（应用数学专业论文）反应扩散方程和退化抛物方程的整体吸引子和距离估计.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 这篇论文一方面深入地研究了一类反应扩散问题的整体吸引子和相应均匀 化方程的整体吸引子彳o ，并给出了和4 0 的距离估计，另一方面研究了一类退 化的抛物问题的整体吸引子a 8 和相应均匀化方程的整体吸引子a o ，并给出了a 和在给定空间的距离估计。 本文主要利用先验估计得出了下列问题的整体吸引子和距离估计： r 鼻 ( 一) j 茜o j 2 4 矿一，( 毛8 - 1 岛矿。j ) ) ，( 五。q 。r + 【“( 剐) i 20 ，“5 ( x ，吼。g o r矗， ( 二) p 茜”一南o _ 口“1 南d ，g ，形“巾力q 腰 【甜_ m 2 0 ，矿l 2 1 9 0 其中第一个方程所得的结果推广了b f i e d l e r ，m l v i s h i k ，m f e n d i e v 和s z e t i k 已 有的结论。第二个方程的结果是对退化抛物方程的进一步研究。 关键词：整体吸引子，均匀化，反应扩散方程，先验估计，退化和抛物方程， 殆周期函数，d i o p h a n t i n e 条件，散度形式。 重庆火学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t o no n eh a n d ，t h eg l o b a la t t r a c t o ra 。o far e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m sa n dt h e h o m o g e n i z e da t t r a c t o ra o o ft h ec o r r e s p o n d i n gh o m o g e n i z e de q u a t i o nr e s p e c t i v e l y a l es t u d i e d ，a n dt h ee x p l i c i te s t i m a t ef o rt h ed i s t a n c eb e t w e e na a n da oi sa l s o s t u d i e d o nt h eo t h e rh a n d t h eg l o b a la t t r a c t o ra o fad e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n a n dt h eh o m o g e n i z e da t t r a c t o ra o o ft h ec o r r e s p o n d i n gh o m o g e n i z e de q u a t i o n r e s p e c t i v e l ya l es t u d i e d a n dt h ee x p l i c i te s t i m a t ef - 0 r 廿l ed i s t a n c eb e t w e e na 5 a n da o i sa l s os t u d i e df o ra g i v e ns p a c e u s i n gp 矗o re s t i m a t e s ，w eo b t a i na b o v er e s u l t sf o rm ef o l l o w i n gn o n - d e g e n e r a t e a n dd e g e n e r a t ep a r a b o l i cp r o b l e r n s ： ( ) 。j 蠢“5 ( x ，力2 4 “5 一厂( x ，占一1 x ，“。( 工，f ) ) ，( 墨f ) q 。胄+ 【“( f ) l m20 ，“( 五f ) i ，= 02 ( 二) 卜争( 彬阄缸w h 形) 巾，f ) q 删 l”_ 舯_ o ，“。f ，；。i “。 t h er e s u l t so f t h ef i r s te q u a t i o n se x t e n dt h ek n o w nr e s u l t se x i s t i n gi nt h el i t e r a t u r eo f b f i e d l e r , m lv i s h i k ，m f e n d i e va n ds z e l i k ，a n dt h es e c o n de q u a t i o ne x t e n d st h ek n o w n r e s u l t se x i s t i n gi nt h ed e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n k e y w o r d s ：g l o b a la t t r a c t o r , h o m o g e n i z a t i o n , r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s ， p r i o re s t i m a t e s ，d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s ，a l m o s t - p e r i o d i cf u n c t i o n s , d i o p h a n t i n ec o n d i t i o n ，d i v e r g e n c ef o r m i i 重庆大学硕士学位论文 i 引言及相关知识 1引言及相关知识 1 1 背景 有限维动力系统的研究至少有三十多年的历史，至今已取得了许多重要的成 果，但是，动力系统的问题远远不限于有限维的情形，无穷维动力系统就是有限 维动力系统的深入和发展。无穷维动力系统具有某些新的重要特征： ( 1 ) 存在空间上的混沌现象，即在某个区域产生混沌、湍流，而在另一些区域则 不出现。 ( 2 ) 在空间的某个部分可能产生奇性集。 从数学上看，在原来有限维动力系统斯梅尔( s s m a l e ) 、莫泽( j m o s e r ) 、 梅尔尼科夫( m e l n i k o v ) 的工作基础上，曼德尔勃罗特( b 1 i l a n d l b r o t ) 在1 9 7 7 年提出了分形集的概念，莱迪察斯科娅( 0 a l a d y z h e n s k a y a ) 、维西克 ( m i v i s h i k ) 、特马姆( r t e m a m ) 等人已对某些具有耗散效应的非线性演化方 程的整体吸引子、惯性流形的存在性，它们的豪斯多夫维数，f 维数的上下界估 计，吸引子的动态结构，近似惯性流形，非线性伽辽金，惯性集等问题进行了多 方面的研究，得到了一系列重要的结果。 数学上，已建立了无穷维动力系统的重要数学理论，提供了理论研究和数值 计算方法。其中，从偏微分方程的定性研究来看，最关键的是要建立定解问题的 解对时间t 大范围的一致先验估计。无穷维动力系统，实际上主要是研究是解的 性态问题。因此，对它的研究也为非线性偏微分方程的研究提供了新的课题。整 体吸引子是无穷维动力系统中重要概念。在偏微分方程中，由于某些变量的复杂 性，大部分的偏微分方程都找不到精确数值解。为了了解解的性态，特别是当 ，哼0 0 时解的情况，引进了整体吸引子。研究整体吸引子，主要有下面几个问题： ( 1 ) 方程中解的存在唯一性及解对初值的连续依赖性； ( 2 ) 吸收集的存在性； ( 3 ) 紧吸引子的存在性； ( 4 ) 吸引子的维数估计。 近三、四年来，无穷维动力系统与均匀化理论相结合，考虑非均匀化系统与 均匀化系统吸引子之间的误差，成为偏微分方程研究中非常活跃的一个领域。 重庆大学硕士学位论文 1 引言及相关知识 1 2 整体吸引子 1 2 1 一般性概念 定义1 1 极限集表示为 o o ( u o ) - 。n 。u 。s ( t ) u 。， 或者 功0 ) _ 9 1u b s ( t ) a a 极限集表示为 口( “。) ：。n 。u 。s ( - t ) 一， 或者 髓0 ) - 。n 。u $ s ( 一f ) _ l a - 尹c o ( a ) 等f f r - l ：存在序列吼a 和_ 栅，使得s ( ) 纯_ + p0 - - ) o o ) ： p 口( m 等价于存在序列丸在a 中收敛于伊，及一- 旧，使得= s ( f ) 丸，v n 。 定义1 2 算子族s ( f ) ，t 0 ，为h 至：r j h 的映射，若满足下列性质： s ( t + j ) = s ( t ) s ( s ) ，v s ，f 0 ( 1 1 ) s ( o ) = ， ( ，为日到日恒同映射) ( 1 2 ) 则称s ( t ) 为半群。 例如，若s ( t ) 满足 “( r ) = s ( t ) u ( o ) ，u ( t + s ) = s ( t ) u ( s ) = s ( j ) “( 力 则s ( f ) 为满足上述条件的半群。 定义1 3 集台x 亡若满足： s ( t ) x = x ( v t 0 ) ( 1 3 ) 则称为半群s ( t ) 的不变集。 定义1 4 若 s ( t ) u o = ，v t 0 ( 1 4 ) 则称日为半群s ( f ) 的不动点或平衡点a 2 重庆大学硕士学位论文 1 引言及相关知识 引理1 1 假设集合爿亡，4 彩，对某个f 。 0 ，u s ( f ) 4 在日中相对紧，则 以曲是非空，紧的不变集。类似地，若集合s ( ! ) a ，f 0 非空且存在t 0 使得 u ，乩s ( f ) - 1 a 是相对紧的。则口( 爿) 是非空，紧不变集a 证明：由于4 非空，故 u 。s ( t ) a ，v s 0 ( 1 5 ) 非空。因此此集合为非空紧集，且此集合随s 增大而减小。其交集c o ( a ) 为非空紧 集。由国( 爿) 的等价命题，易知 s ( t ) c o ( a ) = 国叫) ， v t 0( 1 6 ) 若s o ) ( 4 ) ，则 = s ( f ) 伊，妒o j ( a ) 。 ( 1 7 ) 由半群s ( t ) 的连续性，及 从而 s ( 0 ) 口乙 伊 ( 0 - - + ) ( 1 _ 8 ) s ( f ) s ( ) 纯= s ( 0 + f ) 纯一s ( f ) 妒= 妒也_ 。) ( 1 9 ) 因此有矿o j ( a ) 。 反之，若p ( 一) ，可取序列，满足 s ( ) 吼 妒( 0 ) ( i 1 0 ) 由于f ，故序列s ( t f ) 吼是日中相对紧集。从而存在子列 乞- - ，h 使得 s ( 一r ) 吼寸矿( f o o ) 由等价命题出( 彳) 。从而由s ( t ) 的半群性质及连续性，有 s ) = s o ) s ( f 一f ) _ s o ) 妒2 妒( h i _ ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 重庆大学硕十学位论文1 引言及相关知识 则p s ( t ) c o ( a ) 。 同理可证a ( a ) 为非空，紧不变集。# 定义1 5a c h ，若满足 ( i ) a 是一个不变集，即s ( t ) a = a ，v t 0 ， ( i i ) 存在开集u c a ，v x o u ，使得d i s t ( s ( t ) x o ，a ) 哼0 0 斗) 则称4 为吸引子。 注：( i ) d i s t ( s ( t ) x o ，4 ) = s u p “i 鸣。jd ( s ( t ) x o ，y ) a 满足性质( i i ) 的最大开集u 叫爿的吸引区域。 定义1 6 设e 为b a n a c h 空间，s ( t ) 为半群算子，如果紧集a 亡e 满足： ( i ) 不变性：即在半群s ( f ) 作用下为不变集 s ( t ) a = a ， v t 0 ( i i ) 吸引性：彳吸引e 中一切有界集，即对任何有界集bce 有 d i s t ( s ( t ) b ，4 ) = 8 婴赠忪o ) z y l t 。一0 j e 丑，” 。 特别地，有当f 呻o o 时，从u o 出发的一切轨线s ( t ) u 。收敛于爿，即有 d i s t ( s ( t ) u o ，彳) j 0 ，t 专o o ， 那么，紧集彳称为半群s ( t ) 的整体吸引子。 1 2 2 整体吸引子存在定理 为了给出整体吸引子存在性定理，特给出有界吸收集的概念。 定义1 7 对于有界集b 。ce ，如果存在t o ( b ) 0 ，使得对任何有界集bce ，有 s ( t ) b c b o ，v t t o ) ， ( 1 1 4 ) 则称风为e 中有界吸收集。 注：整体吸引子存在暗示了吸收集存在；反之，由下面性质可看出，半群若存在 吸收集，并满足其它一些条件，其吸引子也存在。 现在给出两个假设： ( h i ) 算子s ( f ) 对充分大的t 是致紧的，即任意的有界集占，存在t o ( b ) ，使得 4 重庆大学硕士学位论文 1 引言及相关知识 u ，凶s ( t ) b 在h 中相对紧。 ( h 2 ) s ( o = + 是，其中五o ) 对充分大的，一致紧，足是日_ 连续映 射且对任意有界集c ch ，r o ( t ) = s u p c8 最( f ) 酬呻o0 斗m ) 引理1 2 1 假设半群i s ( o ，连续而且满足( h 1 ) 或( h 2 ) ，则对任意有界的日中有 界集b o ，国( 丑。) 是非空紧的不变集。 引理1 3 1 若“是开凸集且k c u 是吸收紧集的紧不变集，则k 连通。 定理1 1 设h 是度量空间，算子半群 s ( f ) ) ，。连续而且满足( h 1 ) 或( h 2 ) ，设存在 开集u 和u 中有界集b ，使得b 是【，中吸收集，则b 的极限集a = 0 2 ( b ) 是紧吸 收子，吸收u 中的有界集，它是u 中最大的有界吸引子。更进一步，若日是b a n a c h 空间，u 是凸的，而且映射s ( f ) ：u o s ( t ) u 。对每个h 中u o 连续，则a 是连通的。 证明：在此我们证明s ( f ) 在( h 1 ) 假设下的结论 由于集合u ，s ( f 徊是相对紧的，e h g l 理1 1 ，则( b ) 是非空的紧不变集a 下 证a = ( 功是u 中吸引子，吸收u 中有界集。 反证法：假设对某些有界集& c u ，d i s t ( s ( t ) b o ，彳) 不收敛o - - 9 叫，即存在占 和f 。呻，使得 d i s t ( s ( t 。) 鼠，a ) 占 0 ，v n ( 1 1 5 ) 故对每个，l ，存在轧b 。，满足 d i s f ( s ( t a b ，一) so ( 1 1 6 ) 因为曰是吸收的，所以当，充分大时， s ( 0 ) 6 。b( t 。f l ( 岛) )( 1 1 7 ) 序列s ( 0 ) 吨是相对紧的，则至少存在一个聚点卢 3 翱s ( ) 2 瓣s ( o 一) s ( ) ( 1 1 8 ) 5 重庆大学硕士学位论文 1 引言及相关知识 由于 s ( t z ) b b ，a = ( 功 从而矛盾于( 1 1 6 ) ，故爿是u 中吸引子。 下证彳是最大的： 若存在a 3 a ，a 为一有界吸引子由于s ( t ) a = a ( 爿= a c 珊( b ) = a 从而4 最大。 连通性由引理1 3 给出。# ( 1 1 9 ) 当f 足够大时包含在b 中，故 ( 1 2 0 ) 1 3 一些泛函知识准备 1 3 1 弱收敛 定义1 8 一个b a n a c h 空间z 中序列k ) 弱收敛到工是指 v x z + ，( x t , ) n 。一( 工：工) ， ( 1 2 1 ) 记为：吒与x nx 。( 这里+ 表示石的共轭空间) 命题1 1 强收敛可得出弱收敛，且有限维空间中，弱收敛和强收敛等价。 命题1 2 设瓴) 在x 中弱收敛到x ，则： f ) 执) 在z 中有界，即，存在与片无关的常数c 使得： v n e n , l 。c i i ) 。溉i n f l l x 。1 。 定理1 2 ( e b e r l e i n s u l j a n ) 假设z 是自反的( r e f l e x i v e ) 的b a n a c h 空间， 且瓴) 在x 中有界，则： f ) 存在纯) 的子列 k ) 和使得： k j x i n 并( 1 2 2 ) f f ) 如果慨) 的所有子序列都弱收敛到同一个极限x ，则有： 二b x i n 并( 1 2 3 ) 下面我们给出一个弱强序列乘积极限的命题： 6 重庆大学硕士学位论文i 引言及相关知识 命题1 3 设饥 c 肖， 儿) c x + 使得： 则有： 证明：因为： e x xi nx i 一_ y i n 石。 舰仉，矗) p 。= ( y ，工) 。 舰 ( ，) n 。一( y ，x ) p 。f = 墼j ( 只一y ，毛) ，。，。+ ( y ，x n 一工) ；j s 熙忱一y l l ，i m 。+ 恕陆x n x ) n 。 = 0 # 。 1 3 2p 空间的一些性质 定义1 9 对任意的泛函矿：q - r 我们定义它的支集： s p t6 p = x 曲，p o l n q 定义1 1 0 对1 p r , 何粕肌功1 4 出 o 。 t r ( n ) = l 厂：q _ 足厂可测且存在c ，使得：l ，( 功i 兰c d e f l 缘( q ) = 厂f ( ) ，v 有界开集国且历c n ) ( 1 - 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 命题1 4 对1 p o 。，我们定义口( n ) 在下面的范数下是一个b a n a e h 空间： 同时，当1 兰p o o 时，f ( 竭是可分的。 命题1 5 对1 p ，序列缸。 c f ( n ) 然后我们有下面的等价命题： 7 ( 1 2 8 ) ：蕊 重庆大学硕士学位论文1 引青及相关知识 “。与”i nf ) 铮 f f )k ) c c 与一无关， 1 盯) 出- f “d x v i c o l ， 定义1 1 1 “。与“ i n f ( q ) 是指 v 妒p 。( n ) ， p 。p 出呻卜p 也 nn 其中土+ _ 1 = 1 ，l p ，p t 。 pp 。 定义1 1 2 矽”( n ) = “e l p ( n ) ：d 口) ，o h m 赋予范数： 直n 果l p 有： i i - i i 酬。呐。s c i i v u l l ，皿， ( 1 3 3 ) i i ) 如果“嘲9 ( n ) p n ，且q 有界，贝j j ：f i - ! “e c ( f i ) 且s u p i u l 1 ，存在常数c = c ( n ，k ，p ) 使得： f ) 如果“孵4 ) ，月 印，p l ：f i ： l l u lr ，伽一扣k 。c i i v 4 。， i i ) 如果u 吲1 ( q ) ，n 0 使得： 对任意的“喇9 ( q ) ，有： 弘i 出- c j l v “l d x ( 1 3 7 ) 其它的一些f 空间性质可以查阅 3 3 ， 4 0 ， 4 1 等。 1 3 3 快速振荡周期函数的弱极限 定义1 1 3 称函数f ：r “寸r 1 是周期为y = 0 ，1 】“c r 4 的周期函数，是指 f ( x + q ) = 厂( 功， v x r 4 ， v 1 i n 其中k ， 二为尺”的标准正交单位基向量。 定理1 6 设1 s p 。，且厂f ( y ) 是个y 周期函数，设 五= ，( 三) ，口g o n r “ ( 1 3 8 ) 则：若p 0 有： 五与m r ( ，) 高，( y ) 砂抽r ( q ) ( 1 4 。) 证明：1 ) 先验估计， 当p = 佃，对正= 厂仁) ，a 七d nr ”我们有： 9 重庆大学硕士学位论文1 引言及相关知识 l i 。1 1 册) = 即) ( 1 4 1 ) 于是存在子列 正 和，使得： 正，里一， i n f ( j r ”) ( 1 4 2 ) 现在我们考虑p 0 ，存在自然数矸，使得：v i = 1 ，2 ， 有 l i = k ；l i 十y ；其中0 y ； ! i 且相应地有： 当占一0 时s j i 一善 另一方面我们注意到s y 的变换集严格包含在i 中，于是得到： n ( s ) = 砰 于是由( 1 4 5 ) 可得： 棚一粉= 斟。 1 0 ( 1 4 5 ) ( 1 4 6 ) ( 1 4 7 ) 川阡引列 = t 。1 o、，rl， m 哑 。日 m 。日 慨 似 卿 重庆大学硕士学位论文 1 引言及相关知识 我们得到了( i 4 4 ) ( i ) 。 为了估计n ( s ) ，我们发现能选择和一使得，被k 个s 歹的变换集覆盖，其 中k = ( 砰+ 1 ) x ( 十1 ) x x ( + 1 ) ，然后有： n 忙) k 一( g ) = 4 + 毽， ( 1 4 8 ) 厂、 其中4 = i 兀巧i 。从( 1 4 5 ) 我们有： 广1 4 _ 喜 罂等 n 密等= n 器 对任意= 1 ，2 ，n 我们有：0 岛。我们知道： s ”1 毽寸0 从而得到了( 1 4 4 ) ( i i ) 。 ( 1 4 9 ) ( 1 5 0 ) 由f 的周期性，( 1 4 4 ) 和周期函数的积分区域变换( e 1 0 引理2 3 ) 有 舢，窆m ，出+ y 、f ，出 蕃删拼一蜗, t 4 1 ，出 5 1s 矗 。1 f y ， = ( s ) + 忙) f 1 4r d x e r = 【( s ) + y 占) p f l f ( y ) l d y r = c i l ：l l ：, 。， ( 1 5 1 ) 其中常数c 与s 无关。于是对任意的有界开集国c r ”， 正) 在空间f ( 国) 中有界。 特别地，对1 p 0 存在与s 无关常数g 使得： 【! ( m r ( g ) 一m r ( f ) ) 伊d x j c ：吁 最后由( a ) 知道：当s 斗0 时， l ( 器一m r ( g ) ) 础r - 9 0 ， 由( 1 5 8 ) ，( 1 5 9 ) ，( 1 6 0 ) 有： j ( 工( z ) 一m r ( f ) ) q ，d x - - - 0 ( 1 6 0 ) ( 1 6 1 ) ( 1 6 2 ) 于是五塑_ m r ( ，) _ 南5 八咖 伽_ ( q 卜 我们完成了定理1 6 的证明。# 1 4 已有结论 m e f e n d i e v 和s z e l i k 在文献 3 中研究了反应扩散方程 昙“8 = _ ，( 矿) 押，( x , t ) e f f z x r + ( 1 6 3 ) l “f f = o = ，“l 。= o 其中 1 3 重庆大学硕士学位论文 1 引言及相关知识 ( 船) f i 砉毒( 咏奶“5 ( 瑚，s l = 1 , 2 , 3 在某些特定的条件下整体吸引子的存在性，同时给出了( l6 3 ) 均匀化后方程 西u o = a o u 。- f o ( 扩) + 心，f ) 出彤 ( 1 - 6 4 ) 【“。f ，：。= m “。i 。= o 整体吸引子的存在性，并给出了均匀化方程整体吸引子与( 1 6 3 ) 整体吸引子的 距离估计。 b f i e d l e r 和j i i lv i s h i k 在文献 4 中研究了具有快速振动项的方程 序5 一“5 川五咖如 孝) ( 1 6 5 ) d f占sl 1 o a ， iu l 脚2 1 1 0 ，u l a n 2 0 与均匀化方程 j j f u o = 口“。一，( x ，u 0 ) + g o ( 工，“。)( 1 6 6 ) 【“k 跏。，“。i 。= o 整体吸引子的存在性，并在d i o p h a n t i n e 5 条件下给出了( 1 6 5 ) ，( 1 6 6 ) 系统 中整体吸引子的距离估计，其中d i o p h a n t i n e 条件的定义见第3 章。 1 4 重庆大学硕士学位论文 2 一类反应扩散方程的整体吸引子 2 一类反应扩散方程的整体吸引子 2 1 介绍及主要结果 我们考虑下列反应扩散方程： 昙吣 f ) = 舢，( s 。1 五吣 f ) ) ，( 埘n 删 l “( z ，f ) k = o ，“( 五f ) ，= 0 = 其中= ( ，“) 为未知向量函数，q c r 3 为有界开集，且满足 ( 4 = 砉若( 9 啊以瑚，占 4 “：= 击昭( 4 “7 ，“) 函数对称而且关于y 殆周期 8 ，并满足一致椭圆条件： 主( y ) 参旬v f 1 2 ， y ，善r 3 i , j = l y 为适当的正常数，又假设f ( x ，y ，“) 关于y r 3 殆周期且满足下列条件 圭 牛r c 壹p t + 2 一c l ， ue r k ，c 1 ( 砖r ) ， 1 f ( x , y ，“) sc o + l u l ) o , f ( x ，y ，2 ) l c ( i z 4 + 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中p 1 ，p l2 2 ( p - 1 ) ( 1 = 1 ，i ) 又设初值满足 “o r ( q ) n 喇2 ( q ) ( 2 8 ) 为简单起见，设r ( q ) _ h ，吲2 ( q ) - 矿。 定理l ：设( 2 1 ) 满足假设( 2 2 ) 一( 2 8 ) ，设“o ) 为方程组( 2 1 ) 的解，则对 任意s 0 ，有( 2 1 ) 导出的半群s ( r ) ：寸“( f ) 在h 中存在一个紧的整体吸引子 1 5 重庆大学硕士学位论文 2 一类反应扩散方程的整体吸引子 a 4 。 设均匀化后方程为 j 昙“。= 州训“陇。， i “。( x ，f ) i 。= o ，“。( 五f ) l 。= 在上述假设下，( 2 9 ) 存在紧的整体吸引子a o 。 对于方程组( 2 1 ) ，为了给出距离估计，除了假设( 2 2 ) 一( 2 8 ) ，我们又 给出以下假设： 厂b ，y ，z ) = b j ( x ，y ) 矗( z ) ( 2 1 0 ) 1 i b ( x , y ) l l 。- c ( 2 11 ) 其中f 。( 五y ，z ) ( 1 = 1 ，2 ，砷- y 夷示f ( x ，y ，z ) 的分量。又设 o j ( x , y ，z ) 劈一q 劈 ( 2 1 2 ) 并设：( y ) c 2 ( 帮) ，f ( x ，y ，z ) 关于y 周期且w 1 2 ( q ) 定理2 ：在定理1 假设及假设( 2 1 。) 一( 2 1 2 ) 下，设后= 3 2 + , 0 3 p ，则存在常数 c ，使得： d ( 一5 ，a o ) ：= d i s t , ( a t , a o ) c e ， ( 2 1 3 ) v e ( 0 o 且与s 无关。 证明：在方程( 2 1 ) 两边同乘“。 “r ，并关于x 在q 上积分，可得 ( a ，甜( f ) ，7 p ) f ( ，) a ) = ( 4 ，( f ) ，“诹) 揪f ) l ”) 一( f u ( t ) , u t ( r ) 瞰f ) l “) 显然( 2 1 5 ) 左边可化为 ( o , u t ，以州n2 者仲i i - ) 峨： 由假设( 2 4 ) ，等式( 2 1 5 ) 右边第一项可化为： ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 4 “j ，“。f r ) = 一( 3 ( 气( ) ) ，( “。p j 4 ) 一丽4 ( p i + 1 ) c 和i t p t + 2 州1 ) ) - 0 是假设( 2 4 ) 中一致椭圆系数。 利用( 2 5 ) ，可得 z ( f k。( “) ，“m r ) j c k f ) j 出一心出 t巩+ 1 = 1 n1 = 1n = c 扣瞄一g 把( 2 1 6 ) 一( 2 1 8 ) 与( 2 1 5 ) 相结合，可得 唧k l p t + 2 十2 + g v 喜f p t + 2 框：一嘻肛“= ：+ q 删：夸，( r 川：，擀= 洳f f ) i i ： 由f r i e d r i c h s 不等式，我们可推出( f ) c 饩( f ) 。因此， a ，e ( t ) 吨e ( f ) + c 在( 2 2 0 ) 中运用g r o n w a l l 不等式，可推出 f a t ) s f a o ) i s 2 日+ i ：c 0 ia a r 0 ，q 为单调函数且与占无关。 证明：由( 2 6 ) 有 | 厂( 五x s ，“) | 。：0 c + i “1 2 9 i 。 由m i n k o w s k i 不等式，有 i c + j “删。sc + 1 1 2 , | 1 0 ，2 由s o b o l e v 嵌入定理，有 炉忆- e l l “+ ： 又由定理2 1 ，结合( 2 2 2 ) 一( 2 2 4 ) ，有 i i f ( x , 工刚) | i o 2 q 0 ，c 0 ，v 0 ，q 为单调函数且与s 无关 证明：在方程组( 2 t 4 ) 两边乘u ( t ) ，关于x 做内积可得 ( a ，“( f ) ，“( f ) ) = ( “( t ) ，“( f ) ) 一( ，( “( f ) ) ，“( f ) ) 由假设( 2 4 ) 的一致椭圆条件，( 2 2 9 ) 右边第一项各分量和为 ( “诹) ，“沁) ) 一匹阿( r ) j 出勘) 晚 利用h s l d e r 不等式，y o u n g 不等式，( 2 2 9 ) 右边第二项各分量和为 1 8 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 重庆大学硕士学位论文 2 一类反应扩散方程的整体吸引子 主盯7(f)，甜)s喜ll厂雌uu,li0，2刳卅屯+去：，：l= 1f = i - o ( 2 2 9 ) 右边第三项为 ( a ( f ) ，“o ) ) = 二lo ，愀伽，2 从而可得 a ，) 晚唰) 吐+ q ( 1 l u o | | 0 ，。e “+ c 在( 2 3 3 ) 中运用g r o n w m l 不等式可得( 2 2 7 ) 。 在( 2 3 3 ) 中运用不等式悔( f ) 眈忙( r ) 晚，消去忙( f ) 吐可得 a ，帆堋。：墨一叫) 晚+ q q l u 。k ) 矿+ c 在( 2 3 4 ) 中关于t 在区间 丁，r + 门( o t 1 ) 上积分，可得 陋+ f ) | j ：+ “) 眨d r q 0 l k 。) e “o - s 一) + 恤o ) 晤：+ c f 在( 2 3 5 ) 中取上确界，可得( 2 2 8 ) 。# 推论2 4 在上设成立情况下，有 0 “( f ) l i ：- 0 ，c 0 ，g 0 ，y 0 ，q 为单调函数且与s 无关。 证明：在( 2 1 4 ) 两边乘以4 “( f ) ，然后关于x 在q 上积分 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 喜c 学艄嘞 。， = ( “沁) ，4 “沁) ) 一( 厂么( f ) ，4 “沁) ) 利用4 的对称性，司得 圭( 垒磐，4 “_ ) ) ：一k ( 3a ；( 坤f ) ，a ，挑“， 。2 1 “ 7 2 “，2 1 ( 2 3 9 ) = 一去a ，( ( 奶“) ，魏”。( o 1 9 重庆大学硕士学位论文2 一类反应扩散方程的整体吸引子 由于口：( y ) 是殆周期的，故在f 中一致有界，而且4 是正定的，因此我们可以估 计出( 2 3 9 ) 右边第一项为： ( 4 ”( f ) ，4 ”( t ) ) 凡i ( 4 “( f ) ， o 叫= 凡e l i u ( r ) 也 ( 2 4 0 ) 其中矗是4 的最小特征值，i ( 4 “( f ) ，“( f ) ) l = c 口忙( f ) 眨；乞与占无关，由y o u n g 不 等式可得 一丢a ，( a ：( a 。“飞a 。“。( f ) ) 2 厶c , r l “( 硼：一芎1 啦2 一勃劫( 堋。 ( 2 4 1 ) 磊c i i “( 媚：i 1 雌2 一华“( 硼： 由上可得 a 肌伽z 一删酬纠堋，：( 。) - - a c 1 l “o ) j e ：+ q 0 卜。忆。) e 一“+ c 在( 2 4 2 ) 中运用g r o n w a l l 不等式可得( 2 3 6 ) ，利用( 2 3 9 ) 和推论2 1 我们 可得 包j “o ) j j ：+ c ：j j 4 “( f ) 畦2 - o ( m 。) e 一“+ c ( 2 4 3 ) 运用a ，陬f ) 眈- 0 单调函数q 与占无关，而且存在正常数卢( 与s 无关) ，使得对 v t 1 ，u ( t ) c z , 2 z ( 7 1 ，r + 1 q ) ，且有下列估计成立： ) b 州】x n ) q i ( 1 | 砒。) e “+ c 其中c 0 ，口 o 单调函数q 与占无关 证明：取( 2 1 4 ) 第一个方程 堕o t 一掣= 一f 运用极值原理 6 和定理2 1 可得v t 0 ，t 】，有 ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 重鏖奎堂堡主主焦堡苎 ! 二耋垦些芏墼塑堡塑些竺堕! ! 王 1 i “( f ) l 。- o ( i i “：n ，。+ ，l b 。n 耶，。，) 在( 2 4 7 ) 右边运用推论2 1 ，有 帆吼。酬k ) + c 令( f ) = o t + 1 ) u 5 ( f ) 口1 ) ，由( 2 4 6 ) 可得 f a 。一4 = “7 0 ) 一。一t + 1 ) f 皇酵( f ) i v ，( r 一1 ) = 0 由 竹肿。) - c 卵哪蚺n ) ) - 0 和单调函数与s 无关。 运用推论2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 8 我们有下面结论： 推论2 9 在上面假设情况成立下，有 ) 味+ f “i i 刮q j ( | l d o i i 呻) e 一+ c 其中t 2 ，则“c s , 那( i t ，t + 1 x o ) 。而且 ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) 。( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) 重庆大学硕士学位论文 2 一类反应扩散方程的整体吸引子 陋屺+ u 酬n 。+ n 船“，：出 ( 2 6 4 ) - o 单调函数q 1 ，q 2 与s 无关。 2 2 2 解的存在性及整体吸引子存在性 定理2 2 ：在假设( 2 2 ) 一( 2 8 ) 成立的情况下，方程( 2 1 ) 存在唯一的解u ( x ，t ) 满足： “p ( 【o ，丁】；r ( q ) ) n r ( o ，卅；耐2 ( q ) ) u c ( n + ；r ( q )