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小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 中文摘要 中文摘要 在本文中，我们考察了随时间变化的耦合强度作用n 4 , 世界网络中的节点之间时 网络同步能力的提高，研究了小世界网络中噪声和节点异质性对公共物品博弈的影 响。 首先，为了提高小世界网络的同步能力，我们分析了网络中相互连接的节点之间 的耦合强度随时间的变化率与这两个节点的动力学行为的关联性。通过网络中的时变 耦合，我们发现对于不同的加边概率，采用时变耦合的网络达到同步时的平均耦合强 度和达到同步所需时间的变化，远比采用固定耦合强度的网络中的耦合强度的值与达 到同步所需要的时间的变化来得小。 其次，我们研究了小世界网络中的公共物品博弈，分析了噪声以及网络节点的异 质性对博弈行为的影响。我们发现，网络的小世界特性以及网络中的噪声对博弈过程 中合作的涌现起抑制作用，而网络节点的异质性则对博弈过程中合作的涌现起促进作 用。我们用平均场理论对得到的数值模拟的结果进行了对比和分析。 关键词：小世界网络，同步，时变耦合，公共物品博弈，合作 作者：陈亮 指导教师：朱士群 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 英文摘要 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r , t h ee n h a n c e m e n to ft h es y n c h r o n i z a b i l i t yo ft h en e t w o r k si sa n a l y z e d w h e nt h et i m e d e p e n d e n tc o u p l i n gs t r e n g t h sa r ec o u p l e dt ot h ed y n a m i c so ft h en o d e si n s m a l l - w o r l dn e t w o r k s t h ee f f e c t so fn o i s ea n di n h o m o g e n e o u sa c t i v i t yo fn o d e si np u b l i c g o o d sg a m e so ns m a l l - w o r l dn e t w o r k sa r ed i s c u s s e d f i r s t l y ，t oe n h a n c et h es y n c h r o n i z a b i l i t yo fs m a l l w o r l dn e t w o r k s ，t h er e l a t i o no ft h e t i m e v a r y i n gr a t eo ft h ec o u p l i n gs t r e n g t hb e t w e e nc o n n e c t e dn o d e sa n dt h ed y n a m i c so f t h et w on o d e si sa n a l y z e d f r o mt h et i m e - v a r y i n gc o u p l i n g s ，i ti sf o u n dt h a tt h ec h a n g e so f m e a nc o u p l i n gs t r e n g t ha n dt h et i m et a k e nf o rt h et r a n s i t i o no fn e t w o r kd y n a m i c a ls y s t e m s f r o mu n c o r r e l a t e ds t a t et og l o b a ls y n c h r o n i z a t i o ni nt i m e v a r y i n gc o u p l i n ga r em u c h s m a l l e rt h a nt h a ti nf i x e d - c o u p l i n gs t r e n g t hw h e nt h es h o r t c u tn u m b e r sa r ed i f f e r e n t s e c o n d l y ，t h ep u b l i cg o o d sg a m e si ns m a l l w o r l dn e t w o r k sa r ed i s c u s s e d t h ee f f e c t s o fn o i s ea n di n h o m o g e n e o u sa c t i v i t yo fn o d e si sa n a l y z e d i ti sf o u n dt h a tt h ee f f e c t so f s m a l l w o r l dc h a r a c t e ra n dn o i s ec a nr e d u c et h ee m e r g e n c e so fc o o p e r a t o r s w h i l et h e i n h o m o g e n e o u sa c t i v i t yo fn o d e sc a ne n h a n c et h ee m e r g e n c e so ft h ec o o p e r a t i v eb e h a v i o r s t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ec h e c k e db yt h em e a nf i e l dt h e o r y k e y w o r d s ：s m a l l w o r l dn e t w o r k ，s y n c h r o n i z a t i o n ，t i m e d e p e n d e n tc o u p l i n g ，p u b l i c g o o d sg a m e ，c o o p e r a t o r i l w r i t t e nb yl i a n gc h e n s u p e r v i s e db ys h i q u nz h u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或 其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责 任。 研究生签名：缁! 三差2 日期：丝旦鳘：主：塑 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第一章引言 第一章引言 1 1 网络中节点动力学行为的研究 二十世纪六十年代，美国哈佛大学的心理学家m i l g r a m 通过著名的小世界实验【， 给出了六度分离推断，也就是说，平均只要通过五个中间人的传递，一个人就能与地 球上任何一个角落的另一个人建立联系。尽管6 这个数字不一定对每个人都适用，但 是它反映了人与人之间的平均距离与全球的人口数相比是个非常小的数字。进一步的 研究发现，从人际关系网抽象出来的拓扑网络结构与以往研究的规则格子网络和随机 网络具有不同的特殊性质，人们称这类网络为小世界网络。随后，许多数学家开始对 小世界网络的拓扑性质开展了进一步的研究。 到了二十世纪末，美国康奈尔大学理论和应用力学系的博士生w a t t s 及其导师、 非线性动力学专家s t r o g a t z 教授在n a t u r e 杂志上发表了题为“小世界”网络的集体 动力学【2 】的文章，提出了建立小世界网络的理论模型，并且研究了小世界网络里的 节点之间的动力学行为，引起了科学家的广泛关注。接着，美国圣母大学物理系的 b a r a b a s i 教授和他的博士生a l b e r t 在s c i e n c e 杂志上发表了题为随机网络中标度的 涌现【3 】一文，揭示了从i n t e m e t 等网络中抽象出来的拓扑结构所具有的另一个特殊 的性质无标度性，并将这类网络称为无标度网络，同时建立了一个无标度网络的 理论模型。很快，人们发现自然界和人类社会中普遍存在这样一类特殊的拓扑结构， 它们也具有众多的节点并且节点之间也有联系，但是它们具有不同于以往所研究的随 机网络和规则网络的特点，人们就把这样一类具有大量的节点、复杂的结构以及其他 许多复杂因素的网络称为复杂网络。复杂网络为人们研究复杂的现实社会提供了一个 有效的工具，而以上两篇文章的发表也为人们研究复杂网络提供了理论基础和实验模 型。 进入二十一世纪以来，人们对复杂网络的研究再也不局限于数学范畴，而是涉及 到了数学、物理、化学、生物、经济、管理等等众多学科领域，产生了许多新兴的交 叉学科【4 。5 1 。在这些众多的研究领域中，对复杂网络同步行为的研究则一直是人们研 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第一章引言 究的热点之一。根据网络中节点的动力学模型不同，可以将复杂网络中的同步分为映 象格子的完全同步和k u r a m o t o 振子的位相同步两大类。而p e c o r a 和c a r r o l l 提出的主 稳定函数【6 】贝0 可以用来在理论上预测判断映象格子能否达到完全同步。随着计算机的 运算速度与存储容量的大幅度提高，使得利用计算机来对复杂网络的同步进行模拟成 为可能。随着研究的深入，人们开始分析同步现象的具体细节过程以及在有向网络、 加权网络、异配网络等具有其它拓扑结构的网络中的同步行为了【7 - 9 。 在复杂网络的研究中，博弈理论的引入引起了人们对复杂网络动力学行为研究的 极大兴趣。博弈论是研究多人决策问题的理论，它强调决策主体的行为发生直接相互 作用。在二十世纪五十年代纳什提出了“纳什均衡 的概念，从而将博弈论应用到了 经济学领域。目前博弈论已经在经济学、公共选择、公共财政、法律、军事、外交等 领域得到了广泛的运用【l o 1 2 】。博弈论有很多模型，如囚徒困境、鹰鸽模型、公共物品 博弈模型、雪堆模型等等，其中有很多模型都是发生在大量个体之间的博弈过程，而 复杂网络恰好可以用来模拟日常生活中的复杂的人际关系，因此很多研究工作都将博 弈的模型引入到了复杂网络中来【1 3 。1 4 1 。 1 2 本文研究的主要内容 近几年来，许多对复杂网络中映象格子的研究，假设所有边上的耦合强度为常数。 本文主要研究在小世界网络中，节点的动力学行为满足r o s s l e r 方程，节点之间的耦 合强度随时间变化时，网络中节点的同步行为，并且与耦合强度为常数的情况进行了 比较。另一方面，公共物品博弈在规则网络中已经得到广泛研究，同时考虑到网络节 点性质的不均匀性以及噪声的影响。但是，公共物品博弈在复杂网络中的研究还不是 很多，因此本文研究了小世界网络中的公共物品博弈，分析了节点性质的不均匀性以 及噪声的影响，并且和在规则网络中得到的结果作了比较。 论文的第二章，主要介绍了复杂网络的一些基本模型和概念。如网络的组成和表 示方法，网络的拓扑性质等等。 2 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第一章引言 论文的第三章，主要研究了时变耦合强度对小世界网络中振子同步的影响。我们 发现当加边概率p 很小时，也就是说，小世界网络非常接近最近邻网络时，如果网络 中的节点间的耦合强度均等于同一个常数( 固定耦合强度) ，则节点之间需要很大的 耦合强度才能达到同步，而当节点间的耦合强度随时间以一定的规律变化时( 时变耦 合强度) ，则网络中的节点可以很快达到同步。当加边概率p 不是很小时，也就是说 网络具有明显的小世界特性的时候，当网络达到同步时，网络采取时变耦合强度时的 平均耦合强度比采取固定耦合强度所需要的耦合强度大很多，而达到同步所需要的时 间却短很多。这也可以看成是两种耦合方式分别以牺牲较大的耦合强度和花较长的时 间为代价来减小了同步需要的耦合强度和达到同步所需要的时间。 论文的第四章，主要研究了小世界网络中网络节点的异质性和噪声对公共物品博 弈行为的影响。我们发现了一些与规则网络类似的现象，比如在小世界网络中，合作 者的数量会随着合作增益系数的增加而增大，随着网络的异质性的增加先增大后减 小。同时，我们也发现了一些不同于规则网络的现象，比如对于同质性网络，不论合 作增益系数是多少，噪声对合作者数量的影响总是单调的。 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第一章引言 参考文献 1 s m i l g r a m ， t h es m a l lw o r l dp r o b l e m ”，p s y c h o l o g yt o d a y ，m a y6 0 ( 19 6 7 ) 2 d j w a t t sa n ds h s t r o g a t z ，“c o l l e c t i v ed y n a m i c so f s m a l l - w o r l d n e t w o r k s ”， n a t u r e3 9 3 ，4 4 0 ( 19 9 8 ) 3 b l b a r a b a s ia n dr a l b e r t ，“e m e r g e n c eo fs c a l i n gi nr a n d o mn e t w o r k s ”，s c i e n c e 2 8 6 ，5 0 9 ( 19 9 9 ) 4 s h s t r o g a t z “e x p l o r i n gc o m p l e xn e t w o r k s ”，n a t u r e4 1 0 ，2 6 8 ( 2 0 0 1 ) 5 k k a n e k o ，“c o u p l e dm 叩l a t t i c e s ”，w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，19 9 2 6 l m p e c o r aa n dl t c a r r o l l ，“m a s t e rs t a b i l i t yf u n c t i o n sf o rs y n c h r o n i z e dc o u p l e d s y s t e m s ”，p h y s r e v l e t t 8 0 ，2 10 9 ( 19 9 8 ) 7 c w w u ，“s y n c h r o n i z a t i o ni nn e t w o r k so fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sv i aa d i r e c t e dg r a p h ”n o n l i n e a r i t y1 8 ，10 5 7 ( 2 0 0 5 ) 8 c s z h o u ，a e m o t t e ra n dj k u r t h s ，“u n i v e r s a l i t yi nt h es y n c h r o n i z a t i o no f w e i g h t e dr a n d o mn e t w o r k s ”，p h y s r e v l e t t 9 6 ，0 3 4 101 ( 2 0 0 6 ) 9 m e j n e w m a n ，“a s s o r t a t i v em i x i n gi nn e t w o r k s ，p h y s r e v l e t t8 9 ，2 0 8 7 0 1 ( 2 0 0 2 ) 1o k s i g m u n d ，“g a m e so fl i f e ：e x p l o r a t i o ni ne c o l o g y ，e v o l u t i o na n db e h a v i o r ， o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，o x f o r d ，( 19 9 3 ) 1 1 p b a l l ，“c r i t i c a lm a s s ：h o wo n et h i n gl e a d sa n o t h e r ，w i l l i a mh e i n e m a n n , l o n d o n ，( 2 0 0 4 ) 12 m a n o w a k ， e v o l u t i o n a r yd y n a m i c s ”，h a r v a r du n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ， ( 2 0 0 6 ) 13 g a b r a m s o na n dm k u p e r m a n ，“s o c i a lg a m e si nas o c i a ln e t w o r k ”，p h y s r e v e6 3 ， 0 3 0 9 0 1 ( 2 0 0 1 ) 14 h e b e la n ds b o m h o l d t ，“c o e v o l u t i o n a r yg a m e so nn e t w o r k s ”，p h y s r e v e6 6 ， 0 5 6 11 8 ( 2 0 0 2 ) 4 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 第二章小世界网络模型 第二章小世界网络模型 2 1 网络中的一些基本概念 在介绍小世界网络的模型以前，我们需要先对描述网络的方法和基本参数做一些 简单的介绍。长期以来，人们都是用数学的图论作为基本工具来研究网络的，因此有 必要介绍图论中的一些方法和概念。 首先我们需要了解网络的组成和表示方法。 人们将实际的网络抽象成为一些由边来连接的点的集合，可以说网络就是由边和 点组成的。人们对网络的表示方法主要是参照图论中的方法单位来表示的，用邻接矩 阵来表示网络的拓扑结构。比如，对于由n 个节点组成的网络，它的邻接矩阵就是 一个的矩阵，可以称为矩阵r 。如果网络中的节点i 和节点j 之间有一条边相 连，则矩阵元嘞= = 1 ，否则= = 0 。如果网络是个加权网络，也就是说网络 中各条边的长度或者重要程度不同，那么它们对应的矩阵元的值也就各不相同。对于 有向网络，如果节点i 和节点j 之间有一条边相连，其方向是从节点i 到节点j 单向的， 那么r , j = l 而刁疗= 0 。这些就是一些常见的网络表示方法。 接着我们要介绍一些常见的描述网络拓扑性质的概念【1 1 。 网络拓扑结构中常用的概念是平均路径长度。网络中两个节点i 和j 之间的距离 d i i 定义为连接这两个节点的最短路径上的边数。网络中任意两个节点之间的距离的最 大值称为网络的直径，记为d ，即 d = m a x d i i f ， 。 ( 2 1 ) 网络的平均路径长度l 定义为任意两个节点之间的距离的平均值，即 5 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第二章小世界网络模型 三2 知1 叫x 剐d “ ( 2 2 ) 聚类系数是一个衡量节点周围边的聚集程度的量。一般说来，假设网络中的一个 节点i 有k i 条边将它和其它节点相连，这k i 个节点就称为节点i 的邻居。显然，在这 k i 个节点之间最多可能有k i ( k i 1 ) 2 条边。而这k i 个节点之间实际存在的边数e i 和总 的可能的边数k i ( k i 1 ) 2 之比就定义为节点i 的聚类系数c i ，即 e ： 三墨 向( 向一1 ) ( 2 3 ) 度是单独节点的属性中简单而又重要的概念。节点i 的度k i 定义为与该节点连接 的其它节点的数目。网络中节点的度的分布情况可用分布函数p ( k ) 来描述。p ( k ) 表示 的是一个随机选定的节点的度恰好为k 的概率。 2 , 2 小世界网络模型 2 2 。1w s 小世界模型 因为小世界网络是从现实生活中的人际关系网等网络抽象得来的，因此应该符合 “六度分离 的推断，也就是说小世界网络应该同时具有小的平均路径长度和高聚类 特性。在现实生活中，人们的小平均路径长度主要是由人们总会认识少数几个距离比 较远的人而引起的，所以w a t t s 和s t r o g t z 于1 9 9 8 年引入了一个有趣的小世界网络模 型【2 】，称为w s 小世界模型。w s 小世界模型的构造算法如下： 1 构造规则网络：首先构造一个含有n 个点的最近邻网络，它们围成一个环， 其中每个节点都与它左右相邻的各k i 【个节点相连。 2 随机化重连：以概率p 随机地重新连接网络中的每个边，即将边的一个端点 保持不变，而另一个端点以概率p 换成网络中另一个节点。同时规定，任意两个不同 6 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第二章小世界网络模型 的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。 由以上算法得到的小世界网络的聚类系数c 和平均路径长度l 与重连概率p 之 间的关系如图2 1 所示。 对于w s 小世界模型中特殊情况，有：p = 0 对应于刚开始构造的规则网络，p = 1 则对应于随机网络。 图2 1w s 小世界模型的聚类系数c 和平均路径长度l 随重连概率p 的变化关系，图中用p - - 0 时的值分别对c 和l 做了归一化处理 1 】。 2 2 2n w 小世界模型 w s 小世界模型的构造过程中，由于需要重连边，很可能产生孤立节点，因此这 在很多情况中是不方便的。为了克服这个问题，n e w m a n 和w a t t s 稍后提出了n w 小 世界模型【3 1 。其构造算法如下： 1 构造规则网络：首先构造一个含有n 个点的最近邻网络，它们围成一个环， 其中每个节点都与它左右相邻的各k k 个节点相连。 2 随机化加边：以概率p 随机地在没有连接的两个点之间增加一条边。同时规 7 小世晃网络中的混沌同步和公共物品博弈第二章小世界网络模型 定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身 相连。 对于n w 小世界模型中特殊情况，有：p = 0 对应于刚开始构造的规则网络，p = l 则对应于全耦合网络。 n w 小世界模型在理论分析时可以方便地使用一些常见的方法，如平均场近似 等，而且n w 小世界模型是个全连通网络，不会产生孤立节点，这也比较利于数值 模拟的实现。当p 足够小而n 足够大时，n w 小世界模型和w s 小世界模型在本质 上是等同的【1 1 。 8 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第二章小世界网络模型 参考文献 1 汪小帆，李翔， 陈关荣，“复杂网络理论及其应用”，清华大学出版社，北京， 2 0 0 6 2 d j w a g sa n ds h s t r o g a t z ，“c o l l e c t i v ed y n a m i c so f s m a l l - w o r d n e tw o r k s ”， n a t u r e3 9 3 ，4 4 0 ( 19 9 8 ) 3 m e j n e w m a na n dd j w a t t s ，“r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pa n a l y s i so ft h es m a l l w o r l d n e t w o r km o d e l ”，p h y s l e t t a2 6 3 ，3 4 1 ( 19 9 9 ) 9 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第三章时变耦含小世界网络的完全同步 第三章时变耦合小世界网络的完全同步 3 1 复杂网络中完全同步的研究概况 近年来，由于复杂网络是具有自然界和现实生活中网络的某些特性的理论模型， 比如小世界网络和无标度网络等等，所以许多科学家都十分关注对复杂网络的研究 0 - 5 o 由于大量动力学振子的同步行为在分析神经学、生物学等学科的动力学行为中得 到广泛应用，因此对按照网络的拓扑结构耦合的大量动力学振子的同步行为的研究也 引起了人们极大的兴趣【6 7 1 。同时，p e c o r a 和c a r r o l l 提出了一种通过计算最大李雅普 诺夫指数来衡量同步状态的稳定性的方法【8 】，这种方法已经被应用于在复杂网络上通 过任意拓扑结构耦合的动力学系统【9 1 1 1 。 目前，研究的重点已经转移到提高或者优化复杂网络的全局同步的能力上面。在 提高同步能力方面，人们已经得到了很多有用的结果，例如将输入节点的耦合强度归 一化蚴，或者让网络的连接矩阵随时间而变化等等。在文献 1 3 】中，为了提高网络 的同步能力，必须知道整个系统的一些全局信息，比如连接矩阵等，通过计算连接矩 阵的本征值来提高网络的同步能力，而在很多实际系统中要事先知道整个系统的全局 信息是很困难的。现在，一种通过让节点之间的耦合强度随时间变化来实现提高网络 同步能力的时变耦合强度的方法已经被提出来了【1 4 。6 】。在这种方法中，每条边上的耦 合强度都会从零开始增加，增加的速度和这条边两端的振子的动力学行为的差值成正 比。当边的耦合强度达到某个合适的值时，边两端的振子便可以很快达到完全同步。 这种方法的优点在于，我们只需要知道网络的局部信息( 而不是全局信息) ，通过改 变网络中每条边上的耦合强度( 而不是拓扑结构) 使得所有节点达到同步。已经有研究 表明，在规则网络上这种耦合方式比耦合强度不变的固定耦合方式能够更加有效得使 网络节点达到同步【1 7 】。所以，有必要深入研究有关时变耦合对网络的影响。 我们将进一步研究时变耦合强度在复杂网络，尤其是小世界网络中对节点同步能 1 0 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 第三章时变耦合小世界网络的完全同步 力的影响。另一方面，当网络达到同步时，这种时变耦合强度的方法会使网络中的各 条边上的耦合强度不再相同，这时的网络可以看成是一个加权网络，而加权网络中振 子的同步问题已经被研究得很多了【1 鼬o l ，因此在本章的最后，我们将时变耦合的结果 与加权网络中振子同步问题的结果进行比较。 3 2 理论模型 我们选择了无向n w 小世界模型【2 1 1 ，这个小世界网络是在首尾相连的环形最近 邻网络的基础上建立的，其中p 是加边概率，n 是网络中的振子的个数。网络的连接 矩阵用7 7 表示，当振子i 与振子j 之间有边存在时嘞= = 1 ，否则= = o ，同时 规定振子不能自相连，即= 0 。振子i 的度用k i 来表示。每个单独振子的动力学行 为用典型的非线性r o s s l e r 方程来描述： x = 一y z ， 夕= x + a y ，( 3 1 ) 三= b + ( x - c ) z 其中，a = b = 0 2 ，c = 7 0 ，在这个参数下的r o s s l e r 方程描述的系统是一个混沌系统。 网络中通过时变耦合强度耦合的节点的动力学行为可以用下列方程描述为： 毫= 一 一弓+ 丢窆，7 ：f 勺( t 一而) ， x i y i z i + i i 乙j = l 朗自。u 厂蚺 y j = 薯+ a y , ， 考= 6 + ( 薯一c ) 刁，i = 1 ，刀 其中，节点i 和节点j 之间的时变耦合强度i j 由下式给出： 亡口= 亡j | = 九( x j x 了， ( 3 2 ) ( 3 3 ) 从( 3 3 ) 可以看出，节点i 与节点j 之间的时变耦合强度毛的变化率与节点i 和节 点j 之间的动力学行为的差异有关，方程( 3 3 ) 中的参数九则控制耦合强度变化的快慢， 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第三章时变耦合小世界网络的完全同步 我们取护o 0 0 1 ，因为如果耦合强度增加得太快，那么达到同步所需要的时间也就很 短，这样就不容易看出网络连接对同步的影响，而如果耦合强度变化得太慢，就和固 定耦合强度没有太大的区别，也就失去了这种耦合方式的优势了。 作为对比，网络中通过固定耦合强度耦合的节点的动力学方程可以描述为： x t = - y l - z t + 丢喜。( 一一) ， 克= 薯+ 哪， ( 3 4 ) 毒= 6 + ( 薯一c ) 刁，i = 1 ，r 其中，勺是节点之间的固定耦合强度，不随时间和边的变化而改变，因此是个 常数。 我们通过计算各个节点之间的x 输出的方差0 2 来判断系统是否达到同步： 1 n c r 22 专善( 薯一习2 ，江l ， ( 3 5 ) 其中，孑= o 表示网络中节点达到完全同步，而0 2 越大则表示节点之间同步的性 能越差。 对于时变耦合强度，我们可以定义平均耦合强度歹为： 歹= 石备n 否? 1 白，“= 1 ，船 ( 3 1 6 ) 其中i l c 表示网络中边的数目。 1 2 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 第三章时变耦合小世界网络的完全同步 3 3 数值模拟与理论分析 我们通过数值模拟对n w 小世界模型进行了分析，网络节点数n = 4 0 0 ，节点动 力学方程( 3 2 ) - ( 3 4 ) 的初始值随机设置，网络达到完全同步所需要的时间记为t s ，它可 以作为衡量同步性能好坏的参数之一。 l p 图3 1 分别采用时变耦合与固定耦合方式时网络达到完全同步所需要的最低平均耦合强度 ( 图( a ) ) 与达到同步所需要的时间( 图( b ) ) 与加边概率p 的变化关系。n = 4 0 0 。 图3 1 表示了网络达到同步时的平均耦合强度手以及所需要的时间和加边概率 p 的关系。其中，图3 1 ( 0 表示了网络分别采用时变耦合方式和固定耦合方式达到同 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 第三章时变耦合小世界网络的完全同步 步所需要的最小平均耦合强度与网络中的加边概率p 之间的关系。我们知道，对于 n w 小世界网络模型，加边概率p 越小，网络越接近最近邻规则网络。从图3 1 ( a ) 我 们可以看到，对于加边概率p 不是很小时，网络采用时变耦合达到同步所需要的平均 耦合强度大于网络采用固定耦合所需要的耦合强度。这可以通过小世界网络的结构特 点来解释。在时变耦合方式中，假设节点o 有不止一个邻居节点，当其中一个邻居 节点增加了与节点o 的耦合强度时，节点o 的动力学行为会因此而发生改变并与该 邻居节点达到同步，而这却可能会导致节点o 与其它邻居节点不同步，而由于耦合 强度的变化率是符合( 3 3 ) 的，因此耦合强度总是增大的，同时其他邻居节点又要在下 一时刻增大他们各自与节点o 的耦合强度，最终为了使与之相连的节点均达到同步， 他们只能将各自的耦合强度调整为大于他们实际需要的值，因此时变耦合方式与固定 耦合方式相比需要的耦合强度更大。 从图3 1 ( a ) 还可以发现随着加边概率p 从0 0 5 增加到o 5 ，时变耦合方式所需要 的平均耦合强度总是在万= 0 5 附近，也就是说，网络中边的数量的增加并没有导致 相应的平均耦合强度的增加。而在固定耦合方式中，随着加边概率p 从0 0 5 增加到 0 5 ，同步所需要的耦合强度也从0 5 降低到了0 2 5 附近。 图3 1 ( b ) 给出了网络分别采用两种耦合方式时达到同步所需要的最短时间，。与加 边概率p 之间的关系。从图3 1 ( b ) 可以看到，采用固定耦合方式达到同步所需要的时 间总是长于采用时变耦合强度。而且对于时变耦合，当p 从o 0 5 增加到0 3 5 时，。几 乎没有大的变化，也就是说网络中加入更多的边并不会提高或者降低网络达到同步的 速度。而相应的固定耦合方式所需要的时间则几乎是时变耦合的三倍。结合图3 1 ( a ) 我们发现，在p 不是很小的情况下，时变耦合方式与固定耦合方式相比，达到同步所 需要的耦合强度更大而所需时间则较小。 1 4 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第三章时变藕合小世界网络的完全同步 - c o “蛰 n b t i m e 图3 2 平均耦合强度万与节点动力学方程x 分量方差0 2 随时间变化曲线。其中图( a ) 为时变 耦合方式中的平均耦合强度随时间变化的曲线，图( b ) 为相应的方差随时间变化的曲线，当网络达 到完全同步时( 0 2 = o ) ，平均耦合强度于o 6 2 ，图( c ) 为固定耦合方式中方差随时间变化的曲线， 其中固定耦合强度勺= 0 9 。n = 4 0 0 ，p = o 0 0 2 5 在图3 1 ( a ) 中我们还发现，当加边概率p 很小时( p 1 ) ，固定耦合方式达到同步 所需要的耦合强度变得很大，而时变耦合方式所需要的平均耦合强度并没有太大的变 化。因此在图3 2 中画出了p = o 0 0 2 5 时网络分别采用时变耦合方式( 图3 2 ( a ) ，图3 2 ( b ) ) 1 5 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第三章时变耦含小世界网络的完全同步 与固定耦合方式( 图3 2 ( c ) ) 达到同步时，平均耦合强度与方差随时间变化的关系，在 固定耦合方式中耦合强度e = o 9 。在图3 2 ( a ) 与图3 2 ( b ) 中，开始时由于节点的初值比 较接近，因此方差与耦合强度的值都比较小，随着时间的增加，节点之间的动力学行 为的差异迅速增大，同时他们之间的耦合强度也迅速增大，经过约15 个时间单位后， 网络中节点之间的方差达到最大值，随后由于耦合作用节点之间很快达到了同步，在 第1 8 个时间单位处基本达到完全同步，节点之间的动力学行为没有差异，因此耦合 强度也不再增加，保持不变，如图3 2 ( b ) 所示。 对于固定耦合方式，如图3 2 ( c ) 所示，耦合强度取s ，= 0 9 ，节点之间的初值仍然 比较接近，方差仍然比较小。随着时间的增加，经过约2 0 0 个时间单位后，节点之间 动力学行为的差异也越来越大，方差增大。但由于采用的固定耦合方式，耦合强度仍 然是常数0 9 ，随着时间里增加，系统并没有出现同步现象。从图3 1 ( a ) 我们也能发现， 随着p 的减小，固定耦合方式达到同步所需要的耦合强度迅速增加，当p = 0 时，小世 界网络演变为了规则网络，而4 0 0 个节点的规则网络是无法同步的f 1 8 2 0 】，也就是说 ，。一c o ，这与图3 1 ( a ) 的趋势吻合。因此，我们认为时变耦合能够很好的提高网络的 同步能力，这与文献 1 8 - 2 0 的结论一致。而我们与文献 1 8 - 2 0 相比，我们模型的优势 在于不用计算每条边上耦合强度的大小，所有节点会自动达到同步状态，这样的好处 就是既方便又易于实现。 1 6 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第三章时变耦合小世界网络的完全同步 m a x i i i i i 肇 图3 3 在时变耦合方式中，当网络达到完全同步后，节点之间耦合强度与两个节点之间度大 的节点的度的关系。 图3 3 给出了p = o 0 0 3 时小世界网络达到完全同步时每条边上的耦合强度与该 边所连接两点中度较大的点的度m a x k i ，b ) 的关系。从图3 3 可以看到网络达到同步 后边的耦合强度与对应的节点的度并没有直接关系，同样，我们发现对于不同的p 值，以及勺与龟巧之间均没有明显关系。从方程( 3 3 ) 我们看到，为了使节点i 与节 点j 达到同步，两点之间的耦合强度会增加，而这又可能会使得其它原本与节点i 达 到同步的邻居节点又失去同步。因此，对于度比较大的节点应该也需要较大的耦合强 度，才能使得它与较多的邻居节点同时达到同步。然而，通过图3 4 我们发现几乎绝 大多数节点都是在同一时间达到同步的，因此节点的度的大小并不会影响该节点的动 力学行为。 1 7 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 第三章时变耦合小世界网络的完全同步 量 l 图3 4 不同的加边概率p ，网络采用时交耦合方式时网络中的节点达到完全同步所需要的时 间的概率分布。 在时变耦合方式中，当网络达到完全同步时，网络中各条边上都有一定的耦合强 度，有些边上耦合强度大，有些边上耦合强度小，所以有必要分析达到完全同步时网 络中耦合强度的概率分布。 1 8 镑1彭立ec国翰够蛩玺ncokco虽协蜘o留芒釜2m 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 第三章时变耦合小世界网络的完全同步 a d 2 a 图3 5 对于不同的加边概率p ，网络采用时变耦合方式达到完全同步时网络中的耦合强度的 概率分布。 图3 5 给出了不同加边概率p 时，网络中耦合强度的概率分布，所有数据点均经 过2 0 次重复模拟平均得到。我们看到，当p = o 0 0 3 ，也就是说网络中的边较少时，大 多数边的耦合强度都在平均值附近，在耦合强度e = o 5 附近出现了一个峰。具有较大 和较小的耦合强度的节点的数目很少。当网络中加边概率p 增加到0 0 3 时，网络中 具有较低耦合强度的边的数目有所增加，因此在g = 0 附近又出现了一个峰，而原来的 那个峰则移到了g = o 6 附近。这表明原来的一部分边上的耦合强度增加了，同时新加 入的边上的耦合强度则比较小，因此，正如图3 1 ( a ) 所示，网络中的平均耦合强度并 没有发生明显的改变。当网络中加边概率p = 0 3 时，在e = o 附近的峰突然增大，因此 更多的边的耦合强度变得更弱了。另一个峰则在- 0 8 附近。当网络中加边数目越少 时，网络中越多的边的耦合强度不会很弱，而另一部分边的耦合强度则会很强。因此 在几率分布中存在双峰现象。 1 9 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈第三章时变耦合小世界网络的完全同步 3 4 小结 在规则网络中，时变耦合方式具有不需要知道网络结构的全局信息，而只需要知 道局部信息，并且不用计算网络的连接矩阵的本征值，就能够使网络中的节点达到完 全同步的优点，我们将时变耦合方式引入了对小世界网络的分析之中。 我们研究了在复杂网络中采用时变耦合方式与固定耦合方式对网络同步性能的 影响。我们发现，在网络中加边概率较大，网络较不规则时，时变耦合方式需要更大 的耦合强度才能使网络达到完全同步，但同时网络达到完全同步所需要的时间却大大 缩短。当网络中的加边概率非常小时，固定耦合方式需要较大的耦合强度才能使网络 达到同步，而时变耦合方式所需要的平均耦合强度则几乎没有发生变化。通过对达到 完全同步后网络中耦合强度的分布的研究，我们发现，当网络中的加边概率较小时， 多数边上的耦合强度都分布在平均耦合强度附近。当网络中的加边概率较大时，网络 中大多数边的耦合强度并不会减弱，而一部分边的耦合强度则会增强。 小世界网络中的混沌同步和公共物品博弈 第三章时变耦合小世界网络的完全同步 参考文献 1 g b i a n c o n ia n da l b a r a b a s i ，“b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nc o m p l e xn e t w o r k s ”， p h y s r e v l e t t 8 6 ，5 6 3 2 ( 2 0 01 ) 2 d h z a n e a e ，“d y n a m i c so fr u m o rp r o p a g a t i o n o ns m a l l - w o r l dn e t w o r k s ”，p h y s r e v e 6 5 ，0 4 19 0 8 ( 2 0 0 2 ) 3 x f w a n ga n dj x u ，c a s c a d i n gf a i l u r e si nc o u p l e dm a pl a t t i c e s ”，p h y s r e v e7 0 ， 0 5 6 11 3 ( 2 0 0 4 ) 4 d j w a t t sa n ds h s r o g a t z ，“c o l l e c t i v ed y n a m i c so f s m a l l - w o r l d n e t w o r k s ”， n a t u r e3 9 3 ，4 4 0 ( 19 9 8 ) 5 l b a r a b a s ia n dr a l b e r t ， e m e r g e n c eo fs c a l i n gi nr a n d o mn e t w o r k s ”，s c i e n c e2 8 6 ， 5 0 9 ( 1 9 9 9 ) 6 s l u b e c ka n dp c h e g e r ， u n i v e r s a lf i n i t e s i z es c a l i n gb e h a v i o ra n du n i v e r s a l d y n a m i c a ls c a l i n gb e h a v i o ro fa b s o r b i n gp h a s et r a n s i t i o n sw i t hac o n s e r v e df i e l d ”， p h y s r e v e6 8 ，0 5 6 10 2 ( 2 0