用在于求解( 2 3 5 ) ，这 也就是所谓的兆轭方程。一般而言，求解共轭方程与求解流动方程花费时问相 当。对j ：大量的设计变量，可明碰的减少设计时问。由( 2 3 7 ) 可获得g ，将 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 其输入某个优化程序，即可对外型进行优化处理。 2 4 欧拉方程的共轭方程 欧拉方程为： 其中： w 2 地+ 望+ 塑：o 8 t a x 卸 争槲g 倒 p = ( r - o p c e 一1 “2 + v 2 ) p h = 膨+ p 在曲线坐标系下，定义 引入逆变速度分量 几a e t c k ，= 妻高0 一嵩妻 d c，7d 卵d c ( 2 4 - 1 ) 缸一却砂一却砒一鹫砂一鸳 = k 肼牲匡耍0 x 嘲 l 砂 la 孝a 告j 那么，欧拉方程可写为 其中 塑+ 望+ 箜：o a f a 孝a 叩 p w ：j l p u p v 【- 肛 一，黪 或 f ：，( 荨厂+ 荽g ) o xd v g = ，卑f + 孕g ) odv 西北：【业大学硕i ：毕业论文 ，g=，三：雾三 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 在这样的坐标下，我们假定翼型表面c 用卵= 0 表示。那么，边界条件为 目标函数为： v = 0 ，在c 上。 ，= 扣诅舳= l ! ( p - p u ) 2 唼嵫 眨4 训 边界的变化引起口标函数的变化为 定义： 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 6 i = ! ( p - p 。) 印噻赋+ 互1 ；f ( p _ p 艿面d s 赋 4 = 笪a 2 = 伽o g o w，g = 军倒4 1 伽1 乍” 对于定常流动，流动的变化伽满足 其中： 一o g f + 塑：o a 孝a 刁 积：c l 晰+ 万( ，攀) 厂+ 万( ，譬) g 0v ( 2 4 - 6 ) 掰= c 2 跏+ a ( j 宅- ) f + 万( ，挈) g ( 2 4 - 7 ) 咖 对( 2 4 - 6 ) 式乘以拉格朗日因子、王，并在整个流动区域d 积分，则 广1 + 筹胤删 如果、壬，是可微的，那么由分部积分，可得 舞肌0 d 旷叩5 g ) 嘞= p 卵帆甲7 5 6 ) ( 2 4 8 ) + m y 5 f + n ：甲掰) 蟛 c 珂l ，n 2 是边界的单位法向矢量的分量，b 为远场边晃，由于使用0 形网格 0 因而没有沿，7 方向上的边界积分。 这样一来，目标函数的变化可写成 西北工业大学硕士毕业论文 田= 妒印白m 净啊凇( 嘉) 蟛 + 删s ( o ”p tf i f + 挚删矗一( n l ”g t f i f 蝇y 蟛 一胁甲8 f + n 2 v 7 8 g ) d 善 c 因为在翼型表面，n l = o ，玎2 = 一1 所以 r 0 除 l 苟印 【_ 0 ( 2 4 - 9 ) 将卵，掰的具体形式代进上式去，并假定、王，= ( ，l 虬，g 4 ) 是共轭方 程 的定常解。 鲨一口塑一口型：0 a t 。1 a 。2a 卵一 在外边界b ，由于f i w 的变化非常小，故设、王，= 0 在内边界c ，令、壬，满足 ( 2 4 1 0 ) o辔皿砂。 万 万 p + 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 ，( y ：罢十y ，署) 一( p 一磊, i s ( 2 4 - 1 1 ) 0 叫口c 于是目标函数最终变化为 + 罢( 万( ，挈) 厂+ 万u 挈) g ) ) d 弘叩 d ，7o 卵 + 肛叫懈哪硝 = 三( p 一岛声( 嘉) 蟛+ 筹( 艿( 嵩) 厂一万( 高) g ) + 霉! ( 一万彦) 厂+ 万e ) g ) ) d 彰7 7 o r d 言d 玎 + 少：万( 一+ 5 ( a x i ) ) p d 善( 2 4 - 1 2 ) 再次利用分部积分，得到： 鸳一钞 矽 矿 虫蟛噻，丝缸 户 联d ，l p ，一 一 掣一沦， 丝苗 ( 心c =id g 塑叻 万 芦j 、 一 埘 厂 生西驾嚷至叻 留 双 既 旦鸳 一 门 p 吁 rjc rjd l 一2 一 | i 口 西北t 业大学硕i ：毕业论文 + 甲南( 万( 一善) 厂+ 万( 高) g ) ) d 彰玎 妒一耖坝务嵫( 2 4 - 1 3 ) 其中，g 是去掉压力p 的厂，g 。 以上推导是针对亚音速流而言。如果是跨音速流，则在流场中会出现激波， 那么p p d 是不可微的。由边界条件( 2 4 1 1 ) 推知。甲也是不可微的。这与 式( 2 4 8 ) 假定、壬，是可微的相矛盾。这个问题可以通过选用另外的目标函数加 以克服。选用如下的目标函数： ，= 圭胁2 州刁d z2 毒蟛( 2 4 - 1 4 ) 这里 ，如是参数，z ( 孝) 是周期函数，并满足 于是 丑z 一如t ：虿d 2 2 = p 一岛 ( 2 删) 口= ( 丑z & + 如面d z 面d & ) 面d s 蟛c与， = z ( 瑟一以万d 2 弦磊d sd 舌 ci ， r 。，幽， 2i z 印i d 告 毒 d 言 这样，就用z 代替了p p 。而z 与p p d 应满足( 2 4 1 5 ) 。( 2 4 1 5 ) 的求 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 解可以理解为一个积分过程，于是z 是可微的。在这里推导时，没有考虑其它 各项的变化。在具体做时，与亚音速的推导步骤相同。 考虑到计算串认为激波是有一定厚度的，并且求解流场时所用的数值离散 方法所求解的函数具有有限斜率，因此p p d 是可微的。这样，由亚音速流所 导出的各项表达式对于跨音速流也是适用的。但应注意到，、壬，场会出现类似流 场激波那样的间断解。因此，在求解、王，时，应采取一定的措施，使、壬，场中的 间断解可以被捕获。 2 5 网格扰动 从上面的推导可以看出，目标函数的变化与流场的变化无关，仅与度量矩 阵的变化有关。计算田时，一种办法是利用网格生成程序和有限差分来得到必 要的信息。虽然这种办法也可以避免确定梯度时大量求解流场，但是依然要反 复调用网格生成程序。所调用的网格生成程序的次数正比于设计变量的个数。 这是可以接受的，因为所调用网格生成程序的时间比求解流场的时间少。但是 对于三维情况，设计变量之多和网格生成费时之多，使得这种方法相当费时。 对于复杂的三维外形，生成网格时不容易的，即使是自动生成网格也是不实际 的。所以这种方法不可实行。 为了解决这个问题，本文采用了一种网格扰动的方法。使用这种方法，首 先要生成贴体网格。生成的新网格也与外形表面贴体，并要求外边界不动。其 生成使用下面的办法： x ”删= x 。埘+ ，( x ：州一x ，o 耐) y ”= y 。肼+ r ( y ：“”一y o “) 这晕x ”，y ”“等表示空间的网格点，x 。o 埘，y 指的是表面_ l 二的点。r 表示 从外边界发出的网格线的弧长，并单位化。故在内边界，4 = 1 。因此可得 两北1 二业大学硕，i ：毕业论文 舐= r & s 眵= r a y 。 ( 2 5 1 ) 把上式代入( 2 4 - 1 3 ) ，可将式中面积分化为线积分，从而目标函数的变化 表示为： 其中， 跏l c f ( p - p n 膨白蟛 一班缸托叫 ( 2 5 2 ) 当扰动太大时，这种方法不能保证网格线不相交。如果出现了负体积，只 需调用原来的网格程序重新生成一遍网格。 2 6 梯度的获得和设计空间的参数化 在a n t o n yj j t m e s o n 芦期的一：作中，每个表面网格点当作设计变量。在三 声j 、 一略 哦 霞 丝 孰一琵，矧喏 l 江 望鸳 吼 ，cc 甲 叩 叼 d d 曙 曙 旦鸳旦却 t t 甲 甲 叩 叩 d d 哆 旦鸳旦却 t t 甲 甲 ，ilj，j l | l z 綦于共轭方程方法的多段翼型优化设计 维机翼的情形下，设计变量多达4 2 2 4 个。对于这么多的设计变量，传统的有限 差分法无法计算。h i c k s 和其他人采用了一组型函数对设计空问进行了参数化。 使用这样的型函数，对形状表面进行扰动，可以极大减少设计变量的个数。并 且对于一些几何约束，比如对称性，厚度，体积等，采用型函数可以显式的控 制。这样就降低了对优化算法的要求。而且，选择特定的型函数，可对一些感 兴趣的部分进行细致处理。但是这些型函数的缺点是不正交，不能形成完备空 间。因此，对于一个实际存在的压力分布，就不一定保证可获得反设计问题的 解。尽管如此，型函数的使用证实是相当有效的。 另一类方法是采用b 样条的控制点作为设计变量。这样，就可以用b 样条 来表示几何外形。就像h i c k s 的方法一样，b 样条也可以减少变量的个数，对 几何约束可进行显式的控制，还可以进行局部控制。使用b 样条似乎比h i c k s 的方法好。因为在设计变量数目给定的情形下，它的完备性更好。而且，b 样 条在c a d 中使用很广，在工业部门推广应用容易。但是在实际中发现，在控制 点较多的时候，b 样条容易产生波动。然而可以用隐式光顺处理该问题。 选择好了一组设计变量( 比如说，b i ) ，其能使翼型表面光滑的变化，那么， 目标函数对于设计变量的导数为 吣) = 簧 为了构造梯度，应选择一完备的设计空间。这一空间一般是无穷维的，在 实际中，总是有限维的。因此，设计变量的选择对于最后的结果也有影响。本 文主翼和襟翼所用的型函数如下 曩= s i n 4 ( 船1 ) n f = 丑l o g o 5 l o g x ， 其f l x ，( i = 1 ，2 ，1 6 ) 依次为0 0 3 ，0 0 6 ，0 0 9 ，0 1 3 ，o 1 6 ，0 2 0 ，0 3 0 ，0 4 0 ， 0 6 0 ，o 7 0 ，o 8 0 ，0 8 4 ，0 8 7 ，0 9 1 ，0 9 4 ，o 9 7 。型函数，| f 表面各分柿1 6 个。主翼 两北t 业人学硕 。毕业论文 襟翼一共有6 4 个。丑为比例因子系数。在两端根据情况取o 丑 j r 。，p 点位于圆外； r 0 ，则p 点在c 外：若尺， 0 ，则p 在c 内。 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 牲g g i 中落在洞内的点从解中去除，并将其标记参数i b l a n k = l 的所有网 格点p ，将最靠近洞边界p 定义为边界点，在边界点处的物理参数需要从g i 十l ，j 的网格中插值获得。将边界点构成一个插值时使用的清单，一旦清单形成后， 为了减少流场计算时间，可以再将边界点的i b l a n k 值置为零。 3 4 流场信息的传递 洞边界的确定表示人为的建立相邻网格重叠区中的内边界的位置。流场计 算时，予域求解过程中必须满足此边界上的边界条件一相邻子域的解通过此边 界时匹配这可以通过插值方法来实现，即在g f 中求解时边界点上的流动参 数由相应的g f + l ，网格点上的流动参数值通过插值来确定。在本文中也就是：求 解主翼的欧拉方程和共轭方程时，其洞边界上网格点的流动参数由对应的襟翼 网格点流动参数值插值决定；求解襟翼的欧拉方程和共轭方程时，其洞边界上 网格点的流动参数由对应的主翼网格点流动参数值插值决定。这样，在每次计 算时相互交换洞边界流场信息，再反复叠代，最后就可以同时收敛得到正确的 多段翼型流场解或共轭方程解。 双线性插值公式： = a 1 + 口2 亭+ a 3 r + a 4 孝7 7 ( 3 4 - 1 ) 其中，0 矽 1 , 0 善 1 , 0 1 7 1 ，而口l ，a 2 ，a 3 ，a 4 为取决于正方形4 个顶 点的流动参数值的系数，即 a 。= 破 a ：= 欢一珐 a ，= 九一珐 a 4 = 氟一织一识+ 识 ( 3 4 2 ) 由于双线性插值只能在正方形上使用，而曲线坐标系生成的网格单元是l 均 四边形，所以为对单元内一点的流场参数进行插值，必须先将曲四边形转换为 i l - t j 形。这个可以用等参变换来完成。( ，卵) 与( z ，y ) 的对应关系为： 西北工业人学硕l 毕业论立 x = a i + 以2 孝+ a 3 r l + a 4 毒叩 y = 6 1 + 6 2 孝+ 6 3 叩+ b 4 善r ( 3 4 - 3 ) 其中a la 2 ，a 3 ，a 。；6 l ，b 2 ，也，玩是取决于物理空间曲四边形定点坐标的系数， 可以类似于( 3 4 2 ) 式求解。正方形内任意点p 的( _ c ，y ) 是已知的，由式( 3 4 3 ) 利用牛顿迭代法，可以求得对应的( 善，叩) ，再根据( 3 4 1 ) 求得对应p 点的流动 参数值。 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 4 1 引言 第四章二维多段翼型的欧拉方程解 多段翼型欧拉方程解是在单段翼型欧拉方程解的基础上，在主翼和襟翼网 格重叠处采用嵌套网格技术，通过边界流场信息交换，反复迭代从而得出多段 翼型的流场解。本章节通过求解非定常的欧拉方程来获得多段翼型绕流的流动 参数。非定常的欧拉方程的求解采用有限体积法。该方法使用积分形式的欧拉 方程，空间采用中心格式离散，并用五步龙格库塔法对时间推进求解，使方程 的解收敛到定常状态。为了消除奇偶失联和驻点附近以及激波附近的振荡，引 入二、四阶导数构成人工粘性项；同时采用了当地时间步长，焓阻尼、隐式残 值光顺等加速措施来加速收敛。 4 2 欧拉方程及其离散 欧拉方程见式( 3 4 1 ) ，其积分形式为： m 肚澍 q = 训! + w 边界a q 。是这样构成 厕 芦：ip u q + p i l 棚+ p j l 阚j a q 口2 s 。一；+ s 。；+ s “+ ：+ s ，；， ( 4 2 一 =舔 旷 +眦 d 一出 ， 西北f 业人学硕：i ：毕业论义 采用半离散法，将空间项与时间项去耦。取单元( f ，) 的平均值为谚， 则 嘎2 古p h u 为q ，的面积。大小为： h u = 0 5 ( z ，+ 1 j + i 一工，j ) ( y u + l y i + l , j ) 一( y f + 1 ，j + l 一y u ) ( x “+ 1 一x i + l , j ) 于是，式( 3 2 一1 ) 可写为 丢彬) + 亘u = o 磊，代表流经单元的通量，其值为： 这里， q f = ，钆+ ；廿 + 乒蜃l 。+ ；，一芦j l ，一；， 亏卜；2 芦( 扣，+ 彬卜1 ) ) 4 3 边界条件 4 3 1 壁面条件 在壁面上，根据无穿透条件，可得 基于菇轭方程方法的多段翼型优化设计 虿。s 。= 0 “j“i 通过s ，的通量为 i 7 y 玑= ”j 0 p s ：1 7 “i “i pl s 2 ) 。i “i 0 同时在无粘流中，物面是流线，存在法向动量关系式 厮( 西g r a d ) k = 元g r a d p j i 表示物面的单位法向向量。这个方程沿物面的流线成立。它联系了密度、 速度、物体的几何形状和压力的法向导数之间的关系。 4 3 2 远场边界条件 由于在计算中，所用的是有界区域，故需引入人为的远场边界。所引入的 远场边界应保证扰动波不会被反射回来。不合适的远场边界条件会降低解的精 度，减慢收敛速度。利用r i e m a n n 不变量处理远场边界： 肛旷鲁 旦r 纨 + 皑 g 式 = 七 r 既一匹在 两北e 业大学硕l 毕业诧支 盯弧。一鲁 r 。+ = g 。+ 万2 a e 两式相加减，得 在入流边界，q 。 0 ，边界点的切向速度和熵由计算区域内部外插得到。利用这些值， 远场边界的物理量可全部求出。 4 4 人工耗散 使用中心平均公式的有限体积格式( 4 2 2 ) 不具备耗散性，这就是说， 某些高频误差分量在求解过程中是不衰减的，造成这种情况的原因是用差分代 替微分时，舍弃了高阶导数项引起的。如果在有限体积格式中适当地加入一些 高阶导数项，就可以避免出现振荡现象，使数值解完全收敛到定常状态。这些 高阶项称为人工粘性或人工耗散。 引入人工粘性，方程( 4 2 2 ) 可写为： 丢( 。彬，) + 磊厂西u = 。 耗散因子西，定义为： 一一 r 一 一一4 墅 一 + 一2 d 彤一 卜 = 叫 纵 口 基于共轭方程方法的多段翼型优化设计 口，2 d 哼，- d 一广d u + ；一“一； 其中， 一巾 占渺一彬，) 这里， 一占遥( 形忆，一3 形扎，+ 3 彬。，一彬 埘 是为了使耗散通量项具有适当的权重的标量因予。 r ：，是单元体q “的名义时间步长( c 儿= 1 ) 。 占2 ；，占4 ；是与当地流动梯度有关的自适应系数， i + = ，j i + - g ， s 墨，= k 。m a x ( y i + 2