（工程力学专业论文）等压、非等压荷载下巷、隧道围岩的弹塑性理论与数值模拟研究.pdf

青岛理工大学工学硕士学位论文 摘要 岩体力学教材和许多文献中对圆形巷、隧道等地下洞室围岩进行弹塑性分析 时，出于简化计算和分析的目的，往往假设围岩为均匀、连续、各向同性的理想 弹塑性介质，实践证明其计算结果与真实围岩存在一定差异。 本文主要介绍了在地下洞室开挖过程中，基于理想弹塑性的本构模型，基于 弹性段、硬化段、软化段三段式光滑连接本构模型，基于三折线型本构模型在理 论和数值计算中的异同之处。尝试将有限元增量加载法应用到巷、隧道围岩的稳 定性分析中，证明其可行性。对侧压力系数a = 1 、a 1 两种情况进行了理论分析 和数值模拟。主要研究工作包括： 1 介绍了理想弹塑性本构模型，弹性段、硬化段、软化段三段式光滑连接的本 构模型，三折线型本构模型三种条件下洞室开挖后的围岩的受力和变形特征。分 析了基于这三种本构模型的解的差异和各自的适用条件。 2 详细介绍了有限元增量加载法的基本原理和计算方法，给出了判断地下巷、 隧道失稳的判据，选择了合适的屈服准则。有限元增量加载法求得的极限荷载对 应真实围岩产生较大掉块时的临界荷载，求得的破裂区厚度对应真实围岩的松动 区厚度。通过与解析解和试验结果的对比，证明了将有限元增量加载法用于地下 工程的可行性。这对于地下巷、隧道围岩的支护具有一定指导意义。 3 利用有限元增量加载法对不同本构模型在侧压力系数a = l 、a 1 两种情况 进行了数值模拟。a = 1 时，确定了各个情况下的极限荷载、塑性区的分布、应力 分布及随围压的变化规律。结果表明，洞室开挖后，理想弹塑性本构模型、三折 线型本构模型计算的切应力随半径r 的变化规律，曲线在峰值处存在尖峰向 上的应力集中；而弹性段、硬化段、软化段三段式光滑连接的本构模型计算的， 曲线在峰值处光滑过渡，不存在尖点问题。这与各自解析计算的矗r a 曲线形 状一致。a l 时，由于目前为止只有很初步的pynnehent 解，尚未有过 基于非轴对称平衡方程和几何方程的巷道围岩塑性分析解，故采用有限元方法对 极限荷载、塑性区分布规律、应力分布等进行了数值模拟，得出了一些有意义的 结论。为非等压荷载作用下巷、隧道围岩的弹塑性分析和稳定性研究提供了一种 有效的研究方法。 i 青岛理工大学工学硕士学位论文 关键词：巷道围岩；硬化；软化；有限元增量加载；本构模型；屈服准 i i 至墅至三奎童三耋堡圭茎堡鎏三 a b s t r a c t f o rt h ep u r p o s eo fs i m p l i f i e dc a l c u l a t i o na n da n a l y s i s ，r o c km e c h a n i c st e x t b o o k s a n do t h e rr e f e r e n t so f t e na s s u l n et h a tt h es u r r o u n d i n gr o c ki su n i f o r m ，c o n t i n u o u sa n d i s o t r o p i ci d e a le l a s t i c - p l a s t i cm e d i u mw h e na n a l y z i n gt h ee l a s t i c - p l a s t i co fs u r r o u n d i n g r o c ko f u n d e r g r o u n dt u n n e l n s i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e si nt h et h e o r ya n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o no ft h r e e c o n s t i t u t i v em o d e l sw e r ed e s c r i b e d , o n eo fw h i c hw a so nt h eb a s i so fi d e a le l a s t i c - p l a s t i ca n dt h eo t h e rt w ow e r ee l a s t i c i t y , h a r d e n i n ga n ds o f t e n i n gt h r e e - s t a g es m o o t h c o n j u n c t i o nc o n s t i t u t i v em o d e la n dt h r e e - b r o k e nl i n e c o n s t i t u t i v em o d e l 髓豫t h e s i sa l s o 打i e dt op u tt h ef i n i t ee l e m e n ti n c r e m e n t a ll o a d i n gt ot h ec a l c u l a t i o no fu n d e r g r o u n d e n g i n e e r i n g ，p r o v e dt h ef e a s i b i l i t ya n dd i dt h ec a l c u l a t i o nc o n s i d e r i n gc h a n g eo fl a t e r a l e a r t hp r e s s u r ec o e f f i c i e n t s a = 1a n da l r e s p e c t i v e l y 1 1 圮c o n t e n t so ft h i st h e s i s a 托i n c l u d e da sf o l l o w s ： 1 t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h r e ec o n s t i t u t i v em o d e l s ：i d e a le l a s t i c - p l a s t i cc o n s t i t u t i v e m o d e l ，e l a s t i c i t y , h a r d e n i n ga n ds o f t e n i n gt h r e e - s t a g es m o o t hc o n j u n c t i o nc o n s t i t u t i v e m o d e la n dt h r e e - b r o k e nl i n ec o n s t i t u t i v em o d e l a l s od e s c r i b e dt h em e c h a n i c a l c h a r a c t e r i s t i c sa f t e rs t r e s sr e d i s t r i b u t i o nb a s e do nt h et h r e ec o n s t i t u t i v em o d e l s 1 1 圮 d i f f e r e n c e so f t h es o l u t i o na n dt h e i rr e s p e c t i v ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e sa c c o r d i n g t ot h et h r e ec o n s t i t u t i v em o d e l sw f i ee x p r e s s e d 2 毗p a p e ri n t r o d u c e dt h eb a s i cp r i n c i p l ea n dc a l c u l a t i o nm e t h o di nd e t a i l g a v e t h ei n s t a b i l i t yc r i t e r i o no fu n d e r g r o u n dt u n n e lc h o s et h es u i t a b l ey i e l dc r i t e r i o n 1 1 1 e u l t i m a t el o a ds o l v e db yt h i sm e t h o dc o r r e s p o n d e dt ot h ec r i t i c a ll o a dw h e nt h e s u r r o u n d i n gr o c ko ft u n n e lc a m ei n t of i a c t u d n g a n dt h et h i c k n e s so fb r o k e nz o n e c o r r e s p o n d e dt ot h et h i c k n e s so fr e l a x a t i o nz o n e t 1 l i sp a p e rp r o v e dt h ef e a s i b i l i t yo f p u t t i n gf i n i t ee l e m e n ti n c r e m e n t a ll o a d i n gm e t h o di n t ou n d e r g r o u n de n g i n e e r i n g i tw a s h e l p f u lt ot h es u p p o r to f u n d e r g r o u n dt u n n e l 3 t i l i sp a p e rd i dn u m e r i c a ls i m u l a t i o nb yf i n i t ee l e m e n ti n c r e m e n t a ll o a d i n g m e t h o du n d e rd i f f e r e n tc o n s t i t u t i v em o d e l s a = 1a n da l r e s p e c t i v e l y 1 1 1 e u l t i m a t el o a d , d i s t r i b u t i o no f p l a s t i cz o n e ，d i s t r i b u t i o no fs t r e s sa n d e f f e c to fc o n f i n i n g n t 重星至三奎耋三耋堡圭耋堡堡苫 p r e s sw e r ec o n f i r m e dw h i l ea = 1 t h er e s u l t ss h o wt h a t , 一，c u r v e ss o l v e db yi d e a l e l a s t i c p l a s t i c c o n s t i t u t i v em o d e la n dt h r e e - b r o k e nl i n ec o n s t i t u t i v em o d e lh a v e u p - p i n n a c l e ds t r e s sc o n c e n t r a t i o n , w h i l ee l a s t i c i t y , h a r d e n i n ga n ds o n e n i n gt h r e e s t a g e s m o o t hc o n j u n c t i o nc o n s t i t u t i v em o d e lh a sn o t t h es i m u l a t i o nr e s u l t sa r ec o n s i s t e n t w i t ha n a l y t i c a ls o l u t i o n s b e c a u s eh a v en o p l a s t i ca n a l y s i s s o l u t i o nb a s e do n n o n - a x i s y m m e t r i cb a l a n c ee q u a t i o na n dg e o m e t r i ce q u a t i o n , t h e r ew e i co n l ypyn n ehents o l u t i o nw h i l ea 1 s ou f i n i t ee l e m e n tm e t h o ds i m u l a t eu l t i m a t e1 0 a d , d i s t r i b u t i o no fp l a s t i cz o n ea n ds t r e s s t h et h e s i ss u p p o r t e dam e a n i n g f u lm e t h o dt o s t u d ys u r r o u n d i n gr o c ko f t u n n e lw h i l ea k k e yw o r d s ：s u r r o u n d i n g r o c ko ft u n n e l ；h a r d e n i n g ；s o f t e n i n g ；f i n i t ee l e m e n t i n c r e m e n t a ll o a d i n g ；c o n s t i t u t i v em o d e l ；y i e l dc r i t e r i o n i v 膏岛理工大学工学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 问题的提出 对地下巷道、隧道等洞室围岩在不同水平初始地应力和竖直初始地应力作用 下，即侧压力系数a 取不同值时的变形和应力分布规律等进行研究，可获得关于围 岩承载机制、围岩工况及围岩与支护之间相互作用方面的规律性认识。这方面的 研究虽然己不是新问题，但现有理论在本构模型、强度准则等方面都进行了一定 假设，所导得的围岩应力分布曲线与试验结果有明显差别。因此岩体本构模型等 基本假定是否科学，求解过程是否合乎逻辑，与所求得的围岩应力分布状态能否 与试验结果一致，关系密切。 对圆形巷、隧道围岩进行弹塑性分析、求解支护力，岩体力学教材和一些文 献中出于简化计算和分析的目的，大多假设围岩为均匀、连续、各向同性的理想 弹塑性介质，且采用莫尔一库仑( m o h r - c o u l o m b ) 强度理论，未考虑中问主应力 的影响。实践证明其计算结果与真实围岩存在一定差异。 工程实际中巷、隧道围岩更多承受非等压荷载，对巷道围岩在侧压比a 1 的 非等压荷载下作塑性分析，由于弹、塑性区交晃处的应力边晃条件是非轴对称的， 塑性区中必须采用非轴对称平衡方程和几何方程。这样导得的围岩塑性区的应力 分布状况，必定不是轴对称的，到目前为止，对侧压比a l 的地应力，尚未有过 基于非轴对称平衡方程和几何方程的巷道围岩塑性分析解。故目前多采用有限元 数值模拟进行研究。 地下巷道围岩丧失稳定性，从力学观点来看，是由于围岩的应力水平达到 或超过岩体的强度范围较大，形成了一个连续贯通的塑性区和滑动面，产生较 大位移，最终导致失稳。破坏的主要形式有脆性张裂破坏、塑性挤压流动破坏 和剪切流动破坏等。因此隧洞围岩稳定性研究的实质是分析和评价围岩岩体介 质的应力和变形【m l 。有限元极限分析法包括增量加载法和强度折减法两种方 法，通过不断增加荷载或不断降低强度使岩土工程达到极限破坏状态。继有限 元强度折减法应用于隧道工程之后，本文尝试将有限元增量加载法引入巷、隧 道的计算，分析洞室开挖后围岩产生较大掉块时的l 临界荷载和松动区的厚度。 青岛理工大学工学硕士学位论文 1 2 国内外研究现状 1 2 1 巷道围岩弹塑性分析研究现状 对地下洞室围岩进行弹塑性分析，目前被广泛采纳的是f e n n e r 解和k a s t n e r 解。二者均基于理想弹塑性本构模型( 图1 - 1 ) ，假设围岩为均匀、连续、各向同 性的理想弹塑性介质，采用莫尔一库伦强度准则，具有形式简便的优点。其缺点在 于理想弹塑性体的后继强度与应变无关，恒等于岩体峰值强度( 远高于实际岩体的 后继强度) 。即强度参数在屈服前后没有发生变化，没有考虑岩土材料的软化或硬 化现象。这与实际的一些岩土类材料的应力一应变性状不符，特别是软岩或破碎 岩体。此外，莫尔一库伦强度准则未考虑中间主应力对岩土强度的影响，经实验证 实中间主应力可使岩石强度提高3 0 左右。 朱维申做过的巷道模拟试验研究 3 1 表明，岩体峰后的粘聚力和内摩擦角都有规 律地减小。这与围岩塑性变形较大时，巷壁岩体强度降低、剥落的实际一致。久 武胜保州采用图1 - 2 所示的本构模型，对软岩隧洞非线性力学特性作了理论分析和 模型试验研究。在模型试验研究中，沿巷道围岩径向埋设了一系列土压力计，测 得的切应力分布曲线在软化区半径附近为上凸光滑曲线，没有尖峰向上的应力集 中。由于应力变化时实际介质的本构关系是光滑过渡的，久武胜保的试验结果正 确反映了这一物理特性。 仃 巳 0 乞 气 气， 0 。h ， 图1 - 1 磁吼髓盯解答选用的本构模型 图1 - 2 文【4 】选用的本构模型 0e e f e 图1 3 文【5 8 】选用的本构模型 2 口 o 口 0 e s f e 图1 - 4 文【9 】选用的本构模型 图1 5 文 1 0 - 11 1 选用的本构模型 盯 以 吒 0 e ，e f e 图1 6 文 1 2 1 选用的本构模型 为消除这种差别，提高计算精度，相继出现了基于不同本构模型的弹塑性解。 文【5 8 】令岩体的软化阶段粘聚力按线性减小并有残余强度，得到图1 3 所示的弹 性、按线性软化并有水平残余强度的三段式本构模型；文【9 】令岩体的软化阶段粘 聚力和内摩擦系数同时按线性减小，得到图l _ 4 所示的弹性、没有拐点的拟非线性 的三段式本构模型。文 1 0 - 1 1 采用弹性、具拐点的非线性软化本构模型，如图 1 5 所示。文 1 2 在文 1 0 1 1 基础上采用弹性、应变硬化和具拐点的非线性软 化的三段式光滑连接的本构关系，如图1 - 6 所示。文f 5 1 3 1 在图1 2 至图l - 6 各自 本构模型的基础上，对等压荷载作用下( a = 1 ) 的圆形巷道围岩进行了弹塑性分析。 对圆形洞室巷、隧道围岩进行弹塑性分析，按不同本构模型和强度准则计算其结 果是不同的，应通过理论分析、数值模拟来比较其异同，相似模型试验确定哪种 计算结果更切合实际，更符合真实的围岩工况。 工程实际中巷、隧道围岩更多承受非等压荷载，对巷道围岩在侧压比a 1 的 非等压荷载下作塑性分析，目前为止只有很初步的pyi inehent 解。py nl lehe 赶t 在围岩弹性区中采用侧压比a 1 的著名基尔西( k i t s c h ) 解；同时又 假定，塑性区内的应力状况仅由巷道断面形状决定，而与荷载状况无关，从而对 围岩塑性区直接采用基于理想弹塑性关系的轴对称的k a s t e n e r 应力分布表达式。 在推导、运算中略去包括( 1 a ) 的2 次幂以上项，给出巷道围岩塑性区边界形状和 塑性区内径向位移的近似表达式。py i iehent 解的基础一塑性区内的应 力状况仅由巷道断面形状决定，而与原岩应力无关的假定，实际上是假设围岩塑 性区没有抗剪强度。围岩塑性区岩体介质非流体，与仍具抗压强度一样，塑性区 岩体同样具有相应的抗剪强度，pyr l l l ehent 假定与实际有较大差别。由 于弹、塑性区交晃处的应力边界条件是非轴对称的，塑性区中必须采用非轴对称 平衡方程和几何方程。这样导得的围岩塑性区的应力分布状况，必定不是轴对称 的，k a b ；t e r l e r 应力分布不能与非等压荷载融合。到目前为止，对侧压比a 1 的地 3 青岛理工大学工学硕士学位论文 应力，尚未有过基于非轴对称平衡方程和几何方程的巷道围岩塑性分析解。 关于本构模型，一直是岩石力学研究的核心。合理的本构模型和强度准则是 解决围岩稳定问题的关键，对地下洞室围岩的弹塑性分析影响较大。反映岩石变 形破裂全过程的本构关系研究也一直是岩石力学研究者普遍关注的热点和难点之 一。由于一直以来无法用一个函数来同时表达弹性、非线性硬化和软化特性，研 究者在圆形巷、隧道围岩进行弹塑性分析时常采用分段函数的形式。但岩体显著 的峰后应变软化特性仍成为各种模型难以模拟的难题。为此，相继出现了一些考 虑围岩应变软化和采用不同屈服准则的计算方法，推进了巷道围岩塑性区理论的 发展。各种修正方法对岩石的后破坏曲线都做了线性化处理，不同程度的增加了 计算误差，也因线性化处理的不同使其应用条件受到了限制。另外多线段本构模 型的参数不易测定，在实际支护设计中较难起到参考作用。因此，由于该问题的 复杂性，其研究结果仍然与实际存在差距。到目前为止，仍没有找到一种较普遍 适用的岩石本构关系模型。 当前对地下洞室围岩弹塑性的分析方法可以大致分为以下几种：( 1 ) 解析方 法；( 2 ) 数值分析方法；( 3 ) 工程地质类比方法；( 4 ) 模型试验方法等。 上述分析方法主要存在以下问题【1 4 1 ：( 1 ) 研究围岩破坏的机理，采用合理的本 构模型是解决围岩稳定问题的关键；( 2 ) 目前的解析法只能对个别特殊的情况适 用，对于如何将圆形洞面的解析结果转化到其他形式的断面还要在映射函数上做 深入的研究；( 3 ) 模型试验法虽有效但费用较高，结合工程类比法建立可重复利用 的模型应该是一个值得关注的方向；( 4 ) 地下结构围岩失稳判据难以确定。现行的 规范( t b l 0 0 0 3 2 0 0 1 ) 中围岩稳定性是以极限净空相对位移值或允许收敛速率的形 式给出的旧，当实测的位移值超出此值时即视为不稳定。对于不同的地质情况这 显然是不合适的。在实际应用中，我们必须结不同的工程状况给出合理的失稳判 据。 1 2 2 有限元增量加载法研究现状 自2 0 世纪2 0 年代以来，岩土工程的极限分析方法( 主要指滑移线场法、上下 限分析法与极限平衡法) 获得蓬勃发展，并广泛应用于工程实际。这些方法有的需 要作一些人为假设，有的求解范围十分有限，限制了这种方法的发展与应用。而 有限元法数值方法适应性强，应用范围宽，但无法求出工程设计中十分有用的稳 4 青岛理工大学工学硕士学位论文 定安全系数与极限承载力，从而制约了有限元数值分析方法在岩土工程中的应用。 1 9 7 5 年，英国科学家z i e n k i e w i c z 提出在有限元中采用增加荷载或降低强度的 方法来计算岩土工程的极限荷载和安全系剡旧。2 0 世纪8 0 年代、9 0 年代曾用于 边坡和地基的稳定分析m ，但是由于当时缺少严格可靠、功能强大的大型有限元 程序以及强度准则的选用和具体操作技术掌握不够等原因，导致计算精度不足， 因而没有得到岩土工程界的广泛采纳。 近来，我国在有限元极限分析法方面的发展极为迅速，国内许多学者作了有 效的工作。文献 1 8 1 9 是国内较早研究有限元极限分析法的文章。首先进行了该 法基本理论和提高计算精度的研究，随着计算精度的提高，这种方法受到国内岩 土工程界的广泛关注。一方面扩大了有限元极限分析法的应用范围，另一方面也 开始被一些工程设计部门实际采用。目前，有限元极限分析法正进入方兴未艾的 发展阶段。 国际上采用自编数值分析程序居多，其应用范围限于二维平面土坡与土基的 分析。而国内趋向于采用国际大型通用程序，不仅计算方便，而且程序可靠，功 能强大，计算精度高，表述清晰并便于工程应用。同时，将该方法的应用范围大 为扩大，从均质的土坡、土基扩大到具有结构面的岩坡与岩基；从二维扩大到三 维；还扩展到寻找边( 滑) 坡中多个潜在滑面；进行岩土与结构共同作用的支挡结构 设计；用于计算机仿真地基承载板载荷试验，甚至正在探索扩展到求隧道的稳定 安全系数。 国际上采用有限元强度折减法求解边坡的滑面与安全系数，用有限元增量加 载( 超载) 法求解地基的极限承载力。前者研究较多，并取得了可喜的成果，而后者 研究还不多。将上述两种方法统称为有限元极限分析法，因为它们本质上都是采 用数值分析手段求解的极限分析法。继有限元强度折减法应用于隧道工程 2 0 j 之后， 本文尝试将有限元增量加载法引入地下洞室的计算。 1 3 本文研究的主要内容及采用的技术路线 本文研究的主要内容有以下几个方面： 尝试将有限元增量加载法应用于巷、隧道围岩的稳定性分析；针对上节中提 到的合理的本构模型是解决围岩稳定问题的关键，对比理想弹塑性本构模型和三 段式光滑连接本构模型、三折线型本构模型三种不同本构模型在地下巷、隧道围 5 青岛理工大学工学硕士学位论文 岩弹塑性分析中应力和变形的异同；采用数值模拟对等压荷载和( a = 1 ) 非等压荷载 作用下( a 1 ) 巷、隧道围岩弹塑性分析。根据三种本构模型理论计算结果存在差 异的地方，验证数值试验模拟的正确性。为非等压荷载作用下巷、隧道围岩的稳 定性研究提供了一种有效的方法。 本文采用的技术路线：主要采用理论分析、试验对比、数值模拟等手段。采 用弹塑性力学的基本理论，分析地下工程开挖后巷道围岩的受力和变形特征。通 过与实验结果的对比，证实有限元极限分析法用于巷、隧道围岩的可行性。利用 a n s y s 有限元计算软件，对圆形洞室开挖后等压和非等压荷载作用下围岩的受力和 变形特征进行分析。 6 青岛理工大学工学硕士学位论文 第二章巷、隧道围岩应力与变形的弹塑性解析 巷、隧道洞室围岩的弹塑性理论分析，按不同本构模型和强度准则计算其结 果是不同的。本章以圆形洞室为例，主要介绍基于三种不同本构关系和相应强度 准则的围岩应力与变形的弹塑性解析解，对比其异同，分析各自的优缺点和适用 条件。 2 1 基于理想弹塑性本构关系的解1 2 l l 塔罗勃( j t a l o b e r ) 、卡斯特奈( h k a s t n e r ) 等在假设围岩为均匀、连续、各 向同性的理想弹塑性介质基础给出了弹塑性围岩中的应力图形( 见图2 1 、2 2 ) 。 从图中看出，与开挖前的初始应力相比，围岩中的塑性区应力可分为两部分；塑 性区内圈应力低于初始应力的区域称作围岩松动区；塑性区外圈是应力高于初始 应力的区域，它与围岩弹性区中应力升高部分合在一起称作围岩承载区。松动区 内应力和强度都有明显下降，裂隙扩张增多，容积扩大，出现了明显的塑性滑移。 这时如果没有足够的支护抗力就不能使围岩维持平衡状态。 盯 吒 0 图2 - 1 本构曲线图 ，一一_ - 、 ，= = ：r 烛 ，眇叫孵 h ；鼍 鹋 虐1j2 j3 卜 t ， 一 ， 、一二，7 5 l 2 - _ 塑性区3 仁弹性区 1 松动区2 3 承载区瑚始应力区 图2 2 弹塑性围岩应力状态图 p 轴对称条件下，应力及变形仅是，的函数，而与p 无关。且塑性区为一等厚圆， 我们在塑性区中假设c 、妒值为常数。解题的基本原理是使塑性区满足塑性条件与 塑性平衡方程，使弹性区满足平衡方程和弹性条件，在弹性区与塑性区交界处既 满足弹性条件又满足塑性条件。计算简图如图2 3 所示。 7 青岛理工大学工学硕士学位论文 图2 - 3 塑性区计算简图 等压荷载作用下，当不考虑体力时，平衡方程为 盟+ 生= 鱼：0( 2 一1 ) a r 7 在塑性区应力除满足平衡方程外，尚需满足塑性条件。取莫尔一库仑准则 为塑性条件 生堑：1 - s i n 妒 ( 2 2 ) o ；+ c c t g 妒1 + s i n o 角标p 表示弹性区的分量，角标，表示塑性区的分量( 下同) 。联立式( 2 1 ) 及式( 2 - - 2 ) ，得 l n ( 衫+ c d ：胂) = 掣i n ，+ c l ( 2 - - 3 ) 1 一s i n 式中：q 为积分常数，由边界条件确定。 当有支护时，支护与围岩界面( ，= ) 上的应力边界条件为形= 霉，( c 为支护 抗力) ，解得积分常数 c l = l n ( p + c c t g 妒) 一畿s i n l n ( 2 _ 4 ) l 一 代入式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) ，即得塑性区应力，有 纠c + 咖妒x 昙声一蛳 ( 2 _ 5 ) 8 0 0 - - ( 只+ 魄妒) ( 邕坐炸声一鲰妒( 2 - - 6 ) 1 一g i l l 妒r o 为求得塑性区半径，需应用塑性区和弹性区交界面上的应力协调条件( 见图2 - 4 ) 。若令塑性区半径为焉，则当，= r 时，有 3illjl 1 l 1 蔽 潞 谂分 图2 _ 4 塑性区图半径计算 o ：= o ；= o 氏，= o ； 对于弹性区( ，岛) ，围岩的应力及变形为 ( 2 7 ) = p o 一笋+ 等圳叫争 ( 2 - 8 ) 圳+ 争等圳“笋 ( z _ 9 ) 牡与笋= 7 , p 石r 0 22 ( z l 矿 ( 2 1 0 ) 彳= l p ( 2 1 1 ) 式中：口k 为弹塑性交界面上的径向应力。将式( 2 8 ) 、( 2 9 ) 相加，得 o ：+ o ；= 2 p 因而在弹塑性交界面( ，= r ) 上也有 9 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 青岛理工大学工学硕士学位论文 上式代入塑性条件式( 2 一1 2 ) 中，整理后得弹塑性交界面r = r 处的应力： = p ( 1 一s i n 妒) 一c c o s 妒= 吒 ( 2 1 4 ) o e = p ( 1 + s i n i p ) + c c o s 妒= 2 p 一口k ( 2 1 5 ) 由于我们假设塑性区中c 、妒值为常数，在无支护的条件下，由式( 2 6 ) 、( 2 9 ) 可以看出，切应力的峰值点位于塑性区与弹性区的交界面上，且存在尖峰 向上的应力集中。这与图2 - 1 所示相一致。 将，= 蜀代入式( 2 - 5 ) 、( 2 - - 6 ) ，并考虑式式( 2 1 4 ) 、( 2 - 1 5 ) ，得塑性区半径 r 与支护抗力只的关系式： 张呼筹笋声 。娟， 上式就是修 e - 的芬纳限f e n n e r ) 公式。它描述了塑性区半径民与支护抗力丑 的关系。在围岩稳定的前提下，扩大塑性区半径r ，就可降低为维持极限平衡状 态所需的支护抗力只，这种情况下充分发挥了围岩的自承作用。围岩的自承作用 是有限的，当只降低到一定值后，塑性区再扩大，围岩就要出现松动塌落。我们 把刚出现松动塌落时的围岩压力成为最小围岩压力，血。 在用芬纳公式或修正的芬纳公式计算围岩压力时，必须知道塑性区半径r 的 大小，而塑性区半径凡值需通过实测或假定得到。因此，具体应用时尚有一定的 问题。 2 2 基于三段式光滑连接本构关系的解1 2 2 1 三段式光滑连接本构模型将应力一应变曲线分为光滑连接的弹性段、应变硬 化段和带拐点的应变软化段三段。各段表述如下；0 5 为弹性段，卵为应变硬化段， 耐为带拐点口的应变软化段( 本构曲线如图2 - - 5 ) 。 1 0 s 图2 - 5 本构曲线图 弹性段的应力一应变关系为 o r = e e ( 0 g ) ( 2 - - 1 7 ) 软化段采用文 2 2 建议的素混凝土的应力一应变关系： 盯= 巳_ l g ) ( 2 - - 1 8 ) g f 1 ) 2 + 三 5 c 式中 g = ( 7 2 6 x 1 0 。4 ) 吒2 ( 2 1 9 ) 乞= ( 1 3 0 0 + l o a , ) x l o 4 ( 2 2 0 ) 在应变硬化段采用二次上凸抛物线，将图2 4 中0 5 直线段与软化段曲线c e d 在j 点和c 点光滑( 具有相同斜率方式) 连接，需要满足边界条件：， 立d z l 吐仃b = q i 目 。q 塑d 6 l = o ，仃l 。唾= 吒 i 一。唾 为此，卵段( 应变硬化段) 的应力一应变关系为 其中 ( 2 2 1 ) 盯= 而t 2 2 吒e 1 ) 2 + ( ) ( 2 - - 2 2 ) 耋墅堡三奎耋三耋堡圭耋堡篁圣 j | ：晏，e ：磁：| 生( 2 - - 2 3 ) e c c 通过试样试验和方差分析，可得_ j 与以的关系： 七= 3 2 7 5 1 5 l g ( 2 2 4 ) 式( 2 - - 2 2 ) 显然满足式( 2 - - 2 1 ) 后2 个边界条件。式( 2 - - 2 2 ) 中k 取值如式( 2 - - 2 3 ) ， 可满足式( 2 - - 2 1 ) 第一个边界条件。而取 = ( 妻一瞬毗= e e = 叁 ( 2 _ 2 5 ) 则可满足式( 2 2 1 ) 9 2 个边界条件及式( 2 一1 7 ) 中- - e , 时的盯= 吒= ( 2 - _ j ) 吼 条件。只要给定c r c ，三段式光滑连接本构模型中的参数e 、g 、疋、乞、k 、， 即可由式( 2 一1 7 ) ( 2 2 5 ) 确定。 ( 1 ) 弹性区应力 设巷道受静水压力风，属轴对称问题。图2 - - 6 中n 为洞室半径，r 为软化区 半径，砖为硬化区半径；只为支护反力。洞室无限长，可作平面应变问题处理， 乞= 屯= o 。围岩弹性区的应力直接引用弹性理论平面应变轴对称结果： 矿= 【- 一笋】b + 笋( 2 - - 2 6 ) 西= 【t + 等】异一盯笋2 ( 2 - - 2 7 ) 式中：，为矢径，口砖为弹性区与硬化区交界面墨处的径向应力 皿 图2 - 6 圆形巷道围岩塑性分析模型 1 2 a 口日 青岛理工大学工学硕士学位论文 【z ) 馒化i 墨和软化区的位移、_ 匝燹强厦丰口_ 匝力强厦 轴对称问题几何方程为 e o = 竺，= _ d u ( 2 2 8 ) ，a v 设巷道围岩塑性区体积应变为零，即 气= o 或岛+ ，= 0 ( 2 2 9 ) 围岩中的应变强度为 白：孚厄习瓦习而( 2 - - 3 0 ， 将式( 2 - - 2 8 ) 代入式( 2 - - 2 9 ) 积分后，可得，处的位移和应变： = 等；白= 等；= 号( 2 - - 3 1 )2 7 。白2 7 。，2 7 式中彳为积分常数。将乞= 0 ，式( 2 3 1 ) 代入式( 2 3 0 ) ，利用弹性区与硬化 区交界面，= 冠处的应变强度= 乞的条件，可得积分常数： 4 ：孚晚( 2 - - 3 2 ) 由此可得围岩硬化区中的位移，应变和应变强度分别为 肿，：譬s ，壁r ；e 。：孚s ，壁r 2 ；e ，：一孚e ，笋2 ( 2 - - 3 3 ， 8 。：8 ，生( 2 - - 828，_lr2(2-34) 将围岩硬化区和软化区交界面，= r 处应变强度e l = 乞的条件代入上式，可 得： 生r 2 c 一避( 2 - - 3 5 ) 将式( 2 - - 3 5 ) 代入式( 2 - - 3 3 ) ，( 2 - - 3 4 ) 后看到，硬化区中的位移、应变和应变强度还 可用和软化区半径r 表示为 1 3 青岛理工大学工学硕士学位论文 小)=孚s。壁；。=5压-s。等；e，=一5撕-e。等(2-36r ) “。了8 c 一5 。28 c 7 。8 ，一8 c 7 r 2 2 5 c 7 ( 2 3 7 ) 式中矢径取值范围为：r ，冠。通过相同步骤可以阐明，围岩软化区中位移、 应变和应变强度同样可由式( 2 - - 3 6 ) 、( 2 - - 3 7 ) 表示，只是其矢径取值范围应为 口 1 8 6 m p a ，4 9 一1 0 。n h 式( 2 3 9 ) ，并将式( 2 4 1 ) 代入 平衡方程式( 2 4 3 ) 积分，据数学手册嘲，通过积分，可得软化 f i e n ) 区径向 应力： 班去，而酱而1 q 。：堋， ：磐4tan，29r2r-(29-1)+c243 4 4 9 一1 4 4 9 一1 1 5 对巷道有支护的情况，利用，= a 时吒= 见的条件，确定积分常数后得： 咖岛+ 前寿卜 再将式( 2 5 1 ) 和式( 2 4 2 ) 代入式( 2 3 9 ) 得软化区切向应力： 咖见+ 鲁面+ 丽2 0 c l 口t a n 2 9 r 2 a 2 r t _ - ( 2 9 - 1 ) 一口t a n 2 9 r 2 篱g - 1 ) l 4 4 9 - 14 4 9 一1l ( 2 5 2 ) 利用软化区与硬化区和交界面，即，= r ，o o ，+ q 5 = 6 + 巳6 = 2 吒，；+ 2 的条件，得： 7 = 只+ 打2 丽o 【口恤i 紫一口t a n 赤】 ( z _ 5 3 ) 5 利用式( 2 - - 3 5 ) 和式( 2 - - 2 3 ) ，得： 笠一生一生生 砰一e c k 将式( 2 - - 5 3 ) 、( 2 - - 5 4 ) 代入式( 2 - - 4 9 ) 得： p o = 岛+ 睾 j 三2 一幽4 ( 1 - k ) h 竿+ 占x 4 9 - 1 卜掣4 4 91 卅恤击4 4 9 1l 一 一j ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 这样，对于c r c 1 8 6 m p a i 拘岩体，通过式( 2 - - 2 6 ) 、( 2 - - 2 7 ) 、( 2 - - 4 7 ) 、( 2 - - 4 8 ) 、 ( 2 - 5 0 ) 、( 2 - - 5 1 ) ，可以完全确定洞室围岩弹性区、硬化区、软化区的应力分布规 律。 对于巳 1 8 6 m p a 的岩体为软岩，由式( 2 1 9 ) 知4 9 l o 此时的径向应力 和切向应力表达式： = 只+ 诱2 厩o - 。l 口c o t h x ( - 拿) c o t h x ( - 五4 ) ( 2 - - 5 6 ) 1 6 其中 盯+；万=p善o+20c溉茗r：2 o c 三c - r ) 1 沪s ， + 万丽手p m j ( 争一口础x 口 x ( 墨) ：2 9 r 2 1 掣- 2 9 ) ( 2 5 8 ) 、， 、l - 4 9 2 3 基于三折线型本构关系的解1 2 4 i 根据常规三轴试验的结果，一些岩土材料( 特别是软岩、破碎岩体、松散岩 土) 的应力一应变关系以及岛一毛曲线可用图2 7 表示，本构关系可分弹性、塑性 软化、塑性残余三段表示为嘲， q 2 e 毛 ( 1 + e ) ( n 9 3 + a q ) 一e 白 o q r + n p ； ( 1 ) ( e 二s q 厶) ( 2 - - 5 9 ) ( 白厶) 肌= 华，厶= 雠+ n a 3 慨肚l 。+ 一血s i n 竹o , ，= 酱， 脚+ 孚，吾“肌蝴软化髓厅、为塑性泊松比，鲕由三轴压 缩试验测得，芦为脆性模量，为峰值强度，口0 为残余强度。馋为初始屈服到塑 性软化阶段的统一内摩擦角，为塑性软化向塑性残余的屈服点以后到残余阶段 的统一内摩擦角。洞室受力状态如图2 - 8 ，初始应力为c r 0 ，洞室内压力为晶。 o ， 0 一毛 图2 - 7 三折线型应力一应变关系 1 7 吒一 一 fliff 丐 图2 - 8 圆形巷道围岩塑性分析模型 蓟 曼量堡圣茎士茎堡圭茎堡誊蚤 ( 1 ) 弹性区分析 根据平衡方程、几何方程、胡克定律及初始屈服条件= n c # r + g ，得弹性 区应力 。，= 。 一( 手) 2 + 口c ，2 c z e 。， 。= 。 1 + ( ) 2 一。，( 互，2 c z e ， 热。r - - 鲁= 鬻删 e ，= 半9 2 r l - - a o ) e 。一半c 抄r l - - ( y o ) 材= 学芦r 髓。- o o 州芷r占 ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) 弹性区和望性软化区燹界处的檄眼弹住应燹为：；= _ e ；= a ( 2 ) 塑性软化区分析 该区内8 ，= 8 ，e r 。，p ，e 。= 8 。e r 。e p ，流动法则艟，+ ；，= o ，根据几何方程及边 界条件材i ，。= 如得塑性软化区位移为 “= 1 ( h -