（基础数学专业论文）双单ω半群同余格上的若干问题探讨.pdf

博( 硕) 士学位论文授权书 本授权书所授权的论文为本人在华南师范大学：垫主：等卸盯( 系、所了! 垒：三三 学年度第= 学期取得! 至! 士学位的学位论文。 论文名称 雪埘一暑辨同等磅上墙千问是埋订 口同意酥自意 本人具有著作财产权的论文全文资料，授予中国科技信息研究所、中国社会科学院文 献情报中心、国家图书馆、中国学术期刊电子杂志社论文合作部及本人毕业学校图书馆， 可不限地域、时间与次数以微缩、光碟或数位化等各种力式重制后散布发行或上载网路。 本论文为本人向申请专利的附件之一，请将全文资料在本授 权书签订两警厦套开( 请注明文号： ) 酌意口不同意 本人具有著作财产权的论文全文资料，授予教育部指定送缴的图书馆及本人毕业学校 图书馆，为学术研究之目的以各种方式复制，或为上述目的再授权他人以各种方法复制， 不限地域与时间每人以一份为限。 上述授权内容均无须签订转让和授权契约书。依本授权的发行权为非专属性发行权利。 依本授权所为之收录、重制、发行及学术研究利用均为无偿。上述同意与不同意栏若没有 选，则本人同意视同授权。 指导教师姓名： 之参扰 研究生本人签铄绦名 学号： ( 务必填写) 授权日期：2 叼年月7 。日 注：本授权书请用钢笔填写并影印装订于封面后的第2 页。 摘要 双单( i ) 半群s 可表为群g 的b r u c k r e i l l y 扩张s = s ( g ，) ，c ( s ) 表示s 的同余格我们住本文探讨双单u 半群的同余格和双单6 3 一 半群上的一些同余：1 在c ( s ) 上定义关系k ： kp k e r = k e rp ， 一般情况下，关系k 不是c ( s ) k 的同余，本文的第一章给出关系k 是c ( s ) 上的同余的充要条件2 在c ( s ) 中定义两个新的关系 p ： pp xn 非pn 玎和关系q ： qp v 胙pv 本 文的第二章把s 分为四种情形，在其中的两种情形上，关系p 和关 系e 为c ( s 1 上的同余，且p nq = ec ( s ) ， p = p 。p vpq = p 八o4 ； 在另外的两种情形上，关系p 和关系e 不是c ( s ) 上的同余 3 我 们给出双单6 3 半群上与格林关系有关的一些同余的刻划 a bs t r a c t t h eb i s i m p l ec o s e m i g r o u psa r er e p r e s e n t e da sb r u c k r e i l l y e x t e n s i o no fa g r o u pg a ss = s ( g ，) w ed e n o t eb yc ( s ) t h el a t t i c eo f c o n g r u e n c e s0 ns i nt h et h e s is ，w ei n v e s t i g a t et h ec o n g r u e n c el a t t i c e o f b i s i m p l er o d s e m i g r o u p s a n ds o m ec o n g r u e n c e s0 nst h e r e l a t i o nk0 nc ( s 、i sd e f i n e dbykp k e r 2 k e rf 】1 ng e n e r a l ， ksn o tac o n g r u e n c ei nt h ef i r s tp a i to ft h ep a p e r ，w eg i v eag r e a t n u m b e ro fe q n i v a l e n tc n n d i t i o n sonss ot h a tks ac o n g r u e n c eo r l c ( s 1t h er e l a t i o npo nc ( s 1sd e f i n e db y pp n 胙pn ，r an d th er 。i 。l t l 。1 e0 1 1c ( s 、isd e f i n e db y qp v y p - pv ， i 1t h es e c 0 n di r to ft h 。c h c s is ，w ed i s t i n g u i s hsi n t of o u rk i n d s 1 nt w oc a s e s w epr o o f t h a tpa n dqa r ec o n g r u e n c e so nc ( s ) a n dpnq = 、，p = p 【vf 1 。= f ) 八p “1 1 1t h e0 t h e rt w oc a s e s ，w of i n dt t l a i 1 1 a n d ( ) a r ei l o tc o n g r u e n c e s0 1 1c ( s 1i ng e n e r a l l y int h et h i r dp ar t o f 【hep a p er 、ep i e s e l l s o m ec o n g il l e l l c e se l a t e dt ot h eg r e e nr e l a t i o n s 第一章双单u 一半群同余格上的关系k 歧s 为一个正则半群，用e ( s ) 或e 表示s 的幂等，l 集合，i | c ( s ) 表示s 的同余格s 上的同余p 在e ( s ) 的限制记作e r p ，称之为p 的迹： 称集合( x si 存在e e ( s ) 使( x ，e ) p ) 为p 关于s 的核，记为k e r 9 称( k er p ，t r p ) 为关于p 的同余对，则p 由同余对( k e r p ，tr p ) 完仓确 定且c ( s 1 上的关系“t ”： 九tp t r = t r p ( ，p c ( s ) ) 是c ( s ) 上的完全格同余，而c ( s ) a k 的关系“k ”： 九k9 k e r = k e r p ( ，p c ( s ) ) 不是c ( s ) 上的完全格同余对任意正则半群而言，找到关系k 为c ( s ) 上的同余的充要条件是相当困难的，但在特殊的正则半群中，找到关系 k 为c ( s ) 上的同余的充要条件是相对容易的譬如文献 6 ，【7 ， 8 巾关于一些正则半群的讨论 若正则半群s 的幂等元集e ( s ) = ( e i i i = 0 ，l ，2 ，3 ， ) 满足e o e l e ： e 3 ，则称s 为一半群：显然，若s 为( i ) 一半群，则由 2 _ j 知s 为逆! 仁群苫s 的格林关系( d 为全关系u ，则称s 为双甲：管s 既 为双单，又为0 j 一半群，则称s 为双单一半群由 2 可知，双单、卜群”j 表面i 为群g 的b r o c k r e i i l y 打。张m u n n 和r e i l l y 以史献 3 r ， r “：双! 。p 0 ) 一半群上的同余为群同余或幂等元分离同余本章讨论此类半群阿氽格 j ：的关系k 为c ( s ) 上的同余的充要条件 本章的纰矧 分，我们给一些必要的结i ：爸及相关f c j0 l ：拒第二 部分，我们把双单0 3 一半群分为e 一酉的和非e 酉的；其c ”e 一四f n 取单一 半群分为g = f1 ) 与g i ) 两矛 情形，非e 一酉的双单u 一半群分为 n g = f ，k e r “。与g uk e r a 另外两种情形对双单半群的这 l 种情形， = f 我们分别讨论关系k 为c ( s ) k 同余的充要条件 1 2 若干准备 我们将用到 2 的某些符号和结论如果s 为逆半群，那么s 中的任 一同余p 可由关于p 的同余对( k e r p ，t r p ) 按以下方式完全确定：设n 为s 的一个逆子半群，如果e ( s ) c _ n ，且对于任意a s ，都有a 。n a e n ， 那么称n 为s 的一个正规子半群；设e 为e ( s ) 的同余，若对于任意a es 都有e f = a “e aea 。f a ，则称为e ( s ) 的正规同余对s 的个正规子 半群n 和e ( s ) 的一个正规同余，若对所有的a s 和e e ( s ) 满足如下 两个条件： ( i )a e e n ，eta a = a e n ( i i ) a n = a - 1 e aea - 1 a e 则称( n ，t ) 为s 的一一个同余列；在这种情况下，我们定义关系p ( n ) f c l 】一f ：ap ( n1 ) b ( = a atb 4 b ，a b 。n 结论2l 4 ，定理4 4 设s 为逆半群，若( n ，) 为s 的同余 刘，则p ( n ) 为s 的唯一同余，且满足k e rp = n ，t rp ：，反之，s 的任 同余d 都可按如! ：方式唯一确定在c ( s ) 中与p 有相同核( 迹) 的同余构 戊c ( s ) 的- - + f x 问fpk f ) 厂 pnp1 ，且p = p 1 vf ) k = pi 八f 】“ 啦【j 为? 卜群s 的一个川余如果刈。任意e ，f - l ! ( s ) t ? 二= cpj 灿 。= 卜那么称f ) j , as 的个幂等元分离j 司余：! 【1 果s p 为群，：j j 【5 么称i ， 为s 的一个 洋同余 山 2 缶，双t 0 3 一半排的br u c k - r e i l l y 扩张可描述如下：设n 为m 负整数集，g 为一个群，o 为o 上的一个自同态，l 表示g 的恒等元，记 s ( g ，o ) = f ( 1 1 1 ，g ，n ) li n ，【1 n ，g g )在s ( g ，o ) 上定义乘法如f ： ( m ，g ，1 1 ) ( p ，h ，q ) = ( m + p - r ，go ”hon - t ，q + n r ) 其中r = m i n n ，p ) ，no 为g 上的恒等自同态则以上定义的s ( o ，。) 为双 单0 ) 半群，称为g 的br u c k r e i l l y 扩张：反之，任一双单r o 一半群都同构 于某个群o 的b r u c k r e i l l y 扩张特别地，若g = ( 1 ) ，则s = s ( o ，a ) 为双 循环半群 由 3 司知，双单( i ) 一半群s = s ( g ，血) 的任一同余为群同余或幂等元分 离同余我们用o ，p 分别表示s ( o ，) 的最小群同余和最大幂等元分离 同余：用e ，0 3 分别表示s ( g ，) 的恒等关系和全关系：显然，分别 为s ( g ，c t ) 的最小幂等元分离同余和最大群同余，且u = c o t ，u = 1 由【3 】 知，s ( a ，a ) 上的群同余( 或幂等元分离同余) 构成c ( s ) 上的子格 o， f 或 e ，衄 ，且c ( s ) ： o ， d u e ，皿 o ， n s ，怔 = 定义22 对于s ( o ，u ) 的任一同余v ，我们定义6 的- - s ：集 。如卜， a 。= ( g g ( 0 ，g ，0 ) y ( 0 ，1 0 ) 结论23 对于s ( g ，。) 的任一同余y ，a 。是g 的一个cz 一容许 正规子群，口a 。= 。 。 结论24 3 s = s ( g ，a ) n - e 单u 一半群，我们有以1 、结论 ( 1 ) 若 为s ( g ，) 的幂等元分离同余，则( n 1 ，吕x ( p ，h ，q ) = p ，n = q ，g h 1 a x k e r 凡亍( ( m ，g ，m ) lm e n ，g a ) ( 2 ) ( m ，g ，1 1 ) ( p ，b ，q ) m2 p ，n 2q ， ( m ，g ，n ) ovl l ( p ，h ，q ) m n = p q ， k e r ( ovu ) = “m ，g ，m ) lm e n ，g g ) ， k e ra = k e r ( o 八j 1 ) = ( ( m ，g ，m ) lm n ，( 存在j n ) go1 = 1 ) 导师汪立民教授在文献 1 已经对pk ，pt ，pk ，p7 ，p “作了详 尽的论述由于我们要用到相关的结论，所以现把 1 中的表列出如下 结论2 5 1 设p 为双单( d 半群s = s ( o ，n ) 上的任一同余，则有 关pk ，pt ，pk ，p1 ，p “的运算可由下表给出 群瓦 余幂等元分离同余 p o ，ov 叫 p 1 3p a c 【o 八u ，u p c k f )0p ovp p pk p 口pp t p uu pt r 其。h a = ( 口 e u fp “为群同余 【3 = ( ) ，g 3 a ，ov c = e ，u 结论26f 3 若s = s ( o ，a ) 为双单c 。一半群，则l - 、三c ，i = ngf jk e m 引理27i 芟 为耿单c - ，一半肝s = s ( g ，u ) 的幂等元分离同余川粜 、。j , j 群1 刊余，川 么托c ( s ) 一i ， “j , j 包含 的最小的群同余 证明：若 为s 的幂等元分离同余，则由结论25 可知， = k 又 | f i 4 1 可知， k “，所以 = k x “设p 为s 的群同余，且 p 则 k 。r c k e rp ；又由 4 可知，k e r = k e r ，所以k e rx k e rp ，而 “， p 部为s 的群同余，故 “p 1 3 主要定理 s 为正则半群，e ( s ) 为s 的幂等元集合，如果对于任意s es ， e e ( s ) ，若s e ，e s e ( s ) ，则s e ( s ) ，那么称s 为e 一酉半群在这部 分，我们把双单6 3 一半群分为e 一酉和非e 酉的情形；其中e 一酉双单一 半群分为g = ( 1 ) 与g ( 1 ) 两种情形；非e - 酉双单m 半群分为 g = u k e r a 与g u k e r a 另外两种情形关于双单u 一半群的这四种情 i = l ，；i 形，我们分别讨论关系k 为c ( s ) 上的同余的充要条件 定理3 1 如果s = s ( g ，a ) 为g = ( 1 ) 的e - 酉双单。一半群，那么关 系k 为c f s l 上的同余 证明：若s = s ( o ，u ) 为g = ( 1 ) 的e - 酉双单m - 半群，则由 1 可知s 为双循环半群对于任意( m ，l ，1 1 ) ，( p ，l ，q ) s ，若( n 1 ，1 ，n ) u ( p ，1 ，q ) ， 则由结沦2 4 可知m = p ，n = q ，这样就有( m ，l ，n ) = ( p ，1 ，q ) ：从而= u 敞 ( ，( s ) = o ，c 。 u c ) 要证明关系k 为c ( s ) 上的同余，我们可以分为以 ? 两种情形去考虑 ( 】) 设 ，p 。，( t ) 或 ，p ) ，则l r = t rf ) 若 kf 】即 k 二k c p ，川么山耋占论2 【r 玺 = p 对j 二f 【，卷0 兰“b ) ，1 1 然 a ) = f ， 八v k 臼v 【) ，则( 八0 ) k ( p 八( 】) ( v ( ) k ( pv 1 11 ( 2 )设 ， p o ，u ，则 = ：p = o 八u 如果 kp 那么由结论24 可知p ：n 刈于任意0 c ( s ) ，我们有 ( i ) 若o ( ) ，则 八0 = = p 八0 ： v0 ： pvo = ( 】故( e ) k ( p xo ) ，( v9 ) k ( pvf ) ) ( i i ) 若o c ( s ) f ) ，则x 八e = e ， p 八o = o ： v ( 】= o = px o 故( 八0 ) k ( p 0 ) ，( xv o ) k ( pvo ) 由( i ) ，( z ) 可知，关系k 为c ( s ) 上的同余 定理3 2 如果s = s ( g ，a ) 为g = u k e r1 的非e - 酉的双单m 一半群， 那么关系k 为c ( s ) 上的同余 证明：若s = s ( g ，n ) 为g = u k e r a 的非e 一酉的双单一半群，则由结 论2 ，6 可知p d 从而。八u = u ，ov p = o ，故c ( s ) - - ，” u d ， 。 e ，o u u ov u ，。 要证明关系k 为c ( s ) 上的同余，我们可 分以下两种情形去考虑 ( 1 ) 设 ，p o ，u 或 ，p e ，p ，则t = t rp 如果 xkp ，即k e r = k e rp ，那么由结论2 1 可知 = p 对于任意o c ( s ) 显然 八。= p 八。， vo = pvo ，则( 八e ) k ( p x0 ) ，( xv o ) k ( pv ( j ) ( 2 ) 设 e ， u ，p d ，( i ) 如果 kp ，那么由结论25 川以知道 e o 八 1 ，l - ，p 。，ovu 而【- 。放有 = l l ， p = 。设( ) c ( s ) ( j ) 若o ( ) ， ，贝u 八o = i j ，p 八o = ( ： vo = ( ) f 1 ) ，( 2 ) 可知，关系k 为c ( s 1 上的同余 以 我们讨论了在两种t 情形( 即s = s ( g ，。) 为g = t ) 的e - 酉耿单u 、p 群或s = s ( o ，) 为g = u k e r a 的非e - 酉的双单( l ) 半群) 中，关系k 为c ( s ) 上的同余：至于另外的两种情形( 即s = s ( o ，a ) s bg v 5 l 的 e 一酉j 吸单一半群或s = ( g ，“) 为g uk e r a l 的非e 一酉双单u 一半群) z = 1 般情况f ，关系k 不一一定为c ( s ) 二的同余我们先看如下的定理 定理3 3s = s ( g ，n ) 为g ( 1 ) 的e - 酉双单( l ) 一半群( 或s = ( g ，a ) 5 5 g ：- z k e r 口。的非e - 酉的双单( i 】一半群) 如果在c ( s ) 中存在 e oau ， l - 】满足 k = = ，那么关系k 不是c ( s ) 上的同余 证明：假设关系k 为c ( s ) k f 勺同余由结论2 4 可知，ok ( oau ) ， 则由假设应有( ovx ) k ( ( oa1 1 ) v ) 因为x 。ap ，“ ，所 以( 。v ) k x 由结论2 5 可知， “= ( 。v ) “= ovx 与 “： 矛盾 我们以下讨论定理3 3 所示的两类双单。一半群同余格上的关系k 因为结果是致的，所以我们把这两类双单。一半群放在一起来讨论 定理3 4 若s = s ( g ，o ) 为g 1 ) 的e - 酉双单u 半群( 或s = s ( g ，o ) 为g _ k e r a 。的非e - 酉的双单。一半群) ，则下面各条是等价的 ( i ) 关系ky , 0 ( ：( s ) 上的同余： ( 2 ) 若 f 1 u ，u 】，则 “为群同余 ( j ) ? l ，u r 川 “= ( 】v ! t h 、e ( ) 八i i ， l 1 ，则 k ( 。v 、) ： ( i )杖 ( 三【( ，u ，l l1 ，对干任意9 5g ，若有i n ( o 使 g “ 、，则g a 证明：我们对s = s ( g ，a ) 为g u k e r a 。的非e 一酉的双单u 半群进 行证吲i 对于另外的一种情形，证明的方法类似 ( 1 )( i ) = ( 2 ) 假设存在一个 e 0 u ，u 满足 “为 非群同余由定理33 可知关系k 不是c ( s ) 上的同余，矛盾 ( 2 )( 2 ) = ( 1 ) 要证明关系k 为c ( s ) 上的同余，我们可分以 下两种情形去考虑 设 ，pe o ，( l ) 或 ，pe ，u ，贝1t r = t rp 如果 kp ， 即k e rx = k e ro 那么由结论21 可知 = p 对于任意o c ( s ) ，显然有 八o = p 八o ，xv0 = pv0 ，则( 八0 ) k ( p 八e ) ，( v0 ) k ( pv0 ) 设 e ，l - ，p o ， 若 kp ，则由结论25 可以 知道 o 八l j ，u ，p o ，ovt 1 且9 = ov 对于任意0 c ( s ) 我们考虑如下情形 ( i ) 对于任意0e o ，( i ) 由 2 ，i i i ，定理4 8 可知， k e i l ( x 八o ) = k e f nk e ro ，k e r ( p 八o ) = k e rpnk e t - o ，又凼为 k e i nk e i - o = n e t nk e ro ，所以( 八o ) k ( p 八0 ) 由引理2 7i 可 知，1 ，又 “= ov = p ，所以我们有( v0 ) ( pv0 ) ： 又困为pv ( = ( ovx)v ocxvo ：这样就有 vf ) = pv ；) ， 则( v 1 ) k ( pvo ) r l i ) x 日于们意【】 ，1 1 与( i ) 类似nj 证( 八o ) k ( f ) 八i ) ) i i 、【( 1 u ，1 1 ，_ ! j ! i j ( v ( ) ) 0 八u ，l i ，f b ( 2 ) f j ( 、v 【1 ) “乃群余从结沦25 我们可f ： ( 、( 】) ”= ( 】vl v ( 1 ) ，义 ) v 【h ( v ) v0 = ( 】v ( vo ) ：所以k e r ( pv0 ) = k e r ( v ( 1 ) “ k e r ( xv ”) ，【! | j ( v ( ) ) k ( pv0 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 从 1 引理2l 】可得 第二童双单m 半群同余格上的两种关系 2 1 引言 设s = s ( g ，q ) 为双单- 半群tc ( s ) 表示sf f , j 同余格j f y , js 的格林 关系，由 3 可知胙i t 在c ( s ) h 定义关系p ： x pp n 弘p n ( ，p c ( s ) ) 和关系q ： + xqd ( = v h = p v y f ( x ，p c ( s ) ) 木章的目的就是对c ( s ) 上的这两种关系作出一些探讨与第一章类似， 我们把双单6 3 半群分为g = ( 1 ) 的e 一酉叔单。- 半群，g 1 ) 的e 酉双 单半群，g = u k e r a 。的非e 一酉的双单半群和g u k e r c t 的非e 一酉 的双单6 3 半群四种情形在其中的两种情形上，我们论证了关系p 和关系 q 为c ( s ) 上的同余，且p n q = c ( s ) ，p = pp vpq 2p9 p 。( p c ( s ) ) ： 在另外的两种情形上，我们发现在一般情况下关系p 和关系q 不。定 是c ( s ) 上的同余，我们只给出一些结论 本章的第二节，我们给出文献 5 】的有关s 上的群同余的结论及相 关的引理：第三节我们给出双单u 一半群同余格上的关系p ：第凹节我 们给出两类双单o ) ，半群( 即s = s ( g ，o ) 为g = ( 1 ) 的e 一西双r pu 。l ：_ 群或 s = s ( g ，q ) 为g = u k e r c t l 的非e 一酉的双单。，一半群) 同余格上的关系q ： 第五节我们给h 两类裂! 尊一半群( f ! f js = s ( g ，e ，) 为( ；= 7 渺0f 一，联巾”一 半群或s = s ( c n1 为g uk e r 口。的非e 西的双t 、pu 。r y ) 陋】佘格ln 勺荚 系p 与q 2 2 若干准备 我们将用到文献 5 的某些结沦和符号殴s 2 s ( g ，u ) 为双雌”一、 群，f ) 是s 的个群同余j e n e ti 三a u l t 对p 作出了如下的描述 结论2l 5 s = s ( o ，q ) 为双单u 半群，n 为g 的一一个a 一f i 变l f ： 规予群，k 为一个非负整数，x g 满足n ( xu ) = n “i l 对于任意f e ( ；满 足f - i n x ( f 。) = n x 在s 中定义集合a = a ( n ，x ，k ) = ( ( i ，j ) i 对某个a 【， 1 一i ：a k ，g n x 8 ) 其中，若k = 0 ，则a = o ：对于任意a o ，x 一= ( x 8 ) - 1 则 a 。，k ) 为s 的一个核正规系，且由a ( n ，x ，k ) 所决定的同余pa 是s 的群 同余反之，如果p 是s 的一个群同余，那么ep 是s 的一个核正规系 ( e 为s 的恒等元) 由结论2 1 可知，( j ，g ，j ) p ( n ，x ，k ) ( m ，h ，n ) ( j i ) 一( n m ) a k ， go “( h - j ) e n x 4 且容易知道，g e n 当且仅当( o ，g ，o ) p ( n ，x jk ) ( 0 ，1 ，o ) 有关群同余的比较( ) 、运算( 或v ) ，可查文献 5 我们还用到 如下结论 结论2 2 i s n ：s = s ( o ，n ) 为双单( ) 一半群，则以下描述是正确的 ( 1 ) 若n 。= ( x gi 存在n l 使x “= 1 ) ，则p ( n 。，1 ，o ) 为s 的最小群同余 ( z ) 若“为s 的最大幂等元分离同余，则p i ，o ) v ”2p ( g ，) ( 3 ) 若n 为g 的一个一不变正规子群，则p ( n ，1 ，o ) 为s 的群同 余，满足p ( n ，l ，o ) p ( n 。，l ，o ) ，p ( n 0 ，l ，o ) vu ：若t p ( n 。i ，o ) ， f ，( ，i o ) vl 1 ，则存在g 的一个u 不变正规了群x 使t p ( n 10 j b ；理23s = s ( g ，c z ) 为双单半群若p ( k x m ) 为s 的群同余一 ! i _ p ( n 1 为s 的群同余，且满足p ( n ，i ，) p ( n 0 1 证明：绺沦2 】可知 ( n m 定n 勺川余f j ( 、i ，( 1 ) 为s 的群同余 o ) 为s 的 个垓i i 珈系，l i ! j j f “i ” 又哇 5 定p h2 可1 1f j ( nx ) f 1 ( n 1 ( 1 ) 23 双草( ) 一半群同余格上的关系p 在什么情况下，双单u 一半群的两个同余具有p 关系我们何如f 、定理 定理3 1 在双单。一半群s = s ( g ，g ) 中，我们有如下结论 ( 1 ) 若 ，p 为s 的两个幂等元分离同余，则 pp = p ( 2 ) 若 = p ( n ，x ，p ) ，p = p ( m q ) 为s 的两个群同余，则 pp ( = n = m ( 3 ) 若 为s 的幂等元分离同余，p 为群同余则 pp ( = a = a 。 证明：( 1 ) 如果 ，p 为s 的两个幂等元分离同余，那么 八舻 ，p 八舻p 若 pp ，则 = p ：若x = p ，则显然 pp ( 2 ) x = p ( n ，x ，p ) ，p = p ( m ，y ，q ) 为s 的两个群同余若 pp ，即 n 胙pn 咒而 n 兀pn 玎为s 的幂等元分离同余，则由 3 ，引 理z 3 有a nh = apn i i ，又由第章的结论2 3 有a - ap ，从而由结 论2 1 有n = m ；反过来，若n = m ，则由第一章的结论2 3 有ax = a 。，所 以a n h = apnh ，由 3 ，弓l 理2 3 有 n 爿三= pn 死即xpp ( 3 ) x 为s 的幂等元分离同余，p 为s 的群同余若xpp ，即 n ，户f 】n ，f 而 n 爿i ，pn 玎为s 的幂等元分离同余，则由f 3 ， 引理23 有a nh = apn i 又由第章的结论2 3 有a = ap ：反过来， 若 - ap ，则山第一章的结沦23 有 r 、j f ann i ，m ： ，引理2 ：j 确 r h - pn7 f 即 pp ；i 理32 s = s ( g ，a ) 为双单一半群蛔果p = p 似。l ，) 为s 的群 j 卅余，3 【；么【f ) 八n “_ 为肼l 司余 证明f j p ( n ，) 为s 的群阳余，删h jy 仨l ，ihi lj 【f 结纶 21 可知n 为g 的一个“一0 i 变正规了群，则 沦22f ， ) 力一p n ，f ，o ) 为s 的 洋同余，且t ( 】，。vu 由定j 生 1 ( 2 ) 仃r y 户p 八了f 山第一章的结论2 5 可知( p 八，o “= t ，则( p j o “为群m 余 与第一章讨论c ( s ) 上的关系k 类似，以下的定理c h 我们分别在双 单。半群的四种情形下讨论c ( s ) 上的关系p 定理3 3 若s = s ( o ，a ) 为g = 1 ) 的e 酉烈单。，! f 群，则关系p 为c ( s ) 上的同余 证明：若s = s ( o ，o ) 为g = ( 1 ) 的e 一酉双单。- 半群，则t = u 因此 在c ( s ) 中，我们有e = a 八u = p ，对于任意 ，9 c ( s ) ， r 1 睁xn = 2pn = pn 死即 p p ，则p = c ( s )故关系p 为c ( s ) 上的同余 定理3 4 若s = s ( g ，q ) 为g = u k e r c c 的非e - 酉的双单u 一半群，则 t 2 l 关系p 为c ( s ) 上的同余 证明：若s = s ( g ，o ) 为g = u k e r a 。的非e 一酉的双单“，一半群，则由第 一章的结论26 可知u o 从而。八u = p ， ovp = 0 ，故 c ( s ) = e ，u u o ，。 = ，u u u 订vu ，u 要汪明关系p 为c ( s ) 上的同余，我们分以下二剥，情形考虑 ( 1 ) 设 ，p ，h ) 如果 pp ，那么 = p 对于任意e c ( s ) ， 湿然有 八o = p o ， vo = pvo ，则( f j ) p fp ”) ，( v ) f ) ( vu ) ( 2 ) 设 ，p u ，c l 】 = fuu ( 1 ，u ，9 1 】j 凡l f ) i 、jj - f i ：患1 ) c ( s ) ( 】) 若f ) i l ，( j ，则 八 ) ，f ) c 】， v f ，川 l ，( 。 7 a i 【i 代i t 1 仃( i j ( p ) ，( , v ) f ，i - - j ( i i ) ? ；：f jl - f ，1 1 ) j j 八 】一j 】。l ，1 】一j ) ： 】 f jv ( 1 = p 所以我们有( 八( ) ) p 八0 ) ，l 、【】) f ，( pv ) l ( 1 ) ，( 2 ) 可矢，关系p 为c ( s ) j 的同余 以上我们讨论丁在两利惜形( 即s = s ( g ，u ) 为g - 1 的e 一曲烈扯t 。 一j 卢群或s = s ( g ，“) 为g = 一u k e r a 。的非e 一酉的双单u 一半群) h ( 1 ( s ) f 的关系p 为同余至于另外的两种情形( 即s = s ( g ，u ) 为g f i ) 的e 一酉 双单u 一半群或s = s ( c ，) 为g v k e r c f 的非e 一酉的双单半群) ，关 系p 却不一定为c ( s ) 上的同余我们看如下的定理 定理3 5 s = s ( g ，) 为g ( 1 ) 的e 一酉取单6 3 一半群( 或s = s f g n ) 为g u 。k e r a7 的非e 一酉的双单m - 半群) 如果在c ( s ) 中存在 o i l ，u 】满足 k = = ，那么关系p 不是c ( s ) 上的同余 证明；我们假设关系p 为c ( s ) 上的同余由( a u ) = ( o 八u ) 八u 即op ( o 八u ) ，则由假设鹰有( ov ) p ( ( o 八p ) v ) 又因为 o u ，u 】，所以( ov ) p ，r 口( ov ) u = 八u = ， 而( ov ) o ，ov 且一由第一章的结论2 5 可知，x = ( ov ) 5 ：ov 此与x k = 入矛盾。假蔹禾成壶 现在，我们讨论定理o 5 所示的两类双单。一半群同余格c ( s ) 上的 pp ( 其中pp 表示c ( s ) 中与p 有p 关系的元的集合) 因为最后的结果 是致的，所以我们把这两类双单6 3 一半群放在一起来讨论我们有如下 定理 定理j “ ? o = ( ( j ，) ，0 ( 一fj 彬f | ：j 议”一：_ = ；i 盘、( ( 1 为g ，f 。( z 的| _ i l ：一| 。 一一、fj 一t 2h l 6 l i 州ij ( i ) 撕j 粜 l1 1 i1 i 、 = 一+ il l ，l l1 满j l 、乃”r 余1 ，圳幺、。一 ( 2 ) 如果 ( 】 l ，u 满足 1 为群同余，j = j | ：z , 存在( ；f j j 个a 一_ ：变l l ：规丁群n 使 “= 、。n i ，( 】) 、 i 、 ua i i 中a = ( p p = p ( n ，x t ) o ， ) ( 3 ) 如果 = ( n ，) a ，( l ) 那么( 八u ) “为群同余， 耳，凡p = 凡八u ) ua 其中a = p p = p ( n y ，q ) 0 。 证明：( i ) 对于任意 e ，1 1 ( i o l - ，“ 满 足 为群同余 若有pe e ，u 使pp ，则由定理3 i 有p = ： 若p o ， 使pp ，则由引理3 2 可知( p 八u ) k = “为群同 余，与 “为非群同余矛盾所以 p = ( ) ( 2 ) 对于任意 。八p ，u 满足 为群同余若有p ， u 使pp ，则有p = ；由第一章的结论2 5 可知 “ o ，ovt 1 ， 满足入八u = ；由结论2 2 可知存在g 的一个a 一不变正规子群n 使 k = 1 ( n ，l ，o ) 若p = p ( m ，x t ) o ， 使pp ，则pp k ， 由定理3 jl 可知m = n ( 3 ) 对于任意x = ( n ，x ，p ) o ，( 【) ，显然 八u o 八u u ， 又由引理3 2 可知( p ) “为群同余若p ，u 使pp ，则由 定理3 1 有p = u ；若有p = p ( m x ，t ) e o ，( l ) 使pp ，则 由定理3 1 可知m = n 24 两类炽单m 一半埘同余倍上的关系0 m 以门阳炎议t 、 h 内定j = ! 定理4l 若s 二- s ( g ，c - ) j , jg 2 lm 0e 一曲似荤u 一半群，则天糸( ) 为 c ( s 1 上的川余 证明：若s = s ( o 。) 为g = fj 的e 一西积单。半群，则r 一【i 改 p c ( s ) ，若 vy f = pv 玎则、= f ) 对于任意0 = c ：( s ) 订 八0 = o 八一o ， v0 = pvf 1 ，则( 八【) ) 0 ( p o ) ，( vo ) q ( pv 【) ) 故关系q 为c ( s ) 上的同余 定理42 如果s = s ( g ，u ) 为g = uk e r a 。的非e 一酉的双单m 一半群， 那么关系q 为c ( s ) k 的同余 证明：若s = s ( o ，n ) 为g = 的非 酉的双单一半群，则由第 一章的结论2可知u a 要o 证7 , k 明e 关系为e-6 qc ( s ) 上的同余，我们分以 下二种情形考虑 ( i ) 设 ，p o ，6 3 如果 q p ，那么 = p 对于任意oe c ( s ) 都有 x 八0 = p 八0 ， v0 = pv0 ，则( 八0 ) q ( p 八0 ) ，( v0 ) q ( pv0 ) ( 2 ) 设 ，pe e ，u ，则 ( ) p ，对于任意0 c ( s ) ( i ) 若o o ， ，则 八0 = ，p 八o = p ， v0 = pvo = o 所以我们有( 八0 ) o ( p 八o ) ，( v0 ) q ( pv 日) ， ( i i ) 若0 ，【1 ，贝4 八0 ，p 八0 ，凡v0 ，pv0 e ，u 所以我们有( 八日) q ( p 八0 ) ，( v0 ) q ( 0v0 ) s 25 两类双单一半群同余格上的关系p 与o 刘于定理4 1 和定理4 2 所讨论的两类般单u 一半群r 关系1 。 。j 关系( ) 郜为c ( s ) 上的同余在这两类双单u 一半群! i ，我们还有以下 更进一步的结论 ( 以下两定理中，我们用到如下符号：f ) r 表示c ( s ) e t 一与p 有p 关系的最小同余，p 。表示c ( s ) 中与p 有q 关系的最小同 余，p ”表示c ( s ) 中与d 有p 关系的最大同余，p 。表示c ( s ) 中与p 有q 关系的最大同余) 定理51 若s = s ( g ，o ) 为g = 1 ) 的e - 酉双单6 2 , - 半群，则我们确 如下结论 ( 1 ) p nq = 6c ( s ) ( 2 ) 对于任意p c ( s ) ，我们有p = pp vpq = p9 ap 。 证明：( 1 ) 若s = s ( g - ，n ) 为g = ( 1 ) 的e 一酉双单m 一半群，则e2 u ， c ( s ) = o u ( ) 设 ，p c ( s ) ，若 p n qp ，则 ve = pv ， 即k = p ，所以pnq = ec c s ) ( 2 ) 因为对f - 任意凡c