（通信与信息系统专业论文）qam解调器定时恢复算法的研究和实现.pdf

摘要 本文介绍了q a m 解调器，阐述了正交幅度调制( q a m ) 的基本原理，重点 研究了在q a m 解调系统中的时域恢复技术；本文在传统的自同步时域恢复的基础 上，引入了基于非同步采样的内插时域恢复，并通过m a t l a b 仿真，讨论了内插滤 波器的设计与优化方法，分析了定时误差检测的性能和内插滤波的非理想性；最 后结合a l t e r a 公司的q u a r t u s 仿真环境，采用f p g a 实现了以上的电路方案。 关键词：0 a m 解调器时域恢复内插滤波器定时误差 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fq a md e m o d u l a t o ra n dt h e b a s i cp r i n c i p l eo fq a m ( q u a d r a t u r ea m p l i t u d em o d u l a t i o n ) e m p h a s e si s0 1 1t h et i m i n g r e c o v e l tt e c h n i q u et o r p a ? o v e rt h es y m b o lt i m i n gu s i n gaf i x e dc l o c kt h a ti sn o t s y n c h r o n i z e dt ot h et r a n s m i t t e rc l o c ka n dn o n - i d e a li n t e r p o l a t i o ni nt h eq a m d e m o d u l a t o r o nt h eb a s i so fm a t l a bs i m u l m i o n t h i sp a p e rp r o p o s e saf a m i l yo f t r a d i t i o n a la n do p t i m i z e dp o l y n o m i a li n t e r p o l a t o r s a n das t a t i s t i c a la n a l y s i so ft i m i n g e r r o rd e t e c t o ri sp r e s e n t e d i nt h ee n d ，f p g ac i r c u i ti sd e s i g n e di nq u a r t u s k e y w o r d ：q a md e m o d u l a t o r i n t e r p o l a t o r t i m i n gr e c o v e r y t i m i n ge r r o r 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：鹰i 螽 日期j 星! 堕旦 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间沦文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文( 与学位论文相关) 工作成果时署名单位仍然为 西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保 存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名：蕉j 强日期竺区：! i 导师签名： 日期型! ：至堡 第一章绪论 第一章绪论 人类进入二十一世纪以来，通信领域展现出一幅多姿多彩的画卷各种新业 务、新型网络构造和新型设备不断出现，需要在原有的信道上以更高的速度传输 数据。q a m 调制技术调制效率高，能够很大程度的提高传输速率，并且其传输 速率会随着阶数的增加而提高，因此，高阶q a m 越来越受到人们的关注但是， q a m 阶数的提高，势必对q a m 解调的关键技术：时域恢复，均衡，载波恢复的 要求也越来越高因为时域恢复处在解调系统的前端，在它完成符号同步后，均 衡和载波恢复才能开始工作，所以其性能的好坏将直接影响后端均衡和载波恢复 的工作本文重点研究高阶q a m 解调的时域恢复技术 1 1q a m 解调器概述 正交振幅调制( q u a d r a t u r ea m p l i t u d em o d u l a t i o n ) 是一种幅度和相位相结合 的调制方式。与m a s k 信号单独使用幅度携带信息及m p s k 信号单独使用相位 携带信息不同，q a m 同时使用幅度和相位携带信息，大幅度的提高了频带利用 率。q a m 是利用两个独立的数字基带信号对两个互相正交的同频载波进行抑制 载波的双边带调制，利用这种已调信号在同一带宽内频谱正交的性质来实现两路 并行的数字信息传输。 m q a m 调制相应的信号波形可以表示为： ( f ) = r e ( a o + 乒) g ( t ) e j 2 f d 】0 t t = 以。g ( t ) c o s 2 x f d a = g ( t ) s i n 2 l r f d ( 1 1 1 ) 式中，厶。和名。是承载信息的正交载波的信号幅度， 彳。，1sm 材 ， 以。，1 m s m ) 表示m 个可能的幅值，相应于m = 2 个可能的长度为k 比特的 信息组或符号，膨为以。和4 。的电平数，波形g ( t ) 是实信号脉冲。上式由两个 相互正交的载波构成，每个载波被一组离散的振幅 彳。) ， 如) 所调制，故称这种 调制方式为正交振幅调制。 全数字可变速率解调器框图如图1 1 所示。 2 q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 图1 1 q a m 解调器框图 解调端的信号流程是这样的：从天线接收下来的信号经过高频头变为中频模 拟信号，放大后经过气巾转换为数字信号。其中a d 采样钟受晶振v c x o 的控 制。a d 转换后的数据一路做a g c 检测去控制高频头和中频放大的输出，另一 路经过d d c 下变频，转换为一个准基带信号，它含有频偏、相偏、多径以及噪 声的干扰。当a g c 稳定后，把该准基带信号送入采用内插滤波器方法来实现的 符号同步电路，同步锁定后将以符号速率送入均衡和载波恢复模块，纠正的频偏 误差返回d d c ，以消除频偏。 按照以上框图q a m 解调器包含以下几部分：自动增益控制( a g c ) 、下变频 ( d d c ) 、时域恢复( t i m i n gr e c o v e r y ) 、均衡( e q u a l i z e r ) 和载波恢复( c a r d e r r e c o v e r y ) 。而其中，时域恢复、均衡和载波恢复是q a m 解调中的关键。时域恢 复主要克服定时误差及白噪声的影响；均衡及载波恢复，主要克服的是多径、频 偏和相偏的影响。 1 2 研究时域恢复技术的意义 q a m 调制技术在现实中已经有了广泛的应用。目前国际上数字电视有线广 播标准基本采用q a m 调制方案，其中的d v b c 、i s d b c 采用的是阶数为1 6 、 3 2 、6 4 、1 2 8 、2 5 6 的q a m 调制技术。除此之外，q a m 调制还主要应用于数字 微波、h f c 网络、微波m m d s 、x d s l 等宽带数字应用系统中。如数字微波中的 本地多点分配业务( l m d s ，l o c a lm u l t i p o i n td i s t r i b u t es e r v i c e ) ，为了提高频谱 利用率，就采用了多电平q a m 调制技术，目前已达到2 5 6 和5 1 2 q a m ，很快就 可实现1 0 2 4 2 0 4 8 q a m 。在会议电视、因特网、i p 电话等应用中也普遍采用q a m 作为其调制技术。 而在q a m 解调系统中，信号是通过有线信道传输的，由于信道的影响，有 线信道中的加性高斯白噪声会引起星座图的模糊，我们主要通过带通滤波，以减 少加性高斯白噪声的影响。由于信道的时变特性，解调端本地晶振与调制端的频 差及传输延迟的影响，导致信号相位在传输中会受到损害，引起相位的抖动。为 第一章绪论 3 了在时域上恢复出原符号，要求在解调端中有一个与符号率同步的时钟，时域恢 复技术就是为了克服定时误差的影响，恢复出符号同步时钟以进行定时判决，获 得调制端传送的脉冲信号。 如上所述，q a m 技术由于其独特的调制方式，能带来传输速率的极大提高， 更有效地利用了带宽。随着多媒体业务的繁荣和发展，使得人们对数据传输速率 的要求越来越高，高阶q a m 调制的应用也越来越多，这就对q a m 解调提出了 更高的要求。对于q a m 解调中最重要的时域恢复、均衡和载波恢复三部分，也 要提出相应的算法或改进算法以适应高阶q a m 解调的需求。时域恢复的作用就 是要选取正确的采样位置，即定时相位。随着调制阶数的提高，信号点之间的距 离越来越小，相差也越来越小，码间干扰越来越大，因此，对定时相位的选取也 需更加精确。时域恢复部分是解调系统中极为重要的一个环节。 1 3 本文的主要工作 本论文源于所研究的“高阶q a m 信号的全数字化解调器的实现”的项目，作 者主要对q a m 解调中时域恢复问题进行算法研究和f p g a 实现。解调器要求：1 ) 发送的符号速率可变，变化范围约在l 7 m b i t s 之间；2 ) 中频频率范围在6 0 m - 8 0 m 之问可变；3 ) 可以从m m i ( 人机接口) 利用软件控制需要解调的信号类型，设 置符号率和中频频率参数，并且能够从f p g a 中给出同步指示信息和载波恢复指 示信息，从而实现可控制的q a m 信号的解调。作者首先研究了时域恢复中的内 插滤波技术，然后对三角多项式内插滤波器的系数进行了优化，最后对已有的 g a r d n e r 定时误差检测器进行了改进，使之更适用于处理q a m 信号，并且与同步 锁定器相结合设计，提出了一种既完成定时误差检测又能给出同步指示信号的新 方法。 本论文分为六章，结构安排如下： 第一章为绪论，主要介绍了q a m 解调器的基本原理和结构，指出了q a m 解调器中时域恢复的意义。 第二章讨论了单载波解调系统中的几种传统的时域同步算法，分析并结合本 项目的要求，在q a m 解调中采用了其中的内插时域同步算法，给出了本项目中 所应用的时域恢复模块框图。 第三章分析研究了时域恢复中最为重要的内插滤波器的特性和结构，讨论了 几种传统的内插滤波器并给出实现方案；深入研究了新近出现的三角多项式内插 滤波器的算法和原理，并提出了对三角多项式内插滤波器系数的两种优化设计方 案，使其更接近理想滤波器的频率响应特性，主瓣更平坦，同时也减小了旁瓣波 纹幅度，仿真结果表明，采用优化设计方案后，性能提高了约4 d b 。 4 q a m 解调器定时恢复算法的研究羽i 实现 第四章给出了时域恢复模块中其他部分的实现方法，包括定时误差检测器、 环路滤波器和数控振荡器。由于g a r d n e r 算法具有对载波频偏不敏感的优点，在 定时误差检测器的设计中，作者将其改进，使之适用于q a m 信号。针对本项目 给出同步指示的要求，结合同步锁定的方法，提出了一种与g a m d e r 检测器结合， 既完成定时误差检测又给出同步指示信号的新方法。 第五章描述了时域恢复部分的m a t l a b 仿真和f p g a 硬件实现。 第六章总结全文，并给出了今后工作的一些展望。 第二章时域恢复技术 第二章时域恢复技术 本章首先介绍了时域同步的目的和方法，然后通过对不同时域同步方法的研 究，并结合我们要实现的q a m 解调器的性能要求，采用了内插时域同步算法， 最后给出一个具体的时域恢复部分的设计框图 2 1 时域恢复技术的介绍 2 1 1 时域同步的概念和目的 在数字通信系统中，解调端必须以符号速率在f = m t + f 的精确抽样时刻上抽 样，以获得发送的符号，其中r 是符号间隔，f 是信号从调制端到解调端传播时 间的标称延迟。为了从时域上恢复出原符号，要求在解调端有一个与符号率同步 的时钟。在解调端提出这种时钟信号的处理过程通常称为时域恢复或符号同步。 图2 ，1 定时同步的目的 利用图2 1 ，定时同步的目的可描述如下：对输入的信号，以固定时钟1 t 进, 行采样，以本项目为例，当符号率为1 3 8 m ，采样率为5 5 2 m 时，通过a d 采样 后一个符号周期有4 个采样点，通过定时同步模块后，一个符号周期内插出2 个 点，分别是最佳观察点和两个最佳观察点之间的次最佳观察点，并产生新的时钟。 在该时钟下，后端的均衡器对内插点进行均衡处理。 6 q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 2 2 2 定时同步的方法 近年来使用的定时同步方法有以下几种。 将调制端和解调端的时钟都同步到一个主时钟上，该时钟提供一个非常精确 的定时信号。这样，解调端必须估计和补偿发送与接收信号间的相对延迟，无线 通信系统甚低频段发送精确的时钟信号就属于这种情况。 另一种方法是调制端在伴随信息信号的同时发送一个时钟频率为符号频率或 者其倍频的信号。解调端可以使用一个调谐到发送时钟频率上的窄带滤波器来提 取时钟信号。该方法常用于电话传输系统，使用比较大的带宽传输许多用户的信 号。在这种情况下，信号解调中的时钟信号的传输被许多用户共享，调制器的功 率和带宽分配上付出的代价随用户数增加成比例的减少。这种方法简单易行，但 是有两个比较明显的缺点：一是时钟信号的传输占用调制端的有用功率，二是时 钟信号的传输占用一小部分有用的信道带宽。 还有一种方法就是从接收的数据信号中提取时钟信号，这种方法被称为自同 步或者盲同步。这种同步方法不需要估计发送和接收信号间的相对延迟，并克服 了第二种方法的缺点，不占用额外的发射功率和信道带宽，采用信号处理的方式， 从接收到的数据信号中提取时钟信号。这样，既降低了系统复杂度，又提高了传 输速率，在实际中得到了广泛的应用。 在数字通信系统中传输独立的时钟会降低效率，因为它需要额外的带宽及功 耗，因此一般都用前面提到的第三种同步方法一自同步法。而且，在解调端可以 用不同的方法获得自同步，因此，我们研究的q a m 解调器中的时域恢复模块就 采用这种自同步技术，这将是本文研究的重点。 2 2 传统的自同步技术 正如前面所说，自同步由于其内在的特点和优点，在同步通信系统中应用广 泛。下面我们将对不同的自同步技术作个简单的分析。 根据对数据信号信号处理的方法不同，可以把自同步分为连续时间处理和离 散时间处理两种。 1 连续时间处理的自同步技术 连续时间处理的自同步控制如图2 2 所示，通过反馈环调整模拟匹配滤波器 后面的本地采样时钟相位来实现同步，通常在第k 个符号的最佳采样时刻提取输 出采样点，从中恢复数据。 第二章时域恢复技术 7 图2 2 连续时间处理的自同步 此种算法的优点是直观、便于理解，而且技术上已经非常成熟：缺点是不利 于全数字化的系统集成。 2 离散时间处理的自同步技术 当采用数字匹配滤波器时，在匹配滤波器的前面需要放置一个模拟到数字的 转换器( a d c ) 。a d c 每r 间隔采样带限信号，其采样速率满足奈奎斯特条件。采 样值r 0 z ) 送入匹配滤波器滤波。 离散时间处理自同步有两种方法，一种仍然是通过采样点提取时钟信号调整 采样时钟来达到同步，如图2 3 。这种方法的优点是产生的样值在频率和相位上 都是和数据钟同步的；缺点是反馈环路中包含模拟电路( 压控钟v c c ) 且匹配滤波 器在反馈环路里，增加了传输延迟，使环路不稳定。这种方法中既有模拟电路又 有数字电路，所以属于数模混合的方法。这种方法有其自身的优势：它产生的样 值在频率和相位上都是和数据钟同步的。但是它也存在着很大的缺陷： 1 ) 其后反馈路径中包含模拟电路，增加了前端模拟设计的复杂性。 2 ) 匹配滤波器在后反馈环路里，增加了传输延迟和环路的不稳定性。 3 ) 相对于第二种采用固定频率采样钟的方法，v c c 产生更大的相位噪声。 4 ) 如果信号是多路的，这种方法就不能把a d c 放在中频处，即不能中频采样。 图2 3 混合方法时钟恢复 第二种方法如图2 4 所示，用一个固定频率的采样钟1 i t , 采样信号，1 正与 数据钟l i t 不同步，用数字信号处理的方法对异步采样值进行估计延迟，其中的 数字信号处理技术就是我们下一节要详细研究的内插时域恢复技术。由于这种方 法是全数字实现的，大多数q a m 解调器都采用这种方法。 q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 图2 4 数字方法时钟恢复 2 3q a m 解调器中内插时域恢复 本文研究的q a m 解调器的符号率是可变的，即中频频率在6 0 m 8 0 m 可变， 与之相关的采样率也随之可变，因此设计中，时域恢复模块必须完成可变符号速 率同步的问题。传统的方法是解调端用一个稳定可靠的采样钟同步锁定，v c c 产 生的时钟在一定范围内可调( 上一节所说的数模混合方法就是这种方法) 。v c c 是模拟器件，接收的信号来自于不同的调制端，如果符号速率不同，就需要对每 一个不同符号速率的调制端对应一个v c c ，这当然是难于实现的。因此在我们的 解调器端中，采用了全数字的时钟恢复方法，采用数字信号处理( 即内插滤波器) 方法完成符号速率的锁定。此方法可以很方便的实现可变速率的符号同步，并且 是全数字实现，便于解调端的数字集成。 用非同步内插时域恢复的方法来实现符号同步，实际上是完成了一个码率的 转换。从非同步的a d c 采样数据中，找到符号的最佳采样点恢复出原符号，这 样也能处理较大范围的码元速率，便于提高系统的集成度。它的总体思想是建立 在内插滤波的基础上的。可以用下面的图2 5 说明内插滤波器的工作原理【l j 。推 导出插值滤波器的方程。 h a t ) 圈2 5 内插滤波器的等效实现 输入采样数字信号工( 聊z ) ( 册= m + m ) ，经d a c 变换后，通过一个冲激响 应为啊( r ) 模拟插值滤波器滤波，滤波器输出得到时间连续信号y ( f ) ： 第二章时域恢复技术 ) ，( f ) = x ( 肌z ) 啊( ，一所z ) ( 2 3 - 1 ) 对y ( ，) 在时刻t = 媚重采样，取霉= t k ，k 一般取小整数。由于霉通常为小数， 所以巧z 的比值常为无理数；采样率1 t , 和符号率1 t 也不成比例，新的内插样 值) ，( 七z ) 可以用以下公式表示： y ( 钙) = x ( m c ) 鸟( 蝎一脚z ) ( 2 3 - 2 ) m 由于用数字方法实现插值运算时，整个系统通常工作于统一的采样时钟m r , ， 而实际上蝎并不存在，因此霉应该用t 来表示。改变式( 2 3 - 2 ) n - j 得到更有用的 形式： y ( i f l j ) f y ( m k + 版) z 】= x 【( 他一f ) t b 【( i + z k ) t , 】 ( 2 3 3 ) 式( 2 3 - 3 ) 即为数字插值公式。其中，r n t = i n t k r t , 】，被称为基点，肌= 碣z 一， 定义为小数偏差，为整数，0 以 1 。如果内插滤波器采用f i r 形式，那么用 来计算内插值的内插滤波器的阶数是，= l 一+ 1 。插值中的t ，霉，m k ，以的 定时关系可由图2 6 看出。 小数偏筹 9 基点 输出采样时问 图2 6 定时误差调整前后的抽样关系 从x ( m t , ) 到) ，( 螺) ，可以看到内插滤波器实现了一个码率的转换，得出了在 时刻魍的采样值，所以我们可以用内插滤波器来实现符号同步。 由式( 2 3 3 ) 可知，要成功的实现可变速率符号同步，就必须能产生和以的 值。所以符号同步除了内插滤波器外还必须包括定时误差检测、匹配滤波、环路 滤波、数控等模块。图2 7 给出了一个比较完整的反馈定时环路框图。其中匹配 滤波器与调制端的成形滤波匹配是为了消除码间干扰的影响；定时误差检测器检 测定时误差信号；环路滤波器滤除定时误差检测器输出的误差信号的高频分量： 数控振荡器是为了获得内插滤波器所需要的忱和肌。在以后的章节中我们将具 体介绍各种内插滤波器的设计方法，并详细分析其他相关模块的设计。 竺s 坠竺塑塑矍塞! ! 堡里壁鲨竺婴窒型壅翌 r ( r ) 图2 7 反馈定时环 第三章内插滤波器 第三章内插滤波器 在时域恢复中，内插滤波器通过在已知离散采样序列的任意采样点之间插入 新的采样值，完成对任意采样率的转换本章首先介绍各种内插滤波器的结构， 包括比较简单的线性内插，三次多项式内插、抛物线内插，及以后的性能有了很 大提高的三角多项式内插，多相内插算法等，然后就我们使用的三角多项式内插 滤波器的性能作重点分析，最后利用最小最坏情况下优化算法和多项式和频域联 合优化算法进行了系数优化，给出了性能仿真结果。 3 1 内插滤波器的特性和结构 3 1 1 插值滤波器的特性 下面我们从脉冲响应啊( f ) 和频域响应岛( 力的角度对内插滤波器的性能做进 一步的分析。我们对式( 2 3 一1 ) 分析可知，对于一个带限信号工( f ) 采样，只要满足 采样定理，就可以用一个理想低通滤波器对工( f ) 重新采样，从采样值x ( m t , ) 中无 损失的恢复出原信号工( f ) ，见式( 3 1 1 ) ： x ( f ) = x ( m t , ) h l ( t - i t , ) 0 1 1 ) 其中理想低通滤波器的脉冲响应和频域响应如式( 3 1 - 2 ) 和式( 3 1 3 ) 所示： g ( t ) = 筹 ( 3 1 - 2 ) = ：仆f l 1 1 l 珥2 t , 因此，内插滤波器的理想形式就是一个理想低通滤波器，由于理想滤波器是 非因果的，实际的滤波器不可能达到理想特性口1 1 3 1 ，所以不可能用实际的内插滤 波器来无损失的恢复x ( f ) 。实际在数字解调端的符号同步中，对工( r ) 的完全恢复 是没有必要的，我们需要的是信噪比最大的点( 即眼图睁开最大的点) ，产生的正 确值。 在时域上，内插滤波器的脉冲响应要求在脚f 处，m = o 1 ，垃，应与理想 低通的脉冲响应值相等。内插滤波器的频率响应是我们考察它们性能好坏的主要 依据。一个带限信号用采样率1 t , 进1 7 采样，得到采样值为x ( m t , ) 。它的频谱以 旦 q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 采样频率1 t c l x ( t ) 的频谱进行周期性的延拓，内插滤波器的作用就是抑制掉它 的镜像频率。在通带上，能够通过从0 到l 2 t , 的所有频率，并且具有线性相位特 性；在阻带上，具有完美的阻带特性，衰减尽可能大，能够完全抑制l 2 频率 以上的所有镜像频率分量。任何没有抑制掉的镜像频率都会在重采样时引起频谱 的混叠，从而产生一个对重采样值y ( 够) 的干扰，如图3 。1 所示。 ( a ) x ( o 的频谱( b ) x ( m t 。) 的频谱 ( c ) y o ) 的频谱( d ) y ( z ) 的频谱 图3 1 信号频谱 实际实现的时域恢复中，内插滤波器的性能越接近理想，它的实现也就越复 杂。考虑到数字接收机中，内插滤波器的滤波特性仅仅是整个解调端要求滤波性 能的一部分，可以通过接收机中的其他滤波器，如匹配滤波器对其性能进行补偿， 所以，也减少了内插滤波器的复杂度。 3 1 2 插值滤波器的结构 内插滤波器每次计算插值点都要重新计算新的滤波器系数( 即h a t ) 的采样 值) 。从式( 2 3 3 ) g 以得到以下结论：y ( 蝎) 由小数偏差以，采样值和滤波器 抽头数，决定。对于f i r 滤波器，滤波器抽头数为1 = 厶一+ l ，每次计算插值点 需要传递，个系数和，个采样点，所以内插f i r 滤波器抽头系数啊【( f + 以) i 】的值 仅由此决定。对于i i r 滤波器，除了系数和采样点，还需要知道先前滤波器的输 出值，而该值不能由当前的小数偏差风确定。所以对插值滤波器而言，一般都选 用f i r 结构。 根据文献【5 】中的插值滤波器理论可知，抽头系数，应该满足： 1 参与内插f i r 滤波器运算的采样信号个数必须为偶数，也就是，必须为偶数。 2 插值运算必须在采样信号组的中间间隔进行。 插值滤波器可以有两种实现方法： 1 实时选择滤波器系数。将版值量化，根据不同的以量化值，预先计算和存储 第三章内插滤波器 内插滤波器冲激响应h a t ) 的采样值，每次计算插值时要从存储器中取出，个 采样值( 即滤波器系数) 载入一个横向滤波器。这种方法需要较大的系数存 储空间，胁量化精度越高，所需存储空间也就越大。它对基于各种函数的内 插滤波都是适用的，但同时也带来了量化误差。 2 直接实时计算插值点。该方法在使用时不用预先计算和存储内插滤波器冲激 响应 ，( f ) 的采样值，不需要系数存储空间，也就不会带来量化误差，但只适 用于多项式内插滤波，通常的多项式内插都采用这种方法。 3 2 用于定时恢复的各种内插算法 内插滤波器广泛应用于符号定时恢复系统中。它的构造方法有很多，存在着 各种各样的构造函数，如升余弦滚降内插 6 1 ，s i n e 内插，多项式内插，m m s e 内 插等。其中，最引人注目、最受重视的是基于多项式的内插滤波器。多项式内插 滤波器的脉冲响应h a t ) 在时间t ( 或者等效地关于a k ) 上是一个多项式或分段多 项式，由于它描述方便、滤波性能好、易于实现，目前得到了广泛应用。如早期 简单的线性内插、拉格朗日多项式内插、分段抛物内插，和最近的各种各样优化 多项式内插、三角多项式内插、多相内插等。 选择多项式插值滤波器是基于如下考虑： 1 关于多项式插值有大量的文献资料。 2 此类滤波器易于描述，可用简单的f a r r o w 结构l l 刨实现。 3 可以达到很好的滤波器特性。 下面通过图3 2 对传统的f i r 内插滤波器进行描述，并推导出它的f a r r o w 结构实现图。式( 2 3 3 ) 中可以看到，每一个内插值) ，( 碣) 的输出，其对应的内插 滤波器的系数也是随着以变化的。 图3 2 传统的f i r 内插滤波 一1 4 q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 传统的f i r 滤波器传输函数为： 珥( ：) ：羔啊【( f + 以) 乃 ( 3 2 - 1 ) i = l 。 我们用以的阶多项式来描述啊【( f + 以) i 】 啊( f ) = 啊【( f + ，气) 正】= 6 二( f ) ( 3 2 - 2 ) 因此，将式( 3 2 - 2 ) 代入式( 2 3 3 ) 可得插值点计算公式： e l ( ：) ：壹兰k ( d 心l 一 ，- ，l m = oa = m 啦f o lj - i , 弛。p = 巩( z ) ( 3 2 3 ) 这里 以( z ) = 艺k ( 啦。 ( 3 2 - 4 ) 其中系数k ( d 是固定值，与脾无关。对于阶分段多项式，共有( + 1 ) ，个系数， 抽头系数固定。每次计算插值时只需要传送一个参数，与存储冲激响应方法相 比极大的减少了传输问题。其f a r r o w 实现框图如图3 3 所示 x ( n ) y ( n ) 图3 3f a r r o w 结构内插滤波器 下面具体介绍各种多项式内插滤波器，并从频域特性来评价它们的性能，给 第二章内插滤波器 出它们的f a r r o w 结构实现框图。 一、线性内插( l i n e a ri n t e r p o l a t o r ) 线性内插是一种最为简单的多项式内插，取厶= 0 ， = 一l ，使 ( 以z ) = 1 - j ，钆【( 以- 1 皿】= ，则 ) ，( 托) = g x ( m k + 1 ) + ( 1 一o x ( m , ) = x ( m k ) + i z x ( m k + 1 ) 一x ( m a 】 ( 3 2 - 5 ) f a r r o w 结构如图3 4 所示。 图3 4f a r r o w 结构的线性内插滤波器 m a r k k u 硒v i m n t a f 刁提出当固定采样钟频率和内插滤波器输出信号的采样速率 相等时，即z = z ，可以采用另外一种新的外推方案。线性内插滤波器如图3 5 所示。 图3 5 新颖的线性内插滤波器结构 总的思想是利用两个线性内插滤波器代替一个内插滤波器。参照图3 5 ，左 边的内插滤波器在时域间隔m k 到+ 1 上运行，右边的内插滤波器在时域间隔 1 6 q a m 解调器定时恢复算法的研究丰实现 到他一1 运行。如果肌的符号非负，那么整个结构的输出_ y ( 蝎) 就从左边的内插 滤波器读入，反之，则从右边读入。右边内插滤波器的系数由两边对称的时域间 隔决定，绝对值相同的正负m k 相等地加权于采样信号石( ) 。需要说明的是， 这种方法同样适用于更高阶次的三次拉格朗日内插和分段抛物内插。 二、拉格朗日多项式内插( l a n g u a g e i n t e r p o l a t o r ) 拉格朗日内插 4 j 是一种古典多项式内插，可以通过拉格朗日公式求得。点 拉格朗日插值方程为： 生 必螺) = g 一力 ( 3 2 6 ) 兵中， 弘，骢1 2 ，学2 ，巍哥 - 乃 取为偶数，并设= 一n 2 ，厶= n 2 1 ，= ( f + ) i ，在每段间隔l 上用多项 式c f 来拟合近似啊( ，) ： 乓【( f + ，t ) t 】= c f ( ) ( 3 2 8 ) 当抽头系数= 4 时，则i i = - 2 ，厶= l ，就得到了常用的三次多项式内插( c u b i c i n t e r p o l a t o r ) 的系数。 c - 2 = l - - 血2 d 。舄= 芈= 1 1 3 - i i 昏卉碧=掣一ltz3+i1j一2 小 , j , - i i j 1 z c o = 卉掣= 垃业幽 3 = - 2 o j 上= 三3 一2 一丢+ ， c1=巍。舒=半一1d+1271-2。，科i 一d j 以红) = c x ( m , - 0 。 = ( ：_ 2 工( + 2 ) + c ：l x ( ，+ i ) + c o x ( m t ) + g x ( m , 一i )( 3 2 9 ) 当取2 时，即为线性内插，由此可见线性内插也是拉格朗日内插的一个特例。 三次多项式内插的f a r r o w 结构如图3 6 所示。 第三章内插滤波器 1 7 图3 6f a r r o w 结构三次拉格朗日多项式内插 三、分段抛物线内插( p i e e e w i s ep a r a b o l i ci n t e r p o l a t o r ) 分段抛物线内插【4 1 实际上是一种降低阶次的，用二次多项式分段近似拟合 ，( f ) 的四抽头内插滤波器。与三次拉格朗日内插相比，它的阶次更低，r 降低了实 现的复杂度和计算量。我们可以通过下列约束条件来保证： 1 脉冲响应偶对称，具有线性相位特性，即啊( 吣= 啊( 一帕。 2 直流分量与胁无关。 3 在样值点没有内插误差。 4 含有一个设计参数口，增加了设计自由度，改变口可以产生不同的内插滤波 特性。 这样，我们用四抽头f i r 滤波器来实现p p i 内插，f a r r o w 结构如图3 6 。 系数表达式如下： c - 2 = 掣2 一掣 c ：l = 一q 2 + ( 口+ 1 ) g = 一q 2 + ( 口一1 ) + 1 c l = a p 2 一掣 y ( 后z ) = ( a l t2 - a , u ) x ( m k + 2 ) + ( c 专2 + ( c t + 1 ) o x ( m k + 1 ) + ( 一掣2 + ( a - 1 ) a + 1 ) x ( m k ) + ( o t t 2 - o t o x ( m , - 1 ) ( 3 2 - l o ) 其中，c 1 和c i 是相同的。当口= 0 时，可以得到线性内插方程，d - - - a ， 一1 8 q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 c o = l - u ，c l 和e 2 为零。当口= 0 5 时，可以简化硬件设计 “+ i )缸肿i ) 图3 7 f a r r o w 结构p p i 内插 内插滤波器中最常见的就是线性内插、三次拉格朗日多项式内插和分段抛物 线内插这三种，我们从脉冲响应和频域响应两个方面分别对这三种内插滤波器的 性能做一个简单的比较和分析。其脉冲响应和频率响应分别见图3 8 ( a ) ( b ) 。 ( a ) 脉冲响应( b ) 频率响应 图3 8 三种常见内插的时域和频谱特性 四、多相内插( p o l y p h a s ei n t e r p o l a t o r ) 多相内插滤波器嘲唧不像多项式内插那样用的多项式分段拟合啊( f ) 。其结 构和原理可用图3 9 的模型来说明。 7 厂 、 。 j 一， 常lliii 川ir | w 图3 9 多相滤波模型 烈t 霉) 第三章内插滤波器 1 9 假定每个符号间隔丁可被分为m n 份。基带信号工( 疗) 在一个符号周期内被 采样n 次，序列工q z ) 被采样因子m 在每个采样值之间插入了m - 1 个零点，由 此产生一个新的序列x ( n r , i m ) 。定时控制就是在每个符号中选择合适的n 个采 样值，并使其中的一个采样值尽可能的接近于最佳采样点。输出y ( n t , m ) 由下 式定义：， y ( 以吾 = ，黑x c 疗一z ，吾 矗( z 吾) ( 3 2 - 1 1 ， 由于实际中的乘法器可以由下式表示： x ( 甩吾) = 胎小2 ：慧： 2 蚴 所以多相内插滤波器可以分解。当多相滤波工作在高采样速率时，滤波器系数为： ，矗( 一2 m t , ) ， ( 一 z c ) ，矗( 0 ) ，h ( m z r ) ，h ( 2 m t s ) ， ( 3 2 一1 3 ) 滤波器输出可以表示为： j 【一f ) t 】向( f c ) = ) ，( 以z ) ( 3 2 - 1 4 ) 在下一时刻，x ( n r , 肘1 非零值和滤波器系数一致，为： ，j | ( - 2 级+ 1 ) ，域一a 级+ 1 ) ，五( 1 ) ，是( a 钇+ 1 ) ，| | 2 ( 2 级+ 1 ) ，( 3 ，2 一1 5 ) 因此滤波器输出为： ，- 兰- n l x ( 栉一z ) z 一 ( t + 击) i = y ( 以一去) 瓦 c 3 2 - - s ， 以此类推，在第m 时刻，x ( n r ，m 1 的非零值为： ，h ( - 2 m t 。+ ，行) ， ( 一l z e + 聊) ，| j z ( 所) ，h ( m f , + ，”) ，h ( 2 m t , + 胁) ， 滤波器输出为： ，= 兰- n l x ( 疗一z ) i 厅 ( ，+ 嚣) = y ( 万一署) z ( 3 2 - 1 7 ， 以上特性可由图3 1 0 来说明，图3 1 0 中有m 个并行分支滤波器，工作采样率为 l t , ，每个分支滤波器都和自己匹配的滤波器进行下采样，每个匹配滤波器只是 偏移不同。伽t ) 的脉冲响应为： ( 盯瓦) = + 面mt ，j ( 3 2 - 1 8 ) h 采样数据工( 玎l ) 同时送入每个分支滤波器，输出时通过选择不同分支滤波器来获 q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 得同步。 峦 il + _ a v a i l a b l es a m p l e s 蛮 li + - a v a i l a b l es a m p l e s a v a i l a b l es a m p l e s 蛮 j j - a v a i l a b l es a m p l e s 图3 1 0 与图3 9 等价的多相内插滤波器 仔细比较式( 3 2 1 7 ) 与式( 2 3 - 3 ) ，设7 ：r , = 1 ，所以m k = k ，那么式( 3 1 一1 ) 可转 化为： ，一 y i k r , )x ( 七一f ) i 啊 ( f + 肌) 瓦 ( 3 2 - 1 9 ) - 比较式( 3 2 - 1 7 ) 和式( 3 2 - 1 9 ) ，可以发现m m 与鲍是一致的。因此我们可以通过量 化地为肘等份，用多相滤波的结构来实现内插。 在实际实现中，多相滤波器和匹配滤波器合二为一，式( 3 2 1 7 ) 中的输入序列 x ( n r 。) 充当式( 3 2 - 1 9 ) q b 输出序列y ( ”t ) 的匹配滤波器，而式( 3 2 1 7 ) 中的匹配滤波 器_ j z z ) 则充当式( 3 2 1 9 ) 中内插滤波器的角色。前面的比较表明在内插滤波器 中，多相滤波器的指数m 和分支滤波器个数m 都是充当小数间隔地的角色。通 过这种方法，多相滤波器实现时可以用上一节式( 2 3 3 ) 定义的形式来量化小数间 隔。量化精度由多相滤波结构的m 值控制，m 值越大，即以的量化精度越高， 性能越好。 五、三角多项式内插1 0 1 l 】f 1 2 i ( t f i g o n o m e t r i ep o l y n o m i a li n t e r p o l a t o r ) 为内插需要，函数x ( m ) 进行点等间隔采样，以其中一个点作为参考基点， 使之适应一1 次算术多项式，如图2 6 所示。文献 2 1 0 指出，根据所设置的参考 基点，等间隔采样点个数必须为偶数，才会在参考基点的中间处内插。所以必 须限制为偶数。 不失一般性，我们假定采样间隔z = l 。利用旋转因子阡，= e - j 2 州”简化表达 式，三角多项式结构可以定义为： y ( r ) = 专( 。n 磊2 - 1 + 。q 睇“+ 知：吲m v + i 1 ：咿2 1 ( 3 2 - 2 0 )y ( r ) = 亩l 。磊+ 。q 睇q 扣：吲2 i ：哪2 一盘 第三章内插滤波器 2 l 由于y 是实数，并且在时间，上具有周期性，周期为n ，系数知，2 和t ，2 是共轭 对称的，因此 舛) = 专( 。h 东1 2 - 1 + 。q 陈“+ 胎( ，：町，2 ”) ( 3 2 - 2 1 ) 由于多项式的计算必须利用n 个样值点，所以可由n 个线性方程组联立求得 系数q ，这里n 为未知数。 x ( 历) = 万1 。互n 1 2 + ；q 降石“，所= 一i n + l ，了n ( 3 2 - 2 2 ) 解得： 铲。互。咖)咛，七一专小，万2(32-23)t，m - 一2 + l j t n = 4 时的内插滤波器的结构实现如图3 1 1 所示，其频率响应如图3 1 3 ( a ) 所示。 图3 1 1n = 4 的三角多项式内插的一般结构 2 0 0 0 年d e n g w e if u 【1 1 1 进一步利用把比例因子应用到系数q 中从而提升性能 的方法，提出强迫“岛= o ”的思想来改进滤波器。总的思想是利用原始采样值，临 时改变采样值并且强迫改变后的采样值满足c = 0 ，然后利用改变后的样值内插， 消除c 2 的角度旋转器从而减小图3 1 1 中计算i b ( q 阡r ) 和r e ( c 2 w _ 2 ) 的复杂度。 最后再“修正”得到的曲线，使其通过由原始样值采样点内插出来的点。内插之后 的样值变为： 夕( 碣) = 去+ 去r e ( 矿) ( 3 2 - 2 4 ) 二 那么，歹( 蝎) 的值可以修改为： y ( 七z ) = 夕( 七z ) 一k ( 3 2 2 5 ) 丝q a m 解调器定时恢复算法的研究和实现 计算结构如图3 1 2 所示。 x ( , n r a 图3 1 2n = 4 的三角多项式内插的改进结构 图3 1 1 和图3 1 2 内插滤波器的频率响应如图3 1 3 ( a ) 和( b ) 所示，其中还给出 了口= 0 4 的升余弦滚降，两倍过采样的普通通信信号的频率响应。 ( a ) 一般结构 c o ) 改进结构 图3 1 3 两种结构的幅频响应图 在图3 1 3 ( a ) 中，最大旁瓣波纹( 如图3 1 3 ( a ) 中标注i ，i i 的区域) 和带内信号 最高能量的镜像相一致。在图3 1 3 ( b ) 中，最大旁瓣波纹( 标注i 的区域) 近似在 1 5 只中心附近，大部分位于信号的间隙处。因此图3 1 3 ( b ) 中，最大旁瓣波纹和 输入信号频谱能量最低处相一致。通过比较图3 1 3 ( a ) 和( b ) 的内插滤波器频率响 应的最大波纹，可以得出图3 1 3 ( b ) 的内插