（工程力学专业论文）边坡稳定的非线性有限元可靠度分析方法研究.pdf

摘要 本文在分析评价现有的边坡稳定性分析方法的基础上，综合岩土力学、弹塑性力学、非 线性有限元方法、概率论与数理统计、可靠度数学、计算机科学等多学科的知识，详细研究 了边坡稳定非线性有限元可靠度分析的有关方法，推导了相关公式，编制了相应的计算程序， 进行了均质土坡及非均质土坡的可靠度分析。主要研究成果与结论如下： 1 )提出基于强度折减的边坡稳定有限元可靠度分析方法研究表明，这种方法无需对 各有限单元求单元的可靠指标，能一次性得出边坡的整体可靠指标；不需对定值法有限元分 析程序作任何修改，无论是线性有限元问题还是非线性有限元问题都适用，因而方便易用， 适用性广。 2 )基于增量初应力法及偏微分技术。研究了基于滑面应力分析的非线性有限元可靠度 分析方法中边坡整体可靠指标及其对应滑面位置的求解方法，探讨有限元分析中功能函数形 式对计算结果的影响。研究表明，在这种方法中，功能函数的形式对滑面可靠指标的影响很 大，计算中应采用考虑滑面方向的函数形式作为功能函数。它能更好地反映滑面方向对边坡 可靠指标的影响，物理概念明确，因而更为合理。 3 ) 分析比较了上述两种方法的异同点。研究表明，基于强度折减的有限元可靠度分析 方法编程简单，可调用现有的定值法程序，但计算速度较慢；基于滑面应力分析的有限元可 靠度分析方法编程复杂，需对现有的定值法分析程序进行较大修改，但计算速度较快，并且 能得到边坡整体可靠指标对应的滑面位置。理论分析还表明，基于强度折减与基于滑面应力 分析的边坡稳定非线性有限元可靠度分析方法本质相同，其计算结果的差异主要是由于这两 种方法具体实现过程的不同而引起的。 4 ) 针对当前响应面法中的一些不足之处，提出了一种改进的响应面法一f o r m r s m 二步法。其主要的计算分二步，一是用验算点法求解可靠指标及验算点的位置，二是在此验 算点处进行响应面的拟合，并对此响应面函数用常规的可靠度分析方法求解相应的可靠指标。 不同算例表明：该方法在计算精度及效率上均比常用的基于响应面迭代的响应面法有所提高。 5 )研究边坡有限元可靠度分析中的敏感性计算方法，推导基本变量相关时在原始空间 中求解可靠指标对参数敏感性的计算公式，提出进行参数的相对敏感性分析方法及公式。研 究表明：基本变量相关时在原始空间中求解可靠指标对参数敏感性的优点是无需求解转换矩 阵，计算更加简单直接；对参数进行相对敏感性分析能剔除变量的单位对计算结果的干扰， 因而敏感性分析的结果更具有可比性。 6 ) 研究既考虑边坡的弹塑性材料非线性又考虑其大变形几何非线性的有限元可靠度分 析方法，比较大小变形情况下的相应结果。研究表明：在小变形情况下，弹性模最对边坡的 安全系数及可靠指标影响很小。在边坡稳定性分析时可以忽略其影响但是当考虑土体中发 生的大变形现象时，弹性模量对边坡安全系数及可靠指标影响很大，不能忽略不计。 7 )为提高非线性有限元程序的收敛性，本文基于常规有限元计算中的a i t k e n 加速收敛 算法，研究了基于增量切线刚度法的随机有限元分析中相应的加速收敛方法，推导了其计算 公式。计算表明：与不采用加速收敛算法的随机有限元相比较，此方法明显提高了有限元计 算的收敛速度，提高了计算效率。 8 )研究了有限步长迭代法在边坡稳定有限元可靠度分析中的应用，分析了初始步长及 步长控制系数对一阶可靠度分析中可靠指标迭代过程的影响，得出了常见的取值范围。这种 方法克服了常规验算点法中可能出现的可靠指标迭代不收敛的问题。 关键词：边坡稳定，有限元，可靠度分析，敏感性分析，大变形 a b s t r a c t b a s e do i lt h er e v i e wo f t h ea n a l y s i sm e t h o d so fs l o p es t a b i l i t ya n dal o to f k n o w l e d g e s u c ha s g e o m e c i m i c s ，e l a s t o - p l a s t i cm e c h a n i c s , n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，p m b a b i l 蚵t h e o r y a n dm a t h e m a t i c ss t m i s t i c s ，r e l i a b i l l t ym a t h e m a t i c s , c o m p u t e rs c i e n c e ，s o m em e t h o d so fn o n l i n e a r f e m r a l i a b i l i t ya n a l y s i so f s l o p es t a b i l i v ya r es t u d i e di nd e t a i li nt h i st h e s i s m a i na c h i e v e m e n t sa n d c o n c l e s i n ma 地a sf o i l o w s af e m r e l i a b i l i v ya n a l y s i sm e t h o do fs l o p es l a b i l i t yw h i c hi sb a s e do l lt h es t r e n g t hr e d u c t i o n m e t h o d ( s r m ) i sp r o p o s e d 1 1 1 ea d v a n t a g eo ft h i sm e t h o di st h a ti t 啪c a l c u l a t et h eo v e r a l l m l i a b i l i i yi n d e xj n s t e a do ft h e l c u l a t i o no f e a c he l e m e n t sr a l i a b i l i t yj n d e x a n o t b e ra d v a n t a g ei s t h a tt h i sm e t h o dc a r lm a k eu s eo f a n yd e f i n i t ef e ms o f t w a r e , n om a t t e rt h er e s e a r c ho b j e c ti sl i n e a r o f n o n l i n e a r t h e r e f o r e , i ti sv e r yc o n v e n i e n tf o ra n y o n et o 眦i t b a s e do ni n c r e m e n t a li n i t i a ls t r e s sm e t h o da n d 删a ld i f f e r e n t i a lt e c h n i q u e , a n o t h e rf e m m l i a b i l i v ya n a l y s i sm e t h o do f s l o p es l a b i l i t yw h i c hi sb a s e do nt h es l i ps u r f a c es t r e s sa n a l y s i s ( s s a ) ss t u d i e d t 1 l em a i np r o b l e m so ft h i sm e t h o da r et h ec a l c u l a t i o nm e t h o d so ft i l eo v e f a l lr e i i a b i i i t v i n d e x a n d t h e l o c a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n gs l i ps u r f a c e o f a s l o p e i t s c o n c l u d e d t h a t t h e t y p e o f t h e l i m i ts t a t ef u n c t i o nh a sg r e a ti n f l u e n c et ot h eo v e r a l lm l i a b i l i v yi n d e x , a n dt h ey i e l d i n gf u n c t i o n w h i c hc a l lc o n s i d e rt h es l i d i n gd i r e c t i o ns h o u l db es e l e c t e da st h ei k n i ts t a t ef u n c t i o nf o ri tc a n r e f l e c tt h ei n f l u e n c eo f t h es l i d i n gd i r e c t i o np r o p e r m y t h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e so ft h ea b o v et w om e t h o d sa r ec o m p a r e d i t sp r o v e dt h a tt h e f i r s tm e t h o di ss i m p l ei np r o g r a m m i n ga n dc a nm a k eu o fa n yd e f i n i t es o f t w a r e b u tt h er u n n i n g s p e di sv e r ys l o w o nt h ec o n t r a r y , t h ep r o g r a m m i n gp r o c e d u r ei sv e r yc o m p l i c a t ei nt h es e c o n d m e t h o d ，b u tt h er u n n i n gs p e e di sv e r yq u i c k a tt h es a m et i m e ，i t 啪a l s oc a l c u l a t et h el o c a t i o no f t h es l i ps u r f a c ej nt h e 嗣朋n dm e t h o d 。i t sa l s ot e s t i f i e dt h a tt h ea b o v et w om e t h o d sa r et h es a h l e s u b s t a n t i a l l y , a n dt h ed i f i e f e n c eo ft h et w om e t h o d sm a yc o m ef r o mt h e i rd i f f e r e n ti m p l e m e n t a t i o n p r o c e d u r e s a ni m p r o v e dr e s p o n s es u r f a c em e t h o d f o r i r s m i sp r o p o s e di nt h i st h e s i s t h i sn e w m e t h o dc o v a c o m et h es h o r t c o m i n g so f t h eg e n e f a iu s e dr s m , w h i c hi sb a s e do nt h ei t e r a t i o no f r e s p o n s es u l f a e 8 1 kf i r s ts t e po ft h i sm e t h o di st oc a l c u l a t et h er e l i a b i l i t yi n d e xa n dt h ed e s i g n p o i n tb yu s i n gf i r s to r d e rm l i a b i l i t ym e t h o d , a n dt h es e c o n ds t e pi st of i tar e s p o n s es u r f a c eo nt h e d e s i g np o i n t t h e n , t h em l i a b i l i t yi n d e xc a l lb ec a l c u l a t e db yu s i n gs o m en o r m a lf i r s to r d e rr e l i a b i l i v y m e t h o d i t sd e m o n s t r a t e df r o ms e v e r a le x a m p l e st h a tt h ea c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo ft h i sn e w m e t h o da r eb e t t e r t h a nt h a to f t h eg e n e r a lu s e dr s m t h es e n s i t i v i t yc a l c u l a t i o nm e t h o di nt h ef e mm l i a b i l i t ya n a l y s i si ss t u d i e d ，a n dt h ef o r m u l a s o ft h es e n s i t i v i t yo fm l i a b i l i t yi n d e xt ot h eb a s i cp a r a m e t e r si nt h eo r i g i n a ls p a c ew h e nt h e ya r e c o r r e l a t e da r ed e r i v e d a n dt h e n ，ar e l a t i v es e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o da n df o r m u l aa r es u g g e s t e d i t ss h o w e dt h a tt h et r a i l s f o r m i n gm a t r i x , w h i c hi sn e e d e di nt h ec o m p u t a t i o ni nt h et r a n s f o r m e d s p a c e i sn o wu n n e c e s s a r yi n 出i sm e t h o d ，a n dt h ed i s t u r bo ft h ed i f f e r e n tu n i t so fe a c hp a r a m e t e r c a nn o wb ee l i m i n a t ei nt h er e l a t i v es e n s i t i v i t ya n a l y s i sm e t h o d , s oi t sm o r ep r o p e rt oc o m p a n et h e i n f l u e n c eo f a l lk i n d so f p a r a m e t e r s i nt h em l i a b i l i v ya n a l y s i so f as l o p eu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w h a ti su s u a l l yc o n s i d e r e di s o n l yt h ep r o p e r t yo f e l a s t o - p l a s t i e i t yo rm a t e r i a ln o n l i n e a r i t y h o w e v e r ，t h e me x i s t sl o c a ll a r g es t r a i n i nm o s ts o l ls l o p e s t h e r e f o r e , t h ef e mr e l i a b i l i t ya n a l y s i sm e t h o d , w h i c hc a nc o n s i d e rb o t ht h e m a t e r i a ln o n l i n e a r i t ya n dt h el a r g ed e f o r m a t i o ng e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y , i ss t u d i e d , a n dt h e d i f f e r c n e , c so f t h er e s u l t so f a na n dl a r g ed e f o r m a t i o nm e t h o d sa ”c o m p a r e d i t sp 附v e dt h a tt h e p a r a m e t e ro fe l a s t i cm o d u l eh a si i t t l ei n f l u e n c eo nt h es a f e t yf a c t o ra n dt h er e l i a b i l i t yi n d e xi nt h e n o r m a l l yu s e ds m a l ld e f o r m a t i o ni c e ma n a l y s i s h o w e v e r , i ft h e r ei ss o m el a r g ed e f o r m a t i o n , t h e i n f l u e n c eo fe l a s t i cm o d u l et ot h es a f e t yf a c t o re n dt h er e l i a b i l i t yi n d e xw i l lb e c o m el a r g e , a n di t s h o u l dn o tb eo m i t t e d b a s e do nt h ea c c e l e r a t i n gc o n v e l 琶e n c em e t h o do f a j t k e ne n dt h em e t h o do f i n c r e m e n t a lt a n g e n t s t i f f n e s sm e t h o di nt h ed e f i n i t ef e ma n a l y s i s ，ac o r r e s p o n d i n ga c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c em e t h o da n d i 臼f o r m u l a sa ”s t u d i e di nt h es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s t h r o u g ht h ec o m p a r i s o no ft h e m e t h o d sw h i c hc o n s i d e ra n dd o n tc o n s i d e rt h ea c c e l e r a t i n go n e , i t sd e m o n s t r a t e dt h a tt h i sn o w a c c e l e r a t i n gm e t h o dmi m p r o v et h ec o n v e r g e n c es p e e dg r e a t l y 1 1 址a p p l i c a t i o no f t h el i m i ts t e pl e n g t hi t e r a t i o nm e t h o dt ot h ef e mr e l i a b i l i t ya n a l y s i so f t h e s l o p es t a b i l i t yi ss t u d i e d t h r o u g hm a n yt i m e so f c a l c u l a t i o n , t h ei n f l u e n c eo f t h ei n i t i a ls t e pl e n g t h a n dt h es t e pl e n g t ha d j u s t m e mc o e 伍c i e n tt ot h ei t e r a t i o np r o c e d u r eo f t h er e l i a b i l i t yi n d e xa n dt h e i r r a n g eo f v a l u e s8 r es t u d i e d i t sp m v o dt h a tt h i sm e t h o dc a nc o n q u e rt h ep r o b a b l yn o n - c o n v e r g a n c e p h e n o m e n o no f t h ei t e r a t i o no f t h en o r m a l l yu s e df i r s to r d e rr e l i a b i l i t ym e t h o d k e yw o r d s ：s l o p es t a b i l i t y ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；r e l i a b i l i t ym a l y s i s ；s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ；l a r g e d e f o r m a t i o n 插图清单 图2 i - 1极限状态方程( a ) 两个变量( ”一般情况 图2 4 - l不同情况下计算失效概率与精确失效概率的关系。 l l 1 7 图2 , 4 - 2 非正态随机变量的当量正态化1 8 图3 1 1土条及作用于土条上的力 图3 2 i 瑞典法计算图式 图3 玉l 毕肖普法计算图式 图4 2 - i莫尔圆与莫尔库仑屈服准则 图4 2 - 2石平面上的莫尔一库仑屈服曲线 图4 3 1过渡区域应力增量的计算 图4 4 - l 图4 4 - 2 2 3 2 4 2 6 2 9 应力方向的定义及应力莫尔圆 口的符号定义( a ) 秘= 0 ( b ) o o ：表示结构处于可靠状态； z s 时结构处于可靠状态，r s 的区域表示可靠域，r s 的区域表示失效域。对f 一般的情 形，结构功能函数如式( 2 1 1 ) ，在图2 1 - l ( b ) 中。相应的曲线( 曲面) 称为极限状态曲线( 曲 面) | 2 1 6 1 。 结构可靠度分析的基本原理 o 图21 1 极限状态方程( a ) 两个变量( b ) 一般情况 2 2 结构的可靠度与失效概率 由式( 2 1 1 ) 知，结构的功能函数是多个随机变量的函数，所以结构的功能函数本身也是一 个随机变量。这样，在结构使用过程中，功能函数是大于零( 可靠) 还是小于零( 失效) 是 不确定的，工程中需要分析的是结构使用期内功能函数至少一次小于零的概率。以图2 1 - i c o ) 为例，( 凰，x 2 ) 构成一个随机点，当该点落入可靠域时，结构处于可靠状态；当该点落入失 效域时，结构处于失效状态。随机点落入可靠域的概率称为可靠度，用只表示；落入失效域 的概率称为失效概率( 破坏概率) ，用p 厂表示显然，只+ p ，= l 。由于结构的可靠度只在数值 上非常接近于1 ，没有用失效概率表达起来方便，习惯上多用失效概率厅来表示结构的可靠度。 一般地，设结构功能函数z 的概率密度函数。取z ) 是已知的，则结构的失效概率可由下式计 算 0 = p ( z o ) = i 正( z ) d z ( 2 2 1 ) 而实际上，很难知道结构功能函数的概率分布，一般情况下可能知道的是其表达式中各 髓机变量的概率分布。如结构的抗力为岛荷载效应为岛联合概率密度函数为矗鼬习，则随 机点落a r 。，h 卅和p s + d s 所构成矩形区域的概率f 斟r , s ) d r d s 若结构功能函数为z = r 一 岛则由概率论的原理可得结构的失效概率为 b = p ( z o ) = p ( r s ) = l i 蠡( r ，s ) d r d s ( 2 2 2 ) 始 如果r 与s 相互独立，则联合概率密度函数为m r ) f s ( s ) 。此时，在积分域内先沿r 轴方向 积分，再沿s 轴方向积分可得 弓2 尸r s 2f 凼j ：厶7 矗5 毋 ( 2 2 3 ) 2i 【j ：f 一( r ) d r l ( s ) d s2 f ( s ) l ( s ) a s 也可先沿s 轴方向积分。得 弓2 p ( r 研= r 办厂m 删出 = r 【厂五o ) 西】厶( ，) 西= f 【l b ( r ) 】厶( r ) d r 。 1 2 合肥工业大学博 论文 作为更一般的情况，若功能函数中包含n 个基本随机变量蜀，五，墨，其联合概率 密度函数为厶( 而，毛，矗) 则结构的失效概率可表示为 弓= p ( r 中( 力 固2 4 1 不同情况下计算失效概率与精确失效概率的关系 3 原始空间中可靠指标的计算 下面将基本变量由y 空间变回z 空间。 由式( 2 4 7 ) 可得 2 警= 警 a y i毅； 1 a 3 ( y ) ( 2 4 2 1 ) = a x jq 4 2 2 ) x 空间中验算点的坐标为i = ，+ y ：c r t = 置+ 口盯r 相应地， ：丝： 吒 联立求解式( 2 4 2 2 ) 、( 2 4 2 3 ) 、( 2 4 2 4 ) - 即可求得可靠指标。 南 t 8 合肥工业大学博士论文 2 4 2 2 随机变量不服从正态分布的情况 当基本随机变鼍不服从正态分布时r a c k w i t z - f i e s s l e r 提出可采用当量正态化的方法。将 随机变量x 转化为当量正态变量z 具体方法是：将非正态变量置在验算点处，根据分布函 数毋舡) 与概率密度函数相等的原则等价变换为当量正态变量厨，并确定册的平均值和 标准差1 2 ”。 如图2 4 - 2 ，按在验算点上分布函数相等的条件 g ) = 气( i ) = m 睁) ( 2 4 2 5 ) 可得，k = # 一m 。 氏( i ) 】 ( 2 4 2 6 ) 按在验算点在密度函数相等的条件 “( 枷毒( 警) 7 ) 可得 _ 叫( 芋) 肛“) _ 烈旷i 【气g ) 】 厶g ) ( 2 4 2 8 ) 式中o ( ) 和m 。( ) 为标准正态分布函数和它的反函数，庐( ) 为标准正态分布的概率 密度函数 眦。澎 - 1 、 一二新尉) f 知 “) x i p a耻嚣 国2 4 2 非正态随材l 变量的当量正态化 当基本变晕x 为对数正态分布时其当鼙正态变量的平均值和标准差的公式可导出如下： 对于对数止态分布的基本变量x ，有 目( # ) ：由( 竺! 生i )( 2 4 2 9 )吒( # ) = 由( 二二堕)( 2 4 气z 厶( ) ：。l 妒( 竺! 鱼噬)3 0 ) x i o h jo h t 由式( 2 4 2 8 ) - - ( 2 4 3 0 ) 可得 结构可靠度分析的基本原理 1 9 刊警) 肛( 枷札2 # 厨丽，) 式中勃为x 的变异系数 由式( 2 4 2 6 ) 和式( 2 4 2 9 卜( 2 4 3 0 ) 可得 p x ；：i 一挚i 吒z ：相o - l n i + 心f )2 而一了7 。五吒z2 而m + 心f j ”。石 ( 2 4 3 2 ) = 4 ( 1 地和h 惫 2 4 2 3 验算点法的迭代步骤 上文分析推导了验算法中可靠指标的计算公式。由于公式中验算点的位置是未知的，因 此需迭代求解，具体的迭代步骤如下： 1 ) 列出极限状态条件g ( 五，砭，k ) = 0 并确定所有基本变鼍的分布类型和统 计参数如及吒o = l ，2 , - - - , n ) ； 2 ) 假定验算点的初值x 郴= “，z 们，z o ) 7 ，般可取 i o = ( 饥，帆) 7 ； 3 ) 对非正态基本变量在验算点的初值处按公式( 2 4 2 6 ) 和式( 2 4 2 8 ) 计算其当量正态变 量的平均值和标准差，并分别替代原有的平均值和标准差； 4 ) 由式( 2 4 2 4 ) 计算可靠指标局 5 ) 由式( 2 4 2 2 ) 计算方向余弦口； 6 ) 由式( 2 4 2 3 ) 计算新的验算点x 堋= ( i m ，“，1 ) 7 ； 7 )若前后两次迭代计算所得口之差小于e ( 或前后两次迭代的设计点间的距离 8 x 唧一x 。l 譬) ，8 为规定的允许误差，则停止迭代，所求声即为要求的可靠指 标；否则，取x ( o = x ( ”，转至3 ) 继续进行迭代。 2 5 蒙特卡罗模拟法( m c s m ) 蒙持卡洛模拟法( m o n t e - c a r l os i m u l a t i o nm e t h o d ，简称m c s m ) 又称为随机抽样法，概 率模拟法或统计试验法。该法是通过随机模拟和统计试验来求解结构可靠性的数值方法。由 于它以概率论和数理统计理论为基础，故被一些物理学家以位于法国与意人利接壤的闻名于 世的睹城蒙特卡罗命名，以此来表示其随机性的特征。在目前的结构可靠度分析中，它被认 为是一种相对精确的方法【2 l “8 i 。 蒙持卡洛模拟法用于结构可靠度分析的基本思想是：当已知基本变量x 的概率分布时， 可利用适当的随机数发生器，产生符合状态变量x 的概率分布的一组随机数而，x 2 ，以 之代入状态函数g ( 五，五，五) ，计算状态函数的一个随机数g “，而，毛) ，并看它是否 小于零。以同样式方法产生n 个状态函数的随机数据。若n 个状态函数的随机数中有册个小 2 0合肥工业犬学博士论文 于零。则当 ，足够大时，由大数定律可知系统的失效概率丹为： 弓= 魄“，x 2 ，) 0 】= m n( 2 5 1 ) 为与其它方法的计算结果进行比较，取 = 中1 0 - p ：) ( 2 5 2 ) 可以证明：当规定了模拟的精度( 厅的变异系数曩) 后，可由下式近似估算需要的模拟 次数1 2 1 6 1 3 3 0 - 3 ”： l p ， n 2 否苈 3 ) 对于实际工程而言，p ，的数量级一般是己知的。因此，给定一个模拟精度后。即可预估模 拟次数由上式可见，为了达到预定的精度，所需的模拟次数相对较多，计算量较大，因而 m c s m 多用于理论方面。以便检验一些新提出的计算方法的计算精度，或者进行某种比较。 由上述分析可知，在结构可靠度分析的m c s m 中，如何由随机变量的已知分布进行随机 抽样是十分重要的。 首先考察各基本变量互相独立的情况。设基本变量五，邑，k 分别有分布函数 f x , ( 而) ，氏( x 2 ) ，( x d 因为( t ) 为是一个服从【o ，1 1 区间上均匀分布的随机变量， 可以将其与蒙特卡罗法中产生的随机数相对应，即令瓦( ) = ，这里r i 是由蒙特卡罗法产 生的【o ，l 】区间上均匀分布的一个随机数，由此可得= 巧1 ( ) ，f = l ，2 ，挖，从而可得基本 变量墨，五，以的一组实现而，屯，。 若基本变量互相关，可以利用条件概率密度，把多维问题化成一维问题来解决设结构 基本变量五，五，k 彼此相关，则可将联合密度函数用条件密度函数表示为 厶( ，x 2 ，) = 矗( 而) ( 恐i 五) 厶，( 而i 而，屯) 矗( i 薯，而，一i ) ( 2 5 4 ) 式中右边各个因子都是一维概率密度，因此可仿独立情况，对于每个一产生一组基本变量 而，而，靠，其公式为 2 6 响应面法( r s m ) 2 6 1响应面法的原理 而= 露( ) 而= 瞄 ( 吒i 五) = 磁置，也，丘一( l ，屯，一i ) 结构可靠度常用的分析方法是一阶可靠度方法或蒙特卡罗模拟法。但是，对于复杂结构 的可靠度分析t 功能函数通常无法用显式表达，只能通过一些数值算法( 如有限元法) 得到 其离散值。因为一阶可靠度方法需计算功能函数的导数。计算较为复杂；蒙特卡罗模拟法又 堕塑旦苎堡坌堑塑苎查曼里-! ! 需多次进行有限元计算，计算工作量极大。在这种情况下，常采用响应面法( r e s p o n s es u r f a c e m e t h o d ，简称r s m ) 来进行可靠度分析 r s m 是统计学的综合试验技术，用于处理复杂系统的输入( 基本变量) 和输出( 系统响 应) 之间的转换关系。其基本思想是用响应面豳致( r s f ) 来拟合原有的隐式极限状态函数。 常用的响应面函数是下面的二次多项式形式 g ) “；( 力= + q + 吼# + 嘞t ( 2 6 1 ) t - il - l i - t 式中，国，西，a l ：，嘞( 卢l 2 ，m 产1 2 ，帕分别是常数项及线性项、平方项及二次交叉项的 系数。需要计算确定。其方法是先按定方式选择一系列取样点( 拟合点) ，k = l 2 ，n f ； 然后，在这些取样点处计算对应的响应量，再用最t j 、- - 乘法等方法来求解响应面的系数当 上式中待定系数确定之后，即可视这一响应面函数为近似的极限状态函数，从而可用常规的 可靠度分析方法，如一阶可靠度方法、= 阶可靠度方法、蒙特卡罗模拟法等进行分析 目前，对于r s m 探讨比较多的问题集中于取样点点位的选择及响应面形式的确定 w o n g ( 1 9 8 5 ) l l n l 提出了包含一次项及二次交叉项的响应面函数。对每个随机变量石，分 别取其下界巧= ，一听和上界i = 几j + o ( 式中，和a 分别为随机变量五的均 值和均方差) 。因此，对个随机变量，这样的组合共有矿种方式，即为了求解响应面的系数， 共需在2 i ，个拟舍点处计算结构的功能函数值。由于响应面法一般是用于极限状态函数无法显 式表示的情况，相应的功能函数值常需有限元等数值计算方法实现，计算量较大。因此，当 随机变量数较多时，这种方法计算量太大，不便于实用 为了减少计算工作量，b u e h e r 和b o u r g u n d ( 1 9 9 0 ) | 1 1 4 1 提出了不考虑交叉项的二次多项式 形式的功能函数，因此只需计算2 n + 1 个待定系数。这种方法分两步，第一步：选随机向量x 的均值向量t x 作为中心拟合点，并沿每一坐标轴方向各取两个点彳= 置，吒。，其中f 是 拟合点的点位控制系数，b u c h e r 和b o u r g u n d 取f = 3 。因此，只需进行2 ，一1 次有限元计算，即 可确定响应面的待定系数，从而可确定响应面的形式及其设计点f 第二步，对触和f 进行 线性内插，以确定新的验算点确( 其对应的极限状态函数值为o ) ，以使拟合中心点更接近响 应面。点舶的计算公式为 ，、 = 以+ ( ，一心) = _ 苎警毪i ( 2 6 2 ) g u l x 一g u 】 然后，以粕为中心点再次进行响应面的拟合。因此，这种方法中共需进行4 n + 3 次有限元计 算，计算次数比w o n g 的方法大大减少。 上述方法很自然地被r a j a s h e k h a r 和e l l i n g w o o d ( 1 9 9 3 ) l 推广至响应面的多次迭代，直 至新的内插点处功能函数值真正趋于零为止。他们考虑了交叉项的影响，并建议在响应面的 初次迭代时取f = 3 、后序迭代中取= 1 ，以改进响应面的迭代过程。 k i m n a ( 1 9 9 7 ) 8 1 分析指出：上述三种方法中，拟合点的选取没有考虑到原始极限状 态曲面的影响，因而迭代有可能不收敛于真正的设计点他们提出了基于一系列线性响应面 迭代计算的向量投影法，以使拟合点更靠近响应面。z h e n g ，d a s ( 2 0 0 0 ) l “9 i 对这种方法进行 了进一步改进，将上述方法中的线性响应面改为二阶响应面，并用s o r m 进行可靠度计算 但是，由于这种算法十分复杂，当前应用较多的仍是b u e h e r 的响应面法及其局部改进。 2 2 。合肥工业大学博士论文 2 6 2常规响应面法的迭代步骤 响应面法的实质是用近似的功能函数来代替真实的功能函数。当由响应面法得到这一近 似的功能函数后，还需结合一定的可靠度分析方法( 如一阶可靠度分析方法f o r m 、二阶可 靠度分析方法s o r m 、蒙特卡罗模拟法m c s m 等) 进行可靠度计算。常用的是f o r m 。 对n 个随机变量，通常取如下形式的二次多项式作为响应面函数： z = g ) = 口+ 岛耳+ q # ( 2 6 3 ) l 。l扣i 式中，a 、b i 、白( 卢i ，2 ，一) 为待定因子。 与f o r m 相结合的r s m 的常用步骤是7 j 叫： 1 ) 假定初始点x 。娩：，们，一般取均值点； 2 ) 利用数值模拟方法计算功能函数g ( x l ，x 2 。，粕，以及9 0 l ，x 2 。，f 土和舶，而 ， 得到2 n + 1 个点估计值其中系数，一般第一步取3 以后备步取l ： 3 ) 解由表达式( 2 6 3 ) 确定的含有2 ，什1 个待定系数的线性方程组，求出待定因子口、b l ， o ，得到以二次多项