（基础数学专业论文）非线性发展方程的精确解.pdf

非线性发展方程的精确解 基础数学专业 研究生孟宪良指导教师蒲志秫教授 本文基于现有的孤立子理论与现代计算机技术，运用f 一展开法、齐次平衡 法、以及改进的t a n h i 函数法，研究了多种具有物理背景的非线性发展方程，在已有 的基础上寻找他们新的孤立子解及其它精确解 首先我们把f 一展开法运用到一类三维空间中的k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程： ， i 妒“一妒+ 妒= 一毋j ；f l ，t 2o ，z r 3 i 如一c 2 妒= a l 毋i s , t o ，z r 3 得到由j a c o b i 椭圆函数表示的周期解 接着，利用一种新的r i c c a t i “扰动”方程，同样将其运用到三维空间中 的k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程中，使方程得到了许多更新的解 随后，我们把推广的t a n h 甬数法运用到一类k d v 方程中。统一构造出方程 t + t t 工z + 卢t z z = 0 的精确解 第i 页，共“页 中文摘要 接下来，调整“扰动”方程，将它运用于三维的z a k h a r o v 方程： 芝：竺：三：f 庐一垃：三三：舻 组2 最后，把齐次平衡原则和改进的f 一展开法运用到 1 + l 维变系数k d v 方程 ：二瑟篆二竺：邮) = o 关键词非线性发展方程；孤立子解；孤立渡解；精确解；z a k h a r o v 方程； k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程； 1 + 1 ) 维变系数d y 方程；齐次平衡法；推 广的t a n h 函数法：j a c o b i 椭圆函数法；f - 展开方法；改进的f 一展开方法 s u p e r m x l 1 2 6 c o r n 第i i 页，共11 页 毕业论文 e x a c ts o l u t i o n sf o rs o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s g r a d u a t em e n gx i a n l i a n g s u p e r v i s o r p uz h i l i n b a s e do nt h es o l i t o nt h e o r ya n dm o d e mc o m p u t e rt e c h n i q u e ，t h i sp a p e r m a i n l ys t u d ys o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hp h y s i c a lb a c k g r o u n db y u s i n gt h ef - e x p a n s i o nm e t h o d ，h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，a n dt h et a n h m e t h o d w i t ht h em o d e mc o m p u t e rt e c h n i q u e ，w ew i l lf i n dt h e i rn e ws o l i t o n s o l u t i o n sa n do t h e re x a c ts o l u t i o n s f i r s to fa l l ，w eu s i n gt h ef - e x p a n s i o nm e t h o d ，e x a c ts o l u t i o n so ft h e k l e i n g o r d o n z a k h a r o ve q u a t i o ni nt h r e es p a c ed i m e n s i o n sa r ec o n s t r u c t e d ： i s , + a s = 鲫，o ，z 斧 【讥一妒= a i 1 2 ，t o ，z 斧， t h ej a c o b ie l l i p s ef u c t i o ns o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na r eo b t a i n e d a n dt h e n ，w eu s i n gan e wc l a s so fr i c c a t ie q u a t i o nt ot h es k l t i ee q u a t i o n ，a l o to fn e ws o l u t i o n sa r eo b t a i n e d n e x t ，w eu s i n gt h ee x t e n d e dt a n h - f u c t i o nm e t h o do nak d ve q u a t i o n ， e x a c t8 0 l u t i o n so ft h e t t + t + z 札m = 0 第i i i 页洪j 4 页 a r eo b t a i n e d i nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n ，w eu s i n gt h er e c e n t l yp r o p o s e df - e x p a n s i o n m e t h o d ，e x a c ts o l u t i o n so ft h ez a k h a r o ve q u a t i o n ： 篡二麓，晓譬名 i nt h r e es p a c ed i m e n s i o n sa r ed e r i v e d t h es o l u t i o n si n s l u d es e c h - s o l i t i o ns o l u t i o u s 、t a n h s o l i t o ns o l u - t i o n s 、t r i a n 斟e f u n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o n s 、r a t i o n a ls o l u t i o n s ，a n dj a c o b i e l l i p s er u c t i o ns o l u t i o n s ，d e v e ns o l u t i o n sa r ea b o u tf i v ed i f f e r e n tt y p eo ff u n c t i o n f i n a l l y ，b yu s i n gt h et h eh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o da n dt h ef - e x p a n s i o n m e t h o d ，w es t u d yt h e l + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk d ve q u a t i o n sw i t hv a r i a b l e c o e g i c i e n t s ： 协微：塞k ；_ o t h ej a c o b ie l l i p s er u c t i o ns o l u t i o n sa n do t h e rt y p es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d sn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；s o l i t o ns o l u t i o n ；s o l i t a r ys o - l u t i o n ；e x a c ts o l u t i o n ；z a k h a r o ve q u a t i o n ；k l e i n g o r d o n z a k h a r o ve q u a - t i o n ； 1 + 1 ) 一d i m e n s i o nk d ve q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ；h o m o g e n e o u s b a l a n c em e t h o d ；e x t e n d e dt a n hm e t h o d ；j a c o b ie l l i p t i cm e t h o d ；f e x p a n s i o n m e t h o d ；m o d i f i e df - e x p a n s i o nm e t h o d 四川9 p 范大学学位论文独创性及 使用授权声明 谲琊 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师煎圭挞指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注b ) 扣3 1 用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名：盖毙良 御7 年f 月扩日 第一章绪论 非线性科学是现代科学的核心，在自然科学中许多现象，如孤波，混沌，吸引 子，分形和逆序结构等都是非线性问题非线性可以产生些本质上全新的现 象而这些现象不可能由线性化模型出发的微扰理论得到，用非线性化模型来 研究客观世界是科学发展的必然非线性发展方程【l 6 】是非线性科学的重要分 支，是非线性科学的前沿领域和研究热点，寻找非线性发展方程的精确锯对于理 解方程的性质有很大的帮助，所以如何求解非线性发展方程及其相应的求解方 法的研究引起了广大科学工作者的极大兴趣 随着孤立子问题研究的深入和发展，一大批具有孤立子解的非线性发展方 程已在流体物理，固体物理，基本粒子物理，激光，等离子体物理，超导物理，生 物物理等领域中出现，因而对这些非线性发展方程的研究具有重要的理论研究 和实际应用价值孤立子理论的产生和发展是非线性发展方程研究中的一个重 大事件这一理论中蕴藏着构造非线性发展方程精确解的有效方法，目前。孤立 子一词虽被广泛引用，但尚无一般形式的定义在应用数学和工程中，将孤立 子理解为非线性发展方程的局部化的行波解，经过相互碰撞之后，不改变波形 和波速，而在粒子物理中，孤立子被理解为：( 1 ) 能量比较集中于一个较狭小的区 域i ( 2 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象( 即波形和波速能恢复到原状) 可以说，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界有一定的普遍性对孤立 子的研究仍是非线性科学的前沿 本章是预备知识：将简单介绍文中涉及到的非线性发展方程的类型，概 念，以及非线性发展方程精确解的研究现状，求解方法等等这里研究现状的介 绍是基于范恩贵教授的文f7 1 和刘希强博士的文f 8 1 1 。1 非线性发展方程 在物理研究中经常会遇到各种各样的非线性方程我们把它称为非线性发 第1 页，共4 4 页 1 1 非线性发展方程 展方程( n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ) 实际上，真实的世界就是一个非线性的 世界，线性方程只是对它的一种近似，通常物理学里的非线性发展方程包括非线 性常微分方程，非线性偏微分方程，非线性差分方程( 又称为非线性映射或非线 性迭代，它通常是非线性常微分方程或非线性偏微分方程的离散形式它对未知 函数的n 次迭代值都不全是线性的或一次式的) 和函数方程( 一个函数自身或多个 函数之间满足的个函数关系式谗 非线性发展方程的一般形式为： h k ( z ，t ，t ，z ，砘，t ，z ，t 嘧，啦，) = 0 ，七= 0 ，l ，2 ，一，m ，( i - i - 1 ) 其中z = ( 卫l ，z 2 ，) 是空间变量，t 是时间变量，“= ( t l l ，锄，t q ) ，= u j ( x ，) 是未知函数，巩是给定的函数关系，“。，分别表示牡对z ，的导数， n ，l m 是自然数 数学物理中涉及到的非线性发展方程非常丰富，这里我们不再一一列出，主 要列出一些具有代表性的非线性发展方程 ( 1 ) 经典的一阶非线性r i c c a t i 方程的一般形式为 y 7 + p ( z ) 掣+ g ( z ) ，2 + r ( x ) = 0 其中z 是自变量，为因变量，矿= 塞，p ( 。) ，9 0 ) 和r ( z ) 是z 的已知函数 ( 2 ) 第一种椭圆方程的一般形式为 y 璧= a + 6 可2 + c 4 ，( n ，b ，c 0 ) ( 3 ) f i s h e r 方程是非线性的反应扩散方程，其最简单的一种形式为 警一7 嚣一k u ( 1 叫乩( ，y 吣 o ) i 其中1 和分别称为扩散系数和反应系数， ( 4 ) h t t x l e y 方程的一般形式为 t “一t = “。( 1 一t t ) f 5 ) c h a f e e - i n f a n e 方程的一般形式为 他一；= a u ( 1 一， f 6 ) f i t z h u g h - n a g u m o 方程的一般形式为 饥一 = “( 让一q ) ( 1 一“) s u p e r m x l 1 2 6 c o m 第2 页，共0 4 页毕业论文 第一章绪论 ( 7 ) 修正的b b m 方程，其一般形式为 t l t + 也+ d t 2 + 触科= 0 ( 8 ) 组合k d v - m k d v t y 程，其一般形式为 t t + ( a t + 触2 ) t k + 7 n 掰= 0 1 2 非线性发展方程求解的研究现状 非线性发展方程( 1 1 1 ) 的求解，特别是给出这些方程的精确解是古老的而 且在理论和应用上又非常重要的研究课题可是由于线性方程的叠加原理不再 满足，所以对( 1 1 1 ) 解的研究的难度相应增加多年来，许多数学家和物理学家 已经做了大量很有价值的工作。研究解和求解方法也在不断地得到发展和完 善人们在非线性发展方程精确解方面做了大量的工作有关方程( 1 1 一1 ) 的解的 研究主要是从以下三个方面进行的：第一方面，在难以求出精确解的情况下，依 据基础数学的知识对解的适定性( 存在性，稳定性或唯一性) 分析研究；另一方 面，借助于计算数学的理论和计算机，对解进行数值模拟和分析；第三方面，应用 某些数学技巧或假设构造适当的变换以简化方程并求出方程的某些精确解本 文将侧重于第三个方面的研究 一般来说，求出方程( 1 1 1 ) 的所有解是不可能的，这是由于在求解的过程中 附有一些约束条件因此，我们所说的求解是求方程( 1 1 - 1 ) 满足一定的初( 边) 值 条件或约束条件的特解而孤立波解和相似解是最具代表性的特解，能否求出非 线性发展方程的解，在很大程度上取决于是否有切实可行的求解方法，所以求解 和求解方法的发展构成了精确解研究中的一个有机整体 1 2 1 孤立子概念的产生 孤立子理论中蕴藏着构造非线性发展方程精确解的一系列有效方法下面 简要叙述一下孤立子理论产生和发展的历史 早在1 8 3 4 年，苏格兰工程师j o h ns c o t tr u s s e l l 偶然观察到了一种奇妙的水 波1 8 4 4 年他在英国促进协会第1 4 届会议报告这份材料上发表“论波 s u p e r m x l 1 2 6 c o i n 第3 页共“页毕业论文 1 ，2 非线性发展方程求解的研究现状 动”一文，对此现象做了生动描述：“我正在观察一条船的运动，这条船被两匹 马拉着，沿着狭窄的河道迅速前进着突然，船停了下来，河道内被船体带动的水 团并不停止，它们积聚在船头周围激烈的扰动着，然后水浪呈现出一个滚圆而 平静，轮廓分明的巨大孤立波峰，它以巨大的速度向前滚动着，急速地离开了船 头，在行进中它的形状和速度并没有明显的改变我骑在马上紧跟着观察，它以 每小时约八九英里的速度滚滚向前，并保持长约三十英尺，高约一至一英尺半 的原始形状渐渐地它的高度下降了，当我跟踪一至二英里之后，它终于消失在 逶违的河道之中”这就是r u s s e l l 观察到的奇特现象之后他又在实验室的水 槽中做了大量的实验研究这一现象他认为这种孤立波是流体运动的一个稳定 解并称它为“孤立波”可惜的是r u s s e l l 当时未能成功的证明并使物理学家 信服他的论断之后有关孤立波的问题在当时的许多物理学家中引起了广泛的 争议 直到六十年后的1 8 9 5 年荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究 浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假设下，建立了单向运动的浅水波运动方 程 祟：；，- z 丽0 ( i 1 叩2 + 捌2 + ：黧) ，( 1 - 2 - 1 ) 云2 互v ；瓦j 矿+ 再。叩+ 亏番) ， 这里町为波峰高度，沩水深，9 为重力加速度，口，口均为物理常数他们对孤立波 现象作了较为完整的分析，并从方程( 1 2 - 1 ) 求出了与r u s s e l l 描述一致的，即具有 形状不变的脉冲状的孤立波解从而在理论上证实了孤立波的存在然而他们的 工作并没有引起人们的重视，原因是许多人认为，这种行波不过是偏微分方程 的特殊解，用特殊的初值条件得到它，在初值问题的研究中是微不足道的；另外 认为由于方程( 1 2 - t ) 是非线性偏微分方程，解的叠加原理不满足，碰撞后两个孤 立波的形状很可能会破坏殆尽，故这种波“不稳定”，因而研究它没有什么物理 意艾于是，关于孤立波的研究停滞不前 另外一个闯题是，象r u s s e l l 描述的这种孤立波是否在流体力学以外的其 它物理领域中出现昵? 一直到y 5 0 年代，著名物理学家f e r m i ，p a s l a 和u l a m 的工 作 1 4 1 他们将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦初始时这些谐振 子的所有能量都集中在一个质点上，即其他6 3 个质点的初始能量为零按照经典 s u p e r r a x l 1 2 6 c o m 第4 页共4l 页毕业论文 第一章绪论 的理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历经等现象出现，即任何 微弱的非线性相互作用，可导致系统的非平衡态向平衡态过渡可实际上，经过 相当长时问以后，几乎全部能量又回到了原来的初始分布这就是著名的f p u 匈 题当时，由于只在频率空间来考虑，未能发现孤立波解，所以该问题未能得到正 确的解释后来，人们把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，并近似模拟这种 情况，t o d a r 研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使f p u 问题得 到了正确的解答，从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴趣 随后，1 9 6 2 年p e r r i n g 和s k y m e 研究基本粒子模型时对s i n e - g o r d o n 方程做 了数值解，结果表明：这个方程产生的孤立波也不散开，即使碰撞后两个孤立波 仍保持原有的形状和速度， 1 9 6 5 年，荚国著名物理学家，美国科学院院c k k r u s k a l 和物理学家z a b u s k y 用 数值模拟方法详细考察和分析了等离子体中孤立波的非线性相互作用过程，得 到了比较完整和丰富的结果，并进一步证实了这类孤立波相互作用后不改变波 形的论断由于这种孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性质，他们命名这种 孤立波为“孤立子” k r u s k a t 和z a b u s k y 的这项研究工作，是孤立子理论发展史中的一个重要里 程碑，他们引入“孤立子”概念，确切地揭示这种孤立波的本质，已被普遍接受 近四十年来，孤立子理论的研究工作更加蓬勃发展在世界范围内掀起了研究的 热潮除了在流体物理，固体物理，基本粒子物理等离子体物理等领域中，对孤 立子的研究不断深入外，在凝聚态物理，超导物理，激光物理，生物物理等领域 中，也相继发现了孤立子的存在目前，较为完整的数学和物理的孤立子理论已 逐步形成国内外在这方面已出版很多专著( i ，1 0 - 1 3 ，1 5 ，1 6 1 孤立子理论的产 生和发展是与近代物理密切相关的，这一理论即包括了有关的数学理论，也包括 了物理理论，数学的严密性和物理学的的启发性和实用性两者相互结合，相互依 存，相互渗透，相互促进，使其显示出强大的生命力，这也正是现代自然科学发展 的重要特点之一 现代自然科学发展的另个特点是：理论与实验的结合这一特点在孤立子 的研究中也得到充分体现孤立子研究成为许多物理实验室的重要课题随 s u p e r m x l 1 2 6 c o i n第5 页洪页 毕业论文 1 2 菲线性发展方程求解的研究现状 后，人们在实验室观察到了孤立波现象r u s s e l l 发现孤立子一个半世纪之后二 十一世纪7 0 年代初，物理学家i k e z i ，t a y l o r 和b a k e r 等终于在水箱实验中人为产生 并亲眼重见r u s s e l l 浅水波，f l f k d v 型孤立波的传播 在激光打靶中，人们观察到了由于坍塌出现的涡旋型孤立波的传播以及激 光光束在非线性介质中自聚焦产生的孤立子利用孤立子理论，已经成功解释了 激光打靶中产生的密度坑以及红外线的外移等问题美国新泽西州荷尔姆代贝 尔电话实验室的l f m o l l e n a n e r ，r h s t o l e n 和j g o r d o n 等人，在石英蕊光纤材料 中观察到了光脉冲型孤立子的传播由于孤立子在传播中具有不损失波形，不改 变速度，保真度高，保密性好等优点，可以使用孤立波来改进信号传输系统，提高 其传输率在实验室中研究孤立波，并将其研究成果进一步应用于技术，进一步 推动了孤立子理论研究的发展，并使其具有更为坚实的基础 1 2 2 非线性发展方程的精确求解 求非线性发展方程的精确解是一个极具挑战性的问题这些精确解的得到 能够帮助物理学家和工程技术人员更为精确的研究波的传播规律和检验数值 解的精确度多年来，许多数学家和物理学家已经做了大量的工作，但是由于非 线性发展方程的极度复杂性使得大量重要方程无法求出精确解，即使能够求 出，也需要运用很多的技巧，至今尚无统一的方法因此，具有重要物理意义的 新解还有待于进一步构造和发现值得庆幸的是，经过多年不断的努力，数学家 和物理学家发现在孤立子理论中有一系列构造精确解的有效方法，如反散射方 法，d a r b o u x 变换，b s c k l u n d 变换，h i r o t a 方法，分离变量法，广义的双曲函数法。 变系数均衡作用法，p a i n l e v e 分析，l i e 群方法等等各种求解方法的出现不仅使 过去难以求解的方程得到解决，而且具有重要物理意义的新解不断的被发现出 现了一个层出不穷的势头，更多新的求解方法等待着我们去探索 1 2 3 孤立子的研究趋势 数学机械化是近2 0 年发展起来的新兴数学，计算机及人工智能的交叉学 s u p e r m x l 1 2 6 c o r n第6 页，共41 页毕业论文 第一章绪论 科，是数学学科的前沿和焦点，由于精确描述物理现象的非线性理论是科学 发展的必然趋势，其中将不可避免地经常涉及到人力难以胜任的十分复杂且 精确的代数与微分等非数值运算，所以借助于计算机的大容量，高速度的特 点，用精确的符号计算，机械化来实现数学功能十分必要，其中关键是建立适 合于所考虑问题的构造性的代数算法近年来，随着计算机的发展和符号运算 如m a t h e m a t i c a 或m a p l e 的出现。直接构造非线性方程的解越来越受到重视使复 杂，冗长的代数运算可在计算机上完成，并可发现新的解由于孤立子理论中蕴 藏的一些求解方法和技巧都是构造性和代数化的，这些运算和推理往往十分复 杂，有的人力难以完成，如经典l i e 群方法f 2 9 ，3 0 】，它就适合于应用计算机代数进 行研究，计算机代数的开发和利用，将对孤立子理论的深入研究起很大的推动作 用 数学机械化思想是由我国著名数学家吴文俊院士大力提倡的，并取得了举 世公认的成就，创建了多元多项式方程组求解的吴消元法，初等几何机械化证明 及微分代数几何基础【3 l 】，为近代非线性科学的研究提供了强有力的工具，连续 被列为我国八五和九五国家攀登计划项目著名数学家程民德院士认为：“数 学机械化思想德明确提出，意义十分重大是从战略德高度为数学的发展提出了 构想” 目前，吴文俊院士的数学机械化思想已渗透应用于诸领域吴方法和计算机 代数己在微分方程特别是孤立子理论的研究中得到广泛的应用，在孤立子研究 中，如构造精确解，p a i n l e v e 检验，孤子族的生成及其l a x 表示，可积系统的约化和 分解，寻找对称群等经常涉及到十分复杂的符号计算和推理，但这些符号计算具 有重复性，固定的套路和规律，有些计算繁冗人力难以完成，正是计算机代数用 武之地 石赫研究员利用吴消元法，求解了著名的y a n g - b 脚e r 方程【3 2 1 朱思铭教授【3 3 】根据a r s 猜测，把吴方法和符号计算应用于孤立子中偏微分 方程p a i n l e v e 性质的奇点分析，在机器上证明了一大批偏微分方程是p 一型的 近年来，李志斌教授在利用吴方法和计算机代数，寻找和构造非线性发展方 程行波解方面做了很好的工作，他基于大多数孤波解都可表示成双曲正切函数 s u p e r i m d 1 2 6 c o m第7 页，共4 t 页 毕业论文 1 3 本文的主要工作 的有限级数，引入了一种直接而有效的t a n h 方法，从而将微分方程求解问题转化 为代数方程求解，沟通了吴方法与微分方程的联系，成功地求解了一大批非线性 发展方程及其新解 1 3 本文的主要工作 本文主要运用现有的孤立子理论和方法，如齐次平衡法，推广的t a n h 函数方 法，j a c o b i 椭圆函数方法以及f 展开方法等，研究一些具有重要物理背景的非线 性发展方程，在已有工作的基础上，寻找它们新的孤立子解及其精确解 主要研究内容： 1 三维空间中k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程的j a c o b i 椭圆函数周期解 2 三维空间中k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程更为一般的精确解 3 一类d y 方程的精确解 4 三维空间中z a k h a r o v 方程的精确解 5 f l + 1 维空间中变系数k d v 方程组的精确解 s u p e r m x l 1 2 6 e o m 第8 页共“页毕业论文 第二章三维空间o o k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程 的精确解 本章中，我们将详细讨论f 展开方法以及改进的o n 函数法在一类非线 性k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程中的应用 2 1 三维空间中k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程的j a c o b i 椭圆函 数周期解 当前，求解非线性方程是广大数学和物理工作者致力于研究的重要课题近 年来，人们提出和发展了许多求解非线性方程的有效方法，如齐次平衡法、双 曲正切函数展开法，试探函数法，映射法，叠加法，j a c o b i 椭圆函数展开法、 辅助常微分方程法等等，并用这些方法求解了许多非线性方程然而，非线性方 程( 尤其是非线性偏微分方程) 的求解非常困难，而且求解非线性方程没有统一的 方法，以上的一些方法也只能具体应用于某个或某些非线性方程的求解，因此， 继续寻找一些有效可行的方法仍是一项十分重要的工作 众所周知，f 一展开法是一种行之有效的用于求解非线性偏微分方程的方 法，本文利用这种方法：得到了式( 1 ) 的大批j a c o b i 椭圆函数周期解，并发现了未 见报导过的新解，这对进一步研究k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程所描述的物 理现象具有重要的理论意义 本文考虑如下三维空问中的k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程： ， j 也t 一+ = 一鲫，t 0 ，z 舻，o ，1 、 l 也一c 2 妒= f 1 2 ，t o ，z r 3 、 其中是r 3 上的l a p l a c e 算子方程组( 2 - 1 1 是近年来引起起关注的一个重要 的非线性波动模型它是一个耦合的数学物理方程组，描述了等离子区域中朗 第9 页，共4 4 页 21 三维空间中k l e i n g o r d o n z a k h a lr 方程的j 兢椭圆函数周期解 谬尔波与离子声波的相互作用等物理现象c 表示传播速度函数为实值函 数，表示由电子产生的电力场中最大时刻标度的分量；函数妒为实值函数，表 示离子在任意位置的速度与它在平衡位置的速度之差系统( 2 1 一1 ) 是一 个k l e i n g o r d o n 方程与一个经典的双曲波方程按z a k h a r o v 系统的耦合形成的 一个非线性耦合方程组，除了它在物理背景上所表现的明确意义外，在数学上亦 具有典型特征 o z a w a ，t s u t a y a $ f l t s u t s u m i 曾究了方程组( 2 - 1 1 ) 的柯西问题在能量空 间的局部适定性问题，甘在会也讨论过方程组( 2 - l 一1 ) 整体解存在的最佳条件、 驻波的存在性和稳定性 现在，我们还没有看到有关k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程精确解的 讨论近年来提出的f 一展开法是j a c o b i 函数展开法的自然推广，本文就是运 用f 一展开法，得到方程组( 2 1 1 ) 的e h j a c o b i 椭圆函数表示的周期解，并且在极限 情况下推得孤波解以及其它形式的新解下面，我们简单介绍一下f 一展开法 2 1 1f - 展开方法介绍 考虑如下形式的非线性微分方程组： j ，( 晚也，以赢b ) 20(2-1-2) lg ( 妒，c t ，仉，吡，以，) = 0 其中方程组( 2 ) 左边是关于西，妒及庐，妒各阶偏导数的多项式 令9 y 程f l i ( 2 - 1 2 ) 有如下形式的解： 烈，弘毛t ) = e f f ) ， 妒( z ，y ，z ，) = 妒( f ) ， 0 = 口z + 3 y + 1 2 + a t ，f = 口z + 6 掣+ k z + d t ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 ，4 ) 其中a ，p ，y ，6 ，n ，b ，d 是常数将( 2 - 1 3 ) ，( 2 q 4 ) 代入方程组( 厶l 一2 ) 中，经整理得 到关于庐( ) ，妒( ) 的常微分方程组 s u p e r m x l 1 2 6 c o i n 第l o 页共页毕业论文 第二章三维空同中k l e i n g o r d o n z a k h a r a v 方程的耪确霹 假设驴( f ) ，妒( f ) 可以表示成如下形式的f ( ) 的有限级数 毋= 啦p ( ) t = 0 寸= 6 i f ( f ) 其中n o ，a 1 a n 是待定常数，f ( 4 ) 满足： ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) f n = n + 口f 2 + p f 4 ( 2 - 1 7 ) 方程( 2 - 1 7 ) 9 ，住，玑p 是实常数遁过平衡关于妒( f ) ，妒( f ) 的常微分方程组中最高 阶导数项和最高次非线性项，即可确定n 将( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) 式代入( ) ，妒( ) 的 常微分方程组中，同时利用( 2 - 1 7 ) 式反复化简，合并f ( ) 的同类项，便得到关 于f ( ) 的多项式令f ) 各次方系数为零，得到关于待定常数的一个非线性代数 方程组 借助于m a t h e m a t i c a ，求出上述代数方程组的解将所求结果代 入协l 一3 ) 一( 2 - i 一6 ) 9 ，可得到方程组( 2 1 - 2 ) 的一般形式解选择合适的n ，p ，口，并借 助于方程( 2 - 1 7 ) 的解，可推出方程组协1 2 ) 由j a c o b 椭圆函数表示的周期解 2 1 2 本文主要结果 对方程组( 2 - i 1 ) 作如下形式的变换： 9 ( z ，z ，t ) = e i o 妒任) ，( 2 - 1 8 ) v ( z ，：，) = 矽( f ，( 二l 一9 ) 其中口= o z + 励+ 7 z + a t ，f = 凹+ w + + d t ，n ，口，7 ，6 ，o ，b ，k ，d 是常数 将( 2 1 一s ) ，( 2 - i 一9 ) 带入方程组( 2 - 1 1 ) ，经整理转换为一常微分方程组为： 一( 铲+ 6 2 + k 2 一d 2 ) 矿+ ( a 2 + 俨+ f + 1 一矿) + 鲫= 0( 2 - 1 1 0 ) ( 扩一c 2 ( 口2 + 萨+ 七2 ) ) 矿一2 ( 口2 + 6 2 + 七2 ) 护一2 ( 矿+ 铲+ 七2 ) 妒矿兮0 - 1 1 ) 其中妒= 妒( ) ，= 蜈，矿= ，妒= 妒) ，矿= 并且满足有如下的系数关系： nq+够+qd口=0(2q一12) s u p e r m - x l 1 2 6 g o m 第1 l 页共l 顷毕业论文 2 1 三维空问中k l e i n g 饼t d o n z a k h m 方程j a c o b i 椭圆函数周期解 通过平衡( 1 0 ) ，( 1 1 ) 式中最高阶导数项和最高次非线性项，我们可以假 设( 2 - 1 - 1 0 ) ，( 2 - 1 1 1 ) 具有如下形式解： 妒( f ) = a o + a l f ( f )( 2 - 1 1 3 ) 妒( ) = b o + b l f 幢) + 6 2 f 代) 2 ( 2 - 1 1 4 ) 其中幻，口l ，b ，b l ，b 2 为待定常数，尸= f ( f ) 是d d e ( 2 一】一7 ) 的一个解 将( 2 - i 一1 3 ) ，( 2 - 1 1 4 ) 式代a , ( 2 - 1 - i o ) ，( 2 - i 一1 1 ) 式中，同时利用o d e ( 2 一l 一 7 ) 式进行化简，合并f ( f ) 的同类项，得到关于f ( ) 的多项式令p ( ) 前的系数为 零，于是可以得到如下非线性代数方程组： ( d 2 一a 2 一b 2 一k 2 ) + a 1 6 2 = 0 a l b l + d 0 6 2 20 q a l ( d 2 一a 2 一b 2 一后2 ) + a l ( 0 2 + 卢2 + 7 2 + 1 一矿) + a l b o + a o b = 0 一q a l 印( 0 2 + b 2 + k 2 ) + q b l ( 扩一c 2 ( a 2 + b 2 + 2 ) = 0 2 p a l a o ( a 2 + b 2 + k 2 ) + p b l ( d 2 一d ( a 2 + 6 2 + 2 ) = 0 一n o ；( 口2 + b 2 + k 2 ) + 珏6 2 ( d 2 一c 2 ( 护+ 铲+ k 2 ) = 0 口蠢( 矿+ b 2 + 肛) + q b 2 ( d 2 一c 2 ( 0 2 + 6 2 + 2 ) = 0 妒 ( 0 2 + b 2 + k 2 ) + p b 2 ( d 2 一d ( a 2 + 6 2 + k 2 ) = 0 咖( 0 2 + 矿+ 1 2 + 1 一，+ b o ) = 0 利用数学软件m a t h e m a t i c a 的运算功能，解上述代数方程组得： a o = 0 。- = 士、伍亘习瓣翠 k = - 1 + q ( a 2 + 6 2 + k 2 一d 2 ) 一( 口2 + p 2 + 7 2 + 1 一盯2 ) ( 2 - 1 1 5 ) b l = 0 【6 2 = 劲( 舻+ 6 2 + 女2 一铲) 将( 2 1 - 1 5 ) 代入( 2 1 1 3 ) - ( 2 - 1 - 1 4 ) 中，可得到方程组( 2 - 1 - 1 ) 的一般形式解为： 似俨壅翌磊鬻巫耍珥( 2 - 1 - 1 6 ) s u p e r m x l 1 2 6 c o m 第1 2 页共1 顷 毕业论文 第二章三维空同中k t e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程的棒确解 砂= 一1 + g ( 口2 十6 2 + 七2 一d 2 ) 一( 口2 + 矿+ 铲+ 1 一矿) + 2 p ( a 2 + b 2 + k 2 一护i 眯疗) 易知，j a c o b i 椭圆函数： 尸( ) = s 他( )( 2 - 1 1 8 ) 是o d e ( 2 - 1 5 ) 当n ，p ，q 取如下值时的一个解： = 1 ，q = 一( 1 + m 2 ) ，p = m 2 ( 2 - 1 1 9 ) 其中m 是j a c o b i 函数的模 当( d 2 一0 2 一b 2 一2 ) ( c 2 ( a 2 + b 2 + 2 ) 一d 2 ) o 时，将( 2 - i 一1 8 ) - ( 2 一i 1 9 ) 代 入( 2 - 1 1 6 ) 一( 2 - i 一1 7 ) 式，我们可得到方程组倍l 一1 ) 由，d o 砌椭圆函数表示的周期解 为： 九l = 如讲n m 2 ( d n - a n - b n - k n ) ( c n ( a n + b n + k 2 ) - d 2 ) s n ( ) 妒1 1 = 一1 - ( 1 + m 2 ) ( 口2 + b s + e - d 2 ) 一( 0 2 + 俨+ f + l 一矿) + 2 m 2 ( 矿+ 6 2 + 胪一d 2 ) 5 7 l 心) 2 如果m 一1 ，则可推得方程组( 1 ) 的一组新的孤波解为： 妒1 2 = 妇”2 ( d 2 - a s - b 2 _ k s ) ( c 2 ( a 2 + b 2 + k 2 ) - d 2 ) t a n 危( 。 妒1 2 = 一i - 2 ( a 2 + b s + k s - 毋) 一( a 2 + 妒+ f + 1 一仃2 ) + 2 ( 扩十矗2 + 铲一d 2 ) t n h ( 0 2 易知，j a c o b i 椭圆函数： f ( ) = m ( f ) ( 2 - 1 2 0 ) 是o d e ( 5 ) 当n ，p ，口取如下值时的一个解： n = 1 一r n s ，q = 2 m 2 1 ，p = - - m 2( 2 - 1 2 1 ) 其中m 是j a c o b i 函数的模 当( d 2 一a s 一6 2 一k s ) ( j ( a 2 + 6 2 + 2 ) 一扩) _ 狲0 , zer舻3ctc25妒0 ( 2 - z - 1 ) i t 一 = l 妒1 2 ，t ，z 舻 7 其中是腰上的l a p l a c e 算子 2 2 1 预备知识 下面，我们简单介绍改进的t a n h 函数法和新的r i c c a t i 方程的形式解 对于给定的发展方程组 jf ( ，a ，以，血t ，以，) = 0 ig ( 妒，纯也，纯，虹) = 0 其中方程9 1 ( 2 - 2 - 2 ) 左边是关于，妒和，多各阶偏导数的多项式。 令方程1 i t ( 2 - 2 - 2 ) 有如下型式的解： s u p e r m x l 1 2 6 c o i l l 第1 4 页，共ll 页 ( 2 - 2 - 2 ) 毕业论文 第二章三维空闻中k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程的精确解 毋( z ，可，z ，t ) = e 8 ( ) ， 妒( 毛y ，2 ，t ) = 妒( ) ， 口= o t x + 励+ y z + 口，f = + b y + k z + d t 其中o ，口，7 ，最a ，6 ，七，d 是常数把上式代入方程组(