（精密仪器及机械专业论文）超快激光近场加工技术的研究(精密仪器及机械专业优秀论文).pdf

摘要 摘要 作为一种新型的激光加工技术，飞秒激光微细加工具有亚微米的加工分辨 率、低热损伤等技术特点。随着科学技术的发展，对飞秒激光微加工技术提出了 更高的要求。其中的一项任务是进一步提高飞秒激光的加工精度，突破1 0 0 咖加 工分辨率瓶颈。可采取的方法包括：将激光入射到金属探针的表面，利用探针尖 端的近场场增强对材料进行加工；采用纳米小孔形成纳米级的光源；利用准周期 金属微结构控制出射光束的质量等等。本文采取了飞秒激光与原子力显微镜结合 的实验方案，对飞秒激光的超高分辨率加工进行了实验和机理研究。并探讨了用 倍频飞秒激光和h 形纳米孔进行微加工的可行性。 本文首先介绍几种常用的电磁场分析的方法，如：多重多极子展开法( 舯) ， 格林函数方法，有限元法( f e m ) ，对这几种方法进行了比较，然后详细地说明时 域有限差分法的原理和在计算中需要注意的几个问题。其次，基于、，曲c oa u r o m 原子力显微镜实验平台，搭建了反射式的飞秒激光近场加工系统，利用金探针 实现了对p m m a 材料的纳米加工，形成了纳米线和字母。用时域有限差分法对激 光入射金探针的散射光场进行了数值分析，比较了不同形状探针的场增强，为优 化实验奠定了理论基础。再次，对非常规h 形平面纳米孔的光学传输特性进行了 研究，将其与其它形状的纳米孔进行了比较，探讨了它的波导传播特性，出射光 强的峰值随孔厚度的变化，以及表面等离子体的影响。针对4 0 0 姗波长设计了可 同时获得纳米级分辨率和高传输效率的h 形孔。最后，对飞秒激光高分辨加工技 术的发展进行了总结和展望。 关键词：飞秒激光原子力显微镜超高分辨率微纳加工时域有限差分法 h 形纳米孔传输机理 墅| 篱墅霎 雾i 蓁塞饔 塞冀蔷麓鐾薹谍羹量蓁 霞彗羹羹霎雾| 冀l 蓠l 蠢蠹蒂 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所星交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 笨三差 ) ? 年月i | 7 日 第一章绪论 存储器d r a m 问世，从而进入了特大规模集成u l s i ( u l t r al a r g es c a l e i n t e g r a t i o n ) 时代。1 9 9 2 年，线宽0 5i im 的1 6 m b 芯片投产。1 9 9 4 年，线宽o 3 5 i lm 的6 4 m b 芯片投产。2 0 0 4 年，国际上集成电路技术已经顺利达到了9 0 n l 的技术 节点。2 0 0 5 年，6 5 n m 工艺投入生产使用。微电子学专家预言，到2 0 1 0 年，集成电 路中组件尺寸将达到纳米级，进入纳米电子器件时代。 微电子的腾飞有赖于相关技术的支持，反过来它的发展也为更高层次的科技 飞跃带来了契机。伴随对硅，锗等半导体材料的深入研究，源于微电子集成制造 的微细加工技术逐渐成熟。8 0 年代末，美国借助于i c 工艺制作出微米级的静电 马达，开辟了微机械( m e m s ) 的崭新领域。 微细加工技术是微电子集成制造和m e m s 研究中的重要内容，包含了各种现 代特种加工和高能束加工方式。常用的微细加工方法有： 1 光刻技术( p h o t o lit h o g r a p h y ) 光刻是电路集成和微机械制造中的关键工艺技术。其原理是在基体材料上涂 覆光致抗蚀剂( 光刻胶) ，然后通过极限分辨率极高的能量束通过掩模对光致抗蚀 剂进行曝光，经显影后，在光刻胶层上获得与掩模图形相同的极微细的几何图形 唧，然后再利用刻蚀等方法，在基体材料上制作出微结构【4 ，5 】。1 9 5 8 年左右，光刻 技术在半导体器件制造中首次得到成功应用，推动了集成电路的发明和飞速发 展。几十年以来，集成技术不断小型化，光刻技术发挥了重要的作用。光刻技术 中主要采用的曝光方法有：电子束曝光技术、离子束曝光技术、x 射线曝光技术、 紫外准分子曝光技术。 2 刻蚀技术 刻蚀分为湿法刻蚀和干法刻蚀。常见的刻蚀方法包括：化学各向异性刻蚀( 湿法刻蚀) 、离子束刻蚀( 分为聚焦离子束刻蚀f i b 和反应离子束刻蚀r i b ) 、激 光束刻蚀和电子束刻蚀。聚焦离子束刻蚀在一定的离子密度条件下，能产生直径 为亚微米的射束，通过入射离子向工件表面原子传递动量而达到逐个蚀除工件表 面原子的目的，可达到纳米级的制造精度。聚焦离子束刻蚀是一种对工件表面直 接刻蚀的方法，可以精确控制束密度和能量。反应离子束刻蚀是一种物理化学反 应的刻蚀方法。这种方法是将反应气体的离子束直接引向工件表面，发生反应后 形成既易挥发又易靠离子动能而加工的产物，同时通过反应气体离子束溅射作用 而达到刻蚀的目的。反应离子束刻蚀是一种亚微米级的微加工技术。 i 3 薄膜制备技术 薄膜制备技术主要分为气相方法和液相方法。气相法包括物理气相沉积 ( p v d ) ，如真空蒸发、溅射镀膜、离子镀膜、分子束外延、离子注入等，化学气 2 第一章绪论 图1 2f e k h 怕h d h m 等在p m m a - d r l 上加工的图形 将激光加工技术推向全新的领域。超快飞秒脉冲与材料的相互作用发生了本质的 变化。飞秒激光脉冲短，在加工时与物质作用时阋也短。在飞秒级的作用时间内， 能量转移仅需考虑电子受激的吸收，并没有能量存储和扩散。加工时，激光在很 短的时间内使电子温升到极高，周围的材料还未被传递热量激光作用就已经结 束，因此其热影响比较小，长脉冲激光带来的热影响区的材料熔融几乎可以完全 忽略，加工区域可以被精确地控制在激光焦点处，加工边缘齐整，极大地提高了 加工精度。飞秒激光可以在多种材料，如金属【9 姗、透明材料【l l 】、高分子材料【1 2 1 、 生物组织【1 3 】上进行加工，具有广泛的应用范围。综上，与连续和长脉冲的激光 相比，飞秒脉冲加工具有许多独特的优势：加工过程的非热熔性；加工程度的准 确性；加工尺寸的亚微米特性；加工材料的广泛性；加工能量鲍低耗性。( 改) 飞秒激光经强聚焦后能实现较高的瞬时激发光强j 可诱发材料发生显著的非 线性光化学反应，如光致聚合、光致折变。在此过程中，材料进行了双光子或多 光子的吸收。材料发生双光子吸收的几率与激发光强度的平方成正比，由于双光 子吸收引发的光化学反应将被局限在光强很高的焦点内极小的区域内，大大地提 高了该加工技术的分辨率j 1 9 8 9 年，r e n t z e p i s 小组将双光子技术应用于三维光学存储【川，1 9 9 2 年， w e b b 小组将双光子技术引入了微细加工领域【”】，双光子技术以其独特的技术优 势引起了世界范围的广泛重视。随着国内外科研工作者对双光子激发理论和高效 双光子吸收材料进行的深入研究，利用激光双光子的微加工和高密度数据存储技 术取得了众多成果：日本大阪大学k a w a t a 和孙宏波等利用双光子微加工技术制 作了1 0 p m 长，7 岬高的三维公牛图形【1 6 1 ，整个结构约有2 1 0 6 个固化单元构 成【1 7 】。该研究小组还制作了微齿轮、微弹簧、光子晶体等一系列三维结构，如 图1 3 。日本神户通信技术研究室的s h i y o s h iy o k o y a m a 等利用双光子微加工技 4 第一章绪论 术制作了微型激光谐振腔【博j 。 1 9 9 3 年，k a w a t a 等用7 6 2 n m 的钛蓝宝石脉冲激光在无掺杂铌酸锂晶体中实 现了双光子激发的三维数据存储，存储点的大小为1 2 m 1 8 岫1 4 2 岬， 位间距和层间距分别为5 和7 ，记录了7 层，存储密度为3 3 g b i t s c m l l 9 j 。1 9 9 9 年，美国纽约州立大学h e p u s a v a r 等1 2 0 】用双光子写入和单光束荧光读出方式， 在聚合物材料中实现了点间距和层间距分别为1 “m 和l o 哪的四层光信息存储， 存储密度达到了1 0 0 g m i 缸北o 。 图1 3 日本大阪大学采用飞秒激光双光子技术制作的 ( a ) 微米牛( b ) 微弹簧 随着科学技术的发展，对飞秒激光微加工技术提出了更高的要求，其中的一 个挑战是如何突破1 0 0 姗加工分辨率瓶颈。 2 0 0 3 年，c h i 呦l g i 【2 1 1 等人利用飞秒脉冲激光和原子力显微镜进行纳米加 工，扫描探针选用商品化多模硅探针，其衄率半径为5 - 1 0 舳，样品选用在硅基 体上溅射产生的厚约2 5 皿的金薄膜，在扫描速度2 0 弘m s 、激光能量6 9 m j c 舻、 探针一样品间距保持3 5 硼的条件下，可得到宽约l o 彻，深约l o 5 姗的纳米坑。 2 0 0 5 年，y l i n ，m h h o n g 圈等将4 0 0 姗倍频飞秒激光引入近场扫描光学显微 镜的光纤探针中，对紫外光刻胶进行了加工，形成了宽度2 0 5 舳的图形。 1 9 9 8 年，e b b e s e n 小组团】实验发现，当一束平行光照射具有亚波长金属小 孔阵列结构的薄膜时，在特定波长处表现出异常的透射增强效应，该结构的透过 光强不仅远高于经典衍射理论计算的结果，而且大于按照小孔所占金属表面的面 积比的计算结果。对于这种增强的一般解释是：光照射在这些亚波长小孔的表面 发生衍射和散射，会在其上产生倏逝场，这些倏逝场一部分由于隧道效应穿透到 小孔的另一面，在另外一面倏逝场将会被散射，这样将会形成传播场，在这里表 面等离子激元的近场增强特性对倏逝场的衰减进行了补偿，有效地提高了能量的 传输效率。在金属薄膜足够薄的时候，金属上下表面的表面等离子激元将会发生 重叠并通过小孔发生相互作用。2 0 0 2 年，e b b e s e n 小组又在s c i e n c e 上发表了利 第一章绪论 用准周期金属微结构控制出射光束质量的实验文章【2 4 】，在小孔的周围刻有周期 性的同心圆沟槽结构，该周期性结构与特定波长的入射光相互作用激发表面等离 子体激元，由此产生透过增强效应。这种结构能提高传输效率2 0 倍以上。日本 的一个研究小组已经在v c s e l 阵列中使用了这种技术。现在关于这种透过增强 的机理仍然有不同的解释。对小孔阵列、周期性微结构的透射增强的机理及应用 研究是目前该领域的研究热点。 小孔阵列的缺点是，随膜厚的增大，透射光指数衰减。最近，已经报道了非 常规c ，h ，i ，b o w t i e 形孔的设计同时获得纳米级的分辨率和高的传输效率【2 眈羽。 我们采取了a f m 与飞秒激光结合的实验方案，并且对h 形纳米孔进行了结构 设计。在这篇论文中，首先简要介绍几种常用的电磁场分析的方法，然后详细地 说明时域有限差分法的原理和在计算中需要注意的几个问题，如数值色散问题， 吸收边界问题等。论文的主要工作包括：1 用时域有限差分方法数值模拟a f m 无孔金属探针的近场电磁波分布，对不同形状探针的局域场增强效应进行比较。 2 基于a f m 实验平台利用无孔金属探针和飞秒脉冲激光对p m m a 进行近场纳米加 工。3 用f d t d 方法设计针对4 0 0 姗波长的h 形纳米平面孔。 研究结果表明，用a f m 与飞秒激光结合的实验方案可以成功实现低于1 0 0 觚 的近场加工，合理设计h 形平面孔可以得到纳米级的光斑和高的透射效率。 参考文献 【l 】苑伟政，马炳和微机械与微细加工技术西安：西北工业大学出版社，2 0 0 0 【2 】m 幽lq ，j u l i 觚s s 锄i c o n d u g 衄m 锄1 炯c t i l r i n gt e c h n o l o g ) r p e a 烈m e d u c a t i o na s i al i i n i t e d ，2 0 0 1 【3 】p l a g e l l od g ，a n l o l db ，h 锄铋s ，d u s am ，s o c l l arj ，m 慨j ，i s r 0 恤c a ll i 也0 鲫h yi n 恤s u l 卜5 0 - 眦r e g i n l e 胁c o f s p m ，2 0 0 4 ，5 3 7 7 ：2 l 3 3 【4 】p a n h 0 瑙tm ，b 舢斌h ，飚e f e rb ，r e i s sg ，s 觚谢l l su ，g k e n b e r g e rr f o 强撕o no f i n e t a l l i c 跚r 蠡l c es n 咖s b yi o ne t c l l i n gu s i n gas l a y e rl e i n p l a t e j v s c i t e c h l l 0 1 b ，2 0 0 l ，1 9 ：7 2 2 7 2 4 5 】她xy ，t a i l gql ，t a n g jm 舢p l i c a t i o no f i o nb e 锄蝴t e 曲n j q u et 0 n 地d i r e c tf a l 嫡c a t i o no fs i l i c o n 面c 刚pa r i a y s j ，v s c i t c c h n u l b ，2 0 0 4 ，2 2 ： 2 8 5 3 2 8 5 9 【6 】j e r s c hj ，d i c k m a n nk n a i l o s 协l 曲鹏f a l ) r i c a t i o nl l s i l l g1 嬲e r 丘e l de 1 1 l l a n c e m e l l t i nm en e a rf i e l do f as c 眦l i n g 衄m e l i n gi i l i c r 0 s c o p et i p a p p l p h y s l e 钍，1 9 9 6 ， 6 8 ( 6 ) ：8 6 8 8 7 0 6 第一章绪论 【7 】j e r s c hj ，d e n h n i n gf ，d i c k i 】娩衄k n a i l o s 缸u c t 嘣n g 砌ll a s e rr a d i a t i o ni nt 1 1 e n e a r f i e l do fat i pf b o mas c a 1 1 n 啦gr ) r c e 血c r o s c o p e a p p l p h y s a ，1 9 9 7 ，“：2 9 3 2 【8 】h d l l i l if ，b a c h e l o tr n e 小f i e l d0 p t i c s ：d 沁c to b s e a t i o no f 血e6 e l d e n h a n c e m e n tb e l o w 趾印e m 鹏l e s sp r o b e u s i n gap h o t o s e n s i t i v ep o l y m e r a p p l p h y s l e t t ，2 0 0 1 ，7 9 ( 2 4 ) ：4 0 1 9 - 4 0 2 l 【9 】c l l i c l l 土vbn ，m o m 撇c ，n o h es ，e ta 1 f e m t o s e c o n d ，p i c o s e c o n da n d n a n o s e c 0 n dl 鹤e ra b l 撕o no f s o l i d s a p p l p h y s a ，1 9 9 6 ，6 3 ( 2 ) ：1 0 9 一1 1 5 【1 0 】m m i l i n ac ，n o l t es ，c h i c h l 【o vbn ，c ta 1 p r e c i s el a r 抽i l a t i o nw i t hu l 缸瞄h o r t p u l s e s a p p l s 曲c e s c i ，1 9 9 7 ，1 0 9 11 0 ：1 5 - 1 9 【1 1 】z o u b i ra ，s h a hl ，r i d l 川s o nk ，e ta 1 p 删c a lu ：so f 角m t 0 c d 妇 m i c r 0 - i a t i 斑a l sp r o c e s s i n g a p p l p h y s a ，2 0 0 3 ，7 7 ( 2 ) ：3 l l - 3 1 5 【1 2 】j i a n gz 1 lw ，l i z l ly ，y 啪dj ，e ta 1 2 p h o t o nl i l i c r 0 绷c a t i o f l o g - p i l e p h o t 0 1 1 i cc 巧s t a l 觚dm c 0 戚c a l 锄m y s i so n 砥c l b 【盯a c t e r s l p mc o i 哦i r e n c e ( j a p 觚) ， 2 0 0 4 【1 3 】j u h 乏i s zt ，l o e lfh ，k u r t zrm ，e ：ta 1 c o m e a l 删v e 跚嗍w 洫 危i n t o c o n dl a s e r s i e e ej o 山m a ls e l e i o t e dt o p i c si i lq l 掬n t i 蛐e l e c i 职) f l i c s ， 1 9 9 9 ， 5 0 【1 4 】p a m l 锄【0 p o l d o sda ，r 即t z 印i spm m e i 巧s c i e n c e ，1 9 8 9 ，2 4 5 ：8 4 3 【1 5 】w ues ，s 仃i d d e rjh ，h a 盯e lwra n dw 批wr n - 灿l i m o 础f o r m i 溅l e c t r c 臌ca p p l i c 撕0 n s p mp 嫩，1 9 9 2 ，1 6 7 4 ：7 7 6 【1 6 】k a w a t a s ，s 珊h b ，t 锄幽t ，t a l 蛐k f 妇龟a ：t i l r e sf o r 垂i ：l n c t i o n a l m i c r o d e v i c e s 1 、融吣，2 0 0 1 ，4 1 2 ：6 9 7 【1 7 】s l l i lhb ，戤嗍啦s t w o p h o t o nl a s 盯p r i 洒s i o n l i c 铷试c 碰0 n 觚di t s a p p l i c a t i o n st 0i i l i c r 0 - 啪od e 、，i c 船a n ds y s t c l 璐j 0 l | rl i g h t 眠n ，c 1 1 e c h ，2 0 0 3 ， 2 l ( 3 ) ：6 2 4 一 。 【18 】s l l i y o s h iy o k o y 锄a ，e ta 1 t w o - p h o t o n - 砌u c e dp o l 肿e r i z a t i o ni nal 绷g a i n m e d i u mf o fo p t i c a ln l i c r o s 缸1 l c t u r e a p p l p h y s l c 钍，2 0 0 3 ，8 2 ( 1 9 ) ：3 2 2 l 【1 9 】k 鲫忸t ay ，珊t o b ih ，k 鲫嘣as u o f t v 阳- p h o t o na b s 0 i p t i o ni i la p h o t o r e 缸l c t i v ec 巧s t a lf 0 ft 1 1 r e e d i m e 娜i 伽l a lo p t i c a lm e 玎巧o p t l e 比，1 9 9 8 ， 2 3 ( 1 0 ) ：7 5 6 7 5 8 【2 0 】p u d a v a rhe ，j o s h ipm ，e ta 1 h i 曲d e 璐毋恤e e - d i m e n s i o i l a lo p t i c a ld a t a s t o r a g ei nas t a c k e dc o m p a c td i s kf o 衄a tw i t l lt w o - p h o t o nw r i t i l l ga n ds i n 百ep h o t o n r e a d o u t a p p l p h y s l e t t ，1 9 9 9 ，7 4 ：1 3 3 8 1 3 4 0 7 第一章绪论 【2 l 】c t l i m m a l 西a ，c h o it a ，g r i g o r o p o u l o scp ，e ta 1 f e m t 0 s e c 0 n dl a s e r a p e r t i l r e l e s sn e 册f i e l dn a i l o m a c h i l l i n go fm e t a l sa s s i s t e db ys c 觚血g p r o b e m i c r 0 s c o p y a p p l p h y s l e 饨，2 0 0 3 ，8 2 ：1 1 4 6 【2 2 】l i ny ，h o n gm h ，e ta 1 s u b - 3 0 蛐l i 也。伊a p h ym n e 辨f i e l ds c 锄血go 砸c a l i n i c r o s c o p e a p p l p h y s a ，2 0 0 5 ，8 0 ：4 6 1 4 6 5 【2 3 】e b b e s e n tw ，l e z e chj ，g 槭hf ，啦ot ，a n dw o l f f pa b 删i n a r y o 埘咖仃a n s m i s s i o nm r o u g hs u b w a v e l e n g mh o l ea r r a y s n a t u r e ，1 9 9 8 ，3 9 l ： 6 6 7 6 6 9 【2 4 】l e z e chj ，d e g 沛na ，d e v a u xe ，l i i l k er a ，m a n i n m o r e i 的l ，g a r c i a v i d a l fj ，e b b e nt w b 船咄l i g h t 鱼) ma 跚h v a v c l e n g ma p 瓣s c 咖，2 伽2 ， 2 9 7 ：8 2 0 8 2 2 【2 5 】s l l ix ，h e s s e l i l l l 【l m e c h a i l i 娜f o r 蹦：l a i l c 迦p 0 w e rm u 幽川舶mp 妇 n a n 0 帆sf o r n e 小f i e l d 叫c a ld a t as t o 婶舢ja p p lp h y s ，2 0 0 2 ，4 l ： 1 6 3 2 - 1 6 3 5 【2 6 】s l l i x ，h e s s e l i n l 【l u 呲9 1 l l i 出唰s s i o n 咄a c 蛳e d n 胍0 a p e r t l u e o p 6 c sl e t t ，2 0 0 3 ，2 8 ： 1 3 2 0 1 3 2 2 【2 7 】k 画av ，s t 觚c i ld d ，b a i l lj a ，s c h l e s 堍e rt e 砒d g ew a v e g i l i d e 勰a n e 瓣f i e l do 面c a ls o u r c e a p p l p h y s l e t t ，2 0 0 3 ，8 3 ：4 4 7 4 硝7 6 8 第二章几种电磁场的分析方法 第二章几种电磁场的分析方法 在激光的作用下，金属或镀有金属层的探针会产生表面等离子体极化，电场 强度比入射光强度高几十甚至上百倍。定量地分析探针附近的电磁场分布对于实 验具有指导意义。 自1 8 7 3 年麦克斯韦( m a x w e l l ) 建立电磁场基本方程以来，电磁波理论和应用 的发展已有一百多年的历史。电磁波的研究已深入到各个领域，如无线电波传播、 光纤和移动通信、微波、电磁兼容等。电磁场的问题就是求解m a x w e l l 方程问题。 求解电磁场问题的方法包括：第一类，严格解析法，包括分离变量法和格林( g r e e n ) 函数法；第二类，近似解析法，包括逐步逼近法、微扰法、变分法等；第三类， 数值分析法，主要包括矩量法( m o m ) 、有限元法( f e m ) 、边界元法( b e m ) 、时域有 限差分法( f d t d ) 、传输矩阵法等等。 通常只有一些经典问题有解析解。然而，由于实际问题的复杂性，要求得封 闭形式的解析解已经不可能，往往需要通过数值解得到具体问题的电磁场特性。 随着计算机技术的发展，许多有意义的数值解方法充分发展并且得到了广泛的应 用。对各种方法的深入研究发现每种方法都有自己的特点和局限性，在实践中经 常将它们结合形成各种混合方法。 本章主要介绍几种常用的电磁场分析方法：多重多极子展开法( 删嘞，格林 函数方法，有限元法( f e m ) 。时域有限差分法将在第三章单独说明。 2 1 多重多极子展开法( 姗p ) c m s t i 趾h a 丘l e r 于1 9 8 0 年提出了多重多极子展开法( 姗p ) 【1 1 ，这是一种用于 电磁场数值计算的半分析方法。它是在设计长波天线中发展起来的，最初主要用 于天线设计、生物电磁学、波导分析等。1 9 9 3 年，h a f n e r ，b o m h o d t 和n o v o t n y 等人将这种方法推广应用于近场光学的研究f 2 ，3 】。 电磁场随时间简谐变化，且不存在外电荷和外电流条件下，麦克斯韦方程可 写作： v 占p ，国) e o ，功) = 0 v b ( ，国) = 0 v e ( ，国) = 缸日p ，国) v 日( ，缈) = 一泐( ，国) e ( ，国) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 9 第二章几种电磁场的分析方法 物质对电磁场的响应由介电常数( ，国) 描述，它反映了大量原子对外电场的响 应。用介电常数可以物理上解决物质的体积大到可以与介电函数所具有的集团特 性相吻合的问题。在可见光范围，尺寸大于1 0 姗的介观和纳米尺度的物体都可 以用介电函数描述。 用多极子本征函数e ( 厂，缈) 来描述电磁场。对本征值吼，满足矢量波动方程： 一v v e ( ，国) + 吼2 e ( ，缈) = o ( 2 5 ) 对于标量场，可以得到【4 ，5 】： v 2 虬( ，国) + 吼2 ( ，- ，曲= o ( 2 6 ) ( ，彩) 构成了h i l b e r t 空间的一组标准正交基，直角坐标中的最简形式可以取 为： 虬( 彩) 量以( ，功2 赤e 啾船，) ( 2 _ 7 ) 球坐标中可以表示成： 啪劫舢仉咖甲s ( 州位焉 其中，名册( c o s p ) 为复合l e g e n d r e 多项式，乃瓴，) 为球b e s s e l 函数。 ，别奇偶函数。柱坐标的多极子函数可写成如下形式： 啪纠暑小咖蛾( 纠，) ：男) 其中，氐为b e s s e l 函数，r = 蠢工+ 爵户= 如2 + ，。 将梯度算符作用于标量函数，得到彼此正交的矢量本征函数： l ( ，动= 刃眠( ，功 坂( ，缈) = 刃虬( ，缈) 口 m ( ，国) = ，茁) v v ( 厂，彩) 口 ( 2 8 ) 叮用于区 ( 2 9 ) ( 2 一l o ) ( 2 1 1 ) ( 2 一1 2 ) 按折射率的不同将计算空间划分为更小的子空间，在每一个子空间口上，电场分 量e 口( ，国) 可展开为： e 口o ，国) = 【鸠p ，国) + 醪m ( ，缈) 】 ( 2 一1 3 ) 为了保证远离球空间或柱空间处的收敛性，常用多重多极子方法展开，这种方法 l o 第二章几种电磁场的分析方法 是在多极子展开式中设置不l 司的起点，：，： e 口( ，缈) = 【，鸠( r o ) + j m ( ，一，：) 】 ( 2 一1 4 ) 一 其中系数，鹾由相邻区域界面处的边界条件计算得到。 多重多极子方法比较短程化，对紧邻区域影响较大，适用于局域空间，特别 是它非常适于求解局域变化大的复杂几何结构，如镀有复介电函数的金属膜的圆 柱型波导【6 】。 2 2 格林函数方法 在半微观和微观的理论中，光场的描写与宏观近场光学方法一样，仍然遵守 麦克斯韦方程，只是其介质用经典力学或量子力学来描述。对( 2 3 ) 式求旋度， 再结合式( 2 4 ) ，得到矢量波动方程： v v e ( ，彩) + ( 缈2 c 2 ) 文r ，国) e ( ，国) = o ( 2 1 5 ) 或 v v e ( ，国) + 9 2 e ( ，彩) = y ( ，彩) e ( ，彩) ( 2 1 6 ) 其中， 9 2 = 细2 c 2 ) y ( ，妫= ( 矿c 2 x 1 一g ( ，砌 ( 2 一1 7 ) ( 2 一1 8 ) 在半微观和微观光学理论中，散射理论是一种基本的理论形式，这种理论是把量 子力学中的格林函数理论形式应用于求解有外源时的波动方程的基础上发展起 来的。散射理论常用的具体计算方法有格林并矢方法等。 根据格林函数理论用，波动方程( 2 1 6 ) 的解e ( ，国) 满足 l i p p m a n n s c h w i n g e r 方程： e ( ，砌= 岛( ，神+ l 毋，g o ( r ，r ，彩) 矿( ，国) 五( ，国) ( 2 1 9 ) 其中g 0 ( 厂，缈) 为格林并矢函数。在散射理论中，磊( ，缈) 代表入射场，第二项 为散射场。为了求解l i p p i n a n n s c h w i n g e r 方程，需先求得磊( ，国) 和缔和格林并 矢g o ( ，国) 。岛( r ，缈) 为满足下列方程的解析解： 一v v 点o ( ，缈) + 9 2 岛( ，彩) = 0 ( 2 2 0 ) 缔和格林并矢g o ( ，厂，缈) 由下式定义： 第二章几种电磁场的分析方法 2 3 有限元法( f 酬) 有限元法是一种求解场的变分问题的数值方法。这种方法不是直接去求解方 程，而是去求解一个能量取极值的变分问题。将计算区域剖分为一些在节点处互 相连接的单元，然后在各单元上作近似，使得“能量 近似地表示为有限个节点 参数的函数，从而将变分问题归结为多元函数求极值，转化成求解代数方程组的 问题。 将定义域进行分割，离散成有限个单元集合，二维问题常采用三角形单元和 矩形单元。设m 个有限单元中第e 个单元的待求函数为： 七 。= q w ，( 力 = l ，2 ，所) ( 2 2 6 ) ，叠l k 为e 单元结点个数，q ，口2 ，嚷为待定系数，p 为e 单元上任意点，嵋( 力为p 点坐标函数。将结点坐标代入( 2 2 4 ) ，可得结点函数值： 群= 口i ( a ) 扣l 七 群= 口j m 魄 j t l ： 七 红= 口j 心魄) ( 2 2 7 ) 嵋为已给定函数，方程组是待定系数q ，口2 ，一啦的线性方程组，将求得的待定系 数代入( 2 2 4 ) 得到： t 。= w ( 2 2 8 ) 扣l 将e 从1 变到m ，可以逐次求得每个单元上基函数： l 圻，孵，坼l p = l ，2 ，掰) ( 2 2 9 ) 将相邻单元中具有公共结点的单元基函数拼装成一个全域上的基函数，若全域有 n 个结点，则有n 个基函数m ，2 ，虬，若用魂，唬，以表示全域n 个结点处待 求函数值，则整个域内有 九m ( 2 3 0 ) 量= l 设矽满足的泛函形式为，( ) ，则由极值条件 第二章几种电磁场的分析方法 掣：o ( ，2 ，刀) a 欢 、 一 7 ( 2 3 1 ) 得到线性方程组，解线性方程组可得到场值的数值解。 有限元法的结点配置比较任意，在分割上可以根据场域的不同而变化，具有 自由度，对边界的模拟更加细致，适用于具有复杂边界形状或边界条件、含有复 杂媒质的定解问题，具有较高的计算精度。虽然有限元法的计算具有灵活性，但 其计算过程比较烦琐。 参考文献 【l 】h 曲1 e rc ，b o i n b o d tlh 1 k3 de l e c 咖m a 弘e t i cw r a v es 洫u l a t 呱c h i c h e s t e r ： w n c y ) 1 9 9 3 【2 】n o v o n l yl ，砘血e rc l i g h tp r o p a g a t i o ni nac y l i n 越c a lw 乏l v e g l l i d ew i ma c o n 瑚e x ，m e 枷1 i c ，击e l c c t r i c 如n c t i m p h y s r e v e ，l9 9 4 ，5 0 ：4 0 9 4 4 1 0 6 【3 】n o v 酏呵l ，p o h ldw l i g h lp r o p a g a t i o ni l ls c 粕n i 】1 9n c 瓣舶l do p t i c 碰 l n i c r o s c o p y m 栅锄dl o c a lp r o b e s ，o m a r t i 觚d m 6 n e d s 岱h w 贫 a c a d e m i c ，d o r d r e c h t ，1 1 l en e m e r l 觚d s ，1 9 9 5 ) ，、厂0 1 3 0 0 ：2 1 0 3 4 】h a n s e nw w an e w 帅eo fe x p 锄s i o ni n 捌l i a 硒np r o b l 锄塔p h y s 矾，1 9 3 7 ， 4 7 ；1 3 9 一1 4 3 _ 【5 】b d u w k 锄叩cj ，c 醛i n l i rhbg o nm u l t i p o l ee x p 锄s i o 船i n 铟陆t l l 碍o f e l e c 乜0 m a 印觚c 硼i a t i o n p h y s i | c a ，l9 5 4 ，2 0 ：5 3 9 5 5 4 【6 】t k f e t h e nln ，h a l p 锄l w c l l p i 吣e d l 舱s fo n ew r a y 研ee q ：i 硪i i c 幡a n d a b r b 砸gb o u 盼d a 巧c o n d i t i o 嬲h l s t c 明1 p 吨a p p l s c i 髓de i 删c a s e ) ，n a s a l 强g l e yr e s c 也，h a l n p t o n ，1 9 8 5 ：8 5 1 3 0 【7 】m o r s ep ，f e s h b a c hh m 劬o d so f ，n 删c a lp h y s i c s 1 9 5 3 【8 】g i r a r dxc ，b o 勾ux c o u p l e de l e c t r o m a g n e t i cm o d e sb e t v 呜ac 0 肌g a l c d s u r 蠡尬ea n dat h i np r o b e j c h e m p h y s ，1 9 9 l ，9 5 ：2 0 5 6 2 0 6 4 【9 】d e r e l j xa ，v i g n e r o njp ，蛐i l lp ，l u c 嬲a a 砷e o f yo f 瓣& 埘o p t i 潞、椭 a p p l i c 撕o i l st 0s n o m a n do 砸c a lb i n d i i 培p h y s i c a ，1 9 9 l ，b 1 7 5 ：6 5 - 6 7 【1 0 】删i a l l ad e l e 嘶cd y a d i cg r e e n i s 如舭璐i i l 也e m r e 西傩跏c 姗， 1 9 8 0 。6 8 ：2 4 8 2 6 3 1 4 第三章时域有限差分法 第三章时域有限差分法 3 1 时域有限差分法简介 1 9 6 6 年，k s y e e 【l 】首次提出了电磁场数值计算的新方法：时域有限差分 ( f i n i t ed i f f e r e n c et i 鹏d o 吼i n ，f d t d ) 方法。这一方法是对电磁场e 、h 分 、量在空间和时间上交替抽样，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环 绕，利用这种交替抽样的离散方式将带时间变量的融x w e l l 旋度方程转化为差分 方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。y e e 提出的这种抽样方式后来 被称作y e e 元胞。经过几十年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的 分析之中。r h o l l a n d 【2 4 】，k s k u n z 【5 刀，a t a f l o v e 【3 。1 0 1 等科学家对这种方法的 发展作出了较大贡献。 3 2m a 删ei i 方程和y e e 元胞 麦克斯韦方程的一般形式是依赖时间变量的旋度方程，其具体形式为： v e = 一罢一厶 ( 3 1 ) v 日：罢+ j ( 3 2 ) 其中，e 为电场强度，单位为伏特米( v m ) ；h 为磁场强度，单位为安培米( a m ) ； d 为电通量密度，单位为库仑米2 ( c m 2 ) ：b 为磁通量密度，单位为韦伯米2 ( w b m 2 ) ；j 为电流密度，单位为安培米2 ( a m 2 ) ；j m 为磁流密度，单位为伏特米2 ( v 确。各向同性介质中： d = s e ，b = p h ，j = a e ，j m = o m h 婶 其中，占为介电常数，单位为法拉米( f m ) ；为导磁系数，单位为亨利米( h 曲； 盯为电导率，单位为西门子米( s m ) ；为磁导率，单位为欧姆米( q m ) 。 直角坐标系中，麦克斯韦方程可以写为： 鲁一鲁叫警一吼 4 一曲 一= 一j i o 一，rh i x 一4 一a l 卸8 z a t mi 、 第三章时域有限差分法 警一警= 叫警一q c 3 4 咱) 一 = 一爿y l j q b ， 化o x讲 。 誓一等= 一鲁一皿 c 3 叫卜c ， 二一 = 一i 三一爿z l 3 4 一c ) o 卯优 等一警一等+ 以 僻5 一曲 ：一二- = 一f - ：- + r r e i 一n aj 却瑟研 1 。 警一警= f 鲁+ 一 c 3 寺b ， 一彳= f + 仃己y k - 5 一b b ， 睨o x0 l 警一警= f 鲁+ 幔 给s - c ， 缸却西 2 上述六个方程构成了完整三维问题的情形。 y e e 首先导出了m a x w e l l 旋度方程的有限差分形式。将问题空间沿三个坐标 轴方向分成很多网格单元，用缸，缈，& 分别表示网格单元沿x ，y ，z 轴向 的长度，用表示时间步长。在时间和空间域中的离散取以下符号表示： f b ，y 。z ，幻= f q 醯。 姆 ，羚蛳= r 嬉。j ，哙峥窃 y e e 将厂( x ，y ，z ，r ) 对于时间和空间的一阶偏导数取具有二阶精度的中心差商近 似，即： 丝坐盟f ：丛坐堡丝! 坚幽( p 7 ) 宓 l 驷心 戤 笪垒：兰：- 到：垫丛塑竺塑：燮 ( 3 8 ) 西 i f ，础 & f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图3 1 所示。这个空间排布的 特点是，每一个磁场分量由四个电场分量环绕；每一个电场分量由四个磁场分量 环绕。这种电磁场分量的空间取样方式符合f a r a d y 电磁感应定律和a m p e r e 环路 定律的自然结构，也符合电磁波在空间传播的规律，并且电磁场各分量的相对位 置适合于麦克斯韦方程的差分计算。电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时 间间隔彼此相差半个时间步，麦克斯韦旋度方程离散后构成显式差分方程，可以 在时间上迭代求解，不需进行矩阵求逆运算。给定相应电磁场问题的初始值，可 以逐步推讲地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。 1 6 第三章时域有限差分法 3 3 数值稳定性 图3 1f d 仰的y e e 网格 y f d t d 方法以差分方程组的解来代替电磁场偏微分方程组的解，只有离散后 差分方程组的解是收敛的和稳定的，这种代替才有意义【l l 】。如果算法不稳定，随 时间步数的增加，