（基础数学专业论文）多不动点定理及其应用.pdf

东北大学硕士学位论文抽要 多不动点定理及其应用 摘要 近来，由于工程物理领域新问题的提出，b a n a c h 空间中不动点这一课题引起了 广泛关注，在研究过程中，人们应用了各种方法，本文第二章从两个基本定理出发。 对凸凹泛函提出了一类新型的约束条件，并且利用锥理论和不动点指数理论获得了 不动点的存在性结果，推广了l c g g c t t - w i l l i a m s 三解定理 第三章研究椭圆方程的 d i r i c h l e t 问题的正解第四章得到了一类二阶两点边值问题多个对称非负解 第二章，由两个基本引理出发，应用不动点指数理论，可以得到一些新的多不 动点定理，它们可以看作l c g g c t t w i l l i a m s 三解定理和a v e r y 五泛函不动点定理的推 广 第三章研究t - - 阶椭圆方程的d i r i c m e t 问题的正解椭圆算子为 舢一塞咖弧0 2 峨u + 善1 , 婚) 等+ c ( 小。 这里扛) 一b ) ，a o e ) ，岛扛) ，c o ) c 1 ( 五) ，ao e c 2 “，0 0 ， 对一切工五，一切亭- ( 气，晶) r “，皆有芝q ( 工) 毒岛2 p 。矧2 d i r i c h l c t 问题： f l u f ( u ) ，x e o 1 - 0 ，z d o 其中，“) 芑0 ，“2 0 ) ；厂( o ) - o ，“) e c ”( o + m ) ) ，o t 1 这里c 一 x e p , t ，) ，p ( a ，口，6 ) - 工i 口( 工) 之n ，l m 主b ) 进而得到结论 a , b ，c ，d 是数，并且o c 口t 6 t d c ，若厂“) 满足以下条件： ( 1 ) f ( u ) b z 一，若工q ，b s u ( x ) c d ； 一一 末北大学硕士学位论文摘要 2 ) ，“t 4 i | g 旷，若工口，o 。b ) 4 ； 3 ) ，越) 薯6 1 d - b ) 。若童q ，o 毒_ ( 工) 誊c ； 1 4 ，如l t c l i g 8 4 ，若：x e q ，o 搿( 工) 墨c 那么一v 轴) - p ( x , y ) f ( u ( y ) ) d y 决定的算子a 在- ，c ( q ) ，9 ，8 蓝c l 中至少 口 有三个不动点 第四章得到了一类二阶两点边值问题多个对称非负解 边值问题： 其中，：r x r - p o , + ) ： o 毒薯重 我们得到：b a n a c h 空间e c 1 【o 1 ，p 是中的锥，x e c l 舡l 】，定义 删一一 酾水三翻l 令o t 口6 ，m 。名i 一却) ，满足 e ) ，( ，v ) 4 a ，o s u 4 ，p l 2 口， 巾川乏阮一刁) 卜- i 加弘溉i v i 勰， i 刀j ) i ( - ，v ) a ，a ( x ，) 6 关键词：收缩核：不动点指数：边值问题；正解 一一 东北大学项士擘位论文 m u l t i p l ef i x e dp o i n t st h e o r e ma n da p p l i c a t i o n s a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ef i x e dp o i n ti n o r d e r e db a n a c hs p a c ed r a w sc l o s ea t t e n t i o ni n e n g i n e e r i n g , i nw h i c hp e o p l ea p p l i e dm a n yt h e o r i e si nm u c hl i t e r a t u r e i nt h i st h e s i s , s o m ee x i s t e n c er e s u l t so f f i x e dp o i n t sa r eo b t a i n e di nc h a p t e r2 ，i nw h i c hw ec h a n g es o m e c o n v e xa n dc o n c a v ef u n c t i o n a lf r o mt w ob a s i ct h e o r e m s ，t h e ng e n e r a l i z el e g g e t t - w i l l i a m - st h r e e s o l u t i o nt h e o r e mi nc o n e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d ys e c o n d o r d e re l l i p t i c a l o p e r a t o r sp o s i t i v es o l u t i o ni nd i r i c h l e tp r o b l e m i nc h a p t e r4 ，w eg e ts o m em u l t i p l e s y m m e t r i cn o n n e g a t i v es o l u t i o n so fas e c o n d o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e r2 ，w es t a r tf i o mt w ol e m m a sa n df i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y ，w eg e ts o m e m u l t i p l ef i x e dp o i n tt h e o r e m s t h e yc 姐b es e e m e da st h eg e n e r a l i z a t i o nf o r l e g g e t t - w i l l i a m st h r e e s o l u t i o nt h e o r e ma n da v e r y sf i v ef u n c t i o n a lf i x e dp o i n tt h e o r e m i n c h a p t e r3 ，w es t u d ys e c o n d o r d e re l l i p t i c a lo p e r a t o r sp o s i t i v es o l u t i o ni n d i r i c h l e tp r o b l e m e l l i p t i c a lo p e r a l o r ： m 一麓咖唧0 2 u 薹吣) 嚣+ c ( 咖 h e r e a # ( x ) - a f b ) ，b ) ，岛( 工) ，c ( x ) e c l ( 石) ，a q c 2 “，0 o ，f o r a l l 茗五，a l l 言- ( 民，知) r “， w e h a v e 乏q ( 工) 矾盼 d i r i c m e tp r o b l e m ： 弘，( “) ， z q i _ 0 ，z a q a n d ，扣) 之o ，“七o ) ；，( o ) 一o ，“) e c ( o ，+ m ) ) ，o t ，t 1 w e g e t a e o n c l u s i o n ：口，b ，c ，d i s n u m b e r , a n d 0 口6 d5 c i f ，0 ) s a t i s f y ： 一v 一 东北大学硕士学位论走 1 ，( h ) ，6 管，j q 。，扛车船 j ) 暑d ； 1 2 ) ，“) c 口0 g l 一，掌q ，9 毒珥 j ) 重一； 3 ) ，( 肌) s 一。d 一扫) ，算q ，o a u ( x ) c c ； 4 ) 厂扣 t c 。工e q ，o 善茸 茗) c t i a r aad e f m e db ya p ( 耳) - j ki x , y ) ( “ _ ，) l 毋h 蟹a tl e a s t3f i x e d 咖i n - ，c ( q ) ，c ) i n 却t e r4 w eg c t $ o t t 跫埘珂l 被s ，l m m c 衄i cm m n c $ 融j v 霉s o t t a k mo fa 删- o i d a b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s p m n d o i yv a l u ep r o b l e m ： 卜耳。- i ( x ，j ) ，o 茸辱l i j ( o - x 1 ) 0 鲥，：霞x 厅一f o + 。) w e s a 衄i d i o g r - , | p i o i c 妇m ：啻- c l f o t i s l & m a c h 印a c e p 盍擎a 倒 i n e ， x c 1 m ，t e 悱一 髑卜( t 水三黝小脚b 。口t 6 t ， 膨。( 1 一纫) ，f s a l i s f y ： 而l ) ，i h ，v ) 4 口，o a u 口，i v i 2 a 也) 巾v ) ：心一叩) 】- 1 圳枇胁 吗) ，i ，v ) 4 c ，o 埘c ，i v l 2 c 风) ，( 口，v ) - f ( u ，- v ) ，o a u t 蝴，h t m 一v i 东北大学硕士学位论文 ( h ，) ，( 1 1 1 ，h ) f ( - 2 ，屹) ，o “l 2 s c ，0 s v 2 s v , 5 2 c t h e nb o u n d a r yv a l u ep r o b l o nh a v ea tl e a s t3n o n n e g a t i v es y m m e t r ys o l u t i o n s ，a n ds a t i s f y n ，6 t 口k ) ，怯忙n ，a ( x 3 ) k ) 一d ，v x e ( r ，宇，c ) 妒( 触) t g 则亭( 血) t ， 那么a 至少有四个不动点 定理3 月：亏一耳是全连续算子，并且口( 石) s ，坛虿，如果存在数 一5 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 谚，素，口，6 ，f 使得o d ，七母6 c ， c ； 善硝口，口，自) ：口工) 口 - o t 并且满足下列条件： 若口 1 ) 毒4 。肛8 摹h 剐叫血 辱i g ) 若sd t 财i 陋l l 霹； g ) 若a ( 膏) 4 ，k 扛h - b ，m 辱c ，射8 血卜， 犯若9 辜0 ，m l l 刮l ， 那么a 在足中至少有四个不动点 定理4 算为实b a n a c h 空闾，x 是e 它的收缩核，u i ，2 弘c 着，并且 仉， ，：，也是开的，u 一, n 瓦- 刀巧n u 一3 - o 。瓦n 巧- 0 a ：x 彦全连续。 把) 存在z 1 q ，使得詹工_ l 扣一：，戥a “，t o ， f g ) 存在z 2 以，使得叙一石一， 工一z ，慨净以，f o ， g ) 存在白以，使得血一鼻一i “一= ，) t x o u ，t 芑o 那么爿至少有四个不动点 定理5z 是一个非空有界闭凸子集，a ：x 一署是全连续算子，a 是连续凹泛 函：卢，r 是连续凸泛函，并且奶- x x ，声扛) t b ) ，u ：一仁石，口 善卜口 ， u - x x ，r 扛 t c o 一, n 万一o ；丽介瓦- o ，u 一2 f 3 u 一，- ( c 1 ) 若z x ，声x ) 一6 ，则，( 愈) t 6 ， i c ：) 若z z ，口i 葺口，则n 4 x ) ，口， g ) 若x j ，r 辜) 一c ，则r ( 加) t c 则月至少有四个不动点 而后在将l e g g e + t w i l l i a m s 三解定理应用到椭圆方程的d i r i c h l c t 问题上，求其正 解 一6 一 东北大学硕士学位论文第一幸绪论 椭圆算子： 如一射x ) 惫+ 薯嘶) 嚣+ c ( 咖 j 龃- - a o 扛) - 口，( j ) ，b ) ，6 l o ) ，c 如) c 1 ( 石) ，aq c “1 ，o t a t l c ( 石) z o 并且x q c r ”q 是r ”中的有界凸闭集还满足一致椭圆条件：存在卢。，0 ， 对一切石五，一切亭t ( 毛，昴) ，皆有乏q “) 蜀岛苫p 。i 亭1 2 d h i c h l e l 问题： 。 ：翌：景 其中，0 ) 芑o ( “苫o ) ；，( o ) o ，“) e c 9 ( 0 ，+ m ) ) ，o t p t l 当r y 时，k ( x ，y ) 是不恒为零的连续的对称核，且满足 小南，x , y e g , x y ( 3 - ) m o c o n s t ，0 v o ， q 定理6a , b ，c ，d 是数，并r o at 6 t d , e c ，若厂“) 满足以下条件 ( 1 ) ，( “) ，抛一，老：x e o ，6 s h ( 工) s d ； 一7 一 东北大学硕士学位论文暴一幸绪论 2 ) ，( “ 4 g i 1 ，若j q ，o 篁辟耳口； 3 ，( 口鼍d4 ( d - b ) ，若x e s 2 ，o 善私i 耳) 车f ； 4 ) l ( ) - + i p l 一，若工q ，o 毒“毒c 那么加并 p 毛，) ，“( y ) ) 咖决定的算子一在- l c + ( 嘲。中至少有三个 不动点 最后给出l e g g c t t - w i l l i a m s 三解定理在c b l 】上的具体形式，并举出具体韵铹 予 李福义【2 给出的定理 弓i 理3 口1 令o t 口矗t ，艇l 一纫，满足： ) ，( “，v 2 口，o a u 与口，卜l 口 巾力2 卜( 如) 卜胁5 胁 l 小帕 量) ，0 ， ，c 岔，o m ；u 写c ，i v i c h 4 ) ，( ，v ) - ，扣，- v ) ，o a u c 伸，i v f c 。 i 丑：) ，i i t ，屹- ，0 1 2 ，v 2 ，o s u l 1 1 2 毒c ，o v 2 车重f 那么边值问题至少有三个非负对称解，并且满足0 x , 0 s e ，6 t 口( 屯) ，并且 k 0 ，口，口k ) t 6 上面的引理并不是唯一的，我们还可以获得了一个新的定理 定理7 定义肛i i - 一 黝k ( r 堆吾嗣l 令。t 口c 6 t ， 石( 1 一卸，满足： 一8 一 东北大学硕士学位论文第一幸绪论 ( h 。) ，( “，v ) t 4 4 ，o h , c a ，i y i 2 口 ( 巾川= 睢一叮) 卜- 1 加s 胁h s 抛 ( h 3 ) f ( u ，v ) 8 , - c o v 一+ 。o 满足上面的各个条件 一9 一 东北大学硕士学位论文 g - - 幸l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理的推广 第二章l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理的推广 2 1 引言 从引理2 2 2 ，引理2 2 3 出发刑用不动点指数理论，以及非负连续凹泛函和非负 连续凸泛函，继续限制全连续算子在定义域的性质，并且保证各个条件不能冲突，获得 了新的不动点定理 2 2 预备矢识 定义2 2 【5 ) 收缩核 e 是实b , 蛐a e h 空间，连续映射r ：e 一茹，其中船- 五班彳，并且j c 称露 是收缩映射x 是e 的收缩核 定义2 2 2 【全连续算子 e ，易是实b a n a c h 空间d e e , ，若算子a ：d 一盈连续且是紧算子( 将有界集映 成紧集的算子、称a 是全连续算子 定义2 2 3 例不动点指数 e 是实b a n a c h 空间，r ：一z 是收缩映射a ：，一x 全连续，对于任何一个有 界开集，c x ，使得f ( 一，j ) = d e g ( 1 一庸，吼n ，1 u ) ，口) 称爿在u 上关于x 的不 动点指数 引理2 2 1 1 5 1 不动点指数的同伦不变性 设h ：【o 1 x e - - , x 全连续，使当( f ，善) 【o 1 o u 时，恒有日( r ，算) 一工则 i ( n ( t ，) ，u ，工) 与f 无关 引理2 2 2 【1 e 为实b m m e h 空间，x 是e 的收缩核，u c x ，并且，是开 的，a ：u z 全连续，：i z e u ，使得出一工- f 扛一z ) ，v x e o u ，t o 那么 i ( a ，u ，x ) - i 引理2 2 3 【qx 是e 的一个非空闭凸子集，口是非负连续凹泛函，是非负 连续凸泛函，月：f 毛i _ 硐- x 全连续，仁j ，口卜) 6 u 一1 0 东北大学硕士学位论文第二章l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理的推广 满足以f 条件 i ) x e x 。烈善) t 6 ) 有界； 疆) x x ( p ，n ，口，6 ) ，芦l 工) t 扫) 一力；若口( 善) 4 ，芦( 石) 摹肛爨归( # ) 6 ； ( ) 若t # ) t 口，( 葺l h 则卢座# ) t 6 ； 则有i ( 4 ，u ，x ) - t 引理2 2 幸嘲不动点指数的正规性 若4 ：百一u 是常算子，则j ( 属c ，x ) - t 引理2 2 5 p l 不动点指数的可加性 若玑与是【，的互不相交的子集，都是开的( 关于盖) 并且一在万、( uu f i ) 上没有不动点，则i l 彳u ，石) 一i ( u ，x ) + i 一，王，：，x 这里j a ，以，z ) - j 扣i 面，以，z ) ，似一1 2 引理2 2 8 聊不动点指数的可解性 若f ( 月，u ，z ) 一o ，则爿在【，中至少有一个不动点 2 3 主要结果 首先将引理2 2 3 的条件使用三次，获得了四不动点的新定理这里有几个记号 口，妒，考，叩是连续凹泛函：卢，0 ，亭是连续凸泛函 x ( 口，口卜川口( 直) 毒口 ： | ：j ( 卢，d ) - 石1 声( j ) ；d ) ； x ( o ，口，口，6 - 矧口( 工) 2 口，口( j ) ；扫 ： x ( 卢，1 ；f ，h ，d ) - 毒i 妒( j ) 苫h ，芦( j ) ；d ) ： 一1 l 一 东北大学硕士学位论文 第二幸l e g g e t t - w i l l i a m s 三解定理的推广 工( ；，事，叩，k ，g ) - x i 叩( 工) 2 k ，亭( 工) 厂，f ( 工) 苫g 定理2 3 1x 是一个非空有界闭凸子集，a ：z x 是全连续算 子，口，妒，参，叩是连续凹泛函：卢，0 ，亭是连续凸泛函，并且a ( x ) s 卢扛) 若 x x ( 口，口，4 ，6 ) ，口( 工) ，n ) 一a ，v x e x ( 口，口，口，6 ) ，则a ( 血) ，口 若扛x ( 口，口，a ，6 ) ，口( 工卜口) 一d ，j ( a ，。) ，日( 血卜6 ，则口( 血卜4 ( c 2 ) 若 工x ( 卢，妒，h ，d ) ，卢( 工) c d 一o ，纸石( 芦，妒，h ，d ) ，则卢( 出) c d j a x e x ( a ，妒，h ，d ) ，( 工) t d 】一d ，v i 工( 卢，d ) ，1 ；f ，( 爿z ) c h ，贝9 声( 4 z ) 口 ( c ：) 若 工p ( r ，卢，妒，h ，d ) ，( 石) c d ，) ，。，、k p ( y ，妒，h ，d ，c ) ，则卢( a x ) c d ：若 石尸( r ，卢，妒，h ，d ) ，卢b ) k ) 乒a 。v 七p ( r ，宇，妒，g ，c ) 则亭( 血) c ，：若仁e t ( r ，；，亭，f 7 ，k ，g ) ，亭( x ) t ，叩( 工卜七 一乃，v x e ( r ，宇，c ) 妒( 血) c g 则亭( 血) t f 那么a 至少有四个不动点 证明让z - p ( r ，c ) ，那么从r 的凸性和条件( c 1 ) ，以及s 所y b ) ，仇 p ( r ，c 1 ，知道x 是p 的一个非空有界闭凸集从定理的条件，我们有dcfc 七c 口， 口( 工) 量，( 工) ，叩( x ) 卢( x ) ，口( x ) 亭( x ) ，v x e x ( q ) 若仁z ( 一，口，n ，6 ) ，口b 卜n ) 一。，当口b ) 兰a ，p b ) 6 ，则口( 血卜4 ： 若 工工( 口，口，口，6 ) ，口( 工) ，口) 一a ，当口( x ) 之n ，口( 血) ，b ，则a ( 血) ，4 ( c ：) 若仁x ( 厉i , ，h ，d ) ，卢b ) c d ) * a ，当卢( x ) s d ，1 l o ( x ) e h ，则( 血) c d 表北大学硕士学位论文 第二章l e g g e t t w i l l i a m s 三解定理的推广 若 善x ( 声，缈，h ，矗) ，声j t d - g 。当芦( 辜) 暑d ，掣 血) t 知r ，刘卢m ) 蠢 c ：) 若 工j ；，孝，理，蠢，譬，亭膏 t _ ， 善) ，七i - a ，当占( 石辱，；工) g ， 则亭血) t ，：若扛盖 ；，亭，叩，t ，r 。蕊 ，亭扛) t ，b 卜七】一必，当参( 膏) 墨，并且 考 a x ) g ，贝u 亭( a 石， j , 仁x ；多( 工) t d ) ；u z - 扛x ；口扛) ，口 ：以- 石e x ；言o ) t ，碍( x 卜七) 又瓦n u 2 - a ，玩n u 一3 一a ，砺n 瓦- 刀并且d t ，t 量t 4 根据定理2 3 1 ，爿在茗- 硝r ，c ) 中至少有四个不动点毛，x 2 ，毛，毛使得以毛) t 口- 口 如) ，口；亭( 而) t ，呀 毛 ，七 毛) - d ，口 t 口，亭( 以，f ，叩( ) 量 再将定理2 3 2 中韵凸泛函和凹泛函特殊化，可以获得一些新的不动点定理它 是【铝辞n w i l l i a m s 三解定理的推广 记# 一 j p ，i 卜8 cr ，p ( 口庙6 - 耳卜( x ) 2 口，缸l l b ) 定理2 3 3 ( k 鹊呲w i l l i 锄s 三解定理的推广) a ：卑一只是全连续算予，并且 口b ) 忙，协亏，如果存在数d ，f ，t ，口，6 c 使得o o ，对一切石五，一切占一( 蜀，晶) ， 皆有熹q ( - r ) 镐昕 d i r i c h l e t 问题。 l “- ，0 ) ，z q 【h 0 ，x e oo 其中厂0 ) o ，( “苫o ) ；，( o ) - 0 ，恤) e c ( o ，+ * ) ) ，o t p 1 当工一y 时，七( 工，) ，) 是不恒为零的连续的对称核，且满足 呲小南，x , y e g , x , y ( 3 1 ) m o - c o n s t ，0 y o 定理3 3 14 ，b ，c ，d 是数，并且0 4 6 d c ，若厂“) 满足以下条件： ( 1 ) f ( u ) b e 一，若工q 。，b s u ( x ) , d ； 一2 0 一 东北大擘硕士学位论文 第三章一关二阶椭圆方程的多个正解 2 ) ，扣) t 口4 g 旷，若j 岔，o 尊“j ) 口； 3 ) f ( u ) f f i 6 4 4 一矗，若z q 。o s u ( x ) s c ，o 4 ，扫) t c 一，若z q ，o 车“厶) c 那么加扛) 。p 毛，扩扣 ) ，) 决定的算子月在。p q 叼。中至少有三个 不动点 证嚼f l 搽件( 2 ) f ( x u ) c a l g l ，若石q ，o s h ( 工) 耋4 ；也就是0 一“8 t 口，若 l 口 口 由条件4 ) ，扣) t c i i g l i 若工q ，o 口b ) c 保证了 a 映入 定义p 中饷口一曾“，显然口扣) s i i l l 0 ，并且存在l i 双口，b ，d ) ，屙耐 口矗) 6 如果h p ( 口，6 ，d ) ，那么口i 彳球) 一曾户( 耳，y ) ，“ y ) ) 咖 q 曾f g ( 帅( y ) ) 方 曾f g ( ) 撕- a y _ 6 最后，若p k ，b ，c ) ，那么协q ，z q 。 “ ，r g ( 训) ，( “( _ ，) 油一产( 训) ，似y ) 净 q 口 墨，i g ( 训) 一g ( z ，y l 巾( y ) ) 咖 fi g ( 工，y ) 一g ( z ，y l 6 1 ( d b ) d y 东北大学硕士学位论文第三幸一类二阶椭圆方程的多个正解 d 一6 因此6 彳雎0 一口( 彳h ) d - b ，并且当8 爿h ，d ，则口( 一h ) ，6 由引理3 2 1 ( k 鹊c t l w m i 锄s 三解定理) ，得到彳在亏中至少有三个不动点，即 椭圆方程的d i r i c h l e t 问题在亏中至少有三个正解 一2 2 末北大学硕士学位论文 参考文献 第四章一类二阶两点边值问题多个对称非 负解 4 1 引言 李福义【2 j 将i 铭鲥t - w m 妇s 三解定理应用到边值问题： 蠢：瓣 0 ；石l 其中，：r x r - - o + m ) ，给出了引理4 2 3 修改这个引理的条件。我们还可以获得 了一个新的定理 4 2 预备知识 边值问题： l ：僦嘶1 其中，：r x r p + m ) ，等价于： x ( i ) 一j ：g o ，s ) ，( “s ) ，工o ) ) b ，v i f o ，1 】 。高；：竺： 令- c 1 【o ，l 】定义以：一 血x f ) j ：g ( f ，s ) ，o o ) t 工o ) ) 西， v x e e 这样边值问题有解z ( f ) 当且仅当z 是算子a 的不动点- p o x - a x 边值问题 - - x 一，“x ) ，d 耳s 1 l j ( o ) 一工( 1 ) 一o 东北大学硕士学位论文 参考文献 其中f ：r x r 一【o + m ) ， 引理4 2 1 1 2 1 e c l 【o ，1 j ，d c e 是列紧集当且仅当x e d ，工在【o ，1 上一致 有界且等度连续 定义p c e p 为e 。c ，【o ，1 】的子锥p 仁e ：工是凹泛函，关于昙对称，在 【o ，1 】上非负 定义非负连续凹泛函口：p - 【o ，+ ) 口o ) i 唑巴工( f ) ，v x e p 引理4 2 2 1 2 1 若x p ，则x 在【o 争是递增的，使x 7 在【o 争是递减的 这样口o ) - 嚣弛工( f ) 一工) ，( o t ，7 t 争定义肛i i m a x l i m q 。缸川l x f _ 、r ) | ，黼p 0 1 - 螂仁( 三) ，工，( 0 ) ，慨p 引理4 2 3 8 1 令o t 4 t 6 c ，m 。石( 1 2 叩) ，满足： ( e ) ，( “，y ) 2 口，0 h a ，i v i s n ( 以) 巾苫卜( 如) 】- i 啪胁州啪 ( 乩) ，( n ，v ) 2 c ，o u s c ，i v l c ( 矾) ，( “，v ) - 厂( 口，- v ) ，o u t 蜘，h t m ( 月j ) i ( - 。，h ) 一，( h ：，屹) ，o u ，：c ，o 匕h c 那么边值问题：- x - f ( x , x 匕o x l ，至少有三个非负对称解，并且满足 i k n ，b t 口( 屯) ，并且8 而8 ，4 ，口( 玛) t 6 一2 4 东北大学硕士学位论文参考文献 4 3 主要结果 定理4 a t 定义刎- m 戤 鞠俐焉戮) i 令。t t ， f 石 1 一纫) ，满足： h ，) ，h ，v ) 4 4 ，0 s u s 口，l v l s 2 a 巾睢一叩) 卜- i ，葺胁胖狮 巩) ，( ，v ) 4 c ，o s u c ，h s 2 c 日4 ，( “，v - ，- v ) ，o uc + 。，l l ，l t m 矗j ) ，i h i ，h 暑，伽2 ，v 2 ) ，o s 薯2 bo ；i 酱i i 摹露 那么边值闯题至少有三个非负对称解，并且满足她l 墨口，6 c ( 艺) ，并且 忙口，口k ) t 矗 证明 由引理4 2 2 及月是全连续算子，这里血滩) - z g ( f j ) ，o g x z o ”出， 慨e ，可知算子a 映c 1 【o 1 a , c 1 【o 1 我们首先得到、k p ，( 知：) ( f ) 七o ，并且 ( 幻) ”( f ) - 一，扛( f ) ，工f ) ) o ，v o s t s l 其次，当o s t s l ，由 ( 风) f ( - ，v ) 一厂( ，- v ) ，0 s u t 伸，i 叫t 得到( 血) ( f ) - ( 血) ( 1 一f ) 因此，, 4 x p ，即一：尸一尹 现在，我们分三步来证明 第一步：要证明彳c c ，并且一只c 一2 5 东北大学硕士学位论文参考文献 引理4 2 3 弓经证明：( 血) ( f ) 一j ：s 厂扛o ) ，工( s ) ) 出+ f 岔，b ( s ) ，工b ) ) 出； ( 出) ( r ) f ，( 工( s ) ，工( s ) ) 西慨亏，从 ( 乩) ，( h ，v ) 6 ) ，彩成立此外，若z p ( 口，b ，胁) ，那么口( x ) 之6 ，0 x 0s m b ，又6 工( f ) m b ，l x ( f ) 卜腼墨2 m b ，v 町f si 1 ，那么坛p ( 口，6 ，胁) ， 由 ( 巩) 巾y ) 睢一叩) 卜- 1 胁姗小撕 得到：