（基础数学专业论文）关于udo+simon猜测的注记.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了关于u d os i m o n 猜测中k = 4 的情形，获得以下主要结 果：设沙：s 2 - - 9s 万为线性满的极小浸入，若g a u s s 曲率k 满足 1 l o k 1 6 且不是常数，则n = 6 ，且y 的准线至少有2 个不同的分 歧点同时给出它的一个推论，如果1 7 k 1 6 ，则k 是常数1 6 全文共分三个部分，第一节引言中介绍本文所研究问题的历史背景， 及本文所用主要方法和所得的主要结果：第二节利用调和序列方法研究了 极小浸入沙：s zjs 一，给出了一些基本公式和引理；第三节首先用种新的 方法证明了k = 2 和3 的情形，然后给出u d os i m o n 猜测中k = 4 的情形时 一些主要结果 关键词：极小浸入；调和映射；高斯曲率；分歧指标 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw er e s e a r c hu d os i m o nc o n j e c t u r ei nt h ec a s ek = 4 w eo b t a i n t h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ：l e tl | c ，：s 2 专s “b eal i n e a r l ym um i n i m a li m m e r s i o n w i t h 砌u c e dg a u s s i a nc u r v a t u r e i f ki sn o tc o n s t a n ta n d1 10 k 0 为实值函数( 见 1 7 ) 易见ia ，2 是s 2 上整体定义的函数设s 2 的结 构方程为 f d c o = i p 八国，i d p = 一等c o a 历( 2 3 ) 引理2 2 【1 8 】( 1 ) 设( m ，d s 2 ) 是一个黎曼曲面u 是m 的一个连通的开子集，厂 ( f 0 ) 是个定义在u 上的函数在u _ h d s 2 = 国历，如果在u 上存在实1 一形式口使得( a f + f o ) a 国= 0 ，则i 厂i 在u 上是绝对值型，并且 l a i n l 厂1 2c o 八历= 一i d o 4 。 ( 2 ) 如果f 0 是在完备的黎曼曲面( m ，幽2 ) 上的绝对值型函数，则 一1 l 言龇厂木1 一厂( 厂) 万 3 一 第2 节基本公式 二二二一一一 。 其中半1 = 三国八历面积元素，( 厂) 是厂的零点的个数 外微分( 2 1 ) 可得 ji d p j = ( i 旯，i j - 2 一 , il 2 ) 国八历， k 八国= ( 朗一乃一p ) 他 q 4 其中我们约定九= 如州+ l = 0 根据引理2 2 ，说明上式lt1 2 是绝对值型的 用( ，) 表示c 2 m + 1 的标准对称数积： ( ( 以1 一，以：肌+ 。) ，( 6 l ，6 2 州+ ) ) = 摹口，包 对“c 2 m + 1 ，i “1 2 = 瓴，万) 对，z = 1 ，2 ，2 m + l ，定义向量空间人n c 2 肌+ - ： c 撕c m l 亏c 2 = 1 归( ，油 ( a a u n ，v l 八八k ) = d e t ( ( ，_ ) ) = ：，( 一i ) 矗( 班。八五，八l t n v i 八八一。( u j 屹) = ：= ：( - 1 ) 一( “。人八z j c 。一。，1 j c | ，a ，乞。) ( “，j ，) ；k q 了u f ，匕c 2 麒州，l i ，j n ， 引理2 3 1 1 7 】竣厂是一个c ”一值全纯多项式且d ( 厂) o ，i 如| 2 = i 丸l z = 喜 从而l n ( j 丑2 ) c ( s 2 ) 由( 2 1 2 ) 可得 龇( 1 丑2 ) = 素历1 i l ( 1a2 ) = 2 ( - - 4 1a a1 2 + 21a = 1 2 + k ) = 2 ( 3 k 一1 ) o ( 3 1 ) 由( 2 1 2 ) 可得：k _ 1 1 - ，再由1 6 k 0 ，可选 取互的局部单位截面q 使得 鸩= 浮砷鹏一击吩 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 再由( 2 2 ) 有识= 匾，可取巳= 虿，从而以= 一如，p 5 = 一p 1 任取互。的局部单位截面设 蛾= i p o e o + & c o e l ， ( 3 6 ) 8 第3 节主要结果和定理证明 则有 叱历州届q 一半吩 ( 3 - 7 ) 由如= 嵋，可取气= 磊，从而九= 一 ，, 0 6 = - p o 如上选取的平凡丛堡7 的局部标架 e o ，q ，e 6 ) 满足迷向性条件 ( 巳，e k ) = o ，+ 尼6 ( 3 8 ) 因而对鱼7 的任何局部标架 磊，e 1 g 9 瓦) ，只要弓是乌的局部截面 ( = 0 , 1 ，6 ) ，就有迷向性条件( 3 8 ) 成立 由( 2 1 2 ) 得 a l n ( i , 1 2 ) = 2 ( - 4l 丑1 2 + 21 如1 2 + k ) = 2 ( 1 41 & 1 2 ) ， ( 3 9 ) a l n ( i 如1 2 ) = 2 ( 212 11 2 4l 如1 2 + 212 31 2 + k ) = 2 ( 2f 丑1 2 + 3 k 一1 ) ( 3 1 0 ) 因此有 a l n ( ia1 2 1 五1 4 ) = 2 ( 6 k 一1 ) o ( 3 1 1 ) 如果= o 即i 丑i 2 无零点，贝i j l n ( i 丑1 2 i 五1 4 ) ec ( s 2 ) ，k 是常数l 6 1 5 】 以下假定 0 由于如五= 4 1 一k 2 0 ，故，i = 吃= 0 从( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 得 以= 6 + ，瓦a = 1 2 + 厂 其中r - r o 如果厂= 8 ，则a ( 2 r c ) = 2 0 根据( 2 1 9 ) ，k = 1 1 0 ，从而m = 4 故有 1 厂7 ，7 d o 1 3 ( 3 1 3 ) 利用迷向性条件( 3 8 ) ，我们先证明f 面的引理 引理3 1 设f = f ( z ) 是任意一个c 7 值全纯多项式，使得在c 上 = 万of ，则当i + 歹5 时，有 ( a f ，a j f ) = 0 ，i + 5 ( 3 1 4 ) 证明选取s 2 的复坐标，使得不是的分歧点设z l ，乙( 可能有相同 的) 是的所有分歧点取厶的定义在c 上的单位截面 e o = 1f l 。1 厂= ( ，佗f ( 3 1 5 ) 则 9 第3 节主要结果和定理的证明 f 风= ( 蛾，瓦) = 一d l nlf l + c 3 1 n ( if 2 ) 出= o l n lfld z a l l ll 厂l 应 由于矽= 0 ，有 l e o i p o e o = 一( d l nifi + i p o ) e o + lfl a f d z - if l 。1 o f o l n ( if1 2 ) 厂 出 = i 厂r 3 ( 厂，7 ) 矽一( 可，7 ) 厂 出 ( 3 1 6 ) 根据上述对称数积的定义有 i ( 厂，i ) o s 一( 可，7 ) 厂1 2 = l 厂1 2 ( 厂，7 ) ( 可，可) 一( 可，7 ) ( 厂，可) = if 1 2 if 人o f1 2 因此在u = c z l ，z ， 上，厂人秒无零点，f ，矽线性无关令 蜀= 旆 r 2 ，则2 s + 5 厂+ 6 由引理3 2 得到( ，厂0 ) ) = 0 这与仍：s 2 专c p 6 是线性满的矛盾 由此上述引理3 2 和推论可得下面的定理及其推论 定理1 设沙：s 2 - - - s ”为线性满的极小浸入，g a u s s 曲率满足 1 1 0 k 1 6 如果k 不是常数，则n = 6 ，且准线至少有2 个不同的分 歧点，从而的分歧指标r 2 ，映射度d o 8 从而少的诱导面积a 2 8 j r 证明由上述显然知n - - 6 ，假设准线只有一个分歧点，根据引理3 2 的推 论，有它的重数s = 1 ，2 或3 ，再根据引理3 2 得到( v o ，厂0 ) ) - - 0 这与 ( p o ：s 2 - - - c p 6 是线性满的矛盾所以假设不成立即准线至少有2 个不同 的分歧点，从而从而的分歧指标，2 再由( 3 1 2 ) 式得：d o 8 ，a 2 8 万 推论设沙：s 2 专s 行为极小浸入如果1 7 k 1 6 ，则k 是常数1 6 彳 证明如果l 7 k 1 6 时，由( 2 1 9 ) 式有，12 - 1 4 ，即 么万 2 4 x 彳 s 6 为线性满的极小浸入，g a u s s 曲率满足 1 3 第3 节主要结果和定理的证明 1 1 0 k 1 6 如果准线恰有2 个不同的分歧点，则它们的重数相同，从 而分歧指标厂为2 ，4 或6 定理3 设沙：s 2 专s 6 为线性满的极小浸入，g a u s s 曲率满足 1 1 0 k 1 6 如果准线恰有2 个不同的分歧点，则可选取s 2 的复坐标使 得o ，为的分歧点此时，对任何c7 一值全纯多项式f = 厂( z ) 使得在c 上 ，+ = 石。歹，伺 f ( z ) = + z 5 + 1 m + + z 2 5 + 5 + z 2 5 “， ( 3 3 0 ) 其中s = r 2 ( = 1 ，2 或3 ) 是分歧点的重数，v o ，v 6 c7 线性无关，满足 c 础= o ，口+ 6 ， ( 3 3 1 ) 2 ( s + 3 ) 2 c 3 3 = 一( s + 3 ) 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 5 ) = 1 2 ( s + 1 ) ( s + 5 ) c 1 5 = 一3 ( s + 2 ) ( s + 4 ) c 2 4 0 ( 3 3 2 ) 其中c a p = ( 屹，坳) ，口，卢= o ，1 ，6 证明选取s 2 的复坐标使得0 ，为仇的分歧点由引理2 4 ，可设 f ( z ) = q ( z ) v o + z s + l v l + + z 2 s + 5 k + 5 + z 2 s + 6 屹+ 6 ( 3 3 3 ) 在s 2 o = ( cu o 。) ) o 上，取复坐标w - - 1 z 令 g ( w ) = w 2 f ( 1 川= 矿+ o q l ( w ) v o 十矿+ 5 v 1 + + + + k + 6 ， 其中q l ( w ) = w 5 q ( 1 1 w ) 是全纯多项式于是在s 2 o ) 上= 万og ，且w = 0 是m s 重分歧点由引理2 4 ， g ( ”= 旷+ 0 q l ( w ) v o 十+ 5 m + ：+ w s + 1v 5 + q 2 ( 匕+ 6 ( 3 3 4 ) 将上式中的u + 6 重记为v 6 ，则( 3 3 0 ) 可改写为 f ( z ) = q ( z ) v o + z 什1 h + + z 5 + s v 5 + p ( z ) 吃， ( 3 3 5 ) 其中 口( z ) = 1 + 6 l z + + 眈z 5 ，p ( z ) = z s + 6 ( 口l + a 2 z 十十2 s ) ( 3 3 6 ) 将引理 3 2 的( 3 2 4 ) 应用于( 3 3 4 ) 和( 3 3 5 ) ，可得( 3 3 1 ) 于 ( 厂( z ) ，厂o ) ) = 2 ( ，v o ) p ( z ) g ( z ) + z 2 s + 6 ( 2 ( _ ，v s ) + 2 ( v 2 ，屹) + ( b ，吃) ) = o 因为y ( 从而) 是线性满的，( ( z ) ，) = q ( z ) ( v o ，v 6 ) 0 ，上式说明z 2 s + 6 整 除p ( z ) g ( z ) 但g ( o ) = 1 ，故z 2 n 6 整除p ( z ) i n 蛐( 3 3 6 ) 得p ( z ) = z 2 件6 ， 从而g ( z ) = 1 ，( 3 3 0 ) 成立利用引理3 1 可算得( 3 3 2 ) 1 4 参考文献 参考文献 【1 t a k a h a s h i t ，m i n i m a li m m e r s i o n so f r i e m a n n i a nm a n i f o l d s j m a t h s o e j a p a n ，1 9 6 6 ，1 8 ： 3 8 0 3 8 【2 c a l a b i e ，m i n i m a li m m e r s i o n so fs u r f a c e si ne u c l i d e a ns p h e r e s 【j 】d i f f g e o m ，1 9 6 7 ，1 ：111 1 2 5 3 】k e n m o t s u ko nm i n i m a li m m e r s i o n so fr 2i n t o s 3 【j 】m a t h s o e j a p a n ，1 9 7 6 ，2 8 ：1 8 2 1 9 1 【4 b r y a n t r l m i n i m a l s u r f a c e so fc o n s t a n tc u r v a t u r ei n s ”【j 】，t r a n s a m e r m a t h s o e ， 1 9 8 5 。2 9 0 ：2 5 9 2 7 1 5 l a w s o n h b l o c a lr i g i d i t yt h e o r e m sf o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s j 】，a n n m a t h , 1 9 6 7 ，8 9 ( 2 ) ： 1 8 7 1 9 7 【6 s i m o n u ，e i g e n v a l u e so f t h el a p l a c i a na n dm i n i m a li m m e r s i o n si n t os p h e r e s j i n ：l a c o r d e r o ( e d ) ，d i 正g e o m e t r y , r e s e a r c hn o t e sm a t h 1 9 8 5 ，1 3 1 ( p i t m a na d v p u b l p r o g r a m ) ： 1 1 5 1 2 0 【7 s i m o n u ，k o z l o w s k i m ，m i n i m a li m m e r s i o n so f2 - m a n i f o l d si n t os p h e r e s ，m a t h z ，1 9 8 4 ， 1 8 6 ：3 7 7 3 8 2 8 g r a y a ，m i n i m a lv a r i e t i e sa n da l m o s th e r m i t i a ns u b m a n i f o l d s j m i c h i g a nm a t h ，1 9 6 5 ，1 2 ： 2 7 3 2 8 7 【9 d i l l e ，v e r s t r a e l e n la n dv r a n e k e n l ，o na l m o s tc o m p l e xs u r f a c e so ft h en e a r l yk 盏h l e r 6 - s p h e r er t s ，k o d a i m a t h ，1 9 8 7 ，1 0 ：2 6 1 2 7 1 1 0 1 d i l l e ，v e r s t r a e l e n la n dv r a n c k e n l ，o np r o b l e m so fs i m o n uc o n c e m i n gm i n i m a l s u b m a n i f o l d so ft h en e a r l yk i l l e r6 - s p h e r e j ，b u l l ( n e ws e r ) o ft h ea n l e r m a t h s o c ，1 9 8 8 ， 1 9 ：4 3 3 4 3 8 【lll d i l l e ，o p o z d a b 。，v e r s t r a e l e n 。la n dv r a n c k e n l ，o nt o t a l l yr e a l3 - d i m e n s i o n a ls u b m a n i - n f o l d so f t h en e a r l yk j 缸l l e r 6 - s p h e r e j p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 8 7 ，9 9 ：7 4 1 7 4 9 【1 2 s h e n y b ，t h er i e m a n n i a ng e o m e tr yo fm i n i m a ls u r f a c e si nc o m p l e xs p a c ef o r m s j ，a c t a m a t h ，s i n i c a ，n e ws e r i e s ，1 9 9 6 ，1 2 ：2 9 8 3 1 3 【13 o g a t a t ，c u r v a t u r ep i n c h i n gt h e o r e mf o rm i n i m a ls u r f a c e sw i t hc o n s t a n ti g i h l e ra n g l ei n c o m p l e xp r o j e c t i v es p a c e sl ，i i s ，t e h o k u m a t h ，1 9 9 3 ，4 5 ：2 7 1 2 8 3 【1 4 】黎镇琦，欧阳崇珍，作用在向量丛值a b e l 形式上的两个微分算子及其应用【j 】数学年刊， 1 9 9 8 ，l ：8 3 9 2 【1 5 b o l t o n ，j ，j e n s e n ，gr ，r i g o l i ，m ，a n dw o o d w a r d ，l m ，o nc o n f o r n m lm i n i m a li m m e r s i o n s o fs 2i n t oc p 【j 】，m a t h a n n ，1 9 8 8 ，2 7 9 ：5 9 9 - 6 2 0 【16 c h e m ，s s ，w o l f s o n ，j gh a r m o n i cm a p so ft h et w o s p h e r ei n t oac o m p l e xg t a s s m a l l l r l m a n i f o l di i j ，a n n o f m a t h ，1 9 8 7 ，1 2 5 ：3 0 1 3 3 5