（基础数学专业论文）一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式.pdf

摘要 本文考虑一类带弱奇异核抛物型偏积分微分方程，时间方向采 用二阶向后差分格式进行离散，对积分项先对被积函数中u x x ( z ，t ) 作 关于时间t 的两点插值近似再积分，得到逼近精度为o ( 丁2 + h 2 ) 的三 层差分格式。为了保持格式的精度，求第一个时间层的数值解时采 用由孙志忠提出的高阶六点隐格式离散，导出了计算较简单的全离 散格式，并通过数值试验得出了一些结论，验证了该离散格式具有 很好的稳定性和收敛性。 关键词：弱奇异核；偏积分微分方程；二阶全离散；六点高精隐格 式：差分格式 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yap a r t i a li n t e g r o - d i f f e ：r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a b o l i c t y p ew i t haw e a k l ys i n g u l a rk e r n e la n dr e s u l tas e c o n do r d e rf u u yd i s c r e t e s c h e m e ，w h i c hu s es i x - p o i n ti m p l i c i ts c h e m ei ns p a c ea n ds e c o n do r d e rb a c k - w a r dd i f f e r e n c es c h e m ei nt i m e ，a n dg i v e nn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h es e c o n d o r d e rf u l l yd i s c r e t es c h e m e ，b yt h ec a l c u l a t i n gr e s u l t sw ec a l lo b s e r v et h es t a - b i l i t ya n de r r o re s t i m a t eo ft h em e t h o d t h ec a l c u l a t i n gr e s u l t so ft h em e t h o d i sa c c u r a t e l yh i g h e r ，c a l c u l a t ei ss i m p l e ra l s o k e yw o r d s ：w e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ，p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s i x - p o i n ti m p l i c i ts c h e m e ，f i n i t ed i f f e r e n c e ，s e c o n do r d e rf u l l yd i s c r e t e i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：乏r 试位a 的l 年月8 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书 2 、不保密匾 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：名a 精佳日期：9 q 年月 譬日 聊虢弥吼肋严占月侈日 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 1 引言 我们将研究下面一类偏积分微分方程数值解的有限差分格 式 饥( z ，t ) 一层卢 一s ) u ( z ，s ) d s = f ( x ，芒) ( 1 1 ) ( 其中核p ( ) = 亡一1 2 f ( u 2 ) ，在t = 0 点是奇异的) 0 z 1 ，0 t o ) ， 映射为如下函数： ( j 1 2 ，) ( t ) = 层 一s ) 一m f ( s ) d s 满足下列性质( 见 6 】) ： ( j 1 2 ( j 1 2 川( ) = 7 rf of ( s ) d s 1 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 硕士学位论文 因此丌一1 2 p i 2 能看成不定积分算子的平方根，通过运用分数次计算 的理论( 见 4 】) ，我们能定义微分算子d = d l d t 的平方根d 1 2 ： d 1 2 d 1 2f ：f ( s ) c 1 8 = ，( t ) ， 7 r - 1 2 d 1 2 p 2 = 恒等算子 在( 1 1 ) 的齐次方程两边运用d 1 2 可得： d 1 2 d u = 7 r 1 2 u ( 1 7 ) 因此方程( 1 1 ) 的齐次方程可被看作介于我们熟悉的方程：d u = 口u 嚣 与d 2 u = 阮船( 口，b 为正常数) 之间的一类方程。 近年来，国内外有很多人研究了这类方程。陈传淼、t h o m d e 和 w a h l b i n i 采用向后e u l e r 格式，空间方向采用线性有限元，积分项通 过内积求积技巧进行离散，得到解的正则性条件及误差估计。l d p e m m a r c o s s 研究了一类非线性的积分微分方程，采用了一阶时间全离 散差分格式。m c l e a n ，t h o m 6 e 【5 】使用了e u l e r 和二阶向后差分格式，空 间方向用g a l e r k i n 有限元方法，并给出了问题( i - i ) 一( 1 3 ) 的正则性估 计。s a 肋z s e m a 【6 】也研究了这类问题，在时间方向，他采用了向后e u l e r 格式和一阶卷积求积逼近积分项，对光滑与非光滑的初始值导出了 相应的误差估计。徐大【8 】考虑了e u l e r 和c r a n k - n i c o l s o n 格式和一阶、 二阶卷积求积，得到了带权的误差估计。e g y a n i k ，g f a i r w e a t h e r z s 使用g a l e r k i n 和配置方法进行时间离散，得到最优阶误差估计； 1 8 l 先通过拉普拉斯变换及逆变换把解表示为光滑围道上的积分，从而 可以采用并行算法来数值求解：【2 1 】考虑的是v o l t e r r a 积分微分方程， 核p ( t ，s ) ：( t s ) 一，0 o 1 ，采用多项式样条配置法，利用适当的 分级网络，可使相应的配置逼近具有仇+ 1 一a 的超收敛阶；由于时 间离散必须保留前面所有的值，它将要求大量的内存，为了克服这 些困难，黄元清【2 】提出了一种迭代格式，从而减少了大量的计算和 内存。s l o a n ，t h o m 6 e 吲建议减少求积区间，使用高阶的求积公式。杨 晓霖在文【3 1 】中空间方向采用差分法离散，时间方向取拉普拉斯数 值逆进行数值计算。陈红斌等 - 0 】运用二阶向后差分格式进行时间离 散，空间方向采用有限二阶差分格式，对积分项采用二阶卷积求积。 由于方程的解在t = 0 不光滑，导致误差估计在整个过程都不能达到 2 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 时间的二阶精度。刘艳给出了数值求解一类偏积分微分方程的 一阶差分全离散格式。时间方向采用了一阶向后差分格式；给出了 稳定性的证明，误差估计及收敛性的结果。本文采用二阶向后差分 格式进行时间离散，对积分项先对被积函数中( z ，t ) 作关于时间t 的两点插值近似再积分，得到逼近精度为o ( r 2 + h 2 ) 的三层差分格 式。为了保持格式的二阶精度，求第一个时间层的数值解时采用由 孙志忠提出的高阶六点隐格式离散，导出了计算较简单的全离散格 式，由于积分项的这种处理，目前我们对其还不能进行严格的稳定 性和收敛性分析，但通过数值试验可得知本格式是无条件稳定且收 敛的。 全文中，我们假设 i u 托( z ，t ) i c t 。1 2 ， i ( z ，t ) i c t 。3 2 ， i u z 。t ( z ，o ) i c ，i u x x 托( z ，t ) l c t 一1 2 ， ( 1 8 ) 对0 t t ，0 z 1 附注1 ：对充分光滑口( z ) 及，( z ，) ，( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一的 解，并且满足下面的正则性【1 】： “c ( o ，卅；h 2n 磁) ，让t c ( 0 ，卅；l 2 ) nl i ( 0 ，卅；h 2n 础) ， u u l i ( 0 ，刀；l 2 ) 附注2 ：此类齐次问题的正则性估计已被证明 5 ，定理5 5 】，它由 半模的形式给出： i v l ，= i i a 州v i i ， r r ， 其中a = 一弘0 2 ， 也( z ，0 1 ，+ 2 口c ( q ) t 一( n + 1 归i l ，t 0 ，0 p 1 ( 1 9 ) 类似地，时间导数满足： i d 尹札( z ，t ) l ，+ 2 口c ( m ，q ) t 一( 。+ 1 ) a - m i v l r ，t 0 ， - 1 口1 ( 1 一l o ) 如果在( 1 8 ) ，( 1 9 ) 中，选取适当的p 一我们能得到如下正则性估 计( o 为连续的l z 模) ： 0u u ( x ，t ) i i o c t _ 1 2 ，i i 魄h ( z ，t ) i i o c t 一啪， 0u x z t ( x ，0 ) i i o o ( 2 - 1 , t 2 ) 瓦2o 丽，z u z j 口( z ，0 ) = 9 ( z ) ，z r ( 其中口 o ) 来进行讨论。假定偏微分方程初值问题的解是充分光 滑的，由t a y l o r 级数展开有 亟盘掣= 【笔”o ( a ) ( 2 - 3 )a。况j j 、7 7 亟盘与蜊= 【警肚2 ) ( 2 - 4 )2 a。珧j j v 、一7 1 坐型坐型=【丝肛o()(2-h o x 5 )l j j v 、。，。， 亟盟掣= 【丝】7 + d ( ) ( 2 - o x 6 ) 。 j j 。v 。 血型止划=丝】了+o(h2)(2-2ho x 7 ) l ” ， 亟丛垫虹业壹趔= 【象】罗+ o ( h 2 ) ( 2 - 2 h 8 ) 、8 铲u 。 、 其中【】? ，表示括号内的函数在节点( x j ，) 处取的值。利用表达 式( 2 - 3 ) 和( 2 - 5 ) 有 迎堑掣+ 。亟必掣= 尝+ 口砂o u n + 州 如果是满足偏微分方程( 2 1 ) 的光滑解，则 【豢+ 口爰肛o【瓦+ 口瓦垮2 o 由此可以看出，偏微分方程( 2 - 1 ) 在( ，亡n ) 处可以近似地用下面的 方程来代替 竺窆二! 堡+ 。掣：o ，歹：o ，士1 ，士2 ，n ：o ，1 ，2 ，( 2 - 9 ) a，l 6 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 其中哆为( x j ，t n ) 的近似值( 2 - 9 ) 式称作逼近微分方程( 2 1 ) 的有限 差分方程可以把( 2 - 9 ) 式改写成便于计算的形式 蚶1 = 磁一。丁( + 。一碡) 其中丁= 称为网格比差分方程( 2 9 ) 再加上初始条件的离散形式 谚= 叻，j = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ， ( 2 1 0 ) 就可以按时间逐层推进，算出各层的值差分方程( 2 - 9 ) 和初始条件 的离散形式( 2 - 1 0 ) 结合在一起构成了一个差分格式由第j 个时间层 推进到第n + 1 个时间层时，公式( 2 - 9 ) 提供了逐点直接计算u ，1 的 表达式，因此称( 2 - 9 ) 式为显式格式，并且计算第n + 1 层时只用到n 层的数据，前后仅联系到两个时间层次，故又称( 2 - 9 ) 式为两层格式 用( 2 - 3 ) 式和( 2 7 ) ，可以得到逼近微分方程( 2 1 ) 的另一差分格式 , i j n + l n + 口学- 0 ( 2 - 1 1 ) 哆+ 1 = 哆一百a tl n + 1 一u ，n 一1 ) 其中丁= 会，称为网格比此格式也是两层格式，称( 2 - 1 1 ) 式为中心 差分格式，相应地差分方程( 2 - 9 ) 称为偏心差分格式 用同样的方法可以构造逼近扩散方程( 2 2 ) 的差分格式，利用 ( 2 - 3 ) 式和( 2 - 8 ) 式有 亟血掣一口血监丝塑划 = 害一。象”d ( a 埘) 如果u 是( 2 2 ) 式的光滑解，即u 满足 o u0 2 u o t2 口o x 2 w 的光滑函数，那么，扩散方程( 2 2 ) 可以用如下的差分方程来近似 罕让jn+ln p a ! 基l 二挚：o ，j = o ，士1 ，士2 ，n = 。，1 ，2 ，( 2 - 1 2 ) 7 硕士学位论文 - - 9 将( 2 1 2 ) 式写成便于计算的形式 叼+ 1 = 叼+ o p ( 嗡l 一2 哆+ t 孕1 ) 其中r = 嘉，亦称网格比( 2 - 1 2 ) 式也是二层显式格式，方程( 2 2 ) 的 初始条件可以离散为 谚= 缈，j = 0 ，4 - 1 ，土2 ， ( 2 1 3 ) 利用( 2 1 2 ) 式和( 2 - 1 3 ) 式可以依次计算出n = 1 ，2 各层上的值哼 2 3 隐式差分格式 前面构造的差分格式都是显式的，即在时间层t n + ，上的每个u r - 可以独立地根据在时间层t n 上的值u ? 得出，但并非都是如此。如果 采用 迎盐掣= 【丝o x 】7 + d ( a )入 。 1 j 。v 。， 和( 2 - 8 ) 式，则可以得到扩散方程( 2 - 2 ) 的另一个差分格式 等n n - - i 一。盟学- 0 ( 2 - 1 4 ) 也可以把( 2 - 1 4 ) 式写成下面等价形式 一a p 嗡l + ( 1 + 2 p ) 哼一a a u j “_ l = 哆一1 其中r = 鑫为网格比由( 2 - 1 4 ) 式可以看出，在新时间层j 上包含了 3 个未知量啦，仳7 ，略，因此不能由嵋q 直接计算出叼来。一般地， 有限差分格式在新时间层( 佗或n + 1 ) 上包含有多于一个节点，这 种有限差分格式称为隐式格式有限差分格式( 2 1 4 ) 式称为隐式格 式，大多数隐式格式适合于求解微分方程的初边值问题或满足周期 条件的初值问题 2 4 六点高精隐格式 8 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 东南大学孙志忠教授在文 1 1 】研究了一类变系数抛物问题，在 c r a n k n i c o l s o n 格式基础上建立了一种六点高精隐格式，得出它的 截断误差为d ( a 2 + h 4 ) ( 其中a 为时间步长，h 为空间步长) ，它明显 要优于c r a n k n i c o l s o n 格式( 其截断误差为d ( a 2 + h 2 ) ) 取两个正整数m 和n ，用网格钒q a 剖分【o ，1 】【o ，t 】，其 中q | i l = 巧i 奶= j h ，0 j m ，h = 击) ，q a = t ni 亡n = n a ，0 n n ，a = 斋) 设u = 叼10 jsl ，0 n i v 是仉q a 中的一个网 格函数。定义 叼_ 1 7 2 = ；( 叼+ 叼一1 ) ，况叼- 1 7 2 = ；( 叼一叼一1 ) ， 哆l 2 = 互1 u j n + 曙1 ) ，瓯唔l 2 = 丢( 叼一哆1 ) ， 髭2 n = 去( 曙。一2 叼+ 唔。) ，鲤叼一1 2 = 三( 醴叼+ 2 u j n 一1 ) 对变系数抛物方程 r ( z ，亡) 饥一地啊= ，( z ，t ) ，0 x 1 ，0 t z u ( z ，0 ) = ( z ) 0 z 1 ，( 2 1 5 ) u ( 0 ，t ) = 0 u ( 1 ，t ) = 0 0 亡t 在文 1 1 】中用六点高精隐格式离散为 9 项士学位论文 西1 l , 裂n - 12 况删7 2 + l o r 7 1 2 盈哆一1 7 2 + 材7 2 文嘣7 2 ) 一髭2 叼一1 卢 = 击( 搿1 2 + l o f ；- 1 2 - j - 倒2 ) ，l j m - 1 o n ，( 2 - 1 6 ) 叼= 睨= 0 ， 1 仃n ， 叼= ( 巧) ，0 j m 其中 哼一1 7 2 = r ( 巧，住一1 2 ) ，疗一1 7 2 = f ( x j ，t n l 2 ) ，2 = 一1 2 ) 入 下面证明它的截断误差为o ( 入2 + h 4 ) 设 由( 2 1 5 ) 得 定义网格函数 从泰勒公式可得 口= 让铭 = 7 - 0 ，) 毗一f ( x ，t ) 哼= u ( x j ，t n ) ，哆= y ( 巧，t n ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 皖哼 = 材( 巧，。) + 西h 2 u 一( 奶，t n ) + 丽h 4 e ( ，芒n ) + 。( 6 ) = 哆+ 笔( 巧，t n ) + 丽h 4 蛐( 巧，t n ) + 。( 危6 ) = 哆+ 西h 2 ( 磋哆一西h 2 蚴( 巧，亡n ) + 。( 4 ) ) + 丽h 4 蚴( 巧，t n ) + 。( 6 ) = 蛩1 n 一1 + 1 。哆+ 嗡1 ) 一蘅h 4u 一( 巧，t n ) + 。( 也 平均上面带有上标k 和k _ l 的等式，然后由( 2 2 1 ) 式我们可得 鹾哆- 1 7 2 = 壶( 删7 2 + 1 0 哆- 1 2 + n + - 。1 2 ) 一丽h 4 u 护( 巧, t n - 1 2 ) + 。( a 2 ) 】+ 。( 6 ) = 壶 ( x j _ l , t n - 1 2 ) + l o v ( x j , t n - 1 2 ) + ( 吼“n 1 2 ) + 菩 ( ) ；：7 2 + 1 。( 仇。) 了- - 1 1 2 + ( 仇。) 搿7 2 】+ 。( a 4 ) ) 1 1 硕士学位论文 一篆睦( ( u 一) 省卢+ 1 。( 蚴) 了- 1 1 2 _ 旧) 嚣7 2 ) + m 2 ) + m 2 ) 】+ m 6 ) = 西1t c 【r 勺n 一- 1 1 2 l i t ( x j - 1 , t n - - 1 2 ) 一，e j n 一- 1 1 2 】+ 1 0 【哼一1 肛m ( z j ，k l 2 ) 一厅一1 2 】 + n + - 1 1 卢u , ( x j + 1 t n l 2 ) 一掰7 2 】) + 菩丧 ( 悱n - 。l 2 污- 1 z + x n - 1 2 】 一j h 41 - f 旧) 嚣7 2 + 1 。( 蚴) 了一l 2 + ( e ) 鬲7 2 ) 】+ 。( 一+ 入2 2 + 矿) = 谢1r l 。n 一- - 1 1 2 u t ，n 一- 1 l 2 一f j - i 2 ) + 1 0 ( 哆一1 2 u 5 ；t n - - 1 2 一疗- 1 2 ) n - 1 7 2 0 c t 吩+ - 1 1 胆一n - - 1 7 2 ) 】 + 甄, 、2 西1n n 一- 。1 胆( 啦a 巧一- 。1 2 + 1 。哼一1 肛( 饥a ) y - l 2 n - 1 卢( 吨s ) 掰胆】 + 百) 2 西1 【l 魄易n 一1 1 2 + 1 。( 仇t ) y - 1 2 _ _ ( 仇t ) 鬲7 2 】 一i h 41 3 ( 让一巧一- - 1 1 1 2 + 1 。( 让一) y - 1 2 + ( 蚴) 鬲7 2 ) 】+ 。( 入4 + 脚+ m 另外 8 ( x ，t ) =2 4 01 + p 2( u 一) ( z ，t ) 去巾( u 训叫) + 百1 ( u 挪) ( 州) 】 亏二1 2 = ( a 2 + 4 ) 击( 稿1 2 + l o s 7 - l 2 + 铀n - 1 2 ) + d ( 埘 2 + 危6 ) 我们有 壶( 稿7 2 磊倒胆+ 1 0 哆叫2 况哼叫2 + 嘣7 2 峭+ - 。1 2 ) 一鹾哼叫2 = 圭( 倒2 _ 1 _ 1 0 f ；- 1 2q - 掰7 2 ) + e y - l 21 歹m - 1 1 n 1 2 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 显然e 俨j1 7 2 是差分格式( 2 1 6 ) 的截断误差。如果解u ( z ，t ) 是光滑 的，存在一个常数c 。使得 爵1 2 i c l ( 2 + a 2 ) 1 3 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 3 一类带弱奇异核偏积分微分方程数值解的 二阶有限差分全离散格式 3 1 差分格式的建立 取正整数m 和，令h = 1 m 和丁= t n 分别表示空间步长 和时间步长，记巧+ 口= 0 + q ) ，t n + 芦= + p ) 7 - 。在矩形区域q t 兰 0 ，1 】【o ，卅上，用平行于坐标轴的直线族z = 0 = 0 ，1 ，m ) 和 t = t n ( n = 0 ，1 ，) 将其划分成矩形网格。记q ，l 三 z ，i o 歹m ， q ，兰 z 。i o n 】和q 打三q q ，。设u = 叼i o j m ，0 佗) 为q l r 上的网格函数。引进记号 时- 1 肛= ；( 喈+ 嘴- 1 ) ， 哮，2 = ( 喈+ 哮- ) ， 彰2 u 广k 斛1 u 州k 一2 嘴+ 哮1 ) ， 况时。胆= ；1 ( 、u ，k 一时。1 ) ， 魂哮。z = 丢( 哟一哮- ) ， 酲骘一l 21 2 ( 一, i 2 7 k 2 ，k 一1 ) o 村”叫0 1 砒s = 喜e 。( t - s ) q - 1 毗s ) d 5 ( 3 - 1 ) n 叫) o 1 o s ) d s2 善) q 1 ( 孔s ) d 5 1 ) ( 3 1 ) 式右端被积函数中的u z z ( x ，s ) 在区间陬乩t 。】上利用拉格朗日 两点插值来近似，即 s ) ( x , t i - 1 ) 最枷一叫t ) 笺一1 一“ q q 一1 = ( u z z ( t , t i - 1 ) ( t i - - 8 ) + ( 州t ) ( s 一“) ) ， 心n - s ) a - l u z x s 肌沁址- ) 心n 叫“仇- s ) d s + 嘶 ) e 叫( s - t i - x 胁) ， a = 托s ) 0 1 m 刊d s = 丢( t n - - z ；i - 1 ) a + i 石三f 万 ( n i ) ( t n - - t i ) 口一( n - i + 1 ) ( t - t i - 1 ) 口】， 硕士学位论文 最= 托- s ) 州( 8 - - t i - i ) d s = 一三( 亡n 一如) 口+ 石忑去f 可 ( n - i + 1 ) ( k 一如一t ) 。一( n i ) ( 亡n 一如) 口】， 则有 z k ( k s ) 口1 ( s ) d s 喜阻( 巧 - 1 ) + 鼠( ) 】 阻鹾毋1 鼠2 i 4 - j 】 ) i a d ：u ：上厶o 一，“j i 一。 。j o 上面积分的近似类似于复化梯形公式，空间方向的二阶导数采用二 阶中心差分来近似，可知其截断误差为d ( 丁2 + h 2 ) 为了保持空间方 向的二阶逼近，t i t ( z ，t ) 的离散采用二阶向后差分格式，即 地( ，亡n ) 1 互3 n 一2 u ? - 1 + 丢哼一2 ) ， 这里 吗= u ( z j ，岛) 综上所叙，可得如下全离散差分格式 寻( 兰叼一2 叼一+ 去叼- 2 ) 一塞 a 髭2 i 一- + 且鹾叼】= 芎， 1 j m 一1 ，2 n n ，( 3 2 ) 叼= u 盈= 0 ， 1 n ， ( 3 3 ) 叼= 秒( 巧) ，0 歹m ( 3 4 ) 这里 乃= f ( z j ，如) ( 3 - 2 ) 是一个三层格式，我们还必须给出叼( 1 歹m 一1 ) 的值，下 面推导叼的计算公式，为了保持格式的整体截断误差为o ( t 2 + 九2 ) ， 空间方向的离散点选在t l z 处，积分项的离散与前面的类似，只不过 这里的积分区间为 t o ，t l 2 被积函数中的t ( z ，s ) 在区间 t o ，t 1 2 】上 1 6 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 利用拉格朗日两点插值来近似，即 嘣叫) ( 圳高+ z ( x , t l 2 ) 袅2 6 0 一1 2l l一0 = 季u z z ( 础0 ) ( z s ) + u 船( x , t 1 1 2 ) ( s 一知) ) ， 怕f r o t x 2 ( t l 2 - s ) q 1 ( 叩) 幽；( ( 叫。) 石v 2 ( t 1 2 - - 8 ) 口- 1 ( t l 2 - - 8 ) d s 吲州1 2 ) o t l 2 - - 8 ) 口k 训s ) ， 记 耻搿肛( t l 2 - - 8 ) q 1 ( t l 2 - - 8 ) d s = 丽2 ( t l 2 - - t o 一 则有 = 虿2 ( t l 2 - - 8 ) 口- 1 ( s “汹= q 2 ( t l 2 一s ) a 一1 u z x ( 巧，s ) 幽 vu 2 a ( a + 1 ) ( t l 2 一t o ) a 】， 风( x j ，t o ) + d , u = ( x j ，t w 2 ) d o 2 0 + d 1 鹾呓2 d 。2 ，0 + 互1d 1 ( 2 0 + 2 1 ) ( 玩+ 互1 d 1 ) 髭2 0 十互1 d 1 2 ，1 方程的其他两项采用六点格式【t o 】来近似，即 u t ( x j , t l ：) 击( 况e 堡+ 1 0 况t 7 2 + 。( 跏。勺1 + 2 。，x ， ( x j , t l 2 ) 谤1r ，i 2 + 1 0 力2 + 蚺l 2 , 1 综上所叙，可得t l l z 处的全离散差分格式 1 。v , u y + 1 0 6 t u l 2 + 以叼蠕) 一【( 玩+ 互1d 1 ) 髭2 0 + 互1d 1 2 1 】 = 谚i ，1 2 + x 0 9 1 2 + 粥) ，1 歹m l 利用( 3 - 3 ) ，( 3 - 4 ) 和浯5 ) 可求出叼( 1 j m ) 1 7 ( 3 5 ) 硕士学位论文 3 2 数值例子 对于上一节建立的差分格式，目前我们对其还不能进行严格的 稳定性和收敛性分析，只能通过数值试验来得到一些结论。 3 2 1 取u ( x ，t ) = x ( 1 一z ) ( t 3 2 + 1 ) 的数值结果 在方程( 1 - 1 ) ( 1 3 ) 中取q = 1 2 ，p = 1 ，假设u ( x ，t ) = z ( 1 一z ) ( t 3 2 + 1 ) ， 可知 可( z ) = z ( 1 一z ) ，( z ，t ) = 五3 i r t 2 + ( 4 + 互3 z 一耋z 2 ) t 1 2 ( 3 - 1 ) 我们利用离散格式( 3 - 1 ) ( 3 - 3 ) 求解，下面的表3 1 ，表3 - 2 ，表3 - 3 给 出的分别是在时间步长h = 0 1 ，空间步长7 = 0 0 1 ，步长比，- = r h 2 = 1 时各个网格点( x j ，t ) 处的精确解u ( x j ，t n ) ，绝对误差l u ( x j ，t n ) 一唧i 和 相对误差坐菩2 掣。表3 4 ，表3 5 ，表3 - 6 给出的分别是在时间 步长h = o 1 ，空间步长1 - = 2 0 ，步长比，= r h 2 = 2 0 0 时各个网格 点( x j ，气) 处的精确解牡( 巧，t n ) ，绝对误差i 乱( 奶，t n ) 一叼i 和相对误差 竖善2 年裂。从这些表可以看出，相对于步长比r 离散格式洚1 ) ( 3 - 3 ) 是无条件稳定且收敛的。由表3 - 3 和表3 6 可知随着时间的推进 相对误差越来越小，离散格式有很好的稳定性和收敛性。由表孓7 和 表孓8 可知离散格式在离散最大模意义下的收敛阶为o ( r 2 + h 2 ) ，其 中离散最大模定义为 ( u u ) ) i l 2 t t i ： 3 装ml u ( x j ，t n ) 一u ；i ( 3 7 ) 1 8 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 表3 - 1 h = 0 1 ，丁= 0 0 1 ，r = 7 - 2 = 1 ，精确解 x = o 10 20 30 40 50 60 7 0 80 9 t = o 2 0 0 9 8 00 1 7 4 3 0 2 2 8 80 2 6 1 50 2 7 2 40 2 6 1 5 0 2 2 8 80 1 7 4 30 0 9 8 0 0 40 1 1 2 8 0 2 0 0 50 2 6 3 1 0 3 0 0 70 3 1 3 20 3 0 0 7 0 2 6 3 10 2 0 0 50 1 1 2 8 o 60 1 3 1 8 0 2 3 4 40 3 0 7 6 0 3 5 1 50 3 6 6 20 3 5 1 50 3 0 7 60 2 3 4 40 1 3 1 8 0 80 1 5 4 4 0 2 7 4 50 3 6 0 3 0 4 1 1 70 4 2 8 90 4 1 1 70 3 6 0 30 2 7 4 5 0 1 5 4 4 1 00 1 8 0 0 0 3 2 0 00 4 2 0 0 0 4 8 0 00 5 0 0 00 4 8 0 00 4 2 0 00 3 2 0 00 1 8 0 0 1 20 2 0 8 3 0 3 7 0 30 4 8 6 10 5 5 5 50 5 7 8 60 5 5 5 50 4 8 6 10 3 7 0 30 2 0 8 3 1 40 2 3 9 1 0 4 2 5 00 5 5 7 90 6 3 7 60 6 6 4 10 6 3 7 60 5 5 7 90 4 2 5 0 0 2 3 9 1 1 60 2 7 2 10 4 8 3 80 6 3 5 00 7 2 5 70 7 5 6 00 7 2 5 70 6 3 5 00 4 8 3 80 2 7 2 1 1 80 3 0 7 3 0 5 4 6 40 7 1 7 1 0 8 1 9 6 0 8 5 3 70 8 1 9 6 0 7 1 7 10 5 4 6 40 3 0 7 3 2 00 3 4 4 6 0 6 1 2 50 8 0 4 0 0 9 1 8 80 9 5 7 1 0 9 1 8 8o 8 0 4 00 6 1 2 50 3 4 4 6 表3 - 2 h = o 1 ，丁= 0 0 1 ，r = r h 2 = 1 ，绝对误差( x l o 一4 ) x = o 10 2o 30 4 0 5 0 6 0 70 8 0 9 t = 0 20 0 9 0 8 0 1 7 2 70 2 3 9 0 0 2 8 2 60 2 9 7 90 2 8 2 6 0 2 3 9 00 1 7 2 7 0 0 9 0 8 0 40 0 2 4 50 0 4 7 50 0 6 6 10 0 7 8 10 0 8 2 30 0 7 8 10 0 6 6 10 0 4 7 50 0 2 4 5 0 60 0 3 8 50 0 7 4 10 1 0 2 70 1 2 1 20 1 2 7 6 0 1 2 1 20 1 0 2 70 0 7 4 l0 0 3 8 5 1 0 0 0 0 7 1 0 0 1 2 90 0 1 7 20 0 1 9 80 0 2 0 70 0 1 9 8 0 0 1 7 20 0 1 2 90 0 0 7 1 1 20 0 0 7 0 0 0 1 2 70 0 1 7 0 0 0 1 9 60 0 2 0 50 0 1 9 6 0 0 1 7 00 0 1 2 70 0 0 7 0 1 40 0 0 2 90 0 0 4 90 0 0 6 2 0 0 0 7 00 0 0 7 20 0 0 7 00 0 0 6 20 0 0 4 90 0 0 2 9 1 60 0 0 1 3 0 0 0 2 00 0 0 2 3 0 0 0 2 40 0 0 2 40 0 0 2 40 0 0 2 30 0 0 2 00 0 0 1 3 1 80 0 0 1 90 0 0 3 10 0 0 3 80 0 0 4 2 0 0 0 4 3 0 0 0 4 20 0 0 3 8 0 0 0 3 10 0 0 1 9 2 00 0 0 2 6 0 0 0 4 40 0 0 5 6 0 0 0 6 30 0 0 6 60 0 0 6 30 0 0 5 60 0 0 4 40 0 0 2 6 硕士学位论文 表3 - 3h = 0 1 ，7 - = 0 0 1 ，r = 下胪= 1 ，相对误差( x l o 一3 ) x = o 10 20 30 40 50 60 70 80 9 t = 0 20 0 9 2 60 0 9 9 10 1 0 4 50 1 0 8 10 1 0 9 40 1 0 8 1 0 1 0 4 50 0 9 9 10 0 9 2 6 0 40 0 2 1 7 0 0 2 3 70 0 2 5 10 0 2 6 0 0 0 2 6 30 0 2 6 00 0 2 5 10 0 2 3 7 0 0 2 1 7 0 60 0 2 9 20 0 3 1 60 0 3 3 40 0 3 4 50 0 3 4 80 0 3 4 5 0 0 3 3 40 0 3 1 60 0 2 9 2 0 80 0 0 6 3 0 0 0 7 0 0 0 0 7 50 0 0 7 80 0 0 7 90 0 0 7 8 0 0 0 7 50 0 0 7 0 0 0 0 6 3 1 00 0 0 4 00 0 0 4 00 0 0 4 10 0 0 4 10 0 0 4 10 0 0 4 10 0 0 4 10 0 0 4 0 0 0 0 4 0 1 2 0 0 0 3 4 0 0 0 3 40 0 0 3 50 0 0 3 50 0 0 3 50 0 0 3 5 0 0 0 3 50 0 0 3 40 0 0 3 4 1 40 0 0 1 20 0 0 1 10 0 0 1 10 0 0 1 10 0 0 l l0 0 0 1 10 0 0 1 10 0 0 1 10 0 0 1 2 1 60 0 0 0 5 0 0 0 0 40 0 0 0 40 0 0 0 30 0 0 0 30 0 0 0 3 0 0 0 0 40 0 0 0 4 0 0 0 0 5 1 80 0 0 0 60 0 0 0 6 0 0 0 0 50 0 0 0 50 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 50 0 0 0 60 0 0 0 6 2 00 0 0 0 7 0 0 0 0 70 0 0 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 70 0 0 0 7 0 0 0 0 70 0 0 0 7 0 0 0 0 7 表3 - 4h = o 1 ，1 = 2 ，r = 7 2 = 2 0 0 ，精确解 x = o 10 20 30 4o 50 60 70 8 0 9 1 ；= 4 02 2 94 0 65 3 36 1 06 3 56 1 05 3 34 0 62 2 9 8 06 4 51 1 4 61 5 0 51 7 2 01 7 9 11 7 2 01 5 0 5 1 1 4 6 6 4 5 1 2 01 1 8 42 1 0 5 2 7 6 33 1 5 73 2 8 93 1 5 7 2 7 6 32 1 0 51 1 8 4 1 6 01 8 2 23 2 4 04 2 5 24 8 6 05 0 6 24 8 6 04 2 5 23 2 4 01 8 2 2 2 0 02 5 4 64 5 2 75 9 4 26 阳17 0 7 46 7 9 15 9 4 24 5 2 72 5 4 6 2 4 03 3 4 75 9 5 1 7 8 1 08 9 2 69 2 9 8 8 9 2 67 8 1 05 9 5 13 3 4 7 2 8 04 2 1 87 4 9 89 8 4 11 1 2 4 71 1 7 1 61 1 2 4 79 8 4 17 4 9 84 2 1 8 3 2 05 1 5 39 1 6 11 2 0 2 31 3 7 4 11 4 3 1 31 3 7 4 11 2 0 2 39 1 6 15 1 5 3 3 6 06 1 4 81 0 9 3 0 1 4 3 4 6 1 6 3 9 61 7 0 7 9 1 6 3 9 61 4 3 4 61 0 9 3 06 1 4 8 4 0 0 7 2 0 11 2 8 0 21 6 8 0 2 1 9 2 0 22 0 0 0 2 1 9 2 0 21 6 8 0 21 2 8 0 27 2 0 1 一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分全离散格式 表3 - 5h = o 1 ，f = 2 ，r = r 危2 = 2 0 0 ，绝对误差 x = o 10 20 30 40 50 60 70 80 9 t ；= 2 00 0 0 3 60 0 0 6 50 0 0 8 50 0 0 9 70 0 1 0 1 0 0 0 9 70 0 0 8 50 0 0 6 50 0 0 3 6 4 00 0 0 2 50 0 0 4 50 0 0 5 90 0 0 6 80 0 0 7 10 0 0 6 80 0 0 5 90 0 0 4 50 0 0 2 5 6 00 0 0 2 10 0 0 3 70 0 0 4 80 0 0 5 5 0 0 0 5 70 0 0 5 5 0 0 0 4 8 0 0 0 3 70 0 0 2 i 8 00 0 0 1 8 0 0 0 3 20 0 0 4 20 0 0 4 80 0 0 5 0 0 0 0 4 80 0 0 4 20 0 0 3 20 0 0 1 8 1 0 00 0 0 1 6 0 0 0 2 80 0 0 3 7 0 0 0 4 30 0 0 4 4 0 0 0 4 30 0 0 3 70 0 0 2 8 0 0 0 1 6 1 2 0 0 0 0 1 50 0 0 2 60 0 0 3 40 0 0 3 9 0 0 0 4 00 0 0 3 9 0 0 0 3 40 0