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y6 5 3 0 3 4 摘要 转子一轴承系统的非线性油膜失稳问 题是威胁高速旋转机械安全运行的主 要原因之一， 因此一直是近代转子动力学的重要研究课题之一。 对转子一轴承系 统进行非线性动力学研究的一个主要障碍是如何快速准确的计算油膜力。 计算油 膜力主要需要求解一定边界条件下的 雷诺方程， 变分理论表明， 考虑了 气穴影响 的雷诺方程是一个自由边值问 题， 等价于凸 集上的泛函极值问 题。 本文利用这一 理论提出了一个计算雷诺边界条件下油叶型轴颈轴承油膜力的快速算法， 并将此 算法用于油叶型轴承的非线性动力学分析。 本文所做的主要工作有: ( 1 ) 根据自由 边值问 题等价于凸 集上的泛函极小值问 题这一理论， 提出了 一 个计算r e y n o l d s 边界条件下油叶型轴承油膜力的快速算法， 文章首先证 明了可以用双曲余弦函数来表示油膜力的轴向压力分布， 将二维问题转为 一维问题， 然后以多项式函数插值法来求解油膜力的周向压力分布， 并用 迭代法同时计算出油膜力的破裂边界。 ( 2 ) 在求得局部坐标系下的单片油叶油膜力后，将其转换到整体坐标系下， 并叠加所有油叶， 得到整体坐标系下的油计 卜 型轴承油膜力。 与有限差分法 ( 充零算法) 的比 较表明本算法达到了 相当高的精度， 并大大降低数值求解 瞬态油膜力的计算时间，可用于转子系统的非线性数值分析。 ( 3 ) 进一步利用所求得的油膜力公式， 推导出有限长油叶型轴承油膜力三个 函 数表达式的具体形式，并作出了 三个系数跟轴颈扰动的关系图。 ( 4 ) 最后作为应用， 本文对椭圆轴承， 三油叶轴承等多种类型的油叶型轴承一 转子系统的非线性动力学行为进行了一系列分析，运用了p o i n c a r e 映射 图，轨迹图，分岔图和最大! y a p u n o v 指数图等现代非线性分析手段研究 了转子系统非线性运动情况，并分析了轴承的各参数对系统稳定性的影 响。 关键词:转子一 轴承系统，非线性，变 分法， 雷诺方 程 一未股 梦嗽 挥 者、 娇卿问岛 y , 孕 . i a b s t r a c t t h e p r o b le m o f n o n lin e a r o il- f ilm in s t a b ilit y is o n e o f t h e fa t a l r e a s o n t h r e a te n in g t h e s e c u r it y o f h ig h - s p e e d r o t a t in g m a c h in e r ie s a n d h a s n o t b e e n s o lv e d w e ll u p t o n o w . o n e o f t h e m o s t d iff ic u lt o b s t a c le s in t h e n o n lin e a r b e h a v io r a n a ly s is o f r o t o r - b e a r in g s y s t e m is h o w to c a lc u la te t h e fl u id - f ilm f o r c e s f a s t a n d a c c u r a t e ly . b a s e d o n t h e f re e b o u n d a ry t h e o ry a n d v a r ia t io n a l m e t h o d , t h is p a p e r p re s e n t s a f a s t a n d a c c u r a t e m o d e l t o c a lc u la t e t h e in s ta n t a n e o u s o il- f ilm fo rc e s a c t in g o n fi n it e le n g t h jo u r n a l b e a r in g s . r e y n o ld s b o u n d a ry c o n d it io n is t a k e n in t o c o n s id e r . t h e p r e s e n t m e t h o d d e d u c e d t h e t w o - d im e n s io n p r o b le m in to a o n e - d im e n s io n p r o b le m b y a s s u m in g t h e o il- f ilm p r e s s u r e d is t r ib u t io n in t h e a x ia l d ir e c t io n is in h y p e r b o lic c o s in e f o r m . t h e p re s s u r e d is t r ib u t io n in t h e c ir c u m fe r e n t ia l d ir e c t io n is in t e r p o la t e d b y l a g r a n g e p o ly n o m ia ls a n d s o lv e d . f ir s t t h e fl u id - f ilm fo r c e s o f o n e p a d in lo c a l c o o r d in a te s is o b t a in e d a n d t h e n it is t r a n s f o r m e d to g lo b a l c o o r d in a t e s . s u m m in g a ll o f t h e p a d s g iv e s t h e b e a r in g f o r c e s . e x a m p le s b y c o m p a r in g t h e p r e s e n t m e t h o d w it h f e m m e t h o d s h o w t h is n e w m o d e l w o r k s s a t is f a c to r ily in a c c u r a c y w h ile t h e c p u t im e is s a v e d g re a t ly . w e u s e t h is m e t h o d in d y n a m ic a n a ly s is o f v a r io u s j o u rn a l- b e a r in g s y s t e m s . p o in c a n e m a p s , b if u r c a t io n d ia g r a m a r e u t iliz e d a s d ia g n o s t ic t o o ls . k e y w o rd s : r o to r- b e a rin g s y s te m , n o n lin e a r , v a r ia tio n a l m e th o d , r e n o ld s e q u a t i o n 复日 大学申 请硕上学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 前言 旋转机械广泛应用于能源、 交通、 军事等各个部门， 是机器设备的重要组成 部分。 转子系统能否正常工作直接关系到整个系统的设备安全。 刚性支承的转子， 由于其支承部分不能向系统提供足够的阻尼， 致使转子无法平稳地越过临界转速 而只能限制在低速范围内工作， 所以对于一大类要求在超临界转速以上运行的高 速转子， 或重载转子， 其支承大多数都必须实现流体润滑。 转子一轴承系统的非 线性油膜失稳问题是威胁高速旋转机械安全运行的主要原因之一 1 1 ，因此一直 是近代转子动力学的重要研究课题之一。 经过二次大战以后 3 0多年的发展，流体力学润滑的理论架构己相当完备， 尚待解决的问题大概分属两类。 一类是缺乏润滑剂的物性模型， 或虽有模型但实 验数据不够， 因此还不能有效地予以分析的问题。 例如， 润滑油中含有大量气泡 的二相流问题， 掺了高分子添加剂的润滑油的非牛顿流问题等。 这类问题必须首 先从实验着手来解决。 另一类是需要烦琐计算的问题， 例如动载轴颈轴承的分析， 轴承与转子结合的系统稳定性分析等 2 1 。这类问题目前只能用简化了的模型来 处理。 本文就着重于解决非稳态轴颈轴承的分析问题， 提出了一个利用变分方法 计算动载油叶型轴颈轴承油膜力的快速算法， 并以此对支撑在轴颈轴承上的转子 进行了一系列的非线性动力学分析。 传统的轴承一转子系统的动力学分析都是借助于线性化的描述，基于小扰动 的假设将非线性系统简化为一个用八个刚度，阻尼系数表征的线性模型 3 , 4 1 0 然而在很多情况下， 转子不再仅仅局限在平衡位置的附近做小扰动， 此时的轴承 一转子系统的动力学行为会表现出很强的非线性， 只有借助于分析原始的非线性 动力方程，刁 一 能更彻底更清晰地了解系统的运动特性【 5 1 。国外对重要的旋转设 备主要通过大量的实验进行研究，得到准确的结果，国内由于经费有限，以及试 验条件限制，则更侧重于理论方面的研究。 在转子系统中，油膜起着承受载荷，降低摩擦的作用，也起着非线性弹簧和 阻尼的作用。 对转子动力学行为进行非线性分析的一个主要障碍就是如何快速而 准确的计算瞬态油膜力， 油膜力的计算主要是通过求解一定边界条件下的雷诺方 程来得到， 精度最高但同时也是最耗时的方法是以有限元法【 6 - 1 0 和有限差分法 复巨 大学申 请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 1 1 , 1 2 , 1 3 为代表的大规模数值方法。这些方法虽然能够比较准确的求出油膜 力， 但由于在非线性分析中， 求解系统动力响应的每一步都需要重复计算油膜力， 如果仍然采用线性分析时所用的大规模油膜力计算方法， 则系统动力响应的计算 量几乎全部由油膜力的计算所占据， 即使计算机的运行速度已经极大的提高， 这 一计算量也是难以容忍的， 难以实际运用于非线性分析中。 因此目前多数非线性 分析模型多采用短轴承理论【 1 4 - 1 7 或长轴承理论【 1 8 1 来简化油膜力的计算。短 轴承理论和长轴承理论是近似模型，利用轴承形状的特点 ( l d)仁 1 9 , 2 0 1 和 ( l ; d) 2 1 , 2 幻略去了雷诺方程中的某些项，简化了方程，从而可以求 出一定边界条件下的解析解。 根据文献只有当轴承的长径比小于 0 . 2 时才能采用 短轴承假设，当长径比大于2 . 5 时才能用长轴承假设【 2 3 1 ， 在实际情况下， 很大 一部分轴承并不满足这些假设， 此时如果还是运用短轴承或长轴承理论下的油膜 力， 况下 就会给系统的分析带来很大误差， 甚至导致分析的彻底失败。 并且在实际情 工程中所用的轴承一般由几块轴瓦 ( 油叶) 构成， 边界条件的复杂性使得 难以运用短轴承或长轴承理论求出解析结果。 最近的文献 2 4 , 2 5 , 2 6 1 在非稳态 油膜力的建模方面取得了若干进展。 从理论上证明了在零边界压力条件下， 非线 性油膜力可以只用三个函数来表达， 这一重要结论大大减少了寻找油膜力计算公 式的工作量，并为寻找非稳态油膜力计算公式指明了方向。 根据精确和快速的 原则， 本文 基于 变分 法 2 7 , 2 8 1 提出了 一个 r e y n o l d s 边 界条件下油叶型轴颈轴承油膜力的快速算法。本文考虑的边界条件是 r e y n o l d s 边界条件， r e y n o l d s 边界条件与s o m m e r f e l d 边界条件、 g u m b e l 边界条件相比更 为准确， 更符合实际油膜分布情况， 但因为油膜的边界是一个不确定的自由边界， 也更加难以处理。文章首先利用变分原理将 r e y n o l d s 边界条件下的雷诺方程等 价于一个凸集上的泛函极值问题， 然后考虑油膜力压力分布的特征， 利用变量分 离法推导出油膜力的轴向压力分布是双曲 余弦函数， 对于比较复杂的周向压力分 布， 采用多项式插值函数的方法来求解， 通过迭代法同时求出油膜破裂边界和油 膜力压力分布函数。 由于充分利用了油膜力压力分布的特性， 将一个二维问题降 阶为了一维问题，因此即保证了精度， 又大大提高了速度。 算例表明本文的方法 可以 达到相当高的精度， 且计算时间与同样精度的有限元充零算方法相比几乎可 以忽略不计。 作为应用对一系列油叶型轴承一转子系统的非线性动力学行为进行 复旦大学申 请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 了分析， 展示了平衡转子和不平衡转子系统的分岔失稳过程， 并研究了轴承形状、 轴承间隙、转子的质量大小、质量偏心位置等参数对转子稳定性的影响。 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 第一章 主控方程及其解法回顾 芬 1 . 1主控方程 描述轴颈轴承油膜压力分布的主控方程是雷诺方程， 雷诺方程是流体动力润 滑理论的基本方程， 它是由流体力学理论中代表动量守恒的n - s 方程和代表质量 守恒的连续方程在一定的条件下简化推导而得 2 9 . 所用的假设条件有: 1 .流动为层流 2 . 边界上的流体速度与边界运动速度相同 3 .与粘性力相比，可以略去惯性力的影响 4 .在沿油膜厚度方向上，不计压力分布的变化 建立如图1 - 1 所示的坐标系: 图1 - 1 轴颈轴承示意图 o - x y z 是原点在轴承中 心的固 定直角坐标系，0 一 n 是原点 在轴颈中 心 ( 几 何中 心) 的 动 坐 标系， 其中咨 轴 指向 最小 油 膜 厚 度处， 。为x轴与j 轴 之间 的夹角 ( 逆时针方向为正) ，歹从x轴逆时针算起，b = 歹一 q) 从油膜的最小厚 复曰 大学申 请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其 运用 度处逆时针算起。 其它的各物理量如下: 产: 润滑油的 粘性系数r: 轴承半径 r : 轴颈的半径d:轴颈的直径 2 l :轴颈的长度。 : 轴颈自 转角速度 e :转子的质量偏心:对时间t求导 尸 : 油 膜压 力 分 布c ， = r 一 ; : 为 平均间 隙 e : 轴颈中心的 扰动位移 中: 轴颈中心的扰动角度 h= c ， 一 e c o s 硬一 a) ) 为 油 膜 厚 度 当不考虑润滑油温度变化的影响时， 在极坐标下圆柱轴颈轴承油膜压力分布 满足下列的雷诺方程: 1 2 解3 a 二 月 “ ae - a p , h 护尸 a a h a h ， 十- - - - 二=一 十 0 e 1 2 p叮 2 0 e次 ( 1 - 1 ) 从极坐标下的雷诺方程中我们可以观察到下列几点: 1 .方程右端第二项是由于轴颈移动产生的，所以它代表挤压作用，在稳态运 动的工况下，挤压项就不存在了。 2 .方程右端的第一项是由于轴颈转动而产生的， 所以它代表滑动所起的作用 当轴颈无转动时，这项就不存在了。 定义如下的无量纲参数: f e = w c , c ， 1 =t q ) 】尹 =下二， 式 -c， : _ d)_ _ 尸 尹 w=一 ，v一二 万 - - 口1 l 户口 l一r -一 兄 。 = 丝_ 1 一 : c o s b ， c r 得到无量纲雷诺方程: 日 ， 一( i l a e 、， 鱼) at ) h a 2 p 一 (， 一 合 )c sin b + 一 “ ( 1 - 2 ) a 4- 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 其中 “ . ”表示对r 求导。 1 . 2边界条件 1 .轴承两端由于和大气相连，压力为大气压，大气压的取值对油膜压力分布的 大小有影响， 但与积分求得的油膜力的大小并没有关系， 因此，不失一般性， 可设大气压为零。 p ( b ， 士 1 ) = 0 ( 1 - 3 ) 2 . 周向边界条件 ( 1 ) 全周油膜 ( s o m m e r f e l d 边界条件) s o m m e r f e l d 边界条件假设油膜充满整个轴承间隙， 这样得到一个油 膜压力分布在周向上是周期函数的边界条件: p ( b , 4 ) = p ( 2 s + b , 4 ) ( 1 - 4 ) 采用此边界条件时， 在油膜收敛区形成正压， 在油膜发散区形成负压， 但实际液体润滑油并不能够承受拉力，所以s o m m e r f e l d 边界条件与实际 情况相差较大， 但是这种边界条件便于求解油膜压力， 因此可以用于理论 分析。 ( 2 ) 半周油膜 全周油膜时，在发散区由于油膜压力低于大气压，这时油膜中常逸出 气泡或汽化而使油膜破裂，作为简化可以认为油膜收敛区形成连续油膜压 力，而油膜发散区压力全为零。这种油膜称为半周油膜，也被称为半 s o m m e r f e l d 边界条件或g t i m b e l 边界条件。 p ( 0 , 杏 ) = p ( 二 ， ) = 0 g u m b e l 边界条件在o = z 时不满足连续定理， 但由 于处理上的 简便， 常 常被用于油膜力的计算中。 ( 3 ) r e y n o l d s 边界条件 认为油膜破裂是一种自 然破裂。在油膜破裂边界，压力为零，压力的 方向导数为零。 复旦大学申请硕士学位论文油川型轴承油膜力的变分方法及其运用 单 边 r e y n o l d 。 边 界 条 件 : 。 = b , 时 ， ， = 0 : 。 一 0 1 时 ， ， 一 。 ，粤= 。 一 而 双 边 r e y n o l d 。 边 界 条 件 : 。 一 b , 忍时 ， ， 一 。 ， 奥一 。 一-一“ “ 8 n r e y n o l d s边界条件与实际的物理情况比较接近，但是在 r e y n o l d s边 界条件下，由于油膜的破裂边界无法在求解雷诺方程前决定，因此问题是 一个自由边值问题，这就使得求解线性雷诺方程的问题变成了一个非线性 问题，大大增加了求解的难度。 1 . 3常用的雷诺方程的求解方法: 1 .长轴承近似 如果l i r 很大，即d ;1 ，在轴承内大部分地方润滑油主要是沿着圆周 方向流动，因而压强也主要是沿着圆周方向变化。在此情形下可将雷诺方程 近似为: d ， 、 由 、: 1 ,， .， l h一 于) =l m一一) as m v+sc o s a db 、db、2 ( 1 - 5 ) 积分为: ， 一 ( (0 一 _1 scosa2) h 一 sin bh 十 c , id o 十 c ， h ( 1 - 6 ) 这样得出的解不能体现端泄，也不能体现压强在轴承出口 两侧附近的变 化。方程 ( 1 - 6 )的积分的计算是通过引入如下的s o m m e r f e l d 变换 3 0 求得 的 1 一s c o s b 1 一 2 l +s c o s a ( 1 - 7 ) ( 1 - 6 )积分可得: p=( 必 一 1) 1+c, j (2 (1_e (a 一 “ ) + 2 s s in a + 专 s in 2 a ( r一 a ) 一 s i n a + ( 1 一 2 ) 1 s ( 1 + s c o s a ) 十百万一 花 二 一 一1 丁 厂 “t i 一 ) + c z ( 1 - 8 ) 变换 ( 1 - 7 )是单调的，且a和b 在0 , ; r , 2 n 处取同一值。 复旦大学申 请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 全 周 油 膜 ( s o m m e r f e l d 边界 条 件) 下 取p ( 0 ) = p ( 2 n ) = p 。 时: = ( 1 一 c 2 ) l + 兰 c 2 = ( 1 + e ) 2 ( 1 一 2 ) 2 ( 1 - 9 ) 图1 - 2 全周油膜压力分布示意图 图1 - 2 是。 = 0 .5 , e = 0 .5 , 娇 = 5 , p , = o 时 的 全 周 油 膜 压 力 分 布图 。 从 图中可以看出在; r _ a_ 2 二 时也就是油膜发散区内形成负压，这与润滑油不 能承受负压的物理事实相违背，要实现完全全周油膜，可以通过提高供油压 力来实现。严格说来，全周油膜的负压区并不一定为油膜的发散楔，全周油 膜的 负 压区与 轴 颈的 扰动 有关 ， 可以 证明 当e = 0 ,砰 = 0 也就 是稳 态时， 油 膜 的负压区 恰为油膜的发散楔二 a _ 2 )r e 半周油膜边界条件p ( 0 , 4 ) = p ( lr , ; ) = 0 下求得: c , 二 1 8 e ( l 一 ， ) 。 ，3 e 2 2 +s 2 c 2 = 二 ( 2 + s 2 ) ( 2 声 一 1 ) 1 s ( 1 一 ) ， 2 c ( 1 一 2 ) 2 ( 1 - 1 0 ) 复曰 大学申 请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的 变分方法及其运用 此时，油膜压力分布函数为 当0 5 b 汀时: n=( 护 l , 1 + c , 、 # 2 、 ， 、 _ . # 2 . _ 1 2 1 1 ,.一 2一一万 + 2 j ka 一 万 ， 十 t r im “ 十 4 s m a t l i 一 ) -一一 o r 一 “ ) 一 s i n a 十 ( 1 一 2 ) 2 1 s ( 1 + 6 c o s a ) 2 2 ( 1 一 # 2 ) 2 + c 2 当7 r ; ， 此时油膜的 压力分布p 满足如下方程 l ( p ) = f ( o ) ( 2 - 1 ) 其中 a， 二 3 助19p1 日， l ， a p i k p)=一二二 二 气 “ 二花 二 少 一二下 k r i二下少 o v c u v c, a ( 2 - 2 ) f ( b ) = a s in ( 。 一 a ) 一 ( 砂 一 1 ) s s in b + s c o s b 2 ( 2 - 3 ) 边界条件: 不失一般性，取单片油叶的进油槽位置为:b = 0 油叶的 包角为:y 雷诺方程的定义域为: 。 = (b , s ) 。 。 (o , r l 。 (- 、 ， 劝 其边界为m : a o 一 (e , s 。 一 。 ， 咸者 4 - 土 对 r 为5 2 的侧向边界，即: r = (8 , * = 1 a ) 侧边界上压力为零: p l, = 0 周向边界条件: p (0 ) = p (y ) = 0 定义q上满足上述边界条件的具有一阶连续导数的函数全体: ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 复口 大学申 请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 h . ( 0 ) 一 ， 。 c l( n ) l。 一 0 in m ( 2 - 9) 那么方程 ( 2 - 1 )的等价变分方程为 求压力分布函数p 使得 j ( p ) = 1111n j ( q ) q . h j ( 。 ) ( 2 - 1 0 ) 其中 j ( q )一 喜 。 ( 。 ，。 ) 一 f (q ) 乙 ( 2 - 1 1 ) a ( p , q ) apa q + 0 e a eap aqa,-, as ( 2 - 1 2 ) 2了十、 h 汀场 一- f ( q ) = 几 ( f -q )d od 4 ( 2 - 1 3 ) 证明如下 设q = 泛函 p + e r i , p , q 都属于川 ， 所以: 在a n上，7i = 0 ( 2 - 1 4 ) ( 2 一1 1 )的变分为: ( s 2 ) 的 子集: k 一 。 。 h : (q )一 。 “ 0 in “ ( 2 - 2 7 ) 命题4 :变分不等方程: 求p e k，使得: a ( p , ( q 一 p ) ) ? f ( q 一 p ) v q k ( 2 - 2 8 ) 命题5 :变分不等方程: 求p e k，使得: a ( p , q ) ? f ( q ) v q e k ( 2 - 2 9 ) 命题 6 :变分方程 求p e k， 使得: a ( p , p ) = f ( p ) ( 2 - 3 0 ) 2 . 3命题等价性证明 下面证明这 6 个命题的等价性。 复q 大学申 请硕上 学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 首先证明命题 1 和命题 2 等价。 由命题 1可知l ( p ) - f= 0 ( 6 2 + 内) ， p = 0 ( s 2 0 内) 可得命题 2的 p ( l ( p ) - f ) = 0 ( s 2 内 ) ;由 命题 2的p ( l ( p ) - f ) = 0 ( 。内 ) 可知当p e q + 即 p 0 时必有l ( p ) 一 f = 0 ，同时由 于p 的 充分光滑性，p 于s 2 + 内正光滑过渡到 。 ” 内 为 零 ， 这 就 得 到 p = 零一 。 在 i 上 。 8 n 下面按3 4 = 5 z*6 = 4 = 3 的路线证明 命题3 - 6 等价: 任取p , g e k， 对任意t e 0 , 1 ， 有( 1 - t ) p + t q 0 c k， 所以k是h ; ( s 2 ) 的一 个凸 集。 又若p , q e k， 对任 意实 数“ ， 刀 ? 0 ， 有a p 十 脚- o c k， 进一 步k 是 顶点在原点的闭凸锥。 设p 是命题3 的解， 并注意到a ( p , q ) 的 对称性和双线性以 及f ( q ) 的 线性， 可 得: ， ( ， ) = 1 a (p ,p ) 一 f (p ) 乙 j ( p + t ( q 一 p ) ) 一 告 a (p + t(。 一 ， )， + ;(。 一 ， ) 一 f (p + t(。 一 ， ) ( 2 - 3 1 ) 喜 。 (， ， ， ) 十 答 。 ( 。 z乙 一 p , q 一 p ) + t a ( p , q 一 p ) 一 f ( p ) 一 if ( q 一 p ) 整理得: 杏 。 (。 一 ， ，。 一 ， ) 十 z a ( p , q 一 p ) 一 .f ( q 一 p ) ? 0 ( 2 - 3 2 ) 令t - - 0 即得: a ( p , q 一 p ) 一 .f ( q 一 p ) ? 0 ( 2 - 3 3 ) 又当k是顶点在原点得闭凸 锥， p , q e k二p 十 q 任 k， 在变分不等方程中令p 十 q 代替q 即得命题5 0 在命题4 中令。 = q e k就有 一 a ( p , p ) ? - f ( p ) ( 2 - 3 4 ) 即: 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 a ( p , p ) - 即为: 也就是: 告 a (r , 9 )一 .f (g ) : 告 a (p , p )一 f (p ) j 伪 ) 2 t i 伽 ) 考虑到9 的任意性，p 是变分问 题的解，即 命题3 0 最后证明命题5 , 6 与命题2 等价。 证明: 设p , q e 。 川( 。 ) ， 用g r e e n 公 式， 我 们有 且 。 l ( p ) d o d c -3 a p , . t 月j卞 刁b 立 (h 3 gp) id w 4 a s一 a 4- 一 一 任 h 3 ( ap a q + 奥 _ )d o l ; 一 cfh 3g al o v o a a s a s石o n ( 2 - 3 7 ) 1 8 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 注意到q = 0 于m 上，则上式最后一项为零。由a ( p , q ) 的定义式即得 a ( p ,q ) 一 且 。 -l (p ) d od 4 d q 。 k ( 2 - 3 8 ) 上式 减去f ( q ) 的定义式即得: a ( p , 特别的，当取q = p时， q ) 一 f (q ) 一 j h q - ( l ( p ) 一 f )d od 4” 。 。 k ( 2 - 3 9) 有 - ( l ( p ) 一 f ) d 6 d 4 b q e k ( 2 - 4 0 ) p由 “场则 a ( p , p ) 一 f ( p ) = 于是，若p 是变分不等方程的解， ( 2 - 2 9 )式得出 a q 又因上式中0 _ 0 在0内 ( 2 - 4 2 ) 又因为p 满足变分方程 ( 2 - 3 0 ) , ( 2 - 4 0 ) 式左端为零，即: 且 p ( l ( p ) 一 f ) d 一 “ ( 2 - 4 3 ) 上式中。 - 。 ( 2 - 4 4 ) 等价于命题2 : 求p _ 0 ， 使得: 沁一 f ) t q ? 0 ( 2 - 4 5 ) 众所周知， 稳态油膜破裂区只能包含与油膜的发散楔中， 下面将证明这一问题: 在空穴区处处p 条件是: = 0 ，自 然有l ( p ) = 0 ,于是不等式 ( 2 - 4 2 )给出空穴区的必要 f=a s i n ( 6 一 “ ) p ( 2 - 4 6 ) 反言之，若q + 为完整油膜区，定义: s 2 = ( ( 0 , s ) 1 。 _ 0 : 二 + 。 ， 一 几 杏 a l ( 2 - 4 7 ) 此必要条件 ( 2 - 3 6 )可进一步表达为: q.q( 2 - 4 8 ) 当取s 2 = 0 ， 时就是著名的n 油膜 ( 半周油膜) 假设。 匕砂. q f / f 今 o a + ; r 2 ; r 0 图2 - 2油膜压力区域示意图 复旦大学申请硕上学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 第三章 求解油膜力的变分方法 3 . 1 单片油叶的油膜力 计算油膜力首先要计算出单片油叶上的压力分布函数p 图3 - 1局部坐标系中单片油叶及其展开 图3 - 1 为单片油叶在局部坐标系中的单片油叶，久- u v z 为局部笛卡儿坐标 系， 坐 标系的 原点 在轴承的 几 何中 心，u 轴为油叶的 起始边。认一 x y z 为 原点 在 轴承中 心的固定坐标系，。为单片油叶在柱坐标中的 展开。0 = 0 , y x - a , a , y 为油叶的 包角，a = l i d为长径比 ，s 2 = s z v s 2 0 ,。 + 为正 压区，q 。 为 零压 区，r 为两者的 边界 ( 待定边界) 。u , ， 为 轴颈中 心的 无量纲位移，u , v 为 轴颈中 心的无量纲速度。 在此局部坐标系下，雷诺方程为: a， l 3 助. a _ 3 a p , ， a e a e ， 一 a a ， 一 ( 3 - 1 ) 其中: t=( - u + 2 v ) s i n b + ( v + 2 tt ) c o s b a s i n ( 9 一 a ) ( 3 - 2 ) h=1 一“c o s b一v s i ng( 3 - 3 ) 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 a 一 v ( - u + 2 0 2 + ( v + 2 u ) z ( 3 - 4 ) ， 一 、 _ _ _ ( 一 u 十 2 v 1 “ = a ig n k - v 一 u ) a r u u u s 一a j ( 3 - 5 ) 0 为f ? 0 的区域，即为: s 2 一 0 la 、 b - 二 + a ( 3 - 6 ) 由 第二章可 知，s 2 z :) s 2 ，当y 汀 时， 可能发生以 下三种情况: ( 1 ) 在整个油叶域上f ? 0 ， 此时。 “ 为空集， 毋须考虑雷诺边界条件; ( 2 ) a 0 , 。 + 二 = 6 y ， 此 时。 。 二 扭 ,y)-(-a,劝， 出 油 边 一 侧出 现 雷 诺 边界条件 ( 3 ) 0 a 二 时可能出 现双雷诺边界条件， 但对于实际 轴承每块瓦的包角y 二 因此我们只讨论以上情况 2 ( 情况 3 与情况 2 类似) 。 根据变分原理， 求解r e y n o l d s 边界条件下的压力分布p 等价于求解如下的泛 函极值问题: 求:p满足 a p ) 一 曾j ( q ) ( 3 - 7 ) 其中: j ( q ) =喜 f f. h ( a q ) 、 ( aq ) z d o d 、 一 ， 。 “ 、 ; ， . a s。 ， “ ( 3 - 8 ) 、 一 告 。 。 ， ( 。 ) 。 : 0 in 。 ， a n d 。 一 。 。 。 。 。 ( 3 - 9 ) 注意到自由边界r 近乎为直线，其附近的压强也非常接近于零，所以设压力 分布的实验函数可以分离变量为: q ( 0 , 4 ) = g ( 4 ) r ( b ) ( 3 - 1 0 ) 代入 ( 3 - 1 )得: 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 ， (。 ) = 告 (一 d , + c a ) - c 3d 3 ( 3 - 1 1 ) 其中 c ， 一 二 g 2 (4 )d 4 ， c z = 二 g t2 (, )d 4 ， c 3 = 二 g ( )d 4 ( 3 - 1 2 ) d , 一 f h (b )一 (” )“ ， d 2 = b h (b )r 2 (b )d o , d , 一 b f (b )r (b )d o ( 3 - 1 3 ) 从( 3 - 1 3 ) 可以 看出试, d 2 , d 3 仅由 函 数; ( e ) 决 定， 所以 如 果当 我 们 假 定r ( b ) 己 知， 就可以 将d , ， d 2 , d ， 当 做已 知常数.此时求解极值问 题 ( 3 - 5 ) 变为求解如 下的e u l e r - l a g r a n g e方程: d 2 g( s ) 一 d ,g ( ,; ) = - d 3 9 ( 一 兄 ) = g ( a ) = 0 ( 3 - 1 4 ) 方程( 3 - 1 4 ) 的解是: g ( ,; ) = b c o s h ( 从) 一 c o s h ( k 4 ) ( 3 - 1 5 ) 其中: = dk = a 2 ( 3 - 1 6 ) 不失一般性， 令b r ( b ) 为; ( b ) ，于是: g ( ) = c o s h ( k . 1 ) 一 c o s h ( k ) ( 3 - 1 7 ) 代入 ( 3 - 1 2 )求得: s i n h ( 2 k a ) 3一zk c , = 2 .1 + a c o s h ( 2 从) = 合 sinh (2 ka,) - 一 圣 ka co sh (ka ) 2 k d ( 3 - 1 8 ) 一 s i n h ( k a ) 首先给出k 的一个初值，计算出co z , c 、 的值，就把二维的极值问题转换成 一维问 题: 求解函数r ( b ) 满足 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的变分方法及其运用 r ( b ) 。 o , y 7 jr ( 9 ) : 0 in ( 0 , y ) , a n d r ( 0 ) 一 ; ( : ) 一 。 .戈j一土沙 少 使得下式取得极小值 j ( r ) = f h (0 ) c ,r 2 (0 ) + c 2 r 2 (0 )ld o 一 c , f f (b )r (b )d o ( 3 - 2 0 ) 当求得: ( b ) 后，再利用方程 ( 3 - 1 6 ) 来迭代修正k . f 面我们来求r ( 印: 首先引入油膜的破裂边界0 8 5 y 将0 归一化， 得到新 的自 变量17 : 0 。 时， 就表示解是非负的，而且当a = 0 时，r ( 8 ) = r ( 8 ) = 。 满足 r e y n o l d s 边界条件的要求。把表达式 ( 3 - 2 1 )代入 ( 3 - 1 3 )得到 试 = a t k ,a ， 姚= a 7 k 2 a ， 姚= a r ( v + 2 u ) b , + ( - u + 2 v ) b i ( 3 - 2 4 ) 复旦大学申请硕士学位论文油叶型轴承油膜力的 变分方法及其运用 k , = 奋 f h (w (i7)t(i7) + w (?7)1(r7)(w (,7)1(?7) + w (17)l()7)t d o k 2 一 : i h w (17)t(?7) i t q 7)d q ( 3 - 2 5 ) 且式 ( 3 - 2 0 )变为: j ( r ) 一 生 a t k a 一 。 t b z ( 3 - 2 6) k=