（精密仪器及机械专业论文）高精密球径球度测试理论及机构研究(精密仪器及机械专业优秀论文).pdf

高精密球径球度测试理论及机构研究 摘要 高精密球径球度测量是现代测试技术中不可缺少的组成部分，因此研究高 精密球径球度测试理论及机构具有重要的意义。现在球径球度溺量的主要手段 是利用圆度仪、c m m 以及激光测试的方法，由于受到测试环境和条件的限制， 受制于现代测试的一些要求。 本文主要以气动测量为主要的研究对象，根据气动测量的要求和条件，研 究高精密球径球度测量理论及机构。此种方法实现了现代测试技术的功能，避 免了上述方法的缺点。根据球径球度评定理论和差压式气动测量原理，设计研 制气动式传感器，以及设计气动量规并使用m a t l a b 编程对量规上的布点 进行仿真和优化设计。通过量规上合理布点，在球径球度测量过程中，采用球 相对于量规上的测点进行相对转动的方法进行测量。在理论的指导下设计系统 的机械结构。针对单测头进行设计，以其气动特性为主要的参考依据设计单测 头的合理机械结构，并通过大量试验验证其设计和机械尺寸的合理性。同时设 计量规的机械结构以及球的支撑结构和整个测量装置的结构。 关键词：球径球度：量规布点；m a t l a b 仿真与优化：单测头微喷嘴；气动测 量： t h er e s e a r c ho ft h eh i g h p r e c i s i o ns p h e r i c i t y m e a s ur e m e n tt h e o r ya n dc o n f i g u r a t i o n a b s t r a c t t h eh i g hp r e c i s ed i a m e t e ro fa s p h e r es p h e r i c i t ys u r v e yi s t h ee s s e n t i a l c o n s t i t u e n ti nt h em o d e r nt e s tt e c h n o l o g y ，t h e r e f o r es t u d yo fi t st e s tt h e o r ya n dt h e o r g a n i z a t i o nh a sv i t a ls i g n i f i c a n c e n o wm a i nm e t h o do ft h ed i a m e t e ro fas p h e r e s p h e r i c i t ys u r v e yi st h a tu s e st h er o u n d n e s sm e a s u r i n ge q u i p m e n t ，c m ma sw e l la s t h el a s e rt e s tm e t h o d b e c a u s eo ft h et e s te n v i r o n m e n ta n dt h ec o n d i t i o nl i m i t ，i ti s r e s t r a i n e di ns o m ew h i c hp r e s e n t l ye x a m i n e si sr e q u e s t i n g t h i sa r t i c l em a i n l yt a k e st h ep r i n c i p l eo fp n e u m a t i cm e a s u r e m e n ta st h em a i n o b j e c to fs t u d y ，a c c o r d i n gt ot h ep n e u m a t i cm e a s u r e m e n tr e q u e s ta n dt h ec o n d i t i o n ， s t u d i e st h eh i g hp r e c i s ed i a m e t e ro fas p h e r es p h e r i c i t y s u r v e yt h e o r ya n d c o n f i g u r a t i o n t h i sm e t h o dh a sr e a l i z e dt h eo n l i n ee x a m i n a t i o n ，a n dh a sa v o i d e d a b o v em e t h o ds h o r t c o m i n g a c c o r d i n gt ot h ed i a m e t e ro fas p h e r es p h e r i c i t y e v a l u a t i o nt h e o r ya n dt h ed i f f e r e n t i a lp r e s s u r ea i ro p e r a t e ds u r v e yp r i n c i p l e ，d e s i g n t h ep n e u m a t i cm e a s u r e m e n ts e n s o r ，d e s i g np n e u m a t i cm e a s u r e m e n tg a u g e ，a n du s e m a t l a bt o c a r r yo nt h es i m u l a t i o na n dt h eo p t i m i z e d d e s i g nf o r o nt h eg a u g e s t a t i o n i n g t h r o u g hg a u g eo nr e a s o n a b l es t a t i o n i n g ，i nt h ed i a m e t e ro fas p h e r e s p h e r i c i t ys u r v e yp r o c e s s ，u s et h eb a l lt ob eo p p o s i t et h em e a s u r i n gp o i n ta n dc a r r y o nt h er e l a t i v er o t a t i o no nt h eg a u g et oc a r r yo nt h es u r v e y d e s i g nt h em e c h a n i s m u n d e rt h et h e o r yi n s t r u c t i o n c a r r yo nt h ed e s i g ni nv i e wo ft h es i n g l eg a u g eh e a d ， a n dt a k ei t sa e r o d y n a m i cp r o p e r t i e sa st h em a i nr e f e r e n c ed e s i g ns h e e tg a u g eh e a d r e a s o n a b l em e c h a n i s m ，a n dc o n f i r mi t sd e s i g na n dt h em e c h a n i c a ls i z er a t i o n a l i t y t h r o u g ht h em a s s i v ee x p e r i m e n t s s i m u l t a n e o u s l yd e s i g n st h eg a u g et h em e c h a n i s m a sw e l la st h eb a l ls u p p o r ts t r u c t u r ea n dt h ee n t i r ei n s t a l l m e n ts t r u c t u r e k e yw o r d s ：p n e u m a t i cm e a s u r e m e n t ；s c a t t e r e dp o i n td e s i g no ft h eg a u g e ；m a t l a b s i m u l a t i o na n do p t i m i z a t i o n ；t h es i n g l eg a u g eh e a dm i c r o - o r i f i c e ； s p h e r i c i t y ； 插图清单 图2 - l 球径偏差坐标示意图，3 图2 - 2 经纬法原理图1 l 图2 3 球面坐标示意图1 4 图3 - l 气动测量基本流程图2 4 图3 - 2 差压式气动量仪气路原理图2 5 图3 - 3 实验系统框图2 7 图3 - 4 喷嘴挡板机构的几何特性。2 9 图3 5 圆形喷嘴挡板机构示意图 图3 - 6 喷嘴挡板特性。 图3 - 7 平行挡板机构的理论流量曲线图3 0 图3 - 8 平行挡板机构的实际流量曲线图3 0 图3 - 9 溺量喷嘴。 图3 一l o 单侧头的机械结构图主视图示意图3 5 图3 1 1 1 量规布点示意图 图3 - 1 1 2 量规的俯视图 图3 1 2 量规壁厚计算简图 3 5 3 6 图3 1 3 气动测试系统装置示意图：3 7 图3 1 4 隔振系统的示意图3 8 图3 1 5 漉量特性图 图3 1 6 微动工作台。4 0 图3 1 7 微分头4 0 图4 1 主喷嘴0 4 r a m ，测量喷嘴o 2 2 m m 输入压力0 5m p a 。4 2 图4 2 主喷嘴o a m m ，莉量喷嘴0 2 2 m m 输入压力0 ，4m p a 。4 2 图4 3 主喷嘴o 1 7 r a m ，测量喷嘴o 1 5 r a m ，输入压力0 4 m p a 4 3 图4 _ 4 气动测头位置误差示意图。4 4 图4 5z 轴存在偏心的示意图4 5 图4 - 6 一维升降台升降偏心误差4 6 图4 7 回转工作台误差分析图4 7 表2 - 1 球度误差数学模型。 表格清单 表3 - 1 测量喷嘴尺寸表( 单位：m m ) 3 4 表3 - 2 主喷嘴尺寸表( 单位：m m ) 3 4 表禾lz 轴上被测球与标准球偏心p 对每个测头带来误差分析4 6 表4 _ 2 升降台精度对每一个测头和球度评定误差分析4 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 佥罂王些太堂或其他教育机构的学位或证书面使用过的材料。与我一同 工作的【司志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 碣穆签字日期：腑拍，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解佥胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权佥月墨王些盍堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 殇彩 签字日期：知审年j 月7 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 电话 邮编 日 删呵， 弘孙 文 致谢 每一个结束都是一个新的开始，在此写下这份致谢。第一声致谢送给这短短的两 年半研究生生活。 本论文是在张辉教授的悉心指导下完成的，在读研的时间里，张老师对科学研究 敏锐的洞察力、清晰的科研思路、丰富的实践经验、严谨的治学作风令我终身难忘， 并将受益无穷。在此，向张老师表示衷心的感谢，并致以深深的敬意。感谢张老师对 我学业和生活上给予的关心和帮助。 在仪器科学与光电工程学院学习的近三年时间里，还得到了邓善熙教授等多位老 师的关心和帮助，以及很多同学及好友的鼓励和帮助感谢我的父母，是他们给予的 爱和宽容使我能够不断的前进。 谨以此文献给所有关心、帮助过我的父母，家人、老师和朋友们。 作者：冯艳 2 0 0 7 年4 月 1 1 课题来源及研究意义 1 1 1 课题来源 第一章绪论 本课题来源于国防军工计量“十五”计划项目。 1 1 2 技术指标 根据系统要求，其技术指标如下： 测量参数：球形构件的球径和球度； 测量范围：制造公差小于3 0 t t m 的由6 由l o o m m 的球形构件： 球径测量不确定度：( o 5 + d ，1 0 0 ) p m ； 球度测量不确定度：( o 4 + d 2 0 0 ) p m ； 其中d 为被测工件的直径，单位：m m 采用计算机补偿技术，最大限度的提高测量精度； 测量数据用计算机处理、显示、打印测量结果； 单测头测量范围；0 3 0 “m ，测量不确定度：o 1 5 1 t i n ； 工作环境：温度2 0 l ；供电2 0 0 + 5 v a c ；供气压力o 8 1 0 m p a ： l 。1 3 本课题研究内容及科学意义 本课题在气动测量理论以及项目前期研究的基础上对球面气动测量系统的 总体设计进行进一步研究改进。主要内容包括：建立单喷嘴的实际测量模型； 多个测量喷嘴同时工作时线性段及测量间隙的配合 球径及球度的最佳算法优 选；系统的总体误差分析；测量软件的研究。最终实现用气动方法对小尺寸球 面的高精度检测。 本课题的研究具有重要意义主要表现在以下几个方面： ( 1 ) 球形构件的高精度检测，世界上目前有美国、俄罗斯较全面掌握了这 项技术，但不够完善。本课题研制的用气动方法实现高精度球面测量技术，无 论是在技术思路还是技术方法上都一定的创新，为球面的检测提供了一个新的 技术方案。 ( 2 ) 球度误差理论和各种算法有很多见解，但目前国内外尚没有形成统一的 标准，没有统一的球度评价算法。本课题将对各种算法进行实际检验，并优选 出符合测量实际的球度误差模型，为球面测量提供实践经验 ( 3 ) 气动钡8 量方法广泛应用于汽车、轴承、内燃机、塑料、造纸、机械加工 等行业，随着技术的不断发展，高精度的加工必然要求相应的高精度测量措施， 常规的气动量仪由于精度、测量条件、输出结果方式的限制，将难以完成日益 复杂的测量任务。利用现代电子技术、计算机技术结合气动测量方法研制出高 精度、智能化、自动化的气动量仪将适应现代科技发展的潮流，必将为我国工 业现代化作出重大的贡献。 1 2 球度测量的国内外现状 高精度的球面测量技术及理论，受到国内外的工程技术界的广泛关注并已 经开始了广泛的研究和探讨美国从八十年代初期，就开始立项研究惯性陀螺 球支承的加工和检测。 1 2 1 斯坦福大学球径测量研究 由斯坦福大学( s t a n f o r du n i v e r s i t y ) 航空航天系教授d e b r a 领导与l a w r e n c e 实验室合作，研制加工球支承的宝石车床，并用激光三坐标测量机测量零件尺 寸，从1 9 9 1 年斯坦福大学的技术报告来看，他们的球径测量精度要求是5 微 英寸( 1 微英寸= 0 0 2 5 4 i t m ) ；而实际工作仍在b r o w na n ds h a r p 三坐标测量机上 进行，测量精度仅达到9 6 6 微英寸( 约2 4 5 1 t m ) 的水平。报告提出进一步改进 在三坐标测量机上的测量误差分离技术，以及用三点支承配上电感差动测微传 感器的可能方案。该报告证实，在三坐标测量机上测量球心对工作端平面的位 置度，以及测量球支承外表面的同轴度是可行的。 1 2 2 俄罗斯球径测量研究 据有关人员1 9 9 6 年初在俄罗斯考察得知，俄罗斯已采用气动方法测量航 天器惯性陀螺的球碗及半球的球径，他们采用一个气动量规上六个测点的综合 尺寸以及人工读数的方法，但无法测量球度误差 1 2 3 香港理工大学球径测量研究和国内状况 从香港理工大学( t h eh o n gk o n gp o l y t e c h n i cu n i v e r s i t y ) 制 造工程系的超精密加工中心( u l t r a p r e c i s i o n m a c h i n g c e n t e r ) 可知， 该中心用自己研制的光学测量仪器，对球度的检测采用激光干涉法，通过球面 波及其干涉条纹图像来评定球度，其精度可以达到o 1 p m 。该测量装置应用两 束平行光聚焦光斑重合的原理来实现零位对准，光斑重合的情况由操作者目测 判断，定位精度很粗糙。该装置只能实现球面球度的评定，而无法测量球径的 具体数值。且所测球径最大仅达到十几个毫米，只适用于离线检测。 同时从日本近年来发表的论文看，日本对球度测量的研究大多数限于理论研究和 实验阶段。国内对球度的研究偏重于理论方面，试图从评定算法方面进一步优化，减 2 少球度测量的难度；大多数测量都是利用圆度仪，加上辅助装置进行，也有少数利用 三坐标测量机进行。在生产现场进行在线球度检测的装置及仪器未见具体报道目前 国内从事气动量仪研究的学校主要是哈尔滨工业大学和天津大学。 1 3 课题研究目标及主要研究内容 1 3 1 高精度球径球度测试机理研究 从国内外对球面测量的研究情况来看，采用单测头多测点方法测量球径和 球度，由于测量系统要求有极高精度的回转主轴，精度很难提高。因此我们力 图避开用单测头进行测量的诸多弊端，采用多颡5 头相对测量方法，在高精度球 形量规上布置多个测头( 多个测量喷嘴端面安装后组成的球面球度误差小于 l t t m ) ，由标准球的绝对尺寸和测量的相对尺寸，就可以通过比较测量得到多 个喷嘴处的实际半径值然后通过合适的球度算法来处理测量的数据，实现球 面参数( 球径和球度) 的评定采用这种高精度球面量规的测量方案，可以做 到一次安装定位、多点同时测量，避免了由于回转、多次安装定位、读数等多 种不确定因素给测量结果带来的误差 测量零件形状误差及几何尺寸的方法很多，常用的有电磁式、电子式、光 学式、光电式以及气动式。各种转换原理具有不同的特点，它们的应用范围因 对测量条件要求、适用测量对象的不同而有所区别。本项目要求对6 # 1 0 0 衄 的球形构件进行快速、准确的高精度检测，如果使用光学式或光电式原理设计 的测量仪器，如光学投影仪、光学图象处理、激光测距等方法，可以达到精度 高、速度快等要求，但是光源( 如激光) 价格高、寿命短，对测量环境要求苛 刻，另外光学系统结构复杂，制造调试困难，这类仪器仅适合在计量室使用。 电磁与电子式量仪只能进行接触式测量，不可避免的要在被测工件上留下划痕， 不能满足高精度球面非接触测量的要求。 合肥工业大学仪器科学与光电工程学院的在线检测技术研究所在长期的 教学和科研中，对气动测量系统进行了广泛深入的研究，研制了许多应用气动 方法完成特殊测量的仪器，例如火车轮半成品自动检测线、冰箱压缩机零件自 动选配线等。气动测量仪器的量规可以进行特殊设计来完成不同的测量任务 在本项目中要求对球面进行高精度的检测，用气动测量原理来设计测量仪器具 有其它方法无可比拟的优点： ( 1 ) 气动量规的设计在半径一定的高精度半球面的拱形量规上布置多个 测头对结构简单的气动测量喷嘴来说是很容易实现的，而用其它测量原理很难 做到这一点。 ( 2 ) 气动测头的测量分辨率可以达到0 1 t t m ，线性范围可达o 3 0 t t m 满 足球面测量对精度和线性范围的要求。 ( 3 ) 工作时，球和球支撑件精密配合形成高压气膜，和量规与被测球面 的配合有很大的相似性，用气动测量方式更接近它的实际工作状态。 1 3 2 高精度球径球度测试系统机构的研究 本项目的整体设计方案采用高压差压式气动测量方式，信号的拾取和转换 过程如下： ( 1 ) 测头和球面间隙s 转换为气室背压p i ； ( 2 ) 用压阻式压力转换器把背压以转换为电流值，输出； ( 3 ) 调理电路将压力转换器输出的电流参数，转换为电压参数u ； ( 4 ) 1 6 位转换精度的a ，d 转换器把模拟电压值量化为二进制数字值； ( 5 ) 计算机采集转换得到的二进制电压值，再变换为实际的电压值； ( 6 ) 比较工件测量电压与校准测量电压，得到多个对应的间隙值； ( 7 ) 球径球度拟合程序对各喷嘴处对应的阋隙值进行处理得到球径和球度 测量结果； ( 8 ) 显示、打印测量结果； 气源由空气压缩机提供，要求压力为1 0 ，一1 0 4 p a ，滤清环节把气源来的高 压气体滤除水汽、油滴和固态颗粒，稳压环节使用精密气体稳压器把压力稳定 在工作压力0 4 m p a 稳压后的气体分为多路，其中多路通向各个测量喷嘴，拾 取球面测量信号，再用一路监视供气压力的微小变化并以此作为补偿信号。a d 转换数据采集卡，计算机采集测量数据并处理得到球面测量参数，测量结果 由打印机输出。 1 4 气动量仪的特点 气动测量是利用气体作为介质，由被测长度尺寸的微小变化而引起的气体 压力( 或是流量) 的变化来实现测量的。由于测量是利用气体作为中间介质传 递被测量和测量仪器之间的信息，因此测量具有非接触测量的特点。另一方面， 由于高压气源比较方便，气体的压力和流量的改变又很容易转换成其它物理参 数的改变，因此气动量仪有如下的特点： ( 1 ) 气动量仪可作接触和非接触测量，特别是被测工件表面不允许接触时， 采用气动量仪最为优越，如测量非金属零件、微型零件、软金属等； ( 2 ) 传动比大，分辨率高。一般光、机、电计量仪器传动比大都在1 0 1 0 4 之间，而气动量仪的传动比常在1 0 一1 0 4 之间，最高可达数十万倍，其分辨率 高的可达到0 o l 肛m ，精度可达到0 1 t i m ； ( 3 ) 气动量仪的测量条件要求不高。常用精密计量仪器需要具有防震设备， 要有较好的稳压稳频电源装置，同时对测量现场的温室、气压、干湿度有一定 的规定，而气动量仪的使用条件则不受上述限制，甚至被测件的表面清洁度较 4 差，测量结果仍然有较高的可靠性，这是由气动测量的高速气流具有“自洁” 作用，适于各种条件下的在线检测及离线检测； ( 4 ) 可进行多参数多点同时测量气动量仪可同时对被测工件的数个参数 或不同测位点同时测量。综合各种智能技术，易于实现主动测量和自动化检测。 气体流量和压力的变换很容易转换成其它物理参数的变化，并可以借助电磁学、 电子学、电算技术、射漉技术等原理。使仪器既能显示测量结果，又能控制加 工机床，实现主动测量和自动化在线检测 ( 5 ) 气动测量属相对测量，只要相应地提高标准件的精度，气动量仪可获 得很高的精度气动量仪具有通用性通过配备不同的气动测量头，气动量仪 可作多种不同的参数的测量。 ( 6 ) 气动量仪结构简单，操作方便，测量效率高，成本低，维修方便，稳定性 好 2 1 球度测量 2 1 1 球度定义 第二章高精度球径球度测量理论 几何学把球面定义为半圆绕其直径一周后所形成的表面，也即三维空间中 到定点距离为常数的点的集合。实际的球面与几何学上定义的理想球面的差异 就是所要测量的球度误差，它应是一个能反映实际球面偏离理想球面大小程度 的一个综合指标，简称球度【l 】研究球度主要包括完整或部分球面形状误差的 测量和在此基础上对球度的评定两部分。理论上讲，被测球的所有点都要测遍， 或所有半径都要取遍，再求极差。 球度误差的测量和评定是当前几何量测量领域的一个研究热点，在评定理 论及算法上己取得了许多研究成果。目前主要是在一定条件下将非线性的精确 评定模型转化为近似的线性评定模型，在利用线性规划理论构造算法并建立相 应的差别准则。 2 1 2 球度测量方法 高精密球度测量方法出现之前，传统的测量方法主要有： ( 1 ) 直接测量方法将被测球放在转动平台上，用测量工具测量其最大及 最小的差值的一半作为球度误差。 ( 2 ) 间接测量方法将被测球放在v 型块上转动，同样的用测量工具读出 最大及最小的差值作为球度误差 ( 3 ) 顶尖测量法将被测球放在带有中心孔的主轴和平面间转动，将测量 工具的最大值减去最小值作为球度误差值，此种方法受到中心孔形状精度及安 装偏差的影响。 ( 4 ) 4 点坐标法大多数c m m 都是采用这种方法，利用4 点可以定球心， 从而可以算得球半径。 ( 5 ) 几何法此种方法是便携式仪器测量的基础，应用仪器来测量球上一 段指定球扇形的高度，将三维问题转化为两维问题，此方法主要用于测量部分 球面球度。 ( 6 ) 利用圆度仪测量圆度仪铡量方法包括：一、将被测球连同放球的专 用支座一起放在圆度仪工作台上，测量时将球在支座中多次转位，在每个位置 测赤道圆的圆度，将其最大圆度值作为球度误差值。二、带计算机的圆度仪， 编个简单的程序，可以将每次测赤道圆圆度曲线上的每个半径值存贮，多次测 量后的最大半径和最小半径值就看作球度值。 ( 7 ) 旋转测头法传感器安装在一个旋转臂上，此臂的轴线通过球心。被 6 测工件也能绕一条通过球心的垂直轴线旋转。以获得几根子午线上的测量值。 2 2 球径球度溅量基本原理 2 2 1 球度误差的评定方法和数学模型 确定一个球面的四个样本点为m ，( 墨，鬈。，z j ，) 、材n ( x j 2 誓：，z j 2 ) 、 m ，( 置，z 3 ) 、m ( 五，匕，z 1 ) ，球心坐标为q ( 置，墨，互) ，球半径为曷，则可 以通过下列方程求得样本球的球心坐标和半径： f ( 薯l 一薯) 2 + ( 只l 一乃) 2 + ( 刁i - z ) 2 = 墨 i ( 薯2 一而) 2 + ( m 2 一”) 2 + ( 刁2 一z ) 。= r 1 ( 五3 一) 2 + ( 只3 一乃) 2 + ( 毛3 一z ) 2 = r ( 2 - 1 ) 【( 而4 一而) 2 + ( 以4 一乃) 2 + ( 毛4 - z ) 2 = 马 国家标准中对形状误差的评定推荐使用最小区域法，同时允许用最小二乘 法近似评估根据相关资料，通常评定球度的方法用以下四种【2 】： ( 1 ) 最小区域法 最小区域法是用两个同心球包容实际轮廓在包容时，必须至少有三个外 接点和三个内接点交替接触，两个同心球即构成最小区域，两同心球的半径差 值即为球度误差。 ( 2 ) 最小外接球法 最小於接球法是指包容实际轮廓且半径为最小的球，实际轮廓与最小外接 球之间径向最大距离即为球度误差， ( 3 ) 最大内接球法 最大内接球是指内按于实际轮廓且半径为最大的球，实际轮廓上的点到该 球球面的最大距离即为球度误差。 ( 4 ) 最小二乘球法 当实际轮廓上各点到某一球面距离的平方和最小时，该球即为最小二乘球 扪。实际轮廓至最小二乘球的最大距离和最小距离之羞即为球度误差。 最小二乘法是一种近似的评定方法 7 评定方法目标函数球半径值( r ) 球度误差值 最小区域法 m i n j ( a , b ，c ) ； 户c 口，6 ，c ，+ f c 口，6 ，c ，) e ( ，) ( m z s ) 讹一，( 哆叫 最大内接球法 m a x f 一( a , b ，c ) m a x f 一( a , b , c ) e ( ，) ( m i s ) m i n ( m a x ( f , ( a , b , c , ) ) ) m a x ( r a i n ( e ( 口，b ，c ，) ) 最小外接球法 n l i n f ( a ，6 力或m j l i 户( 口6 c ) 或e ( 口淞，6 a ，气船) ( m c s ) m i n ( m a x ( f j ( 口，6 ，岛) ) 。m i n ( m a x ( f , , ( a ，b ，c ，) ) r m 【巧( q 自目，o 缸) 最小二乘法 ( l s s ) n i r 炳以6 ，c ) 一砰视具体方法而定e ( ，) 图2 - 1 球径偏差坐标示意图 - 如图2 - l 所示，球面上测点只“，咒，刁) 相对测量基准点d 的向量o p ( r ，岛，仍) ， 实际球心位置o ( 口，b ，c ) ，球半径为r ，球径偏差p 】e ，显然： 局2 = ( 而一口) 2 + ( 以一6 ) 2 + ( ：j c ) 2 ，弓= 局一r 在a o o p , 中过d 作d d i 垂直0 曰于q 点，则 施：d 谤o s * 6 q = 方q 唧m i 电s 融i 如：后i 而：届面函：边+ 面 8 ( 2 2 ) 故有 = e c o s c r ，+ 压硒 = e c o s a ，+ 如鬲万硒 2 e c o s q + ( r + b ) 秘础时l 晋j 删 婀舭扎= s c o s q 诎+ 弓 有矢量运算可得p c o s ：f 丛堑! 三1 2 或 e c o s = 口c o s 岛s i n 仍+ b s i n qs i n e s + c c o s 仍 由此可得球径偏差的线性划模型： q = 吒一r a c o s 岛s i n 口 一b s i n s s i n q , 一c c o s 仍 根据二项式展开定理可得上式的线性划模型的误差为； ”一三掣一1 ( e s i n 口t , ) 一土鲥一5 ( e s i n = , ) s 2r + e 。8 r + e l 1 6 r + e j 1 2 8r + p 。 忽略高次项，并取绝对值可得误差计算公式为； a ：三鱼! 垫堡z 三! ：矛石 2 l , i + 岛 2 代 将式( 2 6 ) 代入最小二乘目标函数【4 l ： m i n q 2 = m i i l ( 一月一口c o s6 ：s i n 馈一6 s i n qs 缸仍- c c o s 仍, ) 2 由最小二乘原理可得： _ a z e t 2 = o ；掣= 0 ；百a z e j 2 = o ；掣= o ； d e o a内 ( 2 3 ) b u ； g 一震一口c o s 只s i i i 仍一6 s 纽只s i n 仍一c s 仍) = o ： ( 一r 一口c o s6 ：s m 仍一6 s m qs i n 仍一c c o s 仍) c o s 只s i n 仍= o 乏：“一r 一口c o s 只s i i l 仍6 s i i l es i n 仍一c c o s 仍) s i n 包s i i l 仍= o 芝：g r 一口c o s6 i s i r i 仍一6 s m qs i n 仍一c c o s 仍) c o s 仍= o 若在测量时采用经纬法进行，即每个测点位于经圆与纬圆的交点处，则上 述四个方程的解可表示为： 9 = 三薯= 二4 。i ，, s qs i n 识 = 三咒= ；4 。i 灿, 只s i n 仍 = 二4 一z 。= 4 e r , s i n 仍 = 芸厢= i 4 。e 。 ( 2 1 0 ) 球度误差值为： e = e ( ，6 岱) ( 2 - i i ) 针对球体的测量为相对测量，参见图2 1 ，则( 2 - 1 0 ) 可化简： 4 = 三岛s i n , c o s b 扣毒跏咖细m ( 2 - 1 2 ) c = 昙向c o s 仍 矗= r + 丢岛 其中民为被测球公称半径，岛为测量得到的相对差值。这时的球度误差5 】e 为： e = m a x p - 一m i n p ， ( 2 - 1 3 ) 2 2 2 经纬法球度评定 球径球度的测量精度要求越来越高，采用经纬法【6 】的球度误差测量技术， 通过在一个固定的量规上布置多个测头进行多点测量。将整个球看成一个地球， 球上每一个点都是经度圆和纬度圆的交点，通过测量各个点的经度和纬度，通 过具体的最小二乘法评定数学模型进行评定 经纬法测量的前提条件：测量时，球体自转轴线必须与整个测量装置的轴 线相垂直；球体的几何轴线要与测量时球体的自转轴线相重合或偏移量较小。 球面是一种重要的轮廓。标准球用作整个精密测量的定位基准，其重要性在球 度误差的评定中尤其显得重要。球度误差的评定对于球的测量很重要，只是在 国家标准形状位置公差中没有球度公差和评定球度公差的规定，只是把它当作 一种面轮廓度来处理。 1 0 4 图2 2 经纬法原理图 l 一滑架2 传感器3 - 被测球体4 圆锥支架 经纬法测量的原理如上图所示，测量时，测量截面过球体自转轴线一s 垂 直于仪器的测量轴o d 采样角，每预4 完一个轴线截面，球体绕着自转轴线 转过一定的角度，测下一个截面，共测量n 个点。 2 2 3 免疫进化计算的球度误差评定 免疫进化计算方法【。7 l ( i e c ) 用于球度误差评定，该算法基于生物免疫系统 的细胞克隆选择学说和生物进化过程中的变异思想构造了自适应变异算子，使 得系统能够根据环境条件自适应地确定各抗体的变异强度，通过亲和力抑制相 似抗体生存并动态地产生新的抗体，以维持种群的多样性，同时该算法适用于 球度误差最小区域评定。 按照最小包容区域法评定球度误差实质是寻找包容被测世纪轮廓且半径差 最小的两同心球。包容被测轮廓的同心球有无数对。只有一对是最小的，属于 求最小化的问题。设球面上的测点肼& l ，弘，句) ，则评定的目标函数为： f c a ，b ，c ) = m i n ( r m “r m i n ) ( 2 - 1 4 ) 2 2 4 用遗传算法精确计算球度误差 遗传算法司主要是j o h nh o l l a n d 教授和他在密西根大学的同事及其学生发展起来 的，它完全不同于传统的寻优方法，而是借用了生物遗传学的观点，模拟自然界“物 竟天择，适者生存”的进化过程，在问题的解空间进行全局并行的随机搜索，使表示 问题可能解的种群向全局最优解进化。 2 2 5 球度误差包容评定 球度误差包容评定方法有三种：最小区域法、最小外接球法和最大内切球法。并 且理论上用极差极小化、极大极小化和极小极大化模型来表达。球度误差包容评定的 高精度实现方法 9 1 是通过数学规划理论，提出以一种线性近似的球度误差评定模型的 迭代运算去逼近非线性精确评定模型优化解的迭代算法并以非线性精确评定模型优 化解必要条件为最优条件判别准则，用来作为最终评定结果的最优结果。 一种评定最小二乘球的优化算法【1 0 l 的基本思想就是利用最d , - - 乘球线性简化模 型的迭代算法去逼近最小二乘球非线性精确模型的优化解。此种算法具有较高的收敛 性。寻优精度高的特点，适合用于本课题中球面拟合及其形状误差的评定。 所谓最小二乘球就是根据已知个测点a 仅，y i ，勿) 的坐标值，利用最小 二乘法拟合被测球的球心坐标和半径值，数学模型表达了残余误差平方和为最 小这一核心思想，用优化模型表达是： 丑蛐 岛= 一， ( 2 - 1 5 ) ( x i ，y t ，毛) 7 一测点坐标值；n 测点数目： ，v ，w ，) 7 拟合球面的球心坐标和半径值； e i - - 残差，在此为拟合变量0 ，v w ，) 7 的非线性函数求解优化问题( 2 - 1 5 ) 的方法通 常分为两类：一类是优化算法中的直接法，如坐标轮换法和单纯形法。此类算法在解 具体问题时，在确定初始点、寻优步长和收敛判别条件等方面具有盲目性，往往计算 的收敛速度较慢，寻优精度也得不到保证。另一类算法就是将残差q 转化成拟合变量 v ，w r ) 7 的线性函数，再由超定线性方程组的最, b - - 乘解法求解，如阻尼最小二乘 法由于线性化的残差表达式是实际残差的近似，所有这类算法的收敛速度和寻优精 度主要取决于线性残差表达式的构造。 另有一类简化的最小= 乘球的优化模型，表达式： m i i l f ( u ，v ，嵋r ) 7 = 砰( 2 - 1 6 ) e t 2 p i - - u c o s 俚| c o i | 一v s i n a c o s p t - w s i n p l r 其中：n ，口。屈分别为测点坐标的极径、俯角和仰角； e 为实际残差p 。的近似表达式 式( 2 - 1 6 ) 为一种近似的最小二乘球拟合模型，在该模型中残差e 为拟合变量 ( ”，v ，鹕，) r 的线性函数，同样可利用超定线性方程组的最小二乘解法得正则方程： “7a)x=-47b(2-17) 其中：x = - 1 ，w ，f ，丑= h & 尹n 1 a = s 口ic o s 届 s i n a tc o s 届s i n 届 c o s 岱2c o s 屐s i n a 2c o s 愿s i n 屈 ； s 盘s 风s i n a n s s t o p 当n 个测点不在同一平面上时，( 4 7 爿) 为四阶对称正定方阵，正则方程( 2 1 7 ) 有唯一解： j = ( a 7 彳) 。1 4 7 b ( 2 1 8 ) 这个解为模型( 2 - 1 6 ) 1 ，而在模型( 2 一1 6 ) 中残差置为实际残差e 。的近似表达 1 2 式，故这个解不是精确模型( 2 1 5 ) 的优化解。当然在评定精度要求不高、测点分布 均匀、误差满足所谓小偏差假设的条件下，这个解( 2 1 8 ) 可以看作模型( 2 1 5 ) 的 近似解，同样具有一定的使用价值。 比较( 2 1 5 ) 与( 2 1 6 ) ，显见可以得到这样的事实：当被拟合球的球心坐标的真 值 ，k 们7 均较大时，式( 2 1 5 ) 与( 2 1 6 ) 差别较大，此时用式( 2 1 6 ) 拟合的最小 二乘球的精度较低；而当被拟合球的球心坐标的真值0 ，v w ) 均为零时，式( 2 - 1 5 ) 和 ( 2 1 6 ) 完全等价，此时用式( 2 1 6 ) 求得的解 = 0 ，i ，= 0 ，w = o ，r ) 7 也必为式( 2 1 5 ) 的解，这说明了这样一个事实：当被测拟合球心坐标逼近于零时，模型( 2 1 6 ) 逼近 于模型( 2 1 5 ) 根据这一结论，可以采用一种线性简化最小二乘球模型( 2 1 6 ) 迭代运算去逼近菲 线性精确的最小二乘球模型( 2 1 5 ) 的优化解的优化算法该算法的理论依据：当 ，v ，w ) 7 逼近于零时，模型( 2 - 1 6 ) 逼近模型( 2 1 5 ) 该算法的寻优思路为：用式( 2 - 1 7 ) 求出模型( 2 1 6 ) 的优化解0 。v k , w k , r ) 7 ，将坐标系原点变换到 ，v ，矿) 7 处，坐 标变换后，相应的测点坐标也发生变化。在新的坐标系下，以新测点坐标 ( “，v h 2 ，w h l ) 7 结合式( 2 - 1 7 ) 求出模型( 2 - 1 6 ) 在新坐标系下的优化解 m ，v k + l9 w k + 1 ，“1 ) 7 ，此时的球心坐标值 k + l9 v “，w “1 ) 7 应比原坐标系下的球心坐标 值0 ，矿，w ) 7 小的多，因为坐标系的变化等同于消除了拟合球的偏心量 ，y ，) 7 ， 而 “，v “， ，) 7 仅仅是由于模型( 2 1 6 ) 的近似性而残差的偏移量。随着迭代次数 k 的增大，拟合球心的偏心量( “，矿，w ) 7 将趋近于零，模型( 2 1 5 ) 与( 2 1 6 ) 也愈 趋于一致。当0 ，v ，) 7 同时为零时，模型( 2 1 6 ) 的优化解也必为模型( 2 1 5 ) 的 优化解。最终，所得拟合球的球心坐标为：( 矿，罗v 2 ，w 。) ，拟合半径r 群，其中 m 为最终的迭代次数。仿真和实测计算表功本掣法兵有计算简单、收敛速度 快、寻优精度高的特点，使用本算法进行球的测量与评定时，采样点的分布是 否均匀不受限制；并且坐标原点与被测球心的距离可以认定。经过理论分析， 采用上述的最小二乘球优化方法，可以使得测量误差和轮廓误差的总的不确定 度小于o s u m ，且半径的估计结果满足系统设计的要求。 2 3 气动量规的布点设计以及m a t l a b 仿真 1 球径测量方法 对于球径的测量方法大致有两类：直角坐标等精度测量方法和极径法。极 径法一般是在一个球形量规上布置多个侧头，这样一次可测得多点相对于量规 球径的偏差值，经过数据处理，可以得球径的评定值【l o i 。此方法的优点：避免 了三维运动的带来的误差。 2 极径法测量球径的数学模型 图2 - 3 球面坐标示惹图 用球坐标表示如图