（光学专业论文）光子晶体光纤色散特性的研究.pdf

中文摘要 摘要：光子晶体光纤( p c f ) 具有与传统光纤显著不同的色散特性p c f 的包 层由微米量级空气孔排列而成，这种特殊结构使得p c f 的色散曲线具有灵活可调 的特性在光纤通信、色散补偿以及非线性光学等实际应用中，p c f 的色散特性 是十分重要的 有限元法( f e m ) 是一种适用于p c f 截面任意空气孔分布的有效计算方法， 计算结果具有很高的精度本文从磁场强度的波动方程出发，利用变分原理推导 出了有限元法的一系列公式此外，本文改进了有限元法的计算程序，可以在1 4 场域或半场域内计算p c f 基模的不同偏振态 光纤的近零色散平坦是宽带高速w d m 系统传输的关键到目前为止，人们 已设计出了多种近零色散平坦p c f 本文又设计了一种新型的近零色散平坦的三 重对称芯p c f 对于实际制备出的p c f ，由于其结构参量通常偏离理论设计值， 色散系数也会偏离相应的设计值为此，本文研究了不同结构p c f 的近零色散平 坦稳定性数值计算结果表明：在1 5 5 0 b m 附近，当结构参量偏离设计值时，三重 对称芯p c f 和普通六角型p c f 的色散系数变化量比孔径逐层变化的p c f 小得 多因此，三重对称芯p c f 和普通六角型p c f 的近零色散平坦稳定性比孔径逐层 变化的p c f 好得多当进一步考虑限制损耗的因素时，三重对称芯p c f 是实用性 最好的一种近零色散平坦p c f 非零色散位移光纤( n z d s f ) 已广泛应用于光传输系统由于它在1 5 5 0 n m 通 信窗口具有极低的色散系数，通常不需要额外的色散补偿然而随着系统传输比 特率的不断提高，n z d s f 需要使用专门的色散补偿光纤进行色散补偿因此本 文为1 5 5 0 n m 具有低色散斜率和超低色散斜率的n z d s f 设计了色散补偿p c f 这 种p c f 采用低折射率芯结构，不但可提供整个c 波段( 1 5 3 0 - - 1 5 6 5 n m ) 的色散补 偿，而且有效面积在2 0 p r 0 2 以上与其它色散补偿p c f 相比，本文设计的p c f 具 有宽带色散补偿和低非线性的优点 关键词：光子晶体光纤；有限元法；近零色散平坦；色散补偿 分类号：t n 2 5 2 ：t n 9 2 9 1 1 a b s t r a c t a b s t r a c t ：p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ( p c f s ) p o s s e s sd i s p e r s i o n p l o p e r t i 嚣 s i g n i f i c a n t l yd i f f e r e n tf r o mt h o s eo ft h ec o n v e n t i o n a lf i b e r sb e c a u s et h en o v e lc l a d d i n g s h u c t u r e sc o n s i s t i n go fa l la r r a yo fm i c r o m e t e r - s i z e da i r - h o l e sa l l o w sf o rf l e x i b l e t a i l o r i n go ft h ed i s p e r s i o nc m v e s d i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c so fp c f sa r cv e r yi m p o r t a n t f o rr e a l i s t i ca p p l i c a t i o n so fo p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o n s ，d i e o i lc c 咀i p a 圆l t i 加a n d n o n l i n e a ro p t i c s t h ef i n i t e - e l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i sap o w e r f u lt o o la b l et oc o p e 、 r i i l la n yh o l e d i s t r i b u t i o ni nt h ec r o s ss 酬o fp c f s 、v i t h1 1 i 曲a c 锄哆i nt h i st h e s i s ，t h ef e m f o r m u l a sa r od e r i v e df r o mt h ew a v ee q u a t i o no fm a g n e t i cf i e l dv e c t o rb yu s i n gt h e v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e f u r t h e r m o r e , t h ef e mp r o g r a m s 眦m o d i f i e dt oc a l c u l a t et h e f u n d a m e n t a lm o d eo f p c f sf o rd i f f e r e n tp o l a r i z a t i o ni naq u a r t e ro rh a l f d o m a i n n e s r l y - z e r of l a t t e n e dd i s p e r s i o ni sac r u c i a lf a c t o rf o rw i d e - b a n dh i g hs p e e dw d m s y s t e m s s of a r , t h en e a x l yz e r of i a t t e n e dd i s p 硎o np c f s w i t hd i f f e r e n ts t r u c t u r e sh a v e b e e nd e s i g n e d i nt h i st h e s i s an e wk i n do ft h r e e - f o l ds y m m e t r yc o r ep c f 诵t hn e a r l y z e r of l a t t e n e dd i s p e r s i o ni sd e s i g n e d b e c a u s et h es 廿u c t u l ep a r a m e t e r so fp c f s m a n u f a c t u r e di nt h ea c t u a ls i t u a t i o na l w a y sd e v i a t ef r o mt h e i rd e s i g n e dv a l u e s t h e d i s p e r s i o n sa r ed i f f e r e n tf r o mt h ec o r r e s p o n d i n gd e s i g n e dv a l u e s f o rt h i sr e a s o n , t h e s t a b i l i t yo fn e s x l yz e r of l a t t e n e dd i s p e r s i o nf o rd i f f e r e n tp c f s t r u c t u r e sa r ea n a l y z e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a ta r o u n dt h ew a v e l e n g t ho f1 5 5 0 n m , w h e nt h es t r u c t u r e p a r a m e t e r sd e v i a t ef r o mt h e i rd e s i g n e dv a l u e s ，t h ed i s p e r s i o nd e v i a t i o n so fb o t ht h e t h r e e - f o l ds y m m e t r yc o r ep c fa n dt h eh e x a g o n a lp c fa r em u c hl e s st h a nt h o s eo ft h e p c f sw i t hd i f f e r e n th o l ed i a m e t e r si nd i f f e r e n tr i n g s t h e r e f o r e , t h es t a b i l i t i e so fn e s r l y z e r of l a t t e n e dd i s p e r s i o no f t h ef i r s tt w ok i n d so f p c f sa l em u c h b e t t e r c o n s i d e r i n gt h e c o n f i n e m e n tl o s s t h et h r e e f o l ds y m m e t r yc o r ep c fi sp r e f e r a b l et op r a c t i c a l 哪 n o n - z e r od i s p e r s i o n - s h i f t e df i b e r s ( n z d s f s ) h a v eb e e nw i d e l yu s e di n 叩d c a i t r a n s m i s s i o ns y s t e m s d u et ot h e i rl o wd i s p e r s i o na tt h ec o m m u n i c a t i o nw i n d o wo f 1 5 5 0 n m , e x t r ad i s p e r s i o nc o m p e n s a t i o ni su s u a l l yn o tn e e d e d h o w e v e r , w i t l lt h e i n c r e a s i n gb i tr a t ef o rt r a n s m i s s i o n t h es p e c i a l i z e dd i s p e r s i o n - c o m p e u s a t i n gf i b e r s 啪 n e e d e dt oc o m p e n s a t et h ed i s p e r s i o no fn z d s f s f o rt h i sr e a s o n , t h ep c f sw h i c hc a n c o m p e n s a t et h en z d s f sw i t hl o wa n du l t r a l o wd i s p e r s i o ns l o p ea t 15 5 0 n ma r e d e s i g n e di nt h i st h e s i s t h ed e s i g n e dp c f s ，w h i c hh a v ed e p r e s s e d i n d e xc o r e ，n o to n l y c a np r o v i d ed i s p e r s i o nc o m p e n s a t i o ni nt h ew h o l ecb a n d ( 1 5 3 0 , - - 1 5 6 5 m ) ，b u ta l s o h a v et h em o d ea r e a so fm o r et h a n 2 0 b i n 2 c o m p a r e d w i t h o t h e r d i s p e r s i o n - c o m p e n s a t i n gp c f s ，t h ed e s i g n e dp c f sh a v et h ea d v a n t a g eo fw i d e - b a n d d i s p e r s i o nc o m p e n s a t i o na n dl o wn o n l i n e a r i t y k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ；, f i n i t e - e l e m e n tm e t h o d ；n e a r l y - z e r of l a t t e n e d d i s p e r s i o n ；d i s p e r s i o nc o m p e n s a t i o n t n 2 5 2 ；t n 9 2 9 1 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：氓攘 签字日期：2 ，7 年，二月1 日 | 导师签名：委亿芝 签字日期：沙0 1 年i 明1 日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名： 嘲捷 签字日期： 移年2 月日 | 致谢 本论文的工作是在我的导师王健副教授的悉心指导下完成的王健副教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响在此衷心感谢两年多 来王健老师对我的培养和教育 王智教授与我就科研相关问题进行过多次有益的讨论，并对我的科研工作提 出了许多宝贵的意见，在此表示衷心的感谢 盛新志教授和吴重庆教授在学习上给予了我很大的关心和帮助，在此向他们 表示衷心的谢意 在读研究生期间，余家新、孔祥飞、宋林等同学在生活上给予了我很多关心 和照顾，在此向他们表示衷心的感谢 另外我十分感谢我的家人，他们长期以来对我的理解和支持使我能够健康成 长并顺利完成学业 1 1 研究背景及内容 1 引言 光子晶体是一种折射率随空间周期性变化的新型光学材料，其概念最初于 1 9 8 7 年由y a b l o n o v i t c h e 和j o h n s 各自提出【i 五t 光子晶体的一个显著特点是可以 有效控制光子在其内部的运动迄今，光子晶体技术已应用于光传输、集成光学 以及光信号处理等众多领域，并从根本上改变了人们对光子器件的认识，有力地 促进了光子器件的微型化和集成化，使“全光子化”的信息处理成为可能正因 为如此，2 0 0 0 年初光子晶体被s c i e n c e 杂志评为全球十大进展之一光子晶体光纤 ( p h o t o n i ec r y s t a lf i b e r ，简称p c f ) 正是基于光子晶体技术发展起来的新一代传 输光纤，它实质上是一种二维光子晶体，其概念最早由英国b a t h 大学的r u s s e l l 等于1 9 9 2 年提出，并于1 9 9 6 年首次研制成功【”此后，p c f 发展十分迅速目前， 人们已能研制满足不同应用要求的p c f 与传统光纤相比，p c f 技术具有无法替 代的优势，可望在光波传输与通信、光传感、光信号处理等领域获得全新的应用， 因而越来越受到人们的重视，已成为当今纤维光学以及相关学科的研究热点 p c f 具有许多传统光纤不具备的优良特性，如：它具有在很宽的波长范围内 的单模传输特性【】，对激光脉冲的展宽和压缩等非线性光学特性【“”，特别是对 于p c f 的结构可调的色散特性的理论和实验研究引起了人们的极大兴趔2 1 众 所周知，光通信的发展离不开光电子器件的发展，光通信中的许多传输器件要求 具有良好的色散特性，光纤的高阶色散导致的啁啾直接影响到光脉冲的传输i m 】， 同时也影响到光孤子的形成以及光脉冲的压鲥睁1 6 1 此外，全球业务量的飞速增 长促使光纤通信容量和速率大幅度提高宽带高速波分复用( w d m ) 系统带来的 要求是：传输光纤在通信波段上的色散系数应接近零，而且色散曲线应十分平 坦p c f 的色散曲线可以受包层结构的控制而加以调整，从而能够设计出在通信 波段上的近零色散平坦曲线1 1 7 叫】如果p c f 具有较好的近零色散平坦稳定性，即 近零色散平坦受结构参量偏离设计值的影响不大，而且制备这种p c f 在现有的工 艺水平上是实际可行的，那么它将具有重大的应用价值 光通信系统中广泛使用单模光纤作为传输光纤标准单模光纤( s m f ) 的零 色散波长在1 3 l o n m 处，而在1 5 5 0 n m 具有1 7p s ( k m n m ) 的色散值光信号在s m f 中传输较长距离后会产生很大的色散积累，故必须使用色散补偿的方法人们曾 考虑将传输光纤的零色散波长移至1 5 5 0 n m 窗口然而后来随着掺铒光纤放大器 ( e d f a ) 的普遍使用，人们发现如果光纤在1 5 5 0 n t o 窗口的色散值为零，会产生 四波混频( f w m ) 这一类非线性效应因此，非零色散位移光纤( n o n z e r o d i s p e r s i o n s h i f t e df i b e r , n z d s f ) 得到了开发和利用1 2 5 - 2 s n z d s f 在1 5 5 0 r i m 窗口 具有一个很小的非零色散值，能够抑制f w m 效应，同时避免过多的色散积累使 用n z d s f 的优点是不需要额外的色散补偿然而，随着近年来系统传输比特率的 不断提高，单独使用n z d s f 也不能满足高速率传输的要求，还需使用专门的色散 补偿光纤对n z d s f 进行色散补偿【2 9 】利用p c f 结构灵活易变的特性，可以使色 散曲线在通信波段满足色散补偿的要求【娴1 1 为n z d s f 设计色散补偿p c f ，对于 光通信系统具有重要的现实意义 基于以上背景，本文首先对p c f 的近零色散平坦特性进行了详细研究本文 研究了三重对称芯p c f 的色散特性，并进一步设计了它的近零色散平坦曲线本 文研究了不同结构p c f 的近零色散平坦稳定性计算了当结构参量偏离设计值时， p c f 色散系数在1 5 5 0 h m 附近的变化数值计算结果表明：三重对称芯p c f 和普 通六角型p c f 的色散系数变化量比孔径逐层变化的p c f 小得多因此，三重对称 芯p c f 和普通六角型p c f 的近零色散平坦稳定性比孔径逐层变化的p c f 好得 多进一步考虑限制损耗的因素时，三重对称芯p c f 是实用性最好的一种近零色 散平坦p c f 其次，本文为已开发的低色散斜率和超低色散斜率n z d s f 设计了色散补偿 p c f 本文设计的色散补偿p c f 采用低折射率芯结构，能够获得较大的有效面积， 克服了色散补偿p c f 通常具有的高非线性这种色散补偿p c f 还具有整个c 波段 ( 1 5 3 0 1 5 6 5 n m ) 的宽带补偿能力补偿相应n z d s f 后，光纤链路在c 波段的 残余色散接近零 本文研究p c f 的色散特性时，采用了全矢量有限元法在p c f 的多种数值模 拟方法中，有限元法不但精确有效，而且通用性强【3 m 5 1 p c f 的几何结构复杂， 介质材料还可能具有色散、损耗、非线性，甚至各向异性等各种复杂情况对于 以上各种情况，有限元法均能适用，并且能够精确求解【如弼】因而，有限元计算 的结果具有足够的数值可信度，能够为p c f 的设计和制造提供可靠的理论依据 本章接下两节将对光子晶体和光子晶体光纤做简要介绍，最后一节中将给出 本文的内容和结构安排 1 2 光子晶体简介 晶体能带理论指出，电子在晶格中运动时，会受到晶格周期性势场的作用， 2 其能谱在某些特定的方向上会出现不连续性能带的断裂称之为能隙电子不能 在能隙范围内的方向上传播当晶格的周期性势场足够强时，能隙有可能在任何 方向上都存在例如半导体材料具有介于导带和价带之间的完整带隙，电子在完 整带隙内的任何方向上传播都是被禁止的 与此类似，光子在具有周期性变化的介电材料中运动时，也会产生类似的能 隙效果光子带隙的思想最早由y a b l o n o v i t c he 和j o h ns 提出【l 司，并且随之产生 了“光子晶体”这一新概念光子晶体是一种折射率具有空间周期性的光学材料， 变化周期一般为光波长量级光子在周期性的电介质中运动时，电磁场遵从的方 程为： r1、m 2 v l 二v 日| _ = f 日( 1 1 ) l j 矿 其中为电介质的相对电容率，具有周期性，例如可写为c r ( r ) = ( ，- t - 墨) ，r 是 光学晶格的晶格矢量方程( 1 1 ) 是一个本征值方程，本征值为瑶( 瑶= m 2 e 2 ，b 是真空中的波数) 如果对方程( 1 1 ) 做适当改写，会发现它与描述电子在周期性势 场中运动的s c h r 6 d i n g v r 方程十分相似在s c h f f x i i n g e r 方程中，本征值为电子的能 量由此我们可以做一个类比，如果电子在晶格中运动时，在某些方向上其能量 是不连续的，那么光子在光子晶体中运动时，在某些方向上其频率也具有不连续 性光子在能谱上的频率间隔被称为“光子带隙” 图1 1 具有一维、二维和三维周期结构的光子晶体 f i g 1 1p h o t o n i cc r y s t a lw i t hp e r i o d i cs t r u c t u r e si no n e , t w oa n dt h r e ed i m e n s i o n 光子晶体按空间的周期性可分为：一维、二维和三维光子晶体，如图1 1 所 示一维光子晶体可以有多种结构，例如多层光学介质膜和光纤光栅它们都在 一维方向上使介质的折射率呈周期性变化，并由此产生了一维光子带隙光子在 一定的频率范围内，或者说光波在一定的波长范围内会被一维光子晶体以极高的 反射率反射二维和三维光子晶体有着更广泛的应用前景，本文所研究的光子晶 体光纤，就是一种二维光子晶体结构 光子晶体的一个主要特征是可以实现光子局域当光子晶体无缺陷时，处于 完整光子带隙中的光子在任何方向上的传播都是被禁止的但是，一旦当晶体原 有的周期性遭到破坏，晶体中出现缺陷时，在光子带隙中就可能出现频率极窄的 缺陷态或局域态局域态的性质将由缺陷的参数决定，局域态光子的强度以缺陷 中心为最大，随着与缺陷中心距离的增大而迅速衰减由于光子晶体具有这种性 质，人们想到可以利用它实现对光的控制例如，点缺陷在光子晶体中的行为类 似于一个微腔，光被俘获在特定的位置上，两无法从这个位置向任何方向传播： 线缺陷的行为类似于波导管，光只能沿线缺陷的方向传播基于这种想法，人们 进一步提出了光子晶体光纤的概念 1 3 光子晶体光纤简介 1 3 1 光子晶体光纤的研究进展 1 9 9 2 年，英国b a t h 大学研究小组的r u s s e l lps tj 等人将光子晶体的概念引 入到光纤中，提出光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，简称p c f ) 的概念1 9 9 6 年，这一研究小组的k n i g h tjc 等人成功地拉制出了第一根p c f 样品 3 1 p c f 是一 种带有线缺陷的二维光子晶体沿光纤长度方向周期性排列有小孔，孔径与孔间 距一般均为光波长的量级这种独特的结构使人们将p c f 称为多孔光纤( h o l e y f l i b e r , h f ) 或微结构光纤( m i e r o s t r u c t u r e df i b e r , m o f ) 由于导光机制的不同，p c f 可分为以下两种类型：折射率传导型p c f 和利用 光子禁带效应实现导光的p c f 折射率传导型p c f ( i n d e x g u i d i n gp c f ) 的芯区为 实心，包层为多层空气孔由于芯区折射率高于包层等效折射率，其导光机制可 类似全内反射( t o t a l i n t e r n a lr e f l e c t i o n , t m ) 原理第二类p c f 实现导光则完全基 于光子禁带( p h o t o n i cb a n d g a p ，p b g ) 效应第二类i c f 的包层必须具有严格的 周期性，且空气孔的直径要较大，才能出现完整的二维光子带隙在特定的波长 上，光可以在低折射率的芯区内传导 折射率传导型p c f 是目前研究最多的一类p c f ，也是本文研究的主要类型这 种p c f 包层为空气孔阵列，芯区通常由缺失空气孔造成的缺陷形成图1 2 给出 了几种折射率传导型p c f 。折射率传导型p c f 的导光机制类似传统光纤的全内反 射原理，它并不要求包层空气孔的严格周期性排列因而这种p c f 的包层结构具 有很大的可调控性，空气孔的间距和大小可以根据需要灵活改变，从而使p c f 具 4 有某些优良的光学性能例如，在色散特性方面，p c f 可以实现对零色散波长的 有效控制，以利于1 5 5 p r o 波段的超连续谱产生 9 1 ；p c f 可以在通信波段具有宽带 近零色散平坦特性 1 0 , 1 s - 2 引，以应用于宽带高速w d m 系统；p c f 还可以作为色散 补偿光纤，用于补偿标准单模光纤长距离传输后的色散积累【3 ”在非线性方面， 人们己发现p c f 的非线性系数可以达到传统光纤的1 0 - 一1 0 0 倍【4 2 】，利用长度比普通 光纤短得多的p c f 可以产生足够强的非线性相互作用【协朽1 图1 2 折射率传导型p c f n 1 2i n d e x - g u i d i n gp h o t o n i ec r y ，t “n l k l a 光子带隙型p c f ，也称为空芯p c f ( h o u o wc o r ep c f ，h c p c f ) ，典型结构 如图1 3 所示p c f 的中心一般为一直径较大的空气孔，形状通常为圆形，包层则 为周期性排列的空气孔阵h c p c f 能将光局域在中心的空气区并实现传导，其原 理是基于严格的光子带隙效应i 舶】当p c f 包层空气孔具有严格周期性，且孔的尺 寸较大时，会在某些频率范围内出现完整的二维光子带隙在这些频率所对应波 长上的光波是不能在周期性包层结构中传播的，而只能在中心的空气区中传播利 用h c p c f 可以实现对色散的有效控制由于h c p c f 的芯区通常为空气，其色 散参量主要依赖于波导结构通过改变包层空气孔的间距和大小，可以控制 h c p c f 色散参量的大小和分布在非线性方面，由于光场集中分布于空气区域， h c p c f 具有极低的低非线性此外，中空的芯区允许在光强度最高的波导区引入 气体或液体等物质，从而增强了光和物质的相互作用，同时保持较长的有效作用 长度这些特点可用于研究气体中的非线性光学现象 图1 3 空芯p c f f i g 1 3h o l l o w np h o t o n i ea _ y 删l i b e r 目前，制备p c f 较成熟的方法是毛细管堆积法【4 7 嘲】其主要步骤是：( 1 ) 首 先用普通光纤预制棒的生产设备，利用m c v d 法，o v d 法或v a d 法制备出一定 数量的中空石英管或实心石英棒；( 2 ) 按照预先设计的p c f 结构在一定尺寸的石 英套管内排入石英管作为包层，中间用石英棒或抽去几根石英管作为纤芯，如果 周期结构的单元是六角形空心管，则需先将石英管外壁磨成六角形后，再堆积成 蜂窝状；( 3 ) 在拉丝塔中将预制棒拉制成所要求外径和结构参量的p c f 在国内， 燕山大学侯蓝田教授的研究小组较早地开展了p c f 的研究工作，他们于2 0 0 2 年率 先在国内进行了集成式微结构光纤的制备，并于同年拉制出第一根集成式微结构 光纤在国外，随着制备工艺的成熟，p c f 已步入商用化进程例如由英国b a t h 大学的r u s s e l l ps t j 任首席技术官的b l a z e p h o t o n i c s 公司目前已推出数十款高性能 的商用p c f 与折射率传导型p c f 相比，h c p c f 在制造中还有一些问题需要解决，特别 是限制损耗的问题理论研究表明，h c p c f 的限制损耗受包层空气孔层数的影 响很大例如，孔径与孔间距之比为0 9 的h c p c f ，为使限制损耗降低到0 1 d b k m ， 包层中孔的层数应大于1 7 【4 9 】要制备这么多层的空气孔且保证孔不塌陷，在工艺 上具有很大难度而达到同样的限制损耗，采用结构相同的折射率传导型p c f 一 般只需4 5 层孔目前拉制4 5 层孔的p c f 是较为容易的因此尽管h c p c f 具有某些奇特的光学性能，然而由于工艺水平的限制，目前实际中主要使用和生 产的p c f 仍是折射率传导型p c f 6 1 3 2 光子晶体光纤数值计算方法简介 光子晶体光纤具有复杂的几何结构，研究光波的传输特性时，用解析的方法 求解m a x w e l l 方程通常是十分困难的，因此通常需要借助数值计算的方法利用 数值计算能够研究p c f 的模场分布、有效面积、双折射、色散、非线性、限制损 耗等重要特性，为设计具有优良性能的p c f 提供充分的理论依据，也为相应p c f 的制造起到指导作用，因而精确、通用的数值计算方法在p c f 的研究中是极为重 要的光子晶体光纤的研究中，主要采用的数值计算方法有：平面波展开法( p l a n e w a v ee x p a n s i o nm e t h o d , p w m ) 、时域有限差分法( f i n i t e - d i f f e r e n c et i m ed o m a h a m e t h o d , f d t d ) 、光束传输法( b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d , b p m ) 和有限元法( f i n i t e d e m e n tm e t h o d , f e m ) 等本节将分别对它们作简要介绍 1 3 2 1 平面波展开法 4 6 , 5 0 平面波展开法( p w m ) 模型采用布洛赫理论将模场分解为平面波分量，然后 将m a x w e l l 方程组转化为本征值方程，求解该本征方程便得到模式和相应的传播 常数p w m 具有一个明显的缺点：其计算量几乎正比于所用平面波数的立方当 计算结构复杂的光子晶体或处理有缺陷的体系时，可能因为计算能力的限制而不 能计算或难以准确计算 1 3 2 2 时域有限差分法【5 l - 5 3 】 时域有限差分法( 咖) 通过将m a x w e l l 旋度方程转化为有限差分式而直接 在时域求解f d t d 中，电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样的时间间隔彼此 相差半个时间步出当给定相应电磁问题的初始值后，f d t d 法就可以逐步推进求 得以后各个时刻空间电磁场的分布f d t d 在电磁场数值分析方面有很大的优越 性f d t d 法的算法长度为，而p w m 的算法长度为 户因此f d t d 法的计算 时间显著地减少了但是，f d t d 法在网格划分方面存在一定的限制，这种方法没 有考虑晶格的具体形状，在遇到特殊形状晶格的光子晶体时，很难精确求解 1 3 2 3 光束传输法 5 4 - - 5 5 1 光束传输法最早是由f e i tmd 等人于1 9 7 8 年研究光场及大气激光束传播时提 出的，由于此计算方法不受光波导横截面形状的限制而且简单方便，因而发展十 分迅速，并且出现了多种光束传输法的形式光束传输法的基本思想是在给定初 始场的前提下一步一步地计算出各传播截面上的场，其算法简单，不受材料和波 导形状的限制，具有通用性 7 1 3 2 4 有限元；去【3 2 3 8 有限元法是一种求解偏微分方程的方法，自2 0 世纪5 0 年代以来被广泛应用 于热传导、电磁场、流体力学等连续性问题这一方法首先需要在这些方程所在 的空间上对其进行离散化所谓离散化，是指将一个大的区域划分为一些结构简 单、形状任意的局部小区域( 即有限单元) 空间离散化后，最初的偏微分方程将 变成某种形式的矩阵方程，它们把单元上某些特定节点上的输入( 已知量) 与同 一点上的输出( 未知量) 联系起来为求解某个大型区域上的方程，需将子域上 的矩阵方程按节点叠加起来，得到一个总体矩阵方程而求解有限元法的计算精 度是由区域的离散化程度决定的，场强变化剧烈的区域网格要划分得很细，通常 对计算机硬件要求较高本文将采用全矢量有限元法对p c f 进行计算，下一章将 对有限元法做详细研究 1 4 论文的内容和结构安排 本文主要研究以下几个方面的问题： ( 1 ) 电磁场有限元方法的研究( 第二章) ； ( 2 ) 近零色散平坦p c f 的设计及p c f 近零色散平坦稳定性的研究( 第三章) ； ( 3 ) 色散补偿p c f 的研究( 第四章) 2 电磁场有限元方法的研究 有限元方法是一种精确有效的对边值问题偏微分方程进行数值求解的计算方 法有限元分析在结构力学、热力学等领域的成功应用已经充分证明了这一点光 波导器件的数值模拟方法虽有多种，但有限元方法是效果最好、通用性最强的一 种无论光波导器件的几何形状多么复杂，波导介质是线性材料、非线性材料、 吸收材料或非吸收材料，有限元分析均可对其精确求解【3 引 波导器件的有限元分析的实质，就是求解m a x w e l l 方程组在特定边界条件下 的数值解由于我们所感兴趣的解为波动形式，因此这种分析就是集中求解波动 方程的数值解在对波动方程进行有限元分析时，首先需要将波动方程的求解问 题表达成一个泛函问题建立泛函的条件是要使该泛函的极值出现在波动方程的 特征解上我们将波动方程的求解问题转化为求相应泛函极值的问题具体的数 值求解是将波导断面分割成有限个某种简单几何形状的单元，如三角形、四边形、 甚至曲边形等的集合，以便将解析问题数值化也正式基于单元分割这一点，这 种数值泛函分析被称作有限元分析本章将逐步导出变分原理下的波动方程的有 限元分析公式 2 1 矢量波动方程及边界条件 一般光波导介质当中既无电荷积累，又无电流流动此种情形下，从m a x w e l l 方程出发，可以导出角频率为的单频时谐电磁场满足的方程【蚓： v x e = 丘日( 2 1 ) v x h = 一j c 0 6 0 6 , e ( 2 2 ) 其中，昱为电场强度矢量，日为磁场强度矢量，时谐因子为e - 朋方程( 2 1 ) 、( 2 2 ) 中的岛、胁分别为真空电容率和真空磁导率为相对电容率，对于各向同性介 质，是标量；对于各向异性介质，6 r 是张量对于非均匀波导介质，f ，还是空 间坐标的函数波导介质一般是为非磁性介质，故相对磁导率以为标量常数，且 脾1 对于正规光波导，即折射率沿光传播方向( z 方向) 不变的光波导，波导中所 传播的电磁场模式具有如下形式： e ( x ，y ，z ) = e ( x ，y ) 一加( 2 3 ) h ( x ，y ，z ) = h ( x ，y ) e j p 。( 2 4 ) 其中为光波在波导中的传播常数，e ( x ，y ) 和h ( x ，y ) 称为波导的模式场从方程 9 ( 2 1 ) 、( 2 2 ) 0 f 消去尽或j e l 可以得到只含有一个场变量的波动方程： v x ( v 占) 一碍占= 0( 2 5 ) 和 v x ( 。v h ) - k ：h = 0 ( 2 6 ) 这里 鬈= 国2 知心 ( 2 7 ) 毛称为真空中的波数 在通常的电磁场分析当中，习惯将( 2 5 ) 、( 2 6 ) 所示的波动方程称作矢量形式的 h e l m h o l t z 方程只要求解( 2 5 ) 、( 2 6 ) 两式中的任何一个，波导中的电磁场问题就 全部解决了以下我们通过边界条件的讨论，来分析哪一种形式的波动方程更有 利于有限元求解 一般来说，光波导都不止由一种介质构成因此，求解式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 的波动方 程就必须考虑介质分界面上的电场强度和磁场强度的分布情况从m a x w e l l 方程 组的积分形式出发，对介质分界面处的电磁场进行分析，可以得到介质分界面处 的电磁场连续性条件： 焉：( e e e j ) = o( 2 8 ) 扁2 ( h 2 一h i ) = 0 ( 2 9 ) 扁2 ( 如h e 一一h i ) = 0 ( 2 1 0 ) 扁2 ( e 2 e 2 一毛局) = 0 ( 2 1 1 ) 这里下标l 和2 分别表示两种介质中的电磁场，扁，是垂直于介质l 和介质2 界面的单位矢量，由介质l 指向介质2 介质的磁导率= “一，电容率占= s e e r 式 ( 2 8 ) - ( 2 1 1 ) 表明，电场强度和磁场强度在两介质分界面的切向方向连续，而在法线 方向不连续然而，对于一般光波导介质有h * 鸬* l ，因此，( 2 1 0 ) 式等价于： 毛2 ( u e 一日j ) = 0 ( 2 1 2 ) 由( 2 9 ) 和( 2 1 2 ) 式知，磁场强度在不同介质分界面处是连续的因而在对波导 进行有限元分析时，采用以磁场强度为变量的波动方程( 2 6 ) 式是较为方便的这样 在分析时，就可以不去考虑介质分界面处电磁场的连续性问题基于这种考虑， 以下本文将从波动方程( 2 6 ) 式出发进行分析求解 另外，除了介质分界面外，还须考虑所谓自然界面，即无限远处的边界条件由 于波导中的电磁束缚模式只集中在有限空间内，而消逝于无限远处，因此在数值 计算时，可以人为取定一足够大的区域( 远大于波导的尺寸) ，认为电磁场只存在 于此区域之内，而在区域边界上的电磁场为零这样做不但可以保证计算精度， 而且能够极大地减小计算量电磁场在区域边界上需满足的边界条件为： 五- h = 0 ( 2 1 3 ) 0 南h = 0 ( 2 1 4 ) 式中五表示区域边界的法向矢量 分析至此，光波导器件中的电磁场分析就归结为以( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 式为边界条 件、( 2 6 ) 式所示的波动方程的求解问题，其解的形式具有( 2 3 ) 、( 2 4 ) 式所示的 形式 2 2 变分原理 所谓变分原理，其实就是一种与坐标系无关的概念它可以用来帮助建立微 分方程近似解的求解方法变分原理的主要思想是将求解边值问题的微分方程转 化成求解相应泛函的极值为此，我们首先给出一般形式边值问题的微分方程以 及相应的变分原理【如 典型的边值问题可用区域q 内的控制微分方程和包围区域q 的边界r 上的边界 条件来定义微分方程可表示为： o = f( 2 1 5 ) 式中，是微分算符，厂是强加或激励函数，西是待求函数在电磁学中，控制微 分方程的具体形式各异，例如在静电场中，( 2 1 5 ) f f j 以是描述静电势的泊松方程( 有 源问题) ；在波导问题中，( 2 1 5 ) $ j j 是描述电场强度或磁场强度的矢量波动方程( 无 源问题) 边界条件在不同的电磁问题中也各异大多数情况下，电磁场问题的边 界条件有以下两类： ( 1 ) 狄利克雷( d i r i c h l e t ) 条件( 或称为第一类边界条件) ： o l ，= 0 ( 2 1 6 ) ( 2 ) 诺曼( n 朗m 如n ) 条件( 或称为第二类边界条件) ： 到：0( 2 1 7 ) a ，l k 其中一为边界r 的法向矢量 定义函数的内积 ( o ，y ) = l 。缈d q ( 2 1 8 ) 式中星号表示复共轭在这种内积定义下，如果有 ( 中，吵) = ( m ，) ( 2 1 9 ) 则( 2 1 5 ) 中的算符是自伴的：如果有 ( = 雠：笺 ( 2 z o ) 则( 2 1 5 ) 式中的算符是正定的可以证明，如果( 2 1 5 ) 式中算符既自伴又正定，那 么( 2 1 5 ) 式的解可通过求下式泛函对西的极小值而得到： ，( 西) = 告( 西，西) 一告( 圣，) 一号( ，西) ( 2 2 1 ) 式中，毒表示试探函数 对于( 2 6 ) 式的h e l m h o l t z 方程，算符为： = v ( “v x ) - g ( 2 2 2 ) 与( 2 6 ) 式相应的泛函为： f ( i i ) = 吉儿( v x 雪) s , - 1 ( v 蛐一吉碍豫雪励q (