（基础数学专业论文）几类高阶中立型微分方程解的振动性.pdf

垒耋童竺塞兰至丝坌童丝丝竺塞童堡 摘要 本硕士论文由三章组成，主要讨论几类高阶中立型时滞微分方程解的振动 性 第一章讨论了一类高阶中立型时滞微分方程 杀刊啦( 叫 + 耋以蝴一硝= o 引。 解的振动性，建立了当n 为偶数时方程解振动的几个充分性判据 第二章讨论了带强迫项的高阶中立型时滞微分方程 杀一；删z ( 。一瓦) + 蓦厶p ，r ( g a ) ) 】= 叭引。 正解存在的必要条件，同时进一步研究了上述方程的特殊情形 a - “v z ( ) 一p ( z ) 工p r ”+ ，( ) z ( 一盯) ：印0 ) ，2 幻 的解的振动性，这些结果推广了有关文献的相应结论 第三章讨论了具连续分布滞量的高阶中立型时滞微分方程 暴p ( z ) + 。) ? 牡，) 】+ ：d i i ；- i 1 陋( f ) + c ( ) z ( ，一r ) + z 6f ( ，t 扭( f 。f ) d 一( f ) = 。 利用直接分析方法研究了其解的性质，获得了上述方程振动的两个充分条件，同 时还得到了上述方程所有无界解振动的一个充分条件 关键词中立型微分方程；时滞微分方程；振动性；存在性 童堡塾堡童至至兰兰堡竺圣 a b s t r a c t t i f f 8 h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do f ，h r e ec t t a r p t e r s ，w h i c hr e a i r i l y s t u d - i e do s c i l l a t i o no ft h e8 0 l u t i o n sf o rs e v e r a lc l a s s e so fh i g h e ro r d e rd e l a yn e t r u a l d i f f e r ( m t , i a lt ：q u a ii o n s 1 1 1c h a r p t e ro n e ，w e , s t u d yo s c i l l a t i o no ft h es o l u t i o i l sf o rac l a s so fh i g h e r o r d e rn e t l u 龇d e l a yd i f f i x e n t i a le q l l a t i o n s 筹螂邓叫 + 薹引蝴一田) 锄驯。 a j l de s a t ) 】1 s hs o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eo s c i l l a t i o nf o ra l ls o l u t i o n sw h e n “? j ”i sa ne v e nn u m b e r i nc h a r p t , e it w ow em a i n l yc o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fo s c i l l a t i n gs o l u t i o n sf o r h i g h e l lo r d e rn d ；lu a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hf o r c i n gt e r m j t tm 0 象一i = l 圳z ( 一n ) 】十薹罅吲洲= q 三。 a n df u r t h e rs t l n l ys p e c i a le a s e sa b o u l t h ee q u a t i o n 筹一即磁卜叫+ 巾沁( 一= 驰 孙、 o b t a i n i n gt h eo s c i l l a t i o no fs o l u t i o n s o u rr e s u l t si m p r o v et h er e l a t e dc o n c l u s i o n i nt h el i t e r a t u r e s i nc h a p t e rt h r e e w ei n v e s t i g a t et h eh i g h e ro r d e rn e t r u a ld i f f me 坩j a ld e l a y e q z ? a t i o n sw i t hc o r l t i i l u o u sd i s t r i b u t e dd e l a y 象m 一卜刮一两o m - 1 州啦卜) + f f f ( “。驯州f ) = 。 u s i n gt h ei l l e t h o do fd i r e c ta 1 1 2 1 l y s i s ，w es t u d yi t sp r o p e r t i e so fs o l t a i o l l s a n d o tl f 。、i nt w os u f f i c i e n te q u a t i o n so ft h i se q u a t i o nb e i n go s ( ：i l l a t i o n as u f f i c i e n l ； e d t l a t i o ul se s la i j l i s h e df ( j rt h eo s c i l t a t i o no fa t im f l ) o u n d e ds o h l t i o n sa b o u it h i s e q u a f ，i o n k e yw o r d s ：n e r r u a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；d e l “ ? 一 如 一 砷 阢 似 = = ， ” 0 0 州 地 厶 。脚 + + 一 引 卜 一 “ k d 十 6 卜竺舻 堡加 几类高阶中立垄微分方程解的振动性 当n 为偶数时解振动的一些充分性判据这些判据推广了文献【1 2 中的有关结 论，使得文 1 2 中的定理5 和6 成为推论1 2 1 的特殊情形 第二章讨论带强迫项的高阶中立型时滞微分方程 j m f 泰一薹删z ( 一 ) + 蓦眦( 删) 1 = 啉。t o ( 3 ) 给出了方程( 3 ) 在一定条件下非振动解的必要条件，同时，运用直接分析和不等 式的技巧进一步研究了方程( 3 ) 3 的特殊情形 泰陋( t ) 一p ( t ) x ( t r ) 】+ f ( t ) x ( t 一口) = q ( t ) ，。 的解的振动性我们的定理2 2 1 推广了文f 1 5 1 中的引理1 ，推论2 2 1 推广了文 1 6 】中的定理3 1 与文【3 8 】中的定理a 也就是将不带强迫项的高阶中立型微分 方程解的一些振动判别准则通过改进而推广到带强迫项的中立型微分方程 第三章讨论具连续分布滞量的高阶中立型方程 列d n x ( 卅c ( f ) 印一叫十筹m 卅c ( ) m 一叫+ f f ( f 1 和一】) d 吣) = 。 ( 4 ) 受文【4 1 及文 2 l 一2 3 的启发，本章利用直接分析方法研究了方程( 4 ) 的解的性 质，获得了该方程振动的两个充分条件，同时还得到了该方程所有无界解振动的 一个充分条件本章最后给出的例子说明了定理的应用与有效性 一3 一 兰耋童墼塞塞兰丝坌童兰丝竺堡垒丝 第一章一类高阶中立型微分方程解的振动性 1 1引言及引理 中立型微分方程解的性质的研究，在理论上和实践应用上都极为重要近年 来，国内外许多数学工作者对高阶中立型方程解的振动性已先后取得许多结果， 如文献 3 】、【1 8 一( 17 等文献【1 3 研究了如下的高阶中立型微分方程 i x ( t ) + p x ( t r ) 】+ 萋) z ( 一叫= o ，t o 的解的振动性，其中p ( 一。o ，+ o 。) ，f ，以为正常数( i = 1 ，2 ，m ) ，q 。( f ) c ( t o ，o 。) ，r + ) 且嚣q ( t ) d t = 。 本章我们主要考虑盍叠下变系数高阶中立型微分方程 m卅 两a i - 陋( f ) + p ( ) z o r ) 】+ q t ( f ) z o 一以) = o ，“， ( 1 1 1 ) 其中r 仉0 1 ，2 ，m ) 为正常数，p ( t ) e c t o ，。o ) ，q ( t ) e c ( t o ，o 。) 一r + ) ( i = l ，2 ，一，n ) 本章中，对方程( 1 1 1 ) ，我们总假设下面的条件( h ) 成立： ( h ) 存在常数p 1 ，p 2 使得p l s p ( ) 船； 存在常数吼 0 使得q 。仍 o ( i = 1 ，2 ，m ) 如通常，方程( 1 ，1 1 ) 的一个解称为振动的，如果它有任意大的零点，否则称 为非振动的若方程( 1 1 1 ) 的所有解振动，则称方程( 1 1 1 ) 振动 引理1 1 1 在条件( h ) 下，设r ( f ) 足方程( 1 1 1 ) 的最终正解，令 z ( t ) = x t ) + p ( t ) x ( t 一，) ， ( 1 1 2 ) 则有下列结论 。 ( 1 ) 对每个z = o 1 2 ，n 一1 函数二( f ) 足最终严格单凋的，而且 或者 l i m ：( 7 ) ( f ) = 一1 13 ) 高砭教l 旰在职焉圭学位论文 或者z l 。( ，) ：( “1 ( ) 0 且 。生毁。2 = 0 ，( p0 ，1 h 2 。n 一1 ) ( 2 ) 当n 为偶数时，。( ) r 则方程f 111 ) 的一切解振动 6 几粪寄阶中立垂微分方程解的振动性 所以 证明反证，没方程( 1 1 1 ) 有一个最终正解z ( t ) ，则 z ( t ) = z ( ) + p ( t ) x ( t r ) p l x ( t r ) ， 2 ( t + r ) p 1 。( t ) 于是 r ( t - 以) 石1 ：( h ，一叫 由方程( 1 1 1 ) 有 mm1m 。扣( ) 一三q ，( 。) z ( 一以) 一圣吼z o 一以) 0 ：( t ) c ： 都足方程( 1 1 1 ) 一切解振动的充分条件，这里f = m i n ( z i 口2 ，“j 矿= m a x ( r r l o - “h 高接教i 碲在职顷士学位论文 证明设方程( 1 1 1 ) 有一个最终正解z ( ) ，由引理l1 1 知，或者( 1 1 3 ) 成 立，或者( 1 t 1 4 ) 成立 若( 1 1 4 ) 成立，此时z ( t ) 有界，且z ( t ) 0 同定理1 2 2 的证明我们可得 到( 1 21 0 ) 式，仍由引理1 1 2 的( 1 ) 与( 1 2 7 ) 式我们可以得到，( 1 2 1 0 ) 无最 终有界负解，这与z ( t ) 0 且有界矛盾 若( 1 ，13 ) 成立，则2 ( t ) 无界，且 又 故 由方程( 1 1 ，1 ) 知 。讹) 0 ，。( z ) 一1 ：0 + 丁一) p 1 ：”( ) + 吼r ( t 一吒) 0 所以 m 坯一蚤舭 啊) 一者薹弘( t + r - o - , ) 由于：( f ) 单凋减，取口= 1 1 1 3 x ( o l ，o 2 ，o m ) ，我们有 少( 旷( 薹一珈叫 r 蚓 几类高阶中立墨微分方程解的振动性 ( b ) 优 ，以 r n 。 ( c ) p 2 - 1 且对z ( 1 ，2 ，m ) 有 都是方程( 1 1 1 ) 一切解振动的充分性判据 1 3 例子与注记 ( 1 2 1 6 ) 例1 3 1 考虑方程 堡d u ，) + ( 一2 + 万1 ) 球一3 ) + ( 2 一；) 球一2 ) + ( 2 一主磁t 一1 ) = 。 其中t 【2 ，十o 。) 容易看出一2 o 满足条件( h ) ，又，= 3 口+ = 2 ，根据定理1 2 3 可知上方程的一切解振动 注记 在方程( 1 1 1 ) 中设m = 1 ，q ( t ) = q 为正常数，p ( t ) = p ，n 为偶数，则 ( 一瓤等) ；1 是方程 云；k ( f ) + p x ( t r ) 】+ q t o 一口) = 0 ( 1 2 1 7 ) 当p 一l 或一1 p 口也足方程( 1 2 ，1 7 ) 一切解振动的 口e 充分条件，这在文献：1 2 1 中并未给出 一9 一 民 寻 吼一m 一 高砭教师在职项圭学位论文 第二章带强迫项的高阶中立型时滞微分方程的振动性 2 1引言与引理 关于中立型时滞微分方程解的振动性的研究，除了在理论上的的重要性之 外，在应用方面也有着重要意义例如，带强迫项的二阶中立型方程可用于讨论 在弹性体上质点的振动问题，作为欧拉方程，也可出现在某些变分问题中( 参见 文【1 j ) 近年来，关于带强迫项的高阶中立型微分方程的解的振动性也取得了许 多研究成果，详见文f 1 8 2 0 1 ， 文i 2 8 1 讨论了带强迫项的高阶中立型方程 一” 景il r ( f ) 一p ( f ) ，。( f r ) 】4 - q ( t ) g ( x ( t r ) ) = ，( ) 的非振动解的渐近行为 本章我们主要考虑如下带强追项的高阶中立型方程 i lt 杀p ( f ) 一只( ，) r ( 一矗) + 厶 f z ( 见( t ) ) = q ( ) ，三t o ( 2 1 1 ) “ 7 = 】，= 】 然后再研究方程( 2 1 ，1 ) 的特殊情形 嘉p ( f ) 一p ( ) 丁( 一，) + ，( f ) ? 一= q ( 氓f 三f 。 的解的振动情况 我们在本章假没方程( 2 ，1 1 ) 满足以下的条件： ( 1 ) - 0 。只c ( t o 。c ) 片) ，( z = 1 。2 ，一r r f ) ，f 只( ，) f 0 ，0 i f ； ( 一1 ) ”1 ( f ) ( ( ) 0 ，l i n 为方便，下面记 w ) ：z ( 幻一e 量只。) z o 一瓦) 一( 一1 ) “z 。皇；i ； ；寻q ( s ) d s u ， ) = z ( ) 一 只o ) z o 一瓦) 一( 一1 ) “fi ：；2 雨r q ( s ) d s 若方程( 21 1 ) 的一个解有任意大的零点，则称其为方程( 2 1 1 ) 的振动解； 否则称为非振动解若方程( 211 ) 的每一个解都振动，则称方程( 2 1 1 ) 振动 2 2 主要结果 定理2 21 设z ( t ) 足方程( 2 1 1 ) 的最终正解，那么有 i u 0 ) ( f ) w 。+ 1 0 ) 0 ，( f 一) o ( 2 = 1 ，2 ，- ，m ) t ( 玑( f ) ) o ( 3 = 1 ，2 ，z ) 则 f h z ( - ) ( f ) = 一易( ，x ( g a t ) ) ) 0 ， j = 1 即i ”( ) 严格单调减少，根据引理2 1 1 我们进一步有n “1 ( f ) 足严格单凋 的，对任意，= ( 1 ，1 2 ，t ， 一2 ， 我们断言必有有限数使 l i mh 一1 f f l = l 一1 1 = = ：。璧垒! 童矍至三童堡垒圣 否则 熙”1 ( 0 = 一o 。， 则根据条件( 2 ) 有 拦恶4 ( ) = 一。( z = 0 ，1 ，2 ，”一2 ) 因而存在五如，当2 l 时( t ) o ，令。0 一r ) = 恶答。仕0 一 ) ) ，即可得 即) s 薹琳) 球叫小妒z 。鲁筹 娄i p , ( t ) l 肌删十扩鲁筹胁l l ，( f t ) l 十f “! q ( 5 ) d 5 f 1 5 l1 。ot hj j s 姜j i 麟州) ) + f z 。杀爷q f 5 油 ，o ，。t n 一1 s 萎旧( c 脚) + ”鑫俐s ) j d s # j j f l ? l lj ： ( 1 - r 卜卅z 。篙 如 ，【77 一j i ： 对任意的正整数有 州f + 打) ( 1 - 啪 叫卅，篙 ( 1 - 帅竹叫卅f “篙j d s 0 ，w ( 2 + 1 ( ) 0 ，得 进一步有 而由不等式( 2 2 1 ) 得 恕。( t ) = + o 。 l i m w 0 ) = + 。 f h 跫7 ( f ) 2 + 。 妾f 眺c f ) 础螂1 ) ( 丁) ( j 使得f2 疋时，m + ( z ) ! b 1 1 3 高投教i 碲在职硬圭学位论文 同理，由j p8 n - i q ( s ) l d s o ，当t 噩时 扩“| q ( s ) l d s o 一xf ，一xx ( i ，) 一x - ，“，) 2 ，m a x ，r fs ) - ，j 嗖州 ) 2s 一1 4 ( 22 4 ) 些耋童墼! 圭圣丝竺垄兰竺望堡丝：里= 一 得 1 4 砸小沪霎p ：( t k ) x ( t k 刊- ( _ 咿f 等等q ( s ) d s 7 ( “) = z ( “) 一 一兀) 一( 一1 ) ”，石i 。：气可一q ( s ) d s 刈一陲p , ( t k ) x ( t k l刊h f 等等删1 2z ( t ) 一f 一t ) j l f 万斋q ( s ) d 5 l l z l 。 、7 坤沪j 姜酬i 嚣m 训一f 等等胁 酬邓- r ) 燃刊卜f 篙i q ( s ) 陋 w ( t * ) + ( 1 一r ) 。m ，a ：x 。 z ( 缸一t ) 】2z ( “) 一上。百 二了霹i q ( 8 ) 1 8 5 r 日n l 两边取段s u p 可得 墨襞s u p 燃p ( f k l ) 丁兰孑 s ， 这与( 2 2 4 ) 矛盾，从而有磐翌。( ) = 0 ，定理2 2 1 证毕 下面我们进一步来研究方程( 2 ，1 1 ) 的特殊情形 蒜d n 陋( ) 一p ( ) z ( t f ) + ，“) z ( t 一口) ：q ( t ) ，t t 。 ( 2 2 5 ) 历一刖z ( t q ) + ，( t ) 。( 一。) = ，。 ( 2 删 假设下列条件成立 ( 4 ) 丁 0 ，盯 0 尸c ( t o ，。o ) ，只) ，f c ( 陋o ，o o ) ，( 0 ，) ) ； ( 5 ) q c ( t o ，) ，月) 且 ”矿一1 肌。； 了 w ( f ) ：t ( f ) 一p ( ，) r ( 一r ) 一( 一1 ) “z 。i ；i 兰竿q ( s ) d s 引理2 2 1 1 目对于方程 v 7 f f ) 4 - p y ( t r ) s ( f ) ，t ，o ， 其中 c i t f l x ) r + ) l i m “) 2 ( ) ， 童垒丝堡垒圣至圭兰堡兰二量：一 若 1 p 7 ；， 则上方程无最终正解 定理2 2 2 设条件( 4 ) 一( 5 ) 成立，且o ；，且 l i m 弛) ，”( s h 口) 一1 i q ( 5 ) = o ， ( b ) 若”为偶数， r 芦矿等匕而r 。，r 击了o - - t ：，且 1 i ，。丛! l ，。矿一，慨。) 膨：o f 里要p ( t - - ( a - 7 - ) ) 上一，5 i v ”川”一“ 则方程( 2 25 ) 的所有解振动 证明不妨设方程( 2 2 5 ) 存在最终正解，即存在充分大的瓦2b 使得当 f2t 1 时，z 0 一1 1 1 3 , x f ) 0 ，贝根据定理( 2 ，2 1 ) 碍满是 w ) ( ”1 ( t ) 0 ，( z = 0 ，1 ，2 ，n 1 ) 且 趣曼胪( f ) = 0 ，( z 20 ，1 h 2 一，n 一1 ) ， 通过证明我i f 可知w7 ( ) 满足 胪m ) 一p “刊若眇沁叫+ 弛) w ( 卜一) _ - ( 叫w t 与等等胁 ( 2 2 6 ) ，一口i7 一ij ： 事实上， 甜，扣( ) = 一，( f ) r ( 一口) 一p ( ，一州了考芝之了1 1 【州( f r ) = ，( f ) r i f 一( 一1 一r ) ) p ( f 一一) r 【，1 1 1 ( f 一口) = ，( ，) ，( f 一- r ) 一( i ) p ( t j i f f f r r 。r ) j 一( w m ，仁与等膨 几类高阶中立圣微分方程解的振动性 糈上= 万 茔相加即廿j 得到【2 2 6 ) 式 若n 为奇数，当t 五时，w ”( t ) 0 ，由( 2 2 6 ) 可得 眇) ( t ) 圳咿( ) s 邢) 仁与告乒) d s l 巾，仁锊删s l 即有 w 扣m ) + ，( 。w o 一盯) ，( ) 尘静i o ( s 凇矗f 噩 今 从而 她) = w ( - - i ) ( p 口栅删( t 一：) 十口1 w 卜3 沁一鲁) 一一。譬( t 一学) + 。簪w ( t 一学) ( ) 十q w ( t 一口) w ( ”( t ) + f ( t ) w ( t 一 m ) 仁告笋胁，t 2 瓦 m 锄t 一秘m ) 仁与；等乒i q ( 驯如t 五 由引理2 21 及条件( a ) 可得上方程无最终正解，与( f ) 定义矛盾； 若n 为偶数，当t 正时，w m ( ) 0 ，w ( t ) 0 ，由( 2 2 6 ) 可得 t 卜矧州，躺错删s s 矧i 仁镒 矧仁篙i o ( 圳抵 = 一 o b 一 删一川 p 一尸 一 ，= 一、o 一 。p 0 ，有 w 7 ”) ( ) = 一f ( t ) x ( t 一口) o ，t t o ， 从而由定理2 2 1 可知，存在关于连续的( t ) ( ) 满足 w o ) ( f ) ( “1 ( # ) 0 ，0 = 1 ，2 ，n 一1 ) 若( ) 0 ，由于n 为奇数，w 协) o 及t l2t o ，有 w ( t ) 茎一n 0 ，t t 1 ， 即 z ( z ) 5 一n + p 盯) z 。一r ) 一z 。等i ：_ 3 ；等q ( s ) d s 一+ p 球一，+ 旷鲁筹汹f s a + 尸( r ) z p r ) + f ”1 ；i 兰；孚i q ( s ) f 如 一+ p ( 蝴叫十z 。篙俄s ) f d s ，m ， 对于条件中的，我们可得存在矿n ，使得t + + 矿r2f 1 + r 且由 rr n 一1 l q ( t ) 0 ，( i = 0 1 ，2 ，l )( 2 2 8 ) ( - 1 ) 2 w 。( ) 0 ，( = l + 1 ，l + 2 ，一，n 一1 ) ( 2 2 9 ) 如果l = 0 ，则w ( t ) 0 ，即 z ( t ) 一尸( t ) z o r ) + z ”等嘉兰 寻q ( s ) d s 。 所以 。 z ( t ) p ( 砷z ( t r ) 一，”1 暑i 兰孚手q ( s ) d s z ( t ) z ( h ) - ，。旦( n - - 1 ) 陋 由于铲8 7 - i i q ( s ) l d s 0 及乃t o ，当 t 五时，z ( 一2m ，从而由 w ”( f ) + ( t ) x ( t j ) = 0 ，t t o ， 得 w ( “) ( f ) 4 - f ( t ) m 0 ，t 2 乃， 利用( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 两边n 次积分可得 州拙，”鲁筹，( s ) d s , t 五 即 z ( r ) p ( t ) z ( t r ) + z ”i ；i 兰等，( s ) a s f 。皇；i 兰；寻q ( s ) a s 州叫州z ”杀筹，( 5 灿一j ( ”高俐协，2 五 由于，。f ”“i o ( t ) f d t 加一) ”鲁等m ) d s 一。f ”篙幽 ( 卜r ) + m ，。鲁笨m ) d s e 篙胁 一( t - 2 r ) 十m 与竺y i , 掣舳) 幽 ，一r il 】! 枷，z “鲁筹m 灿一z e 高俐协 一( t - 2 7 n z ，。鲁筹m ，d s - 2 厅篙协 ，f ( 扎一j ! ” 。 ，r f 一f 1 。 ，( z n ( z ) ，) + n 4 ( t ) ，z ”等i 三；( s ) d s 州j f 篙协 州”唧z 。鲁筹m 肛州e 篙 n 4 ( t ) a f ，“1 i i ；! ；寻( s ) d s ，t 7 j + ， 故 ，( t - - 0 ) v 刊m 杀筹，( s 膨 ”( t - - 6 q ，z ”1 i i ! ；寻，( 8 ) d s ，z 正+ r + 。 i i | r “。( f ) 一n ( f 一叫 f ，( f 。萼嘉三：荨，f s ) d s 乃+ ，+ 以( 2 2l o ) j 【n l 一一、 7 因为当 ，一。掣一；， 存在了 ；2 疋+ r + 当f 芝瓦时， 矿( ，一f 亡 几类寄阶中立墨微分方程解的振动性 代入( 2 2 1 0 ) 式得 嗍岖一黝t ) ，。鲁筹m ) 如 两边从t 三t a 到。o 积分n 次有 ，。( s t ) n - l s f ( s ) ”一s ) 一m ) 礼d 。 0 ，w ( t ) 2q 产一1 ，t 2 t ， 令卢= ，( t ) ：亡s s 扩+ r ) ，选取。 废 o 引+ t = z 。 、。， 其中 q = 矗与，o = ， 因为当t 丁，使得当三正时， ( 一r ) l 二1 ，l 则得 1 1 ( f ) 芝j + f l 。( p 1 ) - - l 】p ，( ) d pf 芝正 f 同= ( ) 的情形可知存在疋正取 矿( f ) ：f 垫1 l j 一2 4 f 竹 则 。( ) 钟+ ( t - - 7 - ) + + ( f 一( 矿( t ) 一1 坩 厅p t ) “一1 卢m ) 咖 w c 卜甜 ( 壶) 。+ l 蕊t - - t 、p l - + ( 警) 。1 。( p ) n - l - i p m ) 舡 w ”甜 1 + ( ，一毒) + - r + ( z 一掣半) 。1 r 田 。f ( p t ) ”“1 矿f ( u ) d u 川t 吲 ，+ ( 一丽1 l + ( ， x j tu t ) - - z - 。1 一f t 如 注意到 腿高f l 十( ，一南) 扣+ ( z 一 则存在乃 疋，使得当t2 乃时 t + ( z 一赤) + + ( ，一 放有 ( ) 等) = l ( 1 - - z ) l d z = 丽i 掣1 ! ：丝 n ( t ) 2 ( 1 十l ) 川) 打( 卜耕州f ”( p t ) n - r - l l t l m ) 舡，死 从而可知 s 者( 卜一一硝n w 叫巾) ，。( 一) n - l - i p l m ) m 瓦+ 。 将上述不等式两边同乘以一e 。得 t ：l - l - 1 h7 ( f ) 一日( ，) f 乃+ 盯 ( 2 2 1 1j 其中 即) 2 岽 n - l - i ( t - r t - 酣矿f f 州( f ) ，”( f ) n - - l - i 尉l ( ) 咖 一2 5 童堡垫堡壅圣至圭兰堡丝圣 又由于 则从( 227 ) 有 ，。日( s ) 幽：o o j t o 若令 l2 f ( ) = t nl - t w 0 7 - 1 ( ) + ( 一1 ) 2 ( 2 + 1 ) ( 1 + 2 ) - ( 诧一一1 ) r w 。斗1 ( ) 7 ；0 则 l 8 n - l - 1 u r ( n ( 副d 5 = f ( ) 一f ( 乃+ 仃) ， ( 2 2 1 3 ) j a + a ， 应用( 2 2 ，8 ) 与( 2 2 ，9 ) 式可知f ( t ) m l 一1 ) ( 。( ，) ，这样通过两式得 w o ( f ) 一一与( 2 , 2 8 ) 矛盾故定理2 , 2 4 证毕 推论2 2 1 设条件( 4 卜( 5 ) 及( 2 27 ) 成立，n 为奇数，且p ( t ) = 1 ，则方程 ( 22 ，5 ) 的每个解振动 2 3 例子与注记 例2 3 1 考虑方程 ( f ) 叫f _ 1 ) + 乃1 硼- 1 ) 一7 8 - ( 引o 0 ) 其中q ( f ) 一丁g - t 易证满足条件( 5 ) 令，( f ) = 而1 显然满足( 2 27 ) 论22 1 可得方程( 2 2 1 4 ) 的每个解振动 注记 【1 ) 定理二2 1 推广丁文：1 5 中引理1 ( 2 ) 推论221 推广j r 文f 3 8 1 中的定理a ，文f 1 g 】中定理3 1 2 0 一 ( 2 2 1 4 ) 则根据推 222 一 j | 如 扣 一乩 矿 扣 厂屯 规 肓式 22 日 结 几粪高阶中立垄微分方程解的扳动性 第三章具连续分布滞量的高阶中立型方程的振动性 3 1引言与引理 时滞微分方程解的振动性在理论和应用上都具有重要意义，因此，这一领域 近年来出现了大量的研究成果，然而其中大部分结果都是对离散时滞变量进行讨 论的，关于连续分布滞量的研究成果尚不多见 文献 2 l 一2 2 】分别讨论了方程 ，0 扛( ) + c ( t ) x ( t r ) 】，+ p ( ，) z 妇( f ， ) d 口( ) = 0 ，t t o 和 陋( f ) 扛 ) + c o ) 丁( 一丁) ) ， ，+ ，6 p ( f ，) z 曲( ，f ) 】d 盯( ) = o ，t o 的解的振动性问题 文献 2 3 、 4 1 分别讨论了方程 面a mp ( ) + c 。) z 一r ) 】+ f f f ( t , f ，z 匆( ，f ) 1 ) d 一( ) = 0 和 p ( ，) + c ( f ) ，( ，一r ) ”+ p ( ) + c ( f ) z 一r ) 7 + f a b p ( t f ) ，( ，陋( ，f ) ) d 一( f ) = o 的解的振动性问题，得到了上述方程振动的一些充分条件 受文献【2 3 j 、【4 1 的启发，本章我们讨论一类具有连续分布滞量的高阶中立 型方程 嘉枷) 十黯) 枷州h ) 1 + f f f ( f 删铲。 f 3 1 1 ) 的解的振动问题，其中n22 是偶数，r 为非负常数，在本章的讨论中我们始终 假设下列条件( h ) 是成立的 ( h ) ：( 1 ) c ( t ) c ( t o + ) r ) f ( t f t ) c ( t o ，+ 。c ) p 纠xr 曰) ： 一2 7 高堙教师在职项圭学位 色文 ( 2 ) 9 ( ，f ) c ( t o ，+ o 。) 【a ，6 】，r + ) ，g ( t ) t ， a ，a ( t0 分别关于 f f 非减，并且。里毁若黯 p ( f ) = + o 。； ( 3 ) 口( ) c ( a ，乩兄) ，且口( ) 关于f 非减，同时方程( 3 1 1 ) 中的积分屉 s t i e l q e s 积分 引理3 ，1 1 | 2 4 设y ( t ) 足r + 上的 次可微定号函数，且在m ，o 。) 上， ( ”( ) 不恒为0 ，满足y ( - ( fj g ( ) 0 ，则 ( 1 ) 存在正正，使得( t ) ( j = 1 ，2 ，n 一1 ) 在m ，。) 足定号函数 ( 2 ) 当n 是偶数时，存在数k 1 ，3 ，5 ，n 一1 ) 或者当n 足奇数时，存在 数k f 0 、2 ，4 ，n 一1 ) 使得 9 ( t ) v o ( ) ) ，3 = 0 1 ，2 、，k ，t 而 ( 一1 ) “”+ 1 ( f ) ( j ( ) 0 ，7 = - b1 ，1 2 t t 2 如通常，方程( 3 1 1 ) 的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则称其为 非振动的，若方程( 3 - 1 1 ) 的所有解都是振动的，则称其为振动，否刚称其为非振 动的 3 2主要结果 下面我们分0sc ( f ) oa 0 )( 3 23 几类高阶中立墨微分方程解的振动性 又