（基础数学专业论文）关于时滞微分方程的稳定性.pdf

摘要 摘要 本文的主要研究成果是关于差分方程、时滞微分方程、中立型积分微分方 程的稳定性及其渐近性态 在第一章中，主要讨论差分方程 ， 1 l o g z n + l 给出了a 。= n 在不同取值范围内此差分方程解的渐近性态：当1 o 2 n = o 时，得到此差分方程解吸引的充分条件，以及当a = o 。时，得到了此差分方 程解渐近稳定的充分条件 在第二章中，讨论了多时滞微分方程一一多时滞血红细胞增长模型 m ( t ) = 一卢( t ) + ( ( 一 ) ) ， t o i = l 以及变时滞微分方程 ( t ) = 一p ( t ) + ，( 亡一口o ) ) ， t o 解的渐近性态 在第三章中，我们利用李雅普诺夫函数，得到了中立型积分微分方程 扛( ) 一。0 一r ) ) = a z ( 亡) + g ( t ，s ) z ( s ) d 5 + f ( s ) ， j 0 2 0 = n j 0 ， 一n z 一+ l 。：亘 安徽大学颤土学位论文：关于时滞微分方程的稳定性 解的一致稳定性的各种条件。 关键词差分方程时滞血红细胞增长模型积分微分方程吸引渐近 稳定李雅普诺夫稳定一致稳定 l l a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，i a i l l l yg a i ns t a b i l i t ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fad i 丘色r e n t e q u a t i o n ，ad i t f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n dan e t r u a li n t e f a l - d i 髓r e n t i a le q u a t i o n i nc h a p t e rl ，i a i l l l yd i a c u s s l o g 上 z n + l = ( 1 + e 一。州) q ，n = o ，1 ，2 j = 0 ig a i nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o no ft h i sd i 圩色r e n te q u a t i 。nw h e n 量。n = 。 n = o h a sd i r e tr a n g e ：w h e nl o ，当j l h 一矿| | 6 时， i i 一刚 o ，当i 一训 o 且t 是充分小的正常数。 作变换= e 一，方程( 1 3 ) 变为所谓的v 0 1 t e r r a 卷积差分方程 这里z 。 o ，1 ，所以o 。当z 。接近1 时，蜘接近o ，得到线性方程合 理的估计式 ( 1 5 1 且z o = 0 下面是v l k o c i c 和g l a d a sg l o b a l 在b e h a v i o ro fn o n l i n 眈rd i f r e r e n c c e q u a t i o n so fh i g h e ro r d e rw i t ha p p l i c a t i o n ”中研究方程( 1 5 ) 的性质所得的结 论 则 引理1 1 设 ) 和 ) 分别是方程( 1 4 ) 和( 1 5 ) 的解，使得o 蛳= o os 蜘2 n 引理1 2 设 口n ) 是方程( 1 4 ) 关于初始条件痂= o 的解， ) 是方程 ( 1 4 ) 关于初始条件o o 的任意解，则 口n2 ，n = l ，2 6 + ， 一 。_ 豆 【| rn可 2o | | n 勺 + e 1 n o 。：亘 = + 第一章：一种传染病的传播模型的渐近性态 下面分情况讨论。= 。在取不同范围内值时方程( 1 4 ) 的稳定性和吸 引性。当o 1 时，在上述文献中已经讨论过了并有如下结论 o 。 定理a 设o 。= 。 。且。 l ，f 锄) 是方程( 14 ) 满足初始条件面= o 的解，则 口。) 是方程的一个渐近稳定的解。 本文主要讨论l 。 2 和。= o 。的两种情况设 ) 是方程( 1 4 ) 满足 初始条件如= o 的解， 是方程( 1 4 ) 关于初始条件o o 的任意解，令 u 。= 。一i 。，方程( 1 4 ) 此时变为 1 i n z 定理1 - 1 设嘉2 n o 。且l 4 搿u ，l n o ，则函数y 是有定义的且是 非负函数，y 即为“l i a p u n o v 函数” 下证 v ( u 。，n ) = 矿( “+ l ，n + 1 ) 一v ( u n ，n ) 一u n ，礼= 0 ，l 因为 u 。 是方程( 1 6 ) 的正解，“o 且1 一e “su ，u o 有 ( o 一1 ) 一1 ( w 。+ 1 n lo o n l = ( 。一1 ) - 1 ( u 卅l 一一2 一， ，一2 o 。一。”，+ 2 r = 0j = n + l s = n + 1r = 0 n ，+ 2 n 。一，w ，) + 1f = o ( o 一1 ) 一1 ( o 。一j “o u 。 j = 0 2 o ，。”，+ 2 o 。一， ，) s = n + lr = 0 ( o 一1 ) 一1 ( 3 o 。一j 屿+ n o u o u o 一2 n 。一。 ，) ，= 0s = n + 1 一1 )1 ( 3 0 畸 = 0 ( 。一1 ) “( i n 一2 o ，) s = n + l 8 叫 w 2一 n 一 u o一叫 叫 。咖 2 一 q1 n o 。脚。 0 一 一o o ，使l 妒l o ， t ( 盯，e ，妒) ，使当i 妒l ( 仃) 时，对v t 口+ t ( 盯，e ， p ) 成立 j z ( ，盯，妒) l o ，( 2 2 ) d c 其中“( o ，1 ) ，p r 和t ( o ，。) 下面的结论在文献【6 、 7 、 8 中给出的 定理a 若r ( 1 一e p 7 ) o ( 2 4 ) 假设，( z ) 在( o to 。】上递跋并且存在唯一正常数，使得 p + = ，( + ) 定理d 上面的假设成立且不等式系统 e f 7 ) ，( z ) e 7 ) ，( ) 在区域d = ( z ，) ：o o ( 2 6 ) 1 3 0 n 一p，一p 十 + 叩 咿 叩 叩 一 鲈 z ，0l 安徽大学硕士学位沦文：关于时滞徽分方程的稳定性 对于初值问题( 25 ) 和( 26 ) 我们有下面的假设 ( 日1 ) ，f 在( o ，o o ) 上递减且j 唯一的4 o ，使 p + = ( ? ) ，i = 1 ，2 ，m ( 如) ( z + g ) = ( 。) ( g ) ，2 = l ，2 ，m 定理2 1 设( h l ) ，( 巩) 成立且不等式 f 5 曼。：( ( 。) 22 嚣 i 。n 。( ( ) lz = 1 其中心：( 1 一e 一妒) ，i ( + ) ，在区域d = ( t ，) ：一+ z o g + ，则当t _ 。时有， 玎l 时( ) _ 一肛o + ( d ) ( o ，j t ，当t 时，有 n e l 。 由( h 2 ) 知， ( o ) = 1 ，则 又 由( h 1 ) 知，i 单调递减则， z ( t 。一n ) o 并且满足初始条件： ( s ) ：毋( s ) ，s 一订，o ，庐g ( 一m ，o ，冗+ ) ，( o ) = o ( 2 9 ) 1 7 安徽大学硕士学位论文t 关于时滞微分方程的稳定性 其中埘= s “p 口( ) 。 q 0 对于初值问题( 2 1 8 ) 和( 29 ) 我们有下面的假设 ( 玛) ，在f o 。) 上递减且存在唯一的正平衡点i v ，使 卢+ = ，( + ) ( 甄) ，江+ ) = ，( 。) ，( ) ，。= 1 ，2 ，m 。 定理2 2 设( h 3 ) ，( 日4 ) 成立且不等式 ， l ，一1 ( 弗+ 1 ) e 一“声十4 ( 1 一e p 5 ) ( ，( z ) 一1 ) ， i 。，一1 ( 母+ 1 ) ep 2 十。( 1 e p 2 ) ( ，( y ) 1 ) ， 在区域d = ( z ，) ：一+ t o l n ，则当oi 。时，有 ( z ) 一口+ ( o ) 0 所以当。时( ) 。c 矛盾。所以a = + ，即堍( t ) = 。， 对( 2 ) 类似可证明 考虑情况( 3 ) ，设( ) 关于+ 振动的任一正解，即v ( ) = t + z ( t ) 代入( 2 8 ) 有， 掣= 州州f ) ) 十，( 4 州叫刚) ， 推出 掣+ 州卅心- ，( m ( t 叫坳) 姐 由( 凰) 得， 掣+ 州( 1 叫邢叫刚) ) ：o 设l i ms u p 。( t ) = 孟， l i mi n f 。( ) = 互有 _ 十 c 叶 一+ 笪0 牙 o ，l i m f 氅a ( ) = 堡 则有p o 。 里一e z ( t ) 牙+ 1 9 安徽大学硕士学位论文z 关于时滞微分方程的稳定性 里一e 1 由( h 4 ) 得 即，( o ) = 1 ，所以，( z 一a ( 。) ) ) ，( o ) 又，是递减的，所以z ( 。一d ( k ) ) o 又 ( 。( t ) e m ) = 五( ) e 雎+ p e p 。口( ) e 芦。 = 肛4 ( ，( z ( t 一口( t ) ) ) e s 芦n + ( 歹( 兰一e ) 一1 ) e 皿 再从t 。一a ( t 。) 到z ( t 。) 积分，得 。( 如) 8 灿“一z ( 妇一口( k ) ) e “o n 一。( 。n ) 1 ( e “h e p ( h 一4 ( n ) ) ) ( ，( 互一e ) 一1 ) 2 0 第二章：一类时滞微分方程的渐近性态 推出 z ( t 。)。( t 。一d ( t 。) ) e 1 1 4 ( f n ) + 。( 1 一e 一口。( f n ) ) ( ，( 互一e ) 一1 ) s 一( 1 + 掣矿加十f ) + 州1 c - 以“咄他叫叫 令n _ + 。，e _ o 时有 牙，_ l ( 1 + 裂) e 一口十 ( 1 可一( ，( 。) 叫 又取 s 。 ，s 。r + m ，5 。_ 。时，z ( s 。) _ z 且( s 。) = o ，用类似的方法得 互，_ l ( 1 + 掣) e 一+ 州l e w 叫雕) 叫 令口= i ，z = 互，有 j ，一1 ( 弗+ 1 ) 一“5 + 4 ( 1 一e p 5 ) ( ，( z ) 一1 ) ， l 。，一1 ( 景+ 1 ) e p z + + ( 1 一e 一“) ( ，( ) 一1 ) ， 由已知在区域d 上，上面的不等式系统有唯一的解z 2f = o ，所以撬。( ) = 0 ，即 舰( t ) = + t 2 l 安徽大学硕士学位论文r 关于时滞微分方程的稳定性 第三章一类中立型积分微分方程的稳定性 一、引言。 未知函数出现在积分号下的方程称为积分方程积分方程是近代数学 的一个重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学、位势理论和随机分析 有着紧密和重要的联系，另外它又是数学联系力学、数学物理和工程等应用学 科的一个重要工具 积分方程的一般理论是在本世纪逐步发展和成熟起来的不过积分方 程的研究早在上一世纪就开始了 1 8 2 3 年，a b e l 在他的关于推广”t a u t o c h r o n e ”问题的研究中，引导出一 般形式的a b e l 积分方程 如) = 上8 器d _ 弛川。 。 均( 0 ) 圳 1 8 9 6 年，v o l t e r r a 的工作是线性积分方程的重要转折点得出了v o t e r r a 积分方程的方程 ，s z ( s ) 一a k ( s ，t ) 。( t ) d = ，( s ) ，( 。s b ) jn 本世纪以来，积分方程无论从深度和广度来讲都有很大的发展，其主要 方面基本上是沿以下几个方向进行的 第三章一类中立型积分微分方程的稳定性 第一个方向在于揭示新的积分方程类，其成立线性代数方程组的基本 定理，及n c d h o l m 关于特征值的分布定理 第二个方向是与正交分解和对称核理论相关联的。 第三个方向是与研究经典的n c d h o i n t 定理不成立的线性积分方程相关 联的。这种方程中最重要的一类是所谓的c a u d y 奇异积分方程。 第四个方向是与研究非线性积分理论相关联许多物理的和工程力学 的问题，往往引导到各类非线性积分方程的研究在各类非线性积分方程中， 最典型而又晟重要的两类方程是所谓的c h a n s r a s e kh 积分方程 即h 砌：1 訾川叭】， j 0 十s 和所谓的h a m m m e r s t e l n 方程 z ( 5 ) = k ( s ，) ，( ，z ( o ) ) d ， 5 g j g 第五个方向是与研究随机积分方程有关随机积分方程是介于概念论 与积分方程间的边缘性学科 第六个方向是与研究各类积分方程的数值解有关 第七个方向是与研究各类积分微分方程有关的1 1 3 ) 本文讨论的方程就是与第七个方向有关的在文献 1 4 中t a b u r t o n 考虑了下面的积分微分方程 z ( ) = a ( t ) 十，。g ( t ，s ) d s + f ( t ) ， j 0 x 和f 是n 维向量，a 和c 是n n 是n n 矩阵在此文中给出了方程解 的稳定性和一致稳定性的条件 2 3 安徽大学硕士学位论文：关于时滞微分方程的稳定性 在文献 1 6 中，王全义考虑了下面的积分微分方程 z ( ) = ) 邛) + z 。c 咖( s ) d s i 其中s r ，a ( ) = ( n 灯( t ) ) n 。是n ”函数矩阵并且在f 0 ，+ o 。) 上连续，g ( t ，s ) ： ( g ，( ，s ) ) n x n 是n n 函数矩阵o sst o 。时是连续的， g ( “，刚如 在 o ，十o 。) 上连续此文中构造了一个对称矩阵型垃i i 业，通过它的特征值 然后利用l l a m - n o v 函数证明出这个方程零解的稳定性和一致稳定性的条件 同样对于上述方程在文献 i7 j 中，曾志刚利用矩阵测度的方法给出了 此方程零解稳定性、一致稳定性、渐近稳定性、一致渐近稳定性的条件并且证 明了这些条件 二、主要结果及其证明 考虑积分微分方程 ( ) 一球r ) ) = 删z g 他s ) m ) 出+ 即) ， ( 3 1 ) 其中a 是n n 常数距阵，距阵的范数记为向量的范数记为1 f 。 选择正定对称距阵b 使 且a = a 7 。b = 一；， 并且存在正常数k ，满足 z ( 。) 一正( t 一下) l2 2 七( ( 霉0 ) 一z ( t 一下) ) 丁b ( 0 ) 一z ( t r ) ) ( 3 2 ) b ( 。( ) 一z ( t r ) ) ( z ( ) 一z ( 一r ) ) r b 扛( t ) 一z ( t r ) ) 】( 3 3 ) 2 4 第三章：一类中立型积分微分方程的稳定性 定理3 1 若 ! 。5 慨。+ s 驯协会 ，0 n 对o s 。且j 产j j p ( 训 o ，且对o o 。，则方程( 31 ) 的零解是一致稳定的 证明： y ( ，z ( ) ) = ( z ( t ) 一z ( f r ) ) r b ( z ( ) 一z ( 一r ) ) j ；+ 启陋一 k 露- s1 1 g ( 札+ j ，s ) 1 1 d t z 1 击( s ) 如+ 1 ) e 印( 一k 厝1 f ( s ) 1 如) 考虑y 沿着方程( 3 1 ) 的解的微分，有 l 】( t ，。( ) ) 扣( 坤一川t 口( ) 一一r ) ) 一 ( ) 一坤一训t ) 靴( t ) 一 丁) ) + ( ) 一哪_ 丁) ) t 即一邵刊) f 叫酬一k 知c ( f s 州s ) l 如) e 印( 一耳z 。i f ( s ) j 如) 一f ( 驯e 印( 一耳上i f ( 圳d s ) p ( ) 一。( ，一r ) ) t b ( ) 叫h ) ) 】 + 肛k ：。3 懈+ s 1 s ) n 删胁十1 ) 其中因为 所以 上慨u s ) 慨l 1 一j 口( “+ s ，s j | | d “o j o 2 5 安徽大学硕士学位论文；关于时滞微分方程的稳定性 义伺 。( ) 一z ( 一r ) ) 丁口( z ( ) 一z ( 一r ) ) 一 ( ( z ( t ) 。( t r ) ) r ) 7 b ( $ ( t ) 。( t r ) ) + ( 茁( )z ( 一t ) ) t b ( 茁( ) 一茁( 一f ) ) 】 = ：陋( t ) 一。( r ) ) t b ( z ( ) 一。( 一r ) ) 一 ( 。t ( ) 4 了1 + 厂z 丁( s ) e 7 ( t ，s ) d 。 ，0 + f 1 ( ) ) b ( 。( t ) 一z ( f r ) ) + ( 茁( ) 一z ( 一丁) ) 丁b ( a 。( ) ， + 上e ( 。，5 ) 。( s ) d s 十f ( 洲 = ；p ( t ) 一z ( 一r ) ) t b ( z ( z ) 一。( 一r ) ) 】一陋t ( ) a 丁日( 。( t ) 一。( 一r ) ) + _ 岱。r ( s ) g t ( ，。) d s b ( z ( ) 一$ ( t r ) ) + f 。r 。( ) b 扛( t ) 一z ( 一r ) ) j 0 + ( z 0 ) 一z ( 一r ) ) 。r b a z ( ) 十( z o ) 一。( 一r ) ) 丁b e ( t ，s ) z ( s ) d 5 r j 0 + ( z ( t ) 一。( 一丁) ) t b f ( t ) = ； 扛( t ) 一z ( 一r ) ) 丁b 扛( t ) 一。( 一r ) ) 一； 2 ( z ( t ) 一。( 一r ) ) 7 1 b a ( ) ，c + 2 ( z o ) 一z o r ) ) t 口tg ( ，s ) z ( s ) d s + 2 ( z ( ) 一z ( t 一下) ) 丁b f ( ) j 0 。 茸南常理冬件得： 而嵩篙粉洲t ，2 ( 石( t ) 一茁( t 一下) ) t 口( z ( t ) 一。( 一f ) ) 】 一、 ! f 兰盟二兰! ! 二! 逻星壁里鱼! ! 兰盟坐! ( z ( t ) 一。0 一丁) ) 丁口( z ( t ) 一z 0 一丁) ) 丽驾嵩茅杀丽胁s 川s 肛一 ( 。( ) 一z ( 一r ) ) 丁b ( t ( t ) 一( 一r ) ) ；j o ”、“” 第三章：一类中立型积分微分方程的稳定性 所以 o ，使 a i z ( e ) 一。( 一r ) l ( z 0 ) 一z ( 一丁) ) r b ( z ( t ) 一。( t 一下) ) ； 2 7 安徽大学研士学立论文；关于时滞微分方程的稳定性 一 ：二 由文献 1 8 中第2 4 9 页的定理4 1 得， 。f 。) 一z o r ) ls m 。2 毛l z ( ) l + 去 定理3 2 令k 和k 由( 32 ) 和( 3 3 ) 定义的且令伊l f ( ) 陋 。，若 厂+ s 圳伽茎警，工慨“+ 刚) 慨茎詈， 对某些7 o ，有 所以 两边同时积分， 巾一) ) 如胁驯d s i 即 矿( ，z ( ) ) y ( t o ，z ( ) ) 一u k ( t ) 如 r c j 0 因此存在序列 t 。) ，有z ( 如) - o ( 反证) 若。( t ) 不趋于o ，则存在e o 且一个序列( k ) ，有i z ( t 。) i2e 安徽大学硕士学位论文关于时滞微分方程的稳定性 则对 ，则 矛盾。所以定理成立。 矿( 如，z ( ) ) 一u 坛i ( ) l d s v ( o ，z ( ) ) 一u 坠l 层1i ( t ) l d s 1 旷( t o ，z ( - ) ) 一u 冬ll z ( 丑) 一z ( 屯) v ( 。，z ( ) ) 一“半 一 一 = z矿 参考文献 参考文献 l ，阮炯，差分方程和常微分方程，复旦大学出版社，2 0 0 2 2 v l k o c i c ，g l a d a s ，g l o b a lb e h a i o ro fn o n l l n e a rd i 饪e r e n c ee q u a t i o n so f h 遮h e ro r d e rw i “1a p p l i c a t i o n s ，d e p a r t i i 坨n to fm a t l l e m a t k su l l i v e r s i t yo f r h o d ei s l a n d u s 3 k e l l e y ，w ga n dp e r t e r s o n ，a c ，d i 疗色r c n c ee q u a t i o n s ，a ni n t r d d l l c i o nw i t h a p p l i c a t i o n s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ，1 9 9 1 4 l a u w e r i e r ，h ，m a t h e m a t i c a lm o d e l so f e p i d e m i c s ，m a t l l c e n t r u m a m s t e r d a m 1 9 8 1 5 廖晓昕，稳定性的理论、方法和应用，华中科技大学出版社1 9 9 4 ，4 6m w a z e w s k a _ c z y z e w s k aa n da l a s o t a ，m a t h e m a t i c a lp r o b i e m so ft h ed y n a m i c so ft h er e db l o o dc e e l ss y s t e m s ，a n n a l so ft h ep o l i s hm a t h e m a t i c a is o c i e t y s e i n e si i a p p l i e dm a c h e m a t i c s6 ( 1 9 7 6 ) ，2 3 4 0 7 ig y 6 r ea n dg l a d a s ，o s c i l l a t i o nt h e o 。yo f d e l a yd i 髓r e n t i “e q u a t i o n sw i t h a p p l i c a t i o n s ，c l a r e n d o np r e s s ，o x f b r d ( 1 9 9 1 ) 3 1 安徽大学硕士学位论文；关于时滞微分方程的稳定性 8 l ij i n g w e n ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fad e l a yd i 乳r c n t i a lm o d e l ，j b i o m a t h 1 9 9 4 ，9 ( 1 ) ，9 l 一9 5 9 x u w a n g w e nl i l i n g w e n ，g l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h em o d e lf o rt h es u r v i v a lo f t l l er c db l o o dc e c l sw i t hs e 、陀r a ld e l a y 8 ，a n n d i 日e q s ，1 9 9 8 ，1 4 3 5 7 3 6 7 1 0 l i u y u j it a n x i u s l l a n ，an o t eo ng l o b a la t t r a c t i “t yo ft h em o d e lf o rt h es u 卜 v i v mo f t h er e db l o o dc e e l sw i t hs e v c r a ld e l a y s ，a n l ld i f f e q s ，2 0 0 1 ，1 7 ( 3 ) ，2 2 4 2 3 1 1 1 刘玉记，g 1 。b a ls t a b i l i t yi nad i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp i e c e w i s e i yc o n s t a n t a r g u m e n t s ，数学研究与评论2 0 0 l ，2 1 ( 1 ) ：3 l 一3 6 1 2 李经文，带偏差变元的时滞微分模型的全局吸引性，生物数学学报，1 9 9 5 1 0 ( 4 ) 1 3 张石生，积分方程，重庆出版社，1 9 8 8 1 4 t a b u r t o n ，s t a b i l i t yt h e o r yf o t rv 0 1 t e r r ae q u a t i o n s ，j o u r n a lo fd i f r e r e t i “ e q u t i o n s ，3 2 ，1 9 7 9 ：1 0 1 * 1 1 8 1 5 e l a y d i ss i v a s u n d a r a ms ，au n m e d 印p r o c ht os t