（基础数学专业论文）一类微波加热的最优控制的必要条件.pdf

附：学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：幽垫望 日 期： ! ! ! z 生旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论丈的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州i 大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：兰螳导师签名：辖日期：垫篮尘世 摘要 目前，微波加热技术使用非常的广泛，并且具有重大的经济价值，微波加热 还具有瞬时性和无惯性。因此微波加热的最优控制成为可能。但是人们对微波加 热的最优控制问题研究还是比较少，特别在工业应用中，绝大部分微波加热控制 还依赖于“经验估计”，这样阻止了工业自动化的进程，直接导致了经济效益的 降低。在此，本文主要讨论一类微波加热的最优控制的必要条件，为微波加热提 供理论性指导，为数值模拟计算作准备。 根据微波加热的机理，其加热过程在数学模型上可以描述为m a x w e l l 方程与 热传导方程的耦合。本文讨论的是受控制系统为线性的时谐微波加热系统( 即为 时谐m a x w e l l 方程与热传导方程的耦合) ，受控集为非凸集，目标要求达到均匀 加热和耗能最小时的最优控制问题的必要条件。详细可描述为：设qcr 3 为一 有界区域，a q c 2 。记q r = q x ( o d 。 假定受控系统为 v 【；b v e 1 + m 【出 o s 协) + f ( 盯o ) + f - ( z ) ) 】e = o ； 并g 玎( x ) e ( x ) = 0 ， x l a q p c u , 一v k ( x ) v u = 1 2q ( t ) c r ( x ) + o j s o e ( x ) i e 2 ， ( 工，f ) q ( o ，r 】， 娑i 越= 0 ， u h u ( x ，o ) = u o ( x ) ，x q 其中珊，8 0 ，p ，c 均为常数，珂是x a n 处的外单位法向量，宴表示 外法向导数。 考虑到实际应用，本文所取的容许控制集为 = q ：【0 ，t 】 r i 目( f ) e o 1 ) ， 其中q 为可测函数，这样的容许控制集是非凸的，目标泛函为 ，( g ) = 【k ，乃一脚( 功f 2 d x + 万r l g ( ，) 1 2 d t ， 其中万为给定的正常数，体现的是微波加热的温度既要达到我们预期值还要最 大限度的节能。 然后本文在假定最优控制是存在的基础之上，先研究受控系统的解的性质进 行研究，然后借助共轭法，推导出了对谐麦克斯韦方程耦合热传导方程系统最优 控制的一阶必要条件，并且给出了证明。 一般的最优控制问题的必要条件都是在凸的容许控制集中来讨论的，常常所 采用的方法是共轭法，郎通过计算目标泛函变分，变分方程，共轭方程，然后根 据e u l e r 方程来推导最优控制问题的必要条件的办法来处理，由于本文最优控制 问题的容许控制集是非凸的，所以不能采用通常的直接计算目标泛函变分的办法 来处理。为此，本文引入针尖扰动的定义、e k l a n d 距离以及相应的空间，利用 针状变分的一些性质，计算目标泛函变分和共轭方程的办法来处理，从而得到最 优控制问题的一阶必要条件。此理论结果可为设计加热均匀、节能的微波加热系 统提供理论性指导和控制策略。 关键词微波加热最优控制必要条件 中图分类号：0 2 3 2 文献标识码：a 4 c m t e n t l y , t h ea p p l i c a t i o n so fm i c r o w a i , eh e a t i n gt e c h n o l o g ya r ev e r yb r o a da n d o fg r e a te c o n o m i cv a l u e ，b yv i r t u eo fm i c r o w a v eh e a t i n gb eo fi n s t a n t a n e o u sa n d n o n - i n e r t i a lp r o p e r t i e s , t h eo p t i m a l n t r o lo fm i c r o w a v eh e a t i n gc o m t ot r u e h o w e v e r , t h er e s e a r c h i n go f o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o rm i c r o w a v eh e a t i n gi sq u i t ea f e w e s p e c i a l l y i ni n d u s t r i a la p p l i c a t i o n s ，m o s tc o n t r o lp r o b l e m sf o rm i c r o w a v e h e a t i n gp r o c e s sd e p e n do nt h e ”e x p e f i 黜e s t h n a t e s ”w h i c hp r e v e n tt h ep r o c e s so f i n d u s t r i a la u t o m a t i o na n dl e a dt oal o w e re c o n o m i ce f f i c i e n c yd i r e c t l y i nt h i sp a p e r ， t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft i mo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o rak i n do fm i c r o w a v e h e a t i n gp r o c e s sa 托d i s c u s s e da n dt h o s er e s u l t sp r o v i d et h e o r e t i c a lg u i d a n c ef o r n u m e r i c a ls i m u l a t i v ec o m p u t ei nm i c r o w a v e h c a t i n gp r o c e s s u n d e rt h em e c h a n i s mo f m i c r o w a v eh e a t i n g ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e lf o rh e a t i n g p r o c e s sc a nb ed e s c r i b e da st h es y s t e mg o v e r n e db ym a x w e l l se q u a t i o n sc o u p l e dh e a t c o n d u c t i o ne g l u a t i o n w i t ht h en o n - c o n v e xa d m i s s i b l ec o n t r o ls e ta n dg o a l so f a c h i e v i n gu n i f o r mh e a t i n ge f f i c i e n c ya n dl o w e s te n e r g yc o n s u m p t i o n , t i cn e c e s s a r y c o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m f o rt h el i n e a r s y s t e mg o v e n l c db y t i m e - h a r m o n i cm i c r o w a v eh e a t i n g ( i e t i m e h a r m o n i cm a x w e l le q 雌f i o mc o u p l e d h e a tc o n d u c t i o nc q u a d o n ) a r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m c a nh ed e s c r i b e da sf o l l o w si nd e t a i l ： l e tq cr 3h eab o u n d e dd o m a mw i t ht h eb o u n d a r y 勰c 2a n dg h e c j x ( o , n s u p p o s e t h a tt h ec o n t r o h e ds y s t e mi sa sf o l l o w s ： v 【赤v 司+ 研一嬲扩x + f p ( 力+ 嬲栌弋) 忙2 o ，工q n ( x ) x e ( x ) = o x e 触 鹏一v 【| ( x “】= g ( f ) 【盯( 力+ 傩栌k ) 】岍， 瓴，) q ( o ，r 】， 娑i 。= 0 ， u h 甜o ，o ) = u o ( x ) ， x q ， ， w h e r em ，e o ，p ，c a 聪c o n s t a n t , 栉o ) i st h eo u t w a r du n i tn o r m a la t x a qa n d 兰i s t h en o r m a ld e r i v a t i v eo nt h eb o u n d a r y 鳓 t a k i n ga c c o u n to f t h ea p p l i c a t i o n s ，d e f i n et h ea d m i s s i b l ec o n t r o ls e ta sf o l l o w s ： = 拓：f o 刁专胄i 觯) o ，l ， ， w h e r eqi sam e a s u r a b l ef i m c t i o n , o b v i o u s l y t h ea d m i s s i b l ec o n t r o ls e ti sn o n 既m v e x d e f i n et h ec o s tf u n c t i o n a la sf o l l o w s ，q ) = l 卜( x ，d 一蜥( x ) 1 2 出+ 艿r k o ) 1 2 毋， w h e r e 万i sar e g u l i z a t i o np a r a m e t e r w i t ht h ea s s u m p t i o nt h a te x i s t e n c eo f t h eo p t i m a lc o n t r o li sh o l d , w ef i r s t l ys t u d y t h es o l u t i o na n di t sp r o p e r t i e so ft h ec o n t r o l l e ds y s t e m u s i n gt h ec o n j u g a t em e t h o d , o n e c a nd e r i v et h ef i r s to r d e rn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n t r o lf o rt h es y s t e m g o v e r n e db yt h et i m e - h a r m o n i cm a x w e l le q u a t i o n sc o u p l e dh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o t x g e n e r a l l yt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m si sd i s c u s s e d u n d e rt h ec o n d i t i o no ft h ec o n v e 】【a d m i s s i b l ec o n t r o ls e t , i no r d e rt od r i v et h e n e c e s s a r yc o n d i t i o n st h ec o n j u g a t em e t h o di su s e du s u a l l y ，t h a ti s ，f i r s tc a l c u l a t et h e v a r i a t i o no f c o s tf u n c t i o n a l ，v a r i a t i o n a le q u a t i o nc o n j u g a t ee q u a t i o n , t h e n a c c o r d i n gt o t h ee u l e re q u a t i o n sd e r i v et h en e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h eo p t i m a lc o n u o l ，b u ti n t h i sp a p e r , t h ea d m i s s i b l ec o n t r o ls e ti sn o n - c o n v e x ，s ow ec a n n o tc a l c u l a t e t h e v a r i a t i o no fc o s tf u n c t i o n a l 船n s u a j l y i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c es p i k ep e r t u r b a t i o n ( s o m e t i m e si ti sa l s oc a l l e da n e e d l e l i k e p e r t u r b a t i o n ) ，e l d a n dd i s t a n c ea n dt h e c o r r e s p o n d i n gs p a c ea n dt h ep r o p e r t i e so fn e e d l ev a r i a t i o n , b yv i r t u eo fc o n j u g a t e m e t h o d ，a n dh a v et h ef i r s to r d e r 珊：c e s 豫r yc o n d i t i o n so ft h eo p t i m a lc o n l r 0 1 t h e r e s u l t so ft h i st h e o r yc a np r o v i d et h e o r e t i c a lg u i d a n c ea n dc o n t r o ls t r a t e g yf o r d e - s i g n i n g t h em i c r o w a v e h e a t i n gs y s t e m w h i c h o f u n i f o r m - h e a t i n g a n d e n e r g y - e f f i c i e n tp r o p e r t i e s k e y w o r d s ：m i c r o w a v eh e a t i n g ；0 l 幽埘c o n t r o l ；n e c e s s a r yc o n d i t i o n s 6 第一章前言 控制问题和最优控制问题在我们的现代生活当中几乎是无处不在的，也是缺 一不可的人们对它们的研究也越来越广泛和深入。比如对受控对象、可不可控、 最优控制的存在性和必要条件以及最优控制的计算进行研究，其中对最优控制的 必要条件的研究可以为实际运用作理论性的指导，也可以为研究最优控制的计算 作前提准备。 微波加热的最优控制问题是一类应用非常广泛的最优控制问题，由于微波加 热是不同于传统方式的一项新技术，传统加热方式是先对物体表层加热，要使物 体整体加热。则必须通过积累在物体表面的热量，依靠热传导方式逐次地向物体 内层传递，最终才加热整个物体。这种传统的加热方式具有预热、加热时问长， 加热具有惯性，如果用之杀菌会破坏大量的营养成份和口感等等弊端。微波加热 是通过物质吸收微波，将微波能量传给物质并转换为热能。这种加热方式不依靠 表面热传导方式，表现为物体深层范围的加热，加热的速度非常快，这样可避免 常规加热需要预热、加热时间长等弊病( 见文献 1 王绍林，2 0 0 3 ) 。除此之外， 微波对物料还具有非热效应( 生物效应) 。对化学过程的激励效应。因此微波加 热技术应用前景广泛，对微波加热的最优控制问题的研究具有重大的经济价值。 微波加热是一种复合传热状态，不仅涉及到微波能与热能的转换产生内热 源，同时还需要探讨具有内热能源的传热过程。所以微波加热理论的研究成为了 数学、物理、化学和工程人员等等各个学科的重要课题( 见文献 8 a l f r e d k a n d e r s o ne t c 。2 0 0 6 , 【2 2 j a m e sm ，h i l lc t c , 1 9 9 6 ，e 3 1 t u s l uc t c , 2 0 0 3 ) 。 从理论上说，由于微波的产生受控于电路的接通与否，再加上物质吸收微波 能量即刻转换为热量。当物质不需要加热时，断开电路便停止继续升温。即微波 加热具有瞬时性和无惯性。因此微波加热的最优控制成为可能。虽然微波加热已 经在工业生产中有广泛的应用。但是，现阶段，绝大部分加热控制还依赖于“经 验估计”。阻止了工业自动化的进程，直接导致了经济效益的降低。因此研究微 波加热的最优控制问题是具有现实惹义，特别是对微波加热的最优控制必要条件 的研究可以为工业中酶微波加热提供理论性指导，为数值模拟计算作准备。 从数学模型上看，微波加热可以描述为m a x w e l l 方程与热传导方程的耦合。 7 数学工作者对这一类的麦克斯韦方程组耦合热传导方程系统的解的存在性和正 则性等性质作了深入的研究( 见文献 1 7 3h o n g n 血g 啊n ，2 0 0 4 ，【1 8 h o n g - l 洫n g y i n ，1 9 9 8 ) 。随着研究的深入，人们对麦克斯韦方程组的能控的研究也取得了一 系列的成果( 见文献 1 0 b v k a p i t o n o v , 1 9 9 4 ， 1 2 d l r u s s e l l ，1 9 8 6 ， 2 4 k a 1 & m e 1 9 9 0 ，【3 2 】x z h a n g , 2 0 0 0 ) 。然而对麦克斯韦方程组耦合热传导方程 系统的最优控制的问题研究却很少见。我们查阅了国内外大量文献，对微波的最 优控制问题似乎研究较少。近年来，y i n 对一类时谐麦克斯韦方程组强耦合非线 性热传导方程系统的最优控制问题的存在性作了研究( 见文献 1 9 h o n g - m i n g y i n ，2 0 0 2 ) 。但是对于最优控制的必要条件以及数值解法等等还没有见到相应的 研究。而且其容许控制集也是凸的，对于非凸容许控制集下的时谐麦克斯韦方程 组耦合热传导方程系统的最优控制问题也没有研究。 本文给出一类时谐微波加热系统的最优控制问题( 即如下最优控制问题( p ) ) 的必要条件。其结果可为设计加热均匀、节能的微波加热系统提供理论性指导。 具体可以描述为： 由文献 1 9 ( h o n g - m i n gy i n 2 0 0 2 ) ，我们对其进行进一步的研究，建立了一 个新的数学模型，并且根据实际应用中为了方便控制，取其容许控制集为非凸的， 目标泛函要体现出加热均匀、节能的良好性能，即考虑如下最优控制问题( p ) ： 设q c r 3 为一有界区域，m e c 2 。记g = q ( 0 ，d 。 假定受控系统为 v 【石b v 司+ 叫 _ 国氏f x 功+ j ( 盯( x ) + 国岛占竹( 砌】e = o ； x e g n ( x ) x e ( x ) = 0 善铀 鹏一v k ( x ) v u = q ( o i a ( x ) + o , s o e ( x ) 1 暑1 2 ， ( x ，f ) q 他丁】 筹驴o ， u ( x ，o ) = u o ( x ) ，x q 其中国，岛，p ，c 均为常数，力( 功是x m 处的外单位法向量，景表示 外法向导数。 最优控制f - j 题( p ) 为：对给定期望终值温度蚴( 力e 2 ( q ) 和? 0 ，寻求一 个可测函数g e = g f r 0 , t 置l g o ) 0 l ，使得目标泛函 s 以吁) = l k ( 毛d 一蜥( 力| 2 d x + j fi g ( f ) f d t 达到最小，其中艿为给定的正常数，”gc ( o ，刀；r ( 锄) 为受控系统的解。 本文的特点在于：一般的最优控制问题的必要条件都是在凸的容许控制集下 来讨论的，常常所采用的方法是共轭法，即通过计算计算目标泛函变分，变分方 程，共轭方程，然后根据e u l e r 方程来推导最优控制问题的必要条件的办法来处 理，由于问题( p ) 的容许控制集是非凸的，所以不能采用通常直接计算目标泛 函变分的办法来处理。为此，本文引入针尖扰动的定义，通过引入e k l a n d 距离 以及相应的空间和讨论针状变分的性质，在此基础之上来类似计算目标泛函变分 和共轭方程的办法来处理，从而得到最优控制问题( p ) 的一阶必要条件，最后 为设计加热均匀、节能的微波加热系统提供理论性指导和控制策略。 本论文的组织如下：第二章，给出了一些与论文相关的预备知识；第三章， 描述一类时谐系统微波加热的最优控制数学模型的建立；第四章，讨论此类微波 加热最优控制问题的必要条件；最后，在第五章我们考虑下一步将要继续开展的 工作。 9 第二章预备知识 2 _ l 基本空间和定义 设q c r “为一有界区域。 1 f ( q ) 空闻 令p 1 ，定义 矿= ：f l - - * r 是一个可测函数i 量i m ) i 凼 1 ) 是一个自反的、可分的、b a n a c h 空问，r ( 哟( p 1 ) 的共轭空闻为f ( q ) ( 上+ 古= 1 ) 2 勋6 0 即空间 弱导数的定义设o ) ，v ( 力f ( q ) ，称v ( x ) 为“( 功的口阶弱导数，如果对任 意的烈功e g 有 工甜( 加4 凼= ( - 1 ) hl v o 从城 成立。 设k 为正整数，p l ，我们定义 形( q ) = ，( 功i 对任意口，当h 七有d 4 ( e 口( 囝 定义其范数 2 l 驴4 州焖9 特别的，当p ：2 时，日t ( 固兰矿船( q ) 是髓舾州空间，对任意的八工) ， g ( 力日( ( 的，定义其内积为 o r g ) = i 丕驴似d 4 触 定理w 砷( 哟( p 1 ) 是一个自反的、可分的、b a n a c h 空间。 定义噼一( 回为c ；( q ) 在矽一( q ) 中的闭包。 p o i n c a r e等式设厂( 工) 仨w o ，9 ( q ) ，则存在一个常数c 使得 出s c i d l 1 9 d x 成立，其中c = c ( n ，p ，【的。 3 带f 变量的一些基本空同 定义我们称集合 u l d a u ，珥”r ( g ) ，对满足蚓s 1 和r s l 的任意口和， 赋以范数 删叫c a r ，2 磊忪4 甜k 临，+ 荟0 研盯忆渤， = 1 1 1 1 f 冉) + l l o 1 l r ( q r ) + 怜掰0 r 后得到的线性赋范空间为s o b o l e v 空间明4 ( 蜴) 。 设吼蜴和a ，绋分别表示q ，的侧边界a q ( o ，d 和抛物边界 a ，岛u o , x 为- - b a n a c h 空间，定义其范数为脚，我们考虑如下函数 社 ) ：【o 刀专x 。 定义c ( 【o r 】，z ) = 所有的从【o 刃到石的连续函数甜o ，r ) ) ，其范数定义为 批n 。，2 印s u ”p i i i i x 定义( 【o 刃；习= 0 a ) ；【o ，刀j z m 矿卿1 ) ，其范数定义为 ，= ( e 奶i 。 定义w 砷( 【o ，刀；奶 。 = 扣o ，) ： o , t - - + x i d 7 甜( ，) x ，| ，i g t 删【o ，明，h d ：i i “i i 。b o ，存在万 o ，当肛一卅i 艿时，就有 l ，o ) 一以列 则称j ( 力在i 处是连续的。 定义( 线性泛函) 如果施) 是连续的。并且满足如下条件 ， 0 是正则化参数，要使得这个目标泛函达到最小，则这个目 标泛函中右端第一项要求达到最小，即表示为在终端时间r 时要求加热温度 u ( x ，乃是无限趋近于期望温度蜥( 力，特别的，当期望温度坼( x ) 为一常数时， 则表示物料各点处要求加热均匀。同样的要求目标泛函中右端第二项达到最小， 即表示所使用的能量要求最小，也就是要求节能。整个两项说明在达到预期温度 的前提之下，要求最大限度的节能。 综上所述，我们可以给出如下最优控制问题( p ) ： 假定受控系统为 v 啭i v 司+ 科一e o e o s ( x ) + j ( 叮+ m g u ) ) 】e - - 0 , x g ( 3 1 。1 ) n ( x ) e ( x ) = 0 ， x l m ( 3 1 2 ) p c 坼一v k ( x ) v u 】= 扣( f ) 【仃( 力+ 国占弋瑚i e l ，( x ，) e q ( o ，r 】， ( 3 1 3 ) 罢l 船= 0 ， ( 3 。1 4 ) u ( x ，o ) = u o ( ，工e q ( 3 1 5 ) 其中国，岛，p ，c 均为常数，刀是x 铀处的外单位法向量，罢表示外法 向导数。 最优控制问题( p ) 为：对给定期望终值温度唧( 力l 2 ( o ) 和t 0 ，寻求一 个可测函数g = 臼：【o ，t - - 震i q q ) e o ，l ，使锝目标泛函 ，q ) = k 伍 一如1 2 出+ j r l q o ) 1 2 d t 达到最小，其中万。为给定的正常数，“e c ( 【0 ，刀；r ( ( 坳为问题( 3 1 1 ) 一( 3 t 5 ) 的解。 本文的研究目标就是给出这类微波加热( 时谐麦克斯韦方程耦合热传导方程 系统) 的最优控制的必要条件，为设计加热均匀、节能的微波加热系统提供理论 性指导和控制策略。 第四章时谐麦克斯韦方程耦合热传导方程系统最优控制的必要条件 4 - 1 最优控制问题( p ) 的描述 设q c r 3 为有界区域，铀e c 2 。记g = n ( 0 ，d 。 我们考虑如下最优控制问题( p ： 假定受控系统为 v x t 孟万v 司+ 翻 _ 日a 岛s 【功+ f ( ，( d + 国岛f 弋】i ) ) 】e = o ， x e 【x ( 3 1 1 ) 疗( 力e ( 工) = 0 ， j i a q ( 3 1 2 ) p c 玑- v k ( x ) v u 】= g ( f ) 盯( 功+ 国岛占。( 功】i e r ， ( x , t ) q ( o 刃，0 1 3 ) 学1 曲= o ，( 3 1 4 ) u ( x ，o ) = ( ， x q ， ( 3 1 5 ) 其中国，g o ，p ，c 均为常数，刀o ) 是x e a d 处的外单位法向量，娑表示外法 向导数。 最优控制问题( p ) 为：对给定期望终值温度蜥( 功e l 2 ( n ) * 0 t 0 ，寻求一 个可测函数q l 0 = 幻：【o ，? 】_ r i q ( t ) e o ，1 ) ) ，使得目标泛函 ，( g ) = i , l u ( x ，乃一蜥( 力1 2 c 如+ 艿r i g ( ，) f 西 达到最小，其中艿为绘定的正常数，u e c ( o ，r 】，叠( ( 玢为问题( 3 1 1 ) 一( 3 ，t 5 ) 的解。 我们是在假定问题( p ) 的最优控制是存在的基础之上来讨论其最优控制的 必要条件由于此系统是时谐麦克斯韦方程弱耦合热传导方程系统，所以本章节 先讨论受控系统的解的存在性，再导出最优控制问题( p ) 的必要条件 4 - 2 耦合系统的解及解的存在性 首先我们给出受控系统弱解的定义。 定义4 2 1 称( e “) h o ( c u r l ，n ) x 明4 ( g ) 为系统( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 的弱解。如 果对任意的x 风( c u r l ，o ) 和任意的矿g ( g ) ，下面的积分等式 2 1 l 赤跏i c ) 凼+ 研嘲护u ) + f p ( d + 船护- ( x ) 】西k d x = 0 和 f i ( d 9 + 七( 力v 珈v 伊) d x d t = f f 西，9 6 曲 成立，r r u ( x , o ) = u o ( x ) 4 。于q ，其中， ，f = g ( f ) b ( 移+ 傩。( x ) l i e i 2 ，为 迹算子。 假设条件： ( h 4 1 ) 设，i ( 力，r 2 ( 力，啊( 力，口。( 功为可测的、非负的实值函数，令 ，2 志州p 州功刊揣+ ，东】 g ( x ) = 一q ( 功+ 缸2 ( x ) = 酬卜国日。占( 力+ f ( 盯( 4 - 国f o 占”( x ”】 存在常数口o ，4 o 使得，1 ( 功，4 2 ( 嘞，i r ( x ) l + l g ( x m 4 成立。 ( h 4 2 ) 设砧。( 功叫( 【动且为非负实函数，函数七化甜) 关于而“都是连续的，且 存在常数，毛使得o 0 和z 为b a n a c h 空间，寻求一个最优控制”，c l p ( i ，d 使得 以“) = r z ( f ，工4 ，“) 西( z ：【o ，刀】，e - - h ) 达到最小，其中 4 ，是如下系统的解 骺篙删一n 。 如果存在一个u 。u 0 ，使j ( u 。) s j ( u ) ，我们要讨论的是最优控制问题 ( p 1 ) 的必要条件。 第一步：假设 。，帮。) 为最优控制问题( p 1 ) 的最优控制对，则由e u l e r 方程， 对任意的甜e 可以得到 ( ，) ，( u - u o ) ) o 。 第二步：计算，) 设= u o + e ( u - u o ) ，o g e s l ，由于【o 是一个凸集，