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非线性介质中光与物质相互作用的量子纠缠特性 中文摘要 量子纠缠是量子力学最突出的特征之一，在量子信息学中的各个领域，如量子 信息论、量子通信、量子光通信和量子算法与量子计算等，都具有重要的作用，特 别是在量子信息处理方面有重要应用，因此成为显著的研究方向之一。量子纠缠研 究的关键问题之一是纠缠态的制备。原子与单模光场相互作用的j a y n e s c u m m i n g s ( 简称j c ) 模型精确可解，因此被人们广泛研究。 本文在j c 模型基础上，研究了在k e r r 介质中单模光场二项式光场与级联 三能级原子和关联双模场s u 0 ，1 ) 与v 型、人型和三型三能级原子相互作用过程中系 统的量子纠缠特性受到k e r r 介质参数和系统其它参数大小的影响情况。本文的主要 工作包括以下两个方面： 首先，利用k e r r 介质中三能级原子的j c 模型，推导出了k e r r 介质中二项式光 场与级联三能级原子相互作用过程中系统态矢的一般表示。然后在此基础上，求出 系统的v o nn e u m a n n 熵的表达形式，再通过数值计算研究了原子初始态处于不同叠 加态时k e r r 介质非线性系数对系统量子纠缠程度的影响。结果表明：当原子初态处 于非相干叠加态时，附加k e r r 介质可以提高场熵的值，使原子和光场之间的纠缠程 度增强，超过一定值后场熵值反而会降低，纠缠程度减弱，场熵振荡周期变长；当 原子初态处于相干叠加态时，附加k e r r 介质会降低场熵的值，原子和光场间的纠缠 减弱，只有当介质参数达到一定值后才能提高场熵值，增强纠缠，之后原子和光场 间的纠缠演化规律和原子处于非相干叠加态时一致。 其次，在k e r r 介质中二项式光场与级联三能级原子模型基础上，研究了关联双 模场s u ( 1 ，1 ) 与v 型、人型和三型三能级原子相互作用时系统量子纠缠程度受到k e r r 介质参数和系统其它参数，如模间光子数差、初始场强强度的影响。结果显示：k e r r 介质参数和模间光子数差、初始场强强度都会影响到系统的量子纠缠程度。研究发 现在高qk e r r 介质腔中，s u ( 1 ，1 ) 模场与v 型、人型和三型三能级原子之间的纠缠受 到k e r r 效应影响的规律和二项式光场与级联三能级原子相互作用系统中受到k e r r 介 质参数影响的规律是一致的。在介质参数达到一定值前，模场与原子之间的纠缠随 t 介质参数的增大而增大，超过这一定值后反而会降低它们之间的纠缠。 关键词：j a y n e s - c u m m i n g s 模型；k e r r 介质；二项式光场；级联三能级原子；关联 双模s u ( 1 ，1 ) 场；v 型、a 型和三型三能级原子；量子纠缠 a b s t r a c t t h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，a so n eo ft h em o s tp r o m i n e n tf e a t u r eo f q u a n t u mm e c h a n i c s ，p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i c s w h i c hi n c l u d e s q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y , q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ， q u a n t u mc o m p u t a t i o na n ds oo n ，e s p e c i a l l yi ni n f o r m a t i o np r o c e s s i n g f o r t h i sr e a s o n ，i tb e c o m e so n eo ft h em o s tp r o m i n e n tr e s e a r c ho r i e n t a t i o n g e n e r a t i n ge n t a n g l e ds t a t ei sak e yp a r to ft h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h e j a y n e s - c u m m i n g sm o d e lh a sb e e nw i d e l ys t u d i e db e c a u s ei tc a nb ep r e c i s e l y r e s o l v e d o nt h eb a s eo fj a y n e s c u m m i n g sm o d e l ，w es t u d i e dt h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n to ft h eb i n o m i a lf i e l di n t e r a c t i n gw i t hac a s c a d et h r e e - l e v e l a t o ma n dt h et w o - m o d es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e si n t e r a c t i n gw i t ht h r e e - l e v e l a t o m s ，w h i c hi n c l u d eav - t y p et h r e e - l e v e la t o m ，a 人一t y p et h r e e - l e v e la t o m a n da 三一t y p et h r e e - l e v e la t o mi nak e r r - l i k em e d i u m t h er e s u l ts h o w e dt h e k e r rc o e f f i c i e n ta n do t h e rp a r a m e t e r sc a na f f e c tt h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n to f t h es y s t e m e m p l o y t h ej a y n e s - c u m m i n g sm o d e l ，t h es t a t ev e c t o ro ft h es y s t e m ，t h e b i n o m i a lf i e l di n t e r a c t i n gw i t hac a s c a d et h r e e l e v e la t o m ，h a sb e e nd e r i v e d o nt h eb a s eo ft h i s ，t h ev o nn e u m a n ne n t r o p yc a nb eo b t a i n e d t h e nt h e e f f e c to fk e r rc o e f f i c i e n to nt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n th a sg o tb yn u m e r i c a l c a l c u l a t i o n t h er e s u l t si n d i c a t ew h e nt h ea t o mi n i t i a l l yi ne x c i t e ds t a t e s ，t h e f i e l de n t r o p yi n c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s i n go f k e r rc o e f f i c i e n t ，t h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n ti si m p r o v e dt o o h o w e v e r , t h ef i e l de n t r o p yr e d u c e sw h e nt h e p a r a m e t e ro v e rac e r t a i nv a l u ea n dt h ep e r i o do ff i e l de n t r o p yb e c o m e s l o n g e r w h e nt h ea t o mi n i t i a l l y i n l e v e l s s u p e r p o s i t i o ns t a t e s ，t h ef i e l d e n t r o p yr e d u c e sw i t ht h ee f f e c to fk e r re f f e c ta n dt h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e n a t o ma n do p t i c a lf i e l db e c o m e sl o w e r t h ef i e l de n t r o p yc o u l db ei m p r o v e d u n l e s st h ep a r a m e t e ro v e rac e r t a i nv a l u e t h e nt h el a wi st h es a m ea st h e c a s eo ft h ea t o mi n i t i a l l yi ne x c i t e ds t a t e sw i t ht h e i n c r e a s i n go fk e r r i i i c o e f f i c i e n t t h ee f - f e c to fk e r rc o e f f i c i e n t t h ed i f f e r e n t i a l so ft h ep h o t o nn u m b e r b e t w e e nt h em o d e sa n dt h ei n i t i a lf i e l di n t e n s i t yo nt h e q u a n t u m e n t a n g l e m e n to ft h es y s t e m ，t h et w o m o d es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e si n t e r a c t i n g w i t ht h r e e 1 e v e la t o m s h a sb e e ns t u d i e d t h es t u d ys h o w sa l lo ft h e p a r a m e t e r sc a na f f e c tt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h el a wi st h es a m ea st h e s y s t e mo ft h eb i n o m i a lf i e l di n t e r a c t i n gw i t hac a s c a d et h r e e - l e v e la t o m b e f o r et h e p a r a m e t e r o fk e r rr e a c h e sac e r t a i nv a l u et h e q u a n t u m e n t a n g l e m e n ti n c r e a s e sr a p i d l yw i t ht h ei n c r e a s i n g o fi t h o w e v e r , t h e q u a n t u me n t a n g l e m e n ti sr e d u c e dw h e n t h ep a r a m e t e ro v e rt h ec e r t a i nv a l u e k e yw o r d s ：j a y n e s c u m m i n g sm o d e l ； k e r rm e d i a ；b i n o m i a ll i g h tf i e l d ； ac a s c a d et h r e e - l e v e la t o m ；t w o m o d es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e s ；av - t y p e t h r e e l e v e la t o m ；aa - t y p et h r e e - l e v e la t o m ；a 互- t y p et h r e e l e v e la t o m i v 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 作者签名_ 翌亟孟 日期： 型翌拿：l 望 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原科技大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件、复印 件与电子版；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存 学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交 流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 作者签名：塾巨亟蚤日期：型j ：苎： 导师签名： 日期： 第一章前言 第一章前言 量子光学是从上世纪8 0 年代作为一门独立的学科发展完善起来的，它是以辐射 的量子理论研究光场的量子特性以及光与物质相互作用的量子本性的学科，人 们从各个角度论述和验证了光场诸多量子效应的存在，并证明量子效应有着巨大的 应用前景。 近年来随着实验技术的发展，人们能够在实验室中精确检验量子力学的基本问 题，进而把这些观念直接应用于信息科学。尤其是和量子计算，量子传送，量子存 储以及量子非破坏性测量等有关的理论和实验的发展，促使人们研究怎样更好地去 制备、操纵量子态。要想深入理解和揭示光场的量子特性，研究场和原子的相互作 用有很重要的意义。 1 1 典型理论和运用模型 光场与物质相互作用的效应是量子光学研究的最主要问题。处理光场和物质相 互作用可以在不同的理论框架中进行，典型的有： ( 1 ) 全经典理论，即光场由遵守经典的麦克斯韦方程组来描述，物质( 原子与电子) 遵从牛顿方程。在经典电动力学、磁流体动力学以及离子体物理中采用的正是这种 处理方法。 ( 2 ) 半经典或半量子理论，这种理论是将光场用麦克斯韦方程组描述，按经典来 处理，把原子或原子中的电子看成是遵守量子力学规律的粒子集合体，遵从量子 力学的s c h r 6 d i n g e r 方程，即把原子用量子理论来处理而把光场用经典的场来处理。 激光的半经典理论就是依据这一方法。或者反过来，光场按量子力学来处理，而作 为光场源的电荷或电流则用经典量来描述，典型的例子是受迫谐振子经过相干驱动 力可由真空态产生相干态。此理论能较好地解决有关光与物质相互作用的许多问 题，但不能解释与辐射场量子化有关的现象，例如激光的相干统计性和物质的 自发辐射行为等。 ( 3 ) 全量子理论，把光场看成是量子化了的光子群，原子( 电子) 也被量子化。目 前，在量子光学领域中，主要采用全量子理论来研究原子与光场相互作用及光场的 量子统计特性。这种理论体系能对辐射场的量子涨落现象以及涉及光与物质相互 作用的各种现象给予严格而全面的描述。 j a y n e s c u m m i n g s ( 简称j c ) 模型1 】是物质与光场相互作用最基本、最典型的量子 模型，它是由e t j a y n e s 和e w c u m m i n g s 讨论微波激射器时提出的一种精确可解的 1 1 卜线性介质中光与物质相互作1 e f j j 的量子纠缠特性 理想模型，真正将量子光学的理论研究工作引上正轨并推向深入。该模型最早表征 单模光场与单个理想二能级原子的相互作用。 多年来，人们围绕着标准j c 模型及其各种推广形式做了大量而且富有成效的 理论与实验研究工作【2 。6 j 。对该模型的广泛且深入的研究主要是：将相互作用中的光 场处理成双模或多模，用三能级、四能级原子等代替二能级原子，用两个或多个原 子代替单个原子，将真空环境推广到介质环境等，构成原子与场相互作用的各种体 系。j c 模型揭示了光场与物质相互作用中最基本但却丰富的量子特性，因此不仅在 量子光学，而且在激光物理、核磁共振和量子场论等许多问题中常采用该模型。目 前，j c 模型在高q 微波谐振腔中单个r y b b e r g 原子动力学性质的实验研究中得到证 实，表明人们对j a y n e s c u m m i n g s 模型的研究不仅具有学术意义，而且具有实际价 值。 近年来，基于j c 模型的关联双模辐射场及其与原子的相互作用体系引起了许 多研究者的关注。这是由于关联双模场常常表现出许多非经典光场的特性，如光场 的压缩、光子反聚束、违背c a u c h y s c h w a r t z 不等式、亚泊松分布等量子特性，因而 在量子测量、量子通信及探测物理现象方面有着重要的应用前景。 目前，关联双模场典型的有：( 1 ) 双模压缩真空场，它是关联双模场两模之间关 联最强的光场，它的两个模的光子数始终相等；( 2 ) 双模s u ( 1 ，1 ) 相干态场，它的两模 之间光子数之差为定值，因而两模之间存在很强的关联，事实上，它可以视为双模 压缩真空态的推广，可由非简并参量放大过程产生；( 3 ) 双模s u ( 2 ) 卡f l 干态场，它的两 模之间光子数之和为定值，两模之间也存在很强的关联。 同时，已有的研究表明，三能级原子系统表现出一些新的而且非常重要的物理 特性，如无粒子数反转激光、介质自感应透明、激光冷却原子低于单光子反冲能量 和原子干涉效应等【7 m 】。 1 2 非线性介质 量子光学中另一个引人注意的方向就是对非线性介质的研究，k e r r 介质正是其 中重要的一种。k e r r 介质在非线性量子光学的许多应用中扮演了重要的角色【1 1 m 】， 例如：非线性马赫曾特干涉仪，量子非破坏性的测量，宏观量子叠加态的产生， 量子光学中的可积分量子计算高维纠缠相干态的实现及其研究。但是，由于k e r r 介 质的哈密顿量的非线性性质，有的时候很难进行解析计算。 研究k e r r 介质中光与原子的相互作用是非线性j c 模型的一种推广，它研究的 2 第一章前言 是在充满k e n 介质的高q 腔中，光场与原子相互作用系统的动力学行为。研究这种 系统不但有助于更进一步从理论上揭示光与物质相互作用过程的物理本质，而且在 实际应用中诸如量子态的制备、光子通讯【1 3 j 等领域有着潜在的重要的应用价值。在 以往关于k e r r 介质中光与原子相互作用系统的研究中发现，k e r r 介质在光与原子相 互作用系统中的参与，使得原子的量子崩塌和回复效应变得更加有规律，而且k e r r 介质也能使系统中光场的性质发生变化。例如：k e r r 介质能在一定程度上使得光场 与原子的相互作用减弱【1 4 1 ，也能使光场的压缩效应不受腔损耗和热光场的影响。 考虑k e r r 克尔介质参与的非线性光学过程的研究不仅有助于深入了解光场与原 子相互作用的本质，且在量子态制备和量子通信等领域存在重要的应用前景。 1 3 所做工作 本文主要研究了在非线性k e r r 介质的参与下单模光场二项式光场和级联三 能级原子，关联双模光场s u ( 1 ，1 ) 双模场和v 型、人型和巨型三种三能级原子相 互作用系统中原子态的量子纠缠特性。即通过原子与光场之间的相互作用，找出在 k e r r 介质参与下的对应的哈密顿量和态矢量，通过数值计算研究了该系统的量子场 熵的时间演化规律，分析讨论了系统各个参数特别是k e r r 介质参数对场原子系 统的量子纠缠特性的影响，由此得到新的结论。本文的主要研究内容安排如下： 1 、首先对量子光学的发展历史和动态进行了系统阐述。其次对量子纠缠的基本 理论和概念进行了详尽的解释，先阐述了态的分类，作出正确判断，然后对纠缠态 的分类进行了详细介绍。最后详细介绍了纠缠度的应用和定义，着重介绍了v o n n e u m a n n 熵的基本理论和基本性质。 2 、对二项式光场与级联三能级原子在高k e r r 介质中的相互作用系统的量子纠缠 特性进行了深入研究。关于这一问题，本文主要是从k e r r 介质中二项式光场和级联 三能级原子相互作用系统的哈密顿量出发，通过求解薛定谔方程，分别得到系统的 态矢量、约化密度矩阵，并由此在j c 模型基础上建立研究模型。然后以该模型为 基础，利用数值计算和模拟，详细研究二项式光场与级联三能级原子相互作用受到 k e r r 介质影响时系统的量子纠缠特性。 3 、对在高q 介质中关联双模场s u ( 1 ，1 ) 分别与v 型、人型和曼型三能级原子相 互作用系统的量子纠缠特性进行了详细研究。首先推导出k e r r 介质中关联双模场 s u ( 1 ，1 ) 和v 型、人型和三型三种类型的三能级原子相互作用过程中系统态矢的表达 形式，然后在此基础上通过数值模拟计算了原子初始态为激发态时系统的量子纠缠 3 非线性介质中光与物质相互作用的量子纠缠特性 特性受到k e r r 介质参数和系统其它参数的影响，从而揭示出k e r r 效应对原子和模场 之间量子纠缠程度的影响。 4 第二章量子纠缠的基本概念和理论 第二章量子纠缠的基本概念和理论 量子纠缠【1 5 j 是存在于多子系量子系统中的一种奇妙现象，即对一个子系统的测 量结果无法独立于对其他子系的测量参数。近年来，随着量子信息的蓬勃发展，人 们对量子纠缠的研究产生了极大的兴趣，也取得了许多激动人心的研究成果。“纠缠” 这一名词的出现可以追溯到量子力学产生之初，当时人们对量子力学基本原理的诠 释和对基本概念的理解一直存在着激烈的争论。但无论是玻尔还是爱因斯坦，在他 们提出理论的当时都没有洞悉他们所讨论的纠缠态的全部含义，经过几十年的探索 之后，这些真实的含义才逐渐被发掘出来。 2 1 量子纠缠发展历史 由于量子力学描述的物理实在具有无法消除的随机性，所以从它诞生之日起， 围绕量子力学的争论就从未间断过。主要表现为以爱因斯坦为代表的一批物理学家 和以玻尔为代表的哥本哈根学派之间的冲突。自从1 9 2 7 年在第五届索尔维会议上爆 发了两位科学巨人的第一次论战开始，到爱因斯坦逝世的3 0 年间，爱因斯坦不断地 给量子力学挑毛病，其结果导致了量子物理学的飞跃和向纵深方向的发展。其中， 最著名的是在1 9 3 0 和1 9 3 5 年就量子力学进行过的两次争论。 1 9 3 5 年的争论被称为“e p r ( e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ) 佯谬”【】，它实质上涉及到 了纠缠态的概念。爱因斯坦等人在分析量子力学理论是否完备时，考察了一个由两 个粒子组成的一维系统，并提出了用于判断这个问题的三个前提：( 1 ) 任何两个互不 接触且不可能直接作用的系统，对其中任何一个系统的测量，量子力学的预言是正 确的。( 2 ) 要是对于一个系统没有干扰，我们能够确定地预测一个物理量的确定值( 即 几率等于1 ) ，那么对应于这一物理量，必定存在着一个物理实在的元素，即有物理 实在性。( 3 ) 对于任何两个分开的系统，对其中一个系统所作的任何物理操作不应该 立即对另一个系统有任何影响，也可以说自然界没有超距作用。这就是历史上有名 的e i n s t e i n 可分隔原则。“e p r 佯谬”提出的目的在于说明，在承认局域性和物理实在 性的前提下，量子力学的描述是不完备的。 1 9 3 5 年，薛定谔提出了一个理想实验( 即薛定谔猫) 【1 7 1 ，他用下列波函数来描述 猫和原子这个复合系统： i ￥，) = a i 活猫) l g ) + 卢l 死猫) i g ) ， h 2 + 例2 = l ( 2 - 1 ) i 倪1 2 和蚓2 分别代表猫是活的或死的几率，i p ) 和ig ) 分别表示原子处于激发态和基态。 在此叠加态中，猫的死活不确定，处于不死不活或亦死亦活的状态。这一情况维持 s 非线性介质中光与物质相互作用的量子纠缠特性 到打开盒子观察为止，但观察时状态已经破坏，不再是原来的纠缠态了。这就是猫 与放射性元素的原子这个复合体系的量子纠缠态，这表现出不能用局域实在论揭示 的量子特性，从而对波函数的统计诠释提出异议。 1 9 5 1 年，爱因斯坦的学生b o h r 提出了更容易实现的e p r 佯谬的翻版【1 8 】。b o h r 方案的整个论证建立在以下两个主张的基础上：( 1 ) 定域因果性观点。如果两次测量 ( 或一般地说，两个事件) 之间的四维时空间隔是类空的，两个事件之间将不存在因果 性关系。( 2 ) 物理实在性的观点。即任何一个可观测的物理量，作为一个物理实在的 要素，它必定在客观上以确定的方式存在着。反映在一个完备的物理理论上就是， 如果对一个系统不产生扰动，那么这个系统的任何可观测的物理量在客观上应当具 有确定的数值。 由b o h r 提出的这两个主张可知，以类空间隔分开的两个系统具有彼此相互独立 的物理实在性，如果量子力学是一个完备的物理理论，那么两个系统所有可观测的 物理量客观上应当是确定的，测量值应当彼此无关。这就是e p r 佯谬的核心思想， 即定域实在论。 从定域实在论的观点出发，e i n s t e i n 断定量子力学是不完备的。1 9 5 3 年b o h r 依 据e i n s t e i n 的断言提出局域隐参量理论。它是在理论中引入比现有量子力学可观测量 更为基本的新参量。引入这些隐参量的目的就是希望量子力学中不能对某些可观测 量作出精确预言的事实归结为还不能精确知道的隐参量，而一旦这些隐参量决定后， 就可以精确给出任何可观测量。作为一个有价值的隐参量理论，其结果必须在一定 条件下回到量子力学给出的结果，同时又不能预言某些新的与量子力学不同的东西， 这样才能通过新的实验来检验隐参量理论是否正确。到目前为止，只有决定论的隐 参量理论可以做到这一点。 局域隐参量的引入，使得e i n s t e i n 与b o h r 之争有了实质性的进展。1 9 6 5 年b e l l 在分析自旋为1 2 的两个粒子的自旋分量的关联时，在定域实在论和存在隐参量假设 的基础上推导出一个不等式，即著名的b e l l 不等式【1 9 1 。它是从隐参量理论和定域实 在论出发，导出隐参量理论允许的、自然界空间分离开的两部分相关程度必须满足 的不等式。在b e l l 设计的实验中，局域隐参量理论得到的结果满足b e l l 不等式，而 量子力学的预言将超出不等式的限制。因而我们有可能通过对b e l l 不等式的实验检 验来判断对量子力学的各种解释是否正确。用实验来检验b e l l 不等式，除了有内部 自由度关联的粒子对以外，还要有比较好的分析探测设备。因为分析光子的偏振态 比分析粒子的自旋态要容易，所以绝大多数实验都偏向于用光子来做。开始人们曾 6 第二章量子纠缠的基本概念和理论 考虑过用正电子束湮没产生两个光子的白旋关联，但对能量如此大的丫光子找不到有 效的偏振分析器。而利用原子级联辐射跃迁，选择光子总角动量为o 的情况，可以 产生偏振态关联的可见光光子对。这类实验始于2 0 世纪6 0 年代末期，几经反复与 改进，nt1 9 8 2 年，a s p e c t 2 0 1 等人做了b e l l 不等式验证的实验。e p r 佯谬争论的结 果和b e l l 不等式的实验检验的结果说明了量子系统的关联，即量子态的纠缠的确具 有非定域性性质。因此，量子力学是一个非定域的理论，这一点已被违背b e l l 不等 式的实验结果所证实，并由此展现出了许多非经典现象和非经典物理效应。其中， 量子纠缠和量子非定域性是量子力学两个最深刻、最奇特的性质，同时也是当代量 子信息科学的两个关键性概念，是发展量子技术和实现量子态工程的理论基础。因 此，对量子纠缠态及其量子非定域性问题的研究一直是量子光学与量子信息学基本 理论研究的热点研究方向。 总之，关于纠缠问题的讨论从1 9 3 5 年起至今一直是非常热门的话题，研究工作 空前的兴旺。原因是最初的争论仅限于理论概念和“假想实验”，从6 0 年代后期起， 人们进行了许多验证b e l l 不等式的实验。自8 0 年代以后，人们所进行的实验已经基 本上达到过去只能在理论上讨论的“想象中的实验”的水平。例如1 9 9 8 年，奥地利 i n s b r u c k 大学的z e i l i n g e r 小组，在实验验证b e l l 理论时，实现了类空间隔事件的观 察【2 1 】；2 0 0 1 年，美国的n i s t 的r o w e 等人用在离子阱中制造出的一对+ 的纠缠态 来检验b e l l 不等式【2 2 1 ，即首次实现了有质量粒子的b e l l 不等式的实验检验。这些非 常重要的实验，都证明了量子理论的成功和局域隐参量理论的失败。有关量子纠缠 对b e l l 不等式的违背的实验验证，树立了人们对量子力学基本原理的信心，并使人 们从此对量子力学的基本原理有了更加深刻的认识。 2 2 量子纠缠概念 量子纠缠存在于两个粒子以上的多粒子体系中，描述了子系统间的不可分离性， 可分为纯态纠缠态和混合态纠缠态。 2 2 1 量子纯态和混合态 ( 一) 量子纯态 量子纯态【2 3 1 指的是一个量子系统能够使用单一波函数或一个态矢量来描述。纯 态是任一套基矢的相干叠加态。当l y ) 表示任一纯态，则： i l f ，) = g 帆) ( 2 2 ) 其中 l i f ，。) ) 是正交归一的基矢。 7 非线性介质中光与物质相互作用的量子纠缠特性 两体纯态指那些能用单一波函数描述的两体态，亦即在态空间h ao 也中任一 套基矢下的任一相干叠加态。即系统由两个量子子系统a 和b 构成，则两体彳+ b 系 统的纯态可表示为： y ) 爿b = q v z 。) o i ) b 埘” a ( 2 - 3 ) 系统的正交归一基矢为 i y 。) 以o i 吼) b ) 。 么+ b 系统若用密度矩阵描述，则为 p _ b = l i f ，) 彻( i f ，i ( 2 4 ) 这时： r r ( p 仙) = 1 ，乃( p 乞) = l( 2 5 ) 两体纯态可分为两大类： ( a ) 可分离态i l f ，) 一b = i l f ，) 爿圆i l f ，) b ，a 和b 均处于确定态。如两体量子态i o ) 1 1 ) b 。 用密度矩阵表示可写为： p 朋= p ，p | ! lo 以，只= 1 ( 2 - 6 ) ( b ) 不可分离态( 即纠缠态) i l f ，) 彳口不能表达成i y ) 爿p i ) b ，a 和b 均不处于确 定的量子态。例如： l f ，+ ) = 万1 峨院+ 1 1 ) 4 i 。) 嚣 ( 2 - 7 ) 即若用密度矩阵表示则不能表示成b o 以形式的。 ( 二) 量子混合态 一个量子系统如果不能用一个态矢量表示，而需用一组态矢量及其相应的几率 来描述，就称它处于混合态。例如，研究由n 个原子组成的量子系统，如果每个原 子都处于相同的状态i a ) ，则系统处于纯态；反之，若n 个原子的态各不相同，系统 不处于纯态，不能用一个态矢量来描述系统的态，在这种情况下，系统可以用处于 态i a ) ，i 卢) ，几率集成，p 口来描述，系统就处于混合态。 设系统由若干个纯态i l f ，么) 构成混合态，这些i y 么) 之间不存在固定的位相关联。 用密度矩阵p 描述为： p 邶= 仅，船_ bi v 7 ( 2 - 8 ) 8 第二章量子纠缠的基本概念和理论 其中a ，= l ，o a ， 1 ；l u ) 加= c 二。i l f ，。) 一圆i 吼) 这时乃( j p 邶) = 1 ，乃( p 孟) l 混态情况下，彳+ 雪系统的态可分为3 大类： ( 1 ) 未关联态。未关联态密度矩阵可表为： p 仙= p a 圆p b ( 2 - 9 ) ( 2 ) n - - 1 分离态。可分离态密度矩阵可表为： p 肚= 尼p j 圆p ：，( o 屈 1 ) ( 2 1 0 ) ( 3 ) 不可分离态。这时不能写成分离态形式。 2 2 2 量子纠缠态分类 ( 一) 纯态纠缠的基本概念 纠缠纯态洲是指在任何表象下复合系统的量子态都不能够写成各个子体系波函 数的直积形式。 我们首先考察两个量子系统a 和b ，在t t 。，( 2 - 1 1 ) 式中的u a 8 ( f ，t o ) 一 般为整体酉变换，因此这时的f y ( f ) ) 一曰一般不能再写成i 少( f ) ) 一日= l y ( f ) ) 爿 i y ( f ) ) b 的形 式。我们就说此时的i y ( ) ) 爿曰处于纠缠态。一般地，对于纠缠态有如下定义：如果存 在l y ) 爿h a 和i 少) 口h b ，使得i y ) 一日= j y ) 一 i y ) 口，称纯态j y ) 一曰h a 占为直积态或 0 1 f 线性介质中光与物质相互作用的量子纠缠特性 非纠缠态；否则就称i y ) a b 为纠缠态。 等价地，可用密度算符的语言表述上述定义：如果存在l y ) 爿h 一和i l ，) b h b ， 使得p 4 b = p a 几- - v , ) 4 一他lo i l f ，) b 占似i ，称纯态p 爿b = l i f ，) 仰彻( yi ，i y ) 仙为 直积态或非纠缠态；否则则称j d 4 占= i y ) 朋仰沁l 为纠缠态。 以上讨论的整个量子系统是由两个子系统构成的。如果整个量子系统由n 个子 系统构成，即整体的h i l b e r t 空间h = h i0 h 2o 圆只，则上述定义可以很自然地 推广如下： 如果存在i y ) 。且，i v ，) ：卫，l l f ，) 。圮， 使得 v ，) = lv ，) ，p i y ) ：p o i y ) 。，纯态l l f ，) h 为直积态或非纠缠态；否则则称i y ) h 为 纠缠态。或者可以用密度算符的语言表述为：如果存在l y ) ，h i ，i l f ，) ：马， i y ) 。玩，使得 p = j d 。oj d ：o o 成= 阿) 。，他i 圆i y ) ：缈io q i l f ，) 。似i ，称纯态p 为直积态 或非纠缠态；否则则称p 为纠缠态。 ( 二) 混合态纠缠 从数学上说，一个用密度矩阵p 描述的状态是纯态还是混合态，这个概念是非 常清楚的，即：如果p 2 = p ( 或护p 2 = 1 ) ，称p 为纯态；如果p 2 p ( 或t r p 2 o 且只= 1 。该式 的物理意义是，p 具有某一种可能的分解可以表示为直积态的凸和。由密度矩阵的 凸性，上式也可以等价地写成p = ep ；i v i ) 沁f io i y ；) ：l 圆圆l y j ：，) 0 ：i 。若p 不 能写成上述形式即为纠缠态。 2 3 量子纠缠度 纠缠度就是对一个态的纠缠程度的一种度量，指所研究的纠缠态所携带纠缠的 1 0 第二章量子纠缠的基本概念和理论 量的多少。对纠缠度的描述，实质上是对不同纠缠态之间建立定量可比关系。自从 p h o e n i x 和k n i g h t 用量子熵研究光场与- - 一她h r _ , 级原子相互作用的动力学特性时，显示熵 是测量量子态纯度的一个有用物理量以后，熵就被作为研究量子系统动力学特性的 重要工具。场熵反映了场与原子的耦合程度，它不仅可以灵敏地度量量子态的纯度， 还被用于描述量子系统的纠缠程度。 2 3 1 熵理论在光学中的应用 熵理论在光学中的应用，最初始于g a m a 对部分相干光场所作的考察，在量子 力学中，量子状态的熵1 2 7 1 被定义为： s = - t r ( p i n p )( 2 1 3 ) 其中：p 是给定量子系统的密度算符，玻尔兹曼( b o l t z m a n n ) 常数k 被定义为1 。 如果p 描述纯态，则s = 0 ；如果p 描述混合态，则s 0 。因此，熵是描述系统偏离纯 态程度的物理量，它能够提供系统无序程度( 即不确定程度) 的相关信息。但是， 上式描述的是一个封闭系统中与时间无关的熵，即当封闭系统处于纯态( 或混合态) 时，它在时间进程中将保持纯态( 混合态) 。但通常物理上感兴趣的是与外界有相互 作用的开放系统，或一个系统中有相互作用的各子系统。显然，描述全系统的算符 没有告诉我们关于子系统动力学行为的信息，这样就需要描述子系统的约化密度算 符，通过该算符定义的熵可以反映出子系统的动力学行为信息。 对于存在相互作用的光场原子相互作用系统，其子系统的约化密度算符【2 8 】 分别为： p l = t ，- o ( p ) ，p 。= 珥( j d ) ( 2 1 4 ) 其中，玩代表原子系统变量求迹运算，乃，代表光场系统变量求迹运算。p 是光 场与原子组成系统总的密度算符。 此外，原子线性熵、光场线性熵以及原子光场系统的线性熵分别定义为： e ( f ) = 1 一t r p ：( t ) ，s ，o ) = 1 一乃p ；o ) ，s ( f ) = 1 一t r p 2 0 ) ( 2 - 1 5 ) 分别作用在光场、原子系统子空间上的算符q ，和q 的平均值分别为： ( q 口) = 乃 乃g ) ，( g ) = t , - p 。q 口) ( 2 - 1 6 ) 在光子数表象中，光场的约化熵可表示为： s ( p ，：口+ 口) = 一( 行p ，i n ) l n np ，l 胛) ( 2 - 1 7 ) 现在，约化密度算符的求迹运算只在全系统的一部分( 光场或原子) 变量中进 行，p ，和见不再是时间的单一函数，相应的s ( p ，) 和s ( p 。) 不再与时间无关，随着 子系统熵的演化，光场原子相互作用系统的每个子系统能够由纯态向混合态演 1 1 非线性介质中光与物质相互作用的量子纠缠特性 化，反之亦然。子系统熵s ( p ，) 和s ( 见) 与光场原子全系统的总熵满足下列不等 式： l s ( p ，) 一s ( 成) l s ( p ) s ( 乃) + s ( j d 。) ( 2 1 8 ) 从上式可以看出： s ( p ) s ( p j ) + s ( p 。) ( 2 - 1 9 ) 当光场一一原子全系统处于纯态时，s ( p ) = 0 ，但s ( p j ) 或s ( p o ) 0 ，此时 s ( p 。) = s ( p ，) ，光场与原子系统的熵相等。这个结果并不与熵的可加性矛盾，因为 在光场子系统的约化密度矩阵时，忽略了光场与原子的关联效应，丢失了包含在关 联效应中的信息。而熵正好能够量度这种量子信息丢失的程度，可以定义一个反映 光场与原子关联效应的量值： a s , = s ( p ，) + s ( p 。) 一s ( p )( 2 - 2 0 ) 显然，当j - c 模型全系统处于纯态时，s ( p ) = 0 ，s ( p ，) = s ( 成) ，光场与原子子 系统相关程度最大： 举= 2 s ( p r )( 2 2 1 ) 2 3 2v o nn e u m a n n 熵 y o nn e u m a n n 熵四是s h a n n o n 熵的定义在量子状态的推广，在经典信息论中， s h a n n o n 熵测量的不确定性与经典概率分布相关联。它们描述量子状态的方式是类似 的，只是v o n n e u m a n n 熵用密度算符代替了概率分布。 v o nn e u m a n n 熵的具体定义如下： 一个量子信源是一个可以制备并发送不同量子信号态的物理装置。假设信源x 以概率p 产生出信号态i q ) ，这些信号态不必是互相正交的，描述这个信源的可能信 号态系统的密度算子是： p = a f ) ( q ( 2 2 2 ) 这个信源的v o nn e u m a n n 熵就定义为： s ( p ) = 一f r ( pl o gj d )( 2 - 2 3 ) 若九是p 的特征值，则v o n n e u m a n n 的定义可重写为： s ( p ) = 一 l o g z , ( 2 2 4 ) 从计算角度看，后式更有用。 v o nn e u m a n n 熵定义明显类似于s h a n n o n 熵。v o nn e u m a n n 熵和s h a n n o n 熵虽 然形式上相同，但是两者也有重要的差别，仅在信号态 i 口，) ) 是互相正交的情况下， 信号态才是密度算符p 的本征态，p 才是p 的相应本征值，p 的v o nn e u m a n n 熵才等 1 2 第二章量子纠缠的基本概念和理论 于s