（基础数学专业论文）基于小波的偏微分方程数值解.pdf

基于小波的偏微分方程数值解 窦艳妮 摘要f o u r i e r 分析已经成为几乎每个研究领域的科学工作者都乐于使用 的数学工具，小波分析则是f o u r m r 分析的发展和完善由于小波分析的发展是 以解决实际问题应用为出发点，而后上升到辐射多学科的理论，所以小波分析 次又一次形成研究热潮，成为国际研究热点 本文从讨论小波分析的基础理论和一些重要结论为人手点，利用微分算子的 紧支集小波表示讨论了小波分析在偏微分方程数值解中的应用，并选择d a u b e c h i e s 小波，用m a t l a b 语言对几个偏微分方程进行了数值求解，数值实验结果表明 该方法是有效的 全文共分四章： 第一章是绪论，综述了小波分析的产生、发展及其在偏微分方程数值求解中 的应用 第二章介绍了小波分析的基础理论包括小波变换的定义、性质，一维、二 维多尺度分析和小波基另外，对于无限长的小渡使用时只能用其截断函数，截 断必然带来误差，而一种新型小波一紧支集正交小波能避免截断，从而消除误 差这种小波的一个例子就是d a t t b e c h i e s 小波，它是有限长的，即只在有限区间 内取非零值本章对d a u b e c h i e s 小波也作了比较详细的介绍，为后面使用它奠定 了理论基础 第三章总结了微分算子的小波表示的相关结论在本文所列的微分方程的小 波解法中非常重要的一步就是对偏微分方程中的微分算子进行小波表示，从而进 行数值求解在用小波表示微分算子的过程中减少运算量是一个重要问题，针对 这一间题本文介绍了一种比较好的算子的小波表示一算子的非标准型算子t 的非标准型定义为算子集：t = 如，b j ，q b e z 其中 a j = q j t q j ；马= q j t 弓；q = p j t q j 只，q ，分别是尺度空间和小波空问上的投影算子 第四章研究了几个具体的偏微分方程：热传导方程、对流方程、以及一类非 线性方程蜥= c + a 0 ( ) 的d a u b e c h i e s 小泼解；对于相关算法给出了误差分析， 得到了数值实验结果结果表明小波基在偏微分方程数值求解中的应用是非常 有效的 关键词：多尺度分析小波基偏微分方程数值解算子的非标准型 o nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nw a v e l e t b u s e s d o hy a n n i a b s t r a c tf o u r i e ra n a l y s i sh a sb e c o m eam a t h e m a t i ct o o lf a v o r e db ym a n ys c i e n t i s t s i na l m o s te v e r yr e s e a r c hf i e l d s ，w h i l et i l ew a v e l e ta n a l y s i si st h ed e v e l o p m e n ta n dp e r f e c t i o n o ft h ef o u r i e ra n a l y s i s s i n c et h ed e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e ta n a l y s i si st h eb a s i st os o l v e s o m ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，a n dt h e n ，i td e v e l o p si n t oar a d i o a c t i v em u l t i - d i s c i p l i n e dt h e o r y , n o wi th a sb e c o m eah o tf i e l di nt h er e s e a r c hi n t c r n a t i o u a l l y b e g i n n i n gw i t hs o m eb a s i ct h e o r i e sa n di m p o r t a n tc o n c l u s i o n s t h ep a p e ru s e 8t h e c o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e tr e p r e s e n t a t i o no fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra n dd i s c u s s e sa p p l i c a t i o n so fw a v e l e ti nt h en u n l e r i c a is o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ys e l e c t i n g d a n b e c h i e sw a v e l e t sa n du s i n gm a t l a bl a n g u a g e ，t h ep a p e rc o n d u c t st h ep r o c e s so f f i n d i n gn u m e r i c a ls o l u t i o nt os e v e r np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eo u t c o m eo ft h e e x p e r i m e n ts h o w s i t i se f f e c t i v e t h ep a p e rc o n s i s t sf o u rc h a p t e r s ：t h ec h a p t e r li sa ni n t r o d u c t i o nw h i c hs u l n l n a - r i z e st h ee m e r g e n c e ，d e v e l o p m e n to fw a v e l e ta n a l y s i sa n dt h ea p p l i c a t i o ni nf i n d i n gt h e n u m e r i c a ls o l u t i o nt op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ec h a p t e r2p r e s e n t st h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e ta n a l y s i sw h i c hi n c l u d e st h ed e f - i n i t i a na n dp r o p e r t i e so fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，t h ed e f i n i t i o no fo n e - d i m e n s i o n a ia n d t w o - d i m e n s i o n nm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，t h et h e o r yo fw a v e l e tb a s i sa n dw ec a no n l yu s e c u t o f ff u n c t i o nw h e n a p p l y i n gt h e i n f i n i t ew a v e l e t h o w e v e r an e w t y p eo fw a v e l e t c a n a v o i dc u t o f f s ot h ee r r o r sc a r lb ee l i m i n u t e d o m ee x a m p l eo ft h i sw a v e l e ti sd a u b e c h i e s w a v e l e t s i ti s6 n i t ew a v e l e t st h a ti si tt a k e sn o z e r ov a l u eo n l yi nf i n i t ei n t e r v a l s w i t ha d e t a i l e di n t r o d u c t i o nt od a u b e c h i e sw a v e l e t s ，t h ec h a p t e rl a y st h e o r e t i c a lb a s i sf o ru s i n g i ti nt h ef o l l o w i n go n e s t h ec h a p t e r3s u m m a r i z e st h er e l e v a n tc o n c l u s i o n so fw a v e l e tr e p r e s e n t a t i o no fd i f - f e r e n t i no p e r a t o ra v e r yi m p o r t a n ts t e pi nt h es o l u t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb y n l e a n so fw a v e l e tl i s t e di np a p e ri st op r o j e c tt h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o rt ow a v e l e tb a s i s ，s oi t c a nf i n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n t or e d u c ec a l c u l a t i o nq u a l _ l t i t yi nt h ep r o c e s so fp r e s e n t i n gd i f f e r e n t i a lo p e r a t o rb yn s e a n so fw a v e l e ti sa ni m p o r t a n tq u e s t i o n t ot h i sp r o b l e m t h e p a p e rp r e s e n t sab e t t e rw a yo fw a v e l e tr e p r e s e n t a t i o no fo p e r a t o r n o n s t a n d a r df o r m o fa no p e r a t o r t h en o n s t a n d a r df o r i l lo fa no p e r a t o rtd e f i n e da sa ns e to fo p e r a t o r s i i t = ( a j ，马，q b z ，w h e r e a j = q j t q j ；b j = q ，t p ，；q = p j r q ， 弓，q j d x ep r o j e c t i v eo p e r a t o ro ns c a l es p a c ea n dw a v e l e ts p a c er e s p e c t i v e l y c h a p t e r4s t u d i e ss e v e r a ls p e c i f i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss o l v e db yd a u b e c h i c s w a v e l e ts u c ha sh e a t c o n d u c t i o ne q u a t i o n c o n v e c t i o ne q u a t i o na n dn o n l i n e a re q u a t i o no f t h ek i n du t = 如+ n f ( u ) t h e p a p e rp r o v i d e sa ne r r o ? a n a l y s i st or e l e v a n ta l g o r i t h m a n dg e tt h eo u t c o m eo ft h en u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，w h i c hs h o w sa p p l i c a t i o no fw a v e l e t b a s i si nt h es o l v i n gp r o c e s so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si s v e r ye f f e c t i v e k e y w o r d s ：m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sw a v e l e tb a s e st h en u m e r i c a l s o l u t i o no fp a r t i a ld i 髓r e l 2 t i a le q u a t i o nt h en 0 1 2 一s t a n d a r df o r mo p e r a t o r i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名日期： 第一章绪论 姐l 小波分析的产生与发展 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是傅里叶分析( f o u r i e r ) 发展史上的一个里程碑 由于小波及小波基函数所共有的被称为“数学显微镜“的良好时频局部化能力； 小波基叮以构成各种空间的无条件基以及小波展开截断误差很小等优越性质， 使其在信噪分离、编码解码、边缘检测、数据压缩、信号处理、图像处理、地震 勘探、话音识别与合成、c t 成像、彩色复印、机械故障诊断和监控、分形等科 技领域都有着广泛应用原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方现在都可以用 小波分析取代 1 1l 小波分析的思想来源 小波分析来源于信号分析 长期以来，在各种信号数据的处理方面，特别是在频谱分析和各种滤波方法 中，最基本的工具是傅里叶分析( f o u r i e r ) 对于信号，( ) ，它的一个重要特征就是 它的频率特性( 或谱) ，在数学上就是，( t ) 的傅里叶变换氕w ) ： r + 。 ，( ) = 7，( ) e - + t o t d t j 一 由傅里叶逆变换公式： y ( t ) = 寺 ，( ) e ”d w 知道由一个信号的谱可以完全确定这个信号所谓频谱分析、滤波等信号处理方 法，简单说来就是对氕”) 的分析、加工的种种技巧长期以来，这方面已发展 了一套内容非常丰富、在许多实际问题中行之有效的方法但是由于傅里叶变换 ，m ) 是将函数，( ) 按照函数系( e 。 。e 月的展开，而i e i = 1 ，所以冗w ) 只能刻 划，( t ) 在整个时间域( 一o o ，+ 。) 上的频谱特征，而不能反映出信号在时间的局部 域上的频率特征 为了研究信号在局部范围的频率特征，dg a b o r 在1 9 4 6 年引进了“窗e l ” ( w i n d o w ) 傅里叶变换的概念他的工作是取定一个函数9 ( t ) ，称为窗1 ：3 函数，它 在有限区间外恒等于o ( 即紧支集) ，或很快趋于0 用9 ( 亡一r ) 乘以，( ) ，相当于 在r 附近开了一个“窗口”，称为信号，( t ) 关于窗口函数9 ( t ) 的“窗口傅里叶变 换”( w i n d o w f o u r i e rt r a n s f o r m ) 或g a b o r 变换由定义可见g a b o r 变换确实能反 映出信号s ( t ) 在任意局部范围的频谱特性而且，由于有反演公式，这里的窗口 函数满足一定的标准化条件这是它比傅里叶变换的优越之处但是g a b o r 变换 窗口的形状与大小、频率无关，保持不变这不符合实际问题中变换窗口大小应 随频率而变的要求而且不论如何离散化均不可能使g a b o r 变换成为一组正交 基由于上述缺点，g a b o r 变换未能得到广泛应用与进一步发展 小波变换则继承和发展了g a b o r 变换的局部化思想，同时又克服了窗e l 大小 不随频率变化、缺乏离散正交基等缺点，是比较理想的对信号进行局部分析的数 学工具比如地震法探矿的时候关键一步就是看对收集来的信息是否有合适的 信号分析方法傅里叶分析在此不是一个好方法，它仅能提供频率信息( 组成信 号的正弦波) ，而并没有给出某个正弦波发生的时间另外一个方法一短时傅里 叶分析会还好一些然而由于用这一方法时时间间隔不可调，所以那些持续时间 非常短的、频率很高的脉冲信号的发生时刻难以监测到而此时用小波分析就好 多了小波可以跟踪时间和频率信息，它可以“近看”前面所提到的短时脉冲， 或者“远眺”以检测长时慢变波 1 12 小波分析的发展历程 1 9 0 9 年，h a r r 给出了第一个正交小波基 1 9 8 1 年s t r o m b e r g 对h a r r 系进行 了改进，证明了小波函数的存在性1 9 8 6 年，m a y e r 创造性地构造出了具有一 定衰减性的光滑函数咖，其二进制伸缩平移系： 奶，月= 2 - j 2 4 ( 2 一t k ) l j ，k z ) 构成l 2 ( 兄) 规范正交基由此，掀起了小波热潮续m a y e r 之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数1 9 8 7 年m a l l a t 巧妙地将计算机 视觉领域的多尺度分析的思想引入到小波分析、小波函数的构造、按小波变换的 分解及重构，从而成功地统一了在此之前的s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e m a r i e 和b a t t l e 提出的具体小波函数的构造他还研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算 法一现今称为m a l l a t 算法有效地应用于图像分解与重构与此同时，d a u b e c h i e s 运用多尺度分析构造了具有有限支集的正交小波，并且她的著作t e n l e c t u r e o i lw a v e l e t s 对小波的发展起到了重要作用；t c h a m i t c h i a n 构造了第一个双正 交小波基这样，小波分析的系统理论初步得到了建立1 9 8 8 年，a r n e o d o 及 g r 8 s s e a n 等人将小波变换运用到混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生成 现象19 0 0 年cke h u i 和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数1 9 9 0 年，b e y l k i n 、c o f m a n 等将小波变换应用于算子理论j a f f a r d 、l a n r e n c o t 等将 小波变换应用于偏微分方程数值解而w i c k e r h a n s e r 等将m a l l a t 算法进一步深化 得到了小波保算法1 9 9 2 年小波变换被运用于分形地貌制图预处理，并取得了 令人满意的结果1 9 9 4 年，c o o d m a n 等人基于多重多尺度分析建立了多小波的 基本理论框架，并给出了多小波的构造例子，这样就带来了多小波热潮正是各 位数学家和学者的不断努力，今天的小波理论又踏上了一个新台阶 2 1 ，2 小波分析在求偏微分方程数值解中的应用 有大量的物理现象可以归纳为一类偏微分方程的求解问题而常见的偏微分 方程求其精确解一般是不可能或精确解是相当复杂的，我们仅仅可以证明它的解 是存在的因此，利用数值方法求解偏微分方程是具有非常重要的理论意义和实 用价值的也已经有很多传统的方法求偏微分方程的数值解，如有限差分法、谱 方法等而且对于一般的偏微分方程这些方法已经取得了很大的成功但是，在 很多物理现象中，比如地震探测问题中当地下出现了不同介质时，相应的偏微分 方程的解出现了奇异性，这时，这些方法再也不能很清晰地看清地下介质跳跃点 处的奇异性而在这种情况下小波的“数学显微镜”的功能可以发挥作用了小波 去求解这类方程就非常有效因为对于微分算子而言，其小波表示在应用中有可 以利用的优先条件：小波在时间和频率的局部性，以及一大类c a l d e r o n z y g m u n d 和微分算子在小波基上的稀疏表示用小波变换去解微分方程本质上是一种投 影的方法，目的是用最少的展开系数去描述解 小波分析中提出的思想方法与传统的不同，它使我们有机会重新看待长期以 来以数学、物理学为基础的自然科学中的某些问题从数学的角度讲小波分析的 发展对函数逼近和调和分析产生了最为直接的影响也为求偏微分方程数值解 注入了新的活力在对这一课题的研究过程中b e y l k i n c o i f m a nr o k h l i n 的论文为 用小波方法与边界元方法求解偏微分方程提供了标准虽然这种解法仍需要积 分算子离散化的快速求积公式，但实践证明小波分析方法还是优于多极方法 椭圆形偏微分方程现有方法总体上与小波分析方法等价，但对某些简单问题的 求解，多网络方法远远优于小波方法我们希望能把小波方法与其他方法结合起 来，取长补短，效果更佳 1 3 本文的主要研究工作 本文运用微分算子的小波表示讨论了一些偏微分方程的数值解问题本文的 主要工作有： 1 、在有截断的多尺度分析中，基于一般线性算子的非标准型介绍了微分算 子的小波表示 2 、利用微分算子的紧支集小波表示给出了所讨论方程的求解格式，讨论了 对流方程、热传导方程的d a u b e c h i e s 小波解以及一类非线性方程的小波解法 3 、对相应的算法进行了误差分析 3 第二章多尺度分析和小波基 本章将介绍有关的基础知识和本文中常用的一些符号 2 l 预备知识 2 1 1 连续小波变换及其性质 定义21设，( ) ，妒( t ) 是平方可积函数，且6 ( t ) 的傅里叶变换皿( u ，) 满足条 件： ，盥巡d 。 0 是，( t ) 的连续小波变换记为： m ( 啪) = 了l rf ( t ) 可( 学) d r 称妒( ) 为小波函数或小波母函数称a 为尺度因子，b 为平移因子 注：( 1 ) 从上述定义可以看出，小波变换也是一种积分变换，是将一个时 间函数变换到时间一尺度相平面上，使我们能够提取函数的某些特征而。，b 是 连续参数，故称为连续小波变换 ( 2 ) 连续小波变换的定义也可以表示为 w i ( a ，b ) = 其中 ( f ) = 去妒( 等) 从这种写法可以看出，小波变换仉0 ( n ，b ) 表示，( t ) 与妒。6 ( ) 的“相似”程度当n 增大时( a 1 ) ，表示用伸展了的妒( t ) 波形去观察整个，( ) ，当a 减小时( o n 1 ) ，则以压缩了的妒( ) 波形去衡量，( t ) 的局部所以，随着尺度因子的从大到小 0 a + c o ，( t ) 的小波变换可以反映，( t ) 从概貌到细节的全部信息从这个意义 上讲，小波变换是一架“变焦镜头”，它既是“望远镜”又是“显微镜”，而n 就 是“变焦旋钮” ( 3 ) 与其它积分变换一样，小波变换只有在其逆变换存在的条件下才有实 际意义，由下面将要介绍到的反演公式可知，要想使小波变换有意义，小波函数 需满足0 吼 + o o ， 吼：”世监咖， 即 。广。世业如 0 是常数，咖k ( t ) = n i5 讪( 。一t 一) ，j ，k z ， 则称 o o ，k ) = ，( t ) 咖 u ，o o k ( t ) d t 为f ( t ) 的离散小波变换 另外，函数空间的框架是函数空间“基”的一个推广概念若这种“基”还 是由小波函数构成，则它就称为小波框架所以，结合一般框架的定义有以下小 波框架的定义 5 定义2 3 设钆，6 ( ) 是基本小波函数，奶，k ( ) = n i 咖( 。i t 一) ，j ，z 若对 于任何f ( t ) l 2 ( r ) 有 a i l ：f 1 2 1 1 2 b i i f l l 2 ，0 a b o 则称 刚鼬) = ；上巾) 中( 孚) 出 为，( t ) 的小波变换，也称卷积型小波变换它有和连续小波变换类似的性质 定义2 5 设，( t ) ，g ( t ) 工2 ( r ) ，称 町( 2 j ，6 ) ，嘞啪= 刍上坤) 妒( 可b - t ) 出 ( 2 3 ) 为，( t ) 的二进小波变换 当然，我们希望，( ) 的二进小波变换町( 掣，6 ) 能重构，( ) ，为此，应该对妒 有某些限制 定义2 6 若存在常数0 a b + 使 a i 妒( 2 。1 “) | 2 b( 2 4 ) ，z 6 则称上述( 2 - 3 ) 定义的小波变换为稳定的 ( 2 4 ) 称为稳定性条件若a ：b ，则 称为最稳定条件 以下将看到( 2 4 ) 是保证由二进小波变换w a 2 j ，6 ) 可以重构，( t ) 的条件，而 满足( 2 - 4 ) 的函数母( ) 是容许小波 定理22 若妒( t ) l 2 ( r ) 满足式( 2 4 ) ，则二进小变换w i ( 2 j ，6 ) = f + 妒2 j , b 0 ) 满足 a ll fl 1 2 i i w ，- ( ：z s , 6 ) 1 1 2 b i i f l l 2 ，坤) l 2 ( r ) j z 定理2 3 若廿( t ) l 2 ( r ) 满足式( 2 4 ) ，则妒必满足 4 f n 2 广。i 妒( w ) 1 2 d b l n 2 j 0 1 0 a 1 。2 ，+ 0 。i 竺( 二! 1 2 罡出。 b i n 2 j 0 w 而且当( 2 - 4 ) 中a = b 时有口。唑磐m = a l n 2 22 一维多尺度分析和小波基 2 2 l 正交小波变换 定义2 7 设妒( t ) l 2 ( r ) 是一个可容许小波，若其二进伸缩平移系 奶，( t ) = 2 一 妒( 2 一j t 一) ，k z 构成工2 ( r ) 的标准正交基，则称妒( t ) 为正交小波，也称也， ( t ) 是正交小波函数， 称相应的离散小波变换盼0 ，t ) = 为正交小波变换 例1 这是一个正交小波的简单例子，它就是a h a a r 在本世纪初提出的h 。a r 系取小波母函数 ( t ) 为 i 1 0 t ； ( ) = 一1 t 1 1 0 其它 其频域表达式为 日( 。) ：生堡三坐：竺 它的二进伸缩平移系 b ，k ( t ) = 2 - n ( 2 一t k ) ，j ，z 7 容易验证 ，k ( t ) ) ，k z 构成了l 2 ( r ) 的一个标准正交基，此时，由h j ，k ( t ) 对应的 离散小波变换w 0 ( j ，) 既包含了，( c ) 的所有信息又无冗余：w j ( j ，) 不能用其余 矸，( m ，n ) ，( m ，r 。) d ，) 表出而此时的重构公式，( ) = w f ( j ，) m ( t ) 中的系数 ) ，k 是唯一确定的 2 22 一维多尺度分析( 1 - d m r a ) 及其相关定理 定义2 8 称满足下述条件的l 2 ( r ) 中的一列闭子空间 嵋) j 。z 及一个函数 妒( t ) 为一个正交多尺度分析，记为( ( v j j 。z ，妒( t ) ) 1 ) k 。，j z ， 2 ) ( t ) 巧哥y ( 2 t ) k l ，v j z 3 1 ，巳k2 n ，匕巧= 口( 兄) 4 ) 妒( t ) ，且如( t 一女) ) z 是k 的标准正交基，称妒( ) 是此多尺度 分析的尺度函数或父函数 注： 1 定义2 8 虽然是1 - d m r a ，但却适合2 - d m r a 、3 - d m r a 等情形 2 定义2 8 所定义的m r a 与人类视觉有着惊人的相似 3 m r a 是sm a l a t 在1 9 8 8 年提出的，它是构造小波基的方法的抽象与 推广且由性质( 2 ) 、( 4 ) 可知，对于任何，( t ) 有，( 击) 巧，容易验证， 函数系( 2 - 妒( 2 一j t 一) ) e z 构成了k 的一组标准正交基 定理2 4 设i ( t ) l 2 ( r ) ，令妒o = 妒( t 一) ，则 妒o ，( ) z 是标准正交系 骨l 壬( 脚+ 2 k 订) 1 2 三1 z 其中圣( w ) 是妒( t ) 的傅立叶变换 定理2 5 设 v k k z 和尺度函数妒( t ) 构成l 2 ( r ) 的一个多尺度分析，则有 h ) z 使击妒( ；) = 妒( ) 称为双尺度方程h k 为滤波器系数 定理26 设“是一个以妒( t ) 为尺度函数的多尺度分析的滤波器系数，h ( ”) 是它的频域形式则 ( 1 ) i h ( w ) 1 2 + 1 日( + 7 r ) 1 2 = 1 8 掣 0 + p 啪 一 g o 掣 誉舵 n寸。 ，lj，、l 1 1 有知易 ( 2 ) 若h 满足 十。 且圣) 连续，垂( o ) 0 ，则h ( 0 ) = 1 定理27设f ”k k z 和尺度函数妒( f ) 构成l 2 ( r ) 的一个多尺度分析， w 么) k z 是由它所确定的小波空间，若咖( t ) w 吨则有 虬h e z 使得 丧妒( ；) = 卿( t 叫 定理28 设妒( ) l 2 ( _ r ) ，且满足 h ( 州) g ( 叫) + h ( w + 霄) g ( 叫+ 订) = 0 i g ( ) 1 2 + l g ( 叫+ 丌) 1 2 = l 则妒( t ) 的伸缩平移系 n ( t ) = 2 - 妒( 2 3 t k ) 构成l 2 ( r ) 的标准正交基 2 2 3 函数的分解和重构 由上一节所述内容知，由一个给定的多尺度分析( ( v a j z ，妒( t ) ) 可以确定一 个小波函数妒( t ) 和相应的小波空间 y 6 ) j z ，且l 2 ( r ) = ow j ，因此对任何 j z ，( ) l 2 ( 月) 有 球) = d j ，k 奶，k ( t ) ( 2 5 ) j ，k e g 其中由，k = ，j ，z 由离散小波变换的定义知 d ，k ) ，k z 就是，( t ) 的离散小波变换由于此时 奶，k 。k e z 构成上2 ( r ) 的正交基故 d j ，t ) ，m z 是，( t ) 的正交小波变换( 2 - 5 ) 就是f ( t ) 的正交小波分解 我们再假设f ( t ) g o ( 将有最精细的细节的函数空间记为) ，由于 所以 即 v o = 巧手纾j 一巧手w 2 十w 1 9 ( 2 6 ) b砷 d 嘟 。 f 竹 k吼 鼢 j j ， 其中 c i k = ，z d 。= ， z ( 2 - 6 ) 式中f j ( ) 是f ( t ) 在尺度j 下的一种逼近j 越大逼近程度越差g i ( t ) 是 ，( t ) 的频率在2 一到2 1 + 1 之间的细节成分 对于 c j ，k b ，k z 与 吗，k b ，k z 的计算，m a l l a t 有一套快速算法，参见( 1 】 另外，在实际中，一个函数往往只有数值形式 ) 。z ，当没有其它信息时， 这个序列就是，( t ) 的最精细的数值逼近可以认为 k ；z 是，( f ) 在某尺度u 中 的投影由( 2 - 6 ) ，不妨设这个尺度空间为，则 ，0 ( t ) = c 0 ，妒o ，k ( o = c o ，妣一 k6z崩ez 由于当采样间隔充分小时，妒( t 一) 类似与6 ( t k ) 的表现，所以在尺度为0 时 可取 c ok = ，( ) ，z 于是，( t ) 在巧中的表达式即在尺度j 下的逼近形式为 删5 三铋哪( t ) 2 薹2 一妒古一( t ) ( 2 7 ) 女zt z 一 由上式得 】 i j ( 2 ：k ) = 2 - c j ，k ，z 这就是，( t ) 在尺度j 下的逼近的数值形式，其中c jk 由 c j + 1 = 勺，。k 一2 k ，k z n z 确定另有 g j ( 2 j 一1 n ) = ( 2 ，一1 7 2 ) 吗，9 n 一2 k ， n z k 6 z 是 l ( 2 j k ) k e z 相对于 乃一z ( 2 j 1 ) ) k z 的细节的数值形式，其中由，k 由下式确定 c j ，订k ，k z n z 23 二维多尺度分析和小波基 1 0 在许多实际问题中，我们经常会遇到多元函数，因此只有一维小波基是不够 的构造多维小波基的简单有效的方法是张量基的方法另一种更一般的方法是 把多尺度分析的概念扩展到多维本节将用张量基的方法以二维的情况为例来 说明构造多维小波基的方法更高维的情况原理是完全类似的，只是具体表达式 和计算要繁琐的多 设l 2 ( r ) 中已给定一多尺度分析 o ) c c c cv - ic c 工2 ( r )( 2 8 ) 定义空间v j , j z 为 v j = 巧。吁= f 扣，f ) f ，( 。，y ) = ，( 嚣) g ( y ) ，f ，g 巧， 很显然v j 形成了l 2 ( r 2 ) 上一个“可分离”的多尺度分析也就是说我们获得了 口( 舻) 的线性子空间序列 o c c v 2c v l c v oc v 一1c - cl 2 ( r 2 ) ( 2 9 ) 并且这一序列满足 ( 1 ) nv 3 = o ，可v = l 2 ( r 2 ) j z j e z ( 2 ) ，( 。，y ) v j 甘f ( 2 x ，2 y ) v j i ( 3 ) f ( x ，y ) v j 静f ( x 一2 j 七i ，妒2 一也) v j ，v 南1 ，也z l 2 ( r 2 ) 上多尺度分析的尺度函数是 壬( z ，) = 毋( 卫) 妒( 可) 其中( z ) 是关于( 2 - 8 ) 的多尺度函数因此对任给的j z ，集合 九女：2 毋p m 一 ) ，z ) 是u 的一组正规正交基由此可得： 垂t 。，k 2 ( z ，v ) = 2 咖( 2 茹一南1 ) ( 2 可一七2 ) ，七1 ，惫2 z 是的一组正规正交基对于任给的z ，记在v j 一1 中的正交补为w ， 则有如下定义的小波空间w ， = ( o ) o ( 巧 ) o ( o 巧)( 2 一i 0 ) 其中w 0 是( 2 - 8 ) 的小波空间基于( 2 1 0 ) 需要用三个基波来定义v l 在v o 中的 正交补也就是 皿“= 如) 妒白) ， 皿”= 妒 ) ) ，皿“= 妒( ) 0 ) 其中上标h ，u ，d 分别表示“水平的垂直的对角的”相应的w ，的正规正 交基是函数集 壬：? 也 ，v ) ，壬：曼乜p ，可) ，壬鬈b ( z ，可) ，k l ，碗z ) 其中 皿：! 。扛，”) = 掣皿“( 2 j x k l ，2 j y k 2 ) = 2 j 曲( 2 。一七1 ) 妒( 掣可 平等虹扣，) ；2 j m ”( 2 。x h ，2 j y k 2 ) = 2 j 妒( 2 7 z 一1 ) ( 2 y 屯鬈b ( z ，) = 2 霍4 ( 2 - 。x 一l ，2 9 y 一2 ) = 2 7 垂( 2 z 一1 ) ( 掣9 驴( 舻) 的可分离的正规正交小波基是 田：? b 0 ，掣) ，虫；量女：( z ，可) ，皿! i k 。( z ，v ) ，k t ，k 2 z ) 南2 ) 七2 ) 七2 1 如果初始的一维尺度函数p ( 。) 和小波函数讪( z ) 在【0 , l 一1 】上具有紧支集，那 么很明显垂( x 1 y ) 和m 1 ( x ，y ) ( a = h ，”，d ) 在 0 ，l 一1 】2 上具有紧支集以下应用中 我们更多的是考虑紧支集小波 在紧支集下，由于( z ) 和咖( z ) 满足双尺度方程 ( z ) = 以“曲( 2 z 女) l1 妒( ) = 瓶g k 妒( 2 x 一女) 其中l = 2 m ，m 是妒( ) 的消失矩，所以二维可分离的尺度函数和小波函数满足 壬2 ，向扣，) = 2 h k ，h k 。垂( 2 z k a ，2 y k 2 ) h = 0k 2 = 0 l l 一l 皿“( z ，口) = 2 h k ，g k ：垂“( 2 z k l ，2 y 一 2 ) 皿”( o ，v ) 且对v j ，k l ，k 2 z ， = h ，u ，d 有 1 2 c 葛 一 鳜 “时“ 2 o雪 bg g 啪 2 i | p o d 平 茹 啦+姥l +n m 垂 珥 l | h 一 m ； y o b ，k 垂 v 乜啦 m姥 + 眦 l | g = h m n = z k j h k 皿 其中皿，j = h i h j ，哦j = h i g j ，g 如= g i h j ，g i ，= g i g j 接下来看函数，( z ，y ) 在多尺度分析空间中的近似表示如前面所提到的那 样函数，( z ，y ) 三2 ( r 2 ) 的近似表示是函数在v j 中的投影 对于函数，( z ，y ) l 2 ( r 2 ) 在v j 上的近似表示是它在v j 上的正交投影： ( 弓，) ( z ，) = s “：圣t l , k 2 ( z ，p ) k 1 、 2 其中“均值”s t 。胁由下式给出 r 十0 0，+ o o s ；。如j = 上。0 上删，扣，) 圣 1 , k 2 p ，y ) d x d y 由于w j 是由三个正交子空间组成 w j = 哪o w 。叼 并且 w ；= y j 。吧，w ；= w j 。y j ，w ；= w j 。 所以w j 上的正交投影铴是每一个w ，w j ，w 上的正交投影的和 曰，= o + q ；+ q ； ，( $ ，y ) 在w j 上的正交投影可以写作 ( 曰j ，) = ( 谚，) 扛，) 十( q ；，) ( z ，9 ) + ( 四，) 知，) = d ：& 。皿：! 缸陋，y ) 十v , 。j ，平；? 。扣，p ) + d 智月。皿督k 。扛，g ) k 1 ，k 2k 1 ，虹t l ，k 2 其中系数d 。, h d 乜，d ：i 纠j b 分别是垂直、水平和对