（基础数学专业论文）广义schur代数之间的比较和双中心化性质.pdf

摘要 这是一篇研究一般线性群g l 。的多项式表示及相关课题的博士学位论 文它包含如下三个主要部分 1 、构造了q - s c h u r 代数的拟遗传商之间的一批同构对应利用这些同构映 射，我们得到了b e i l i n s o n l u s z t i g 、m a c p h e r s o n 满同态的分解；重新证明了分解 数的行( 列) r e m o v a l 公式，并给出这些公式背后蕴涵的代数同构；首次得到了 p - k o s t k a 数的行( 列) r e m o v a l 公式( 此前，仅有p - k o s t k a 数的列r e m o v a l 公 式，和两分量p a r t i t i o n 的行r e m o v a l 公式) 另一方面由这些同构映射，我们 得到量子g l 。的模范畴的不同次的全子范畴之间的等价，进而得出量子g k 的模范畴的一类重要的平移不变性特别地，当q = 1 时，就得到了关于s e h u r 代数的相应结果：这些结果也都是新的 量子g l 。的模范畴等价于无穷多个q - s e h u r 代数的模范畴的直和通过 我们构造的q - s c h n r 代数的拟遗传商之间的这批同掏对应所得出的平移不变 性，体现了量子g l 。模范畴研究的局部整体原则 2 、构造并证明了一个新的双行列式展开公式，与已有的展开公式相比较， 新的展开式是包含尾项的完整展开式此外，我们还证明了新展开公式的一个 重要性质：它与补运算相容该性质的一个直接应用是：将上述( 无限域上) 广 义s e h u r 代数之间的那批同构对应推广到了任一交换环上广义s c h u r 代数；并 给出了这些同构映射在双行列式对偶基下的矩阵表达 3 、我们引入了一类新的特殊的拟遗传代数a 。；当q 充分大时，我们证明 了这类代数的h e m m e r n a k a n o 等价而此前人们仅对q - s c h u r 代数证明了 h e m m e r n a k a a ，l o 等价 这一工作的另一个意义在于首次将d o m i n a n t 维数与h e m m e r n a k a n o 等 价的研究联系了起来此外，通过研究a 。的拟遗传子代数和拟遗传商代数的 同调性质，我们证明了一类广义s c h u r 代数具有双中心化性质 关键词：广义s c h u r 代数，双行列式，d o m i n a n t , 维数，双中心化性质 a b s t r a c t t h i sp h dd i s s e r t a t i o ni so nt h ep o l y n o m i a lr e p r e s e n t a t i o n so ft h eg e n e r a l l i n e a rg r o u pg l na n dr e l a t e dt o p i c s i tc o n s i s t so ft h r e em a i np a r t s 1w ec o n s t r u c tal a r g ef a m i l yo fi s o m o r p h i s m sb e t w e e nt h eq u a s i - h e r e d i t a r y q u o t i e n t so ft h eq u a n t i z e ds e h u ra l g e b r a sb yu s i n gt h e s ei s o m o r p h i s m s w eo b t a i nf a c t o r i z a t i o n so ft h em a p sc o n s t r u c t e db yb e i l i n s o n - l u s z t i g - - m a c p h e r s o n ； r e p r o v ej a m e sc o l u m n ( r e s p r o w ) r e m o v a la l g o r i t h m sf o rd e c o m p o s i t i o nn u m - b e r s ；a n dd i s c o v e rt h ea l g e b r ai s o m o r p h i s m sh i d d e nb e h i n dt h e s ea l g o r i t h m s ； o b t a i nt h ec o l u m n ( r e s p r o w ) r e m o v a la l g o r i t h m sf o rp - k o s t k an u m b e r s ，w h i c h a r ek n o w no n l yf o rc o l u m nr e m o v a l ，a n df o rr o wr e m o v a li ns o m es p e c i a lc a s e s o nt h eo t h e rh a n d ，t h e s ei s o m o r p h i s m si n d u c eaf a m i l yo fe q u i v a l e n c e sb e t w e e nt h ea b e l i a nf u l ls u b c a t e g o r i e so fd i f f e r e n td e g r e e so ft h em o d u l ec a t e g o r y o fq u a n t u mg l n ，f r o mw h i c hw eg e tt h ei n v a r i a n c eo ft h es u b c a t e g o r i e su n d e r t h et r a n s l a t i o n b ys e t t i n g 口= 1 tw et h e no b t m nt h ec o r r e s p o n d i l n gr e s u l t sf o r t h es c h u ra l g e b r a s ，w h i c ha r es t i l ln e w t h em o d u l ec a t e g o r yo fq u a n t u mg l ni sad i r e c ts h i no ft h eo n e so fi n f i - n i t e l ym a n yq - s c h u ra l g e b r a s t h ef a m i l yo fi s o m o r p h i s m sb e t w e e nt h eq u a s i h e r e d i t a r yq u o t i e n t so ft h eq u a n t i z e ds c h u ra l g e b r a sw ee o n s t iu c t e dr e f l e c t s t h e ”l o c a lt og l o b a l ”p r i n c i p l ei nt h es t u d yo fq u a n t u mg l n 2 w ec o n s t r u c ta n dp r o v ean e ws t r a i g h t e n i n gf o r m u l ao fb i d e t e r m i n a n t s d i f f e r e n tf r o mt h ee x i s t e ds t r a i g h t e n i n gf o r m u l a s ，t h en e wo n ei sac o m p l e t e v e r s i o ni nt h es e n s et h a ti tc o n t a i n sn o to n l yt h et e r m so ft h eh i g h e s tw e i g h t b u ta l s ot h et e r m so fl o w e rw e i g h t sb e s i d e s ，w eo b t a i na ni m p o r t a n tp r o p e r t y o f t h i sn e wf o r m u l a ：i ti sc o m p a t i b l ew i t ht h ec o m p l e m e n tc o n s t r u c t i o na s a na p p l i c a t i o n ，w ep r o v et h a tt h o s ei s o m o r p h i s m sa b o v ef o rg e n e r a l i z e ds e h u r a l g e b r a so v e ra r b i t r a r yi n f i n i t ef i e l d sa c t u a l l y ，a l s oh o l df o rg e n e r a l i z e ds c h u r a l g e b r a so v e ra r b i t r a r yc o m m u t a t i v er i n g s ；m o r e o v e r ，t h e s ei s o m o r p h i s m sc a n b ee x p r e s s e de x p l i c i t l yw i t hr e s p e c tt ot h ed u a lb a s i so ft h es e n t i s t a n d a r d b j d e t e r m i n a n t s 3w ei n t r o d u c ean e wa n ds p e c i a lc l a s so fq u a s i h e r e d i t a r ya l g e b r a s a q ，a n dp r o v e t h eh e m m e r n a k a n oe q u i v a l e n c e sf o rt h e mp r o v i d e dt h a tq i ss u f f i c i e n t l yl a r g e s u c he q u i v a l e n c e sw e r ek n o w nb e f o r eo n l yf o rq - 一s e h u r a l g e b r a s v i i i 广义s c h u r 代数之间的比较和双中心化性质2 0 0 6 年 t h i sw o r ki saf i r s ta t t e m p tt or e l a t et h ed o m i n a n td i m e n s i o n st ot h es t u d y o ft h eh e m m e r n a k a n oe q u i v a l e n c e si na d d i t i o n ，b ys t u d y i n gh o m o l o g i c a l p r o p e r t i e so ft h eq u a s i - h e r e d i t a r ys u b a l g e b r a sa n dq u a s i - - h e r e d i t a r yq u o t i e n t s o fa 口，w eo b t a i nt h a tt h ed o u b l ec e n t r a l i z e rp r o p e r wh o l d sf o rs o m eg e n e r a l i z e d s c h u ra l g e b r a s k e y w o r d s ： g e n e r a l i z e ds c h u ra l g e b r a s ，b i d e t e r m i n a n t s ，d o m i n a n td i m e n s i o n ，s c h u rf u n c t o r sa n dt h ed o u b l ec e n t r a l i z e rp r o p e r t y 前言 o 1 对称群和一般线性群是群论中两个最为基本和重要的研究对象前者是 有限离散群，后者是无限非紧群( 当基域为代数闭域时) g f r o b e n i u s 和is c h u r 的开创性工作揭示了这两类群表示理论之间存在着紧密而深刻的联系3 7 1 具 体地说，一般线性群g l 。( k ) 的多项式表示范畴p 川可以分解成无限多个齐次 多项式表示范畴p o l ，( r 0 ) 的直和，而每个p o l ，恰好等价于一个有限维代 数s k ( n ，r ) 的模范畴；借助于s c h u r 函子和s c h u r w e y l 双中心化性质，这一范畴 又与对称群e ，的表示范畴密切联系在一起特别地，当域k 的特征大于r 时， p 0 0 竺巩( 礼，r ) 一m o d 鲁k e ，一r o o d 这些有限维代数鼠( n ，r ) 被称为s c h u r 代数f 3 7 基于i s c h u r 的工作，这些 代数在一般线性群和对称群的表示理论之间架起了桥梁8 ，4 7 1 ，对它们的任何 研究均能方便地过渡到对一般线性群和对称群表示的研究反过来，s t e i n b e r g ， v e r m a ，c a r t e r ，l u s z t i g ，j a n t z e n ，a n d e r s o n 等人在发展简约代数群表示理论时所 用到的大部分工具和方法，如包络代数，超代数，c h e v a l l e y 群，层上同调，以及 f r o b e n i u s ，y o u n g ，b r a u e r ，l i t t l e w o o d ，j a m e s ，k e r b e r 等人在建立对称群表示论 时所得到的大量组合工具和技巧，均被应用到s c h u r 代数的研究这些都极大 地推动了s c h u r 代数本身的研究f 5 8 1 目前，s c h u r 代数的研究在结构和表示两方面都取得了很多重要进展【5 8 】 例如，拟遗传性 2 0 ，3 8 1 ，块理论【8 ，2 2 】，表示型 5 8 】，表示维数【4 4 】，导出范畴【3 然而，诸如单模的维数，分解数等一些基本问题，除( 2 ，r ) 外，还远远没有解 央与此同时，s c h u r 代数的各种推广和衍生，如s d o n k i n 对任一简约代数群 定义的广义s c h u r 代数f 2 0 ，2 1 1 ，sd o n k i n ，r d i p p e r 和g j a m e s 定义的量子 g l 。和q - s c h u r 代数( 当q = 1 时，分别对应于g l 。和s c h u r 代数) 【1 5 ，1 6 ，1 7 】， 以及r m g r e e n 定义的仿射q s c h u r 代数【4 0 1 等，均引起人们越来越多的关注 和兴趣 下面简述本博士论文中的主要结果 o 2 所有这些关于s c h u r 代数的结果极大地增加了人们对g l ，。的齐次多项 式表示范畴的认识和理解然而，逐一地研究这些有限维代数，无法使人们理 解 p o l 上的张量结构和平移函子等一些重要概念要整体理解g l 。的多项式 范畴p d f ，我们必须同时研究无穷多个s c h u r 代数以及它们之问的相互关系这 无疑是相当困难而且极其复杂的1 9 9 0 年b e i l i n s o n ，l u s z t i g 和m a c p h e r s o n 在 f 2 】中指明了如下重要的研究方法：通过s c h u r 代数之间的同态来比较不同 次的s c h u r 代数的模范畴，然后通过极限的办法得到关于g l 。的某些整体结 果事实证明这一方法对整体认识p o l 十分有效通过比较不同次的s c h u r 代 甄我们不仅可以发现分解数矩阵中的p a t t e r n ；而且还可以从已知s e h u r 代数 的某些结果，如分解数，上同调群等，推知一大批未知s c h u r 代数的相关结果 2 广义s c h u r 代数之间的比较和双中心化性质2 0 0 6 年 在【2 】中，b e i l i n s o n ，l u s z t i g 和m a c p h e r s o n 对q - s c h u r 代数( 令口= 1 得到s c h u r 代数) 构造t a n 下的极限系 一岛( n ，2 n + r ) - * _ * 品( n ，n + r ) _ * 品( 礼，r ) 并将a 型量子包络代数实现为逆极限代数里岛( n ，i n + r ) 的子代数继而，j d u 利用该极限系研究了s l 。的渐进表示理论( 2 5 j 结合运用组合方面的知识， a h e n k e 和s k o e n i g 在1 4 3 】中构造了一类不同次s c h u r 代数的商代数，子代 数之间的同构映射，并由此发现了g l 。的分解数矩阵中的某种平移特性( 依赖 域的特征) 本文的第一个主要部分是构造了一大类不同次q - s c h u r 代数的拟遗传商之 间的同构，并指出这些同构不依赖于域的特征即 定理2 3 1 0 任给正整数n ，m ，r 和a + ( n ，r ) 中的饱和子集满足 l 曼m 对 任意a 定义f i 为的补依赖于参数n 和m j 则我们有如下的代数同 构 岛( n ，r ) 而= 岛( n ，n m r ) 噜 ( 1 ) 这里，q 是域中的任一非零常数，n 和嵋分别是s q ( n ，r ) 和品( n ，n m r ) 的 遗传理想链中对应于和壶的理想 这一定理的意义在于，通过调整参数m ，r 和，我们实际上得到了一大批 哥s c h u r 代数的拟遗传商( 当q = 1 时即为广义s c h u r 代数) 之间的同构对应 由此1 我们证明b e i l i n s o n ，l u s z t i g 和m a c p e r s o n 构造的上述满同态可以通过 这里的同构映射分解；2 进而得到了j a m e s 的c o l u m nr e m o v a l 公式的一个简 单证明；3 应用这些同构对应及其推论，我们重新证明了r o wr e m o v a l 公式， 并指出该公式背后蕴含的代数同构；4 结合s c h u r w e y l 对偶，我们还得到了 关于对称群的p - k o s t k a 数的c o l u m n r o wr e m o v a l 公式( 此前，d j h e m m e r 证明了c o l u m nr e m o v a l a h e n k e 对两分量的p a r t i t i o n 证明了r o w c o l u m n r e m o v a l 并猜测它们对任意p a r t , i o n 成立) 5 另一方面，这些同构对应诱导了 量子g l 。的模范畴中一系列a b e l i a n 全子范畴的等价：量子g l 。的模范畴中 由 l ( ) ：a 玎) 生成的a b e l i a n 全子范畴与由 l ( a ) - a ) 生成的a b e l i a n 全子范畴等价j 并且，该等价保持向量空间维数，各阶e x t 一群以及相应的分解 数6 由此我们得出量子g l 。的模范畴的一类重要的平移不变性 特别地当o = 1 时，就得到了关于s c h u r 代数的相应结果：这些结果也都 是新的 量子g l 。的模范畴等价干无穷多个q - s c h u r 代数的左模范畴的直和通 过我们构造的q - s c h u r 代数的拟遗传商之间的这批同构对应所得出的平移不变 性，体现了量子g l ，。模范畴研究的局部整体原则 2 0 0 6 年中国科学技术大学博士学位论文 3 0 3 熟知，双行列式在经典不变量理论，f l a g 簇的几何理论以及对称群，一般 线性群的表示理论中都有着广泛的兴趣和重要的应用1 9 7 2 年，m e a d ，d o u b i l e t 和r o t a ，s t e i n 分别独立证明：双行列式“s ：t ) ：s ，t s t a b ( o ) ，a p + ( n ，r ) 做成s c h u r 代数乳( n ，r ) 的对偶余代数a k ( n ，r ) 的一组整基对任一双行列 式( s ：丁) ，将它展开成上述基的线性组合的算法称为展开公式( s t r a i g h t e n i n g 如m u 姒到目前为止，出于各种不同需要，已经出现多个双行列式的展开公式， 如【2 3 ，3 4 ，5 4 所有这些展开公式都有一个共同的特点：通过模去低阶项而得 到仅含最高权项的展开，即这些展开式都不包含尾项本文的第二个主要结果 是证明了一个新的双行列式展开公式： 定理3 1 2 1 对任意正整数l 曼m 以及s ，t t a b + ( ) ，我们有 ( t ：s ) = ( t ：a ) + ( 一1 ) 6 1 壬h ( 丸( 奇，) ，。( 邑。) ) a s5 - - 1 这里= ( 1 ，m ) ，参数a ， ，映射，可以及双线性映射壬。等参见第三章 ( 2 ) 区别于已有的双行列式展开公式，新展开式是包含尾项的完整展开公式 作为应用，我们得到了新展开公式的一个重要性质： 定理3 2 5任给正整数礼，m ，r 和q p + ( n ，r ) 以及s ，t t a b 十( a ) ，令s 和 t 的补分别为和于r 依赖n 和m ，见第二章j 并定义双行列式( s ：t ) 的牟】、为 ( 雪：亍) 月, 1 7 4 ( s ：t ) 的展开式中每一项取补恰好得到( 占：亍) 的展开式 这一定理表明新展开公式与补运算相窑该性质的一个直接应用是：将上 述( 无限域上) 广义s c h u r 代数之间的那批同构对应( 1 ) 推广到了任一交换环 上广义s e h u r 代数；并给出了这些同构映射在双行列式对偶基下的矩阵表达 o 4 s c h u r 函子是is c h u r 在其博士论文中比较c ，与g l 。( c ) 的表示理 论时引入的ja g r e e n 进一步推广和发展了这一思想【3 7 1 ，运用s c h u r 函子 比较了s c h u r 代数乳( n ，r ) 兰r ) ，& ( r r ) 以及对称群女e ，的表示理论对 于域k 上的任有限维代数a 以及任一非平凡幂等元e a ，定义正合函子 ，= e ao 一：a r o o d e a e m o d ，并称之为s c h u r 函子2 4 ，3 7 rm a u s l a n d e r 证明e a e - m o d 等价于a m o d 的一个全子范畴c o p 7 e s ( e a ) 并给出了a u s l a n d e r 代数的一个重要刻画【6 5 注意c o p r e s ( e a ) 一般不是a b e l i a n 子范畴，因而这里 的范畴等价一般不保持上同调群最近dj h e m m e r 和dkn a k a n o 在f 4 2 1 中证明：当q 为f ( 4 ) 次单位根且n r 时，s c h u r 函子诱导了岛( nr ) 一m o d 的 全子范畴，( ) 到a 型h e c k e 代数( 。- ) 的模范畴的嵌入并保持e x t l 群这 里，( ) 是由w e y l 模生成的岛( n ，r ) 一r o o d 的全子范晾 对任一拟遗传代数a 以及 中的任一幂等元e ，我们称h e m m e rn a k a n o 等价对( a ，e ) 成立，如果对应于e 的s c h u r 函子诱导了，( ) 到e a e m o d 的嵌 入并保持e x t l 一群上述结果表明，对q - s d m r 代数s ，小) h e m m e r n a k a n o 等 4 广义s c b u r 代数之间的比较和双中心化性质2 0 0 6 年 价成立对于复半单李代数的b e r n s t e i h g e l f a _ i l d - g e l f a n d 范畴。的b l o c k 代数 h e m m e r n a k a n o 等价则不成立【2 8 】 为了更好的研究h e m m e r - n a k a n o 等价，在本文的第三个主要部分，我们日 入了一类代数a 。，讨论了这类代数的基本性质，并证明 定理4 1 1 3 5对任一山一代数( a ，e ，a ) ，记t ( a ) 为a 的直径如果q 一1 ( a ) 则s c h u r 函子，= e a0 一诱导全子范畴，( ) 到e a e m o d 的嵌入且 e x 峻( m ，) ge x t i 。 。( e m ，e n ) 对0 s i sp l 一( a ) 以及m a m 越n ，( ) 这里，( ) 表示a m 以中 由s t a n d a r d 模生成的的全子范畴 这一工作的另一个意义在于首次将d o m i n a n t 维数与h e m m e r n a k a n o 等价 的研究联系了起来此外，通过研究a 的拟遗传子代数和拟遗传商代数的同 调性质，我们证明了一类广义s c h u r 代数具有双中心化性质 推论4 2 8当n nk 为特征p25 的无限域时，广义s c h u r 代数s k ( n ，r ) z 满足双中心化性质，这里是s k ( n ，r ) 的遗传理想 事实上，反复应用关于且。一代数的拟遗传商的双中心性质的讨论，我们可 以得到更多广义s c h u r 代数的双中心化注质 0 5 本论文的第一章主要介绍s c h u r 代数的一些基本知识和较新进展，除注 记外，所有其他定义和结果都来自于参考文献第二章，第三章和第四章中除必 要的背景知识外的其他结果都是新的这三章分别对应于上面介绍的三个主要 部分 第一章背景：s c h u r 代数的结构及其表示 本章尽可能多的介绍了有关s c h u r 代数的基础知识这样做除了让对读者 对s c h u r 代数有个较全面的了解，还为后三章的讨论提供必要的预备知识 1 1y o u n g 图与多重线性代数 这一节对文中所用到y o u n g 图等组合和多重线性代数进行符号约定 1 1 1p a r t i t i o n 与y o u n g 图 p a _ i t i t i o n 和y o u n g 图称非负整数序列a = ( 1 ， 2 ，) 为c o m p o s i t i o n m a x ( p ： p 0 ) 称为a 的长度，记为妒k a 中所有非零项的和称为a 的阶，记 为r ( a ) 所有c o m p o s i t i o n 的集合记为峋年给正整数n ，r ，定义 、， a ( r ) = d a ：r k ( a ) = r ) a ( n ，r ) = a ：f ( a ) 曼n ，r ( a ) = r ) a + = a a ：a 1 a 22 a + ( n ，r ) = a a + ：z ( x ) 曼n ，r ( a ) = r ) 称a + 中的元素为p a r t i t i o n 任给一个c o m p o s i t i o n ，将其所有非零项按不 增的次序排列，所得到的c o m p o s i t i o n 记为j ，显然i a + ，称为 的相伴 p a r t i t i o n d o m i n a n t 序在集合a 上可以引入下面的偏序关系，通常成为d o m i n a n t 序 对 ，p a ( ，) ， a 粤“甘 l + k “l + p k ，对所有的七1 对应于c o m p o s i t i o n 和p a r t i t i o n ，我们定义共轭c o m p o s i t i o n 和共轭p e t r t i t i o n 任给一正整数n ，称非负整数序列。= ( 0 1 ，2 ，) 为n 共轭c o m p o s i t i o n ， 如果0 。曼n 对所有p 同上，我们定义n 共轭c o m p o s i t i o na 的长度和秩， 分别记为2 ( “) 和r 七( n ) 所有的n 一共轭c o m p o s i t i o n 的集合记为p ( n ) 对任给 正整数r 和m ，定义 p ( n ，r ) = p ( 凡) ：，( 。) = r 】 p 。( 儿，r ) ：二 a p ( t t ，t ) ：2 ( “) 兰r n ) 6 广义s c h u r 代数之间的比较和双中心化性质2 0 0 6 年 显然p ( 礼) ca 记p + ( n ) = p ( n ) n a + ，p + ( n ，r ) = p ( n ，r ) n a + 以及p + 。( n ，r ) = p 。( n ，r ) na + 称p + ( n ) 中的元素为n 一共轭p a r t i t i o n 任给一个? t - 共轭c o r n - p o s i t i o nn ，将其所有非零项按不增的次序排列，得到的c o m p o s i t i o n 记为画 约定：自始至终，我们将用字母a ，弘，u表示c o m p o s i t i o n ，而用乱p ，- 7 表示共轭c o m p o s i t i o n p a r t i t i o n 与共轭p a r t i t i o n 的关系通过y o u n g 图直接反映出来任给a = ( 1 ，a 。) a + ( n ，r ) ，在平面上第一行放置 1 个相邻的方格；第二行放置如 个相邻的方格r 并保证所有的行左端对齐，所得图形记为m 称为型为 的 y o u n g 图类似地，任给一( “h，。) p + ( n ，r ) ，在平面上第一列放置0 1 个 相邻的方格；第二列放置 。个相邻的方格，并保证所有的列上端对齐，所 得图形记为旧，称为型为的y o u n g 图例如，取 = ( 4 ，3 ；2 ，2 ，1 ) a + ( 5 ，1 2 ) ， 一( 4 ，3 ，2 ，2 ，i ) p + ( 4 ，1 2 ) ，则 任给a a + ( n ，r ) ，依次读出的第一列，第二列所含的方格个数，所得的 序列记为 7 ，显然a p + ( n ，r ) 类似地，任给n p + ( n ，r ) ，依次读出刚的第 一行，第二行，所含方格的个数，所得的序列记为n ，则n a + ( n ，) 事实上， 不难证明 命题1 1 1 ha 7 给出了a + ( n ，r ) 到p + ( n ，r ) 的一一对应其逆映射为a h0 7 对任意。p + ( n ，r ) 多重指标任给一自然数仉我们将集合( 1 ，2 ，n ) 简记为旦从现在起，我 们固定正整数n 和r 定义 j ( 礼，r ) r ( n r ) 厂( n ，r ) 2 ( 扎，r ) ，2 ( n ，r ) + ( l i ) 1 2 ( 礼，r ) ：i i 曼i 2 曼 曼i t 若i p = z p + 】贝0 ，p 如+ 】) 称，( n ，r ) 中元素为多重指标，2 ( n ，r ) 中元素为多重指标对，1 2 ( n ，r ) + 中元素 为i n i t i a l 多重指标对这里，我们用下划线来区分多重指标i 和一般指标i 1 1w 鱼，m 唧 p ， | | 】| = 娃n n 2 0 0 6 年 中国科学技术大学博士学位论文 7 分别记。和，为集合旦和! 上的全体置换做成的对称群则e 。和， 在集合1 ( n ，r ) 上有如下自然作用： ，i ，) = ( 丌( i l ) ，丌( 蚌) ) ， 7 r 。 i ，) o - = k ，z 。( ，) ) ， 口， ( 1 1 2 ) f 1 1 3 ) 注意为了使上面的作用均为群作用，要求。中乘法满足0 2 ) ( 2 3 ) = ( 1 2 3 ) ，而 ，中乘法满足( 1 2 ) ( 2 3 ) = ( 1 3 2 ) 进而，不难验证，这两个作用交换，即( ”i ) 一= ( i 口) 对任意i ( n ，r ) 以及e 。，口e ， 对每个多重指标i ，( n ，r ) ，定义a ( d = ( ”，u 。) ，其中w k = i ( p ：i 。= 称( i ) 为i 的权显然a ( i ) a ( 巩r ) 命题i i 2 集合1 ( n ，r ) 中的所有，。轨道与a ( n ，r ) 中元素一一对应，( n ，r ) 中的所有。一，一轨道与a + ( n ，r ) 中元素一一对应 证明注意a ( i 口) = a ( ! ) 对任意i l ( n ，r ) 和a ，以及，。与e ，在i ( n ，r ) 上作用交换 _ 类似地，可以考虑e 。和e ，在j 2 ( n ，r ) 上的诱导作用 ( i ，i ) o - = ( i a ，i - a ) 命题1 1 3 集合1 2 ( n ，r ) 中的所有e ，一轨道与1 2 ，r ) + 中元素一一对应 事实上，可以证明1 2 ( n ，r ) 中的所有，一轨道和e 。一，一轨道可分别由广 义c o m p o s i t i o n 和广义p a r t i t i o n 参数化【6 1 y o u n g 表任给a d w ( n ，r ) ，将i ，2 ，按任意方式可重复地填八的方格 中，所得填充图称为型为 的y o u n g 表对这样的一个y o u n g 表s ，将它的第i 行元素从左到右顺序排列，得到的多重指标记为鼠；将它的第j 列元素自上而 下顺序排列，得到的多重指标记为s 了令n = a p + ( n ，r ) 定义 t a b ( o ) = 型为 的y o u n g 表，其每个元素均属于卫 t a b + ( a ) = s t a b ( c * ) s 的元素沿的每列严格递增) t a b ( 。) = s t a b ( a ) is 的元素沿的每列严格递减) t a b + ( a ) = s t a b ( a ) ls 的元素沿的每行不减) t a b ( o ) = s t a b ( a ) is 的元素沿的每行不增) s t a b + ( 。) = t a b ? ( a ) nt a b + ( 。) s t a b + ( 口) = t a b 一( d ) nt a b 一( o ) 例l _ 1 4 将元素1 ，2无重复地依次自上而下，从左到右填入，所得的 y o u n g 表记为1 1 将的第t 行全部填充t 一。果此行非空j ，所得的y o u n g 8 广义s c h u r 代数之间的比较和双中心化性质2 0 0 6 年 表记为1 、精1 1 视为从中方格做成的集合到的映射，并记为t 任给一 多重指标i i ( n ，r ) ，可自然将其看成是从到n 的映射显然这两个映射的 复合给出一个y o u n g 表，记为互若为了强调y o u n g 表的型，也可记为r 例 如，取 = ( 4 ，3 ，2 ，2 ，1 ) a + ( 5 ，1 2 ) 则 酽、= 酽l = 根据定义，容易证明下面命题 命题1 1 5 任给a a + ( n ，r ) ，i 一彳给出1 从j ( n ，r ) 到t a b ( a 7 ) 的一一映射 其逆映射将每个s t a b ( a 7 ) 映到( s 1 ，s 2 ，) i ( n ，r ) 命题1 1 6 任给aea + ( n ，7 ) ，映射i n + 1 一i 对1 曼i n 诱导了s t a b ( a 7 ) 到s t a b + ( ) 的一一对应 注记1 1 7 通常称s t a b + ( ) 中y o u n g 表是s e m i s t a n d a r d 的，称s t a b + ( ) 中 y o u n g 表是反s e m i s t a n d a r d 的 1 1 2 多莺线性代数 本节中是任一域，e 是一个k 上的n 维的向量空间 作为向量空间，将e 与k “等同并将k ”的一组典范基k ：i 旦) 自然看 成e 的基，这里岛表示第i 个分量为1 ，其他分量均为。的n 元列向量e 的 对偶空间，即e 上的全体k 一线陛函数组成的向量空间，记为e + 令q 矽满 足( c j ) = ( k r o n e c k e r 符号) 对任意j 旦则h ：11t 茎n ) 做成e 4 的一组 基，称为k ：i 旦) 的对偶基不妨将e + 与k 上的n 一元行向量做成的向量空 间等同 若无特别指出，本章内所有的张量运算o 均简写为o 由e 生成的 上 的张量代数t ( e ) 是指由f 钆，e 札) 生成的自由一代数显然t ( e ) 是个分 次代数，对每个r n u o ，r ( e ) 的r 一次齐次分支为e o e o o e ( r 次张 量) ，记为e ”考虑丁( e ) 中由e ，圆e ) 一e ， 岛( i ，j 旦) 生成的理想，以及由 岛oe ，+ e joq ( i ，j 旦) 生成的理想j 定义e 上的对称代数s ( e ) 为商代数 t ( e ) 1 ，e 上的外代数a ( e ) 为丁( e ) j 显然，s ( e ) 和a ( e ) 从t ( e ) 继承自然 2 0 0 6 年中国科学技术大学博士学位论文 9 的分次结构s ( e ) 的第r 次齐次分支记为s t e ，称为e 上的r 次齐次对称张 量，a ( e ) 的第r 次齐次分支记为a e ，称为e 上的r 次齐次反称张量任给非 负整数序列垒= ( n ，n 。) ，我们定义对称张量积为铲- eo 园s “e ，简记 为s a - e 类似地，定义反称张量积a n - e ， “e ，简记为胆e 对e 的对偶 空间e + ，我们同样可定义t ( e + ) ，s ( e ) ，a ( e 4 ) 等 约定固定e 的上述基对i ( n ，r ) ，定义 8 l = e 2 ， e 2 ，e 。” 8 i 在s ( e ) 中的像e h - 岛，简记为乞e ! 在a ( e ) 中的像e na ，ae z ，简记 为一般的，任给一n 一共轭c o m p o s i t i 。na = ( o ”，a 。) p + ( n ，? 1 ) 以及 s t a b ( a ) ，记 e 5 10 i 。0 一圆 oe s m 圆i 5 。、 oa 。 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 类似地，我们定义v s ：。，。等关于对称张量和反称张量，我们有如下一些基本 事实： ( 1 ) r 次齐次张量空间e ”有一组典范基 气：i ，( n ，r ) ) 任给 a + ( n ，r ) 令a ，= n p + ( n ，r ) 则对称张量e 和反称张量a 。e 分别有典范基 j 。：s t a b + ( 。) 和 a 。：s t a b + ( 。) ) 或 ( i ，：s t g b 一( o ) ) 和 a 。：s t a b 一( 。) ) ( 2 1 对每个r n ，有典范满映射”。：e 。”+ s 7 e 和” ：e 印一a 7 e 使得 。( e ，) ：昏( q ) = 鼍并且线性典范同构e ”oe 舢+ e 。( “5 ) 诱导满映 射 s r e os s e 一矿+ s e ， a 7 e o a 5 e 一 + 5 e ( 3 ) 对任意正整数ns 存在典范同态矿“e + e o s 5 e 和虮： “曰一 a ，e o s e 满足 如。e 。) = e - 。，e 。，圆e - 。一e d ( e ，a e 。) = d a 已国已。l 川1 aa e ，。i ，+ 。 1 0 广义s c h u r 代。数之间的比较和双中心化性质2 0 0 6 年 k o s z u l 复形和b a r 复形 熟知对成代数s ( e ) 和外代数a ( v ) 均是k o s z u l 代 数【6 6 j ，并且互为k o s z u l 对偶从而我们有k o s z u 复形 0 一s ( e ) 园a “e s ( z ) o a “e 一一s ( e ) o e s ( e ) j 0 特别对每个r 1 有 0 叫a e s 1 e o a t - 1 e 一叫s r 一1 e