（基础数学专业论文）非超椭圆亏格3纤维化自动构群上界.pdf

摘要 摘要 对于g 2 的光滑代数曲线及般型代数曲面的自同构群的阶已得到了最佳上界 对代数曲面类特殊的自同构子群：即纤维化自同构群阶，它的七界也已有所研究，特别 的对超椭圆纤维化的情形已得到了最佳上界对非超椭蚓情形还研究得较少亏格3 非 超椭圆纤维化是最简争的非超椭圆纤维化，本文丰要研究此平l l i 情形 在本文巾，我们将讨论卡u 对极小亏格3 非超椭网纤维化的自同构群的上界并构造了 纤维变模时，傲纤维自同构群阶数最大的例子，我们有下亩i 的命题： ( a ) 如果，：s - + c 是g = 3 非超椭到卡【l 对微小 r 维化且，变模，以及b 2 则 i g i 曼1 2 6 磁 ( b ) 如果f ：s c 是一g = 3 非超椭圆柏对极小纤维化，且，变模，以及b 1 ， 则 i 邮馏笔莪 特别的，b = 0 时，若h 型z n 或d 2 。则： i g i 7 2 k ； 对( z 2 + y 2 + 。2 ) 2 + t ( x 4 + y 4 + z 4 ) 这个纤维化，般纤维自同构群同构于s 4 ，纤维 化变模时，它的阶数是最大的我们详细分析了这个例子 关键词曲线自同构，光滑四次曲线，亏格3 非超椭圆纤维化纤维化自同构 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h eu p p e rb o u n d so fa u t o m o r p h i s mg r o u p so f n o n h y p e r e l l i p t i cg e n u s3f i b r a t i o n s ，a n dc o l l s t r u ( ta ne x a m p l ew h e r efi sn o to fac o n s t a n t m o d u l i ，a n dt h eo r d e ro ft h eh o r i z o n t a l 钔l t o n l o r p l l i s n lg r o u l ) si sm a x i m a l k e yw o r d s a u t o m o r p h i s mg r o u p so fc n r v q d s m o o t hq u a r t i cc u r v e s ，n o n h y p e r e l l i p - t i cg e n u s3f i b r a t i o n s ，a u t o m o r p h i s mg r o u p so ff i b r a t i o n s 学位论文独创性声明 本人所擎交的学位论文是在我导师豹指导卜进行的研究：i ：作及l 莰得的研究成粟，据我所知。 除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究做 出重要页献的个人和集体，均已在小文中作了明确的说明并表示谢意 作者签名牡日期：竺丝， 学位论文使用授权声明 本人完全了解华尔师范人学有关保留、使川学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向 国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文刖丁| 1 f 赢利i q 的的少量复 制并允许论文进入学校圈1 5 馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将 学位论文的标题和摘要出版保密的学位论文在解密后适_ 【i 本规定 学位论文作者签名：扯导师签名：! 坦 e t 期：竺生：! 型 l j l i i ：塾! 纽 第一章引言 1 1 研究背景 第一章引言 对于g22 的复代数曲线的自同构群已经坡许多人详细的研究过，得到了它的各种 自同构子群的阶例如：全自同构群的阶8 4 ( g 一1 ) = 4 2 d e g k 【2 7 ，阿贝尔自同构群的 阶4 9 + 4 【= l l 】，循环自同构群的阶s4 9 + 2 【? 4 自然的我们希望将这利一界推广到岛维例如对。般型曲面这也被许多人研究过 a n d r e o t t i 在【l 】1 给出了i a u t ( s ) i 的有效界它随 墨指数增长后来，c o r t i 在【l f 巾和 h u c k l e b e r r y ，s a u e r 在心i 目分别独立的证明了，阶被 ，；的次数较低的多项式函数控制 肖刚在【3 8 ，31 ) 】已得到了最佳线性上界他们用的方法各不相同：【l f j 】考虑群作用下的不 动点，并推广了w e i e r s t r a a s 点的概念i ! q 应用有限单群的分类，从而发现a u t ( s ) 巾有 一个特殊性质的大子群【3 8 ，3 n 】考虑的是a u t ( s ) 在日o ( s ，碟“) 上的线性表示 定理1 1 ( x i a o 【3 3 】)设s 是。个一。般型极小曲面，g = a u t ( s ) 则 i g l ( 4 2 k s ) 2 ， 等号成立当且仪当s 垒( cx c ) n ，这里c 是。条自同构群达到8 a ( g 一1 ) 的曲线，是 a u t ( c c ) 正规子群，自由的作用在cxc 上，且保持对两个分量的投射在两个投 射下的象，是包含在a u t ( c ) 中心里的同个子群 对于阿贝尔子群的阶，肖刚在l ：3 一】巾得到了下面的结果： 定理1 2 ( x i a o 【3 7 ) 设s 是。个般型微小曲面，gsa u t s 是s 的阿贝尔自同 构子群假设k 2 1 4 0 ，则 l g l 5 2 k 2 + 3 2 证明的想法是基于下面的观察 第一苹引言 命题1 1 ( x i a o 【3 7 )设s 是。个。般型极小曲面，有个相对极小纤维化f ： s c ，一般纤维的亏格9 22 ，g 是纤维化的自同构a u t ( f ) ，则 l8 8 2 k 2 当g ( c ) 2 时， t g l 曼 1 6 8 ( 2 9 + 1 ) ( k 2 + 8 9 8 ) 其它一 当g 是阿蚍尔自同构群时我们有 i g f 6 k 2 + 9 6 骞k 。+ 。g + 。，霎它g ( c 2 时 因此曲面本身的自同构群与它纤维化的自同构群关系密切陈志杰在f 1 3 】对g = 2 的情形进行了详细的研究得到了下面的结果： 定理1 3 ( c h e n 】) 设s 是个殷微小曲面有个卡对极小的亏格2 纤维 化f ：s c 设g 是f 的自同构群瓯是f 的阿贝尔自网构群，设g 是f 的循环自 同构群，则 i g i 5 0 4 礤 如果，不是局部平凡的，则 i g ls2 8 8 聪 特别的 ， i 1 2 6 h s 当g ( g ) 22 时， i g 旧 1 4 4 键s ) = 1 时 【1 2 0 k ； 当9 ( e ) = 0 时 1 瓯l 1 2 ，5 磁4 - 1 0 0 ， 吲譬鬻篙独吼 这些界都是虽佳的当g ( c ) 2 时 i g 。i 5 弼+ 3 0 后来陈志杰又在【】i 】巾埘超椭圆纤维化的情形得到了下面的定琊 2 第一章引言 定理1 4 ( c h e n 【l4 】) 设s 是个。股型极小曲面，有一个g 2 的超椭圆午日对微 小纤维化f ：s c 设g 是，的自同构群，如果g ( c ) 2 ，不是局部平凡的，则 i 警嵋若9 2 ，3 ，5 ，9 ， l g f s 等弼 若9 = 2 ，3 ， l 器磁 若g = 5 9 当9 ( c ) = 1 时，则 1 警磁若9 2 ，3 ，5 9 ， i g l 两1 4 4 嵋 若9 = 2 ，3 ， 【器聪 若g = 5 ，9 当9 ( c ) = 0 时则 ， l 警研若9 2 3 ，5 9 ， i g i 再1 2 0 蟛 若9 = 2 ，3 ， 【普k ； 若g = 5 9 ， 所有的这些界郜是最佳的，并且等号成立当且仪当，是常模的 1 2 本文的结果与安排 肖刚在f 4 l ，4 2 】巾对g = 2 及g 2 的超椭圆纤维化做了详细的研究对一个超 椭网纤维化f ：s c ，通过研究由般纤维上的超椭圆对合所诱导的，到直纹 面( 不一定相对极小) 上的：次覆盖，得到了用关于分歧轨迹奇点信息的奇异性指数 8 k ，2 k g + 2 ，来表示整体不变量；，x ，8 ，的公式同时由于二次覆盖是g a l o i s 覆 盖从而使得对于超椭圆纤维化的自同构的研究可以划归到研究直纹面上分歧轨迹对称 性，得到局部方程，了解它的局部奇异性，冉综合成它的整体不交量，从而得到精确的界 但是，对般的非超椭圆纤维化没有这样有力的方法不过对亏格3 的非超椭圆 曲线，我们可以将它们按照自同构群分类亿l8 1 对于。个纤维化，：s + c ，为了使 i a u t ( f ) i = l a u t ( f ) f i a u t ( c ) i 足够大，就要使得l a u t ( f ) l ，l a u t ( c ) l 足够大，其巾f 是 般纤维这样我们可以在自同构群分类表巾找到变模且群阶数最大那族曲线，在其 r 卜取个维族，得到的纤维化的曲面的般纤维的l a u t ( f ) l 达到最大我们有下面的 命题： 一3 第一章引言 命题1 2如果f ：s + c 是g = 3 非超椭圆相对极小纤维化，且，变模，以及 b 2 ，则 g is1 2 6 k ； 命题1 3 如果f ：s 一c 是g = 3 非超椭圆相对极小纤维化，且，变模，以及 b 1 ，则 蚓 旧2 1 6 。碍k 7 冀筹 特别的，b = 0 时若h 兰z 。或d 2 。则： g i 7 2 碍 ( 1 - 2 ) 对( t 2 + 2 + z 2 ) 2 + t ( x 4 + y 4 + ) 这个纤维化，i 般纤维自同构群同构于s 4 ，纤维 化变模时它的阶数是最人的我们详细分析了这个例子 、 在第：章颅备知识- 1 t 我们简要介绍了般代数曲线的自同构群的内容，特别给出了 平面四次光滑曲线自m 构群的分类，及每类自同构对应曲线的方程，冉又简介了代数曲 面纤维化巾的。些基本知识，在第三章巾分析了亏格3 非超椭圆纤维化自同构群的上界， 以及阿贝尔纤维化自同构阶的上界，并构造了例子 4 一 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 代数曲线自同构群a u t ( c ) 因为纤维化的自同构是般纤维的自同构与底曲线的自同构的复合，所以我们有必 要先研究光滑曲线的自同构自1 9 世纪以来已有许多人对光滑代数曲线的自同构进行 了研究如：s h w a r t z k l e i n ，h u r w i t z w i m a n ，等等，在光滑代数曲线自同构群的研究巾， 我们将其分成三类：g ( c ) = 0 时a u t ( c ) 兰p g l ( 2 ，c ) ( 见【2 0 】l i 章7 节) ；g ( c ) = 1 时我 们有下面的正合列 1 _ r a u t ( c 、一f 一1 其中t 是李群c 上的平移作用，f 作用在e 上有不动点( 见1 2 3 l i v 章4 节) ；g ( c ) 2 时 a u t ( c 1 是有限群 ( a ) 对于p 1 的有限自同构子群我们有下面的结果： g a u t ( p 1 )j g i 每个轨道的点数 循环群z 。 礼 1 ，n 二面体群 d 2 。 2 n 2 ，扎，2 n 四面体群 丑2 1 2 4 ，6 ，1 2 八面体群 0 2 4 2 4 6 ，8 ，1 2 ，2 4 ：f 面体群 6 0 1 2 ，2 0 ，3 0 ，6 0 显然g 巾的阿贝尔子群只有循环群和二面体群d a 兰z 2 z 2 ( b ) 令j ( c ) 表示椭圆曲线c 的产不变量h 是c 的有限自同构子群， r n 表示最小- 日一轨道的点的个数，则我们有 f i 圩l 2当j ( c ) 0 ，1 7 2 8 时， m = i h l 4 当j ( e ) = 1 7 2 8 时， ( 2 - 1 ) l1 日i 6当j ( g ) = 0 时 5 一 第二章预备知识 g 中的阿贝尔子群的阶要么小于6 ，要么自由的作用在椭圆曲线上 ( c ) 应用h u r w i t z 公式我们有下面定理： 定理2 1 ( h u r w i t z ，1 8 9 3 )设c 是条光滑代数曲线9 为其亏格，g 2 ，我们有 a u t ( c ) i 8 4 ( g 1 ) ( 2 - 2 ) 当i a u t ( c ) l = 8 4 ( 9 1 ) 时，我们称它为h u r w i t z 曲线7 r ：c c a = p 1 在p 1 上 三个点分歧分歧指数分别为2 3 ，7 但并不是_ 】c 寸所有的g 2 都存在这样的曲线，如 g = 2 时就不存在 命题2 1 ( a c c o l a )设c 是条光滑代数曲线，g ( c ) 2 g ，g j 是a u t ( c ) 的子群， 使得g = u 笔1g j g ，n q = 1 对f j 假设l g j = n j ，i g f = n 7 = 9 ( 叫g ) ，= g ( m g ) 删 ( 膏一1 ) g + n 7 = 码( 2 - 3 ) j = l 在我们考虑的问题巾，要求般纤维百不同构( ，变模) 且有个群k 忠实的作用在 其上，称为k 一曲线，所以我们希望能用自同构群埘固定亏格的光滑曲线进行分类设 c l ，g 是k 的共轭类 1 ) 令c = ( a ，g ) ，不计顺序，允许重复若耳一曲线 e 满足：( 1 ) g ( c ) = g ；( 2 ) 发 p l ，p r ) c 叫k ，7 r ：c 一叫耳在它们上面分歧，则a 巾的每个元与7 - 1 慨) 巾的每个点一。埘应，是它们相应的不动点那么我们称c 具有 ( g ，g ，c ) 分歧类型由h u r w i t z 公式有 瞀卅c 7 一，+ 喜c 卜 这里c i 是a 巾元素的阶，1 = 9 ( 吖k ) ，称c e l ，岛 为肝曲线的指标群能忠 实的作用在。条亏格为g 的曲线上，当且仪当它有一个亏格9 生成系【2 s 1 当g 4 8 时， b r e u e r 在1 1 1 】巾，将所有这样的群以及它的亏格g 牛成系的指标列了出来 对于g ( c ) = 3 非超椭圆光滑曲线，我们可以用典范映射西将其嵌入p 2 成为一条 光滑四次平面代数曲线，而仃意光滑四次平面代数曲线又是+ 条抽象g ( c ) = 3 非超椭网 光滑曲线的具体实现，所以可将这两个范畴视为等价a u t ( c ) 在曲线c 上的作用，自然 诱导了在h o ( 髓、) 这个线性空间上的线性变换作用所以a u t ( c ) 可以提升成萨的自同 构子群利f 】这点我t f l ma u t ( c ) 有如下完整的分类吲，【l 嘲： 一6 一 兰三量婴鱼型竖 全自同构群g i gg方程 参数限制 1 6 8p s l 2 ( f 7 )z 3 y + y 3 z + x 3 z 9 6 ( c 4 c 4 ) s 3 x 4 + y 4 + z 4 4 8 a a 4 x 4 + y 4 + z 3 x 2 4 &x 4 + y 4 + z 4 + ( 2 i x 2 - f y 2 + z 2 1 2 n 0 ，华，学 1 6a c 4z 4 + n ( y 4 + z 4 ) + b z 2 x 2 n ，b 0 9 c 9 z 4 + z y 3 + y x 3 8 q 8z 4 + ( 2 2 2 ( y 2 + x 2 ) + y 4 + x 4 + b y 2 x 2a b 7 c jz 3 y + y 3 z + x 3 z + a z y 2 xa 0 6 c az 4 + n z 2 y 2 + y 4 + y x a n 0 6 s 3 z 4 + ( 2 2 2 y x + z ( y 3 + x 3 ) + b y 2 x 2n b ，( 2 b 0 4qxg z 4 + z 2 ( a y 2 + b x 2 1 + y 4 + x 4 + c y 2 x 2 b c 3 c 3z 3 l 1 ( x ，y ) + l a ( x ，y ) n o ta b o v e 2 qz 4 + a z 2 l 2 ( x ，y ) + l 4 ( x ，y )a 0 ，n o ta b o v e 下面我们考虑超椭圆曲线的自同构 假设c 是条光滑超椭圆曲线，g ( c ) = g 2 ， 2 = p e 1 ) - 如一e 2 9 + 2 ) ， 这里e l ，e 2 9 + 2 是幻t2 个不同的复数超椭圆埘合i 是 ( z ，w ) h ( z ，- - w ) 显然它有2 9 + 2 个不动点：z - i ( e a ，j = 1 ，2 9 + 2 c 笺p 1 ， 是g 三a u t ( c ) 的中心，因此我们有正合列 1 _ _ g _ 百_ 1 这样虿一p g l ( 2 c ) 诱导了p 1 上的自同构显然，它又诱导了分歧点上的变换现在假 设分歧点具有定的对称性：勺+ l + j = - - e j ，j = 1 ，2 9 + 2 ( 假设e j 0 ，对仃意j ) 这 一7 一 第二章预备知识 样c 表示成 w 2 = ( 2 2 一e ；) ( z 2 一e 毛+ 2 ) 这样我们有另+ 个二阶自同构丁 ( z w ) h ( 一z ， ) 很明显商曲线e = 是 w 2 = ( z e ；) ( 。一e 玉1 ) 若g 是奇数则9 ( ) = ( g 一1 ) 2 ，若g 是偶数则9 ( ) = g 2 这样就有 垒 z 2 0 2 2 a u t ( c ) 在这个子群巾我们有三个j ：阶元i r i t 显然e 皇p 1 ，这 是c 到的个4 ：l 映射，若令c = c “，由g a l o i s 摹本定理我们有下图： e l c t p lc ” l p 1 当g ( c ) = 3 时，应用命题( 1 1 ) ( 3 1 ) g ( c ) + 4 9 ( p 1 ) = 2 0 ( ) + g ( p 1 ) + g c c ) ) 因为g ( ) = 1 ，故9 ( ) = 2 由h u r w i t z 公式易得c ，c ”是一个平展的二次覆盖 2 2 曲面的纤维化 纤维化在代数几何重占有 分重要的地位它的意义事两方面的：一方面，我们可以 把。个纤维化看成是。族代数簇，这。族代数簇巾的元就是纤维化巾的纤维，从而提供 了研究代数簇的形变和模空间的个途径；另方面，+ 个纤维化，：x 一+ y 在某利噫 义下也是把代数簇x 分解成了，的纤维所组成的族，这就给我们研究代数簇x 的性质 个降维的途径因为，的纤维具有比x 更低的维数这时问题的关键在于建立，的纤 维特别是些特殊的纤维的性质与x 的槎体性质之n l j 白关系 一8 一 第二章预备知识 定义2 1 设s 为。个( 光滑射影) 曲面s 的一个纤维化是指一个态射f ：s g ， 这里c 是。条光滑曲线，是+ 。个满射，并且它的所有纤维都是连通的根据b e r t i n i 定 理，除了有限多条纤维外，的纤维都是光滑既约曲线我们把不光滑非既约的纤维都称 为奇异纤维，因此由定义，光滑纤维是既约的如果，的所有纤维都是光滑纤维，则，称 为光滑纤维化 如果f 是，的条奇异纤维，f f r ) 也称为，的个临界点设f 是，的。条一般 纤维通常我们只用到f 是光滑既约曲线这性质，但严格的说，f 应当是这样的条 纡维它不具有仃何只有，的有限多条纤维才具有的性质我们把f 的亏格叫做纤维化 ，的亏格用g 来表示，它不依赖于f 的选取e 称为，的底曲线，g ( c ) 记为b 设为 s 的个典范除子则有k f = 2 9 一2 f 2 = 0 设b 为s 巾的条不可约曲线则，诱 导投射，：b ，e 如果日像是。个点，则b 含在，的条纤维巾，我们称b 为垂直曲 线反之，如果j 是同构b 称为，的个截面 设c 为c 叶1 ，的非临界点全体构成的开集，诱导个态射，i ：一9 ，使得 对于仃p c 7 ，纤维f - ! 同构于扫) 所代表的曲线7 可以唯的拓展剑个态射 “7 ：一瓯，这里甄是亏格g 的稳定曲线的模空间p 称为f 的模映射，若p 将c 映射到个点，则称，为常模如果个纤维化的每条纤维都同构于条固定的曲线，这 时关于e 巾的任。局部小领域d ，r 所诱导的d 上的局部纤维化是平凡的，称为解析纤 维丛 g = 0 的纤维化称为直纹g = 1 的纤维化称为椭圆纤维化，因为般纤维都是椭圆 曲线同样，9 = 2 的纤维化称为亏格二的纤维化，而如果，的般纤维都是超椭圆曲线， 则，称为超椭圆纤维化本文研究的纤维化一般纤维是亏格三的非超椭圆曲线 ，：s e 称为相对极小的，如果s 中没有垂直的( 一1 ) 曲线双有理等价于给定 的纤维化f ：s 一e 的。个相对极4 t - 维化称为，的。个相对极小模型每个纤维化 ，：s t e 都有袖对极小模型当，的亏格g 1 时，相对极小模型是唯的， 定义2 2 设f 为纤维化，：s c 的条纤维，并设n 为使得：f 为整除予的 最大整数如果n 1 ，f 称为条多重纤维，n 为f 的重数 在研究奇异纤维时，利用下面的局部纤维化概念往往更方便 定义2 3 个局部纤维化为个解析映射厶：s 。一，其巾解折同构f 复平 面吖1 的单位圆盘：兰 t c l l t i 2 ，则 g i 1 2 6 磁 证明 由命题的要求可知i k i 最大值为2 4 而i h ls8 4 ( b 一1 ) ，我们有 g i = i k i i h l 2 0 1 6 ( b 一1 ) 另方面，研0 等号成立当且仪当，是局部平凡的因此 k ； s ( g 1 ) ( 6 1 ) ， 1 4 ( 3 - 1 ) 一 一 苎三童笙丝些旦旦丝 所以有( 3 - 1 ) 当b = 0 时，日兰或者垒d 2 。，否则i 圩i 6 0 ，这利情形下i g i 2 4 6 0 = 1 4 4 0 命题3 2 如果f ：s c 是+ 。g = 3 非超椭圆相对极小纤维化，且，变模，以及 b 1 ，则 蚓2 1 6 k 7 嘉豢 c 特别的b = 0 时，若日笺z 。或d 2 。则： g ls7 2 碍 证明 由命题的要求可知i k l 最大值为2 4 ，所以b = 1 ，b = 0 时至少有三根奇异纤 维设奇异纤维的条数为n ，则n = ：。n k = i h i ( ：。1 r k ) 其巾竹t 为c 巾。条目- 轨 道的点的个数，r k 为相应的分歧指数当e 为椭圆曲线时，由于，变模以及g = 3 至少 有根奇异纤维故至少有s 1 ，由椭圆曲线的自同构群知( ：，1 r 女) u 6 ；当c 为 p 1 时，同理至少有三根奇异纤维，由于取p 1 的自同构群为磊或d 2 。，故必有条轨道不 通过南北极，因此当h 笔玩时( ：1 1 r k ) l ；当h 兰d 2 。时( ：11 “) 1 2 ，i1 4 4 n 当b = 1 时， i g l = l g l l g i 曼。i 【4 8 n 当b 20 时 这里我们需要估计奇异纤维的条数吼2 n e l = 1 2 x i 一碍4 碍一叼= 3 叼，其 中，第个不等号是应为8 凡n i 2 ( 见下节) ，第一个等号是由于相对n o e t h e r 等式，第 二个不等号是因为f ：s 一c 是一g = 3 非超椭圆相对极小纤维化，且，变模，则有 ；x ，3 将n 代入即得当g 为其它子群时，由( 2 1 ) 节p 1 有限自同构子群的表可 知，每条轨道至少有四个点，因此，至少有四根奇异纤维，由2 4 3 k ；知；，所 以i g i 5 4 0 k ； 下面我们考虑g a u t ( f ) 是阿贝尔群的情形由( 2 1 ) 节的表可知j k i 1 6 命题3 3 如果f ：s 一e 是一g = 3 非超椭圆相对极小纤维化，且，变模，以及 b 2 g 是a u t ( f ) 的阿贝尔子群，则 i g is4 磁+ 1 2 8 ( 3 3 ) 一1 5 一 第二章纤维化自同构 命题3 4 如果，：s c 是一9 = 3 非超椭圆相对极小纤维化，且，变模，以及 b 1 g 是a u t ( f ) 的阿贝尔子群，则 i g 怪9 6 k 当当6 b = ：。l 时l l e f , ( 3 4 ) 特别的，若6 = 1 时，h 自由的作用在c 上；或b = 0 时，则： l g l 4 8 嵋 证明 当9 = 1 时，若日不是自由的作用在c 上则i h is6 ，l a ls9 6 9 6 碍 当g = 0 时，若日不是循环群，则h 竺z 2oz 2 此时至少有4 根奇异纤维4s e l 3 碍，i g l = 6 4 4 8 孑除了这些情形外，仿照命题( 3 1 ) 有i h l 曼n 3 孑因此 l a l 1 6 3 碍= 4 8 叼 _ 3 2 例子 在前一节中我们已经得到了对i g i 的些较粗糙的估汁，在这+ 节叶l 我们将分析 个k 型s 4 的例子由前一章关于亏格3 的曲线自同构的表，我们知道方程 ( z 2 + p 2 + z 2 ) 2 + t ( x 4 + 矿+ 。4 ) 记为 q 2 + f 巾所代表的般曲线的自同构群a n t ( c ) 掣s 4 ，它嗣时也是p 2 的自同构子群但是， t = 0 代表f e r m a t 四次曲线，它的自同构群阶数为9 6 ；t = 2 近3 土或型弘时代表k l e i n 四次曲线，自同构群阶数为1 6 8 我们将上述，族方程所描述的曲线看成俨巾的+ 个线束f = 0 与q = 0 正常柏交 在8 个点( u 3 = 1 ) ： p 1 1 ，一：p 1 8 = u ：u 2 )( 1 ：u 2 ：u ) 一u ：u 2 )( 1 ：一u 2 ：u ) u ：一u 2 )( 1 ：u 2 ：一。) 一u ：一。2 )( 1 ：一。2 ：- - u ) ) 一1 6 第二章纤维化自同构 是这个线束的8 个摹点爆破这8 个基点，可得一个双有理态射1 ：s 一+ p 2 因为f 三 q 2 可得西：f 三纠( q 2 ) 设舛( p - i ) = e u 为例外曲线，令f 1 = 铝f 一8 渊e - ，( q 2 ) l = 4 j ；( q 2 ) 一羔。e l ，则f 1 三( 酽) 1 这样我们得到了s le e 一个由e l 与( q 2 ) 1 牛成的线束 因为p “在q 2 上是：重点，因此( q 2 ) l 包含了八条重的例外曲线，r 与这8 条例外曲 线分别正常相交在8 个点，故s 1 上的这个线束也有8 个基点： p 2 l ，p 2 8 1 ：我们将这 8 个摹点爆破后，又可得双有理态射也：s 2 - - - 4s l ，9 ；( m ) = 琶，为这批爆破所产牛的 例外曲线令b = 蝣月一。8e 毫，( q 2 ) 2 = o i ( ( q 2 ) 1 ) 一：。马，则b 三( q 2 ) 2 由它 们牛成的岛上的线束显然是没有摹点的，故我们得到了个最到科上的 r 维化，第 次爆发出的8 条( 一1 ) 一曲线在岛巾的严格原像变为( 2 ) 一曲线：落在纤维里：第二次爆发 出的8 条( 1 ) 一曲线成为8 个截面 2 _ s 1 上俨 ，l p 1 下面我们来分析。下岛巾的奇异纡维， t = 0 时，是( 矿+ 矿+ z 2 ) 2 = 0 在巾的严格原像，它是。条二重的光滑( 一4 ) 一曲线 再加上8 条( 一2 ) 一曲线 1 7 一 条有三个通常二重 第二章纤维化自同构 t = 一2 时，是 ( + y 2 + z 2 ) 2 2 ( z 4 + y 4 + z 4 ) = ( z + y + z ) + y z ) y + 。) ( ”+ z 一t ) = 0 这是四条两两正常相交的( 一3 ) 一曲线 t = 一3 时，是 ( z 2 + y 2 + 2 2 ) 2 3 ( x 4 + y 4 + 。4 ) = ( z 2 + “，矿+ u 2 2 2 ) ( z 2 + u 2 扩2 十u 。2 ) = 0 这是两条正常相交的( 一4 ) 一曲线 这样我们看到，t = 0 这条纤维不是半稳定的，其它三条都是稳定的下面来看相应 于纤维化岛p 1 的模映射肛：p 1 - - - 4 _ 3 ，记i m p = c 因为除了t = 0 外，其它纤维 都是稳定的所以t 一【f , i ，t 0 现在我们找= 0 处这根纤维的半稳定模型局部的纤 维化，可以写成 t = “，t = 2 ，t = u 口2 ， 分别代表在甲重纤维，畴重纤维和它们的，爻点处的局部方程我们做个2 ：1 的摹变换， 令t = z 2 则局部方程化为 2 2 = “z 2 = 矿z 2 。u t ，2 一1 s 一 第二章纤维化自同构 第一一个方程是正规，“= 0 为相应二次覆盖的分歧轨迹，自交数变为( 一1 ) ：y l , _ - 个方程不j 下 规，令z l = z v 则有正规方程。 = 1 ，这相当于在。= 0 上做二次平展覆盖：第三个方程 也不正规，令f = 笔，口= 南，方程化为。= f 町，故交点的原像为光滑点因此正规化后 我们得到8 条与它正常相交的( 一1 ) 一曲线，以及条光滑的9 = 3 的超椭圆曲线，收缩这 些( 一1 ) 一曲线得到条超椭圆纤维 下步我们详细分析下这条超椭圆曲线它是在。2 - t - p 2 - t - ：2 = 0 上做个二次覆 盖得来的，分歧点为 p r 一，p 1 8 ) 令 p 1 - + p 2 m ：仃) h ( “2 + 仃2 ：2 u v ：i u 2 一舻) ： 则这条超椭圆曲线可表示成 y 2 = ( - 4 - i 叫+ u 2 ) ( 口一 u u 2 ) ( u + u + f u 2 ) ( r u i , z 2 ) + , w 一0 2 2 ) p i w - 4 - “，2 ) ( u + u i “j 2 ) ( u u + i 。2 ) = 0 2 一( 讪+ ) 2 ) ( 鄙2 一( u + i w 2 ) 2 ) ( u 2 一( i u u 2 ) 2 ) ( u 2 一( 一t u 2 ) 2 ) = ( v 4 一u ( u + ) 4 ) ( 口4 一u ( i ， 4 - 1 ) 4 ) 由上一章关于超椭圆曲线的自同构知识可知，它有。个额外的二阶自同构( y ，v ) 一 ( 弘一口) ，因此有到+ 条9 = 2 的光滑曲线的二次平展覆盖故有可能出现下面的摹变换： 瓯一s a ! - ! 其中s 的中心纤维为条。：重的9 = 2 的曲线，懿的巾心纤维为上面所描述的超椭圆 曲线由8r i 。一2 f + ( f ) 可知，在懿巾8 ，6 = 2 所以对任纤维化，：s c ，若 肛( e ) = c ，则r a i n e e h22 ，因为e f 一1 时只 n g 是。条只有个节点的既约曲线，它 是稳定的，但c 上没有点代表这样的曲线 下面计算，：岛+ p 1 的不变量，因为 k 蚤= 9 ，x ( o p 2 ) = 1 ，血( 护) = 3 ， 而岛是由p 2 经过1 6 次爆破得来得：所以 磋= - 7 ，x ( o s , ) = 1 ，c 2 ( & ) = 1 9 ， 第二章纤维化自同掏 对于纤维化的相对不变量有 碍= 9 ，x ，= 3 ，e l = 2 7 因此我们有 i a u t ( ，) | = 2 4 = ；碍 2 6 7 碍 下面我们在p 1j = 取- - 个点 q l ，q 2 ，q a ) ( 不含= 0 这。点) ，为分歧点做条亏格为b 的 h u r w i t z 曲线c ，然后做基变换设7 r ：c 掣p 1 的挣回纤维化为五：岛一c 显然 这是稳定基变换，故有： 因此有 k 羔= 7 5 6 ( b 一1 ) ，x a = 2 5 2 ( b 1 ) ，e a = 2 2 6 8 ( b 1 ) ， 瓷= 7 7 2 ( b 1 ) ，天( p 岛) = 2 5 3 ( b 一1 ) ( 2 ( 岛) = 2 2 7 2 ( b 1 ) 3 3 工作展望 i a u t c l ) l = 2 4x8 4 ( 6 _ 1 ) = 器k 邑 2 6 2 k ；： 在上一节的例子中，我们发现它们与( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) 差距很大这是因为界浯1 ) 中我 们只用到了很弱的不等式k ；0 等号成立当且仪当，是局部平凡的，以及不等式 8 凡。2 而在【1 3 ，1 4 1 中之所以能得到最佳界，是因为利用到了超椭圆纤维化曲面到直 纹面的二次覆盖，当一般纤维有一个群作用时，这个覆盖的分歧轨迹有定的对称性，分 析对称性可以得到分歧轨迹奇点类型，进步应用( 1 2 ) 节提到的奇昴性指数公式，可以 得到k ；与i g l 之问的不等式，从而得到最佳界非超椭圆纤维化的不同之处在于，没有 一个这样的二二次覆盖可以应用，所以我们希梁能找到种方法也能得到；弓l g f 之闭 的不等式，还有，就是希望能将满足i m # ( c ) = c 的纤维化i ：s 一e 的奇骨纤维进行 分类 - 2 0 一 量耋塞堕 参考文献 f 1 】a a n d r e o t t i ，s o p r al es u p e r f i e i ed mp o s s e g o n ot r a n s f o r m a z i o n ib i r a z i o u a l i i n 8 e ， r e n d m a t a p p l 9 ( 1 9 5 0 ) ，2 5 5 2 7 9 【2 】e a r b a r e l l o ，m c o r n a l b a ，p a g r i f f i t h s a n t i ，1 h a r r i s g e o m e t r yo fa l g e b r a i c c u r v e s ，v o li ，( g r u n d l e h r e nd e rm a t h e m a t i s h e nw i 蟠e n s c h a f t e n ，v 0 1 2 6 7 ) ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 4 【3 】p a g r i f f i t h sa n dj h a r r i s ，p r i n c i p l e so fa l g e b r a i cg e o m e t r y j o h nw i l e , , & s o n s ， 1 9 7 8 【4 】p 格列菲斯，代数曲线，北京大学出版社2 0 0 0 【5 】t ，a s h i k a g aa n dk k o n n o ，g l o b a la n dl o c a lp r o p e r t i e so fp e n c i l so fa l g e b r a i cc u r v e s ， a l g e b r a i cg e o m e t r y2 0 0 0 ，a z u m i n o ，a d v a n c e ds t u d i e si np u r em a t h e m a t i c s ，3 6 ( 2 0 0 0 ) ，1 - 4 9 6 】m a r t i na n dg w i n t e r s d e g e n e r a t ef i b r e sa n ds t a b l er e d u c t i o no fc u r v e s ，t o p o l o g y , 1 0 ( 1 9 7 1 ) ，3 7 3 3 8 3 f 7 】f r a n c e s c b a r s ，o nt h ea u t o m o r p h i s m sg r o u p so fg e n u s3c u r v e s ，n o t e sd e ls e m i n a r i d et e o r i an o m b r e su b u a b - u p c2 0 0 4 0 5 ，g e n u s3c u r v e 8 ，b a r c e l o n a ，g e n e r2 0 0 5 【8 | 8w b a r t h ，k h u l e k ，c p e t e r s ，a n da v a nd ev a n ，c o m p a c tc o m p l e xs u r f a c e s ， s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 7 【9 】a b e a u v i l l e ，c o m p l e xa l g e b r a i cs u r f a c e s ，l o n d o nm a t h e m a t i c a ls o c i e t yl e c t n r e n o r es e r i e s ：6 8 【1 0 1a b e a u v i l l e ，l eh o m b r em i n i m u md ef i b r e sa n ds i n g u l i a r e sd u n ee o u r b es t a b l es u r ，a s t & i s q u e ，8 6 ( 1 9 8 1 ) ，9 7 - 1 0 8 【1 l 】t b r e u e r ，c h a r a c t e r sa n do l l t o l n o l1 ) f i s mg r o u l ) so fc o l u p a c | r i e n m n ns u r f a c e s ， l o n d o nm a t h s o c l e c t n o t e s2 8 0 ，c a m b r i d g eu n i v p r e s s2 0 0 0 2 1 至耋奎堕 【1 2 】j c a i ，a b e l i a na u t o m o r p h i s mg r o u p so f3 - f o l d so fg e n e r a lt y p e ，a r x i v ：a l g - g e o m 9 5 0 2 0 1 3v 22 4m a r1 9 9 5 【1 3 】z c h e n ，b o u n d so fa u t o m o r p h i s mg r o u p so fg e n u s2f i b r a t i o o s ，t 6 h o k um a t h j 4 6 ( 1 9 9 4 ) ，4 9 9 5 2 1 【1 4 z c h e n ，b e s tb o u n d so fa u t o m o r p h i s mg r o u p so f 吣p e r e l l i p t i c f i b r a t i o n s ，t 6 h o k u m a t h j 。5 0 ( 1 9 9 8 ) ，4 6 9 4 8 9 【15 j 陈志杰编，代数曲面讲义 【1 6 1a c o r t i ，p o l y n o m i a lb o u n d sf o rt h en u n l b e r o fa u t o m o r p h i s m so fas u r f a c eo fg e n e r a l t y p e ，a n n s c i e c o l en o r m s u p 2 4 ( 1 9 9 1 ) 1 1 3 1 3 7 【l7 】pd e l i g n ea n dd m , m f f o r d t h ei r r d n c i b i l i t ) o ft h es p a c eo fc u r v e so fg i v e ng e n u s ， p u b l i h e s 3 6 ( 1 9 6 9 ) ，7 5 1 0 9 【1 8 1i d o l g a c h e v ，t o p i c si nc l a s s i c a la l g e b r a i cg e o m e t r y , i ，p r i v a t el e c t u r en o