（工程力学专业论文）柔性梁—柱系统重复碰撞响应非线性分析.pdf

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b e a m ; r o d ; n o n l i n e a r v i b r a t i o n s ; d y n a m i c a l r e s p o n s e i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以 标注和致谢的 部分外， 不包含其他人己 经发 表或公布过的研究 成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已 在论文中 作了明 确的说明。 研究生签名:又a 呵 年 0 ; j ” 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档， 可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容， 可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的 全部或部分内容。 对 于保密论文，按保密 的有关规定和程序处理口 研究生签名:王a 3- o7 年 哪 / ” 日 硕士论文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 1绪论 1 . 1工程背景 随着高速 高精 度机械系统应用的更加广 泛， 柔性构件间发生的 重复碰 撞对系统性 能的影响愈加突出，造成系统动力性能的急剧下降，高幅振动，噪音，等。同时重复 碰撞 也引 起的高 幅和剧烈变 化的 撞击力， 大 大缩短了 机构件的疲劳寿 命。 另外， 还会 导致 系统精确 控制的 十分困 难等 。 重复 碰撞振 动现象，往往是贯穿 系统的整 个运动 期间， 有着长 期的 、 不可忽 视的 影响。 工程中的 碰撞 振动系统往往是由 柔性连续体构 件组成， 是 十分复 杂的 非线性动力学系统. 它的 共同 特点 是用以 模拟的 碰撞振动系统 的维数高， 一般都 是多参数系统， 动 力响 应复杂。 系统运 行过 程中 外部 激励参数的变 化，将引起系统的动力学响应的本质变化和一系列的非线性现象，如分岔、混沌等。 由 于碰撞的 存在， 系统呈现不连续性 和强 非线性。 因 此， 对连续体 构件碰撞 振动系统 的重复碰撞 及其非 线性行为的相关 研究， 无论在理 论上， 还是在实际 应用上， 都有重 要的意义。 2柔性结 构重复 碰撞振动现象的 研究 重复 碰撞 振动现象广泛 存在于 机械工程， 土 木工 程， 航空和航天， 生 物工程等诸 多领域。 一方面， 为了某种生产的目的， 可以利用碰撞振动的动力学原理设计制造出 冲 击 振 动 机 械 ， 电 动 锤 和 气 动 锤 i 、 振 动 进 料 器 21 、 振 动 筛 (31 、 振 动 搅 拌 机 、 打 桩 机 51 、 冲 击 钻 (5 1、 针 式 打 印 机 171 、 撞 击 阻 尼 器 ca l高 层 建 筑 的 减 振 器 (9 等 。 另 一 方 面 ， 碰撞振动在 工程实 际中， 可能 会造成负面的影响。 例如核电 站热交 换器因 为冷热 水循 环 诱 发的 管 道 振 动 而 导 致 与 松 散 支 撑间 的 反 复 碰 撞 磨 损(10高 速 齿 轮由 于 不 平 衡 激 励 产 生的 后 冲 碰 撞 及 所 造 成的 运 转 精 度的 降 低 u ; 高 速 列 车由 于 轨 道 接 头 、 轮 平以 及 车 轮 与 轨 道 间 的 相 对 跳 动 造 成的 反 复 碰 撞 损 坏 121 ; 强 震 发 生 时 ， 桥 面 膨 撞 连 接 接 头 断开 ， 导 致 两 边 桥 面的 重复 碰 撞 破坏( p ou nd i ng ) 1 31p o u n d i n g ) ; 高 速 转 子( 转 轴 ) 与 定 子 ( 支 撑 轴 承) 因 为 接 触丢 失 导 致 的 重 复 碰撞 磨 损 和 损 坏 t14; 对于 间 距 不 足 的 高 层 建 筑， 根据日 本神 户大地震的经验， 可能强 震时 相 邻建筑物间出 现重复 碰撞， 等等。 而 且，一 旦在碰 撞过程中形 成了 局部的 塑性变形区 ，重复的 碰撞 将加速塑性区的 扩大， 急 速劣化结构 系统的刚度， 可能 造成结 构的迅 速毁坏。 关 于重复 碰撞问题的求 解， 目 前主要 有以 下四 个方法: 最简单的 就是用 冲量定理 和牛顿定 律， 研究 碰撞前后的速度 跳跃 和冲量大 小。 但是， 这种方法 不能 确定 碰撞的 幅值。 第二 种方法是 应用“ 碰撞 振子模型” . 它以s h a w 1 9 8 3 年的 论文为成熟的 标记。 “ 碰 撞振子模型” 将参与 碰撞的 构件简化为振子: 弹 簧+质量， 其中， 弹簧表 示结构 件的 t - 硕士论文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 柔性。 碰 撞效 应则应用刚 体碰撞 模型来处 理， 采用 牛顿碰撞定律 或泊松碰 撞定律， 加 上库 仑摩 擦定律， 描 述碰撞前、 碰撞 后的速度 跃迁和冲 量的 变化。 对于重复 碰撞系统， 该模型曾 经发现了 丰富的复 杂非线 性动力 学行为， 包括: 周期运动、 准周 期运动、 混 沌运 动和多 种通向 馄沌的 途径等。 该 模型的数学 描述相对简 单， 也 不涉及 撞击力求 解 的问 题。 但是它 显然不能 分析碰 撞的 过程 细节， 也不能 考虑碰撞导 致的 瞬态波 传播的 效应。 研究 所发 现的 非线性 动力学 行为 ， 由于 模型的过 于简单化， 可能 使人产生 一定 的疑问。 有鉴于 此， 采用“ 碰撞 振子模型” 作研究的系统 对象， 一 般被称为“ 碰撞一 振动系 统” 。 尽管他的 模型相 对简 单， 但若用来研 究多点 接触或带 摩擦的刚体 碰撞问 题，目 前仍遗留 有许多物理机制和应用数学问题尚 待解决。也有一些研究者利用 h e r t z 弹 性接 触变形 理论， 假 设接触面为圆 面， 接触力为抛物 线形分布. 但它仍是 波传 播效应的 准 静态方法。 第 三种方 法是以d u b o w s k y 为 代表的 一些专家， 为了 使模型 更合理些， 将质量 和 刚 度相 对较大的 构件简 化为弹簧， 而 将另一 个柔性构件 用连续 体模型处 理。 我们称 这 类模型为“ 半 连续体模型” 。 该模型已 经可以 计算撞击力， 研究 碰撞过程， 并可以 考 虑 柔性构 件对 碰撞的动力 响应。 随着 研究的发 展， “ 全 连续体模型” 的出 现， 可以 认为是重复 碰撞系统 研究 发展 的一个必然结果。 它将所有参与碰撞的柔性构件都处理为连续体模型， 能够考虑碰撞 产生的 瞬态 效 应， 分 析构件的动 态强度， 也能 够分析受重 复碰撞影响的 系统的长 期非 线性动力学行为， 但是这在理论和数值分析上面临着更大的困难。目前用 “ 全连续体 模型” 研究重复碰撞系统的工作很少， 具体的原因，除了缺乏必要的精确理论和方法 描述碰撞导致的瞬态波在柔性结构中的传播以 外， 另一个重要的原因是在求解撞击力 时，存在很大的困难。另外，关于次碰撞现象的试验研究也是困难之一。 碰撞过 程中往 往存在重复次 碰撞的问 题， 一 个典型的实例就 是一球 在两边都 有挡 板的 平面上 来回运动， 而平面以比 较慢的 速度运 动。 有时， 小球 在高速的 情况下 会与 挡板 连续发生 两次甚 至更重复的 碰撞。 这个简单的 碰撞系统可以 体现动力系统 行为的 复杂性。自7 0 年代 起， 结构的 重复次碰 撞问 题受到了 广泛的 重 视， 但重复次 碰撞直 到 1 9 9 6 年才引 起科学界的 注意。 在重复碰 撞实验方 面， 虽然早在7 0 年前， 依 据梁的 碰 撞 实 验 结 果 ， m a s o n 115就已 对 重 复 次 碰 撞 作 过 试 验 性 的 叙 述， 得 出 在肉 眼 看 来 的 一 次简单碰撞，其实包含了多 个的快速连续的次碰撞。1 9 9 6年，s t o i a n o v i c i和 h u r m u z l u 5 1用 高 速 光 电 记 录系 统， 清 楚 地 记 录了 斜 杆 一 次 坠 地 实 验 中 ， 发 生 了 连 续 1 9 次 的 微 妙 级 的 碰 撞 事 件 用 实 验 证 实 了m a s o n 的 预 测， 还 有c u s u m a n o 1 等 对 梁 摆 ， w a g g 18)等 对 悬 臂 梁 ， 以 及o p p e n h e i m e r 和 d u b o w s k 广 s 对 简 支 梁 进 行 了 重 复 次 碰 撞 实 验 。 在 重 复 弹 性 次 碰 撞 理 论 分 析 方 面 : w a n g 和k i m 201研究 了 悬 臂 梁 对 杆 的 重 复 撞 击 力 响 应 2 11， 他 们 指 出 ， 在 求 解 撞 击 力 的 差 分 法 中 ， 时 间 网 格 如 果 选 择 过 小， 理 论 证 硕 士论 文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 明 数 值 计 算 会 出 现 奇 异 性; p a o l i 2 2则 明 确指 出 ， 用时 间 离 散 差 分 法 计 算 碰 撞 振 动问 题 ， 其 方 法的 收 敛 性问 题 尚 未 得 到 解 决 ; 尹 晓 春 等2 3-26 3提出 的 瞬 态 波 法 可 用 很 小 的 时 间步 长， 精确计 算双层圆 筒间的 重复 次撞击力响应， 等等。 在重 复弹性次 碰撞的 数值 计算方 面: s h i 用差 分法计算了 落杆 对刚性障碍的若 干次碰撞的 撞击力和恢复 系统的 变 化 n 3 。 在 重复 弹 塑 性 次 碰撞 方 面: s e i f r i e d 2 83 等 用 有限 元 软 件 计 算 了 弹 性 球 对 直 杆的重复 次弹塑性碰撞， 但在计 算中 不考虑碰撞瞬态效 应， 在一次 碰撞结束后， 等杆 已 经 静 止 ， 只 保 留 残 余 塑 性 变 形 后 ， 再 计 算 下次 碰 撞。 r u a n 2s 3和 余 同 希 在自 由 梁 对 简支梁的塑 性次碰撞计算中 ，观察 到了重复 六次的 塑性碰撞现象。 s h a n在总结了 有 关工作 后指出， 重复次碰撞现象已 经开 始成为一个新的 研究 领域。 到目 前为止， 考虑 碰撞瞬态效应的相关研究工作仍然不多，仍处于起步阶段。 对重复 碰撞现象的 作用与危害的 研究， 正渗透至更多的 研究领域。 例如， 智能结 构的 碰 撞问 题 30 3薄 膜的 重 复 微 碰 撞 磨 损 测 量问 题 3 13 ; 磁 头 与 硬 盘 界 面的 重 复 微 碰 撞问 题32 3 : 骨关 节 反 复 着 地 碰 撞 和 骨开 裂问 题333 ; 杆 状 高 分 子 的 碰 撞问 题393微/ 纳 米 精 确 定 位 系 统的 反 复 碰 撞 定 位 问 题 353碳 纳 米 管 长 时 间 低 速 碰 撞 碾 磨问 题 363 等 。 1 . 3碰撞振动系统非线性的研究 碰撞振动系统是复 杂的强 非线性 动力学系统， 它一般都是多 参数系统， 参数的 变 化将引 起系统的动力学响 应的 本质变 化和一系列的非线性 现象: 分岔、 混沌等。 由 于 碰撞的 存在， 系统力学拓扑结构呈 现不 连续 性和强 非线性， 其动力学 性质的 变化 往往 是具有突变性。 碰 撞振动系统动力学 研究的 方法 有理论分析、 数值模 拟和应用与实 验研究三种 方 法 ， ” 。 非 线性动力学系统常常由一 族祸 合的 常微分或偏微分方 程组来描述， 方 程中 包 含 一个或多个控制参数，当系统的控制参数变化时， 新的定常状态周期解，拟周期解或 混沌解会分 岔出 来， 也就是 说当 参数 达到某临界值时， 系统的 定性行为会发生 质的变 化， 这 种 现 象 称 为 分 岔 3 83 。 通 过 无 数 次 的 周 期 倍 化 分 岔 ， 或 数 次 复 杂 分岔 ( 拟 周 期 分 岔 、 环 面 分岔 等 ) ， 系 统 可 能 进 入 混 沌 状 态 383 分岔理论 包含静态和动态分岔 两个 方面， 常见的 静态 分岔有叉形 分岔、 鞍结 分岔、 滞后 分岔、 跨临界分岔、 孤立点 分岔; 常见的 动态分岔有次 谐和超谐分岔、 h o p f分 岔 、 准 周 期 分 岔 、 同 宿、 异 宿 分 岔 【3 91 研究分岔的主要 理论和方法如下: ( 1 ) : 奇 异 性 方 法 383 。 奇 异 性 理 论 是 近 代数 学 的 重 要 分 支 ， 它 研究 可 微映 射 的 退 化性 和分类等问 题， 并 成功的 应用到 一系列非线性现象， 在分岔研究中， 奇异性理 论 严格地解决 了 “ 有限确定性 ”问题，从而把分岔问题划为较为简单的 硕 士 论 文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 c o l u b i t s k y - s c h a e f f e r 标准 形进行识别分 类。 ( 2 ) : p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 规 范 形 方 法 。 。 常 微 分 方 程 的 规 范 形 概 念 最 早 是 由 p o i n c a r 提 出 的 ， 后 来 经 过b i r k h o f f , a r n o l d 等 的 工 作 逐 步 发 展 成 较 完 整 的 理 论 。 在 平衡点 附 近用近似恒同的 非线性 变换将方程 简化，只 保留 共振 项， 便得到方 程的 p b 规范 形，在利 用 p b 规范 形方 法时， 往往要 先用到中 心流形 方法降维。此 外， 实际 应 用中 还有两 个关键问 题 需要解决， 一个是如 何求p b 规范形?目 前比 较有 效的实 用方 法 有 : 矩 阵 表 示 法38 , 40 1、 共 扼 算 子 法 3 8,4 0 、 李 代 数 法38 ,40 , n - s 分 解 法 40- 601 、 共 振 法 等 ， 还 可以 用 计 算 机 代 数 法 去 计 算 40 1 。 另 一 个 是 如 何 确 定 规范 形与 原 方 程 系 数 的 关系?目 前除直 接比 较 法、 计算 机代数法之 外，还没 有其他 较好的 方法。 (3 )幕 级 数 法 38 1 。 本 方 法 通 过 解的 渐 进 展 开 ， 利 用 投 影 关 系 和f r e d h o l m 择 一 性 进行分 岔分析。 这种方 法比 较 简便， 易于 被一 般只有古典 分析数学 基础的 人 接受和 使 用， 它可以 用于 静态分岔、 h o p f 分岔、次 谐分 岔和准周 期分岔等的 基本问 题。 ( 4 ) : 摄 动 法38 1 。 例 如 平 均 法 38 1 ， 多 重 尺 度 法 38 ， w k b 法 38 ， 内 谐 波 平 衡 法 等 ， 都可以用于周期或准周期分岔研究. ( 5 ) : 次 谐m e l n i k o 、 函 数 法 381 。 它 可 以 用 来 研 究 二 维 扰 动 h a m i l t o n 系 统 的m / n 阶次谐周期分岔问题。 ( 6 ) : 后 续 函 数 法 3 7和 s h i l n i k o v 3 71法。 它 们 在 研 究 二 维 和 高 维 系 统的 同 宿 分 岔 问题中有重要的作用。 对于碰撞振动系统周期运动的分岔理论，它的研究的主要手段是 p o i n c a r e 截面 3 93 、 中 心 流 形 40 和 范 式 方 法 (38, 40 1 。 映 射 的 分 岔 与 混 沌 理 论 是 碰 撞 振 动 系 统 研 究 的 理 论 基 础。 分 岔 现 象 研 究 的 主 要 可以 概 括为 四 个 方 面 38 1 确定分岔集，即建立分岔的必要条件和充分条件; 分析分岔的定性性态，即出现分岔时系统的拓扑结构随参数变化情况; 计算分岔解，尤其是平衡点和极限环: 考察不同 分岔的 相互作用，以及分 岔与 混沌等其 它动力学 现象的 关系 另 外， 碰撞振动系 统的周期 运动的 稳定性， 混沌与奇异 性等方面都 有待更深 一步 的研究。 研究 碰撞振动系 统的非 线性行为是一 个热点 领域， 其中 ， 我国学者 也做出 了 许多 出 色 的 工 作， 并 编 写 了 一 些 著 作 37. 41, 42 , 4 3,44 1陈 予 恕 45 -4 7 院 士 提 出 的 后 来 在国 际 上 被 称为c - l 方 法的 非 线 性 动 力 学 理 论 44 ， 首 次 建 立了 非 线 性 系 统 周 期 分 岔 解的 拓 扑 结 构和 系统参 数之间的关 系， 把只能 在确定参数 下研究周 期响应的 非线性振动理 论 发展 到可 在参数空间 中求 得多种周期分岔 解的 新 阶段， 为解 决大型轴 系的 油膜震荡 和高 速 车 辆 的 摆 振 等 工 程难 题 奠 定 了 理 论 基 础 44 1. 他 提 出 的 多自 由 度 非 线 性 振 动 系 统 的 复 内积平均法， 以及规范形计算的直接法等方法， 可以有效地将高维非线性振动系统进 硕士论文 柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 行 简 化， 促 进 了 分 岔 理 论 在 工 程 实 际 动 力 学问 题 中 的 广 泛 应 用 39, 407 。 由 胡 海 岩 48 , 4 97 等学者主编的 非线性动力学丛书 ， 它比 较侧 重于对工程科学、生 命科学、 社会科 学 等 领 域中 的 非 线 性 动 力 学 问 题 进 行 建 模、 理 论 分 析 、 计 算 和 实 验 4 17 . 另 外， 还 有 其 他 学 者 如 : 罗 冠 炜 和 谢 建 华 427 ， 丁 旺 才4 37 陆 启 韶 5o , 5 17 ， 刘 才 山 52 7 ， 张 琪 昌 等 4 07 等也都做出 了 丰硕的 成果。 1 . 4本文的主要工作 本文较为系统的研究了梁一 柱结构受外部激励载荷作用引发的重复碰撞振动问 题。主要做了以下几点工作: 1 . 本文对于工 程中阀门 与阀座的 碰撞问题， 从理 论中 进行了 分析， 建立了 系统的 力学 模型， 即b e r n o u l l i - e u l e r 梁 和一维弹性柱的 碰撞模型. 2 . 利用瞬态 波函 数的 特征函数展开 法给出了 梁， 柱在第一次碰撞前， 第 m w ) 次分离和第 m ( # 1 ) 次碰撞过程中的瞬态波传播的理论解。 3 . 应用 v c + + 语言进 行编 程。 并对具体参 数部分设置了对话框， 便于 研究对参数 的变化对系统产生的影响， 同时注重结构化的编程思路， 使整个程序易于调试和维护。 4 . 利用自 己 所编的 程序， 代入具体的 参数， 得出了梁 柱的 撞击力，位移， 应力， 质点速度，给出了位移，应力和质点速度随时间变化曲线，位移、应力、质点速度、 随梁柱位置变化的曲线. 5 . 通过 对周期激励频率、 波模态 阶数的 变化， 研究 碰撞引 起的 高频振动对系统长 期行为的影响。 着重分析了不同自由度下，随着激励频率的变化， 梁端位移响应呈现 一系列非线性行为，如:跳跃现象， 动态分岔，周期窗口，周期倍化，以及可能通向 混沌。最后确定了梁端位移响应产生上述非线性行为和稳宁反域的激励0 .5 率m,用。 硕士论文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 a柔性梁一 柱结构的重复碰撞理论 本章主要 对 b e r n o u l l i - e u l e r梁和一维弹性柱结构的 重复碰撞问题 进行系统的 研 究 ， 利 用 瞬 态 波 函 数 特征 值 展 开 法 25 1 ， 给出 了 重 复 碰 撞 过 程 和 分 离 过 程的 梁、 杆 中 瞬态 波传播的 理论解， 通 过算 例讨 论不同的 系统参数对 碰撞引起的 瞬态波传播 对系 统长期行为的影响。 本 文 研 究 的 工 程 实 例是 机 械中 阀 门 与阀 座的 碰 撞20 1 ， 它 来 源 于 小 型 冰 箱 压 缩机 和电 子 继电 器的开 关等工程 碰撞问 题。 而对于该类问 题， 目 前的 重复 碰撞振动行为的 研究尚比 较缺乏。 小型压缩机的阀系统可简化为如图 2 . 1 所示。阀门是一块很薄的平板， 它的厚度 只有一 毫米的 十分之一。 周期性 流过的液体通过阀门， 引起了 阀门 对阀 座的 碰撞。 类 似的情况也可以在电子继电器中看到。 阀门 阀座 图 2 . 1 压缩机的悬臂阀 在以 往的 研究中， 一般 将阀门看成 一维梁结 构， 把阀 座看成一 个弹簧系数等 于杆 的 刚度的线性 弹簧。 然而这种做 法只有当阀座的几 何尺 寸较小以 及 应力波的传播时间 较 短时，用模 态扩展法算出 的结果 才与精确解吻合， 所以 把阀 座看成 线性弹簧是否合 理 也 是 一 个 问 题 20 1 本文把图 2 . 1中的阀门作为 b e r n o u l l i - e u l e r梁，把阀座作为一维弹性柱，即 b e r n o u l l i - e u l e r 梁和一维 弹性柱的 碰撞模型。 本 模型主 要优点: 它 是全连续体碰撞 模型， 没有简 化成线性弹簧， 从而更加 保证了 系统的 真实性和完 整性。 碰撞的 结构示意图 如图2 . 1 所示， 设梁的 长度为x 0 ， 弹性 模量e ， 横截面面 积a , 初 始自 由 端 的 位 移 氏， 端 部 受 到 外 部 激 励 力 为f (t ) ; 柱的 长 度 为 l ， 弹 性 模 量凡， 横 截面面 积a , ， 梁端与 柱端的 初始间 隙量为 。 硕 士 论 文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 f(r) ， 工a s 一，- ， ， ， 叫卜 一训-fo1 a, i e, 森 图2 . 2梁一柱结构示意图 2 . 1 b e r n o u l l i - e u l e r 梁理论和 s a i n - v e n a n t 杆理论 根据b e r n o u l l i - e u l e r 梁和弹 性柱的 一维近似理 论， 对梁和杆内的变形， 受力作 如下假设: ( 1 ) 梁变形时， 横截面保持为 平面且和中性轴垂 直， 忽略旋 转惯性， 不考虑 剪切 变形。 ( 2 ) 柱变 形前的 横截面 在变形过程中始终 保持 平面， 忽 略轴向 惯性。 除了横 截面 上恒为均匀分布的轴向应力，所有其它应力分量均为零。 2 . 2梁的端部冲击作用下的动态响应 2 . 2 . 1基本方程 梁的 微段受力 状况如图2 . 3 所示: 么 树一改 + m 年、.111产 ! 。 厅一 “ 日匕口 卜* 州 。 a q， 甘 宁 二一 “ 不 口 图2 . 3 微段梁受力示意图 有如下方程: 硕 士 论 文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 口 一 (q + 8q d x ) = ， 、za pd x a yy 一 一 汰-a t ( 2 . 1 ) ， ， 石。 卜 水 二: ， ， 、 八 早 万。 附， ， 。 ， a z 夕 *、 二， 。， 、 功 。 二 二 d 二 兀男 / i甘 月 弓叱 似 p j 似万 人 尔 甘=: 丁 -， 似 =创 二下巾/ 、 从、 i , , 妙 伙 1 寸f j 朱 一巴 众o x 动的四阶偏微分方程: _ z a y ( x ,t ) . “，. a x a 2 y ( x , t ) a t e= 0 , a = 摆(2.2) 其中，e 为梁的 弹性 模量，a为 梁的 横截面 面积，i 为梁的 截面惯性距，e i 为 梁的 截 面 抗 弯刚 度 ， p 为 梁 的 密 度。 在 梁 的 固 定 端 ， 位 移 和 位 移 导 数 都 为 零。 梁 端 部x 。 处 受 到 冲 击 载 荷 f ( t )作 用 ， 弯 距 为 零 。 梁 端 面 剪 力 条 件 为 : f (t) = 坐= 与 e i a 2y (x ,t) i = e l 0 3y (x ,t) 梁 初 始 时 刻 静 止 。 综 上 所 述 得 出 梁 在 第 一 a x a x a xa x 次 碰撞之前的 边界条 件和 初始条件。 边界条件: y ( x , t ) ， _ 。 =0 ，a y ( x , t) i卜 。 一 。 o x 8 y ( x , t ) . 一 。 i -_ 一 u ， 刁 工洒-一 - f ( t ) 川 a , y ( x ,t ) l _ 血 初始条件: a x , t ) i ，一 = y . ( x ) ， 即( x , t ) 日 t i, - . = y o w( 2 . 3 ) 其中 ， x 为 梁的 位 置 ， t 为 时 间 变 量 ， y o (x ) 为 梁 的 初 始 时 刻 位 移 ( 挠 度) 分 布 ， 夕 o (x ) 为 初 始 时 刻的 速 度 分 布 。 2 . 2 . 2特征函 数展开 法 特征函 数展开法是 求解弹性动力学问 题的 基本方法之一， 是 s t r u m - l i o u v i l l e 常 微分方程特征 理论的 推广， 它将位移按瞬态波函 数展开成 特征函 数的形式。 其求 解 的 思 路 和 过 程 ， 理 论 上 适 用 于 所 有 线 弹 性 动 力 学问 题 53 按照特征函数 展开 法， 可将梁轴向 位移表示为 准静态 和动态部分: y ( x , t ) = y . ( x , t ) + y e ( x i t ) ( 2 . 4 ) 其中 y , ( x , 0 为 梁 在f (t) 作 用 下的 准 静 态 位 移 ， y d (x , t ) 为 动 态 位 移 。 按 照 特 征 函 数展 开法， 将瞬态 位移按 波函数展开，由 位移的 特征函 数 和时间 函数表示: 9 硕士论文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 y ( x ,t ) = y , (x , t ) + 艺0 . ( x )q , (t ) ( 2 . 5 ) 式中 o , ( x ) 为 梁的 波 模 态 ，q ., (t ) 为 待 求 的 时 间 函 数 。 准 静 态 位 移y , ( x , t ) 要 满 足 静 平 衡 方 程， 真 实 的 应 力 边 界 条 件， 位 移 和 应 力 的 连 续 性 条 件. 动 态 位 移 项 y d ( x , t) 则 满 足运动方程 零应力边界 条件， 位移和应力连 续性条件。 根据材 料力学知识，准静态 位移y , ( x , t ) 为: f ( t ) x y, l x , i ) = 一 ( 3 x , 6 e7 一 x ) ( 2 . 6 ) 2 . 2 . 令: 频率方程和波模态 把动态项带入运动方程中，得到 a 2 o (t ) ( x ) q , ( t) + o b ( x )4 .b ( t) = 0( 2 .乃 一 。 2 y,(,4) ( x ) = 4 , ( t ) 九( x ) q . ( t ) = - w 2( 2 . 8 ) 这 里、 称为 梁的第n 阶自 然频率， 经过 整理波模态0 n , ( x ) 由 下列特征值问 题定 义: a 2a 嵘)( x ) 一 武九(x ) = 0( 2 . 9 ) 4 , (x ) 1- 0 = o w ( x ) 1- 0 = cx ) l x. = 0 : (x ) l % = 0 其通解形式为: 九( x ) = a , s i n k . x + 几 c o s k , x + 几 s i n h k , x + 几 c o s h k 6 x ( 2 . 1 0 ) 式 中 波 数 、 = f a、 ， ; 。和 、 为 四 个 待 定 系 数 。 把式 ( 2 . 1 0 ) 带入式 ( 2 . 9 ) 中的 边界条件，得到 梁的频率方程: c o s k , , x 0 c o s h 编x , = - i 相关系 数的 关系 式为: b , = m, a , ，c, = - a , ，d , = - m, a 4 ( 2 . 1 1 ) m , ， 一 s i n 硫x 0 + s i n h k x o c o s 硫x 0 + c o s h k b x o ( 2 . 1 2 ) 硕士论文柔性梁一柱系统重复碰撞响应非线性分析 则式 ( 2 . 8 )可简化为: w n b ( x ) = a b ( s i n k , b x 一 s i n h k b x ) + mb ( c o s k 6 x 一 c o s h k b x ) 根据梁的正交性条件: 犷 0 4 (x ) 0 . , (x ) a d x = s . . 这 里 蠕 是k r o n e c k e r 符 号 。 得 到 : r a a ( s in k , xb一 s in h k x ) + m b ( c o s k b x 一 c o s h k b x ) 2 d x = 1 a ， 是 从 波 模 态 中 提出 的 一 个 公 有 系 数 ， 根 据 上 式 得: a .b = 犷 a (s in k , x 一 : in h k . x ) + m ,b (c o s k b x 一 c o s h k b x ) 2 d x 2 . 2 . 4时间函数 ( 2 . 1 3 ) ( 2 . 1 4 ) ( 2 . 1 5 ) ( 2 . 1 6 ) 把式 ( 2 . 5 )代到式 ( 2 .3 )中，得到 a 2 艺0 q ( x )9 ., ( t ) + 艺o n b ( x ) 4 .8 (t ) = - .3 2 y r (x ,t ) ox2 ( 2 . 1 7 ) 梁波 模态0 . ( x ) 对x 求导有: 式 尝 i ( x ) = ( k , ) 九( x )( 2 . 1 8 ) 则式 ( 2 . 1 7 )可转化为: 艺 ynb 4 b (t ) + a 2 ( k . ) 9 . (t ) 一a 2 y e ( x ,t ) a t 2 ( 2 . 1 9 ) 再次 运用波 模态的正 交性条 件式 ( 2 . 1 1 ) ， 可 得梁的时间函数4.b ( 1 ) 的 微分方 程: 。肋 (，卜 、 。、 (!卜 一 犷,nb(x)a dx, a 2yat ( 2 .2 0 ) 把它转化下面的形式: 4 n b ( t) + 嵘9 .6 (t ) = 么( t)( 2 .2 1 ) 其中 。 ( ， ) = 一 犷 y , ( x , t) o a ( x ) a ) 一 。 nb ( 0 ) c o s w b ， 十 上4n, (0 ) si n w b t + 止( 么 ( z ) s in w n b (t 一 : ) 、 : ( 2 .2 3 ) w n b wn b 在 初 始 时 刻 有 : y o ( x ) 二 y (x ,0 ) = y , ( x ,0 ) + 艺ynb ( x ) 9 m (0 ) ， 利 用 正