（基础数学专业论文）解第二类非线性积分方程的小波galerkin方法.pdf

摘要 本文延续了论文【l ，2 】的课题研究，并且分别提出了求解第二类非线性 f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程的小波g a l e r k i n 方法这些积分方程在许多物 理、工程等问题中用作数学模型并且在利用边界元法求解偏微分方程时有着广 泛的应用近年来许多科学工作者利用g a l e r k i n 方法和小波配置方法对第二 类线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程给出了有效的数值解法关于第二类非 线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程，文献【2 】应该引起我们的注意y m a h m o u d i 在文献【2 忡利用l e g e n g r e 小波给出了求解第二类非线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程的小波g a l e r k i n 方法，并且得出了满意的结果但是，在 严格意义下，文献【2 】中利用的l e g e n d r e 小波不是小波函数而是尺度函数 本文首先构造了空间s ：i 口，6 】( 限制在区间【n ，b 】内次数不超过k 的分段多项 式组成的空间，其中区间【n ，川内有竹个均匀的分点) 的一类标准芷交l e g e n d r e 小波基并且这类小波基是不连续的而且具有紧支集本文利用所构造的正 交l e g e n g r e 小波分别提出了求解非线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程的小波 o a l e r k i n 方法利用在区间【n ，b l 上构造的l e g e n d r e 小波对非线性积分方程的进 行离散化，将非线性积分方程转化为非线性代数方程组，所得到的非线性代数 方程组可以利用n e w t o n 迭代法进行求解此外，本文对求解非线性积分方程 的小波g a l e r k i n 方法进行了收敛性分析并且得出了解的误差估计并且，我们 给出了三个数值计算例子，给出的三个数值例子的计算结果表明了我们利用的 小波基是稳定的而且也说明了提出的小波o a l e r k i n 方法可以通过较少的运算 得到较精确的计算结果 本文的小波o a l e r k i n 方法可以推广应用，一方面可用于求解第二类非线性 f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程和方程组、线性和非线性微分- 积分方程组另 一方面，也可以将有限元方法理论和小波方法结合起来可以改善有限元方法数 值解的精确性 关键词：l e g e n d r e 小波；非线性f r e d h o l m 积分方程；非线性v o l t e r r a 积分方 程；g a l e r k i n 方法；数值近似 l a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n t i n u e st h et h e m eo ft h ep a p e r s 【1 ，2 】a n dd e v e l o p st h ew a v e l e t g a l e r k i nm e t h o df o rt h en o n l i n e a rf r e d h o l ma n dv o i t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n so ft h e s e c o n dk i n d t h e s ee q u a t i o n sa r eu s e da sm a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rm a n yp r o b l e m si n p h y s i c sa n de n g i n e e r i n g t h i st y p eo fe q u a t i o n sc o v e r sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s i n c l u d i n gb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s 。w h i c ho c c u r sa sr e f o r m u l a t i o n so fo t h e r m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s r e c e n t l y ，m a n y a u t h o r s p r e s e n t e f f i c i e n tn u m e r i c a l s o l u t i o n sf o rt h el i n e a rf r e d h o l ma n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n so ft h es e c o n dk i n d b yg a l e r k i na n dc o l l o c a t i o nm e t h o d s w h e ni tc o m e st ot h en o n l i n e a rf r e d h o l ma n d v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n ，a t t e n t i o ns h o u l db ep a i dt o 【2 】i n 【2 】，y m a h m o u d iu s e d s 0c a l l e dl e g e n d r ew a v e l e t st os o l v et h en o n l i n e a rf r e d h o l ma n dv o l t e r r ai n t e g r a l e q u a t i o n sa n dg o tag o o dr e s u l t h o w e v e r ，i ns t r i c t l ys e n s e ，t h eb a s i sf u n c t i o n su s e d i n 【2 】i sn o tw a v e l e tf u n c t i o n sb u ts c a l i n gf u n c t i o n s f i r s t l y ，i nt h ep r e s e n tt h e s i sak i n do fo r t h o n o r m a ll e g e n d r ew a v e l e t sb a s e so f s p a c es ：【o ，b 】( t h es p a c eo fp i e c e w i s ep o l y n o m i a l so fd e g r e el e s st h a no re q u a lt o k o nt h ei n t e r v a lh m w i t hnu n i f o r mk n o t s ) i sc o n s t r u c t e d a n dt h ew a v e l e t s c o n s t r u c t e da r ed i s c o n t i n u o u sa n dc o m p a c t l ys u p p o r t e d a n dw a v e l e tg a l e r k i n s c h e m e sb a s e do nd i s c o n t i n u o u sc o m p a c t l ys u p p o r t e do r t h o g o n a ll e g e n d r ew a v e l e t s t os o l v et h en o n l i n e a rf r e d h o l ma n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n so ft h es e c o n dk i n d a r e p r e s e n t e d ，r e s p e c t i v e l y t h e n o n l i n e a r p a r t o ft h e i n t e g r a le q u a t i o n i s a p p r o x i m a t e db yt h el e g e n d r ew a v e l e t sc o n s t r u c t e do nt h ei n t e r v a l 【d ，6 】，a n dt h e n t h en o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o ni sr e d u c e dt oas y s t e mo fn o n l i n e a re q u a t i o n sw h i c h c a nb es o l v e dw i t hn e w t o ni t e r a t i v em e t h o d i na d d i t i o n a l ，ac o m p l e t ea n a l y s i sf o r t h ec o n v e r g e n c ea n dt h ee r r o re s t i m a t ei s g i v e n t h r e ei l l u s t r a t i v ee x a m p l e sa r e i n c l u d e dt od e m o n s t r a t et h a to u rw a v e l e t sp r o v i d ei ss t a b l e a n di ti ss h o w nt h a to u r a l g o r i t h my i e l d sv e r ya c c u r a t er e s u l t sb yl e s sc o m p u t a t i o n a lc o s t o no n eh a n d 。o u rm e t h o d sc a nb ee x t e n d e da n da p p l i e dt oaw i d ec l a s so f 1 1 1 n o n l i n e a rf r e d h o i mi n t e g r a l e q u a t i o no ft h es e c o n dk i n da n dt h es y s t e mo f n o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，l i n e a ra n dn o n l i n e a ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ，c o m b i n i n gt h et h e o r yo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hw a v e l e t c a ni m p r o v et h ea c c u r a c yo ft h en u m e r i c a ls o l u t i o nb yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d k e y w o r d s ：l e g e n d r ew a v e l e t s ；n o n l i n e a rf r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n s ；n o n l i n e a r v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n s ；g a l e r k i nm e t h o d s ；n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n i v 表索引 表3 - 1 例3 2 1 的数值解结果2 9 表3 2 例3 2 2 的数值解结果3 0 表3 - 3 例3 3 3 的数值解结果3 3 图3 - 1 图3 - 2 图3 - 3 图索引 四 ； 弘 象象象图图图的的的 l 2 3 2 2 3 3 3 3 例倒例时时时 4 4 3 = = = k k k 和和和 2 2 1 l l i i = n n n 当当当 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：装丛 日期：主变鹭盥 学位论文著作权声明 本论文作者声明： 口本论文全部成果均为本人和指导教师合作研究取得，本人和指导教师 都有权使用本成果学术内容( 有第三方约定者除外) 。 口本论文为指导教师指导下，本人独自完成。本人独自享有本论文的全 瓣篡始囊塑燧名：幽组学位论文作者签名：交塑指导教师签名：逆至兰缕垫 日 期；型监垡塑 日 期：蚴么四矧 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解海南师范大学有关保留，使用学位论文的规定， 即：海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子文本，允许论文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文 主墨耄萎荔萎姜耋亍罂权书指导教师签名：丞倒学位论文作者签名：垄憋指导教师签名：z 笙兰缸2 z 日 期：塑虹丰垫望 日 期：丝z 匀笸盥：蜘 第一章预备知识 1 。1 小波f i a i e r k i n 方法介绍 在本论文中，我们考虑的积分方程为定义在r “( 其中竹2 1 ) 内有界区域刀上 的第二类非线性f r e d h o i m 和v o i t e r r a 积分方程这些积分方程在许多物理、工程 等问题中用作数学模型并且在利用边界元法求解偏微分方程时有着广泛的应用 ( 觅文献【3 ，4 】) 在实际应用过程中，这些方程采用分段多项式配置法或肴 g a l e r k i n 方法进行数值求解，而且得到的系数矩阵一般为满秩矩阵当满系数矩 阵的阶数非常大时，生成系数矩阵和然后对其对应的非线性方程组求解的计算 量非常之大因此，研究这类积分方程的数值解法具有十分重要的理论和实际 意义本文主要研究利用小波g a l e r k i n 方法求解这类积分方程 利用小波方法对偏微分方程和积分方程进行数值计算是近年来许多科学工 作者的研究课题对于线性积分方程的小波求解思想，gb e y l k i n 等在文献 5 - 1 1 及其所应用的参考文献中给出了求解积分方程的小波g a l e r k i n ( p e t r o v g a l e r k i n ) 方法值得注意的是，gb e y l k i n ，r c o l f m a n ，v r o k h l i o n 在文献( 5 中研究发现 在一定的精度要求下，奇异积分算子利用具有紧支集的正交小波基表示可以得 到稀疏的系数矩阵也就是说，系数矩阵的大多数元素小到可以将其忽略不计而 不影响到整体的逼近精度w ，d a h m e n ，s p r o e s s d o r lr 。s c h n e i d e r 在文献 7 ，8 中研究了采用基于加细方程的周期小波求解椭圆伪微分方程的p e t r o v g a l e r k i n 方法t y o np e t e r s d o r f f , c s c h w a b 在文献 1 0 3 中提出了采用零次和一次样条预 小波求解第一类边界积分方程的小波g a l e r k i n 方法的截断策略同时，t v o n p e t e r s d o r f f , r s c h n e i d e r ，c s c h w a b 在文献 1 1 中研究了采用三角形上不连续分 段线性小波求解三维流形上的零阶椭圆伪微分方程的p e t r o v g a l e r k i n 方法c a m i c c h e i l i 。y x u 在文献 1 2 ，1 3 中对不变集提出了一般的构造多维不连续正交和 双正小波的方法类似地，z c h e n ，c a m i c c h e l l i ，y x u 在文献 1 4 中对不变集 上关于插值的相似情形探讨了多尺度函数的递归构造方法和近似方法z c h e n ， c a m i c c h e l t i ，y x u 在文献 6 ，9 ，i 5 中推广了利用分段多项式的小波g a l e r k i n 方法，p e t r o v g a l e r k i n 方法和小波p e t r o v g a l e r k i n 方法对于非线性f r e d h o l m 和 海南师范大学硕士学位论文 v o l t e r r a 积分方程，y - m a h m o u d i 在文献 2 中给出t l e g e n d r e j 、波求解方法但 是，其中采用的基函数事实上不是小波函数而是尺度函数采用分段多项式小 波进行计算的一个优点是其具有显式表达式，这给计算带来了非常大的方便 此外，在计算中利用的基是分段多项式基通过平移和伸缩变换得到的，这也给 理论分析提供了方便在求解积分方程的常用数值方法之中。配置法在工程上 由于生成离散方程的系数矩阵的计算量比较小而得到了充分的重视与配置法 相比较，利用g a l e r k i n 方法对积分进行计算需要更大的计算量( 见文献 3 ，1 6 ，1 7 ) z c h e n 。c a m i c c h e l l i ，y x u 在文献【1 8 中推广并分析了求解一般一般积分方 程的快速配置方法对基函数和配置泛函进行认真的选择后，矩阵截断策略的 弓l 入可以得到求解积分方程的快速算法， 数值分析和科学计算研究的主要焦点之一是提出求解包括微分方程和积分 方程在内的算子方程的稳定，有效而且快速的数值算法这些算法的提出对大 规模科学计算具有十分重要的理论和实际意义求解微分和积分算子方程通常 可以分为三个步骤第一步，在近似理论阶段选择适当的子空间和子空间的合 适基第二步利用第一步中的基将算子方程离散化，并且分析近似解的收敛 性这一步得到的离散化代数方程组是算子方程数值解的主要考虑闯题第三 步，在数值代数阶段对于离散化代数方程设计出一个有效的算法最终目的是 有效求解离散化代数方程组得到原算子方程的高精度的近似解微分和积分算 子方程的理论分析和实际计算表明这三个步骤是紧密联系在一起的设计离散 化代数方程的有效算法应该考虑子空间及其基的选择，算子方程的离散化方法， 以及将其离散化得到的代数方程组的致值解法此论文中我们将从以上三个方 面来考虑小波g a l e r k i n 方法，来对非线性f r e d h o l m 和v e l t e r r a 积分方程进行有效的 求解 这篇论文由三章组成这章余下的部分我们介绍算子方程投影法的一般理 论，这在后面各章中将会用到第二章我们将阐述分段多项式小波基的一般构 造方法，并且给出s ：【o ，l 】0 0 l e g e n d r e 、波基的具体构造步骤第三章我们着重对 求解第二类非线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程的小波g a l e r k i n 方法分别进行讨 论，并且阐述利用第二类非线性f r e d h o l m 积分方程的截断策略得到快速算法的基 本思想另外。我们具体讨论小波o a l e r k i n 方法的离散格式，并且讨论与第二类 2 第一章预备知识 非线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程对应的算子方程投影解法的收敛性和误差估 计最后，我们并对非线性f r e d h o l m 和v o l t e r r a 积分方程的解法及未解决的问题 作进一步的说明对这些方法的推广将有助我们对求解算子方程和方程组提出 快速，精确和稳定的算法 1 2 投影法的一般理论 这节主要考虑求解如下算子方程： 一4 “= ， 和 ( z - 硒缸= ， ( 1 z 2 ) 投影方法的一般理论，其中4 是一个b a n a c h 空间x 到另一个b a n a e h 空间y 的 算子，z 是b a n a c h 空间x 上的恒等算子，：x 呻x 是空间x 上的线性紧算子， 假设，e y ( 或者x ) 为已知函数，u 是方程的待定函数关于算子方程( 1 2 1 ) 和( 1 2 1 ) 的详细讨论可以参见文献 4 ，1 9 1 2 1投影算子 、 我们首先介绍投影算子 定义1 2 1设x 是线性赋泛空闯，v 是x 的一个非平凡子空间如果有界线性 算予p ：x 斗v 满足条件： p 口= qv 口e v ， ( 1 ，2 3 ) 那么，算子p 称为从x 到v 上的一个投影算子 命题1 2 2 一个非平凡的有界线性算子p 是投影算子的充分必要条件是其满 足p 2 = p 此时，l p l 1 证明 如果是p ：x - - - * v 一个投影算子，那么v 善x ，p 2 z = p 沪功= p 霉，即 p 2 = p 反之，假设矿= p 注意到任意 e v # p 可以表示成v = p x , 了善e x ，我 3 塑堕壁蔓查兰堡主兰垒堡苎 们有p t ，= 铲霉= p o = t ， 最后，算子p 满足如下性质p 2 ；p ，i p r i 矿l = ipi ，命题证明完毕 口 定义1 2 3 设h 是一个内积为( ，) h i l b e r t 空，v 是它的非平凡完备子空间 如果从x 到v 上的线性算子p 满足条件： ，们= 0 ，们，v x e x ，v ( 1 2 4 ) 那么，算子p 称为正交投影( 算子) 注意：当i ip0 = l 并且p 2 = p 时，n - i 以根据定义证明上述定义的算子p 是一 个投影算子而且，我们有下列性质 命题1 2 4 设h 是一个内积为( ，) 的h i l b e r t 空间，v 是它的非平凡完备子空间 从x 到v 上的正交投影p 将每个元素z 噩映射到它关于v 的最佳逼近，即 v z e h 。 肛一删= 蜡肛一训 饨y 证明根据正交投影的定义可以得知，对于h 和t ，e v ， 、 牡卅2 = 肛伽1 2 + 8 仇_ 川2 ， 命题证明完毕 口 下面我们介绍插值投影算子首先，我们引入如下记号：n - l ，2 ，3 ”) ， n o ：= o l ，2 ，乙 o ，l ，2 ，m - l ，m n 和r “，h e n 表示7 1 维空间 定义1 2 5 设x 是一个范数为0 l 的b a n a c h 空间，v 是其有限维子空间并且 d i m v = m ( m e n ) ，p ，：j e 磊 是x 的对偶空间x 上的一族泛函如果忱ex 存 在唯一的元素阮v 满足条件： f ，( 7 ) = ，( ) ，瓦 ( 1 2 5 ) 那么，p ：j 乙) 称为v 唯一可解的 4 第一章预备知识 命题1 2 6 “” 设v 是8 a n a c h 空间x 的一个m 维子空间，一族泛函p j ：j e z 0 是 v 唯一可解的充分必要条件是存在v 的一族元素 呜：j 瓦 满足条件： c j ( 破) = 岛，j e z 。， 其中毛是k r o n e c k c r 符号此时，p 是从x 到v 上的一个插值算子，而且v 正x ， 钆= f ， ( 1 2 6 ) ，t 瓦 证明命题证明见文献 1 7 】 0 设d 是r 4 中的一个有界闭集。x 是一个定义在d 上的函数构成的空问，v 是 x 的m 维子空间，p j ：j e 乙) 是v 唯一可解空问， ：j e 瓦) 是d 中的一族点如 果泛函l ，j e z 。由下式唯一确定： f ，0 ) = z ( ) ，z x ，j z 0 ， ( 1 2 7 ) 也就是说，是关于的与点赋值泛函，那么算予p ：x - - v) 9 l a g r a n g e 插 可以证明，若p 是从伙d ) 到似d ) 的插值，则 、 i p l - 学善) 月 最后，我们介绍一类称为广义最佳逼近的投影算子( 见文献 1 6 】) 设xb a n a c h 间，x 是其对偶空间以烈功# ( 重，d 表示有界线性泛函 f x 在z x 的值设序列 x 。 和 x ) 分别是空间x 和y 的有限维子空间序 列，并且满足条件：( 1 ) v 喾x 和v y e y ，j e x 。和巩e k 使得8 吒一叫_ o 和 k 一训_ o ，w , - - ) o o ，并b d i m x 。= d i m y ，n o n 定义1 2 7 设$ e x ，如果元素砥x 。满足条件： ( $ 一只茹，们= o ，v e k ， ( 1 2 9 ) 那么，砥称为从x 到。关于k 的最佳广义逼近 5 海南师范大学硕士学位论文 类似地，假设v e y ，如果元素p 玩e x 满足条件： 0 一碍鼽。) = o v z e x ， 那么，p 饥称为从y - 到耖关于x 。的最佳广义逼近 我们现在给出任意z e x 有从x 。关于l 的唯一最佳广义逼近的充分必要条 件下面我们以x ：表示x 。在中x + 的零化子并且称x 上k 如果k n x ： o ) 定理1 2 8 假设z c x ，从x 。到2 关于y 的最佳广义逼近存在韵充分必要条件 是 n x ；= 卿 此时，只是投影算子 关于从k 到f 关于x 。的最佳广义逼近的相同结论成立 ( 1 2 1 0 ) 证明设已知卫e x ，并且假设空间x 和y 的基分别是撕，如，) 和 嗍，也，“j 要证明满足方程( 1 2 9 ) 的纸e x 。的存在唯一性，我们等价地证明方程组 、c 翰，也) = 0 ，吻) ，j = 1 ，2 ，n “ 有唯一解k ，岛，铅 。这等价于证明系数矩阵a 芦( ( 磊，妒j ) ) 。是非奇异的 必要性证明，我们假设存在口k n x ：由于v k ，我们可以表示为 可= 三屯也因为x ：，我们有 也( 嗔，也) = o ，i = 1 , 2 ， 由于矩阵a 是非奇异矩阵，6 j = o ，s f f i l ，2 ，所以v = 0 ，且y , n x ：= o ， 使得 充分性证明，反之，如果矩阵a 是奇异矩阵，那么存在不全为零的岛，也，6 屯磁，毗) = o ，i - i ，分， i - 1 6 第一章预备知识 因此掣= 二刍j 嘭o ，且分k n x ：这说明k n x ： 0 ) ，矛盾 下面证明只是投影算子我们有v z 乍x ，他x 。满足方程( 1 2 ，9 ) 根据 定义1 2 7 ，我们有p 2 e x 。使得 ( r 。一砰$ ，们= o v ey - 因此， ( 一砰z ，) = o ，v e k 由唯一性。我t r n - j 以得知v x 只= 砰根据命题1 2 2 ，只是投影算子 定理证明完毕 口 在下面各章中，当我们称只( 或者碍) 是从x 。到x 关于k 的最佳广义逼( 或 者从y n 到v 关于x 。的最佳广义逼) 时，空f , - j x 。和k 满足条件( 1 2 1 0 ) 命题1 2 9 假设条件( 1 2 1 0 ) 成立，那么碍= 巧，并且巧x = y ，其中巧表示 算子r 的对偶算子 证明根据算子霞和碍的定义可以得知： ( 喾一7 魏) = ( 7 乏$ 一7 跏) = ( r 马们= o ，v z x ，口x 所以，命题结论成立命题证明完毕 口 下面命题给出了任意z x 有广义最佳逼近的另一个充分条件 命题1 2 1 0 如果存在线性算子r ：x 。_ k 满足凡x 。= k 并且 l z 1 2 q ( 霉，凡霉) ，v 霉x 。， 其中常数q 依赖于馆而不是霉，那么条件( 1 2 1 0 ) 成立，因此，任意盘x 有 从x 。关于k 的最佳广义逼 证明设f x n x l 由于凡x 。= x ，对取定的v 存在z e x 。使得珥z = f 根据 7 海南师范大学硕士学位论文 假设可以得知， i 霉l s q ( 毛i k z ) = q ( $ ，f ) | = 0 v z e x 。， 上式最后等式成立是因为掣x ：这说明z = o 因此f = i i , , x = 0 ，条件( 1 2 z o ) 成立命题证明完毕 口 下面我们考虑的问题是在什么条件下投影算子序列 只) 逐点收敛到空间中 的恒等算子，这对分析投影法至关重要明显地，条件( 1 2 z o ) 不是其成立的 充分条件因此，我们下面介绍另一个概念正则对 定义1 2 1 1 如果线性算子瓦：x 。k 存在并且珥x 。= k 满足条件： ( ) l 茁0 q ( 毛i k z ) ，v e x 。， ( 1 1 1 ) 0 珥棚q lzi i ，v z e x 。， 其中q 和q 是不依赖于n 的正常数，那么空间序列对 x 。，y n ) 称为一个正则对 定理1 2 1 2 如果空间x 。和k 满足条件( i ) 并且空间序列 x 。，k ) 是一个正则 对，那么下列结论成立： 、 ( 1 ) l p , , z - z i - * 0 ，n = = o o jv 茁e x ( 2 ) 存在常数d o 使得0rl i o 不依赖于n d 茁1 ip , q ( 1 ) 根据条件( i ) ，v 。x ，存在序列& e x 。使得恢一z 0 _ o n a o 根据 ( 1 2 9 ) 。( i i ) 和( ) ，可以得知 从而得知 8 一只$ 1 2s 四( 一只$ ，珥( 一只。) ) = 研( 1 一毛i l ( 一r 习) - c 2 1 一枷i 凡( 一只硼 = 研c 2 敝一2 删一只z 盯 k 一只忙c ；c , k - d 呻o ， i 第一章预备知识 因此。 弘一只硼s 卜一i + 1 一只z 卜+ o ， ( 2 ) 根据结论( 1 ) 和一致有界定理，可以得知结论( 2 ) 成立 ( 3 ) 明显地，我们有v e x 。， 4 只霉一硝s 1 只霉一。i + 0 ”一霉i s ( 1 + 1 只i i ) 肛一川 因为根据( 2 ) ，l rl 是一致有界，所以结论( 3 ) 成立定理证明完毕 1 2 2 解算子方程的投影方法 法 口 这一小节我们介绍解算子方程p e t r o v - g a l e r k i n 方法，g a l e r k i n 方法和配置 设x 和y 是b a n a c h 空间，一4 ：x 斗y 是线性算子，而且，y ，考虑算子方程： 求解x 使得 a u = ， 、 一般情形下，x 和y 是无限维空间为了对方程进行数值求解，我们只能在空间 x 的一个有限维子空间求得解，使得在一定条件下近似满足方程也就是说， 设 x 。：n e n ) 是空间x 的一个子空间序列，我们求解x 。使得误差 # 一， 在一定意义下近似为零 p e t r o v - g a l e r k i n y 法设序列岱。 和 l 。) 分别是空问x 和y 的有限维予空 间序列，并且d n # - d i m x 。- - d i m l 。，要求在如下意义下近似为零， ( ，0 f f i o , v f e l 。 即，求解e x 。使得 ( a u ，) - - i f , d ，r e e l 。 ( 1 2 1 1 ) 9 童壹墅苎奎兰堡主兰竺堡苎 上述方法穆为解算子方程的p c t r o v g a l e r k i n 7 y。设存在空间y 的子空间廖列 k 使得 y - ，l 。) 是正则对设r 是根据广义最佳逼近定义的从y 到x 上的投 影，即v t e y ， ( 0 一p 玑力= o ，w e l 。 显然上述近似方程( 1 2 1 1 ) 可以表示为如下算子形式： 凡；只， ( 1 2 1 2 ) 其中a 声只 k 如果序列 x 。) 和 l 。) 的基选择下列形式： x 。f f is p a n 地：j 气) ，a n dl 。= s p a n 讹：j e 气) ， 那么近似方程( 1 2 1 1 ) 可以等价地表示为如下线性方程组的形式：求解 u 。# 心：j e z ，e r 满足 a 。u 。= ， ( 1 2 1 3 ) 其中 a 。：= ( ( 如，哆) ：歹互) 珥，# ( ，哦) ：i 互广( 1 2 1 4 ) 近似解为= 二啦特别地，在x = y 是h i l b c r t 空间，x 。= k 并且 呜= 也，j 气的情形下，此方法称为g a l e r k i n 方法，算子只是从x 到x 上的正 交投影 配置法设y = e ( d ) 其中d 是r 内的有界闭集设序列 x 。 和 k ) 分别是 空间x 和y 的有限维子空间序列，并且d # d i m x 。= d i m k 选取吃个点 譬：i e 气) 使得对应点赋值泛函族 ；：j e z i ) 是k 唯一可解的要使在如下 意义下近似为零 乙， = i ( 彳) = o 即，求解e x 。使得 凡) = ，( 譬) ， e 盈 ( 1 2 1 5 ) l o 第一章预备知识 上述方法成为解算子方程的配置法设p ：x _ v 是从y 到k 上的l a g r a n g e 插 值，上述近似方程可以表示为如下算子形式： 凡= 只， 如果选择空间x 。的基为x 。；s p 锄协：j e 级，那么近似方程可以等价地表示为 对应于p e t r o v g a l e r k i n 方法的线性方程组形式在此情形下， a 。# ( ( 蚀) ( e ) ：t ，j e z i ) 吐，厶# ( ，( 譬) ：t z i r ( 1 2 1 6 ) 1 2 3 收敛性和稳定性 这一小节我们讨论求解算子方程( 1 2 1 ) 的投影方法的收敛性，误差估计和 稳定性关于算子积分方程的收敛性和稳定性详细理论的具体论述见文献 4 。1 9 及其参考文献 设x 和y 是b a n a c h 空间，4 ：x _ y 是有界线性算子，序列体。) 和化) 分剐 是空间x 和y 的有限维子空问序列，并且满足条件( i ) ，只：y _ k 是投影算子 考虑第一型算子方程( 1 2 1 ) a u = 算子方程( 1 2 1 ) 投影方法可以表示为下列投影方程的形式 只一4 = 只， ( 1 2 1 7 ) 定义1 2 1 3 如果v ，e y ，3 n n o 使得v n ，仆n 0 投影方程( 1 2 1 7 ) 有唯一 解e x 。，并且序列 ) 满足一钍，n 斗o o 其中是满足算子方程( 1 2 1 ) 的 唯一解，那么对于算子一4 投影方法称为收敛的 根据算子理论，投影方法称为收敛是指有限维算子 a 车只一4 ：x 。_ k ，v n n 均是可逆的并且满足逐点收敛条件 几只一4 “一n 一，v u x 一般情形下，只要空问序列 x 。 具有稠密性 鹱l 口一ui - * o , t l 寸m ，v u e x ， ( 1 2 1 8 ) 就可以假设投影方法的收敛性因此，在下列讨论中我们假设稠密性条件 1 l 海南师范大学硕士学位论文 ( 1 2 1 8 ) 满足根据递归构造方法给出空间l 2 ( 【o ，1 1 ) 中低次l e g e n d r e 小波基函 数的具体构造步骤( 见文献 2 2 ) ，并且将其推广到空间口( 陋，纠) 上。构造空问 口( 【o ，b 1 ) 上的低次l e g e n d r c 小波基 由于算子凡# 只一4 ：x 。寸k 从有限维空阃x 到有限维空阃y 的线性算子， 利用投影方法可以将算子方程( 1 2 1 ) 化简为有限维线性代数方程组下列定 理给出了投影方法的收敛性和误差估计的充分必要条件 定理1 2 1 4 投影方法收敛的充分必要条件是j e n 。和正常数q o 依赖于 算子使得v 佗 有限维算子 几声e ：x - 9 y - 是可逆的并且算子凡只：x 寸x 一致有界 忙r 4 8 s 以 ( 1 2 1 9 ) 下列误差估计式成立 帆一枷( 1 + 吼) 嘁i n f 卜t i ( 1 2 2 0 ) 证明必要性证假设投影方法收敛，根据定理1 0 3 ( 见【2 0 ) 方程( 1 2 1 9 ) 一致有界性成立 ， 充分性证明，反之，如果定理中假设条件满足我们可以得知 一 = ( 再只4 一z ) u 根据逐点收敛条件凡只一4 口- 口，i j ，v e x ，从而得知 一牡= ( 町1 只4 一刁0 一 所以，误差估计式( 1 2 2 0 ) 成立，并且根据稠密性条件( 1 2 1 8 ) 可以得知收敛 性成立。定理证明完毕 口 定理说明投影方法的误差取决于子空间x 。中的元素对精确解的近似程 假设x 和y 是b a n a c h 空间，有界线性算子s ：x - 9 y 的 rlu 见 5l2i 理 度定 第一章预备知识 逆算子8 - ：y t x 是有界算子，并且对于算子s 投影方法收敛如果有界线性 算子4 ：x 寸y 满足下列条件之一 ( ) i a4 充分小或者 ( v ) 算子一4 为紧算子并且s 一一4 是单射， 那么对于算子s 一五投影方法收敛 证明定理证明见 1 9 定理1 3 7 口 下面我们讨论投影方法的数值稳定性近似解的数值稳定性问题涉及到 投影方程( 1 2 1 7 ) 的近似解和其扰动方程 ( 只a + e 。) = r ，+ 巩，n e n 的近似解的接近程度其中算子：x 。_ k 是算子a # r a ：x 。_ k 的扰动， 而且吼是r ，的扰动 定义1 2 1 6 假设v f y ，j n 使得v n ，l n 投影方程( 1 2 1 7 ) 有唯一 解e x 。如果j ( ，町o 和3 6 0 为不依赖于，和l 的常数使得 l v 乳e ka n d v e 。：蕺_ k 并且l 岛l 6 ，扰动方程( 1 2 2 1 ) 只有唯一解吃e x 。 满足下列方程 i 吃一k s e i e o 删盯x + r l 靠l x ，v n ( 1 2 2 2 ) 那么投影方法称为稳定的 下列定理给出了投影方法稳定的充分必要条件 定理1 2 1 7 设x 和y 是b a n a c h 空间，a ：x _ y 是有界线性算子，投影方法 称为稳定的充分必要条件是，如果条件( 1 2 1 9 ) 成立，即，= i n e n 和= i v 0 为 常数使得下列条件成立 i 凡仳i y l t l x ，v t e x 。，仆2 证明充分性证明，假设条件( 1 2 1 9 ) 成立，那么v i e y ，n 投影方程 ( 1 2 1 7 ) 具有唯一解e x 设0 6 l 为正常数v a c x 和v 正x ，我们分别利用下列 两式定义从到的距离和的直径： 和 d i s t ( x ，椰= i n f d ( x ，妨：口q d i a m ( a ) = s u p d ( z , 坊：x , y a ) 并且，我们通过下式给定空间x 的子集 圣( 由# u 唾( 今 t 龟z 。 根据映射族西的压缩性可以得知存在，r ( o ，1 ) 使得v a c x d i a m ( a ) s w i 锄娩( 椰) ，e e 乙 ( 2 1 1 ) 根据文献 2 0 。可以得知存在空问x 的紧子集e 使得 圣( 司= b 而且满足方程( 2 1 2 ) 的集合冒是空间x 的一个唯一闭并且紧的子集集合 曰称为关于压缩映射族雪的不变集一般情形下，不变集具有复杂的分形结构 例如，存在压缩映射族西的选择使得其对应的不变集日为【0 ，l 】的c a n t o r 子集， 等边三角形的s i e r p i n s k ig a s k e t 我们只对不变集的简单情形进行讨论，例如， 海南师范大学硕士学位论文 正方形和舻中的简单复形另外，我