（岩土工程专业论文）论对称与非对称的biot固结有限元方程组的一致性.pdf

摘要 摘要 b i o t 从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变 形相互关系的三维固结方程，一般称为b i o t 固结方程，它是土力学中的基本 方程。但是由于用解析法求解b l o t 固结方程在数学上存在着很大的困难，在 实际工程中对b i o t 固结方程的求解多采用数值解法，其中最为常用的是有限 单元法。用有限单元法解b i o t 固结方程，其最终结果可以归结为在一定的初 始条件和边界条件下对线性方程组的求解问题。 不过目前对这一线性方程组系数矩阵的认识还存在着不同观点，主要表现 为s a n d h u 等人给出的b i o t 固结有限元方程组的系数矩阵为对称矩阵，而朱 伯芳等给出的b l o t 固结有限元方程组的系数矩阵为非对称矩阵。从表面看 来，对称与非对称的两种系数矩阵之间存在着很大的矛盾。但是，对同一个问 题，如果采用两种不同的方法( 假定这两种方法都是正确的) ，那么得到的结 论应该是相同的( 或存在一定的关系) 。 本文从虚位移原理出发，论述了对称与非对称的b i o t 固结有限元方程组 间的致性。从推导的中间过程可以看出，对称与非对称的b i o t 固结有限元 方程组系数矩阵之间的不同是由于对平衡方程中与孔隙水压力有关的项处理 方式不同引起的。非对称的b l o t 固结有限元方程组在推导过程中只对与有效 应力有关的项进行了分部积分而没有考虑与孔隙水压力有关的项；对称的 b l o t 固结有限元方程组在推导过程中对与有效应力和孔隙水压力有关的项同 时进行了分部积分。相应的结点力的意义也不相同，非对称的b i o t 固结有限 元方程组中的结点力为除孔隙压力外其它荷载引起的结点力，而对称的b i o t 固结有限元方程组中的结点力为总应力引起的结点力。如果对孔隙水压力有关 的项进行分部积分，则非对称的b i o t 固结有限元方程组的系数矩阵就转化为 对称的系数矩阵。 关键词：b l o t 固结有限元方程组：对称与非对称；一致性 a b s t r a c t _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ a b s t r a c t t h eb i o t sc o n s o l i d a t i o ne q u a t i o ni s ab a s i ce q u a t i o ni ns o i lm e c h a n i c st h a t r e f l e c to nt h ec o r r e l a t i o no fd i s s i p a t i o no f e x c e s sp o r ew a t e rp r e s s u r ea n dd i s t o r t i o n o fs o i if r a m e w o r ki nt h ec o n s o l i d a t e dp r o c e s sw eu s u a l l ya p p l yt h en u m e r i c a l m e t h o dt or e s o l v et h e b i o t sc o n s o l i d a t i o n e q u a t i o n i n p r a c t i c ee n g i n e e r i n g p r o b l e m sb e c a u s et h ea n a l y t i c a lm e t h o d i sv e r yd i f f i c u l t ，a n dt h eg e n e r a l l ya p p l i e d n u m e r i c a lm e t h o di st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt h eu l t i m a t er e s u l tg e tb yr e s o l v i n g l i n e a r e q u a t i o n s i ni n i t i a t e da n db o u n d a r yc o n d i t i o n sw h e na d o p t i n gt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o dt or e s o l v et h eb i o t sc o n s o l i d a t i o ne q u a t i o n b u tt h e r ea r cd i f f e r e n t v i e w p o i n t sa b o u tt h e c o e f f i c i e n tm a t r i xo fb i o t s c o n s o l i d a t i o nf i n i t ee l e m e n te q u a t i o n 。f o re x a m p l e ，t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xs h o u l d b eas y r r m l e t r i c a im a t r i xa c c o r d i n gt ot h ev i e w p o i n to fs a n d h uw h i l et h ec o e f f i c i e n t m a t r i xs h o u l db ea na s y m m e t r i c a lm a t r i x a c c o r d i n g t ot h ev i e w p o i n to fz h u b o - f a n g i t se v i d e n tt h a tt h es y m m e t r i ca n da s y m m e t r i cc o e f f i c i e n tm a t r i x e sa r e d i f f e r e n t b u tf o rt h es a m e p r o b l e m ，i fa d o p tt w od i f f e r e n tm e t h o d s ( s u p p o s i n gt h e t w om e t h o d sa r eb o t hr i g h t ) ，t h ec o n c l u s i o ns h o u l db es a m e ( o re x i s tc e r t a i n r e l a t i o n s ) t h e c o n f o r m a b i l i t y o fb l o t sc o n s o l i d a t i o nf i n i t e e l e m e n t e q u a t i o n s i s d i s c u s s e da c c o r d i n gt ot h e p r i n c i p l eo f v i r t u a ld i s p l a c e m e n ti nt h i sp a p e r ，a n dw e h a v ef o u n dt h a tt h e s y m m e t r yo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo fb i o t sc o n s o l i d a t i o n f i n i t ee l e m e n te q u a t i o n si sd e p e n do i lt h ep a r t i a li n t e g r a t i o nt ot h ep o r ep r e s s u r e i t e mi nb i o t s e q u i l i b r i u me q u a t i o n s w h e nt h e r ei sn op a r t i a li n t e g r a t i o nt ot h e p o r ep r e s s u r e i t e mi nb i o t s e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s ，i t w i l lb e g e t t h e n o n s y m m e t r i c a lc o e f f i c i e n tm a t r i x aw h e nt h e r ei sa p a r t i a li n t e g r a t i o nt ot h ep o r e p r e s s u r e i t e mi nb i o t s e q u i l i b r i u me q u a t i o n s ，i t w i l lb e g e t t h es y m m e t r i c a l c o e f f i c i e n tm a t r i x ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gn o d a ll o a dh a sd i f f e r e n t m e a n i n g 。i f t h e n o d a ll o a di s d i s p o s e di n t h es a m ew a y ，i tw i l lb eg e tt h ec o n f o r m e db i o t s c o n s o l i d a t i o nf i n i t ee l e m e n te q u a t i o n s k e yw o r d s ：b l o t sc o n s o l i d a t i o nf i n i t ee l e m e n te q u a t i o n s ：s y m m e t r i ca n dn o n s y m m e t r i c c o n f o r m a b i l i t y j ! 塞窒望奎兰堡主兰堡堡苎一一 绪论 1 - 选题的背景 士力学是以实验和经验为基础，以土力学理论和计算为主要支柱，以复杂 材料为对象的- - n 学科，它不仅涉及到了弹性力学，塑性力学，流变学，地质 学，矿物学，化学，数学等多种学科，而且视其环境条件，还会与水文地质学， 地震工程学，流体动力学等许多学科发生密切的关系同时还受到各种工程材 料和旋工技术等的影响，我们面对的往往是具有某一工程性质的土体。在土力 学中，大家最为熟悉的是饱和土。土力学中的许多基本概念都是以饱和土为例 提出的，有关饱和土的理论贯穿了整个古典土力学发展的历史，而饱和土的固 结和压缩在土力学学科中更是占有重要位置，是土力学中的一个重要课题。 饱和土体或部分饱和土体，当应力状态改变时，土体积逐渐压缩f 应力解 除时为膨胀) ，同时部分水量从土体中排出，外加压力相应的从孔隙水( 与气) 传递到土骨架上，直至变形达到稳定为止。士的这一变形的全过程，称为固结。 固结速率取决于土体排水的速率，并且是时间的函数。在固结过程中，土体积 的改变只依赖于土中的有效应力，两者之间的关系称为土体的压缩，基本上与 时间无关。 固结与压缩对土的工程性状有重要影响，与土工建筑物和地基的渗流、稳 定和沉降等问题都有密切联系。例如，由于体压缩，它的渗透性减小；伴随 着固结过程，土体内的粒间应力不断改变，使土的强度相应变化：土体的压缩 导致建筑物地基下沉，直接影响上层结构的使用条件和安全。 饱和土体的固结理论是由太沙基( t e r z a g h i ) ：j ：1 9 2 5 年首先提出的。它建立 在许多简化假设的基础上：土骨架是线弹性变形材料：土孔隙中所含不可压缩 流体按达西定律沿单方向流动引起单向压缩变形，等等。故这一理论常称为单 向固结理论。后来，经太沙基与伦杜立克( r e n d u l i c ) 发展，得到太沙基伦杜 立克扩散方程，可以考虑三向排水时的单向压缩，其中假设了固结过程中总应 力为常量。不过，由于太沙基伦杜立克固结理论没有考虑土骨架变形与孔隙 水压力消散之间的相互关系，故是不完全的固结理论，一般称为拟三维固结理 论，它仅在一维情况下是精确的。b l o t 在1 9 4 1 年考虑了应力场和渗流场的耦 合作用，推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方 程，一般称为真三维固结理论，也就是通常说的b i o t 固结方程。1 9 5 6 年又把 这一理论推广到动力问题，从而完成了弹性孔隙介质变形理论的基本框架。 北京交通大学硕士学位论文 b i o t 固结理论虽然建立起来了，但是由于b l o t 理论将变形与渗流结合起 来考虑，使得固结方程的数学求解大大增加了困难。仅就静力问题而言，在相 当长的时期内，人们只能求得个别情况下极为有限的解答，一直缺乏普遍有效 统一的解法。以后固结理论的发展，主要围绕假设不同土体材料的模式而得到 不同的物理方程展开的。此时，用数值方法求解b l o t 固结方程已显得十分必 要，不过这依赖于强大的数值计算工具的出现。 进入2 0 世纪6 0 年代中期以后，由于计算机在土木工程中的应用，数值方 法迅速发展起来了，其中最为通用的是有限单元法，它在数值计算中显示了强 大的生命力。与此相适应，b l o t 固结方程的数值解法也以有限单元法为基础， 迅速发展起来了。利用b i o t 固结理论，并借助计算机和有限单元法等数值求 解方法，可以广泛的解决各种实际工程的固结问题。 目前，对饱和土体固结与压缩的数值计算，尤其是当考虑孔隙压力消散与 土骨架变形相互关系的时候，一般都采用b i o t 固结有限元方程组进行计算。 不过，对b i o t 固结有限元方程组系数矩阵的认识目前却存在着两种不同观点， 文献【l 叫中给出的b i o t 固结有限元方程组的系数矩阵为对称矩阵：而文献口】中 给出的b i o t 固结有限元方程组的系数矩阵为非对称矩阵。文献 6 ( 2 0 0 1 年发表 于工程力学1 不仅认为b i o t 固结有限元方程组的系数矩阵应该采用非对称 的形式，而且指出“同一个问题由文献【1 j 与文献【6 】两种方法得到截然不同的两 个结果，可以肯定其中之一是有问题的”。这样，对b i o t 固结有限元方程组系 数矩阵的认识就存在了两种截然不同的观点，并且文献 6 的作者认为对称的系 数矩阵和非对称的系数矩阵之间存在着矛盾，认为其中之一是有问题的。鉴于 b i o t 固结有限元方程组是对饱和土进行数值计算的出发点，弄清对称与非对称 的b i o t 固结有限元方程组之间的区别和联系就显得十分必要，这就是作者在 本论文中想努力做到的，同时也是本文的选题背景。 2 b i o t 固结有限元方程组的研究现状 在得到b i o t 固结微分方程和相应的求解条件后，寻求该问题的定解问题 就成为我们关注的焦点。但是如前所述，能用解析法求得b i o t 固结微分方程 的解答的问题是极为有限的。对于大多数问题，由于其控制方程及求解条件的 复杂性或求解区域的不规则等，几乎不可能得到解析解，因此只能求助于另一 种求解途径和方法来得到近似解。有限单元法就是一种广被采用的数值解法。 有限单元法思想的提出可追溯到2 0 世纪4 0 年代，但是用有限单元法解 b l o t 固结方程却是桑德霍( s a n d h u ) 和威尔逊( w i l s o n ) ： ：1 9 6 9 年提出的，其推导 北京交通大学硕士学位论文 采用变分原理，得到了对称的b l o t 固结有限元方程组。随后，以b i o t 固结微 分方程为基础，用有限单元法求解各种固结问题就迅速发展起来了。 在利用有限单元法求解b i o t 固结微分方程时，首先要将求解的区域及其 边界面离散成有限个仅在结点处相联系的子域和面域，然后用单元的形函数作 为试函数项，单元的结点未知量作为待定系数来解控制该系统的线性方程组， 这些方程组就称为有限元方程。有限元方程的建立可以采用多种不同的方式或 方法，比如能量方法和加权残数法等，其中以虚位移原理最为简单方便。 对b i o t 固结有限元方程组的不同认识主要集中在对固结有限元方程组系 数矩阵是否对称的认识上，下面将分别介绍这两种有限元方程组的研究现状。 2 1 对称的b i o t 固结有限元方程组的研究现状 文献首先从b i o t 固结方程组出发，采用变分原理推导得到了对称的b i o t 固结有限元方程组列式，开创了用有限单元法分析固结问题的先河。我国利用 有限单元法计算土体的固结变形的文章出现在七十年代后期，沈珠江于1 9 7 7 年发表了用有限单元法计算软土地基的固结变形一文，以后在上个世纪的8 0 年代，国内很多人对有限单元法的基本原理进行了探讨，同时也进行了一些计 算。比如，龚晓南在1 9 8 1 年完成了软土地基固结有限元分析的硕士论文，谢 康和在1 9 8 7 年完成了有关砂井地基的数值分析与优化设计的博士论文。进入 9 0 年代，计算技术有了很大的进步，计算机的应用得到了普及，这大大推动 了有限元法的研究和应用。在近几年来，在土木工程的有限单元法方面，出版 了一些书籍，比如文献【3 “，里面对b i o t 固结有限元方程组的系数矩阵也用的 是对称的形式。不过这些文献中叙述的多是基本内容，缺乏有利通用的有限元 程序，不易为般的工程技术人员所掌握。所以，即使对于采用对称的系数矩 阵的b l o t 固结有限元方程组的具体应用也处在不断的发展中，有针对性的编 制面向工程的应用软件已经是很迫切的任务了。 2 2 非对称的b i o t 固结有限元方程组的研究现状 对非对称的b i o t 固结有限元方程组有限元列式的研究起步较晚，主要体 现在文献i 5 - 6 中，上述文献中给出的b l o t 固结有限元方程组的系数矩阵为非对 称矩阵。出现非对称矩阵的原因，文献【6 】认为这可能与对边界条件的处理有关。 对于非对称的系数矩阵的研究，将是本文要继续的工作，也是本文的一个重点 内容。 j ! 塞窒望奎堂堡主兰垡笙苎 一 一 3 本论文的研究内容 本文的主要工作是在推导b i o t 固结有限元方程组的过程中，找到对称的 b i o t 团结有限元方程组系数矩阵和非对称的b l o t 固结有限元方程组系数矩阵 之间的关系，从而对b i o t 固结有限元方程组的认识也可变得更为明确。 本文共分四章： 第一章介绍b i o t 固结理论的基础知识，包括b i o t 固结方程组的建立过程， 总应力分析的b l o t 固结方程组和有效应力分析的b i o t 固结方程组及这两种情 况下的边界条件，以便为b i o t 固结有限元方程组的推导奠定基础。 第二章的内容主要包括对称和非对称的b i o t 固结有限元方程组的推导过 程，推导采用虚位移原理，这是本文的重点。 第三章的内容主要包括三角单元的分析步骤及单元位移模式及单元刚度 矩阵等基础知识。 第四章的主要内容是将对称的b i o t 固结有限元方程组和非对称的b l o t 固 结有限元方程组进行比较，找出这两种情况下b i o t 固结有限元方程组系数矩 阵的关系，并结合前人的工作给出一个例子，这是本文的主要结论部分。 参考文献 f 】r s s a n d h u & e l w i l s o n f i n i t e e l e m e n tm z a l y s i so fs e e p a g ei n e l a s t i cm e d i a j e m d a s c e ，v 0 1 9 5 ，n o e m 3 ，1 9 6 9 f 2 】钱家欢，殷宗泽土工原理与计算( 第二版) ，中国水利水电出版社，1 9 9 6 【3 】龚晓南土工计算机分析中国建筑工业出版社，2 0 0 0 4 】谢康和，周健岩土工程有限元分析理论与应用科学出版社，2 0 0 2 5 】5 朱伯芳有限单元法原理与应用( 第二版) 中国水利水电出版社，1 9 9 8 ( 6 】陈庆中对b i o t 固结方程的再认识工程力学，2 0 0 1 ，1 8 ( 6 ) ：1 2 4 1 3 3 7 黄传志多维太沙基固结方程的求解岩土工程学报，1 9 9 1 ，1 3 ( 1 ) ：3 4 - 4 7 【8 】黄传志，肖原二维固结问题的解析解岩土工程学报，1 9 9 6 1 8 ( 3 ) ：4 7 5 4 9 b l o tm ag e n e r a lt h e o r yo f t h r e e - d i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o n ，j a p p l p h y s 1 9 4 i ，1 2 1 5 5 1 6 4 【1 0 b i o tma t h e o r yo fp r o p a g a t i o no fe l a s t i cw a v e si naf l u i ds a t u r a t e dp o r o u ss o l i d j a c o u s t s o co f a m e r i c a ，1 9 5 6 ，2 8 ：1 6 8 1 9 1 【1 1 鹫津久一郎弹性和塑性力学中的变分法科学出版社，1 9 8 4 d 北京交通大学硕士学位论文 1 2 1 胡海昌弹性力学的变分原理及其应用科学出版社，1 9 8 0 f 1 3 1 钱伟长广义变分原理知识出版社，1 9 8 5 1 4 郊颖人，龚晓南岩土塑性力学基础中国建筑工业出版社，1 9 8 9 1 5 朱百里，沈珠江计算士力学上海科技出版社，1 9 9 0 【1 6 】沈珠江用有限单元法计算软土地基的固结变形水利水运科技情报，第1 期，1 9 7 7 f 1 7 谢康和砂井地基一崮结理论，数值分析与优化设计浙江大学博士学位论文，1 9 8 7 1 8 龚晓南高等土力学浙江大学出版社，1 9 9 6 【1 9 沈珠江理论土力学中国水利水电出版社，2 0 0 0 北京交通大学硕士学位论文 第一章b i o t 固结理论 1 1 概述 饱和土体或部分饱和土体，当应力状态改变时，土体积逐渐压缩( 应力解 除时为膨胀) ，同时部分水量从土体中排出，外加压力相应的从孔隙水( 与气) 传递到土骨架上，直至变形达到稳定为止。土的这一变形的全过程，称为固结。 固结速率取决于土体排水的速率，并且是时间的函数。在固结过程中，土体积 的改变只依赖于土中的有效应力，两者之间的关系称为土体的压缩，基本上与 时间无关。随着土体的固结，土体的压缩变形和强度逐渐增长。因此，土的固 结是土力学中最根本的课题之一。 饱和土体的固结理论是太沙基( t e r z a g h i ) 于1 9 2 5 年首先提出的，一般称为 单向固结理论，它只在一维情况下是精确的。后来，经太沙基与伦杜立克 ( r e n d u l i c ) 发展，得到三相固结方程，也称之为太沙基一伦杜立克扩散方程， 可以考虑三向排水时的单向压缩，其中假定了固结过程中总应力为常量。b i o t 进一步研究了三向变形材料与孔隙水压力的相互作用，导得比较完善的三向固 结方程，一般称为b i o t 固结方程。但是，由于b i o t 理论将变形与渗流结合起 来考虑，使得固结方程的数学求解大大增加了困难，至今仅得到个别情况的解 答。在实际工程中对b i o t 固结问题的解答，多采用数值方法，目前主要借助 计算机和有限单元法来实现。用有限单元法对b i o t 固结问题的求解，最后可 以归结为对b i o t 固结有限元线性方程组的求解。不过，对此线性方程组系数 矩阵是否是对称矩阵的问题上，目前还存在着争议，解决这个问题，是本文研 究的方向。本章将介绍b i o t 固结理论，作为研究b i o t 固结有限元线性方程组 系数矩阵的基础。 1 2b i o t 固结方程组的建立 b i o t 固结方程组的推导，要用到岩土工程中诸多基本方程，这些基本方程 包括土体平衡方程、物理( 本构) 方程、几何方程、有效应力原理、孔隙流体平 衡方程、连续方程等，b i o t 固结方程组由这些基本方程组合而成。 同时，b i o t 固结方程组的推导基于以下假定： ( 1 ) 土体是完全饱和的各向同性线弹性体。 j ! 皇至望查兰堡主兰堡丝茎 ( 4 ) 孔隙水相对于土骨架的渗流运动服从d a r c y 定律，其惯性力可不计。 ( 5 ) 应力应变的正负号法则与弹性力学相反。 1 2 1 土体平衡方程 天然饱和土体是由土颗粒( 固相) 和孔隙水( 液相) 组成的二相体。土颗粒相 互接触或胶结形成土骨架，而水则存在于土骨架内( 或颗粒问) 的空隙内。在荷 载作用下，土体中将产生应力，土骨架将发生位移或运动，而孔隙水在伴随士 骨架运动的同时还做相对于土骨架的渗流运动。 现取图1 1 所示符合右手法则的坐标系，考虑边长分别为d z 、dy 、d = 的土 微元体的平衡。 记“、v 、w 分别为微元体土骨架沿x 、y 、z 正方向的位移分量：在微元体上 作用的有总应力和体力。总应力有六个分量，即仃，、盯1 、盯= 、 - x 3 、r 。、r 。( 图 示应力分量均为正) ：体力方向向下，大小为昭( p 为土体密度，g 为重力加 速度) 。此外尚有孔隙水相对于土骨架的渗流运动惯性力，但根据假定( 4 ) ，该 项作用力忽略。 ：- ，7 一 ，7l ， 。!二一一一 fl l _ l ； p ； 图1 1 土体单元平衡图 北京交通大学硕士学位论文 由。方向力平衡方程c = o 有 整理即 “叫等出) 卜h v 警咖) 卜 + h v 警出肛= 。 孥+ 孕+ 蔓：o 融a 。玉 同理由= o 及c = o ，可得 挚+ 挚+ 堡：。 a l t瑟0 x 。 誓+ 冬+ 孥一偌：o 昆玉卸 方程( 1 1 a ) ，( 1 1 b ) 和( 1 1 c ) 可统一写成 孕+ + 监：。 m 却出 莘+ 孚+ 坠：。 甜跏d z 冬+ 冬+ 誓：店 苏却 玉 ” ( 1 1 a ) ( 1 1 b ) ( 1 1 c ) 方程( 1 1 ) 即为静力平衡方程 1 2 2 土体本构方程 土体的本构方程( 也称物理方程) 描述土骨架应力( 即有效应力) 与应变之间 的关系，其一般表达式为 扫 = 厂( s ) ( 12 ) 对于各向同性线弹性土( 简称均质土) 假定( 1 ) ，由广义h o o k e 定律可得到 i 磊忑忑i j 堕塑型型兰丝茎 相应的物理方程 鼻= b ，一p y + o r z = 喜b t ，一b ：+ a j 。) j r = = 吉b ：一p ，+ a ，) 】 7 7 n = f m g ，f57 l ：g ，= f “g ( 】- 3 ) 式中：p j _ 盯，d 、盯= r 廿，f 。r ，为土体有效应力矢量 斜= k e ，岛y 母，。，。p ，为土体应变矢量。 物理方程( 1 3 ) 可以写成以下矩阵式，即 ， = 陋m ( 1 4 ) 式中【d 】称为弹性矩阵，即 式中 d 1 d 2 d 2 o d 2 d l d 2 0 d 2 d 2 d 1 0 0 0 0 c ，3 0 00 0 00 00 00 00 00 0 0 d 3 0 0 d 3 ( i 5 a ) 耋以f 瑚 如2 南b2 稿= a s e ， 屯娟2 赢f ”2 s 2 踹= 五+ z 6一再刁= 罚刊铊6 9 ( 1 s c ) 北京交通大学硕士学位论文 式中e 、爿、g 、e s 、丑分别为均质土的弹性模量、p o i s s o n 比、剪切模量、 压缩模量和l a m 6 常数。基本弹性常数e 、“需由排水试验得到。 1 2 3 土体几何方程 描述应变分量s ，、5 ) 、二、y 习、y ，：、y 。与位移分量“、v 、“，之间关系 的数学表达式称为几何方程。根据小应变假定以及应变以压缩为正的约趔见 假定( 2 ) 和( 5 ) ，可得土体的几何方程 1 2 4 土体有效应力原理 ，1 fd“dv y m2 - _ + _ 、o ( ， f 们跏 y 、：2 一f _ + _ l 执 “ fd d “ 厂d2 - i _ + _ 、o z r i 6 、 有效应力原理描述土体中的总应力与有效应力、孑l 隙水压力以及孔隙气压 力之间的关系。对于饱和土体 假定( 1 ) ，有效应力原理由t e r z a g h i 首先提出， 该原理表明饱和土中任一点的总应力为该点有效应力与孔隙水压力之和，其数 学表达式为 吒2 盯z + ，1 盯y2 盯y + p ( 1 7 ) 仃；= 仃z + pj 式中p 为土体中的孔隙水压力，简称孔压。 1 2 5 孔隙流体平衡方程 建立土体平衡方程( 1 1 ) 时是将土颗粒和孔隙水合二为一来考虑的，即将土 体作为整体来研究。建立孔隙流体平衡方程则将土体按水力学中的渗流模型来 研究，即认为渗流区内全部空间场被流体所充满，不存在土骨架，仅考虑土骨 架对渗流运动施加的阻力。 在渗流区取如图1 2 所示的微元体，该微元体被流体( 孔隙水) 所充满，同 觎一玉加一旁咖一昆 一 | _ = i i 鼻 勺 巳 北京交通大学硕十学位论文 时流体以流速、，、r 、，：作相对于土骨架的渗流运动。一般情况下，渗流的 流速很小，1 1 1 l l k 渗流惯性力可忽略不计 假定( 4 ) 。故需考虑的作用于微元体上 的力有：孔压p ；重力引起的体力p 。g ( p 。为水的密度) ；土骨架对孔隙水所 施加的渗流阻力l 、厂、正，作用方向与渗流方向相反。 图1 2 孔隙流体平衡图 i i t r 丰i - ，渗流阻力f = p 。g i ( f 为水力坡度) ，故有 f x = p w g i x = p w g j y 2 p w 舀y 2 p w g 瓦v y l 2 p w g i z 。眦考 式中k h 、k 。分别为土体的水平向和竖向渗透系数。 先考虑x 方向力的平衡，由c = 0 ，有 ( 1 8 ) 北京交通大学硕士学位论文 r，、 ”罢出j j 触一厶雄一。 另由，= 0 和e = 0 可得到与此类似的两个方程。将式( 1 8 ) 代入这 三个方程并化简整理得 _ c p + p 。g k h 宴+ p w g 0 1 k c 曰 、一 + p 。，g c ： 定 o = 0 = 0 f 1 9 ) 式( 1 9 ) 即为孔隙流体平衡方程，也即著名的d a r c y 定律，对均质土有“= 女、= 女， 女为均质土的渗透系数。 1 2 6 渗流连续方程 渗流连续方程是由同一时间内流出土微元的水量等于该微元体积的变化 量这连续条件来建立的。 图1 3 渗流示意图 北京交通大学硕士学位论文 现取图1 3 所不土微兀体，记q ，、g rg = 分别为单位时l 司内通过与t 、j 、 = 垂直的平面的渗流量，则有 q ，= v ，4 v d ： 旷= 。v 捌s d z d x 1 0 ) 时间内从微元体流出的( 净) 水量q 为 q 2 陋+ 警出 鸭+ 一+ 等西， 玛+ i + 罢出 吨卜 = f 等出+ 警妙+ 等出 ， 将式( 1 1 0 ) 代入上式，即得 q = f 鲁+ 挈c w + 誓1 一咄 i 甜晚j m 时间内微元体体积的变化量a v 为 a v 2 。d x 由d z 式中。为土体的体应变，即 ( 1 1 2 ) 铲：一隆考+ 老 由连续条件，a _ _ q o ：坐，得 等+ 等+ 竺0 z = 旦0 t 侩0 x + 考+ 老 n ，。， 教 却i却如j ”。一7 此即渗流连续方程 1 2 7 总控制方程 n n n n 方n ( 1 3 ) 、几何方程( 1 6 ) 及有效应力原理( 1 7 ) ，可将平衡方程( 11 ) 以位移分量“、v 、w 和孔压p 表示为 ! ! 塞銮望奎兰堡主堂堡堡塞 d ，萨3 2 u 呐( 乎十窘 + p z 捣) ( 嘉+ 恚卜罢2 。 d 。窘喝( 窘+ 窘 + p ：码) 毫+ 塞卜万o p = 。 d ；害怕 軎+ 守卜z 怕) ( 嘉+ 筹 - 老+ 熙= 。 ( 11 5 ) 将流体平衡方程( 1 9 ) 代入方程( 1 1 4 ) ，可得以位移分量和孔压表示的均质 土的连续方程，即 t ( 警+ 害+ 害j 峨g 言 塞+ 多十喜j o 强z s ， 方程( 1 1 5 ) 和方程( 1 1 6 ) 即为均质饱和土的b l o t 静力固结方程，它由四个 微分方程组成，含位移分量u 、w 和孔压p 共四个未知数，故一旦根据实 际问题确定了求解条件( 即边界条件和初始条件) ，就能求得相应的解。但用解 析法求解相当困难，除极少数简单问题外一般需用数值解法，现在多用有限单 元法求解。 1 3 总应力分析法和有效应力分析法 岩土工程中最基本的两种分析方法是总应力分析法和有效应力分析法。 与此相应，岩土工程中的有限元法也可以分为总应力分析有限元法和有效应力 分析有限元法。1 9 6 6 年，c l o u g h 等首先将总应力分析有限元法用于土坝的应 力和变形分析。1 9 6 9 年，s a n d h u 和w i l s o n 用有限元法分析了b i o t 二维固结 问题，开创了岩土工程有效应力分析有限元法的先河。在国内，沈珠江( 1 9 7 7 ) 首先将有效应力分析有限元法应用于软土地基的固结变形分析。 对于土体，总应力分析法是将其视为固体来分析的。因此岩土工程中的 总应力分析有限元法与一般固体力学中的有限元法是相同的。有效应力分析法 则严格区分土体中分别由土颗粒骨架、孔隙水和孔隙气传递或承受的应力，并 考虑土骨架变形、孔隙永压力消散和孔隙气压力消散三者的耦合作用，因而比 总应力分析法更接近实际，但远较之复杂。对于岩体，因其本身可视为固体， 故与之相应的分析只能是总应力分析。从有效应力原理出发，可将总应力分析 视为有效应力分析的种特殊形式。因此，总应力分析法也可视为有效应力分 析有限元法的一种特殊形式。 北京交通大学硕士学位论文 1 。3 。1 总应力分析法及其控制方程 在总应力分析法中，土体被视为固体，不考虑土中渗流，不区分土单元中 分别由土颗粒骨架和孔隙水传递或承受的应力( 即有效应力和孔隙水压力1 ，雨 仅考虑土单元整体所承受的应力( 即总应力) 。因此，就基本理论而言，岩土工 程中的总应力分析法与一般固体力学相同，总应力分析有限元法也与般固体 力学中的有限元法无别。 从应用上来说，总应力分析法一般用于不考虑渗流固结的情况，例如饱和 粗粒土地基，强透水性土料组成的土坝的应力和变形分析以及饱和软粘土地基 短期变形和稳定分析。 既然总应力分析法不考虑土中渗流，是将土体作为固体来分析的，因此总 应力分析不必建立流体平衡方程和渗流连续方程，控制方程只需要由平衡方 程、物理方程和几何方程组合即得到，方程中的未知数也不含孔压p 。 现推导总应力分析的b l o t 静力固结方程，同时考虑到与体力相应的应力 和变形一般均产生于分析前，故不计体力。 于是，土体的平衡方程( 11 ) 变为 ( 1 1 7 1 p 】7 p = 0 ( 1 1 8 ) 式中p = kq r 砂r fr 。p ，为总应力矢量。 p r = 旦o 0 旦 0 0 o 旦 咖 0 旦 锻 旦o 。= 】5 o 旦 0 2 旦。 甜o x f 1 。1 9 ) = i i i i 篮昆鱼缸鳖妙 + + + 蔓砂笠出蔓舐氓卜奄堕砂唬i 即式阵矩成 写 北京交通大学硕士学位论文 由于总应力分析中物理方程表达的是土体总应力与应变之间的关系，故与 式( 1 - 3 ) 和式( 14 ) 所示的物理方程表达的意义不同，其形式与弹性力学的广义 h o o k e 定律完全相同，即 = b ，一一b ，十吐 6 y = 去b 广卢( 盯= 岷) s = = b ：一b ，+ ql y 。妄舄g y j _ 2 f f g y = r g 其矩阵式为 扫 - d 船 式中矩阵f d 】见式( 1 5 ) 。 总应力分析中的几何方程仍如式( 1 6 ) 所示，写成矩阵式即 扫) = 一p 】( 厂 式中厂 = k v w 】7 ，为位移矢量。 ( 1 2 0 1 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 将几何方程( 1 6 ) 代入物理方程( 1 2 0 ) ，再代入平衡方程( 1 1 7 ) 即得以位移表 示的总应力分析法典型的控制方程 其中系数函、d 2 、d 3 见式( 1 5 b ) 。 控制方程( 1 2 3 ) 也可以写为 喝 ( 等+ 割= 。 坞慨+ 剽= 。 呐慨+ 剖= 。 ( 1 2 3 ) 也 池 也 习习、兰刳封刳 一2 v 一2 w 一2 扩锣铲蠡萨反 飞弋弋 “2 v 2 中： 如一舻挑一矿挑一舻 北京交通火学硕士学位论文 g v 2 “一( 五十g ) 警= o 0 xl g v 2 v _ 似十6 ) 堕：o (1“)0 y g v 2 w - - ( 丑+ g ) 粤：ol 晚j 此即弹性力学中的l a r n e 方程。其中 v 2 ：乓十乓+ 竺 。 砂 应一 称为微分算予； r a “a va ，- 氐2 o c x ，：一l i + 百+ i 称为体应变； 五、g 为l a m 6 常数和剪切模量，见式( 1 5 b ) 。 利用方程式( 1 1 8 ) 、( 1 2 1 ) 牙4 1 ( 1 2 2 ) ，尚可将方程( 1 2 3 ) 表示为 p 九d p = 0( 1 2 5 ) 此即以矩阵形式表达的总应力分析法控制方程。 比较方程式( 1 1 5 ) 和( 1 2 3 ) 可以发现，总应力分析法控制方程( i 2 3 ) 就是当 孔压p = 0 且不考虑体力时总控制方程( 1 1 5 ) 的特殊形式。另外，此时总控制方 程( 1 1 6 ) 变为= = 0 ，表明土体体积变化与时间无关，仅考虑瞬时荷载作用， 7 这与前述的总应力分析法不考虑土中渗流是致的。 1 3 2 有效应力分析法及其控制方程 与总应力分析法不同，在有效应力分析法中，土体中的有效应力和孔隙水 压力( 以下简称孔压) 被严格区分，并将士骨架变形与孔隙水的渗透( 或孔压的消 散) 同步考虑。因此，有效应力分析法较总应力分析法能更真实的反映土体的 自身特性，能更合理的计算土体对荷载的响应，应用范围也更广泛。 但在另一方面，有效应力分析法较总应力分析法复杂，工作量也更大。例 如，就建立相应控制方程所需的基本方程而言，总应力分析法只需要平衡方程、 17 物理方程、几何方程，而有效应力分析尚需要有效应力原理和连续方程：就控 制方程中的未知变量及属性而言，总应力分析法控制方程中只有位移变量且仅 与空间有关，而有效应力分析法控制方程除位移变量外还有孔压变量，而且与 时间和空间都有关；就计算量而言，总应力有限元的未知量只是结点位移，而 有效应力有限元分析的未知量尚含结点孔压( 或水头) 。 设土体的渗透系数为常数且不计体力，此时孔压p 即为超静孑l 压：土体平 衡方程与方程( 1 1 7 ) 相同：物理方程与方程( 1 4 ) 相同，其中p j 矩阵见式( 1 5 ) ； 几何方程和有效应力原理不变，即分别如方程( 1 6 ) 和( 1 7 ) 所示。合并此四方程 即得 d ，辜均 争+ 軎 + p ：垴) ( 嘉+ 塞 _ 罢= 。 d 。害怕 窘+ 窘 + 。：地) 嘉+ 毫 - 考= 。 d 害怕睁+ 雾 也怕) ( 象+ 茜 _ 考= 。 另由d a r c y 定律，有 k o p v 。= 一 y 。o x 。：一土鱼 。 y 。o y 。：一土鱼 y 。c 2 式中，y 。= ph ，g ，为孔隙水重度。 将式( 1 2 7 ) 代入连续方程( 1 1 4 ) ，可得 去 吖窘+ 等+ 害 = 昙曙+ 考+ - 跏g - 方程式( 1 2 6 ) 矛t 1 ( 1 2 8 ) 即为著名的b i o t 固结三维静力方程 分析法典型的控制方程。 ( 1 2 6 ) f 1 2 7 ) ( 1 _ 2 8 ) 也是有效应力 北京交通大学硕士学位论文 渺m 怍鲁= 詈) ( 1 3 6 ) 将d a r c y 定律( 1 2 7 ) 及几何方程( 1 2 2 ) 代入上式，就得以位移和孔压表达的 连续方程的矩阵式 n 明网7 渺扣一昙m ) 7 i o l f = o ( 1 3 7 ) 方程式( 1 3 3 ) 和( i 3 7 ) 刚3 以矩阵形式表达的b i o t 三维固结方程。 1 4 三维固结问题的边界条件 b l o t 三维固结问题常见的边界条件有 ( 1 ) 位移边界条件，即某边界上位移已知。 例如对于固定边界，其上位移为零，则该边界条件可写成 “= 0r = 0 w = 0 ( 2 ) 应力边界条件，即某边界上面力已知。 设作用于边界上的面力沿工、y 、：三方向的分量( 以沿坐标轴正向为正) 分 别为c 、t ，该边界外法线与z 、y 、z 轴正向的夹角分别为a 、p 、y ，方 向余弦分别为，、m 、h ( ，= c o s 口，= c o s f l ，n = c o s