（基础数学专业论文）具脉冲效应的生物学模型的定性研究.pdf

摘要 生物动力学中，有很多自然现象会受到人为因素的作用， 这种干预可以用脉冲系统来描述，如传染病防治过程中采用 的脉冲疫苗，生态系统中的定期捕杀，定期喷洒杀虫剂和定 期培育幼苗等人为干预行为，都可通过建立脉冲动力模型来 研究其动态变化规律目前，对脉冲动力模型的研究中，周期 解的存在性和稳定性方面的研究较多，而对持续性的研究较 少。在生态学中，对种群的持续性的研究有着重要的现实意 义；在传染病学中，虽然大多数是研究它的无病周期解的稳 定性，但是，传染病持续性的研究，对我们进一步了解疾病， 控制疾病也具有重要的指导意义。 本文建立了几类具有脉冲效应的生物学模型，并且研究 了其一致持续生存等性质 在第一章，对该方向的研究做了一些介绍，阐述了本文 研究的意义、方法及主要结论； 在第二章，给出了本文的论证过程中要用到的一些重要 理论及概念； 在第三、四章，分别建立理两类具脉冲效应的s i r 与s e i r 传 染病模型，应用脉冲微分方程周期解的全局稳定性、比较原 t 理和分析方法，得到模型一致持续生存的充分条件，通过结 果可以帮助我们了解，注射疫苗的周期t 与注射比例p 与疾病 控制的联系； 在第五章，考虑到三个生长阶段的对人类有利的种群，人 类固然会对成年和老年种群进行捕杀，对幼年种群进行保护， 基于此，本文建立了一个具分布时滞和三生长阶段的单种群 脉冲动力模型，并将它等价转换成无脉冲的模型，运用脉冲 比较原理以及分析等方法，得到模型的永久持续生存与全局 稳定性的充分条件 关键词：脉冲微分方程，一致持续生存，生物动力学 模型，比较原理 a b s t r a c t i nb i o l o g i c a ld y n a m i c s ，m a n yn a t u r a lp h e n o m e n o na n dm a n - m a d ei n t e r f e r e n c ef a c t o r sc a nb ed e s c r i b e db yt h ep u l s es y s t e m ，s u c h a st h ep u l s ev a c c i n a t i o nt h a tu s e di n t ot h ei n f e c t i o u sd i s e a s ep r e v e n - ，r e g u l a rh u n t i n g 。e c o l o g i c a l ( s t e m ，g u l a r 。 oftion r e g u l a rh u n t m gi ne c o l o g m a ls y s t e mr e g u l a rs p r a y i n go tl n s e e -， t i c i d e sa n ds e e d l i n gc u l t i v a t i o n t h ed y n a m i cv a r i a t i o n so fe x a m p l e s a b o v ea l lc a nb es t u d i e db ye s t a b l i s h i n gd y n a m i cm o d e lw i t hp u l s e t h i sa r t i c l ee s t a b l i s h e ss e v e r a lt y p e so fb i o l o g i c a lm o d e l sw i t h p u l s ee f f e c ta n d r e s e a r c h e st h ef e a t u r e ss u c ha st h eu n i f o r mp e r s i s - t e n c e t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h es t u d yo ft h i st o p i c ，t h es i g - n i f i c a n c e ，m e t h o d sa n dt h em a i nc o n c l u s i o n s t h es e c o n dc h a p t e r p r e s e n t ss o m ei m p o r t a n tc o n c e p t sa n d t h e o r i e sw h i c hw i l lb eq u o t e d i nt h ep r o c e s so fa r g u m e n t i nt h et h i r da n df o u r t hc h a p t e r ，s i ra n ds e i re p i d e m i cm o d e l s w i t hp u l s ee f f e c ta r ee s t a b l i s h e ds e p a r a t e l y t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n o fu n i f o r mp e r s i s t e n c ei sc o n c l u d e db yu s i n gg l o b a ls t a b i l i t yo ft h e p e r i o d i cs o l u t i o no fe q u a t i o nw i t hp u l s e ，c o m p a r i s o np r i n c i p l ea n d a n a l y t i c a lm e t h o d a n dt h er e s u l t sc a nh e l pu su n d e r s t a n dm o r e i i i a b o u tt h er e l a t i o n s h i pa m o n gt h ep e r i o do fv a c c i n a t i o nt ，t h ep r o - p o r t i o no fv a c c i n a t e dp e o p l epa n dt h ed i s e a s ec o n t r 0 1 a tl a s t ，c o n s i d e r i n gt h ed e v e l o p m e n th u m a nb e i n g s ，p e o p l e w i l lk i l lt h ea d u l ta n do l dp o p u l a t i o na n dp r o t e c tt h ey o u t ho n e b a s e do nt h i s ，t h ef i f t hc h a p t e re s t a b l i s h e sap u l s e dd y n a m i cm o d e l w i t hd i s t r i b u t e dd e l a y sa n dt h r e ed i f f e r e n tg r o w t hs t a g e sg r o u p sa n d t r a n s f o r mi ti n t om o d e lw i t h o u tp u l s e t h e nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n o fm o d e l sp e r m a n e n c ea n dg l o b a ls t a b i l i t yi sc o n c l u d e db yu s i n g c o m p a r i s o np r i n c i p l ea n da n a l y s i s k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s e ，u n i f o r mp e r - s i s t e n c e ，b i o l o g i c a ld y n a m i c sm o d e l s ，c o m p a r i s o np r i n c i p l e i v 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：玩谴c l 口。多年芗月矿日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密彤 ( 请在以上相应方框内打“，) 作者签名：i 令鸟日期：鼬7 7 1 年罗月拥 导师签名：旁锄、1日期：喝年f 1 月日 0、l| 一4 7 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 1 绪论 1 1 研究背景 近年来，生物数学突飞猛进，蓬勃发展，百花争艳，分支 众多，它所涉及的领域十分广泛，与我们的生活日趋密切而 在我们的生活和自然界中，许多社会和生命现象都可以用动 力学的方法来研究，因此，人们普遍通过建立数学模型来研 究各种生物动力学的问题，以使人们对自然界和社会有更深 的了解，从而实现人类正确的优化与控制在众多的分支中， 传染病与种群生态学是其中的两个重要的分支 传染病历来就是危害人类健康的大敌，历史上传染病一 次又一次的流行，给人类生存和国计民生带来了巨大的灾难， 如瘟疫、麻疹、霍乱、流感、艾滋病等传染病，都曾经导致大 量人的死亡，其中有些已经消亡，而有些依然危害人类，长期 以来人类与各种传染病进行不屈不挠的斗争，最近的s a r s 、 甲型h 1 n 1 病毒的爆发更掀起了传染病研究的狂潮 对传染病的研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研 究、实验性研究和理论性研究 1 】，传染病动力学是对传染病进 行理论性定量研究的重要方法早在1 7 6 0 年d b e r n o u l l i 就曾经用 数学研究过天花的传播，直至1 9 2 6 年k e r m a c k - 与m c k e n d r i c k 构 造了著名的s i r 仓室模型与s i s 仓室模型，为传染病动力学的 研究奠定了基础，并于2 0 世纪中叶开始蓬勃发展，作为标志 性的著作是b a i l e y 于1 9 5 7 年出版的专著 2 】，近2 0 年来，国际上 传染病动力学的研究进展迅速，考虑传染病的传播机理，是 否考虑潜伏期以及种群的年龄结构等，大量的数学模型用于 各种疾病当今传染病动力学主要发展的方向有：具有时滞的， 高校教师在职硕士学位论文 具有年龄结构的，在多种种群中传播的，非自治的，具有脉冲 效应的和具有迁移的等几个方向 种群生态学是生态动力学中的一个重要的分支，它是研 究种群自身的动力学特征，以及种群与种群之间相互作用下 种群的演变规律 3 】，种群生态学不仅揭示了种群发展的生态 规律，而且对保护、改善人类赖以生存的生态环境，维护社会 经济、生态环境持续协调稳定发展有着重大而深远的意义数 学生态学是生物数学各领域中目前发展最为完整，最为系统 的一个重要分支；所建立的模型和研究方法不仅直接推动着 生态学的发展，对生物数学的其它领域也产生着重要的影响 2 0 世纪8 0 年代以来，生物数学的研究队伍日益扩大，研究成果 也不断向纵深发展，特别在种群动力学领域，出现了众多系 统且具影响的研究成果，呈现出一派欣欣向荣的大好局面 脉冲现象在现实生活中普遍存在，在许多动力学模型中， 脉冲的方法也常被应用，人们针对脉冲效应建立相应的脉冲 微分方程，更能准确反映真实的规律，达到人类正确干预的 目的近年来，在生命科学的许多领域中，脉冲微分方程的理 论和方法都有很好的应用，如药物的口服与注射，疫苗脉冲， 定期捕杀，定期培育幼苗等，脉冲动力学的研究在疾病的控 制，种群的持续生存，药物的注射，毒素的脉冲排放等方面都 有显著的成绩 本文将针对传染病、种群动力学中的一些实际问题，建 立具脉冲效应的动力学模型，系统地研究在脉冲效应的影响 下，传染病与种群的一致持续生存的充分条件，来揭示模型 的动力学规律，以及对有效的脉冲控制提供有力的参考，在 下面几小节中，我们将对所研究的具体模型加以介绍 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 1 2 具脉冲效应和垂直传染的s i r 传染病模型的研究 目前，传染病已经受到全球的重点关注，如甲型h 1 n 1 病 毒的蔓延牵动了全国人民的心，在这样的背景下研究传染病 显得尤为重要在此之前人们进行过大量的研究 4 ，5 1 ，主要对传 染病模型进行定性研究，如模型平衡点的稳定性、系统的一 致持续生存等性质而且很多模型存在稳定的正平衡点，传染 病将形成地方病，疾病无法达到彻底消亡的目的，因此，人们 常采用注射疫苗的方法对疾病进行控制，也取得了不少优秀 的成果 具有垂直传染率特征的s i r 传染病模型，是传染病模型中 常见的一种，主要特征是感染者出生的幼儿为感染者，出生 就具有传染能力，文献 6 建立了如下模型，对其进行了定性的 研究 s = a + ( b d ) s f l l s + b r + b p i j = 6 ( 1 一p ) j + f l i s 一 7 1 一a i d i ( 1 2 1 ) r = - d r 上7 1 文献 7 】应用周期性疫苗脉冲对上述模型进行控制，建立 一3 一 高校教师在职硕士学位论文 模型如下： s = a + 0 b d ) s 一8 is + b r + b p i i = b ( 1 一p ) i + 8 is 一弋i q i d it n t r = 一d r + 7 j ( 1 2 2 ) a s = - p s i = 0 a r = p s t = 佗t 该文主要研究了无病周期解的全局稳定性，指出：若d b ，设万= m a x 罢( 6 ( 1 一j d ) 一q 一7 一d + 鲁筹) ，d - d 2 t 一( d 6 - 。b ) ) 当p 痧时， 无病周期解存在且全局渐近稳定，其中p 为注射疫苗的比例 本文该节主要研究内容： 从前面的研究我们认识到当d 6 的前提下，( 1 2 2 ) 的无 病周期解全局稳定性是比较困难的，但加人疫苗脉冲后，假 设注射周期丁固定，只要满足p 矽，无病周期解存在且全局 稳定，即疾病能达到消亡的目的，但一味地增加p 的值，将会 浪费大量的资源，而且很多疾病相应的痧的值较高，因此现实 中可能无法实现研究疾病的持续生存的充分条件，给我们提 供了p 的一个下界，对确定p 的值具有一定的指导意义，本节 研究( 1 2 2 ) 在d 6 的条件下系统的一致持续生存的充分条件， 并指出：若d b ，设p = 一a 3 批- ( d + f m w l 3 - 舢b ) 2 ( ( 什+ 。a 协+ d - 6 枷b + 2 b p ) 当p 0 ，x 2 ( o ) o ，z 3 ( 亡) o ，t 一7 - ，0 】 ( 1 4 2 ) 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 如果种群的生长环境随着时间的变化而变化，则系统( 1 4 1 ) 的系数相应变为正的连续函数，得到对应于系统( 1 4 1 ) 具有 初始条件( 1 4 2 ) 的模型： 2 l ( t ) = a ( t ) x 2 ( t ) 一7 ( t ) z l ( t ) 一w ( t ) x l ( t ) 一v ( t ) z 2 ( t ) 2 2 ( t ) = u ( ) z 1 ( 芒) 一p ( 亡) z 2 ( 亡) 一卢( 亡) z ；( 亡) 一a ( t ) z 2 ( ) ( 1 4 3 ) 2 3 ( t ) = a ( t ) z 2 ( t ) 一6 ( 亡) z 3 ( 亡) 一c ( t ) 业rk ( s ) x 3 ( t - i - s ) d s 其中q ( 芒) ，7 ( 亡) ，u ( 亡) ，7 7 ( 艺) ，p ( 艺) ，p ( 芒) ，o ( 芒) ，6 ( 亡) 是具有正的上、下 界的连续函数，c ( 艺) 是正的连续函数且熙c ( t ) = 0 文章主要研究了( 1 4 3 ) 的永久持续生存以及全局渐近稳 定的充分条件 本文该节主要研究内容： 在对待种群的问题上，人们总是会采用一些人为地手法 去影响种群的发展，来达到生态的平衡或种群的持续生存或 者是对人类更有利的目的，保护稀有物种，保护生态平衡等， 都与种群问题的研究有着密切的联系在研究的过程中，我们 经常会使用的方法是：人为的脉冲作用，如定期注射疫苗，定 一7 一 高校教师在职硕士学位论文 期投放幼苗，定期捕杀，人为提高出生率等，因此可以看到加 入脉冲效应的种群模型更贴近现实，更有应用价值，本节在 一类具分布时滞和三个生长阶段的单种群模型基础上，建立 一个脉冲微分系统，如下： l2 t ( t ) = a ( t ) x 2 ( t ) 一7 ( t ) x l ( t ) 一w ( t ) x l ( t ) 一r l ( t ) x ；( t ) l i 圣2 ( 亡) = w ( t ) x t ( t ) 一e ( t ) x 2 ( t ) 一f l ( t ) x ；( t ) 一a ( t ) x 2 ( t ) t t k l i 圣3 ( t ) = a ( t ) x 2 ( t ) 一b ( t ) x 3 ( t ) 一c ( t ) s o _ rk ( s ) z 3 ( 艺+ s ) d s 1 lz l ( 亡去) = ( 1 + a 忌) x l ( t k ) t = t k i iz 2 ( 亡去) = ( 1 + 6 詹) z 2 ( 埘 k = 1 ，2 ，3 i l z 3 ( 亡j ) = ( 1 + c 詹) z 3 ( 艺詹) ( 1 4 4 ) 在文章中巧妙地将脉冲系统转换成无脉冲的等价系统来 进行研究，运用比较脉冲微分方程以及一些分析方法，得到 了( 1 4 4 ) 的永久持续生存以及全局渐进稳定的充分条件 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 2 预备知识 2 1 持续生存的概念 首先我们引入持续生存的几个概念 2 4 1 ： 设微分系统为 文= ，( x ) ( 2 1 1 ) 假设函数五在正象限衅= x l x = ( x l ，z n ) ，x i r + ，i = 1 ，佗) 上满足解的存在唯一性条件，则过任一x 0 衅，( 2 1 1 ) 都存在满足初始条件x ( o ) = x o 的右行饱和解x = 妒( ，x o ) ，t i j - 定3 ( 2 1 1 对任何x i n t r 2 和所有的主 若。里乳s 叩慨( 亡，x ) o ，则称系统( 2 1 1 ) 弱持续生存； 若l i 十m 。i n f ( ，o i ( ，x ) o ，则称系统( 2 1 1 ) 强持续生存； 高校教师在职硕士学位论文 若。里乳i 佗厂蛞仇( s ，x ) d s o ，则称系统( 2 1 1 ) 平均持续生存； 若存在正数6 ( 6 与x 无关) ，使1 i m 饥厂妒t ( 亡，x ) 6 ，则称系 t - - - - f - 。 统( 2 1 1 ) 一致持续生存； 若系统( 2 1 1 ) - - 致持续生存，且它的所有解有界，即存 在m o 使得m t 叶l i m 十。i n f 妒t ( t ，x ) t - l i r a + 。os 印忱( 亡，x ) m ，则 称系统( 2 1 1 ) 永久持续生存 2 2 几个引理 三!：-于!：i篓二。亡一，芒t=#尼ktt c 2 2 1 ， 其中口 0 ，b 0 ，0 p 1 存在唯一的全局渐进稳定的周期解 窑e ( ) = 暑+ ( x 车一暑e 山。一t ) k t t ( 尼+ 1 ) t 其中z + = t ( 1 二- f p ) ( 五t - ) 矿e - b r ) 证明在一个脉冲周期内解系统( 2 2 1 ) 的第一个方程得： z ( 亡) = 詈+ ( z ( 南丁) 一暑) e 一6 ( 。一后t )k t o ，则有 ( i ) 如果a l a 2 ，那么l i m _ + x ( t ) = + o o 考虑微分方程 峦( ) = f ( t ，z ) t t k z = 厶( z ) t = ( 2 2 4 ) z ( 手) = x ot o 0 ：k = 1 ，2 ， 满足如下条件山 ( i ) o 丁1 死 亿 ，且当尼斗o o 时，九。； 一1 1 高校教师在职硕士学位论文 ( i i ) f ：r + r 亿在( 亿- 1 ，亿】舻上连续，对每个z r n ，k = 1 ，2 一( 幼) 劫，( ，夥) = ，( 砖，z ) 存在； ( i i i ) k ：r + o 墨。 设v ：r + xr n 寸皿，如果满足 ( i ) y 在( 1 尼一1 ) ，亿】r n 上连续，对每个z r n ，k = 1 ，2 胁) l _ i r a ( 曙，2 ) v ( t , y ) = y ( 对，z ) 存在； ( i i ) v 关于z 是局部l i p s c h i t z 的； 则称y 是属于类的 对于( 亿- 1 ，亿】r n , 定义 d + v ( t ，z ) = 占恐s 印去( y ( 艺+ 尼，z + h f ( t ，z ) ) 一v ( t ，z ) ) 引理2 2 3 ( 比较原理 2 6 】) 令v ：r + 舻jr + ，v y o ，假 设以下不等式成立 r d + y ，功“乞y ，矽) 亡 ( 2 2 5 ) 【y ( 艺，z + 厶( z ) ) 矽后( y ( 芒，z ) ) 亡= t k 其中夕：r + r + jr 满足条件a o ，饥：r + 。r + 是非减令7 ( ) = r ( t ，t o ，u o ) 是下面标量脉冲微分方程存在于区间o o ) 的最大解， 也( 亡) = g ( t ，钆( t ) ) t 亿 u ( 对) = 饥( 钆( 亿) ) t = 亿 ( 2 2 6 ) u ( 芒手) = 乱o 0 1 2 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 n v ( t - 手，z o ) u o 蕴含着 v ( t ，z ( 亡) ) r ( 艺) ，t t o 其中z ( 芒) = x ( t ，t o ，z o ) 是系统( 2 2 4 ) 存在于o o ) 上的任意解 定义( 可1 ，y 2 ，y 3 ) 为下面方程的一个解 茑j l ( 亡) = a ( 亡) 秒2 ( 亡) 一7 ( 亡) 可1 ( 亡) 一w ( t ) y l ( t ) 一面( 亡) 可 ( 亡) 彘( 亡) = 面( 亡) y 1 ( 亡) 一o ( t ) y 2 ( t ) 一声( 亡) 谚( ) 一。( ) 眈( 亡) ( 2 2 7 ) 如( 亡) = 舀t ( t ) y 2 ( t ) 一b ( t ) y 3 ( t ) 一业r 石( ) k ( s ) 舶( + s ) d s 其中 a ( 亡) = q ( 扪i i 俐i 1 讹+ b k ) ，荆= 叼( 扪。驶。( 1 + a k ) ， 面( 亡) = u ( 扪。乳。( i - 7 - 去) = 砜1 1 。( 1 + 6 南) ， 面( ) = n ( 扪。歌。( 1 上+ 他b k ) ，石( ) = c ( 扪m 乳( 1 + c k ) 一1 引理2 2 4 1 2 7 如果( y 2 ，可3 ) 是( 2 2 7 ) 的解，定义z 1 ( ) = 。童 t ( 1 + a 尼) y 1 ( 亡) ，z 2 ( 亡) = 。 6 时，系统( 3 1 2 ) 的所有解( s ( 艺) ，( 亡) ，兄( 芒) ) 对 任意小的正数e o ，存在幻o ，当亡 幻时，( ) 鑫+ 0 圭叫 证明由系统( 3 1 2 ) 得 考虑方程： n = a 一( d b ) n a i a 一( d b ) n 1 c c - - - - a 一( d 一6 ) 乱 可知他宰= 鑫为方程的全局渐进稳定的平衡点，因此有，对任意 小的正数e o ，必存在t o o 当 t o 时 ( ) u ( ) 蕊f f - i + e o 圭u 定理3 2 1 当d 6 时，系统( 3 1 2 ) 的所有解( s ( 芒) ，( 亡) ，r ( ) ) ，对 任意小的正数q ，存在t 1 0 ，当t t 1 时，s ( t ) u + 一e 1 圭v 1 0 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 证明由引理3 1 2 得：存在t o ，当 o 时，n ( t ) u 而= s + j + 兄，故有i ( t ) u ，由系统( 3 1 2 ) 的第一个方程得 作脉冲比较方程 s a 一( d + p u b ) s 忙：仙_ 6 ) u 三 2 由引理2 2 1 知，系统( 3 2 1 ) 存在一个全局渐近稳定的周期解 位e ( 亡) = 雨虿a 而+ ( 似幸一邳a u 一。，e 一( d + 卢u 山) ( 2 一n t ) n t o ，使得当t t 1 时 s ( t ) u ( 亡) 讥( ) 一e 1 u 木e 1 圭v l 0 定理3 2 2 当d 6 时，若凰 l y , i j 系统( 3 1 2 ) 的所有解( s ( ) ， ，( 亡) ，r ( 亡) ) ，对任意小正数2 ，存在t 2 t 1 ，当 亡2 时，i ( t ) 钞2 选取移2 ( o ，u ) 和任意小正数2 ；选取n 2 ，佗3 4 ，满足 i n z ( 叻n 2 t 再赢j 一1 7 高校教师在职硕士学位论文 其中 其中 ( b ) e ( 一( 抖b p 一7 + d ) ( n 2 + - 1 ) t + n l n 3 t ) 1 口木2 a ( 1 一( 1 一p ) e 一( d + 卢忱一6 ) 丁) 一( d + p 雷2 6 ) p = = ：一 “ ( d + 卢乃2 6 ) ( 1 一( 1 一p ) e 一( d + 卢面2 - 6 ) t ) 凰圭西五正研再i a f t 可( 1 - 万p ) 而丽i 雨 v 2 圭v 2 e 一( d b + b p + 7 + q ) ( 1 + 礼2 + n 3 矽 证明证明过程可分为两步： ( i ) 存在t 2 ( 0 ，+ ) 使i ( t 2 ) 雷2 ( i i ) 对任意t t 2 均有i ( t ) 面2 先证( i ) ：由于凰 l ，可选取面2 ( o ，u ) 和充分小正数e 2 ，使得 m = b 一6 p + ( 一7 一o l d 0 其中 产a ( 1 一p ) ( 1 一e - ( d + 2 - b ) t ) o = 万砰瓦j 而= 丌i f 两研吖2 具脉鲨整鏖箜生望堂堡型箜塞竺塑壅 _ - _ _ - - _ _ _ _ 一一 下面证明：存在亡2 ( o ，+ ) ，t 吏j ( t 2 ) 移2 ，否则，对任意亡( o ，+ o o ) 都有，( 亡) 面2 由系统( 3 1 2 ) 得： 雪a 一( d + 卢雷2 一b ) s 作脉冲比较方程： | 也= a 一 + 砚一6 ) u 亡佗丁 ( 3 2 2 ) 【龇一础 t - 灯 系统( 3 2 2 ) 在佗t t 1 时，对任意小正数e 2 和移2 ( o ，u ) 有m o ，则在区间 几t ， ( 几+ 1 ) t 上对上式积分得： 州佗+ 1 ) t ) i ( n t ) e m t 即 ! 逝三幽 e m t 1 i ( n t ) 一 高校教师在职硕士学位论文 故当芒。+ o o 时，( 芒) 斗+ ，这是一矛盾 下面证明( 乏毫) ：选取他，r t 3 4 ，满足 其中 、 ? 礼等 ( 。) n 2 t 再赢j ( 6 ) e ( 一( d + 6 p 一6 + 7 + d ) ( n 2 - - i ) t + n l n 3 t ) 1 何牛2 a ( 1 一( 1 一p ) e 一( 抖卢记一6 ) t ) 一( d + 卢乃2 6 ) p 厶一 ( d + 届面2 6 ) ( 1 一( 1 一p ) e 一( d + 卢锄一6 ) t ) 对任意芒2 亡2 ，均有，( 亡) 面2 ，否则存在t t 2 ，使得i ( t ) 面2 ，记亡奉= 。i 讹n f i ( t ) 衫2 ) ，设串( r t l t ，( n l + 1 ) t ) ，礼1 4 ，先作如下说明：芒 i t 2t 木) 时，( 亡) 乃2 ，如果亡木不是脉冲点，这时，( 艺) 连续，则确- x ( t 木) = 雷2 ；如果t 木是脉冲点，令t 幸木= t 木一e + ( e 木为充分小正数) ，有x ( t 料) 砚，下面只对t 木不是脉冲点进行讨论，若t 丰为脉冲点，那么，我们用 艺+ 半同样进行讨论因此设t + 不是脉冲点，我们选取上述的佗2 ，几3 后，在区间 ( 佗l + 1 ) 丁，( 佗l + 1 + 讥2 + 见3 ) 卅上必存在芒7 ，使得，( 艺7 ) 移2 ， 否则对所有亡 ( 钆1 + 1 ) t ，( 佗l + 1 + 咒2 + 舰3 ) 丁】，都有，( ) 雷2 ，考虑 系统( 3 2 2 ) ，对任意小正数e ：，t 【n l + 1 ) t ，( n l + 1 + n 2 + n a ) t ，由 于 9 n 一 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 i 钆( ) 一面e ( ) 由( o ) 得 即 i p a = l 二币= 蔬刁瓣一再丽 + 乱( ( 礼l + 1 ) t ) i e 一( d + 觑山) ( 。一( n l + 1 ) t ) = i u ( ( n t + 1 ) t ) a ( 1 一( 1 一p ) e 一( d + p 砚山) t ) 一( d + 卢面2 一b ) p ( d + 卢面2 6 ) ( 1 一( 1 一p ) e 一( d + 卢雷。_ 6 ) t ) e 一( d + 3 雷2 6 ) ( t 一( n l + 1 ) t ) = z e - ( d + 卢忱一6 ) ( t 一( n 1 + 1 ) t ) z 木e 一( d + f l 哥2 一b ) n 2 t u 一姒驯 z 奉参= 岛 豆e ( ) 一e ： 似( 亡) 0 ，当t t 2 时，i ( t ) v 2 定理3 2 3 当d 6 时，系统( 3 1 2 ) 的所有解( s ( 艺) ，( 亡) ，r ( t ) ) ，对 任意小正数e 3 ，存在t 3 o ，使得当艺 艺3 时，r ( t ) 矛一e 3 圭v 3 o ，其中矛= 丝d + 凸 证明由定理( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 得：亡充分大时，i ( 0 v 2 ，s ( t ) 9 9 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 v i ：故当亡 t 2 时有 r = - p d r s 2 + 6 p v 2 。 作脉冲比较方程 也= 一d 钆+ ，y u 2 亡礼t ( 3 2 3 ) 容易得到系统( 3 2 3 ) 存在一个全局渐近稳定的t 周期解 = 等+ 芒e - d ( t - n t ) , n t 亡3 时，有 r ( t ) u ( t ) 嘭( ) 一e 3 矛一e 3 圭u 3 0 一3 2 4 当d 6 时，若岛 1 ，则系统( 3 1 2 ) 一致持续生 存 证明由定理( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 得，若满足d b ，凰 i , 贝j l 当t 充分大时，系统( 3 1 2 ) 的所有解( s ( t ) ，( 亡) ，r ( ) ) 必满足s ( 亡) u 1 ，j ( ) u 2 ，r ( 艺) ”3 ，因此，系统( 3 1 2 ) 一致持续生存 3 3 应用 当d 6 时，无病平衡点是在一定条件下全局渐近稳定的， 高校教师在职硕士学位论文 从文 7 】结论分析，a ，t ，d 变小和7 ，p ，p 变大，都将提高疾病消亡的 可能性，对比本文中结论，其中参数a ，zd 变大和7 ，p ，p 变小，都将 增大系统疾病一致持续生存的可能性，这恰好得到了吻合 而在具体的模型中，我们可以根据参数a ，b ，d ，卢，j d ，y ，q 的值， 确定系统一致持续生存时，t 和p 的取值，这有助于我们了解，当t 和p 在怎样的范围内时，疾病肯定无法达到最终消亡的目的下 面来看一个具体模型 s = 0 0 1 + 0 0 0 0 1 s 一0 0 2 i s + 0 0 0 2 r + 0 0 0 0 1 6 i i - - - , o 0 0 2 ( 1 一o 0 8 ) 1 - fo 0 2 i s o 0 9 1 一o 0 1 1 一d it 1 2 n r - - - - - 0 0 0 2 1 r + 0 0 9 1 a s = = - p s i = 0 a r - - _ p s t = 1 2 n ( 3 3 1 ) 根据( 3 2 ) 节中的结论，可求得痧- - - 0 2 4 1 5 ，里= 0 0 0 1 2 ，也就是说，当 痧 o 2 4 1 5 时，系统( 3 3 1 ) 全局渐近稳定；当里 o 0 0 1 2 时，系统( 3 3 1 ) 将一致持续生存 一2 4 具脉冲效应的生物学模型的定性研究 4 一类具时滞和脉冲疫苗的s e i r 传染病模型的一致持续生存 4 1 数学模型 考虑密度制约出生率，且疾病治愈后可再次被感染，文 章 t 4 l 给出如下模型 雪( 亡) = 6 1 一风吉票耘】一a i ( t ) s ( t ) + ，y ，( ) - d s ( t ) 应( 亡) = a i ( t ) s ( t ) 一入s ( 亡一7 - ) ，( 芒一丁) e 一打一d e ( t ) ( 4 1 1 ) j ( 亡) = 入s ( 亡一7 - ) ，( 芒一7 i ) e 一打一7 i ( t ) 一d i ( t ) 其es ( t ) ，e ( ) ，( 芒) 分别指艺时刻易感者、潜伏者、感染者的数 量，且( 芒) = s ( ) + e ( 芒) + ，( ) ，6 1 一声1 鲁】为出生率( o 侥 1 ) ，d 为自然死亡率，a 为疾病的传播率，y 为被感染群体的治愈率， 丁为疾病的确定潜伏期 在众多传染病中很多疾病都有疫苗，往往治愈或注射疫苗 后，易感者就会具有免疫能力，从而不会再被感染，此时这些人 群将会进入另一个人群，我们称之为免疫者，t 时刻的人数用r ( t ) 表示，可建立下面的模型 9 5 高校教师在职硕士学位论文 专( 芒) = 6 1 一向毒妥裔】一a i ( t ) s ( t ) + 7 ，( ) 一d s ( t ) 应( 亡) = 入( 亡) s ( 芒) 一a s ( 一7 - ) ，( 亡一7 - ) e 一打一d e ( 芒) ( 4 1 2 ) j ( 芒) = a s ( t 一丁) ，( 亡一7 - ) e 一打一7 i ( t ) 一d i ( t ) 座( 亡) = 7 i ( t ) 一d r ( t ) 其中( 亡) = s ( 亡) + e ( 亡) + j ( 亡) + r ( 亡) ，h i l 一p 1 辞】为出生率( o p 。 0 证明由系统( 4 1 3 ) 得 肌 1 - p 焉1 一州雌川邮) ( 亡) 有一全局渐近稳定的平衡点0 = 墨，故当亡充分大时，( 亡) 。 是，所以对任意小正数e o ，存在幻，t 亡。时，有( 芒) 尝+ e