（应用数学专业论文）acbd理论及其在精确求解burgers方程中的应用.pdf

摘要 本文以数学机械化思想为指导，借助于计算机符号计算软件m a p l e , 将导师张鸿庆教 授提出的。a c = b d 。理论应用于b u r g e r s 方程的精确求懈其中所提出的构造b u r g e r s 方程精确解的方法也能用于精确求解其它一些非线性偏微分方程( 身d 全文由三章构成， 第一章介绍了孤立子理论的历史与发展、数学机械化思想与计算机代数，以及国内 外学者所提出的精确求解非线性偏微分方程的若干方法，如反散射方法、b i c k l u n d 变换 与d a r b o u x 变换、双线性方法a c = b d 框架下的精确求解等 第二章介绍了张鸿庆教授提出的。a c = b d 。理论及其应用，通过实例说明了这一 理论的使用方式和适用范围，并通过具体的变换给出了c - d 对的构造方法 第三章介绍了构造b u r g e r s 方程精确解对于数学物理的重要意义，提出扩展的r i c - c o a t i 方程有理展开法和椭圆函数有理展开法来精确求解b u r g e r s 方程，并分别以高维耦合 b u r g e r s 方程和( 2 + 1 ) 维b u r g e r s 方程为例来说明这两种算法的有效性 关镶词t 孤立子；数学机械化；精确解l 扩展的r i c c a t i 方程有理展开法i 椭圆函数有理 展开法 a c = b d t h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o nt oe x a c t l ys o l v i n gb u r g e r s e q u a t i o n a b s t r a c t i n t h i s t h e s i s ，u n d e r t h eg u i d a n c eo f m a t h e m a t i c s m e c h a n i z a t i o na n d b y m e , m s o f s y m b o l i c c o m p u t a t i o ns o f t w a r em a p l e , t h ea c = b dt h e o r yp u tf o r w a c db yp r o f z h a n gh o n g q i n gi s i n t r o d u c e dt of i n de x a c ts o l u t i o n st ob u r g e r se q t m t i o n t h em e t h o d sp r e s e n t e df o ro o n s t r i l c t i n g t h ee x a c ts o l u t i o n st ob u r g e r se q u a t i o nc a n 幽b ea p p l i e dt oo t h e rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i s l e q u a t i o n s ( n p d f ) i nt h et h e o r yo fs o l i t o n s t r u c t u r eo ft h i sp a p e ri sa 8f o l l o w s ： c h a p t e r1i sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to fs o l i t o nt h e o r y , t h e i d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o na n dc o m p u t e ra l g e b r a i na d d i t i o n ，s o m em e t h o d s p r e s e n t e db ys o m ed o m e s t i ca c h i e v e m e n t sa n df o r e i g no n e sf o rc o n s t r u c t i n gt h ee x a c ts o l u t i o n s t on p d e sa r ei n t r o d u c e d ，s u c ha si n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，b 荟c i d u n dt r a n s f o r m a t i o na n d d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，b i l i n e a rm e t h o d ，a c = b dm o d e l ，a n ds oo n c h a p t e r2c o n s i d e r st h ec o n s t r u c t i o no fe x a c ts o l u t i o n st on p d e au m d e rt h ei 璐t r u c t i o n o ft h ea c = b dt h e o r yi n t r o d u c e db yp r o f z h a n gh o n g q i n g s o m ee x a m p l e sa r ec h o s e nt o i l l u s t r a t eh o wt ou s et h ep r i n c i p l ea n dt h ea p p l i c a t i o nr a n g e a n dt h em e t h o d so fc o n s t r u c t i n g t h eo p e r a t o r so fca n dda r ei n t r o d u c e d c h a p t e r3i n t r o d u c e ss e e k i n ge x a c ts o l u t i o n so fb u r g e r se q u a t i o nw h i c hi ss i g n i f i c a n tt o m t h e m a t i ca n dp h y s i c s t oc o n s t r u c tm o r en e we x a c ts o l u t i o n so fb u r g e r se q u a t i o n ，w ep r o - p o s ee x t e n d e dr i c c e t ie q u a t i o nr a t i o n a le x p a n s i o nm e t h o d8 r i dj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nr a t i o n a l e x p a n s i o nm e t h o d a n dr e s p e c t i v e l yw et a k ec o u p l i n gh i g h - d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o na n d ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a lb u r g e r se q t m t i o nf o re x a m p l et oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d s k e y w o r d s ：s o l i t o n ；m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n ；e x t e n d e dr i c c a t ie q u a t i o n r a t i o n a le x p a n s i o nm e t h o d ；j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o nr a t i o n a le x p a n s i o nm e t h o d i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果， 也不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做 了明确的说明并表示了谢意。 作者签名； 哔日期：2 塑幽 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博 士学位论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编学位论文。 作者繇多氐骝 各掀 垫丑年垂月盈日 第一章绪论 本文简要介绍了孤立子研究的历史和发展概况、数学机械化思想及符号计算的发展 和应用，以及构造非线性偏微分方程( 组) 精确解的若干方法( 如反散射方法、b i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换，双线性方法、齐次平衡法、“a c = b d ”框架下的精确求解等) 1 1 孤立子研究的历史和发展概况 孤立子理论是现代应用数学和物理的个重要组成部分，最近二、三十年，在些 新技术问题及相应的理论研究中，倒如流体力学、等离子体物理、非线性光学经典场 论、量子论、凝聚态物理等领域有广泛的应用 谈到孤立子( s o l i t o n ) 的历史，我们还得从英国物理学家j s c o t tr u s s e l l b | 在1 8 4 4 年 9 月英国科学促进会第1 4 次会议上所作的论波动的报告谈起报告中他讲述了1 8 3 4 年在运河里观察到的一种奇特的水波现象由于船的推动，河中涌起一个孤立的渡，船 突然停止了前进，但波仍以几乎不变的速度和不变的波形向前推进，且保持着轮廓分明 的孤立的峰状外形，很久以后才遇障碍而消失r u s s e l 在实验室里进行了很多实验，也 观察到了同样的现象，他称这种波为孤立渡( s o l i t a r yw a v e s ) 但限于当时的数学理论和 科学水平，人们无法从理论上给予这种现象一个圆满的解释，甚至怀疑孤立波现象是否 真正存在 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s n 根据流体力学研究了浅水波的运动，提出了著名的 k d v 方程。 饥+ 6 t z + t b 口；0 ，( 1 1 ) 其中t l 为波形函数k o r t e w e g 和d ev r i e s 从上式求出了与r u s s e l l 所发现的孤立波现象一 致的结果，即具有不变形状的脉冲状孤立波解k d v 方程的解准确地描述了浅水波的非 线性特性t 行波速度依赖于其本身的振幅，当两个这样的脉冲波沿着同一方向运动时， 波峰高的脉冲波的行进速度快，因此会赶上前面波峰低的波而发生碰撞从而在理论上 证明了孤立波解的存在然而，这种波是否稳定，两个波碰撞后是否变形，这些问题长期 没有得到解答，于是关于孤立波的研究乃告搁浅 一直到1 9 5 5 年，著名物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 【3 1 提出了著名的f p u 问题， 才出现了新的局面将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦初始时，这些 谐振子的所有能量都集中在个质点上，即其它6 3 个质点的初始能量为零经过相当长 的时间后，几乎全部的能量又回到了原来的初始分布按照经典的理论，只要非线性效 应存在，就会有能量均分，使系统由非平衡状态向平衡状态过渡，但实际结果却与之矛 l a c f b d 理论及其在精确求解b u r g e r s 方程中的应用 盾当时，由于只在频率空间来考虑问题，未能发现孤立波解。因此该问题未能得到正确 的解释后来，人们发现，可以把晶体看成是有质量的弹簧拉成的链条，这恰如f e r m i 等 人所研究的情况t o d a 研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使得f p u 问题得到正确的解答，从而进一步激起人们对孤立波研究的兴趣 1 9 6 5 年，美国著名物理学家k r u s k a l 和z a b u s k y l 4 从连续统体的观点出发考虑f p u 问题在连续的情况下，f p u 问题近似地可用k d v 方程来描述通过对k d v 方程两个 波速不同的孤波解进行研究发现，两个孤立波在碰撞后各自的波形与行进速度都能保持 不变，仅仅是相位发生了改变这两个孤波的碰撞是弹性碰撞，又类似于粒子，因此称 为孤立子( 孤立波) 。孤立予。没有明确的定义，但是它可用来描述一个非线性方程或 非线性体系的任意解，若此解满足t1 可表示成个固定形式的波；2 是局部的，衰变 的或在无穷大时变为常数；3 可与其它的孤子进行强烈的相互作用，在耜互作用后即使 叠加原理成立其形式亦不会改变 k n l s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作为推动孤立子理论的发展树立了个重要的里 程碑他们引入了“孤立子”的概念，确切地揭示了这种孤立波的本质此后，孤立子理 论的研究更加蓬勃发展。在很多学科领域都发现了孤立子运动形态相应地，在数学上 发现了一大批具有孤立子解的非线性偏微分方程，而且已逐渐建立起系统的研究孤立予 的数学物理方法 孤立子现象无论对于非线性科学来说，还是对于整个科学体系来说，都起着非常重 要的角色并具有非常重要的意义t 第一，孤立子是自然界中普遍存在的现象如木星的红斑旋涡、用隧道电子显微镜 成像方法发现的晶体中的电荷密度波、大气中的台风、激光在介质中的自聚焦、晶体中 的位错、超导体中的磁通量等社会经济系统中也广泛地存在着非线性相互作用由非 线性机制产生的孤立子。无论其现象还是本质，都可能启发我们更好地理解某些社会经 济现象，如社会财富、社会权利等的稳定集中，某些社会意识等的长时间稳定传播 第二，孤立子深刻地反映了非线性系统相干结构中惊人的有序从k d v 方程的结构 中我们可以来分析其产生孤立子的机理t 其中u 。项是弥散项，使初始的局部脉冲扩展 开来随着波的行进而改变形状；而非线性对流项6 u u = 倾向于在脉冲已经很大的地方增 大该脉冲并由此使扰动凸起，从而使得频率扩展，坐标空间收缩，其效果是挤压波包 这两种对抗因素的巧妙平衡为孤立子的形成提供了条件 第三，孤立子理论发展了散射反演方法由于孤立子的形状在相互作用期间经过暂 时的变形之后又严格地得到了复原这特性的启发，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 等人发展了散射反演方法，通过一系列线性变换运算得到了一大类具有孤立子的非线性 2 大连理工大学硕士学位论文 方程的精确而系统的显式解，对无限维分析代数几何、偏微分方程和动力系统理论产 生了深远的影响 目前，较为完整的孤立子理论体系正在逐步形成孤立子理论已经被应用于解决等 离子体物理、凝聚态物理、生物学和非线性光学等领域中某些难以解决的问题，以及非 线性作用下的运动规律等从数学方面来看，已经发现一大类非线性偏微分方程具有孤 波解，求解方法也出现了许多独特的分支 1 2 数学机械化思想与计算机代数 数学机械化，就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有个确定的、 必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板的道路，一直达到结论这一思想贯穿 于中国古代传统数学，数学的多次重大跃进无不与数学机械化思想有关数学启蒙中的 四则运算由于代数学的出现而实现了机械化；线性方程组求解中的消元法是机械化思想 的杰作即使在现代纯粹数学的研究中，机械化思想也一直发挥着重要的作用h i l b e r t 所倡导的数理逻辑为计算机的设计原理做了准备数学巨匠e c a r t o n 关于微分方程，微 分几何及李群的著作中也显现了机械化的特色h c a f t a n 关于代数拓扑学中同调群计 算的工作也可以看作是机械化思想成功的范例 2 0 世纪7 0 年代，吴文俊院士从几何定理证明入手开始数学机械化研究 5 - 8 1 ，为国 际自动推理的研究开辟了新的前景1 9 7 8 年，吴先生在中国科学上发表了题为初 等几何判定问题与机械化原理的论文怫1 9 8 4 年，吴先生的学术专著几何定理机 器证明的基本原理由科学出版社出版这部专著依照机械化观点系统地分析了各类几 何体系，阐明了几何定理机械化证明的基本原理1 9 8 5 年，吴先生的论文关于代数方 程组的零点1 1 0 i 具体讨论了多项式方程组所确定的零点集这篇重要文献是求解多元 多项式方程组的吴文俊消元法正式建立的重要标志与国际上流行的代数理论不同，吴 先生由中国传统数学中的机械化思想出发，明确提出了具有中国自己特色的，以多项式 零点集为基本的研究思路自此。吴方法。宣告诞生，数学机械化研究揭开新的一页 1 9 8 9 年，在r i t t 【l l 】等人工作的基础上，吴先生将吴代数消元的思想推广到微分情 形，创立了吴微分消元法【1 2 l ，提出了吴微分特征列的概念，完善和发展了特征集理论 吴方法的刨立，引发了几何定理机器证明的高潮张景中院士，高小山研究员、罚成青 教授合作提出了基于几何不变量的“消点法。，实现了自动生成几何定理可读证明这一目 标依据这一方法编制的程序已经用于证明了数百条定理这一工作被认为是五十年代 g e r l e n t n e r 的经典工作及七十年代吴方法以来这领域又一重要进展 3 a c = b d 理论及其在精确求解b u r g e r s 方程中的应用 吴方法还有许多重要的应用1 9 9 3 年起，李志斌教授等【”，1 4 1 利用吴代数消元法， 在求解非线性偏微分方程精确解方面做了很多出色的工作，他通过引入t a n h 函数方法， 将偏微分方程求解问题转化为代数方程组的求解问题，沟通了吴代数消元法与微分方程 之问的关系最近，李志斌教授及其学生基于t a n h 函数方法和椭圆函数展开法在m a p l e 6 平台上编制了计算孤子方程精确解( 孤波解、双周期解) 的软件包r a t h 1 5 j 范恩贵教授 在这方面也做了大量的工作他推广了t a n h 函数方法、椭圆函数展开法和一个广义 的代数方法，借助于计算机并利用吴方法得到了很多方程的精确孤波解近年来，张湾 庆教授及其课题组成员1 1 7 - 2 2 1 在微分方程求解的代数化和机械化方面做了大量的工作， 提出了。a c = b d 理论闰振亚博士例基于两种r i c c a f i 方程，提出了求解非线性 发展方程的更为有效的算法，以此为基础并应用吴代数消元法，由郑学东博士驯编制了 m a p l e 软件包朝鲁教授 2 5 1 将吴微分特征列法( 吴微分漪商去) 应用于微分方程对称计 算，取得了很好的结果陈勇博士、谢福鼎博士和李彪博士 ”- 2 s l 将吴微分消元法应用于 偏微分方程的p a l n l e v d 性质的研究，并根据算法编制了m a p l e 软件包。p t e s t ”，对许多 偏微分方程进行了p - 检验谢福鼎博士吲利用吴微分特征列理论研究了。c d ”对 框架下线性偏微分方程组的完备性 计算机的诞生和数学机械化思想相结合形成了一门新的科学分支，即计算机代数， 它的另个名字是“符号计算”，其研究的主要内容是计算机上数学公式演绎的算法和系 统应用通俗地讲，计算机代数是研制开发和维护符号计算软件并研究其数学理论的 学科计算机代数的最早出现公认以1 9 6 0 年美国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出的l i s p 语言为标志在随后的十几年间，计算机代数的发展弓f 起了国际计算机科学界的重视 到了上个世纪9 0 年代，计算机代数的发展更为迅猛，且不断被应用到其它领域，如高能 物理，天体力学、广义相对论、电子光学，分子物理、自动化等等关于符号计算软件， 目前较流行的有，m a p l e ，m a t h e m a t i c a , l i s p 等，其中m a p l e 最为流行，与其它符号计算 系统比较，m a p l e 的效率比较高，功能强大，而且在逐步完善 1 3 构造非线性偏微分方程( 组) 精确解的若干方法 求解非线性偏微分方程( 组) 不同于线性微分方程，没有也不可能有统一的方法求 解，有时为很准确地研究物体变化的性质，我们需要寻找其对应方程的精确解但由于 微分方程的复杂性。已有的大量的重要方程无法求出精确解，即便能够求得，也需要很 多的技巧况且，具有物理意义的新解还有待于进一步的构造和发现因此求非线性偏 微分方程( 组) 的精确解一直受到数学和物理学家们的关注，它们对理论和应用的研究都 有重要的价值 4 大连理工大学硬士学位论文 值得庆幸的是，经过数学家和物理学家们的不断努力，发现了孤立子理论中蕴藏着 一系列构造精确解的有效方法近年来，非线性偏微分方程精确求解取得了一系列重大 的进展人们提出了各种有效的方法来获得方程的精确解，比如反散射方法、b 赴k l u n d 变换和d a r b o u x 变换、双线性方法等各种函数展开法这些方法都体现了求解的数学机 械化思想随着各种求解方法的出现，不但过去难于求解的方程得到解决，而且新的具 有重要物理意义的解也不断被发现和应甩，出现了层出不穷的势头与此同时计算机代 数以及符号计算软件的快速发展，也使得处理复杂繁琐的计算变得更为简单可以说非 线性发展方程精确求解这一古老课题能够在近几年飞速发展，是与数学机械化的快速发 展分不开的 限于篇幅问题，下面仅对几个常见的方法作简单的介绍，而对其它方法不作解释， 有兴趣的读者可查阅文献了解具体的内容 1 3 1 反散射方法 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s 瑚和m i u r a ( 简称g g k m ) 1 2 9 | 利用s c h r 6 d i n g e r 方程的 反散射理论( 正散射问题和反散射问题) 将k d v 方程的初值问题简化为三个求解线性方 程的问题，结果得到了k d v 方程的n 孤子解，这种处理问题的方法称为反散射法由于 求解过程中用到f o u r i e r 变换及逆变换，有时也称该方法为非线性f o u r i e r 变换法 1 9 6 8 年，l a x s o l 将g g k m 的上述思想进行扩充，提出了用反散射方法求解其它偏 微分方程的更一般的框架，并且指出用反散射方法求解方程的前提是找到该方程的l a x 表示( l a x 对) 1 9 7 2 年z a k h a r o v 和s h a b a t l 4 l 利用l a x 的思想，使用反散射方法求解了 非线性s c h r & i i n g e r 方程，第一次甩实例证明了反散射方法的一般性同年w a d a t i | 3 1 l 甩 类似的方法来求解m k d v 方程，k r u s k a l 用它求解s i n e - g o r d o n 方程1 9 7 5 年w a h l p u i s t 和e s t a b r o o k 提出了只有两个独立变量的非线性偏微分方程的延拓结构方法该方法的 一个重要应用是借助于l i e 代数，可以得到方程的线性表示( l a x 表示) ，这为用反散射 方法求解方程提供了必要条件另外指出了该方法与其它方法的关系1 1 ，但是利用w - e 方法求解太复杂利用陆启铿教授建立的非线性联络理论，郭汉英教授等人简化了w - e 方法，完整地建立了非线性方程主延拓结构的理论和方法利用该方法，他们研究了一 些孤子方程，更简单地获得了l a x 对、代数结构和解的变换 1 3 ，2b 矗c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b a c k l u n d 3 2 在研究负常曲率曲面时，发现s i n e - g o r d o n 方程 t = s i n u 的有趣性质 5 设u 和是s i n e - g o r d o n 方程的两个解，它们之间有如下的关系式 = 一筇如( 鼍) ，t i ：= 一毗+ ；b i n ( 芝) ， ( 1 3 1 ) u 其中p 为参数，这就是著名的b i _ c k l u n d 变换其特点是t 已知s i n e - g o r d o n 方程的个 解“，由上述一阶方程组就可以得掰其另一个新解t ， 利用b i c k l u n d 变换，可从孤子方程的已知解出发求出新的孤子解，并可进一步以新 解作为已知解，可得到方程一系列的解1 9 7 3 年，w a h l q u s t 和e s t a b r o o k 直接从k d v 方 程的两个解，t ，出发，消去这些解的高阶导数，得到联系u 与t ，的微分方程组，这个方 程组就称为w e 形式的b 茜c k l u n d 变换 与b i c k l u n d 变换同等重要的是d a r b o u x 变换1 8 8 2 年，d a r b o u x l s s 研究了个一 维s c h r 簧l i n g e r 方程的特征值问题( 丸= o ) 一曲h u 扛，= 以( 1 3 2 ) 其中u 是给定的函数，称为势函数。a 是常数，称为谱参数d a x b o u x 发现若”和妒 是满足( 1 3 2 ) 的两个函数，对任意给定的常数a o ，令，( z ) = 扣，知) ，即，是( 1 3 2 ) 当 = h 时的一个解，则由 t ，= t + 2 ( i n ，) 。，扛，a ) = 九( z ，a ) 一( 以i n f ) 扛，a ) ，0 ，( 1 3 3 ) 所定义的函数t ，一定满足( l 3 2 ) ( 1 3 3 ) 就称为原始的d a r b o u x 变换d a r b o u x 变 换的基本思想为利用非线性方程的个解及其l a x 对的解，用代数算法及微分运算来 获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解有时人们将d a r b o u x 变换也称为b i c k l t m d 变 换，或者称为求b 五c k l u n d 变换的d a r b o u x 方法 在b 茜d d u n d 变换和d a r b o u x 变换方面，国内外学者做了许多研究工作1 9 7 5 年， w a d a t i 等人将d a r b o u x 变换推广到m k d v 和s i n e - g o r d o n 方程嗍1 9 8 6 年，中科院院 士谷超豪先生将d a r b o u x 变换推广到k d v 族、a n k s 族及( 1 + 2 ) 维高维方程组，并且 将d a r b o u x 变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中另外，延拓法及局部高阶切 丛法等也能获得b 址k l u n d 变换最近，楼森岳教授获得了e u l e r 方程的d a r b o u x 变换， 王明亮教授和李志斌教授提出了求b s d d u n d 变换的有效而简便的方法范恩贵教授发展 了这一工作 1 6 1 ，闰振亚博士嘲、陈勇博士和李彪博士m2 8 1 等也作了许多工作 1 3 3 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a i 删引入了双线性方法，用于构造k d v 方程的多孤子解双线性方 法的求解过程可以归纳为下面几个步骤：第一步，引入因变量的变换，将原方程改写成 6 大连理工大学硬士学位论文 双线性形式；第二步，采用级数扰动展开法，求出双线性方程的单孤子解，双孤子解及 三孤子解；第三步，猜测n 孤子解的表达式，并用数学归纳法验证 最近。胡星标教授等人很好地发展了该方法，并且给出解的互换定理和非线性叠加 公式1 9 8 8 年，b o i t i 等人使用该方法研究了( 2 + 1 ) 维模型，提出了孤子解的一种特例 - d r o m i o n 结构随后，人们证明其它一些( 2 + 1 ) 维方程也有v r o n l i o n 结构1 9 9 6 年， 楼森岳教授使用h i r o t a 方法研究了个( 3 + 1 ) 一维k d v 型方程，证明了该方程拥有丰富 的类d r o m i o n 结构1 9 9 3 年，r 0 6 e l l a t l 和h y m a n 为了研究非线性色散模型的影响，提 出了k ( m ，n ) 模型，并且给出了该方程在分段连续情况下的c o m p a c t o n 解，该解具有弹 性碰撞等有趣的类似于孤子解的性质该方程的其它性质已被广泛研究最近，刘青平 教授等使用双线性方法研究一类超对称方程，非常漂亮地获得了这些超对称方程的l a x 对b i ；c k l u n d 变换及其非线性叠加公式 1 3 4 齐次平衡法 1 9 9 5 年，王明亮教授等人l 删提出了齐次平衡法，求解了很多方程1 9 9 8 年范恩贵 教授1 1 6 l 充分发展了这方法，用于获得b 苴c k l u n d 变换，相似约化及更一般形式的精确 解楼森岳教授提出了t a n h 函数法吲，r c o n t e 提出了射影r i c c a t i 方程展开法i 鹅j 。 刘式适等人提出了j a c o b i 椭圆函数展开法阳，删，范恩贵教授提出推广的t a n h 函数法 m l ，闰振亚博士提出s i n e - c o s i n e 展开法旧删，p f 1 0 s e n a l l 提出广义的双曲函数法 4 4 1 2 0 0 1 年，田播教授和高以天教授提出了变系数均衡作用法，这方法是对齐次 平衡法的改进和推广利用这方法，我们不但可以求解常系数非线性发展方程( 组) ， 也可以求解变系数非线性发展方程( 组) 关于这一方法的进展可以参考文献 4 e 1 1 3 5 。a c = b d 框架下的精确求解。 1 9 7 8 年，张鸿庆教授m 提出偏微分方程求解的构造性机械化算法，即“a c = b d ” 法他借助代数的理论来构造偏微分方程组的解，结果大批力学问题所对应的偏微分方 程组的求解问题，在一个统一的模式下得到了解决最近，在这一思想的基础上，又提 出了。g d 。对和。c d 。可积系统的概念1 4 7 - 5 s 1 构造微分方程精确解的方法还有很多，但是由于非线性方程本身的复杂性，使得这 类努力的结果往往得到只是少数的解，至今尚无统一的方法来构造精确解 7 第二章a c = b d 理论与c d 对的构造方法 求微分方程的解是既重要又困难的课题长期以来许多数学家和物理学家做了大量 的工作，提出了很多求解方法但是仍有很多重要的具有实际物理意义的方程( 组) 无法 求出显式的解析解或仅求出很少类型的解在求解中，往往一种方法只能用来求解一类 方程或某些特殊类型的饵，很难有适合于各类方程( 组) 的统方法 1 9 7 8 年，张鸿庆教授将代数消元和因式分解思想方法用于微分方程组的求解，成功地 解决了大类( 超定) 微分方程组的约化问题，并提出求解微分方程( 组) 的。a c = b d 。 思想使得这一思想在电动力学、弹性力学、流体力学、量子力学、孤立子理论、物理学 等方面得到了广泛的应用这一思想是一个开放的思想，遵循。简易、变易、不易”的 原则近年来该思想推广到解决非线性问题中，张鸿庆教授又提出了c d 可积系统与 c d 对的概念，形成了在微分方程( 组) 求解中的c d 可积理论 4 7 - 船1 。在孤立子理 论及其应用方面有了很好的成绩 本章简要介绍张鸿庆教授提出的关于微分方程( 组) 求解的。a c = b d 。理论及应 用、c d 对的构造方法 2 1a c = b d 理论概述 。a c = b d ”的基本思想方法是将复杂不易求解的方程( 原方程) 通过适当的变 换转化为简单易于求解的方程( 目标方程) 其具体格式是；设a u = 0 为待求解的原方 程，d v = 0 是易求解的目标方程，则原方程的求解就变为寻找适当的变换u = c ”，使得 a u = 0 _ d v = 0 ，且c k e r d = k e r a 下面给出。a c = b d 理论的相关定义和性质 定义2 1 1 设x 是线性空问，a ，b ，c ，d 是从x 到x 的算子，对任意 x ， a c o ) = a ( c 锄) ，b d ( v ) = b ( d v ) ， 如果对x ，a c v = b d v ，则称a c = b d 定义2 1 2 如果对于算子a ，存在算子b ，c ，d ，使得a c = b d ，c k e r d = k e r a ， 其中k e r a = u a u = o ) ，k e r d = 驯d 口= o ) ，则称a u = 0 为g d 可积系统若 c k e r d k e r a ，但c k e r dck e r a ，则称a u = 0 是部分可积系统 定义2 1 3 算子c 和d 称为算子a 的c d 对，如果系统 鬻：三尝 偿， a c = b d 理论及其在精确求解b u r g e m 方程中的应用 定义2 1 4 若方程组 凳：三：的相容条件为知_ 0 ，则称a u = 0 是c 一。 可舭并且 凳：三：为胤= 。的c - d 对 a = 巨习 其中啦是线性偏微分算子，b ，g ，d 是偏微分算子矩阵，且满足a c = b d ，c k e r d = k e r a ，则非齐次方程a u = ，的一般解可表示为“= c v + e ，d v = 9 ，其中e ，g 是方 程 e + b g = f 的一组解 推论2 1 1 l t m 若x 是线性空间且c k e r d ) k e r a ，则a u = 0 的一般解可以用 u n = c 逼近，其中u 。满足d r = 0 推论2 1 2 1 5 0 i 若a ，b ，c ，d 是线性算子，x ，a c = b d ，c k e r d ) k e r a ， 则胤= ，的一般解为“= 西+ e ，其中 满足d v = g ，e 和g 满足a e + b g = ， 证明：如果存在从x 到x 的算子m ， r 和e 使得a m + b n = e ，则e = m 西和 g = 咖满足方程 e + b 口= ，其中咖满足方程e 咖= ， 大连理工大学硕士学位论文 一 莩：喜嚣 协z u = 西= ( 亳，丕) ( 2 2 2 ) 肌抓( 昙+ 嘉肛o ( 2 2 3 ) l 酬e + 谢) = ；旦学， ( 2 2 4 ) ( | ) = 瞧事胁 协舶， 卦 降鲫：) 仁 州厶一：辞) ( 2 ) 一o 偿。力 情况2 非线性微分方程一线性微分方程 例3 b e r n o u l l i 方程嘲 a u = t ，+ p ( z 扣一口( z ) t ，= 0t l 1 ，( 2 2 8 ) 令 ：踟：口击，( 2 2 9 ) 则有t a u = a c v = 仃t r 兰i d + p v q ) = o ( 2 2 1 0 ) 例4 势b u r g e r s 方程嘲 舭= 随+ ；( a k ) 2 一 l = o ， 。2 1 1 ) 基于a c = b d 的思想，我们取变换 = c v ；一2 a i n 口， ( 2 2 1 2 ) 将( 2 2 1 2 ) 其代入( 2 2 1 1 ) 可得 b v ：一了2 a ，d ：地一 t 7 嚣：0 ( 2 2 1 3 ) 口 很显然可以证明a c v = b v d v ，并且还可以证明c k e r d = k e r a 因此说a u = 0 的解析 解可以表示为u = c v ，d v = 0 情况3 变系数偏微分方程一常系数常微分方程 例5 具有三个任意函数的变系数k d v - m k d v 方程嘲 a u = u t + k o ( t ) i z z 一口1 t 产u + 2 a 2 ( t 瑶+ 讹。t ) l + a s h ( t ) k o ( t ) t n b + k l ( t ) + k 2 ( t ) x l u + j r 2 ( t ) t ， ( 2 2 1 4 ) 1 2 毋 谚。 露 磋 ，-l = 酚 聊 方标目 么 那 其中啦0 = l ，2 ，3 ) 为常数， ( t ) = 唧卜j ：j 岛( s ) 如】，k o ( t ) 虬( t ) ，9 2 ( t ) 为t 的任意函数 做变换 z ，t ) = c v = f ( t ) v ( o ，f = f ( t ) x + 9 ( t ) ，( 2 2 1 5 ) 则( 2 2 1 4 ) 变为 a u = k o ( t ) 【，t t ，一a l f 4 口2 v t + 2 a 2 ( ，4 t ，2 + ，4 ) 1 - t - a 3 h ( t ) i f o ( t ) f 3 m + 腑( t ) ，2 + ，乳+ ( k 2 ( t ) f 2q - f d z t ，+ ( j 幻( t ) ，+ f t ) v = 0 ( 2 2 x e ) 令 k 2 ( t ) f 2 + | l t = n k 2 ( t ) f + | 吼= d o k o ( t ) 产。 可得 ，( d = a 唧卜f k 2 ( s ) d 司， ，( t ) = z f 。_ 3 j 白( d 唧( 一3 z j 幻( s ) 幽) 觚( t ) 唧( 一z 恐p m 叫出+ 口 ( 2 2 1 7 ) 利用( 2 2 1 7 ) 可知目标方程为 d v = a l , 0 2 , 0 7 + 2 n 2 酽+ ) + 署t ，t j ，+ d o 口7 = o 情况4 变系数偏微分方程一常系数偏微分方程 例6 变系数m k d v 方程i 叫 a u = 毗+ 凰( t ) ( t 锄+ 6 t 2 t k ) + 4 k 1 ( t ) u z h ( t ) ( u + x u z ) = o ( 2 2 1 8 ) 其中甄( t ) ( t = 0 ，1 ) ，h ( t ) 为t 的任意函数作变换 ”= e x p ( j 厂 ) 蚴毗机 q = z e x p ( f h ( 伽t ) _ 4 j 厂现唧( d f ) 幽 r = fk o ( t ) 唧( 3 琊) d t ) d t ， 则( 2 2 1 8 ) 约化为常系数k d v 方程 姊+ 船2 心+ 2 娃e = o 情况5 高阶微分方程一低阶微分方程 a c = b d 理论及其在精确求解b u r g e r s 方程中的应用 例7 浅水中的w h i t h a m - b r o e r - k a u p 方程嗍 t l t + t f + + 卢t b z = 0 ， 吨+ 扣u k + q t b z 2 一卢t k = 0 若取 扩= ( ：) 一( 鲁芎+ 嘶) ， 则可化为目标方程t 低阶b l l r g e x s 方程 d w = 毗+ 2 毗+ 锄= 0 ( 2 2 1 9 ) 情况6 非齐次方程的情形( a u = ，) 例8 考虑均匀各向同性体弹性力学方程组a u = ，其中刚 砖+ k l 砖； a = 1 留+ 七i 嚷 i ( 2 2 卿 既 嚷霹+ 女l 设 ， f + k l 一鼠 一g 瓦一i z 以 一 岛 c = l 一岛+ h g 吼一吼 一 岛i ， ( 2 2 2 1 ) 一 毛一l 以 + k x 一 以一也 ，一+ k l 一 以 一l 如一以 一j i o 。 b = i 一 岛 一+ 七l l 岛一 毛一a o l ， ( 2 2 2 2 ) 一；毛一g 也一+ k t 一 玩一包 d ；d i a g a ，a ，a ，) ，( 2 2 2 3 ) 其中a = 键+ 瑶+ 砖，则a c b d ，因而t = 幽，m = 0 是齐次方程组a u = 0 的解 对非齐次方程组加= ，先求a e + b g = ，的一组解 e ；帅= 【k l ，瓦f 2 鼍，一普一警一鲁n ( z 立刎 其中，= 1 1 ，2 ，3 】t 。则非齐次方程组a u = ，的解为u = c 以d = g 这正是b 劬午 p a p k o v i c h - n e u b e r 的解。 情况7 微分方程一代数方程 例9 ( 3 + 1 ) 一维k p 方程 + 6 砖+ 6 t 一一一u z 。= o ( 2 2 2 5 ) 1 4 大连理工大学硬士学位论文 对方程( 2