（应用数学专业论文）几个投资期权评价模型及其仿真研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 评价投资项目是现代企业资本投资决策中一个极其重要的问题。投资一般具有不 可逆性、大量的不确定性和不能立即予以回报的特点，这样很难正确评价投资项目。 实物期权方法是现代金融期权理论在实物资产的扩展。持有某项目期权的投资者有权 利而没有义务投资该项目，从而增加了项目的价值，减少了风险。因此，利用实物期 权方法来评价项目投资，可以合理地模拟和评价复杂的投资期权。 出于投资过程复杂的性质和结构，投资期权的评价的定量分析比一般的金融期权 定价模型要更为困难。根据现有的金融资产定价理论，对于简单的衍生证券的价格可 以得到在理论上的计算模型，但是绝大部分投资期权的评价问题是得不到有效鼹决 的，所以数值仿真技术成为评价投资期权的一种极其重要的手段之一。本文的数值仿 真原理包括三种方法：蒙特卡罗模拟，二叉树方法和有限差分方法。三种方法都通过 各自的实例给出了应用。 本文主要研究了两个模型：第一个模型利用实物期权的方法评价调节作用影响下 的投资决策，并且建立期权定价模型。项目价值遵循均值返回过程，其路径采用数值 模拟分析。此处运用动态规划方法推出期权定价公式。通过数值解法求解和分析数值 结果，得出调节作用对投资的影响；第二个模型是关于进入与退出投资决策的评价， 产品价格服从几何布朗运动一跳跃过程。在闲置和经营状态下的投资期权分别进行了 评价，并且得出了进入和退出的阈值。 关键词：投资期权实物期权期权定价数值仿真均值返回动态规划 一_ - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ - - _ - - _ 一 i 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ee v a l u a t i o no fi n v e s t m e n tp r o j e c t si so fe x t r e m ei m p o r t a n c ei nm o d e mc a p i t a l i n v e s t m e n td e c i s i o n so ff i r m s i ng e n e r a l ，b e c a u s eo ft h ei r r e v e r s i b i l i t y , l o t so f u n c e r t a i n t y a n d d e l a y e dr e t u r n ，i ti sd i f f i c u l t t oe v a l u a t ei n v e s t m e n tp r o j e c t s r e a lo p t i o n sm e t h o di sa l l e x t e n s i o no ff i n a n c i a lo p t i o n st h e o r yt or e a la s s e t s t h ei n v e s t o rw h oh a st h eo p t i o n sh a st h e r i g h t ( b u tn oo b l i g a t i o n ) t oi n v e s t ，w h i c ha d d sv a l u et ot h ep r o j e c ta n dd e c r e a s et h er i s k s o u s i n gr e a lo p t i o n sm e t h o d t oe v a l u a t ei n v e s t m e n tp r o j e c t s ，t h ec o m p l i c a t e do p t i o nt oi n v e s t c a nb es i m u l a t e da n dv a l u e d r e a s o n a b l y w i t ht h ec o m p l e xs t r u c t u r e sa n dc h a r a c t e r so ft h ep r o c e s so f i n v e s t m e n t , q u a n t i t a t i v e a n a l y s i so ft h ev a l u a t i o no ft h eo p t i o nt oi n v e s ti sm o r ed i f f i c u l tt h a nt h a to fo r d i n a r y f i n a n c i a lo p t i o np r i c i n gm o d e l a c c o r d i n gt ot h ee x i s t i n gv a l u a t i o nt h e o r i e so nf i n a n c i a l a s s e t s ，t h ee a s yd e r i v a t i v es e c u r i t i e sm a yh a v et h es i m p l ec o m p u t a t i o nm o d e li nt h e o r y ，b u t v a l u a t i o nf o rm o s to ft h eo p t i o nt oi n v e s tc a n n o tb es o l v e de f f e c t i v e l y , s ot h et e c h n i q u eo f n u m e r i c a ls i m u l a t i o nh a sb e c o m ea v e r yi m p o r t a n tm e a n so fe v a l u a t i n gt h eo p t i o nt oi n v e s t t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o do ft h i st h e s i si n c l u d e st h r e ea p p r o a c h e s ：m o n t ec a r l o s i m u l a t i o n , b i n o m i a lt r e em e t h o da n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d t h et h r e ea p p r o a c h e sa l e a p p l i e db yr e s p e c t i v ee x a m p l e s t h i st h e s i sm a i n l yr e s e a r c h e st w om o d e l s t h ef i r s tm o d e lu s e sr e a lo p t i o n sa p p r o a c h t ov a l u ei n v e s t m e n ts t m t e g i e su n d e rr e g u l a t i o n ，a n ds e t su pa n o p t i o n - p r i c i n gm o d e l t h e v a l u eo ft h e p r o j e c t , w h o s ep a t h i ss i m u l a t e da n da n a l y z e d n u m e r i c a l l y ，f o l l o w s a m e a n r e v e r t i n gp r o c e s s t h i sp a r td e r i v e st h eo p t i o np r i c i n gf o r m u l ab yu s i n gt h ed y n a m i c p r o g r a m m i n gm e t h o d s o l v i n gt h ef o r m u l an u m e r i c a l l ya n da n a l y z i n gt h en u m e r i c a lr e s u l t s ， i n f l u e n c e so f r e g u l a t i o no ni n v e s t m e n ta r ef o u n do u t t h es e c o n dm o d e li sa b o u t e v a l u a t i n g e n t r ya n de x i ti n v e s t m e n ts t r a t e g i e s ，i nw h i c ho u t p u tp r i c ef o l l o w sac o m b i n a t i o no fa g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o na n daj u m pp r o c e s s t h ei n v e s t m e n to p t i o n si nt h ei d l ea n d a c t i v es t a t e sa r ee v a l u a t e d r e s p e c t i v e l y , t h et h r e s h o l d so f e n t r ya n d e x i ta r eo b t a i n e d k e y w o r d si n v e s t m e n to p t i o n r e a lo p t i o n s o p t i o np r i c i n g n u m e r i c a ls i m u l a t i o n d y n a m i cp r o g r a m m i n g m e a n r e v e r t i n g - - _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ - _ - _ _ _ - - - _ - _ 一一一 i j 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：爵- 亘墀 日期：2 弦牛年华月五6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 、 学位论文作者签名：菩t 邑辉 日期：p o 仁年甲月玷日 指导教师签名： 日期：知。垆年乒月2 ，占日 华中科技大学硕士学位论文 1 1 课题的研究背景 1 绪论 随着现代社会经济的发展，在金融领域里兴起了许多前沿科学，如数理金融学、 金融工程学等。作为一种防范风险和投机的有效手段，期权在金融领域的应用得到了 广泛迅猛的发展。期权是一种选择权，其购买者在支付了一定金额的权力金后，就拥 有在预先规定的时间或该时间之前按预先规定价格购买或出售一定数量基础资产的 权利。1 9 7 3 年e b l a c k 和m s c h o l e s 发表了题为期权价格与公司负债一文，首次 提出期权定价模型【l 】忙l 。他们建立了微分方程，利用市场的套利条件，导出到期日以 前的期权定价公式，得到了评价期权的基本思路。1 9 7 7 年美国麻省理工学院的s t e w a r t m y e r s 提出金融期权的理论与方法可以相应地应用于项目的投资评价【3 1 ，因此期权不 止是一种衍生金融工具，广义的期权应包括所有未来一定期限内的广泛存在的选择 权，在金融投资领域，期权的思想逐步发展成为一门新学科“实物期权”。 实物期权下投资机会是有价值的，因为投资者利用投资机会的柔性可以增加收益 减少损失。在投资中，实物期权的出现可以自然产生，也可以花费一定的费用建立的 投资机会。b a l d w i n 提出【4 】：“假如在世界范围内的产品与金融市场的变动性增加，那 么认识到期权价值重要性的公司，将一定程度的柔性建立在其投资中，在未来，他们 会比那些没有考虑项目中的期权价值的公司具有更多的优势。”因此本文将具体研究 实物期权的定量研究。本文对实物期权的定量研究来源于b l a c k 和s c h o l e s 以及m e r t o n 的金融期权定价【5 】，基于金融期权定价的方法，应用实物期权的方法构建相应的期权 评价模型。 根据现有的金融资产定价理论方法，在国际金融市场上交易的大量金融衍生证券 中，只有少数衍生证券的定价问题可以得到比较简单的解析计算公式，而绝大部分衍 生证券不能通过解析方法加以解决。即使有些证券从理论上可以得到一个比较完整的 计算模型，但往往由于计算模型比较复杂，实际实现起来非常困难，有时甚至是不可 能的，因此需要借助数值仿真技术来解决期权评价的计算模型。基于金融资产定价理 论的实物期权评价方法所评价的投资期权问题考虑的是实物资产，其项目价值的变化 与金融资产的标的变化相似，并且采用实物期权方法评价的投资模型往往比金融资产 的期权定价模型更为复杂，因此，数值分析技术就成为投资期权评价的极其重要的解 华中科技大学硕士学位论文 决方法。 根据现代金融资产的非套利定价原理和风险中性基本假设，金融衍生证券的定价 问题一般地可归结为以下几类数学问题：随机过程的分析、随机变量( 向量) 的数学 期望、具有边界条件的微分方程、高维积分和积分方程等。近些年来，许多经济学家、 数学家及物理学家针对这些金融数学问题，对金融期权定价的数值仿真技术进行了大 量的研究与探讨，得出了许多有效的数值方法。因此，本文将基于金融期权定价的这 些方法对投资期权评价模型进行分析，并且利用计算机对所得的计算模型及其参数进 行仿真模拟。 1 。2 投资模型及实物期权的概述 项目投资是指企业对一个项目投入一定的成本以期望在未来获得一定回报的行 为，企业投资建厂、商家储存货物、人们进行技术培训以及公司研究开发新技术产品 等等，这些都是投资的范畴。大多数的投资项目具有不可逆性、不确定性和等待的能 力这三大特征i 6 】 7 】【8 】。 当企业投资具体的产业时，它在营销和广告上大多数投资是不可能回收的，因此 投资的开支往往是沉淀成本。例如，一家制药厂属于一种特定产业，它只能生产药品， 有人可能会认为制药厂可以出售给另一家药业公司，因而投资支出是可以回收的，但 这是不正确的。如果该产业是适度竞争的，该厂的价值对该产业的所有企业来讲都是 相同的，那么出售该药厂不可能获得收益。如果药厂所产出的药品价格下降，企业根 据对过去经济发展形式分析而建厂被证明是一项“坏的”的投资，那么收购这家药厂 同样会被另一家药业公司认为是一项“坏的”投资，那么出售药厂的生产能力不会有 多少收益。故对制药厂的投资的大部分应该看做沉淀成本。即使投资不是特定的产业， 它们往往也是部分不可逆的，例如办公设备、轿车、计算机等等不是特定的产业，尽 管它们可以销售给其他产业的企业，但转售的价格将会远远低于购买成本，即使它们 几乎是新的。不可逆性也可能针对政府管制、制度安排、或者是大型的资本投资。 不确定性则是投资者根据不同的概率获得不同的投资回报，比如未来每公斤黄铜 的价格将在预测价格的上下波动从而导致投资回报的不同。对于企业中理性的投资 者，面对存在的不确定性，他们积极的管理将会给投资机会增加价值，一个投资项目 几乎时时都要处理不确定性。如果不确定性是技术的，例如r & d ( r e s e a r c ha n d d e v e l o p m e n t ) 投资，不确定性增加了投资机会的价值。 华中科技大学硕士学位论文 投资者为了增加投资的灵活性，对于投资活动一般是具有等待能力的。除了企业 出于战略考虑，必须迅速投资，从而比现有的或潜在的竞争者优先投资。在大多数情 形下，等待是可行的，等待投资也许存在一定的成本( 例如现金流的流失或者是其它 企业进入竞争的危险) ，但是在等待过程中，企业可能得到新信息或者获利机会而获 得高于等待投资所付成本的收益，故投资者往往选择等待。 传统的投资决策方法是现金流折现法( d c f ) ，以净现值法( n p v ) 最具有代表性，它 们的一个弱点是没有很好地处理项目投资的时间选择问题，对于大多数项目投资来 说，投资机会并不会马上消失，项目投资可以选择合适的投资时间。现金流折现法除 了其灵活性不足的这一缺点外，金融学者和公司经营者还认识到了现金流折现法的其 他不足：d e a n ( 1 9 5 1 ) ，h a y e s 和a b e r a t h y ( 1 9 8 0 ) 。h a y e s 和c a r v i n ( 1 9 8 2 ) 认识到现金流 折现法常常导致价值低估，投资减少。人们曾提出模拟和决策树法来代替现金流折现 法，m y e r s ( 1 9 8 7 ) 认为问题出自于现金流折现法的不当使用，传统的现金流折现法在评 价经营柔性和投资时间选择作用很大的项目时是有问题的。t r i g e o g i s 和m a s o n 认为期 权的方法可以改变决策树的弱点特别是折现率的确定问题。r o s s 讨论了利率不确定下 净现值法的缺陷，提出用期权的方法修正。因此实物期权理论的出现为企业的项目投 资决策提供了一种革命性工具，它使得企业进行项目投资不仅要考虑项目的净现值， 更要考虑投资带来的机会价值与管理的柔性。对于项目投资来说，具有不可逆性、不 确定性和等待的能力的投资机会非常类似于金融期权，其标的资产( 通常为股票、债券 等) 可以看成是建成的项目，执行价是初始投资支出，有效期是投资机会可以推迟的时 f 刚。与美式看涨期权( a m e r i c a n c a l lo p t i o n ) 一样，只要标的资产具有价值不确定性，投 资机会就具有价值。因此我们采用实物期权的方法来评价项目投资问题，特别是含大 量不确定性的投资问题时，往往更为合理有效【9 】。( 1 4 】。 应用实物期权研究项目投资，建立期权评价模型是本文的建模部分，本文的另一 个重要工作就是对期权评价模型进行仿真研究。考虑本文的投资期权模型更符合实际 投资，假设其标的资产的运动符合较为复杂的随机过程，而这样的投资期权模型常常 可以得到相应的常微分方程和偏微分方程，并且得到的微分方程般是得不到解析解 的，因此通过数值仿真技术来模拟仿真投资评价模型对投资分析将起到至关重要的作 用。由于投资者往往更加关心项目价值的具体变化过程与变化趋势、每时刻的期权价 值，咀及每时刻的投资阈值。模拟仿真作用是对投资期权模型的评价将给出具体的定 量的分析，根据仿真模型参数变化对期权价值和阈值的影响，这将对投资评价给出更 华中科技大学硕士学位论文 有意义的指导。 在m y e r s 提出实物期权的概念之后，实物期权的其它一些概念框架由m a s o n 和 m e r t o n 、t r i g e o r g i s 、b r e a l e y 和m y e r s 、k u l a t i l a k a 和m a r c u s 等人提出。以期权为基础 的模型具有的基本优势有：具有简单灵活有用的决策框架；在概念上能够模拟与评价 类似的商业决策；非常合适模拟柔性，能够解释评价动态项目管理。 t r i g e o r g i s 定义实物期权为：“与金融期权相似，实物期权包含有权力而不是义务 进行决策。以一特定的价格获得或者交换一项资产。”换言之实物期权就是拥有投资 机会的企业持有的一种类似于金融期权中的美式看涨期权的“选择权”( 企业拥有在 它所选定的某一未来时刻购买某种资产的权利但不是义务) 。考虑柔性和不确定性价 值的投资评价方法被称作实物期权方法。当一家企业作出不可逆投资支出时，相当于 它就执行投资的期权，放弃了等待以获得可能会影响到支出意愿或时机的新信息的可 能a 失去的期权价值是一种机会成本，它必须包括在投资成本中，研究表明投资的这 一机会成本可能很大，忽略它可能会酿成重大损失，因此这里的投资机会中有类似于 期权的特征。在金融领域中，金融期权和实物期权都是一种选择权，金融期权和实物 期权评价相应问题时都可以归结为期权方法评价的应用，针对评价对象的不同可以采 用相应的期权来进行评价。本文主要针对的是金融领域里的项目投资问题，评价的对 象是实物资产，因此我们相应地采用实物期权的思想来评价项目投资和投资机会的价 值。 实物期权既然是拥有投资机会的企业持有的一种“选择权”，那么它可以使得项 目在将来具有活动空间和投资的可能性，这将有助于企业能根据变化的市场作出相应 的决策。总的来说，生产性投资是不可逆的，如果投资不成功，投资者不可以收回投 资成本，因此投资是部分或者是全部沉淀的，绝大部分项目投资的成本是沉淀成本； 对于含有大量不确定性( 包括未来市场份额与市场价格的不确定、成本的不确定、利 率的不确定等等) 的项目投资，实物期权方法可以克服净现值法对项目价值的低估， 反映净现值法所不能反映的灵活性；另外对绝大部分的项目而言，投资是可以等待的， 这种等待能赋予企业管理的柔性。因此实物期权具备不可逆性、不确定性和等待的能 力三个重要特征。 2 4 1 。 实物期权方法下的期权定价的要素和金融期权相似，包括标的资产、波动率、无 风险利率、红利、交割价格和到期日，以下从这几个要素出发讨论用期权的方法评价 项目投资时的问题。 4 华中科技大学硕士学位论文 1 ) 标的资产 一般的期权定价理论以可交易资产作为标的资产，标的资产价格变动过程对期权 定价至关重要，标的资产价格变动方式分离散形式和连续形式两种。离散形式的价格 变动以网格方法来描述，最常用的是二叉树方法，此外有三叉树方法和可加二叉树方 法。连续形式的资产价格变动过程有三种：扩散过程、跳跃过程和均值返回过程。扩 散过程框架内，价格的变动是连续的，没有突变，如几何布朗运动；以布朗运动描述 资产价格时使得资产价格远离价格初始点，现实经济生活中，较为长期价格一般是均 值返回的( 描述长期价格变动需要大量数据，因而决定价格是否具有均值返回的特性 并不容易) ；扩散过程不足以刻划现实经济生活中的资产价格变化，由于各种各样的 外在原因，资产价格可能突然变大或变小( 比如股东获悉公司出现大的经营问题可能 引起股价的突然变动、研发技术对新产品的冲击、或者是垄断产品受到相应相似替代 产品的冲击引起产品价格的突然变动等等) 。这种不连续的价格变动可以用跳跃过程 来描述，通常用泊松分布来刻划变动次数。 期权定价理论及其相关的复制原则要求标的资产是可交易的。实物期权方法则常 常是以风险中性评价分析为基础，c o x 与r o s s 认识到一项期权如果能够复制到一个 相等的可交易的资产组合，将使实物期权的实际应用变得容易起来。因为独立于风险 倾向和资产市场均筏之外，这种风险中性评价使期权收益( 实际概率被风险中性概率 所代替) 以无风险利率进行折现变得容易，这是包含可交易资产的“无套利”定价系 统的基本特征。m a s o n 、m e r t o n 和t r i g e o r g i s 认为，原则上讲实物期权与金融期权的 评价相似，尽管实物资产也许不能交易。如果存在可交易的“相似资产( t w i ns e r e u r i t y ) ” ( 或一种动态可交易资产组合) ，与完全市场上不可交易实际资产具有相同的风险特 性( 即完全相关) ，这时足够进行实物期权的评价。更一般地，c o n s t a n t i n d e s ，c o x ， i n g e r s o l l ，r o s s ，g a r m a n ，h a r r i s o n 和k r e p s 等人认为，在一项资产上的任何相机权 益( c o n t i n g e n tc l a i m ) ，可交易的或者不可交易的，在一个系统风险世界里，可用一个 相等的增长率替代实际增长率进行定价i 然后就可以看成是风险中性世界了。对均衡 的可交易的资产或无系统风险的实际资产，风险中性增长率刚好等于无风险利率。 2 ) 波动率 标的资产的风险是通过标的资产收益的波动率来衡量的。波动率共有五种形式， 未来波动率、历史波动率、预测波动率、隐含波动率和季节波动率。未来波动率是不 确定的，但决定期权的最终价值：历史波动率由历史数据导出；预测波动率由专家或 华中科技大学硕士学位论文 专业投资公司预测而来；隐含波动率由市场期权价格和期权模型计算得出：季节波动 率是根据某种产品的价格波动率估计而来。在期权持续期内，应区分标的资产价格波 动率的确定性和随机性。 3 ) 无风险利率 一般情况下，金融期权定价的无风险利率可以假设为确定的，确定无风险利率的 简化方法是直接采用同期的政府债券利率。期权期限较长时，无风险利率可能是随机 的或不确定的。以实物期权方法评价投资项目时，投资项目的较长的周期可能导致无 风险利率的不确定性和随机性，应修正传统的期权定价理论。本文将对无风险利率作 相应的假设，将其定义为关于项目价值的函数，即把无风险利率作为不确定性的情况 来考虑。 4 ) 红利支付 红利支付数量和频率至关重要。支付数量分确定型和随机型两种，确定型包括离 散支付和连续支付两种方式；支付频率可是已知的或是随机的。 5 ) 交割价格 交割价格数量是关键变量，交割价格可以是确定的或随机的。实物期权评价投资 项目时可以采用随机交割价格或者是采用预测其产品价格来给出交割价格。 6 ) 交割日期 交割日期可能是已知或未知的。已知交割日期时，必须区分到期期限是有限期和 无限期。与金融期权相比，投资项目中的实物期权期限较长，对r & d 项目的期限而 占，可能出现随机性，因而决定合适的交割日期很困难。本文的评价模型中分别讨论 了确定有限期和无限期的情形，当交割日期为确定有限期时，期权定价模型所得方程 常常为偏微分方程，无限期的情况则通常得到常微分方程。 了解了实物期权的特性和基本要素，本文的核心工作之一是应用实物期权的方法 来评价项目投资，也就是期权定价的过程。在期权定价理论中，标的资产的运动一般 遵循一定性质特征的随机过程，以往文献常常假定标的资产的价格服从几何布朗运 动。而描述价格变化的随机过程主要有几何布朗运动，均值回复过程( m e a n - r e v e r t i n g p r o c e s s ) ，带跳的几何布朗运动等。因为从长期来看，均值回复过程更具有说服力，而 当价格变化受到外部环境的冲击时，带跳的几何布朗运动往往更符合实际情况。本文 对标的资产运动价格的假设将会考虑均值返回和跳跃过程，并分别基于均值返回和跳 跃过程上建立评价模型，借此来分析均值返回与迭加跳跃对有关投资决策的影响。 6 华中科技大学硕士学位论文 1 3 国内外相关的研究概况 目前国外在期权方面的研究主要有：s r o s s 、r r e n d e m a n 和b b a r t t e r 在1 9 7 9 年 发表的期权定价：一种简化的方法一文，文中提出了“二叉树模型”，又称为“二 项式模型”的期权定价模型。j o h nh u l l 在专著期权、期货和衍生证券中介绍了计 算期权价值的理论和方法。b r e n n a n 、s c h w a r t z 以及m c d o n a l d 考虑了应用期权思想评 价实物资产，分析了项目现金流可控性产生的风险，得出实物期权可以抓住投资机会， 降低风险。p i n d y c k 在专著不确定条件下的投资中研究了连续时间投资模型的时 间选择性对投资机会价值和投资决策的影响，它假定在不同时间投资，建成项目的价 值是不同的，并且是不确定的，而投资支出是不随时间变化的常数。s c h w a r t z 研究了 项目产品价格不确定下投资时间选择权的价值和相应的投资决策方法。 国内对期权问题的研究，主要是追踪国际研究动态 2 5 】i 【2 9 1 。其中有代表性的刘金 宝的著作金融工程核心工具一期权( 文汇出版社，1 9 9 7 ) ，刘波的著作中国证券 市场分析( 学林出版社，1 9 9 8 ) ，杨廷干的著作投资决策量化方法研究( 中国财经 出版社，1 9 9 8 ) ，雷富民研究了含无风险证券的组合投资的有效边界( 1 9 9 7 ) ，张卫中研 究了不相关资产组合投资优化模型及实证分析( 1 9 9 8 ) ，李楚霖，杨明，易江编著的金 融分析投资及应用。对于实物期权的研究作出了贡献的主要有：范龙振等人研究了 投资机会的价值、经营柔性与投资决策；朱玉旭等人研究了序列投资决策的期权分析 方法，包含了离散时间和连续时间模型；黄凯用期权方法研究了企业战略投资：张子 刚、李楚霖、易江、杨明、沈厚才、戴和忠、赵国忻等人分别从各个方面研究了实物 期权思想在投资决策中的应用【3 0 】_ 【3 9 1 。 1 4 本文研究的基本内容 本文是从建模与仿真的角度来研究投资期权的问题，建模部分侧重于模型的提出 与模型公式的推导，仿真部分侧重于对金融活动或企业项目投资进行的定量研究。即 应用实物期权理论方法建立相应的数学的或统计的模型，并进行数值仿真模拟。企业 投资期权定价模型的标的资产的运动过程是评价期权的关键，在标的资产受不确定性 因素影响下进行讨论，得到能更好刻画项目价值运动的随机过程，基于这种思路本文 分别考虑了项目价值运动遵循均值返回过程和迭加跳跃过程的模型。模型的公式推导 是建立在前面对随机过程的假设基础上的，通过实物期权方法( 例如动态规划方法) ， 华中科技大学硕士学位论文 可以推导出模型相应的微分方程。仿真部分则通过直接对标的资产生成路径的模拟得 出标的资产的运动趋势，分析随机微分方程中参数对过程的影响，以及对所得的含随 机因素的微分方程，数值求解期权价值。 本文通过两个投资期权模型来分析评价模型的建立及其仿真的过程。第一个模型 是调节作用下投资策略的评价，该模型的背景是调节作用的提出，这样基于调节作用 得到的随机过程类似于均值返回过程，然后通过实物期权的方法，推导期权评价模型， 最后再进行相应的数值仿真分析；第二个模型是一类进入与退出投资决策的评价，该 模型的背景是进入与退出决策的评价，所不同的是本文研究的进入与退出问题是考虑 了项目价值受到外界环境的冲击影响下的分析，基于这类冲击项目价值的路径可以在 原来假设的前提下迭加跳跃过程，这样的分析使投资过程更具实际意义。本文的两个 投资模型在基于原来的假设前提下都进行了一定的改进，并且进行了相应的评价模型 的推导。基于这些考虑，本文通过对所得的模型和相应的微分方程及其边界条件进行 模拟和仿真，达到对投资决策的预测和指导的作用。 本文的基本结构可分为五章：第一章为绪论，第二章提出建模理论方法和数值仿 真技术，第三章和第四章分别为具体投资模型的分析和应用，综合反映用期权方法评 价项目投资决策的过程，第五章为全文的总结。 华中科技大学硕士学位论文 2 建模理论方法和数值仿真技术 第一章中，我们已经对实物期权的概念、要素和背景进行了介绍。本章将对其 定价过程进行讨论，因为金融期权和实物期权在各大基本要素以及本质上是基本一 致的，所以实物期权的定价理论及其定量过程可以借鉴金融期权的定价理论。本章 的结构分为两个部分：建模理论方法和数值仿真技术。建模理论方法包括建模基础 知识和实物期权方法。建模基础知识介绍了本文所涉及的随机过程、建模的数学基 础理论、以及无风险套利假设和风险中性定价原理；实物期权方法介绍了动态规划 方法和相机权益分析。数值仿真技术主要包括蒙特卡罗模拟、二叉树方法以及有限 差分方法。 2 1 建模理论方法 2 1 1 建模基础知识 1 ) 随机过程 我们用“随机过程”来表示依赖于一个变动参量的一族随机变量，它虽然不能用 一个确定函数来描述，但往往具有一定的规律。以公司的股票为例：股票的价格是随 机的，但从长期来看往往它又具有一定的期望增长率来补偿投资者的持股风险。随机 过程的定义：设e 是随机试验，q = ) 是它的样本空间，r 是一个参数集，若对于 每一个t t ，都有随机变量x ( t ，国) ，国q 与之对应，则称依赖于r 的随机变量x ( t ，出) 为随机过程。大多数的随机变量( 例如公司股票价格) 的变化都是连续时间的随机过 程，本文考虑的是连续时间的随机过程。 在金融领域中，马尔可夫性( 马尔可夫过程( m a r k o v p r o c e s s ) 的所有未来值的概率 只取决于其当前值，而不受该过程在过去的取值或其他当前信息的影响，即过程的当 前值就是作出其未来值最佳预测中所需的全部信息) 是描述标的资产运动的重要特性 之一，因此标的资产的行为模型通常用著名的维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 来表达。维纳 过程是马尔可夫过程的一种特殊形式。 我们可以用维纳过程的增量出定义种随机过程依藤过程( i t op r o c e s s ) ，依藤 过程的表达式为 9 华中科技大学硕士学位论文 d x = a ( x ，r ) d t + b ( x ，t ) d z( 2 1 ) 其中r 为时间，x ( ，) 为标的资产的价格，为了方便书写记为x ，文中标的资产的价 格x 都是关于f 的函数，d ，b 为变量z 和f 的函数。 物理学中用于描绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动，称为布朗运动( b r o w n i a n m o t i o n ) ，在金融理论中应用最为广泛的随机运动就是几何布朗运动，其表达式为 d x = a x d t + o x d z ( 2 2 ) 其中t 2 和盯为常数。 几何布朗运动常用于构造股票价格、证券价格、利率价格、产品价格以及其他经 济和金融变量的模型。在很多文献的模型中的标的资产还可以在几何布朗运动的基础 上变动，从而产生更加复杂的随机过程。 除了最常用的几何布朗运动外，可以很好地模拟风险资产的特性的过程还有均值 返回过程和跳跃过程。 对于铜、原油等原材料的价格可以用几何布朗运动来模拟，但是这些价格以某种 方式与长期边际成本相联系。言下之意就是尽管这资产在短期内会随机地上下波动， 但从长期来看，资产价格将会回到该资产的边际成本。这样的资产价格满足均值返回 ( m e a n r e v e r t i n g ) 过程。 最一般的均值返回过程可以用下式来表示： d x = 叩( 夏一曲d t + o d e( 2 3 ) 式中r 为均值返回的速度； 为x 的正常水平，即该资产的长期边际成本。本文 后面章节将会考虑更为复杂的均值返回过程，而且随着资产价格的变化，其长期边际 成本也可以是关于均值返回速度的函数。均值返回过程可以刻画较长期的项目价值的 变化，较为符合经济变量在较长期发展的规律。 前面介绍的扩散过程都是处处连续的随机过程。但现实世界里，经济变量却常常 被看作是不频繁却离散跳跃的过程来建立模型。例如，新的竞争者进入一个企业很少 的市场时，价格往往会突然下降。一些经济变量或者资产会因战争等重大事件的影响， 其价格会发生较大的下降或上升。常见的描述跳跃现象的过程有泊松过程。泊松过程 是具有固定或随机跃度的跳跃过程，其中跳跃发生的时间服从泊松分布，这些跳跃常 称作“事件”。记g 为一泊松过程，五为事件的平均发生率，在无穷小的时间区间出上， 1 0 华中科技大学硕士学位论文 ：= = = = = = = = = = = = ；= = = ；= = = = ；= = = ；= = 自；= 幽以发生概率为2 d t 取0 ，以不发生概率为1 一a d t 取u 。对应依藤过程，我们将变量x 满足的泊松随机微分方程记为： d x = f ( x ，o a t + g ( x ，f ) 由 ( 2 4 ) 式中f ，g 为关于工，的非随机函数。 本文讨论了布朗运动迭加泊松跳跃的过程，其构造是基于布朗运动再增加泊松跳 跃项。这样构造的随机过程，大多数情况下都是连续的，当受到外界影响时，则发生 离散的跳跃，这较为符合客观的投资环境。 2 ) 依藤引理 依藤过程对时间是连续的，为了处理关于依藤过程的函数，并且希望求得函数的 导数，我们需要引用著名的依藤引理。对于依藤引理，我们可以近似地把它看做一种 泰勒展开式，假设x ( ，) 满足式( 2 1 ) ，设关于x 和t 的函数为f ( x ，f ) ，f ( x ，t ) 对x 至少是 二阶可微，对t 为一阶可微，则函数为f ( x ，f ) 对x 和f 的一阶微分为： 凹：堡d x + 堡d t ( 2 5 ) 西西 若假设展式也包括z 和t 的高阶微分，则 卵= 篆出+ 笪出+ 三窑( 2 + 一1 0 t2o x2 害o t ( 奶2 + 三6 尝o x ( - ( 2 6 ) 反 2、72、73、 、 。 当西趋于o 时，西的高阶无穷小将略去， 同时我们可以求得( a x ) 2 的表达式： ( 出) 2 = 口2 ( 茁，) ( 出) 2 + 2 口( x ，。) 6 ( e r ) ( 西) ：+ 6 2 ( x ，7 ) ( 出) 2( 2 7 ) = a 2 0 ，f ) ( 函) 2 + 2 a ( x ，t ) b ( x ，r ) ( 出) 2 + b 2 ，o a t 略去田高阶无穷小项可得 ( a x ) 2 = b 2 ( x ，o a t( 2 8 ) 对于( 出) 3 以及以后更高阶的表达式而言，其中每项关于出的阶数均大于1 ，因此 略去。 将出与( d x ) 2 代入d f 的展式中可得 华中科技大学硕士学位论文 d f = l 詈扣( 埘) 面a f + 圭砍叫) 警i d t + b ( x , t ) 罢出 ( z 9 ) 式( 2 9 ) 即为d f 的依藤展开式。 3 ) 无风险套利假设和风险中性定价原理 所谓套利就是指市场参与者瞬态进入两个或多个市场进行交易。获得一个无风险 收益的活动。无风险套利即假设金融市场上不存在无风险套利的机会。直观地理解， 无风险套利是指“天下没有免费的午餐”，即不需支付成本或承担风险就能获取收益 的机会在金融市场上是不会持续存在的；由于在金融市场上存在者许多套利者，使得 卖际上大多数金融市场的报价中仅仅存在极少数的套利机会。或者说，只要获取无风 险收益的机会一出现，就会因套利活动的存在而立即消失。因此，在给金融衍生证券 定价时，一般就假设不存在套利机会。 金融衍生证券是一种高风险的金融资产，因而确定该证券的风险价格则成为一个 关键问题。但由于金融衍生证券面临的风险往往十分复杂，很难进行精确的分析与度 量，通常的处理方法则是将风险的作用概括到一个变量中，通过某种代换，将风险世 界变为风险确定世界，此即所谓的“风险中性定价原理”。该原理认为：任何依赖于 标的资产价格的可交易金融衍生证券都可以在风险中性假设基础上进行定价。这就意 味着为了计算衍生证券的价格，可以假设：第一，所有证券的预期收益率都为无风险 利率；第二，未来现金流可以用其期望值按无风险利率折现来计算。 2 1 2 实物期权方法 1 ) 动态规划方法 动态规划方法是研究动态优化问题的一种常用的工具，而且在处理不确定性问题 时也非常有用。我们先通过一个多阶段的投资模型来理解动态规划的思路。 对于个多阶段模型，在任意两阶段之间的贴现因子为( 卢为折现率) 。1 = 7 l + 口 题的目标是在时间上选择一系列的控制变量k ( 每一阶段企业都面i 临选择，这里的 控制变量u 。表示企业在时间f 可以选择立刻投资或者等待，虬是一个二元标量，等于1 表示立刻投资，等于0 表示等待) ，使收益的期望净现值最大化。假设当前时刻为f ， 状态为x ，我们用e ( x ，) 表示企业从这一点开始最优地作出全部决策的结果，即企业 1 2 华中科技大学硕士学位论文 的全部现金流的预期净现值，若决策在某一时间t 终止，则最终回报函数为q ， ，) 。 动态规划的基本思路是将决策过程分为两个部分：即刻阶段和后续阶段。当企业选择 控制变量“，在当前状态x ，它所得到的即期现金流为t ( x ，u t ) 。在下一阶段状态x 。， 最优决策产生的结果为只+ ，( + ，) 。在时刻t 看来，f + 。( z 。) 是随机的，取其期望值 e 【f + 。( 一+ 。) 】。 折现到f 时刻，即期现金流和该连续价值之和为： 7 ，( 一，“，) + j 二巨 只+ 。( x f + 1 ) 】 ( 2 1 0 ) i + 口 企业将选择u ，使价值最大化，并且即期现金流和该连续价值之和刚好等于f 时刻 最优决策的结果，即 胁弘警h ) + 击e 【( 】 ( 2 1 1 ) 上式右边第一项为即期收益，第二项为连续价值，该阶段的最优决策是使得这两 项之和最大化的决策，在动态规划中，该式称为贝尔曼( b e l l m 础方程，或者是最优化 基本方程，用贝尔曼最优化原理的解释为：一种最优决策有下述性质，无论初始行为 怎样，剩余决策组成一个以初始行为的结果为初始状态的最优决策。 对于多阶段的问题具有固定的有限期界丁，动态规划的思想是从最后一个时刻向 村分析，因此可以知道丁一1 时刻的价值函数 。“) - 群卜( x t - 1 “t - i ) + 南驯q 小棚 ( 2 1 2 ) ”r i i + 力l 接着我们可以求“。的最大化问题，并导出价值函数毋一：( x ，一：) ，依次倒推向前 求解价值函数。 由于在任何阶段的选择都是二元标量：要么取得最终回报而终止，要么继续到下 一阶段。“停止”则对应着作出投资，“继续”则对应着继续等待，将一与x t + 。记成一 般形式x 和z 。，石( x ) 为利润流