（基础数学专业论文）三维反de+sitter空间h13（1）中的旋转曲面.pdf

摘要 三维反d es i t t e r 空间日? ( 一1 ) 中的旋转曲面 摘要 本文讨论了三维反d es i t t e r 空间h ? ( 一1 ) 中给定g a u s s 曲率函数的旋转曲 面m 的存在性问题并给出了这类旋转曲面的位置向量场。同时研究了? ( 一1 ) 中 一类特殊的w e i n g a r t e n 旋转曲面的存在性问题，并利用曲面的参数表示，给出 了研( 一1 ) 中所有的类空和类时w e i n g a r t e n 旋转曲面的表示。 全文共分四部分。第一节为引言，介绍了所研究问题的历史背景和主要结果。 第二节为预备知识，引入所研究问题的基本定义，并介绍了与之相关的基本性质。 第三节主要讨论了h ? ( 一1 ) 中给定g a u s s 曲率函数的旋转曲面m 的存在性问题 并给出了这类旋转曲面的位置向量场，得到了定理1 和定理2 。在第四节中，主 要研究了日? ( 一1 ) 中一类特殊的w e i n g a r t e n 旋转曲面的存在性问题，并给出其所 有的类空和类时w e i n g a r t e n 旋转曲面的表示，得到了三个定理。 关键词：反d es i t t e r 空间；旋转曲面；g a u s s 益率函数；位置向量场；w e i n g a r t e n 旋转曲面：主曲率 l i a b s t r a c t r o t a t i o ns u r f a c e si n3 - d i m e n s i o n a la n t i - d es i t t e rs p a c e a b s t r a c t i nl i f t sp a p e r , w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ep r o b l e mo f r o t a t i o ns u r f a c e so f g i v e ng a u s s c u r v a t u r ef u n c t i o ni n 日? ( - 1 ) a n dg i v et h ep o s i t i o nv e c t o rf i e l do ft h es u r f a c 髂 s i m u l t a n e o u s l y , w es t u d yt h ee x i s t e n c ep r o b l e mo fas p e c i a lw e i n g a r t e nr o t a t i o n 驯r f k 髓i n 日? ( - 1 ) a n dg i v ea l ls p a e e l i k ea n dt i m e l i k ew e i n g a r t e nr o t a t i o ns u r f a c e s i n 日? ( 一1 ) n s i n g t h ep a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o no f r o t a t i o ns u r f a p 疋o s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s i ns e c t i o no n e ，t h el l i s m f i c a lb a c k g r o u n d o ft h er e l e v a n tp r o b l e m si sp r e s e n t o da n dt h em a i n l yr e s u l t sa l ei n t r o d u c e d s e c t i o n t w oi sp r e l i m i n a r i e s ，s o m eb a s i cd e f m i t i o n sa n dp r o p e r t i e sr e l a t e dt ot h e s er e s u l t sa r e i n t r o d u c e di nt h i ss e 施o n i ns e c t i o nt h r e e ，w em a i n l yd i s c u s st h ee x i s t e n c ep r o b l e m o fr o t a t i o nm i r f a e e so fg i v e ng a u s sc u r v a t u r ef u n c t i o ni nh ? ( - 1 ) a n dg i v et h e p o s i t i o nv e c t o rf i e l do ft h es u r f a e t 嚣a n do b t a i nt h e o r e mo n ea n dt h e o r e mt w o i nt h e f o u r t hs e c t i o n , w es t r e s s0 nt h es t u d yo f t h ee x i s t e n c ep r o b l e mo f as p e c i a lw e 4 n g a r t e n r o t a t i o n $ b r f a c e si nh j ( - 1 ) a n dg i v ea l ls p a e e l i k ea n dt i m e l i k ew e i n g a r t e nr o t a t i o n s u r f a c e si nh 1 3 ( - 1 ) , a n do b t a i nt h r e et h e o r e m k e yw o r d s ： a n t i - d es i t t e r s p a c e ；r o t a t i o ns u r f a c e ；g a u s s c u r v a t u r ef u n c t i o n ； p o s i t i o nv e c t o rf i e l d ；w e i n g a r t e nr o t a t i o ns u r f a c e ；p 血c i p a lc u r v a t u r e 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：移勉趸瞧签字日期：加7 铜月刀日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名兹勉是拯 导师签名：善莎民 签字日期： 年阻月胡日签字日期：如7 年哆月塌日 1 引言 1 引言 旋转曲面是经典微分几何的重要研究对象，具有很多良好的性质。1 9 8 3 年 d oc a r m om 和d a j c z e rm 1 将三维欧氏空间中旋转曲面的概念推广到n + l 维 常曲率空间，给出了常曲率空间中旋转曲面的参数方程及主曲率计算公式，并证 明了：常曲率空间中旋转超曲面的主曲率为a 和u ，其中之一的重数至少为n 一1 。 更一般的， 2 将旋转曲面的概念推广到伪黎曼空间型中，并给出了伪黎曼空间 型中旋转曲面的分类、参数表达式及主曲率计算公式，得到如下定理：设 m ”c 面”1 ( c ) 为旋转超曲面，则在给定的参数表示 c ( s ) = ( 而( s ) ，o ，0 ，x ( s ) ，x 棚( j ) ) ( x i ( s ) o ) 下，坐标曲线为曲率线，并且沿坐 标曲线j 方向的主曲率为= 占。t 坠罢二f ，沿坐标曲线f 方向的主曲 、厶+ l ( 6 l c x j 一毒? ) 率都相等且为五：一垒坌二! 邕，其中。为m 。的单位法向量的指 工l 标，厶+ l = g 一。( ，) = 硝6 s g n c ( 艿= 瓯“瓯+ 2 ) 。其中，当c = 0 时，s g n c = 1 ； 当4 = 0 时，磊瓯“= - 1 。g a u s s 曲率是曲面的两个主曲率的乘积，文献 3 ， 4 2 在给定两个主曲率函数的条件下，得到了三维欧氏空间和三维m i n k o w s k i 空间中 这类旋转曲面存在的条件和曲面的位置向量，只给出g a u s s 曲率函数时，文献 5 ， 6 讨论了3 中给定g a u s s 曲率函数的旋转曲面的存在性问题，并给出了 这类旋转曲面的位置向量场，得到了引理1 和引理2 。本文进一步讨论三维反d e s i t t e r 空间? ( 一1 ) 中给定g a u s s 曲率函数的旋转曲面的存在性问题，得到类似 的结论( 定理1 和定理2 ) 。 在微分几何中，研究空间型的超曲面，并对常平均曲率的超曲面进行分类是 2 预备知识 一个重要且有意义的问题。如果一个超曲面m 有主曲率k ，且对某个函数，总 有七，= f ( k l ，置k i + l ，七。) 成立，则m 被称为w e i n g a r t e n 超曲面。因此，常 平均曲率曲面和常曲率函数超曲面都是w e i n g a r t e n 超曲面。黄宣国在文 7 中指 出，下述问题是有意义的：任给r 的某个开区间( 口，b ) 上一个c 1 函数厂，寻找三 维欧氏空间e 3 ( m i n k o w s k i 空间群，单位球面s 3 或单位伪球面h 3 ) 中一个旋 转曲面m 2 ，使得m 2 的两个主曲率七l ，_ i ：恰有关系式k ：= f ( k ，) 。文 7 解决了上 述问题并给出了曲面m 2 的具体表达式。随后他又将上述问题推广到高维情形 8 。许志才在s 中讨论并解决了这一问题 9 。更一般的 1o 在伪黎曼空间型 中考虑上述问题，得到如下的结果：给定r “的开集( o ，。) “上一个c 1 函数 k 。= f ( k ，吒一，) ，行2 ，毛= = 七。，一定存在伪黎曼空间型砺”1 ( c ) 中的旋转 超曲面m ”，使得m ”的n 个主曲率k l ，七。恰有上述函数关系式。 基于这种存在性， 1 1 研究了空间型中某些带常曲率函数的超曲面。文 1 2 给出了鲆中所有的类空和类时w e i n g a r t e n 旋转曲面。2 0 0 2 年，刘会立在文 1 3 中给出了三维反d es i t t e r 空间中具有常平均曲率的类时、类空旋转曲面的分类， 在这个基础上本文讨论了三维反d es i t t e r 空间日? ( 一1 ) 中所有的类空和类时 w e i n g a r t e n 旋转曲面，得到了类似 1 2 的结果( 定理3 ，定理4 和定理5 ) 。 义为 2 预备知识 设e ”是以岛，p 2 ，e 。为自然基底的n + 2 维伪欧氏空间，其伪黎曼度量定 2 工y ，一确y 。+ l x n + 2 y 帕， 2 2 预备知识 其中z = ( 而，x 2 ，x m ) ，y = ( y l ，y 2 ，y m ) e 尹。；+ 2 中的n + l 维反d es i t t e r 空间为 日? “ 0 ， j i 是c 的弧长参数，定义域，为实开区间。c 绕p 2 旋转生成的球型或双曲型 旋转曲面m 的参数方程可表示为( 参考 2 ) x ( s ，r ) = ( 石l ( s ) 0 1 ( f ) ，x l d ) 办【f ) ，而【s ) ，x 4 u ”， 其中矿( f ) = 似( f ) ，办( f ) ) 是妒绷 q ，吃 ( 具有诱导度量( ，) ) 中单位圆( 或等轴双曲 线) 的单位正交参数化，即 ( m 吲+ 嘎彰郇( 詈，警) 砜矧 用点嘎表示磊和杰作普通乘法，则a ( t ) = c 矗t ，珐( f ) = 黾而t 。其中，当点疋= + l 时， c i 五t ，如t 为c o s t ，s i n t ，f 【霄，+ 万】；当点嘎= 一1 时，c 4 t 1 2 t ，s 4 e t 茭t 3c h t ，s h t ， 4 3 给定g a u s s 曲率函数的旋转曲面 t ( 一，佃) 。计算可得q 。= 龟a 因为曲线c 在? ( 一1 ) 中且以s 为弧长参数，故有 6 r ) 毒+ 6 3 砖+ 6 4 t = 一1 4 量? + 蠡+ 坑量：= 占，占= l 根据e 2 j 中的方法我们可以算出屯，- 及妒的相关表达式。 c 绕尸2 旋转生成的抛物型旋转曲面m 的参数方程可表示为( 参考 2 ) x ( s ，f ) = ( x ，( s ) ，x l ( s ) f ，x 3 ( j ) 一x 1 2 ( s ) t 2 x s ) ) ， 因为曲线c 在h ? ( 一1 ) 中且以s 为弧长参数，故有 2 x l 工3 + 正x ；= 一1 2 量1 南+ 六童；= s ，s = 土1 化简可得 一。f 巫字如( 文, x , - x 4 2 1 0 x 由此根据文 2 ( 定理3 1 ) 知，三维反d es i t t e r 空间日? ( 一1 ) 中旋转曲面 的主曲率计算公式为 定理设肘匕片? ( 一1 ) 为旋转曲面，则在上文给出的参数表示下，坐标曲线 为曲率线，并且沿坐标曲线s 方向的主曲率为：毛1 竺妄兰三 ，沿坐标 。 。岛( 4 + 彳一反；) 曲线r 方向的主曲率为旯：一亟互三固，其中文为m 的单位法向量的 毛 指标，毛= g - ：( ，) ，这里我们约定当4 0 时，岛= 一西占( j = 如瓯) ；当 4 = 0 时，毛= 一蛾。 由上面定理我们得到：研( 一1 ) 中给定g a u s s 曲率函数k = k ( s ) 的旋转曲面 3 给定g h u s s 曲率函数的旋转曲面 膨所满足的常微分方程为 即 k ( s ) = 岛朋= 一0 1 x 1 x l i t + 占【l k ( s ) ) 五= 0 ， 记霞= 占( 1 一k ( s ) ) ，子= s w g 。当露= n s t 时，上式可以用初等函数积分出来， 得到研( 一1 ) 中给定常g a u s s 曲率的旋转曲面肘的具体参数表示。 ( 1 ) 当霞= 0 时，解上式得葺= 0 ，玉= a s + b ； ( 2 ) 当玄o 时，解上式得而= , 4 g ( 4 - j - a s + b ) 或毛= 爿品( 历己+ b ) 。 其中a ，b 为常数，m 的其他坐标分量由上文中相应公式确定。 下面我们讨论研( 一1 ) 中给定g a u s s 曲率函数的旋转曲面的存在性，并给出 这类曲面的位置向量场。 引理1 ( 文 6 引理1 ) 设光滑函数m o ) ，y 2 ( s ) ，s 【o ，1 】分别满足方程 j j + 墨( s ) y = o 和步+ 如( s ) y = o ，且有k ( s ) 墨( s ) ，咒( s ) 0 和乃( o ) - - - - y 2 ( 0 ) ， 舅( o ) = 见( o ) ，则m ( s ) o ，v s e 0 ，1 】。 定理1 在 0 , 1 】上给定一个光滑函数x ( s ) ，如果k ( s ) 满足条件 m 冲a ，x ，l i ( ，) 2 m a x 譬( 1 一k ( s ) ) 彳，其中彳( o ，万2 ) 为常数，那么在研( 一1 ) 中存在以 置o ) 为给定g a u s s 曲率函数的旋转曲面。 证明 易知m ( s ) = c o s ( 盈一量+ 艿) 是方程梦+ 砂= 。的满足初始条件 巾) ( 争万) ，胛) = 打s m ( 争万 的解，这里4 ( 咖2 ) ，且艿是满足 条件o 。，讹 o ，1 】o 自于埔) 在 o ，1 】上连续，故存在正数口，使得p 兜i o 和弘( o ) o , y 2 ( 上) o 。 定理2 在【o ，三】上给定一个光滑函数k ( s ) ，如果k ( s ) 满足条件霞( s ) = s ( 1 - k ( s ) ) s 页写协( o ，三) ，则在研一d 中存在以x o ) 为给定g a u s s 曲 率函数的旋转曲面。 证明易知乃( 5 ) = s 仁一s ) ，s ( o ，三) 是方程夕+ 可写y 2 0 的满足初始 条件m ( 叫2 ) = 上2 4 ，舅( l 2 ) = o 的正解。由于足( s ) 在 o ，三】上连续可微，故方 程夕+ 霞( s ) y = o 满足初始条件欣( 2 ) = r 4 ，见( 纠2 ) = o 的解m ( j ) 在 o ，】上 连续可微。又由引理2 ，可知儿( j ) o ，s ( o ，上) 和儿( o ) 2 0 ，儿( ) - 0 。由于兜( j ) 在【o ，上】上连续，故存在正数口，使得i 印吆j ， 1 0 4 ? ( - 1 ) 中的w e i n g a r t e n 旋转曲面 或 r ( u ，v ) = ( w ( u ) s i n h v ，y ( “) ，z ( ) ，w ( u ) c o s h v ) “，v r ! y ( u ) = ( 1 一w 2 ) 2s i n h p ( u ) 三 z ( u ) = ( 1 一w 2 ) 2c o s hc p ( u ) ( 1 0 ) 砌) = e 譬笔监西 川= 刮：赤) i ， 其中占= 1 ，当占= 1 时，曲面是类空的；当= 一1 时，曲面是类时的。 证明对曲面m ：r ( u ，v ) = ( x ( u ) e o s h v ，y ( “) ，： ) ，x ( u ) s i n h v ) ，“以v r ，法 向量场f 为 则有 f ( “，v ) = ( ( 夕( “) z ( “) - y ( u ) j ( u ) ) c o s h v ，z ( “) j ( 材) 一j c ( u ) z ( u ) ，p ( u ) x ( u ) 一y ( u v c ( u ) ， ( ) z ( “) - y ( u ) ( u ) ) s i n h v ) = = = 0 ， - - - - 1 ， 由( 1 ) 和( 1 1 ) 有 = 一 = ； = = 譬( 弦一弦) + 工( 弦一弦) 一j ( 弦一问， 以( o ) ，) = 一 - - - - = = x ( 5 , z 一弦) ， 0 ( 当占一i 2 + 穰2 = 0 时，伊为常数) ，因此函数f o ( u ) 为 砌，= r 坠! 半西 ， 由( 2 ) 、( 1 3 ) 、( 1 4 ) 得到： l 弦一弦= ( x 2 + 1 ) 驴= ( 占一量2 + 9 2 ) 2 。就一甜 z y z y 2 _ y z y z 反2 一戚- 1 y z y z = - y z y z 将( 1 5 ) 代入( 1 2 ) 得 毛2 意一等( f ) ( + x 2 一反2 ) 2 ” k 2 ：一坐二兰：曼：! ：f x 三 通过t = 吖1 p i 2 一靠2 ) 2 得 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 4 日? ( 一1 ) 中的w e i n g a r t e n 旋转曲面 k ：石i 万了7 a 茁一t 2 矗一x 2 t i2 x 2 t i l x = f = = = = = = = 一= e x t 工一 【 + 岛2 一t 2 x 2 j 由( 1 6 ) 和( 1 7 ) 得到 x _ d t ：- 4 ( 0 一f ， 于是 m ) = 唰j = ，；朽奶 因此得到( 8 ) 式。 ( 1 7 ) 对曲面肘：r ( u ，v ) = ( 以u ) s i n h v ，y ) ，：( “) ，w ( u ) c o s h v ) ，“，v r ，法向量场善 为 孝( ，v ) = ( ( 夕( “) z ( “) - y ( u ) j ( u ) ) s i n h v ，w ( “) j ( “) 一订“) z ( ”) ，夕( “) w ( u ) 一y ( “) 1 i 甜) ， c v ( u ) z ( u ) - y ( u ) j ( u ) ) e o s hv ) 则有 善， 手， - 0 ， = 占， 由( 1 ) 和( 1 8 ) 有 因为 善，v = 一啦一弦) + 啦一弦) 一w ( y z 一弦) ， = 一w ( , z 一弦) ， 0 ( 当s + 谛2 一舢2 = 0 时，尹为常数) ，因此函数妒( ) 为 卿m r 瞥出 i 占+ 谛2 一跏2 0 ：f 呼西 q 2 1 弦一彤= - - ( w 2 1 ) 爹= - - - ( e + i , 2 一脚2 ) 2 日咖一伽 z y z y 2 _ y z y z 1 + 咖2 一* w f , y z y z2 一一 y z y z 将( 2 3 ) 代入( 1 9 ) 得 1 4 ( 2 3 ) 4 ? ( 一1 ) 中的w e i n g a r t e n 旋转曲面 卜忑-8yi,+w一等训(f+。v2-6w2 ， n 。 l 七2 ：( 6 + f i , 2 - e w ：) i ：r ( 2 4 ) 由t w = 忙+ f i , 2 一删2 ) 2 得 f f i , ：、 1 2 w 2 i - e w 2 - - e ，2 w 1 ；，+ w 2 打+ 凸价和 2 w 2 疗 ( 2 5 ) 1 w = 苹= = = = = = = = t w + c w + if 2 w 2 + s w 2 一占 谛 联立( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得到 一w _ d t ：o f ( r ) + r ， 于是 川= 州r 习杀蛾 因此得到( 9 ) 式和( 1 0 ) 式。 对于何? ( 一1 ) 中的w c i n g a r t c n 双曲型和抛物型旋转曲面，类似定理3 的证明， 我们可得以下两个定理： 定理4 设m 是3 维反d e s i t t e r 空间日? ( 一1 ) 中的w 咖g a f t 双曲型旋转曲面，m 的主曲率七。，屯满足七：= f ( k ) ，则它可以写为下面的曲面之一( 或一部分) ： r ( u ，v ) = ( x ( ) ，y ( ) ，z ( u ) s i n v ，z ( u ) e o s v ) “j ，v r 三 x ( u ) = ( z 2 1 ) 2c o s “) y ( ”) = ( ：2 1 ) 一zs i n e ( u ) 卿，= r 等岳磊 獭) = e x p ( e 赤) 其中f = - + 1 ，当占= 1 时，曲面是类空的：当s = 一1 时，曲面是类时的 1 5 4 ? ( 一1 ) 中的w e i n g a r t e n 旋转曲面 或 r ( u ，v ) = ( x ( u ) s i n v ，x ( u ) e o s v ，z ) ，w ) ) ，v r 三 z ( u ) = “2 + 1 ) 2e o s o ( u ) w ( u ) = 0 2 + 1 ) 2s i n 妒 ) 三 嘶，= r 譬篙坞 删= 刮：赤) 其中占：l ，当占= 1 时， 曲面是类空的；当占= 一1 时， 曲面是类时的。 定理5 设m 是3 维反d e s i t t e r ? f 司h ? ( 一1 ) 中的w e i n g a r t e n 抛物型旋转曲面，m 的主曲率毛，k ：满足七：= f ( k ，) ，则它可以写为下面的曲面之一( 或一部分) ： 或 砌，v ) 却删，导m ) + 专铲州枷u j , v e r m 地伊出 础，= 唧c r 者寿 地，咖( m ) ，嘶) ，一孚地) + w 甄z ( u ) 丁- i ，w ( 纠u j , v e r 川伊幽 砌，= 刮：看匆 其中占= - + 1 ，当s = 1 时， 曲面是类空的；当占= - 1 时， 曲面是类时的。 至此我们给出y - - - - 维反d es i t t e r 空间日? ( 一1 ) 中w e i n g a r t e n 旋转曲面的全部分类。 1 6 致谢 致谢 本文是在黄安民教授的悉心指导下完成的。两年多来，黄老师无论在治学方 面还是做人方面都给我树立了学习的榜样。借此机会，作者向黄老师表示最衷心 的感谢! 研究生阶段学习两年多来，欧阳崇珍教授，黎镇琦教授，王仲才教授、刘理 蔚教授等都给了我不同形式的帮助和教诲，作者向他们致以诚挚的谢意! 本院其 他许多老师也给了我热心的帮助，在此一并表示衷心的感谢! 同时，还要感谢我 的同学叶挺峰、张文庆、陈小民等，我们共同学习，互相帮助，一起前进，感谢 他们对作者的热情帮助。 学生：魏灵燕 2 0 0 7 年1 2 月 参考文献 参考文献 【1 m d oc a r m o ，m d a j c z e r r o t a t i o nh y p e r s u r f a c e si ns p a c eo fc 0 1 l s t a n tc u r v a t u r e j ，t r a n s a m s ，1 9 8 3 ( 2 7 7 ) ：6 8 5 7 0 争 2 3 赵玮伪黎曼空间型中的旋转超曲面，2 0 0 6 年学位论文 3 黄宣国给定主曲率函数的曲面存在性定理 j ，数学年刊，1 9 9 7 ，1 8 a ( 6 ) ：7 4 3 - 7 5 0 4 宣满友给定主曲率函数的一类特殊曲面的位置向越场 j ，数学学报， 2 0 0 1 。4 4 ( 4 ) ：6 1 l 咱1 8 【5 黄宣国r 3 内给定g a u s s 曲率函数的旋转曲面的存在性定理 j ，数学年刊，1 9 9 5 1 6 a ( 5 ) ：5 8 5 5 9 4 6 宣满友e 3 内给定