（应用数学专业论文）cantor测度的点态上、下密度.pdf

硕士学位论文 m a s t e r ? st h e s i s 摘要 考虑函数迭代系统s o ) = 墨( 功，是o ) ) ，其s i ( x ) = x ，s ：( x ) = 寺x + 。记函 3 j 数迭代系统s ( 功鼍 s l ( 功，s ：) 的吸引子为f ，所诱导的不变测度称为c a n t o r 测度，记s = l 0 9 2 l 0 9 3 。用p ，功，劈，功表示j 维上、下密度，本文给出了对 垤f ，口似，d 和劈似，功的明确公式，并根据x 的三进制展式证明存在一个可 l l 数集e c f ，使v x e f e ， 9 ( 2 0 + 。，工) ) 一+ ( 2 甜 ，石”_ = 8 ，进一步，对一几乎 所有的x f 有p ( 肚功= 2 一，醪似，曲= 2 一。 关键词：c a n t o r 测度；上密度；下密度 硕士学位论文 ，吐a s t e r st h e s i s a b s t r a c t l e t s ( x ) ： 墨( 与，是( 曲 w h e r e s l ( x ) ：i 1 工，蔓o ) ：i 1x + i 1 1 e t fb et h ea t t r a c t o r o ft h ei f s s ( x ) = s i ( 力，o ) ) ，a n dw eo f t e nc a l lt h ei n v a r i a n tm e a s u r e i sc a n t o r m e a s u r e l e t s = l 0 9 2 l 0 9 3 ，w ew i l ld e t e r m i n eb ya ne x p l i c i tf o r m u l af o re v e r yp o i n t x f ，t h eu p p e ra n dl o w e rs d e n s i t i e sp - i ( ，x ) ，劈( ，x ) o ft h ec a n t o rm e a s u r ea tt h e p o i n t x i nt e r mo ft h e3 - a d i ee x p a n s i o no fx w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sac o u n t a b l es e t jj ec f ，s u c ht h a t9 ( 2 0 ( ，x ”+ ( 2 劈( ，x ) ) = 8h o l d sf o rf e f u r t h e r m o r e ，f o r z a l m o s ta l lx ，口 ，曲= 2 一，醪，= 2 一一： k e y w o r l d s ：c a n t o rm e a s u r e ；u p p e rd e n s i t y ：；l o w e rd e n s i t y 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 噜呼 日期：加歹年月h 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 苫羚年瓢 喊一年绷 导师签名：么弓该训八 日期：加罗年6 月f 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童诠塞握交厦溢卮；旦圭生；旦二生；旦三生筮盔! 懒专：9 名呼 喊加净舀1 日 导师签名：父弓垓e 叭导师签名：“弓垓己叭 日期：小了年乡月f 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节研究背景及现状 过去，数学已经广泛涉及到那些可以用经典的微积分进行研究的集类和函数 类，而那些不够光滑的和不够规则的集和函数，都被认为是不值得研究而不被理睬， 然而，近几年来，对“不光滑集可以而且必须进行详细的数学描述。不规则集比 经典的几何图形更能更好的反映许多自然现象，分形几何恰好为研究这样的不规则 集提供了一个总的框架。 粗略的看，光滑曲线在其上任意一点的邻域近似是一条直线段，而对于象分形 这样散乱的一类物体的局部结构我们可以延着某种途径去确定分形在普通点的邻 域形状，特别在典型点，可以研究分形的集中程度，也就是说，它们的局部密度问 题。无论是在理论发展上，或者是在应用中，对分形的局部密度的了解是很有用的。 设f 是平面的子集，f 在x 点的密度是l i m 竺竺堡掣： 7 刈 a r e a ( 1 ：；, l x l i m a r e a ( fc 、，b , ( x ) ) ，这里b ，( 曲是以x 为圆心，以，为半径的闭圆盘。经典的勒贝 ，枷 万 格密度定理告诉我们，对于b o r e l 集除去一个面积为零的集外，这个极限存在，并 且当x f 时极限为1 ：当x 正f 时极限为0 也就是说，对于f 的一个典型点x ，以z 为中心的小圆盘几乎全部由f 覆盖，但对于f 外的点x ，以工为中心的小圆盘一般 极少包含f 的点。 类似的，如果f 是平面上的光滑曲线，且x 是f 上的点( 不是端点) ，那么对 于很小的，f n b ，( 功接近于f 的直径弦。最1 l i m l e n g t h ( i f n b 一, ( x ) ) ：1 如果z 盛f ， ，_ o = z ， 这个极限显然为0 在面积或长度的意义下，上面这些密度定理告诉我们集f 在工附 近的集中程度，那么按照同样的方法研究分形密度是很自然的。 设f 的维数是j 维，定义一个j 一集f 在点x r ”上的上、下密度分别为 矿( 删= 1 唑严掣，钾力= l i m ，卅i n f，岫 i z ，j r w 日5 ( ，n 耳( x ) ) ( 2 ，) 5 。 ，其中日( f ) 为f m s 一维h a u s d r o f f 测度。如果口( f ，功= 钟( f ，x ) ，则称f 在点x 的密度是存 在的，并用口。( f ，功表示这一共同的值。使0 ( f ，功= 钟( f ，功的点叫f 的规则点， 否则就叫不规则点。一个s 一集叫规则的，如果日一几乎所有的点( 也就是除去一 个h 。一测度为0 的集以外的所有点) 都是规则的。而不规则集是如果日。一几乎所有 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 的点都是不规则的。 对于s 一集我们可以得出如下结果：设f 是尺“的一个s 一集，那么( a ) p ( f ，功- 0 1 7 何，功对日5 一几乎所有的x 芒f 成立。( b ) 2 吖口( f ，功1 对日。一几乎 所有的工f 成立由( b ) 立即得出一个结论：一个不规则集几乎处处有严格小于 1 的下密度。 也有许多文献研究过分形的密度问题，如b e d f o r d 和f i s h e r 在 1 中就引入了 平均密度的方法；p a t z s c h k e 和z a h l e 在 2 中研究了三分c a n t o r 测度的平均密度； l e i s t r i z l 在 3 中研究了朋部分c a n t o r 集的情形；丰德军、华苏、文志英在 4 中研究了三分c a n t o r 集的点态密度；本论文试图考虑函数迭代系统 11 s ( 曲= 墨，岛( 功 ，其中s ( 功= 寺x ，是( 力= 寺x + 妄所诱导的c a n t o r 集f 的点态 3)3 上、下密度。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节术语、注记和主要结论 在本文中，我们采取如f 术语和注记： 定义2 1 - 设o f i ，毛= o 或者2 用日表示f 一维h a u s d r o f f 测度，d i m f 表示f 的h a u s d r o f f 维数，则由文献 5 知i m n f = s , s = l l o o g _ ，2 且日( d = j 1 。 考虑函数迭代系统s ( 曲： s 。( 硝，s ：( x ) ，其中s ( 工) ：丢x ，曼( d ：丢x + 昙：则由 3 33 文献 6 知对任意的b o r e l 集么，存在一个b o r e l 测度满足 ( = 了1 ( 墨一1 ( 彳) ) + 了1 ( 岛。1 ( 彳) ) ( 丰) 且定义( f ) = 圭。 测度弘是一个自相似测度，我们将它称为c a n t o r 测度，这个测度有如下性质： ( 1 ) u 的支撑集为f ，r s l ( f ) u 是( f ) = f ( 2 ) i 1 = 日s ( d i ( 3 ) = h l ( 其中日5k 是h a u s d r o f f 测度日5 在f 上的限制。即 v b o r e l 集e acr ，日l ，( a ) = h 5 ( a n f ) ( 4 ) 存在0 = ( i 9 ) 一一| 一5 - a i n f o x ) ：xe。1 6 5 1 8 ，其中下确界在( ，功一甜( ， f = ( i ) 一一一o ，其中下确界在 工f ；f o ) = 吉) 达至 j ； o ( 5 ) 对一几乎所有的x f ，有g ( ，x ) = 2 一卜1 ，口( ，x ) = 2 。 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节一些引理和定理( 1 ) 的证明 3 1 一些引理的证明 引理l ：对任意的b o r e l 集么c ( 一j 1 ，1 ) r a ，t 1 ，2 ) ， 有慨，( 彳) ) = 2 一( 彳) 。 证明：如果么c 卜丢，1 ) ，则墨( 么) c ( 二吉，吾) ，s ：( 么) c 唁i ，亏2 ) ， 所以有s ( 彳) n 最( f ) = ，s , ( f ) n s 2 ( a ) = o ， 由( 车) 式得： ( s ( 锄= 丢( 么) + 五1 ( 最_ l ( 墨( 锄) = i 1 ( 么) ( 墨( 锄= 三( 彳) + 五1 胛。- l ( 蹦么) ”= 三( 鼽 引理2 ：对任意的o f 去，有【o ，f 】去( 2 f y 证明：由c 木，式知( 。，爿) = 百1 ， ( 1 ，如果吾，三，则户 ，d ( 。，吉 = 百1 三( 2 ，y ； ( 2 ) 如果o f i 1 ，则存在七，使得三2 3 制f 3 七f 丢，墨( 【o ，3 f 五= 【o ，f 】， zo 由引理1 知： ，f d = g 。( o ，3 f b ) = 2 - ( 0 ，3 f 参2 4 丢( 2 3 矿= 三( 2 f y 。一 弓l 理3 ：对任意的o f i 1 ，【0 ，r 】三( 2 f y 。 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明：因为印班= f ，只需讨论对所有的f 0 ，习n f 有【o ，f 】三( 2 f y 成立。 ( 事实上，若f 正f ，令t = s u p xf ；x f ) ，则t + f 。因此 o ，f 】= 【0 ，f 】等丢( 2 r ) 圭( 2 r ) ) 。 令， 。专 n f ，则存在七，使得三3 士l ， j 1 3 。 ( i ) 如果f = 三3 t - l ，由引理l 知： ，r d = ( & “1 o ，三 ) ) = 2 q 0 ，三 ) = 2 。- 2 = 三c 3 砖。1 ，。= 三( 2 ，y 现在假设1 2 3 。- l ， 0 贝0 ( 2 x + y ) 5 工+ j ，5 成立。) 则圭2 t y 一 ，d 圭( 3 士1 ) 。+ 三( 2 f l y 一三( 3 士1 y 一 ，f l d = 主( 2 ，。y 一 ， d ( i i ) 因为f f , t t f ，所以存在毛，使得互1 3 一屯。f l j | ，类似于( i ) 的讨论，如果= 三3 一，则 ，f 。d = 三陋。) ，； 如果主3 呐- l f l 三3 屯，令，：= f l 一3 吨， 则有三( 2 ，广一 ，r d 喜亿。y 一 ，t , d 三协：y 一 ，f 2 d ； ( i i i ) 重复上述讨论过程，我们有：或者三( 2 ，) l 一 ，f d = o ，或者对某些历 扣s - - r i o ，r d 三) j 一 ，t d 叫 ，t d 因为。专o ， ，。d 专o ，当加寸时，所以昙亿) | 一 ，f d o 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 所以，0 t 1 6 ，m 扣) ，。_ z j l 理4 ：对任意的，【0 ，尹1 ，肼o ，】丢，。 证明：( 1 ) 如果三6 ，三，则【o ，】= ( 【0 ，习) = 4 jo 所以学i 1 ( 尹1 叶= i 1 坤胁】i 1 ( 2 ) 如果三3 ，圭，令r = ，一j 1 ，则o f 丢。由引理2 知 【。，】= 【。，j 1 】+ j 1 ，】= i 1 + 【三，】= i 1 + 【o ，f 】石1 + i 1 ( 2 f ) ， 所以掣鲁啪一： ( 3 ) 如果o r 委，则存在某正整数七，使得寻3 4 q ， 三 r 52 r ( 3 ，) 5 2 综上，【o ，- 】导，5 ，v ，【o ，1 】。_ 引理5 ：令z 。，爿，那么对任意的，满足m a x 五吾1 0 ，互1 一x ，我们有 掣圭( 2 6 x ) - 5 ，并且当，= 三一工时等号成立 证：c i ，如果m a x 毛i 1 一士，1 3 一x ，那么 。专 cb - r , x + r c 一j 1 ，爿， 则 - r , x + r d = ( 。，吉 = i 1 因此掣=丢(2，)-5=三(6，)_5三(26工)_， 7 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 且当，= 吾一x 时等式成立； ( i i ) 如果三- x r 三一x ，令f = ，一i 1 一功，贝l j0 t 1 6 ，由引理4 ，r r r三+ ( o ，f 】) 一十广 ! ，x+rll 11 掣= 嚣焉去护6 市5 一 ( 2 ，) 。 2 5 ( 三一x + f ) j 一2 。( 三一x + f ) 。一2 5 ( 三一工) 5 2 、。“。 3 2 定理( 1 ) 的证明 证明：对任一给定哆工f 及o ， i 1 ，存在序列纯k 习，其中v 七豇 1 ，2 ，使 得x 2 职墨吨( 【o ，争) ； 选取正整数轧 吏得 x - r , x + r ds 6 吨( 【o ，丢】) ， 但是瓯 一。( 【o ，专】) 岱i x 一，x + ，】 因此( 讪) 。1 ( b 一，x + ，】) 3 & ( 【o ，匀) ， 但是【o ，二】1 旺 铲 1 ) 一1 ( 【x 一厂，x + ，】) 所以( 瓯吨一。) _ ( i x 一，x + ，】) c ( 一去，1 ) ( 1 ) 令y = ( 瓯吨一。) _ 1 ( x ) ，由r 的定义y = t k q ( 功，再令，= 3 h ，则o ，j 1 一x ，则【o ，争1 c b 一，x + ，】c 卜吾，吾】， 我们有( x - r , x + r 】) = 艇o ， ) = 丢， 当，= m a x x ，喜一x 时等式成立； o ( 2 ) 如果；一x ，圭一x ，令r = ，一与1 一x ) 贝j o f i 1 ， 【0 丢c k - r , x + r c 卜j 1 ，尹1 ，由引理3 ( 【x - r , x + r ) = ( 【o ，丢】) + ( 【o ，f 】) 百1 + ( 2 0 oq 掣r , x + r d 岢1 + 1 ( 2 0 毒1 = 毒1 当，= 昙即，= j 1 一x 时等式乎立 1 0 硕士学位论文 i d a 8 t e r st h e s i s 定义4 1 ：定义p ：f 寸r 尸( x ) = 互1m a ) 【 2 ( m a x 3 而圭一3 对) 5 2 。( m a ) ( x ，j 1 一对) 5 p ( 曲= 尸( 三一力，当三x 三 ) ，当o x i 1 ； 引理7 ：坛f ，0 叶 ，功= l i m s u p p ( t ( 砌 丘- - 1 o i e - 坛f ，o ， = 1 ，选取正整数七，使得b 一，x + ，】3 瓯吨( o ，习) 但是 o 。 z 瓯吨。( 【o ，争) 旺【x - r , x + r 】；从而( 瓯 ，) 一1 ( x - r , x + r 】) 3 & ( 【o ，争) 但是 【0 ，刍岱( s 讪) 一1 ( b 一，x + ，】) ；因此有( 瓯吨。) - 1 ( x - r , x + r dc ( 一互1 ，1 ) ； 令y = ( 瓯噍q ) _ 1 ( x ) ，由t 的定义y = r q ( 石) ；再令，= 3 扣1 ，则o o ) 。 i - i 证明：当工y 时由r 的定义孕证r ( x ) 2 吉； 如果z = 三善而3 叫叠y ，那么在序列 t ) 二中出现0 0 蓼者2 2 的情况，假设 x j x j + ! = 0 0 , 贝j j t m o ) = 2 1 1 = 1 。r 。三砉2 3 = 丙1 1 有_ x 朋2 2 2 ，则有丁一( 1 一x ) = 三喜( 2 一毛铲。) 3 叫三善2 3 一= 丙1 i 1 因此f 言凯e ve 命题9 ：对几乎所有的石f 关于测度有r ( 功= 0 。 证：令1 2 , 1 n ，显然瓯是压缩比为3 一的相似压缩映射，并且这些2 1 个 压缩映射满足开集条件。令吃= 缸= 妻薯3 一f v m o ，x 耐+ 1 x 肼f + ，o o ) ， 则吃cf 是由2 一1 个相似压缩映射 & _ i i o o ) 生成的自相似集，由文献 7 知，d i m 日马= 1 0 1 9 矿( 2 。- 1 ) = s u p 哇仁擎盟) 一一三( 2 6 f ( 力一，当坏是三进制小数) = 丢弓) 一圭2 = 圭2 吖o 3 2 2 8 8 ，其中上确界在 x f ；r = 。) 达到。 叫口，x ) 一e c a ，x ) ：x ef ) 当x 是有限的三进制小数时，则由引理8 知，x 诺矿，f ) 去，所以 旷( ，功一o ：c a ，x ) = 2 1 一j 1 ( 2 也( 砌。2 一一互1 ( 2 _ 6 。1 ，= 2 一圭。 当工不是有限的三进制小数时， 蛳旷吣m ) = 畦掣竽厂一6 如) ) - 5 ) 1 = i n f ( 2 + 2 r ( x ) ) 一一寺( 2 6 r ( 力) 叶 = ( 2 + 2 x 8 ) 一一三( 2 6 扩= ( 一至l 。7 5 - s o 1 6 5 1 8 ， 当f o ) ：三时取最小值。一 ( 5 ) 的证明 由命题( 9 ) ，对几乎所有的x f 关于测度有f ( x ) = 0 ，因此 o c a ，z ) = 2 一，口5 似，x ) = 2 一。一 1 4 硕士学位论文 m a s t e r ! st h e s i s 参考文献 【1 】t b e d f o r da f i s h e r a n a l o g u e so ft h el e b e s g u ed e n s i t yt h e o r e mf o rf r a c t a ls e t so f r e a la n di n t e g e r s 阴p r o el o n d o nm a t hs o e ，1 9 9 2 ，6 4 ( 3 ) ：9 5 1 2 4 【2 】n p a t z s c h k e ，m 磊眦e f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a t i o ni nt h es e l f - a f f i n ec a s ei i i ：t h ed e n s i t y o dt h ec a n t o rs e t 阴p r o ea m e rm a t hs o c ，1 9 9 3 ，117 ：1 3 2 1 4 4 【3 】l l e i s t r i z g e o m e t r i s c h eu n da n a l y t i s c h ee i g n s c h a f i e ns i n g u l a r e rs t r u k t u r e ni n 胄dp 】d i s s e r t a t i o nu n i v e r s i t yo f j e n a , 1 9 9 4 【4 】f e n g ，d j ，h u a , s ，w c n ，z yt h ep o i n t w i s ed