动量矩ppt课件

第十一章动量矩定理质系动量矩定理建立了质系动量矩的变化率与作用于质系上外力系的主矩之间的关系。应用动量矩定理所建立的刚体绕定轴转动微分方程,以及由上章的质心运动定理和本章导出的相对质心动量矩定理所建立的平面运动微分方程，是解决刚体动力学问题的有效工具。,11-1质系动量矩定理1.质点动量矩定理如图示质点M的动量对于O点的矩，定义为质点对于O点的动量矩，即,1,质点的动量矩定理，即：质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩。,2.质系动量矩定理设质系内有n个质点，对于任意质点Mi有,式中分别为作用于质点上的内力和外力。求n个方程的矢量和有,为作用于系统上的外力系对于O点的主矩。,2,质系动量矩定理，即：质系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩。,分别表示质系中各点动量对于x，y，z轴动量矩的代数和。,内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化。1/在特殊情况下外力系对O点的主矩为零，则质系对O点的动量矩为一常矢量，2/外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数,3,11-3刚体绕定轴转动微分方程如图13-5所示定轴转动刚体，若任意瞬时的角速度为，则刚体对于固定轴z轴的动量矩为,称为刚体对轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对轴分布状态的一个物理量，是刚体转动惯性的度量。,刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。,转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动时起作用.,4,转动惯量分别为和的两个飞轮分别装在轴和轴上，齿数比为的两齿轮将转动从轴传到轴，如图13-7(a)所示。轴由静止开始以匀加速度转动，10秒后其角速度达到。求需加在轴上的转动力矩及两轮间的切向压力P。已知，不计各齿轮和轴的转动惯量。,解：分别取轴和轴为研究对象，其受力如图13-7（b）、（c）所示。分别建立两轴的转动微分方程,5,该例题是应用动量矩定理解决已知系统的运动求未知力(矩)的问题。思考题问题：本例中是分别取轴和轴为研究对象，是否能取整个系统作为研究对象呢？,教材265页:例11-4,6,高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。,O,M,W1,v,W2,FN,例题动量矩定理,7,取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。以顺时针为正，此质点系对O轴的动量矩为,作用于质点系的外力除力偶M，重力W1和W2外，尚有轴承O的反力FOx和FOy，轨道对小车的约束力FN。,解：,而W2t=P2sin=m2gsin，则系统外力对O轴的矩为,其中W1，FOx，FOy对O轴力矩为零。将W2沿轨道及其垂直方向分解为W2t和W2N，W2N与FN相抵消。,例题动量矩定理,8,由质点系对O轴的动量矩定理，有,因，于是解得,若，则,小车的加速度沿斜坡向上。,例题动量矩定理,9,11-4刚体对轴的转动惯量由上节知，转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为,式中m为刚体的质量，称为回转半径，单位为m或cm。回转半径的物理意义为：若将物体的质量集中在以为半径、Oz为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。,1简单形状的均质刚体转动惯量-记忆（教材271页）,10,2转动惯量的平行轴定理定理：刚体对于任一轴的转动惯量等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即,（1）两轴互相平行；（2）其中一轴过质心；（3）过质心的轴的转动惯量最小。,3求转动惯量的实验方法工程中对于几何形状复杂的刚体，常用实验的方法测定其转动惯量。常用的方法有扭转振动法；复摆法；落体观测法等。下面以复摆法为例加以说明。,教材269页:例11-9,11,复摆法测转动惯量。如图所示刚体在重力作用下绕水平轴O转动，称为复摆或物理摆。水平轴称为摆的悬挂轴（或悬点）。设摆的质量为m，质心为C，s为质心到悬挂轴的距离。若已测得复摆绕其平衡位置摆动的周期T，求刚体对通过质心并平行于悬挂轴的轴的转动惯量。解：刚体在任意位置的受力图如图13-11所示，刚体绕定轴转动微分方程为,12,起重装置由匀质鼓轮D（半径为R，重为W1）及均质梁AB（长l=4R，重W2=W1）组成，鼓轮通过电机C（质量不计）安装在梁的中点，被提升的重物E重。电机通电后的驱动力矩为M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的约束力FNA及FNB。,O,A,B,A,C,D,E,例题动量矩定理,13,1.考虑鼓轮D，重物E及与鼓轮固结的电机转子所组成的系统（图b），M为电机定子作用在转子的驱动力矩，对固定点O的应用动量矩定理得,解：,O,(b),W,M,O,D,E,W1,(b),其中,解得,例题动量矩定理,14,2.考虑整个系统（图c），注意驱动力矩为M系统内力。对点B应用动量矩定理得,O,A,B,(b),W,W2,FNA,A,C,D,E,FNB,W1,(c),解得,例题动量矩定理,15,对整个系统应用动量定理得,O,A,B,(b),W,W2,FNA,A,C,D,E,FNB,W1,(c),解得,例题动量矩定理,16,提升装置中，轮A重P1半径为r1，其上作用常力矩M1;轮B重P2半径为r2;物体C重P3。A、B均可视为均质圆盘。求物体C上升的加速度。,（2）取轮B连同物体C为研究对象,解:（1）取轮A为研究对象，由刚体定轴转动微分方程：,17,由动量矩定理：,运动学条件：,由(1)(3)得：,1,2,18,设刚体以速度v平动，刚体内任一点A的矢径是ri,该点的质量为mi，速度大小是vi。,LO=MO(mivi)=(miri)vC,从而整个刚体对点O的动量矩,该质点对点O的动量矩为MO(mivi)=rimivi,因为刚体平动vi=v=vC,LO=MO(mivi)=rimivi,又因为(mi)rC=miri,所以LO=(mi)rCvC=rC(mi)vC,1、平动刚体对固定点O的动量矩,一、质点系或刚体系动量矩的计算,19,证明:过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心C为原点，取平动坐标系Cxyz,它以质心的速度vC运动。,设质点系内任一质点A在这平动坐标系中的相对速度是vr,该点的绝对速度v=ve+vr=vc+vr,则质点系对固定点O的动量矩,2.质点系对固定点O的动量矩,等于质点系随质心平移时对点O的动量矩rCmvC加上质点系相对于质心的动量矩.,20,LC质点系相对质心C的动量矩,对上式各项分析,则上式LO可以写为,21,左端,（1）,右端,代入（1）式有,11-5相对于质心的动量矩定理,质心运动定理,即，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩.当质点系作一般运动时，以运动着的质心为矩心，动量矩定理的形式不变。,教材275页推导,22,讨论,在以质心为原点的平动坐标系中，质点系对质心（或质心轴）的动量矩定理的形式与对定点（或定轴）的动量矩定理的形式相同；!对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。,2.由该定理可见，质点系相对于质心（或质心轴）的动量矩的改变，只与质点系的外力有关，而与内力无关，即内力不能改变质点系对质心（或质心轴）的动量矩。,1.对质心的动量矩定理,2.对质心轴的动量矩定理,11-5相对于质心的动量矩定理,23,二刚体平面运动微分方程设有一刚体在外力系作用下作平面运动，它的运动可以简化为平面图形S的运动来研究：刚体质心C位于平面图形S内，而且作用在刚体上的外力系可以简化为一个作用在此平面图形上的平面一般力系。平面图形的运动可视为平面图形随质心的平动(xC,yC)和绕质心的转动（）。,由质心运动定理和相对质心的动量矩定理：,24,将前一式投影到轴x，y上，后一式投影到轴Cz上，可得,随质心的牵连平动规律可由质心运动定理来确定,miac=Fi（e）,而相对质心的相对转动规律可由相对质心的动量矩定理来确定,注意到,则有,这也是刚体的平面运动微分方程。可以应用它求解刚体作平面运动时的动力学问题。,式中JC表示刚体对轴Cz的转动惯量。,25,动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：,1已知质点系的运动，求系统所受的外力或外力矩。2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。3已知质点系所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。,26,例题匀质圆柱的质量是m，半径是r，从静止开始沿倾角是的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是fs不计滚动摩阻。试求圆柱质心C的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。设动滑动摩擦系数为f，求轮又滚又滑时，质心C的加速度.,x,y,O,C,11-6刚体的平面运动微分方程,27,解：,由刚体平面运动微分方程，有,以圆柱为研究对象，圆柱作平面运动。,maC=mgsinF(1)0=FNmgcos(2)JC=Fr(3),由于圆柱只滚不滑，故有运动学关系,aC=r(4),联立求解以上四个方程，并考虑到JC=Mr2/2，得到,FN=mgcos,11-6刚体的平面运动微分方程,28,FfsFN,从而求得圆柱滚动而不滑动的条件,由保证圆柱滚动而不滑动的静力学条件：,代入求出的F和FN，则得,FN=mgcos,tan3fs,11-6刚体的平面运动微分方程,29,即圆柱有滑动，故运动学关系aC=r不成立。,则应用关系F=FNfs做为补充方程。,11-6刚体的平面运动微分方程,30,例题:重W,长l的均质细杆AB，放在铅直平面内，两端分别沿光滑的铅直墙和水平地面滑动，试求杆的角加速度和A、B处的约束力。设t=0时，w0=0。角,解（1）以AB杆（平面运动）为研究对象。（2）受力如图。,x,y,（3）选轴建立平面运动微分方程：,31,三个方程五个未知量，故须建立补充方程：,x,y,（4）解方程,由式得：,32,将代入得：,（逆时针）,将代入，得：,33,（取正，逆时针）,由得：,讨论（1）NA=0时，A端会脱离墙。,34,（2）由式,x,y,I,表明：平面运动刚体，可以对速度瞬心直接应用动量矩定理。条件为：速度瞬心到质心的距离保持不变。,35,均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求（1）圆柱B下落时质心的加速度。（2）若在圆柱体A上作用