（基础数学专业论文）双全纯的β型螺形映照与线性不变族.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 本文对多复变数c n 空间中的双全纯口型螺形映照与线性不变族进行了 研究首先在单位球上给出了一种算子，并运用口型螺形映照的参数表示来 证明其保持p 型螺形性；其次在单位多圆柱上讨论了双全纯映照线性不变 族的一些性质 全文共分三章：第一章，我们简要介绍了本文常用的一些定义和记号，以 及本文的主要结果；第二章，我们在c n 空间中的单位球上，利用p 型螺形映 照的参数表示，证明了一种算子保p 型螺形性；第三章，在单位多圆柱上对 线性不变族秩，单叶半径以及极值映照的三次项系数进行了讨论 本文的结果是对已有结果的深入研究和推广，得到了一些全新的内容， 从而使我们对多复变数c n 空间中的双全纯映照有了更深入的认识 关键词：p 型螺形映照，线性不变族 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d y s p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p epa n dl i n e a ri n v a r i a n t e f a m i l yo fb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sc n f i r s t ，w e p r o v et h a tan e wo p e r a t o rk e e pt h ep r o p e r t i e so fs p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e 8b yt h ep a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o nf o rs p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p ebi n t h eu n i tb a l l ；s e c o n d ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fl i n e a ri n v a r i a n t ef a m i l yo f b i h o l o m o r p h i cm a p p i n g si nt h eu n i tm u l t i - c y l i n d e r t h ew h o l et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p e r ，w ei n t r o d u c es o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h e s i sb r i e f l y ；i n c h a p e rt w o ，w eu s et h ep a r a m e t r i cr e p r e s e n t a t i o no fs p i r a l l i k em a p p i n g so f t y p e8t oo b t a i nan e wm e t h o df o rp r o v i n gt h a tao p e r a t o rk e e pt h ep r o p - e r t i e so fs p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p ep ；i nc h a p e rt h r e e ，w ed i s c u s st h eo r d e r ，u n i f o l i a t er a d i u sa n de x t r e m e v a l u em a p p i n g so fl i n e a ri n v a r i a n t ef a m i l y i nt h eu n i tm u l t i - c y l i n d e r t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r eb a s e do nt h ek n o w nr e s u l t s ，b u te x t e n d a n di m p r o v et h e m s ow eh a v ead e e pr e a l i z a t i o na b o u tt h eb i h o l o m o r p h i c m a p p i n g si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sc 竹 k e y w o r d s ：s p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p e ，l i n e a ri n v a r i a n t ef a m i l y i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人商河赢大学提出硕士学位幸请。本人郑重声明：所呈交酌学位论文是 本人在导师酌指导下独立完成的，对所研究的课题宥新的见解。据我所知，除 交中特别加议说明、标注和致谢奇匀地方外，论文中不包括其他人已经发袁或撰 写过的研究成暴，也不包括其他人为获得任何教育、科研规构韵学位或证书两 使阁过的材料。与裁一同工作酌同事对本研究所徽韵任何贡献均已在论文串作 了明确的说明并表示了谢意。 拳位串请人( 学位论变蜂者 签名：銎堂 2 。7 礼卜 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授子硕士学位。作为学位论文昀作者，本人完金 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向圜家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质支 本和电子文本) 双供公众检索、查耀。本人援极河南穴学出于蜜扬、展览学棱 拳术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 复既质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文盍解密后适周本较捉书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：垦查 2 0 簿位论文指导敬师茎名： 2 0 第一章预备知识 1 1引言 单复变数几何函数论是复分析中一个重要组成部分，其历史源远流长， 内容非常丰富，完善和深刻多复变数理论源于单复变，但它们之间有着许多 本质的差别 1 9 3 3 年，h c a r t a n 曾指出在单复变中成立的b i e b e r b a c h 猜想在多复变 数的双全纯映照中是不成立的他同时指出单位圆盘上单叶函数的增长定 理和掩盖定理对多复变数双全纯映射也不再成立，他建议研究凸映射、星 形映射和其它重要的双全纯映射类h c a r t a n 之后，不少数学工作者致力 于这个领域的研究，但总的来说进展不大直到最近二十年，国内外不少学 者，如龚升，t j s u f f r i d g e ，王世坤，余其煌，郑学安，刘太顺等，关于单位 球，单位多圆柱，典型域以及有限维b a n a c h 空间中的单位球上凸映射和星 形映射的研究出现了大量的文献，得到了许多丰富而优美的结果详细可参 见 g o n g l 】，【g o n 9 2 1 对于双全纯映射的子族，螺形映射的研究也出现了大 量的文献 g u r l ，s u f l 】1 9 9 8 年刘浩得到了多复变空间c n 中单位球上的卢 型螺形映照的参数表示f l i u l 2 0 0 4 年刘浩，张志平和卢克平将p 型螺形映 照的参数表示推广到了有界平衡拟凸域【l i u - z h a n g - l u l l ，这些都是对卢型 螺形映照的参数表示在不同域上的研究 由于我们对螺形映射子族的性质知道的很少，所以对它们的研究一般都 借助于定义，比如一般都是运用定义来证明r o p e r s u f f r i d g e 算子及其推广 保持p 型螺形性而在本文我们则给出了不同于r o p e r s u f f r i d g e 的一种新 算子，运用卢型螺形映照的参数表示来证明这种算子保持p 型螺形性 单复变数不变族的理论是c h p o m m e r e n k e 首先提出来的，龚升和郑学 安将这些理论推广到多复变数的齐性域上g o n g - z h e n g l l ，刘浩将不变族的 理论推广到多复变空间的单位球上 l i u 2 而本文研究了c 竹中的单位多圆 柱上双全纯映照的线性不变族，推广了p o m m e r e n k e 在单位圆盘上，刘浩 在单位球上的不变族理论并且进一步的讨论了单位多圆柱上线性不变族的 秩，单叶半径以及线性不变族极值映照的齐次展开式的三次项系数，建立三 次项系数和二次项系数的一些关系式有很多映照族都是不变族，例如单位 1 河南大学硕士学位论文 多圆柱上的双全纯映照所构成的映照族，单位多圆柱上的局部双全纯映照所 构成的映照族，以及双全纯凸映照所构成的映照族，等等都是线性不变族 1 2 定义及记号 为了叙述方便起见，我们首先给出全文最常用的一些符号及基本概念 在本文中，我们用c 表示复平面d = z c ： 、l z f l 2 0 ，z b 竹 o ) ) ， v t = ： ( o ) = ， 在单复变中，函数类由形如危( z ) = p ( z ) z ( 1 z i 0 ，且正实部函数p ( z ) 满足下面的不等式 l i u z h a n g - l u l 丽1 - - i l r 印( 。) 冗印( f ) 确1 + 1 4 1 冗印( 。) ， 0 这说明h ( u 1 由于f j ( z j ) 是型螺形函数， 因此，3 h j ( z j ) ，使 即 隆蝴) ) 乃( 巧) ( 乃) b ( 乃) i 磁心) | m 1 2 ) = e p 办( 乃) = e 一卢 ( 勺) _ 1 力( 乃) 其中例 三 又由于f j ( z j ) 是正规化的双全纯函数， 因此 由于 于是 ( 乃) z j = 0 e p 形( 乃) 】- 1 f j ( z j ) e 一徊 凰( u ) 全u i h ：( u ) 磁( u ) 全 j = l z j = o b 措 咖，全k n = 1 1 ( 尝) 咖 乃( u ) 全兀( 半) ，托 t = 0 ：e 一徊 他汹 ，一上 l l 型小0 ( 一g 氘百抡 脚 m 以住触 河南火学硕士学位论文 可得 a 瓢| 拶i u ：o = 姒酬脚+ 域掣l = e 一够 薏o u 卜。 i | v 警l链：。一(e亨声e詈芦)；e三犀) 推论2 2 1设厂是单位圆盘d 上的p 型螺形函数，则 特；，( 掣) 恁，( 掣) 风锄) 7 是单位球b n 上的p 型螺形映照，其中岛 0 ，1 】且y ( z 1 ) 0 当z l d o ) 时，幂函数取分支使得 ( 掣) l 乩例，s ，n 1 3 河南大学硕士学位论文 证明：在定理2 2 1 中，取 a = c 入巧，= ( 兰) 力( 句) = z j ，j = 2 ，n 其中a t ( z = 1 ，2 ，n ) 是行向量，且a 1 = ( 1 ，0 ，o ) ，九= ( 岛，0 ，1 一 岛，o ) ，岛 0 ，1 】，i = 2 ，n ， 舭= ( m 1 ) f ，盥z 1 、i 屁 ( 掣) 风) 7 是单位球b 礼上的p 型 螺形映照 1 4 第三章单位多圆柱上双全纯映照的线性不变族 3 1 引言 刻划不变族豹一个重要的量是不变族的秩。在单复变数的情况首先由 p o m m e r e n k e 定义，并对之进行了研究在多复变数中首先相应的量进行研 究的是龚升和郑学安下面给出不变族秩的定义 定义3 1 1 设是一个不变族，定义 一s u u ps u 胁pm 尝d z e 叫l膨叫咖。伊l 赫( o ) ( ”) ji 为不变族的秩， 其中 孙”，= 睡魏训九拶， w = ( w l ，) ，( z ) = ( f l ( z ) ，厶( z ) ) 7 。 若qcc 竹为域，0 q ，( z ) ：q _ c n 为q 上的正规化全纯映照，则 ( z ) 在z 一0 处有t a y l o r 展开式 容易看出：由定义3 。l 。1 所定义的o c 是对f ( z ) 的t a y l o r 展开式的第二 次项系数取迹，故也可称o t 为线性不变族的迹阶 定义3 1 2 设莎是一个不变族，称莎是正规的，若对任意的序列 厶 嚣。- lc 莎，存在个在移n 土局部一致收敛的子序列。若莎是一个正 规不变族，我们称莎是紧的，如果序列 厶 黧lc 莎，盈厶在玩的紧子 集k 上致收敛于广，则一定有厂莎 关于线性不变族的极值映照有下面的讨论 在警复变函数论中，单位圆盘上的单叶解析涵数f ( z ) = z + a 2 2 2 鳓 的二次项系数和三次项系数之间有密切的关系，例如，l a 2 l 曼2 ，| a 3 ls3 ， 若i a 2 i 一2 ，l a 3 l = 3 进一步是当f ( z ) 为某一不变族的极值函数时，a 2 和a 3 之间有如下的关系式 | a 3 | 一言+ 吾| 8 2 | 2( 3 。圭) 1 5 河南大学硕士学位论文 一个很自然的问题是，这种关系式对c n 中的单位多圆柱上不变族的极 值映照是否还成立当然，多复变单位多圆柱上不变族的极值映照的三次项 系数和二次项系数分别是佗佗2 和礼xn 3 ，不可能有( 3 1 ) 那样的简单表达 式，但我们仍能得到类似于( 3 1 ) 的结果 为方便起见，在本节中设z = ( z 1 ，) 7 c n 为列向量，以t r m 表示 方阵m 的迹 定义3 1 3 设a = ( o 巧) ，b = ( b i j ) 分别是m 几和p q 矩阵，称 a b = a l l b 口m 1 b 0 1 n b a m 礼b 为a 和b 的直积axb 是一个m pxn q 矩阵 定义3 1 4 设莎是一个秩为o z |f _ ( ) ( ，) i i 二“石一f 新 ozsup。叭t孙ww60u，) l 2 j ：ri = luj i ，ji “l 二“石一i 1 6 河南大学硕士学位论文 3 2 本文的主要结果 关于不变族的秩有如下的一个刻划 定理3 2 1 设夕是一个不变族，q 是它的秩，则 0 12 s u ps u p s u p ，莎a e u “w e o u “( a + 篆糟删 慨2 ， 其中v = ( 岳，毫，去) 是复梯度算子 为证明定理3 2 1 ，我们需要以下这些引理 引理3 2 1 设f ( z ) 竭( 泸) 为正规化的，则 其中w c n 证明： o d e t j f ( z ) o z j 打( 荔c 叫= v ( d e t j f ( z ) ) 伽化：o( 3 3 ) 北，= 坌丘坌血 o z l o z j o z n a 乃 监丝 o z l ， a z n 监监 + + 由于以( o ) = ，得 o d e f j y ( z ) z ：。：oz i 。一” 坌厶 o z l o z j 1 7 + 监 o z l 坌丘 o z l o z j 坌区 o z l 丝 a 轨 监 a z n 曼丘 a z n o z j 丝 o z n 坌 o z n o z j 监 a 刎+ + 罴k 。 监舰丝c 菩i 堕旦 + o 一 ， ! l 瓦。扣器 2 一l 、 ， 旦付甜 河南大学硕士学位论文 于是( 3 3 ) 式得证 若圣口a u t7 ( u n ) ，则有 所以 矗。( z ) = 妣蜊= 垂粉 由( 1 1 ) 和( 3 5 ) 得到 帅心肛南) 糯群 引理3 2 2 设莎是u 付上的一个不变族，莎，则 打( 掣c ) = ( 2 酣焉搿圳) 对任意的w c n 成立 证：由引理3 2 1 ，得到 打( 警( 0 ) ( ) = v ( 砒岫水) ) 彬i 刎 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 。：鼢 河南大学硕士学位论文 利用( 1 。王) 可褥 v d e t j z 正。c f ( z ) l 善。o = ( v d e t j f ( 垂。( 名) ) ) d e t j 圣。( z ) ( d e t j f ( a ) ) 一1 ( d e t j 壬。( o ) ) 一1 i z 。o + ( v d e t j 蛋。( z ) d e t j f ( 0 8 z ) ”( d e t j f ( a ) ) ( d e t j 量。( o 扩1 | 岩蝴 = ( v d e t j ( o 。( 名) ) ) ( d e t j f ( a ) ) 。l 岩：o + ( v d e t j 由。( z ) ) ( d e t j 鸯。( o ) ) 。l 棚 = 泼辫矗。( o ) 所以 + ( 器z t 妻揣，惫鱼槲，互1-a-nz。蠡面郦)i 。- = 1 一l a d 2 - 1 z = o 粼如。( o ) 十( 2 酉，2 瓦，2 面) 粼矗。( 。) + 黥 打( 掣c 训) 一( 2 西+ 焉辫圳) 定理3 2 。1 的证瞬 由( 3 7 ) ，结合不变族秩的定义，可以导出 l 面十v 2 如d e 。t 如j $ ( ( 口a ) ) 。r 圣。( o ) 仞7i = 弦( 警( 。) ( ”) ) | 对任意的w a 泸成立于是我们有 另一方面， ，s u 莎ps u p 蜘s u 8 p a e u nu 。l + 丢端矗。e 。，】铅7 | 冬馥缈删( ，一f + 葫矗a ( 。) h 9 1 u 冀s u ps u p 限+ 粼矗。删捌， ，岁a e u n w 6 0 u “ll ”1 膨s u p 俐s u p u 。忡粼矗驯伽，| 口：。 2 缈s u p 锄s u p 移。阿( 象( o ) ( 蛳) ) | = o 1 9 河南大学硕士学位论文 这样就证明了定理3 2 ，1 。 以上可以看佟是对单链多匿控上的线性不变族购秩静一些刻画，下面雯| j 讨论线性不变族的单叶半径 设是一个紧的不变族，并且记 7 02 强汐) 2 磐 尹：她) 警。 t z l r r t2 r t ( 岁) 拶 r ：，( z ) 是单叶的 当例r ) 容荔验证：当莎是一个紧鹣不变族时，秘9 ，魄0 。于是我蠢】畜下匿 的定理 定理3 2 2 若莎是沪上酶个紧的不变族，则 证：设，c 莎，r 茎 取z o = 一圣磁阮，刘 l 西篇。( 钇) 1 2 圣岩，( 恐) 委斑( 施) 裟再2 v 刁- d r l ，l 魏l 曩| z 2 r ，趣恐。 z l l z 2 1z l n z 觚 1 一石施l z l l z 2 1 甜一一z 2 1 1 一面施l1 一z l l 瓦i 1 一碌溉 十+ 十 ，( 1 一| 恐l | 2 ) ( 熏一| 麓l | 2 ) 、 卜1 f 焉夏r 夕 1 z 2 1 z 1 1 2 2 1 一麓 嚣 z l n 施释 z l n z 2 竹z l n 一虿荔 1 一叠磊z 执1 一z l 怖乏磊 ( 3 8 ) p + ( 王一爿警) 黑他一 塑二二一悟笔曼学+ +剧产糕 河南大学硕士学位论文 0 l 翔l = l 圣孑。( 施) | l f 塑 l 【 i 恐1 1 2 ) ( 1 一l 铀1 2 ) | l 一丽名2 1 | 2卜+ 叫驾学 其中旎t ，免t 分别表示魂，勿的第暮个分量，i l ，2 ，体 由于。， 门( z ) 莎，且 焉。【州一z o ) = m 。) ( 一询) 一化t ) 】 丐1 ( z ，) 7 磋( o ) 7 = 扩( 恐) 一恐t ) 】【丐1 ( z t ) 7 赋( o ) 7 这样，由l z o l r o 及r o 的定义可知 因此，由( 3 9 ) 式可以得到 ；。旷】( 一z o ) 0 ，( z 1 ) f ( z 2 ) 进而，由假设r _ 将，i z l | r ，i 施l r 及r 1 的定义可知 v 靠十、霸一孙 r 1 狐十 新研 另一方面，若记毒= ( - i - v 恢： - | 。i ：1 2 ：魏，呼) 则z = ( 涪，惫) 其中0 吲 5 器强 | l 一 河南大学硕士学位论文 因此 。 ， ( ) 一： 州一荨) = 邢) 一熊) 一，( 圣( 一) ) + 玳) 】 丐1 ( 洲 层( o ) 7 ( 3 1 0 ) = 一m ) 丐1 ( 洲 瑶( o ) 7 其中西导( 一) = ( 洛，盟l + j s 。j 2 ) = z 由0 吲 r l 可知， ； 门( ) ； 州一专) 即 ； 门( ) 一。 门( 一专) 0 由( 3 1 0 ) 式，f ( z ) 0 而此时 0 i z i = i 西( 一) l = = 2 丽2 v 元r l 此即 r ，孺干丽r o、佗十、n r o 这就证明了定理( 3 2 2 ) 关于线性不变族的极值映照三次项系数和二次项系数有下面的定理 定理3 2 3 设莎是泸上的一个秩为q 的不变族，q 一，箍( o ) ( 阮) 惫 因为迹在相似交换下保持不变，故对任意给定的w 和惫，我们可选取， 满足u w e 七，其中e 鬼为n 阶单位方阵的第k 个列于是对k = 1 ，2 ，他 有 势 知e 叫= 瑚0 2 f j 夏 故不变旗莎的秩a 能表示成以下的等价形式 & = 陲魏| 为证明定理，需要以下引理 引理3 。2 。3 ( 3 。量2 ) ” l 7 7 = g 8 河南大学硕士学位论文 竹 设y ( z ) = d i j k z i z j z k = b z 3 1 ， i , j ，k = l ( d 易七，吃向) 7 ，d i j k = d a ( i j k ) ，z 【3 】= 名 其中b = 证明： 此即 其中b 竹是一个n n 3 矩阵，d 巧惫= z z 是向量的直积则 j i ( z ) = 3 ( b 1 z 2 j ，b 2 z 【2 】 ，b n z 2 1 ) ( 3 1 3 ) ( b 1 ，b 2 ，玩) ，易是一个nx 他2 矩阵( j = 1 ，2 ，n ) 由引理的条件很容易验证 丝 o z n j a z ) = 3 ( b 1 z 2 】，b 2 z 翻，鼠z 【2 】) 引理3 2 4 设矿是一个佗阶方阵，其元素均为z = ( z l ，) 7 的函数，g ( z ) h ( u n ) 则 吲垆吲卅( 筹出) j 一，砭o u 出) ) 证明：记u = ( ( 名) ) ，g = ( g t ，吼( z ) ) 7 ，则 u g = =u l i g i ， 、7 u 礼t 吼l ( 3 1 4 ) = 丝c 菩l 血 z 勺 批 畋 1 件肛 3 = 佗：in 汹 河南大学硕士学位论文 于是有 乃9z ) = 者( 丕位t 吼) ； 毒( 善钆以) 丢( 量吼) ； 毒( 蚤钆以) 耋( 鬻吼+ 鲁) 耋( 织吼+ 让，i 躲) 蚤( 鲁仇+ 馨) 耋( 玺吼+ 钆m 象) + = u 毛( z ) + ( 百o ，u g ( z ) ，o u 。g ( z ) ) 妻乱。謦 蕾= ：上 设垂叫( z ) = ( 踹，姒1 - - w n z n 、，则中叫a u t7 似n ) 若记如。( o ) = ( 砌) ，f ( z ，w ) = 码。 门( z ) ，则我们有；n t 的 引理3 2 5 设( z ) = z - i - a z 2 】+ b z 3 1 + 莎，记u = v ( w ) = ( ) = j s ( 叫) 矗。( 0 ) ，固定z ，视f ( z ，w ) 为w ，面的映照，则 ( a ) u i ：0 = - i ( b ) ( c ) t ，：o = 一2 a 由：0 = 0 c e ，乃c z ，伽，f 面：。= 一m 以c 一名，其中m = ( 2 证明： ( a ) 当w = 0 时，乃w ) = i ，如。( o ) = - i 所以，u i 叫：o = d s ( w ) a 圣。( o ) l 伽：o = 一， 2 5 a n f ( - z ) ) 一镌 纽c 菩 竹试 吼 u n 熊如 佗斟 吼 辫 n 汹 监 n ：l 盟舰 n 汹 吼 磬 竹：l 吼 馨 n 汹 触一(砉阳一衙 ，、， 、li， o o ；磊 河南大学硕士学位论文 ( b ) 因为 c砌，=上。c。，=(i叫1l量一1i叫2|三一1)；i叫n墨一1) 砌= ( i 叫i 1 2 一1 ) 如= ( w i 巧一1 ) 翰 进而有 由此即得 而由 可得 u = = 堑：翰瓯詹巧ow k 。叼。5 一j w = o = = 0 ( u 巧) = 乃( 叫) 矗。( o ) 睡差阳) 瓦o ul = ( o u t j ) l ：。= ( 一t 0 2 。f 。im , , , ，) 注意到当叫= 0 时，腑= 一，于是可以得到 ( 鼍，豢) l 。=、面瓦儿忙o 2 ( c ) 由于 o w k c 3 w 3 =一2 a w = o f ( w ) i l 伽：0 c砌，=矗。c。，=(1伽1|i一1 l叫2|三一1 ij；i伽n三一1 2 6 河南大学硕士学位论文 勉一( | 姚| 2 一1 ) 翰= ( 姚巧一1 ) 如 进焉有 黑：如瓠训。 慨w 1 一。 由此即碍 = o p # | ：0 溉| 蝣：o f ( w ) 和以( 伽) 均与仍无关， 所以 罴l = 如去矗一) 1 面= 0j r - 如一) 去出( 钾) l 。 = 聊) 去( 内) l 独。= 。 ( d ) 由于 u = j s ( 伽) 如。( o ) ，( 名，翘) = ( 乃( 锄) 矗。( o ) ) 一1 【，( 圣锱( 彳) ) 一，( 铆) 】 固定z ，视，( z ，w ) 为w 和菘的蘧数，并注意到 u f ( z ，铷) = ，( 西 ( z ) ) 一f ( w ) ( 3 1 5 ) 对上式两边分别对w 求导，可得 ( 筹，鼍) 化川m 北叫喇小驰) ( 3 。1 6 ) 当w = 0 时， f ( z ，w ) = - f ( - z ) 以( 圣删( z ) ) 一以( - - z ) 矗。z ，w ) 一i 以( 训) 一i 代入( 3 。1 6 ) 可 ! 寻 2 ( ( a i f ( - z ) ，a n f ( - z ) ) 一乃( z ，训) 】i 叫：o = 乃( 一名) 一i 因此 乃( z ，伽) l ：o 一一如( 一z ) + i 十2 ( a i f ( 一z ) ，a 竹厂( 一z ) ) 河南大学硕士学位论文 由于c e ，令m = 嘉中叫c z ，= ( 2 ：j ；羔 ( 器，器) i 拈。= 。、舸黼j 耙n 。 u i 丽：o = - i 圣叫( z ) i 面：o f ( w ) 是与面无关的函数，可得 对( 3 1 5 ) 式两边对面求导， o _ f ：( w 一) ：0 硒 = 一z ( 筹，罢) m m 驰圳喇) 丽0 喇 当面= 0 时得 定理3 2 3 的证明 设 f ( z ) = z + 乃( z ，伽) l 面：0 = 一m 乃( 一z ) d i j k z i z j z k + 夕 ( 3 1 7 ) 是能达到秩o l 的极值映照，故可设q = i 碰，i ，先假定q = 1 固定石， l 竹n i i = 1l t = 1 视f ( z ，w ) 为w 和面的函数， 由于 f ( z ，叫) i ：o = 一f ( - - z )以( z ，叫) l 面：o = 一乃( 一z ) m 以( z ，伽) i ：o = 一乃( - - z ) + 2 ( 2 a l f ( 一z ) ，a ，( 一名) ) +