（基础数学专业论文）剩余格与基于剩余格的几类代数系统的关系.pdf

剩余格与基于剩余格的几类代数系统的关系 苏忍锁 摘要本文研究若干类逻辑代数系统包括m v - 代数、格蕴潘代数、f u z z y 蕴涵代 数、h e y t i n g 代数、b o o l e 代数、蕴涵格、风一代数等与剩余格的关系以及这些代 数系统相互之间的关系同时还研究风一代数的f u z z ym p 滤子、r l 型蕴涵与 f u z z y 推理的三i 算法等问题这些内容是非经典逻辑与f u z z y 推理研究中较为关 注的问题全文分四章，分别就这些问题进行了研究 在非经典逻辑中，由j p a v e l k a 引入的剩余格是一种非常重要而基本的代数结 构，也是当今较为流行的理论与方法但这一方法目前在国内似未普及，加之各种逻 辑代数系统如c c c h a n g 提出的m u 代数、由国内学者吴望名教授提出的f u z z y 蕴涵代数、徐扬教授提出的格蕴涵代数以及王国俊教授提出的r o 一代数等在定义形 式上存在很大差异，掩盖了它们与剩余格的关系以及相互之间的重要联系。给研究 者造成诸多不便因此，弄清以上各种代数与剩余格之间的关系对于把握它们相互 之间的关系有重要意义，这无疑会对今后的研究起到促进作用，本文第一章介绍了 剩余格的概念与基本性质，着重讨论了剩余格上如下三组重要的附加条件： c a ，窥竺：象- - - ，y - - - + y 卜z ) 、7 。v = ( z - )j ( b ) ( c ) y 篙蠹2 k 得y 。) 若茹，则存在；，使得= z o z j 扛- y ) v z ! ，vz o y - z ( y _ z ) = = 掣) = 扛y ) 这些条件附加在剩余格上可以得到一些重要的剩余格类如正规剩余格就是满足上 述全部附加条件的剩余格；b l 代数就是满足( b ) 、( c ) 组全部条件的剩余格； 次b l 一代数就是满足( c ) 组条件的剩余格，而满足( b ) 组条件的剩余格称为次正 规的本文系统研究并弄清了这些附加条件相互之间的关系，证明了它们中的每 条都蕴涵着分配性，从而知道了正规剩余格、次正规剩余格、b l 代数、次b l 代 数相互之间的关系，并且它们都是分配格 i 、，l， 、j、， 石 z 斗 一 o y ，l，l l v v 本文第二章分别讨论了m u 代数、格蕴涵代数、h e y t i n g 代数、f u z z y 蕴涵 代数、蕴涵格、b o o l e 代数、( 弱) 风代数与剩余格的关系，证明了m v 代数、格 蕴涵代数、正规f u z z y 蕴涵代数都是与正规剩余格等价的代数系统；弱r o 一代数是 与正则的次b l 代数等价的代数系统；b o o l e 代数是正规剩余格；h e y t i n g 代数 是次正规剩余格；得到了蕴涵格和正则f u z z y 蕴涵代数成为( 正则) 剩余格的充分 必要条件在本章最后一节，讨论了以上各类代数相互之间的关系 王国俊教授提出并研究了模糊逻辑命题演算的形式系统，并以一l i n d e n b a u m 代数为背景引入了与系统相应的风一代数关于凰一代数的滤子、理想与同余 关系的研究也已有一些成果出现本文第三章引入了风一代数f u z z ym p 滤子与 f u z z y 紊m p 滤子的概念，得到了风一代数的f u z z ym p 滤子与f u z z y 素m p 滤 子的若干等价刻画；由此又得到了蜀一代数的( 非f u z z y 的) m p 滤子与素m p 滤子 的一些等价刻画 本文第四章讨论了r l 型蕴涵与f u z z y 推理的三i 算法，给出了r l 型蕴涵与 正则l ：t l 型蕴涵的概念和特征；系统讨论了基于r l 型蕴涵的三i 算法、三im t 算法及其还原性，得到了这些算法的一般表达式以及它们为还原算法的一些充分条 件，同时指出基于正则r l 型蕴涵的三i 算法与三im t 算法的表达式具有对偶形 式 关键词；( 正规、正则、次正规) 剩余格；( 次) b e - 代数；( 弱) n o 一代数；m v 一 代数；格蕴涵代数；( 正则、正规) f u z z y 蕴涵代数；h e y t i n g 代数；b o o l e 代数； 蕴涵格；( f u z z y 、素) m p 滤子；( 正贝t j ) r l 型蕴涵；三i ( m t ) 算法；还原性 i i t h er 电l a t i o n sb e t w e e nr e s i d u a t e dl a t t i c ea n ds e v e r a l a l g e b r a i cs y s t e m sb a s e d o nr e s i d u a t e dl a t t i c e s ur e n s u o a b s t r a c t ：t h i sp a p e rd i s c u s s e st h er e l a t i o n sb e t w e e nr e s i d u a t e dl a t t i c e sa n d s e v e r a la l g e b r a i cs y s t e m s ，s u c ha sm v a l g e b r a s ，l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a s ，f u z z y i m p l i c a t i o na l g e b r a s ，h e y t i n ga l g e b r a s ，b o o l e a na l g e b r a s ，i m p l i c a t i o nl a t t i c e sa n d r o a l g e b r a s ，e c t a sw e l la st h em u t u a lr e l a t i o n sa m o n gt h e s ea l g e b r a i cs y s t e m s f u z z ym p f i l t e r so f r o - a l g e b r aa n dr l - t y p ei m p l i c a t i o no p e r a t o r sa n dt r i p l e - - ia l g o r i t h mi nf u z z yr e a s o n i n ga r ea l s oi n v e s t i g a t e d io fw h i c hm u c ha t t e n t i o ni sp a i db y m a n y s c h o l a r si nt h ef i e l do fn o n c l a s s i c a ll o 舀ca n df u z z yr e a s o n i n g t h i sp a p e rc a n b ed i v i d ei n t of o u rc h a p t e r s i nn o n c l a s s i c a li o g i c ，r e s i d u a t e dl a t t i c ei n t r o d u c e db yj p a v e l k ai sn o to n l y a ni m p o r t a n ta n df u n d a m e n t a la l g e b r a i cs t r u c t u r e s ，b u ta l s oap o p u l a rt h e o r ya n d m e t h o dn o w a d a y s b u ti ts e e m st h a tt h i si n e t h o dh a sn o tb e e nt h i no u g h l ye m p l o y e d i nr e l a t e ds t u d i e sa tp r e s e n t f u r t h e r m o r e ，d e f i n i t i o n so fd i f f e r e n ta l g e b r a i cs y s t e m s ， s u c ha sm v a l g e b r a s ，p r e s e n t e db yc c c h a n g ，f u z z yi m p l i c a t i o na l g e b r a sb yw u w a n g m i n g ，l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sb y x u y a n ga n dr 0 一a l g e b r a sb yw a n g g u o - j a ne t c h a v ed i f f e r e n tf o r m s f o rt h i sr e a s o n ，t h er e l a t i o n sb e t w e e ne a c ho n eo f t h e s ea l g e b r a i cs y s t e m sa n dr e s i d u a t e dl a t t i c e a sw e l la st h e i ri m p o r t a n tm u t u a l c o n n e c t i o n sa r ev a g u e ，a n dt h i sb r i n g sm u c hi n c o n v e n i e n c et ot h es c h o l a r s t h e r e - f o r e ，i ti si m p o r t a n t f o rg r a s p i n gt h em u t u a lc o n n e c t i o n so ft h e s ea l g e b r a i cs y s t e m s t oc l a r i f yt h er e l a t i o n sb e t w e e ne a c ho n eo ft h e ma n dr e s i d u a t e d1 a t t i c e ，w h i c hw i l l p r o m o t et h er e s e a r c hi nf u t u r eu n d o u b t e d l y i nt h ef i r s tc h a p t e ro f t h i sa r t i c l e ，t h e c o n c e p t sa n dt h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fr e s i d u a t e dl a t t i c ea r ei n t r o d u c e d t h e f o l l o w i n gt h r e eg r o u p so fi m p o r t a n ta d d i t i o n a lc o n d i t i o n so nr e s i d u a t e dl a t t i c e ： ( a ) x ( 。v + y ! ，= ) ( x - ，2 y ) y + - - y ) , z z ) c b ，：芝怂裂删咖 m 恤帅：) i i i ( 石- y ) v ( y _ z ) = 11 ( c ) z _ y vz = ( z - y ) v ( = c ：- + z ) z a y _ z = 0 - y ) v ( y ；) j a r ed i s c u s s e d s o m e i m p o r t a n t r e s i d u a t e dl a t t i c e sc a nb eo b t a i n e di ft h e s ec o n d i t i o n s h a v eb e e na d d e dt or e s i d u a t e dl a t t i c e f o re x a m p l e n o r m a lr e s i d u a t e d1 a t t i c ei sa k i n do f r e s i d u a t e dl a t t i c es a t i s f i e da l lt h ea b o v ea d d i t i o n a l c o n d i t i o n s ；b l - a l g e b r a i sa k i n do fr e s i d u a t e dl a t t i c es a t i s f i e da l lt h ec o n d i t i o n si n ( b ) a n d ( c ) ；s u b b l a l g e b r a i sk i n do fr e s i d u a t e dl a t t i c es a t i s f i e dt h ec o n d i t i o n si n ( c ) ；ak i n do fr e s i d u a t e d l a t t i c ei sc m l e ds u b - n o r m a lr e s i d u a t e dl a t t i c ei fi ts a t i s f i e st h ec o n d i t i o n si n ( b ) i nt h i sp a p e r ，t h em u t u a lr e l a t i o n so ft h e s ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d s y s t e m a t i c a l l ya n dc l a r i f i e d i ti sp r o v e dt h a te a z h o n eo ft h e s ec o n d i t i o n si m p l i e s d i s t r i b u t i v i t y f u r t h e r m o r e ，t h em u t u a lr e l a t i o n s o fn o r m a lr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，s u b n o r m a lr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，b l - a l g e b r a sa n ds u b - b l a l g e b r a sa n dt h a tt h e ya r ea l l d i s t r i b u t i v e1 a t t i c ea r ek n o w n i nt h es e c o n d c h a p t e r o ft h i sp a p e r ，t h er e l a t i o n so fm v a l g e b r a s ，l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a s ，h e y t i n ga l g e b r a s ，f u z z yi m p l i c a t i o na l g e b r a s ，i m p l i c a t i o nl a t t i c e s ， b o o l e a na l g e b r a s ，( w e a k ) r o a l g e b r a sa n dr e s i d u a t e dl a t t i c e sa r ed i s c u s s e d ，r e s p e c t i v e l y i ti sp r o v e dt h a tm v a l g e b r a s ，l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a sa n dn o r m a lf u z z y i m p l i c a t i o na l g e b r a sa l la r ea l g e b r a i cs y s t e m se q u i v a l e n tt on o r m a lr e s i d u a t e dl a t r i c e s i ti sa l s op r o v e dt h a tw e a k r o a l g e b r a sa n dr e g u l a rs u b - b l a l g e b r a sa r ee q u i v a l e n t i ti sa l s op r o v e dt h a tb o o l e a n a l g e b r a i san o r m a lr e s i d u a t e dl a t t i c e ，a n dt h a t ah e y t i n g a l g e b r a si sas u b - n o r m a l r e s i d u a t e dl a t t i c e s t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n su n d e rw h i c hai m p l i c a t i o nl a t t i c eo rar e g u l a rf u z z yi m p l i c a t i o na l g e b r a i sa ( r e g u l a r ) r e s i d u a t e dl a t t i c ea r eo b t a i n e d i nt h el a s ts e c t i o no ft h i sc h a p t e r ，t h e m u t u a lr e l a t i o n so ft h ea b o v ev a r i o u sa l g e b r a sa r ed i s c u s s e d p r o f e s s o rw a n gg u o j u np r e s e n t e da n ds t u d i e dt h ef o r m a ls y s t e m + o ff u z z y l o g i cp r o p o s i t i o n a lc a l c u l u s t a k i n gt h ec + l i n d e b a u ma l g e b r a sa sb a c k g r o u n d ，h e e s t a b l i s h e d 风- a l g e b r a sc o r r e s p o n d i n gt o s y s t e m t h e r ea p p e a r s o m er e s u l t so n t h er e s e a r c ho ft h ef i l t e r s ；i d e a l sa n dc o n g r u e n c er e l a t i o n so f 硒a l g e b r a s i nt h et h i r d c h a p t e ro ft h i sa r t i c l e ，t h ec o n c e p t so ff u z z ym p f i l t e r sa n df u z z yp r i m em pf i l t e r s o fr 0 一a l g e b r a sa x ei n t r o d u c e d s o m ec h a x a c t e r i z a t i o n so ff u z z ym p f i l t e r s ；n l df u z z y p r i m em pf i l t e r so f 风- a l g e b r a sa r eo b t a i n e d f r o mt h e m ，s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n s o n ( n o n f u z z y ) m pf i l t e r sa n dp r i m em p f i l t e r so fr o a l g e b r a sa r ed e r i v e d i v i nt h ef o u r t hc h a p t e ro ft h i sa r t i c l e ，r l - t y p ei m p l i c a t i o no p e r a t o r sa n dt r i p l e - i a l g o r i t h mo ff u z z yr e a s o n i n ga r ed i s c u s s e d t h et r i p l e - ia l g o r i t h m 舢l dt r i p l e - im t a l g o r i t h mb a s e do i lr l - t y p ei m p l i c a t i o na n dt h e i rr e d u c t o ra r ed i s c u s s e ds y s t e m a t i c a l l y t h eg e n e r i ce x p r e s s i o n so ft h e s ea l g o r i t h m sa r eg o t a tt h es a l et i m e ，i t i sp o i n t e do u tt h a tt h ee x p r e s s i o n so ft r i p l e - ia l g o r i t h ma n dt r i p l e im ta l g o r i t h m b a s e do nr e g u l a rr l - t y p ei m p l i c a t i o na r ed u a l k e yw o r d s ：( n o r m a l ，r e g u l a r ，s u b n o r m a l ) r e s i d a n t e dl a t t i c e s ；( s u b - ) b l - a l g e b r a s ( w e a k ) r o a l g e b r a s ；m v - a l g e b r a s ；l a t t i c e i m p l i c a t i o na l g e b r a s ；( r e g u l a r ，n o r m a l ) f u z z y i m p l i c a t i o na l g e b r a s ；h e y t i n ga l g e b r a s ；b o o l e a na l g e b r a s ；i m p l i c a t i o nl a t t i c e s ；( f u z z y ， p r i m e ) m pf i l t e r s ；( r e g u l a r ) r l - t y p ei m p l i c a t i o n ；t r i p l e - i ( m t ) a l g o r i t h m ；r e d u e t o r v 引言 在非经典逻辑中，j p a v e l k a 引入的剩余格是一种非常基本的代数结构【1 1 研究 发现，许多具有逻辑背景的代数系统，如著名逻辑学家c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备性而引入的m v - 代数，由我国学者徐扬教授提出的格蕴涵代 数，由王国俊教授提出的风一代数，以及b o o l e 代数，h e y t i n g 代数等，虽然在 定义形式上存在很大差异，但都含有一个剩余格的代数结构而吴望名教授提出的 f u z z y 蕴涵代数则是比剩余格更广泛的一种逻辑代数系统 关于剩余格和上述各代数系统的独立研究已取得了许多成果，可参看文献【l 】- 【14 对于各代数系统之间的关系也有较多讨论，如文 17 讨论了h e y t i n g 代数成 为b o o l e 代数的条件，文【1 9 】证明了正规f u z z y 蕴涵代数与m v 一代数是等价的代 数系统，文【1 3 证明了格蕴涵代数与m v - 代数是等价的代数系统，文 1 8 】讨论了 m v 代数、b l 代数、凰一代数的关系及逻辑背景，文【2 0 1 讨论了h e y t i n g 代数 与f u z z y 蕴涵代数的关系，文【2 2 】证明了强正则剩余格与弱- 代数是相互等价 的代数结构等等只是上述对于各个代数系统之间关系的讨论是个别的，没有在一 个统一的框架下对这些代数系统之间的关系进行整体的系统的讨论，因而对各个代 数系统之间的联系与区别缺乏整体认识 本文第一章和第二章试图在剩余格理论的统一框架之下对各个不同代数系统 进行整体比较研究，弄清它们各自与剩余格的关系，进而掌握各个代数系统相互之 闻的关系我们的方法是，通过整体比较，找出在各个代数系统的定义或性质中出 现但在剩余格中未必成立的一些条件深入讨论，搞清这些( 相对于剩余格来说的) 附 加条件之间的相互蕴涵关系，从而使被掩盖着的各个代数系统与剩余格的关系以及 这些代数系统相互之间的关系更加明朗由于有许多学者的研究成果作为基础，我 们比较成功地达到了目的 这篇论文的第三章讨论风一代数的f u z z ym p 滤予m p 滤子( 也叫蕴涵滤 子) 不同于格滤子，在文【2 】和 2 5 中也把m p 滤子叫做推理系统关于m p 滤子 的讨论也有很多结果，可参看文献【2 7 卜 3 0 1 在本文中，我们引入了f 、l z z ym p 滤子 的概念，其目的在于用模糊数学的方法进一步研究m p 滤予事实上，由于”u z z y m p 滤子的引入也的确给讨论带来许多方便我们得到了凰- 代数的f u z z ym p 滤 子和f u z z y 素m p 滤子的若干等价刻画作为推论，也就得到了风代数的m p 滤 子和素m p 滤子的若干等价刻画运用这些讨论结果，我们比较方便地弄清了风一 单位区间的( 素) m p 滤子和f u z z y ( 素) m p 滤子的情况 在这篇论文的最后，我们讨论了基于r l 型蕴涵的三i 算法和三im t 算法及 其还原性关于由王国俊教授首先提出并研究的f u z z y 推理的三i 算法，可参看文 献 3 3 1 一【3 9 1 所谓r l 一型蕴涵，其实是指剩余格中定义的算子_ ，只不过剩余格的 承载集合为【0 ，1 】区间( 按自然序构成完备格) 我们给出了【o ，1 】上的一个二元运算 成为r l 一型蕴涵或正则r l 型蕴涵的充分必要条件。得到了基于r l 型蕴涵的三 i 算法和三im t 算法的表达形式和这些算法为还原算法的几个充分条件，并且给 出了基于正则r l 一型蕴涵的三i 算法与三im t 算法的对偶形式 第一章剩余格 1 1 剩余格与正则剩余格 定义1 1 1 【1 设p 是偏序集，o 与分别为p 上的两个二元运算，称( o ，_ ) 为p 上的伴随对，如果下列条件成立t ( 兄1 ) 圆：p p _ p 关于两个变量都是单调递增的； ( 兄2 ) 对任意z ，y ，z p xoy z 当且仅当z y z 命题1 1 2 若( ，- ) 为偏序集p 上的伴随对，则有 ( r 3 ) _ ：pxp - - + p 关于第一变量不增，关于第二变量不减 证明设z ，y ，z p ，z y 由y - - + zsy - z 及( r 1 ) 、( 兄) 可得( y - - - + z ) o zs ( y _ z ) 圆y ， ( y _ z ) oy z 。所以( y - - 4 = ) 固z z 于是由( r 2 ) 知y _ z z , - 2 z 再由z 叶z z _ x 知( z _ z ) o zs x 所以( z - - 4x ) oz y 从而由( 岛) 知z - - + x z - y 定义1 1 3 【1 】设( l ，a ，v ，0 ，1 ) 为有界格，其最小元为0 ，最大元为l ，o 与_ 均 为l 上的二元运算称( l ，v ，a ，o ，- - - + ，0 ，1 ) 为一个剩余格，如果( o ，_ ) 是工上的 伴随对，且( 厶o ，1 ) 构成以1 为单位元的交换半群，即对任何z ，y ，z l ，( r 1 ) ，( r 2 ) 以及下列条件成立： ( r 4 ) 如固y ) oz = 茹o ( y 圆z ) ； ( 风) z 圆y = y o z ( 风) 1 0 z = n 若l 是全序集，则进一步称剩余格( l ，v ，a ，o ，- - - 0 ，1 ) 为个剩余链 为便于应用，我们在下述命题中给出了剩余格的一些主要性质 2 命题1 1 4 1 4 】，i 6 ) 设( l v ，a ，圆，0 ，1 ) 为剩余格，石，y ，。l 则( r 1 ) 一( 风) 以及下列条件成立； ( r 7 ) z y _ ：当且仅当y z z ； ( r s ) 1 - z = 正； ( 岛) z o z = 1 ； ( r i o ) z - + y = 1 当且仅当正sy ； ( r ix ) 互_ ( y - 。) = 1 或zsy _ z ； ( 冗1 2 ) z _ ( y z ) = f _ 0 _ z ) ； ( r 1 3 ) z 叶y ( y _ z ) _ ( 茹- z ) ； ( r 1 4 ) z ys ( z - z ) 叶( z _ ! ，) ； ( r 1 5 ) zv s ( ( z - y ) 叶y ) a ( ( 3 ，_ 茹) - z ) ； ( r t 6 ) 五，可- z = ( z - z ) a ( 管_ z ) ； ( r 1 7 ) 霉一y a z = ( z + s ，) a ( z - z ) ； ( r i b ) 五oy z a ! ，； ( r t 9 ) z 圆y z = z ( y - - 4 z ) i ( j k o ) 工圆( y vz ) ；( z oy ) v ( z oz ) ； ( 兄2 1 ) z 圆( z 掣) 茹av ； ( r 2 2 ) 正一ys 扛oz ) - ( y oz ) 定义1 1 5 【6 1 称剩余格( l ，v ，a ， ，_ ，0 ，1 ) 为一个正则剩余格，如果下列条件 成立； ( 冗r 1 ) 对任意z l ，0 - 0 ) 叶0 = z 定义1 1 6 1 6 】设( l ，v ，a ，o ，_ 十，0 ，1 ) 为正则剩余格，在三上定义一元运算( ) ： l - l 如下t ( r r 2 ) 一= z _ 0 ，正l 称( ) ：l _ l 为l 上的伪补运算 下述命题给出了正则剩余格的一些主要性质 命题1 1 7 1 6 1 设( l ，v ，a ，o ，- ，0 ，1 ) 为正则剩余格，。，y ，。l ，则有 ( 兄r a ) z ”= z ； ( 尼r 4 ) 一y 当且仅当y z ； ( 兄磁) ( z v ) 7 = z a y ，( $ a y ) = z 7 vy l ； ( r f k ) y z 7 = z + ! ，； ( r r r ) z - y = y - 一，z 7 _ y = y 叶z ； ( r r 8 ) z oy = 扛_ y 1 ) 7 ； ( r r 9 ) z y = ( z 圆) ，； 3 ( r r l o ) 石o = o i ( r r l l ) _ 0 - y ) = 1 或一z _ y 注1 1 8 由( r 磁) ，( 凡吼) 知( ) 7 ：l - l 是正贝嵊4 余格l 上的逆序对合对 应 在这一节的最后，我们看几个重要的例子 例i i 9 风，单位区间 4 【5 】 设l = 1 0 ，l 】，在l 上取自然序，则l 为全序的有界格，对z ，y l ， 。a y = m i n z ，掣) ，z v y = m a x ( x ，掣) 规定 。+ 掣2 r o ( x , y ，2 i z ，v 可，：至：x 。y - - - z 0 ， ：= = ；三： 贝( l ，v ， ，o ，_ ，0 ，1 ) 为正则剩余格。且z 7 = 1 一石 例1 1 1 0g 6 d e l 一单位区间【5 】 设l ：【0 ，1 】，在三上取自然序，因而l 成为全序的有界格，且 x a y = m i n ( z ，鲈) ，。v = m a x z ，y ，规定。 s ，：r g ( x , y ) ： 1 ，。， 【掣，z 掣， 。oy = 正a y ，则( l ，v ，a ，o ，o ，0 ，1 ) 是剩余格，但不是正则剩余格 1 2 关于剩余格的若干重要的附加条件 设( l ，v ， ，圆，- - - ，0 ，1 ) 为剩余格，z ，y ，z l 本节讨论以下各组附加条件以 及它们之间的关系 a 组 b 组 ( a i )0 _ y ) y ；0 - z ) z ( a 2 ) z v y = 扛_ y ) _ y ( b 1 ) ( b 2 ) z a y = 。o ( z _ y ) 若y z ，则存在z l ，使得y = zo z c 组： ( c 1 )0 叶y ) v ( y - 。) = l ； ( g 2 )z _ y vz = 扛一y ) v 扛- z ) ( c 3 ) a y _ z = 叶y ) v ( y - z ) 我们将要证明，在以上三组条件中，每一组内的各条件彼此等价为此先证下 述引理 引理1 2 1 设( l ，v ，a ，o ，叶，0 ，1 ) 为剩余格，口，y ，z l ，则有 4 ( 冗2 3 ) z vy 叶3 7 = y _ z ； ( r 2 4 ) z v y 叶y = z _ ! ，； ( j k 5 ) z + ( z a y ) = z 掣； ( r 2 6 ) y z ay = y _ z ； ( r 2 7 ) ( y - z ) 0 0 - + y vz ) z _ z ； ( r 2 8 ) ( z _ ) - - + ( z - y vz ) z 一+ ； ( r 2 9 ) za y ( z a y - z ) _ z 证明( i ) 由( r 1 6 ) ，( 凰) 得zv y _ + z = _ z ) a ( y _ z ) = 1 国_ z ) = y - z ，即( 兄3 ) 成立类似可证( 兄4 ) 成立 ( i i ) 由( r 1 7 ) ，( 凰) 得z _ + z a y = ( 正_ z ) a ( z - y ) = 1a ( z _ y ) = z _ y ， 即( r 2 5 ) 成立类似可证( r 2 6 ) 成立 ( i i i ) 由( r 1 5 ) 和 y v z ( y _ z ) - z ，再由( 凰) ，( r 1 2 ) 得z _ y v z 茎_ ( b - + z ) _ z ) = ( 3 ，- - - t 。) - 0 _ z ) 从而由( 见) 知( y - z ) 0 0 - y v z ) z _ z ， 即( 疡7 ) 成立类似可证( r 玛) 成立 ( i v ) 由z a y _ z za - 4z 及( r 7 ) 得zays0a y _ z ) - z 即( 兄9 ) 成立 定理1 2 2 设( l ，v ，a ，o ，- - - , ，0 ，1 ) 为剩余格，z ，y ，z l ，则( a 1 ) 与( a 2 ) 等 价 证明( a - ) 蕴涵( a z ) 设1 ) 成立即对任意z ，y ，z l ， y ) - y = ( y _ z ) - z 由( r i o ) 知，1 = y 叶z v y ， 于是由( 飓) ，( a - ) ，( 兄2 4 ) 得 z v y = l _ z v y = ( y - - - i , z v y ) _ ( z v y ) = ( z v y - y ) _ y = - 掣) - y 即( a 2 ) 成立 ( a ：) 蕴涵( a t ) 显然 定理1 2 3 设( l ，v ，a ，圆，0 ，1 ) 为剩余格，z ，y ，z l 则( b 1 ) 与( 马) 等 价 证明( 且1 ) 蕴涵( 岛) 设( 蜀) 成立，即对任意z ，y l ，z a y = zo ( x _ ) ， 则当y z 时，有y = z a y = z o ( z - ) ，由此知存在z = z y ，使得y = z o z ， 即( 马) 成立 ( b 2 ) 蕴涵i ) 设( 岛) 成立，即对任意z ，y l ，当y z 时，存在。l ， 使得y = zoz 则由正ay z 知存在= l ，使得zay =zoz 于是由 $ oz = z a y y 及( 兄2 ) 知z z _ y 再由( r 1 ) 知。oz zo0 _ ) 所以 z a y z o ( z _ 掣) 5 又由( 尼1 ) 知zo ( z - y ) s za y 故za = zo 0 _ ) ，即( b 1 ) 成立 定理1 2 4 【1 q 设( 厶v ，a ，o ，- ，0 ，1 ) 为剩余格，z ，y ，z l 则( c 1 ) ，( 岛) ，( 岛) 两两等价 证明先证( g ) 与( g ) 等价，再证( g 。) 与( g 3 ) 等价 ( c - ) 蕴涵( 岛) 设( g i ) 成立，则有( y _ z ) v ( z _ y ) = 1 ，于是由( r z o ) ，( r 2 7 ) ，( r 。8 ) 得 z _ y vz=1 o ( z - + y vz ) = 白_ z ) v0 _ s ，) 】圆( z _ yvz ) = 【( _ z ) o0 y vz ) 】v 【( 。- y ) o0 _ y v 。) 】 ( z + z ) v ( z s ，) 即z yvz 0 - y ) v 扛叶z ) 另一方面，由( r 3 ) 知，z - y v z 0 - y ) v _ z ) 显然成立所以 z _ yv 。= ( z y ) v ( z - z ) 即( g ) 成立 ( 岛) 蕴涵( g ) 设( 岛) 成立，则由( r 2 a ) ，( r 2 4 ) ，( 岛) 以及( r 9 ) 得 _ y ) v ( y - z ) = 0 v y _ y ) v0 v y _ o ) = 正vg - y v z = 1 即( g i ) 成立 ( g - ) 蕴涵( 岛) 设( g 1 ) 成立，则( 伤) 亦成立由( 岛) ，( r t z ) ，( r 3 ) ，( r 2 9 ) ，( 岛5 ) ，( r 2 a ) 和( g ) 得 ( x ay _ z ) - 【扛_ z ) v ( y _ z ) = 【0 a y _ z ) _ - z ) v 0 y - z ) - ( y _ z ) 】 = 江_ ( 扛ay - z ) - - + z ) v y ( 扛a y z ) - z ) 】 扛_ z a y ) v ( y z a y ) = 0 - y ) v ( y 一z ) =1 由此知0 a y - 。) _ 【 - + 。) v ( y z ) 】= 1 从而由( r i o ) 得。ay _ + z 0 _ 彳) v ( y - z ) 另一方面，由( r 3 ) 知。ay - + z ( z - z ) v ( y _ z ) 显然成立 所以za y _ z = _ ：) v ( y - z ) 即( a ) 成立 ( g ) 蕴涵( g - ) 设( q ) 成立由( 飓s ) ，( ) ，( 岛) 和( 风) 得 ( 工- - + ) v ( 茹) = ( z - z av ) v ( - + za 可) = za 可za y = 1 综上讨论可知，( g t ) ，( 岛) ，( 岛) 两两等价 推论1 2 5 在剩余链中，