（基础数学专业论文）多线性位势型算子的加权不等式.pdf

摘要 设雪为”上的非负局郡, - - j 积函效，位势型再于足义为 ，( z ) = 釜 一y ) f ( y ) d y ，r n 设a 是r ”上所有一阶偏导数都属于b m o ( r “) 的函数，定义多线性位势型算子瑶 为 t a f ( 垆小删) 盟丝酱掣删( y i 泐 - ，r 件i 山 f 本文讨论算子霹的双权不等式，其中圣满足某些弱增长条件，得到了如下结果： ( i ) 若权函数对( u ，”) 满足对某个r 1 及对任意方体q ， 讹) ) f 训肛1 加( 南z 心肚) v q 。稚c o 。， 其中b l ( t ) = 护7 ( 1 + l o g + z ) p ，1 a ) ) 1 q c ( 上。i f ( z ) l p v ( z ) 妇) 1 向 a o 、- ，r n 7 ( i i ) 设b ( t ) = t ( 1 + l o g + t ) ，则存在常数c 0 ，使得对任意的权函数w ，下列两式成 立， i t a f ( x ) i p w ( x ) d x c ( m e , ，b ，( z ) ) p m w ( x ) d x ，0 1 j r j r n ( i i i ) 设6 0 ，w 是任意权函数，我们有 i i 霹f l l l t 一) c i i m , ，s f l l l - * ( 气( 。哩l ) ；) ) 关键词：多线性位势型箅子权函数加权不等式极大函数 i i i a b s t r a c t l e t 圣b ean o n n e g a t i v el o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o no nr n t h ep o t e n t i a lt y p eo p e r a t o r s a s s o c i a t e dt o 圣i sd e f i n e db y r o f ( x ) = 圣( z 一秒) ，( 3 ，) d y ，r n l e tab eaf u n c t i o nw h o s ed e r i v a t i v e so f o r d e ro n eb e l o n gt ot h es p a c eb m o ( r n ) d e f i n e t h em u l t i l i n e a rp o t e n t i a lt y p ei n t e g r a lo p e r a t o r 霹a s 咖加小删) 盟丝酱产幽m 胁- ，r nl 山一y i i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h et w o - w e i g h t si n e q u a l i t i e sf o r 霹w h e n 圣s a t i s f i e ss o m e w e a k g r o w t hc o n d i t i o n s t h em a i nr e s u l t sa l et h ef o l l o w i n g ( i ) i f t h ep a i ro f w i g h t s ( 札，v ) i ss u c ht h a tf o rs o m er 1 a n da n yc u b eq ， 研( q ) ) i q l l 肛1 加( 高乞心) v q _ q c o 。， w h e r eb 1 ( 亡) = t p ( 1 + l o g + t ) ，1 0 、 ( i i ) l e tb ( t ) = t ( 1 + l o g + t ) t h e nt h e r ee x i s t sc o n s t a n tc 0s u c ht h a tf o ra n yw e i g h t 彬w e h a v e l t a f ( x ) i p w ( x ) d x c ( ，s f ( x ) ) p m w ( x ) d x ，0 1 ，r nj r n ( i i i ) l e t 6 0 ，f o r a n y w e i g h t w ，w e h a v e 霹川l 1 一( t t ，) c l i m e ，b f i l - ，一( 吮( 呲) 。( 埘) ) k e y w o r d s ：m u l t i l i n e a rp o t e n t i a lt y p eo p e r a t o r sw e i g h t w e i g h t e di n e q u a l i t y m a x i m a l f u n c t i o n i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文多线性位势型算子的加权不等式，是在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ： 吵叼年占月，日 专雪故 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ： 汐汐少年6 月p 日 专奎欲 n i 弧 、，1】釉咽 劐勺， ( 月认p确f啊年 教码 导 伊 一 趴 ，趴 芗 币诈r 口 j，f 教 一 导 y 一叩 引言 调和分析又称傅立叶分析，1 9 5 2 年c a l d e r 6 n z y g m u n d 开创了现代调和分析的研究， 将傅立叶分析理论拓展到高维r ”上，形成了一套研究酞n 上函数空间与算子理论的实方 法本文将讨论关于多线性位势型算子的加权理论 设西是r n 上的非负局部可积函数，对可测函数厂，定义位势型算子： ， ，( z ) = m 一y ) f ( y ) d y ，r n 最基本的例子有圣( z ) = i x l a _ n ，0 q 0 ，0 g 1 ，使得对所有k z 有 2 。 裟圣( z ) 互cj , ( 1 - - e ) 2 k l y l _ _ 2 5 ( 1 + e ) 2 k 西( y ) d y ( o 1 ) 对西我们定义与之相联系的正函数圣： 。f 圣( t ) = a b ( z ) d z ，t 0 j i z l _ t 对于西满足条件( o 1 ) 的一般位势型算子的双权问题，p & e z 【1 4 】给出了使得双权 强0 ，g ) 型不等式成立的充分条件，齐金云【1 7 】证明了位势型算子墨的加权弱型不等式， m a r t e l l 【1 2 对齐型空间上的位势型算子得到了双权弱，g ) 型不等式，1 p g 设a 是酗上所有一阶偏导数都属于b m o ( r n ) 的函数，西满足条件( 0 1 ) 定义多线 性位势型积分算子瑶为 t2s(z)=zr。西(z一可)二堑兰2_二二笪气笔三掣厂(3，)咖 ，” 1 4 一y i 众所周知，类似的箅子如多线性奇异积分算子、多线性分数次积分算子的有界性已被 许多人研究，参见【3 ，4 ，8 ，l o l i 9 证明了多线性位势型积分算子的双权强 ，口) 型不等 式，1 0 ，则称b 是二倍的如果 存在常数c ，c l ，c 2 0 ，对于t c ，有c l a ( t ) b ( t ) c 2 a ( t ) ，则称a ( t ) b ( ) 给定个y o u n g 函数b ，q 为r ”中的方体，定义，在q 上的平均l u x e m b u r g 范数为 ij f b , q - - - i n f 0 ， a _ 1 ( 亡) c _ 1 ( 亡) b - 1 ( t ) ， 则有下列广义h b l d e r 不等式成立：对任意函数，与g ，以及任意方体q ， i i f g l i b ，口2 1 1 f l l a ，q i i g l l o ，q ( 1 2 ) 特别地，对于任意y o u n g 函数b ， i q 丽1 乞i f ( z ) 夕( z ) i 如2 i l y l l b ，q 1 1 9 i i e 口 ( 1 3 ) 设1 p 。，我们称y o u n g 函数雪岛，若存在正常数c 使得 。等警 1 及权函数t ，对任意可测集ecr ”，定义集函数成为 屯( e ) = i e l m ( u 7 d x ) m 4 2多线性位势型算子的双权弱，g ) 型不等式 本节讨论西满足条件( 0 1 ) ，( 0 2 ) ，a 满足其所有一阶偏导数都属于b m o ( r n ) 的多 线性位势型积分算子霹的双权弱p ，口) 型不等式主要结果是下列定理 定理2 1 设1 p q ，0 o l 1 及对任意方体q ， 即( q ) ) i q l l q - 1 p ( 南名巾) r d z ) v q 。p i i m , q 入) ) 1 口c ( 上。i f ( r z ) j p ( z ) d z ) 1 7 p ( 2 2 ) a o，t l 为证明定理2 1 ，需要下列几个引理 引理2 2 设西为满足条件( o 1 ) ，( 0 2 ) 的非负局部可积函莪b ( t ) = t ( 1 + l o g + t ) ，为具紧 支集的非负有界函数，则对任意t 0 ，存在一列互不相交的极大二进方体 锘) ，使得对每 个j ， t t ) = uq ， j z r n ：，b ，( z ) 4 n cu 3 q j 方体列 q t ) 称为，联系于雪及b 在高度为t 时的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 分解 证明因为，为具紧支集的非负有界函数，设，的支集包含在k 中，因此 圣( 1 ( q ) ) l b ，q = 垂( 2 ( q ) ) i i 州ll o g l ，口 圣( 2 ( q ) ) i l 州工* i i x , d k l 。g l ，口 g 。旧”“川k 。而葫 其中b ( t ) = t ( 1 + l o g + t ) ，可知b 一1 ( ) t ( 1 + l o g + t ) 一所以 墨( f ( q ) ) 舶面( 2 ( q ) ) l 。1 + l o g 产+ i q n k l t ，则q 必含于满足该条件的极大二进方体中设 q ) 为一列互不相交的极大二进方体， 满足 t 4 n t ) cu3 q j 任意取z e t ，则存在一方体兄包含z 且满足 4 n t 西( t ( r ) ) i i f l i b r ( 2 3 ) 令后是唯一的整数使得2 一七一1 2 n t 否则若对每个i = 1 ，m ，有 c q ( n ) ) l l x j , f l l l l o g 厶r 2 n t ，且rcu ：l 五，则 西( f ( r ) ) m i l i o g 厶r = 西( f ( r ) ) l i x u 罂。j t ，l l l l 。g l ，r 丕( 2 ( r ) ) i i x j i i l i o g 加 i = 1 4 “t 这与( 2 3 ) 式矛盾由i r i i i t 由 q 】的极大性，存在某个i 使得g acq ，则有rc3 c3 q 因此 z r ”：，b ，( z ) 4 ”t ) cu3 q j 引理2 3 3 】设b 是r 疗上所有一阶偏导数都属于l 9 ( r n ) 的函数，q 仡则 1 6 ( 圹啪胚c i 删l ( 志怎) i v 郴d z ) v 9 ， 其中q ( z ，y ) 是以z 为中心，边长为5 何i z y i 的方体 引理2 4 6 】对于任意r 1 及权函数“，集函数伐满足? 若ecf 则a ：( e ) ( i e i i f i ) 1 一心( f ) ， 例u ( e ) a ：( e ) ， 例若 e j 是一列互不相交的集合且u j e j = e ，则有 a ：( 马) a ：( e ) j 引理2 5 6 】设非负函数，l q ( p ) ，1 g 0 ，存在，在高度t 时的经典僦彤肛聊枷d 分解得到的极大二进方体 列q 的子列喏满足 南z ：i ，一如l 如 跣 且使得对p g ，有 sup矿u(z：mdm)t)o 9 屯( 喏) c u ： 其中常数与c 仅依赖于r ，p 与n 引理2 6 设西满足条件( 0 1 ) ，( o 2 ) ，b ( t ) = t ( 1 + l o g + 亡) 假设对，l 9 ( r 竹) ，1 q 0 ，存在常数p ，0 t ) i p i q j i 则存在依赖于n 与p 的常数 0 ，以及f 联系于西及b 在高度为t t 时的c a l d e r 6 n 轫”删分解得到的极大二进方体列 凹) 的子列 r ) ，满足对每个j ，存在某个k 使得 q jc3 p k 如果在假设中用m g b ，代替，且，其t l 在结果中可取p = 以及得到最使得q jc 最 证明我们首先考虑非二进的情况，由引理2 2 ，我们有 q t = 秒r “：，b ，( 可) t ) cu 3 c ：， i 其中7 = 4 一，若存在i 使qcs c 7 ，则引理2 6 是正确的因而我们只需考虑下面的情 况：对每个j ，存在指标集如，使得 q n 哦cu3 四2 ， i e a i 及 3 四nq , 0 ，i 如 有两种可能：一种是，存在i a 使t ( q j ) 2 ( 3 四) ，则锄c9 四。， 2 卿c 7 ) ) 盯峙聊抑掣) ) i n f 。s + 南厶。b ( 掣) 如) 卸( ) 9 _ n 瓣 s + 南厶。b ( 掣) 出) - n 圣( f ( 凹。) ) l l f l l s , 凹t 9 一n 7 t 另一种是，若对所有i 如，都有t ( q j ) 1 ( 3 q 弘) ，即c 7 c3 q ，我们有 2 1 3 q j i 圣( f ( 3 训l b 购，咖q j ) ) i n f f 、s 俐+ s 厶j e i ( 掣) 出) 潮f ( 3 q j ) ) 刚e 。i n f ，帕t j + s 厶。b ( 掣) 出) 讯3 q ) ) 阿i l l y l l b ，掣 i e a j i c 7 。即( ) ) l l f l l b ，掣 i e a i 3 - n 7 t 1 3 四i i e a j 3 - 7 t 1 岛n q “ 9 “g t t l 3 q f | 故 2 西( 1 ( 3 q j ) ) l l f l l s ，3 q ；29 - # 7 t ， 因而对每个j 均存在方体或包含q j 并有 b q ( o j ) ) l l f l l b , o j 譬 8 令= # ，) t 3 6 ”则 圣( f ( q ) ) | i ，| i b ，岛4 n u t 用引理2 2 证明中的方法可得，存在( 掣 的子集 p 七) 使得q jc 岛c3 最 因为两个二进方体相交必存在包含关系，故二进的结果类似易证引理2 , 6 证毕 为证明定理2 i ，首先推导出霹的离散形式 9 】，为此定义与西相关的函数，对t 0 ， 6 ( t ) = s u p 圣( y ) ， t l u l _ 2 t 鲜) = 击上k m 俐。删。蚴) 咖 其中表示上所有的二进方体集对任意的方体q ，令 a q ( u ) = a ( y ) 一m q ( v a ) u 易证对任意的z ，y 时，有 a q ( x ) 一a q ( y ) 一v a q ( y ) ( x y ) = a ( x ) 一a ( y ) 一v a ( y ) ( x y ) 因此 露( x ) 盟叭可) l d y f 咖， f ( y ) l d y 半掣+ i v a q 帅驯匆 9 掣 学 “一 竖 文 n b 8 q q “ 以 厂厶厂厶 z z 口 口 x 、j一、，一 q 一2 q 一2盟2 嫂2 一圣 一e i 叫哪 一 一 对于z q 及y b ( x ，f ( q ) ) b ( z ，半) ，记作q ( x ，y ) 是以z 为中心，边长为5 瓶l z y 的方体且它包含在6 何q 中由引理2 3 和j o h n - n i m n b e r g 不等式，番t f f j 有 i a q ( z ) - - a q ( 训c x - y l ( 志怎) l v 鲍) 一州v 删名) v 2 c i x - - y l o v 4 ( 名) 一m 6 佃( v a ) v 口 + c l z y i i m q ( v a ) 一m 6 v , 石q ( v a ) i c i z 一 | i i v a i ir ，) 兵甲礼 q 0 0 右z v 且【v ) 2z 。，则环石l z ，z 。j 色百仕5 v 甲 我们继续不等式 i t a f ( 圳c 悍刮面( 掣) x q ( z ) a qi f ( 训咖q e a + q e h 虿( 竿) 碱z ) 厶i v 讹) 一州v 刮i m ) 协 。州 硎v 钏啪面( 竿) 蒯z ) 厶i 尥) i 由qe a ”w 十面( 掣) x 。( z ) i w a m q ( w a ) j i e x p l , 3 q i f f l l - o g 厶3 q 1 3 q c l i v a i i b m 。面( 掣) x q ( z ) i i f l i l i o g l , 3 q 1 3 q i q c i w a i i b m 。s u pf虿( 掣) i i 刘l l o g 厶1 3 q i x q ( z ) m e z q e a ：i ( q 、j l 2 m 二 = c i i v a i i b m d 。s u ；p z t 2 ”，( z ) 其中 露，m ，( z ) 全 否( 掣) 1 1 f l l l l o g l ，叼1 3 q i x q ( z ) q e a ：i ( q ) 2 m 一 则有 i 霹，( z ) i c i i v a i i b m o ! a m 霹m ，( z ) ( 2 4 ) 。，n。+ 引理2 7 设m z ，f 为具紧支集的有界函数则巧f 也是具紧支集的有界函数，因而 对任意1 q 。o ，露m f l q ( r n ) 证明设，的支集包含于方体q o 中，其边长f ( q o ) = 2 b ，则存在有限个边长为2 m 的 二进方体 q ) 墨1 ，满足3 qnq o o ，i = 1 ，n 如果一个边长为2 m 二进方体q 满足 1 0 3 qi 1q o29 ，则对任意二进方体qc q ，有i i l l l l o g | l ，3 q = 0 因此s u p p 瑶仇fcu 扛n 1 q 下面证明瑶m 有界 巧m ) = 石( 掣) | l ，| i l l o g 瑚1 3 q i x q ( z ) = 虿( 掣) 肺“3 q 1 3 q i 面( 掣) 删 蝌s + 南厶了i ( y ) l ( 1 + l o g + f f ( s y ) 1 ) d 好 矗羡m 石( 争2 h 扑圳b ( t + l o g + i l f l l l _ _ _ _ = ) ck面渺_1)2概辨+lill州1+log+半)k 七z m 。 。7 由条件( o 1 ) 可得 面( 2 詹一1 ) 啦( 2 七一1 ) ，k z 继续不等式有 如詹羡m 南f s ( 1 _ e ) 2 k _ 1 y l f 辩f + i i 1 1 三一( 1 + l o g + i i 一i i l ”) = 西( j ( 1 + e ) 2 ) 蜕 0 ，0 ull d o1 ，殳n “ 。 j c 1 3 q o ii i f l i l , o g l ，3 0 。， 由条件( 0 1 ) 可得 那么 西( 2 。) 啦( 2 ”) ，z 2 石( 2 1 ) c 2 至( 2 1 ) z 一 、 7 一z 一、 7 = c 迁p ( y ) d y i 矢：，6 ( 1 一e ) 2 一v 一1 h ) 。叭1 一o ， v l ”1 o ， c 以幽( 。舻岣蛐) 咖 ：c 毒( 6 ( 1 - i - e ) t ( q o ) ) 因此可得 i q i 面( 掣) | | 州l i o g ”q 1 3 q i c 毒( 6 ( 1 + ) z ( q 。) ) l l f l l l l o g l ，昀。1 3 q 。i q e a ：q c q o 引理证毕 引理2 9 设m z ，为具紧支集的有界函数，则 m 带，d ( 巧m ，) g ，l i o g l ，( z ) ， 其中常数a 不依赖于m 与， 证明设q o 是包含z 的任一二进方体，且l ( q o ) = 2 k o 只需证明存在c ，使得 1 2 土i q o lz 。l 霹吖一( 巧 m ，) 铂i d y 0 ，使得对每个入 0 存在一列互不相交的二进方体 q a j ) 使得 南z 酷m ，( 旷( 霹朋m 炉狲 以及 s u pa q 乱( z 毫n ：丁善，m ，( z ) 入) ) a o s u pa q u ( x 乏n ：m d ( 丁窖m ，) ( z ) a ) c s 脚u p ”莩代r l 眵a 1 3 由引理2 9 ，对每个j ， 四cx r n ：m 带 d ( 露m ，) ( z ) a 】c z r n ：，b ，( z ) a ， 其中= 四1 9 对肛= 1 应用引理2 6 ，对每个入 0 存在一列互不相交的二进方体 磺) 使得对每个j ，存在某个k ，谚c3 磁，且 击( 2 ( 磁) ) l l f l l b ，碓 砧， 其中p 0 仅依赖于卢与n 则由引理2 4 ，对每个a 0 ， 入。越( 谚) = 入9 或( 研) j k q c 3 罐 a 9 a ：( 3 磁) p 一口k1 3 础卸( p ：) ) i l f l l 彬( 南厶巾) 矿 对于p ，1 0 下面是本节的一个主要定理 定理3 4 设西满足条件( o 1 ) ，b ( t ) = t ( 1 + l o g + t ) ，霹为前面所定义的算子， ( i ) 若0 0 ，使得对任意的权函数w ， l 霹f ( x ) l p w ( x ) d x c ( ，b ，( z ) ) p m w ( x ) d x - ，r n，r n 成立 ( i i ) 若p 1 ，则存在常数c 0 ，使得对任意的权函数w ， l 霹y c z ) l p w ( z ) d z c ( ，b f ( x ) ) p m 晤1 + 1 w ( x ) d x ，r n，r n 成立 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 证明首先证明0 p 1 时( 3 4 ) 成立，我们要用到驴空间的对偶空间 p 0 我们对权m ( 9 6 ) 一1 6 用引理3 2 和引 理3 3 ，继续不等式 i i m , , b 川舭伽) 上。罐m ) 鼎出j r 竹y ，山， i i 霹：i l l ，( ) | i m ( 夕6 ) - 1 6 ( 硼) 那么只需证明 i i m ( 矿) 一1 7 6 ( ) 扩1 忆( m w ) ， 因为 0 ，这等价于证明 m ( 矿) ( z ) 一p 6 w ( x ) d x f 夕( z ) 叫m w ( x ) d x 但，若我们选择0 1 ， 立即可得( 3 4 ) 式 当p = 1 时，由引理3 2 ( v 兰1 ) 即可得( 3 4 ) 式成立， 下面证明p 1 的情形首先证明下面不等式成立， i t a f ( x ) i p o ：( x ) d x c ( ，b ，( z ) ) p 耽( 1 。，小s ( u ) ( z ) 如，6 0 ( 3 6 ) ，r n，r 住 由p = 1 得 i 霹，( z ) i o ) u ( z ) 1 p ) a x c ，b f ( x ) m ( g w l 加) ) 如 ，r n，r n 由一般h s l d e r 不等式( 1 3 ) ，对于适当的y o u n g 函数皿待定，继续不等式 c ，b m ) 虮9 ( z ) 临( u 1 p ) ( x ) d x c ( 厶( 矽( 临( p ) ( z ) ) p 如) 珈( 上。m m g ( z ) p ，如) w 实际上令皿( t ) = t p 7 ( 1 + l o g + t ) - l - , , 0 ，当t 充分大时有面( ) t p ( 1 + l o g + t ) ( p 一1 ) ( 1 + 6 ) 且皿印，则由【1 4 】中的定理4 1 知在上有界所以我们有 1 7 7 ，( z ) i ( 9 ( z ) “，( z ) 1 p ) d x ，r “ c ( 上。( ，b ，( z ) p 娩( - 哩训，叫t u ( z ) ) 如) u p ( z 。9 ( z ) p ，如) 1 p ， 1 7 令6 = o 一1 ) ，则证得( 3 6 ) 式成立若令e = 磬一1 ，则参 1 5 】有 m 面- ( w 1 p ) ( z ) p m l ( 1 0 9 l ) 嘲u ( z ) c m 嘲+ 1 u ( z ) ， 所以有( 3 5 ) 式成立此时定理3 4 证完 下面是本节的另一个主要结论 定理3 5 设圣为满足条件( 0 1 ) 的非负局部可积函数，b ( t ) = t ( 1 + l o g + t ) ，j 0 ，则对任 意权函数， 露，i i l ，* ( 切) c i i m 西，b f l i l ，* ( m l ( 崦l ) 5 ( ”) ) ( 3 7 ) 证明由标准的稠密论证方法不妨设，叫是具紧支集的非负有界函数，对p 1 待 1 l 瑶a 川l 1 。p ，。( ) = i i ( t 2 f ) 1 7 p 岫一( 蜘) 2 黜巾s u 。p 伽：。上。( 瑚圳1 硼如 最后个等式是因为2 , 0 0 ( 伽) 是妒7 ，1 ( 伽) 的对偶空间固定一个g ，对 0 ，由定理3 4 我 们有 t 垂i b a 川 l l n l p 。( 加) c 上。( ，b ，( z ) ) 珈m ( 9 伽) ( z ) 如 =c f r ( m o ，b m ) ) 1 屈瓦i o g m 二( g p w ) ( x ) u l z j m l ( 1 0 9 l ) p - 1 + 2 t 0 2 ( z ) 如 我们用l o m n t z 空间的h s l d e r 不等式可得 l i 巧a 川帆l i p 。( 伽) c i i ( m 币训屈1 1 l p 。v ( m l ( 1 0 9 l ) p - l + 2 t w ) i i 。l ( 1 m 哩l ( g w ) 磊，( m l ( p _ l 协伽) = c l i m e ，b ，f 。l l l l 。v ，。( m 圳锯l ) ，一，+ ：。) 0 五丽m 唱l ( g ) p w 一，) + ：。叫。l p ，- ( 吮。，明l ，一。+ ：。埘) 为完成证明，我们只需说明 或等价地 1 8 i l ， i ( m l ( ，鸭l ) ，一，+ 。埘) c i i g l l l ，( ”) ， s ：l p ，1 ( u ) _ ”( m l ( 1 。g l ) p - 1 + 2 e 叫) ， 其中 由于m w m l ( i 。g l ) p 1 + 2 r w ，易见s ，= 面面m ( f w ) s ：l ( 叫) 斗l ( 帆( 1 0 9l ) p - - 1 + 2 c 加) 因此由l o r e n t z 空间上的m a r c i n k i c w i c z 内插定理( 【1 】) ，只需说明对e 0 ， s ：l ( n + e ) 7 ( 伽) _ l 6 ) ( 耽( 1 。g l ) p - - i + 2 c 伽) 也即证明对具紧支集的非负有界函数，下式成立 ( f ( 伽，) ( y ) ) ( p + ) ( m l ( 1 0 9 l ) p - - l + 2 c 叫( 剪) ) 1 一( 舛e ) d y c ! ( ，( 可) ) ( p + 6 ) ，w ( y ) d y ，r nj r 礼 事实上，p d r e z 1 3 】得到：对r 1 ，r l 0 ( 彳( ，) ( 可) ) ( m l ( 1 0 9 l ) r - 1 + 1 7 ( 伽) ( 秒) ) 1 - r d y c ， ) 一伽( 可) l - r d y j r ，r n 故只要取r = p + e ，? 7 = 即可因此我们得到对任意p 1 和s 0 i i 霹，二- ，一( t c r ) c l i m 西，日，i | 三- ，一( 气( 。哩l ) p 一- + 缸( 埘) ) 最后我们取p = 1 + 6 2 s ，其中满足0 2 e 6 ，即可得( 3 7 ) 式成立 1 9 结论 本文讨论了多线性位势型算子露的双权弱( p ，q ) 型不等式以及与极大函数相联系的 关于任意权的加权不等式，即算子露的有界性类似的箅子如多线性奇异积分算子、多 线性分数次积分算子的有界性已被许多人研究证昵本文是把类似的性质拓展到了多线 性位势型算子霹上，其中圣要满足某些弱增长条件，以及技术上所需要的其它一些条件 由此我们可以考虑，能不能把西要满足的条件再减弱一些，算子霹的有界性仍然成 立更加可以考虑怎样把类似的性质延伸到其它更复杂的算子上，这样算子的有界性会得 到更加完善的发展 2 0 参考文献 1 】c b e n n e t ta n dr s h a r p p l e y , i n t e r p o l a t i o no f o p e r a t o r s ，a c a d e m i cp r e s s ，b o s t o n , m a ，1 9 8 8 2 】m j c a r r o ，c p 6 r e z ，es o f i aa n dj s o v i a ，m a x i m a lf u n c t i o n sa n dt h ec o n t r o lo f w e i g h t e di n e q u a l - i t i e sf o r t h ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r s ，i n d i a n am a t h j ，5 4 ( 2 0 0 5 ) ：6 2 7 6 4 4 【3 】j c o h e n , as h a r pe s t i m a t e f o r m u l t i l i n e a rs i n g u l a r i n t e g r a l o n r n ，i n d i a n a u n i v m a t h j 3 0 ( 1 9 8 1 ) 6 9 3 7 0 2 【4 】j c o h e n , j g o s s e l i n , ab m o e s t i m a t ef o rm u l t i l i n e a rs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s ，i l l i n o i sj m a t h 3 0 ( 1 9 8 6 ) 4 4 5 - 4 6 4 【5 】d c r u z - u r i b e a n dc j n e u g e b a u e r , t h es t r u c t u r eo ft h er e v e r s eh 6 1 d e rc l a s s e s s ， t r a n s a m e r m a t h s o e ，3 4 7 ( 1 9 9 5 ) ，2 9 4 1 2 9 6 0 【6 】d c r u z - u r i b ea n dc p 6 r e z ，t w o - w e i g h t ，w e a k - t y p en o h l li n e q u a l i t i e sf o rf r a c t i o n a li n t e g r a l , c a l d e r o n - z y g m u n do p e r a t o r sa n dc o m m u t a t o r s ，i n d i a n am a t h j ，4 9 ( 2 0 0 0 ) ，6 9 7 - 7 21 【7 】c f e f f e r m a na n de m s t e i n ，s o m em a x i m a li n e q u a l i t i e s ，a i n e lj m a t h ，9 3 ( 1 9 7 1 ) ：1 0 7 - 1 1 5 【8 】s h o f m a n n , o nc e r t a i nn o n s t a n d a r dc a l d e r 6 n - z y g r n u n do p e r a t o r s ，s t u d i am a t h 1 0 9 ( 1 9 9 4 ) ，1 0 5 - 1 3 1 【9 】w ：m l i ，t w o - w e i g h ts o l i l li n e q u a l i t i e sf o rm u l t i l i n e a rp o t e n t i a lt y p ei n t e g r a lo p e r a t o r s ，m a t h n a c h r ，2 8 1 ( 2 0 0 8 ) ，8 3 9 8 4 6 【1 0 】w m l ia n dyq h u , t w o - w e i g h tw e a